Schema lui Horner

ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA

mprirea la X - a. Schema lui HornerTeorema restului: Restul mpririi unui polinom f ( 0 prin binomul X a este egal cu valoarea f (a).

Obs: Aceast teorem ne ajut s gsim restul mpririi unui polinom oarecare prin binomul X a fr a mai face mprirea.

Exemple: 1) Restul mpririi polinomului f = INCLUDEPICTURE "http://www.thegame.go.ro/Mate/Polinoame/Image305.gif" \* MERGEFORMATINET

prin X 2 este f (2) = .

2) S se determine parametrul real m tiind c restul mpririi polinomului prin X + 1 este 5.

Rezolvare:Punem condiia f (-1) = 5. Obinem 4 + m = 5 de unde rezult m = 1.Exerciii propuse:

3) S se determine parametrul real m astfel nct polinomul mprit la X + 2 s dea restul 4.4) S se determine parametrii a i b astfel nct polinomul f = X3 + aX2 + bX + 1 mprit la X 1 s dea restul 1 i mprit la X + 1 s dea restul 5.Observaie: Teorema restului nu ne spune nimic despre ctul mpririi lui f prin binomul X a . Acest lucru se rezolv prin procedeul numit schema lui Horner. Acesta const n alctuirea unui tabel din care vom citi ctul i restul mpririi.

SCHEMA LUI HORNER

Exemple: 5) Utiliznd schema lui Horner, s se determine ctul i restul mpririi polinomului prin binomul .

2

Rezolvare:Deci ctul i restul mpririi sunt i .6) Folosind schema lui Horner aflai ctul i restul mpririi polinomului la .

Rezolvare:

X41X30X2-3X15X04

210 + 21 = 2-3 + 2 2 = 15 + 21 = 74 + 2 7 = 18

1217r = 18

Din ultima linie a tabelului, rezult: i r = 18.Exerciii propuse:

A.(uoare)Folosind schema lui Horner, s se determine ctul i restul mpririi polinomului f la g dac:

7) i g = X 1 ;

8) i g = X 2 ;

9) i g = X + 1 ;

10) f = 2X4+4X2+X i g = X 1 ;

11) f = X4+X2+x-3i g = X 2 ;

12) f = X4+4X2+3x-3ig = X + 1 .B.(nivel mediu) 13) Aflati polinomul de grad ct mai mic astfel nct mprit la X + 1 s dea restul 1 i mprit la X 1 s dea restul 1.C.(dificile) 14) Fie polinomul S se determine restul mpririi acestuia prin X - a, dac a = TEST DE EVALUARE15) S se determine ctul i restul mpririi polinomului prin polinomul (folosind schema lui Horner).16) mprind polinomul f , f= la X+1 si X+2 se obtin resturile 2 i respectiv 4.S se afle a,b(R .Divizibilitatea polinoamelor . Teorema lui BzoutDin teorema mpririi cu rest: (f, g (C[X], g (0, ( q, r (C[X], , cu grad r < grad g.

Definiie: Spunem c f se divide prin g sau f este divizibil prin g sau g divide polinomul f, dac , sau, altfel spus, dac exist un polinom h (C[X], astfel nct f = g h .

Exemplu: Polinomul se divide prin polinomul deoarece exist polinomul astfel nct .Exerciiu: Polinomul f = X2 - 9 se divide prin polinomul f = X + 3 ? De ce?Ex. rezolvat: 1) S se determine parametrul real m, astfel nct polinomul s se divid prin polinomul .

Rezolvare: Vom pune condiia ca restul mpririi polinomului f la g s fie 0. Cum polinomul g este de tipul X a , cu a = 1, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adic r = f (-1) = 4 + m . Din ecuaia 4 + m = 0 rezult m = - 4.Observatie:n probleme, este util s folosim c valoarea a este de fapt rdcina (soluia) polinomului g.Ex. rezolvat: 2) Sse gaseasc parametrul real m, astfel nct polinomul4X2+m s se divid cu polinomul X + 2.Rezolvare: Se pune condiia ca r, restul mpririi polinomului f la g s fie 0. Cum polinomul g este de tipul X a , cu a = 2, vom calcula restul pe baza Teoremei restului, adic r = f (-2) = 16 + m. Din ecuaia 16 +m= 0 rezultm = - 16.Teorema lui Bzout:Daca f(a)=0 atunci polinomul f este divizibil prin X-a.Exerciii propuse:A.(uoare)3) S se arate c polinomul se divide prin X 1 .(Indicaie: calculez restul mpririi la X - 1.)4) S se demonstreze c polinomul2X4+4X2+4x-2se divide prin X + 1.5) S se determine parametrul m , astfel nct polinomul X4+4X2+3mX - 3s se divid la polinomul X + 2.

6) S se determine parametrul m , astfel nct polinomul s se divid prin X 2.B.(nivel mediu) 7) S se determine a , b, c astfel nct polinomul s se divid prin. X3 ( 3X2 +2X.TEST DE EVALUARE:

8) S se determine pentru care polinomul se divide prin (folosind teorema restului).Fi de lucru - Divizibilitatea polinoamelor

1) Se considera polinomul f=

a) Aratati ca f(1)=0b) Determinati catul si restul impartirii polinomului f la polinomul (BAC 2013)2) Aratati ca polinomul este divizibil cu . Aflati catul impartirii.

3) Aratati ca polinomul este divizibil cu .

4) Se considera polinomul

a) Calculati f(0)+f(1)

b) Aratati ca f+1 este divizibil cu


a) Calculati f(0)+f(1)

b) Aratati ca f este divizibil cu

6) Aflati pentru care polinomul este divizibil cu

7) Aflati pentru care polinomul este divizibil cu


a) Aflati pentru care polinomul este divizibil cu

b) Pentru aflati catul impartirii lui la

9) Fie

a) Aratati ca f este divizibil cu

b) Calculati

10) Fie . Aratati ca f nu este divizibil nici cu , nici cu .

Rdcinile polinoamelor. Relaiile lui ViteDefiniie: Fie f un polinom nenul cu coeficieni compleci.

Un numr complex, ( ( C se numete rdcin a polinomului f dac f (a) = 0Exemple

1. Numrul 2 este rdcin pentru polinomul pentru c f (2) = 0.

2. Numrul i este rdcin pentru polinomul pentru c .

Observaie:Pentru a afla rdcinile unui polinom f se rezolv ecuaia f (x) = 0.

Spre exemplu, pentru a afla rdcinile polinomului vom rezolva ecuaia i gsim rdcinile polinomului .

Teorema lui Bzout se poate utilize i sub forma:

Fie f (0 un polinom nenul. Numruleste rdcin a polinomului f dac i numai dac X a divide f .

Exemplu

Polinomul avnd rdcinile se va divide att prin X 1 ct i prin X 2.

Definiie: Fie f (0 un polinom nenul i o rdcin a lui f . Numrul natural m 1 cu proprietile c divide pe f i nu divide pe f se numete ordinul de multiplicitate al rdcinii a. Dac m = 1, atunci rdcina se numete rdcin simpl, dac m 2, atunci a se numete rdcin multipl de ordinul m .Observaie: Dac m = 2 rdcina se mai numete rdcin dubl iar dac m = 3 se mai numete rdcin tripl.Observatie: a are ordinul de multiplicitate n, pentru polinomul f, daca: f(a)=f'(a)=...=f(n-1)(a)=0 si f(n)(a)este nenul.Exemple:

1)

nu divide f

EMBED Equation.3 este rdcin de ordin de multiplicitate 1(rd. simpl).

2) . Descompunnd n factori ireductibili peste C vom obine: , unde:

1= rdcin de ordin de multiplicitate 3; i,-i,-1= rdcini de ordin de multiplicitate 13) Polinomul se mai poate scrie

i deci se divide prin ceea ce nseamn c are rdcin dubl pe 1, dar se mai divide i prin sau dac vrei prin i deci va avea rdcin tripl pe 0.

Altfel spus prin rezolvarea ecuaiei obinem rdcinile i .

Teorema de descompunere n factori ireductibili(primi): Fie f (0 un polinom nenul. Dac a0, a1, , ar sunt rdcini ale lui f avnd ordinele de multiplicitate atunci polinomuldivide pe f. Obs: Singurii factori ireductibili(primi) n C[X] sunt polinoamele de gradul I.

Exemplu: 4) S se arate c polinomul se divide prin .Rezolvare: Cum se mai scrie deci avnd rdcinile 1 i 1 vom arta c i polinomul f are aceste dou rdcini.i , de unde rezult c 1 i - 1 sunt rdcini ale lui f . Atunci din teorema rezult c (X 1)(X + 1) divide pe f adic divide pe f .

Consecina 1: Orice polinom f de grad n 1 are n rdcini (nu neaprat distincte; o rdcin se repet de un numr de ori egal cu ordinul su de multiplicitate).Consecina 2: Fie un polinom cu an (0, n 1. Dac sunt rdcinile lui f , atunci .Observaie: Aceast formul am mai ntlnit-o la trinomul de gradul II: .Exerciii propuse

A. (uoare)5) S se determine rdcinile polinomului tiind c are rdcina 6) S se determine ecuaia de gradul cel mai mic tiind c are rdcin dubl pe 1 i rdcini simple 2 i 3.

7) S se determine ordinul de multiplicitate al rdcinii 2 pentru polinomul

B. (nivel mediu)

8) S se determine parametrii a i b tiind c polinomul are rdcin dubl .

9) S se determine ordinul de multiplicitate al rdcinilor 1 i 1 pentru polinomul . Relaii ntre rdcini i coeficieni (formulele lui Vite)

Fie un polinom de grad n . Dac sunt rdcinile lui f , atunci:

.

Invers, dac numerele complexe satisfac relaiile de mai sus, atunci ele sunt rdcinile polinomului f .

Observaie:

Pentru polinomul de gradul III ,

cu rdcinile , relaiile lui Vite sunt:

Observaie:

Pentru polinomul de gr IV , avem pentru relaiile lui Vite urmtoarea scriere:Exemplu 1). Care este valoarea expresiei: ,

unde sunt rdcinile ecuaiei ?

Rezolvare:

Exemplu 2). S se determine parametrul m i apoi s se afle rdcinile polinomului tiind c are rdcina x = 2.

Rezolvare:

Utilizm relaiile lui Viete:

Exemplu 3). S se determine rdcinile polinomului , , tiind c produsul a dou rdcini este egal cu 4. Aflai n aceste condiii i parametrul a .

Rezolvare: Relaiile lui Vite n acest caz sunt: tiind c , din vom avea c .

Cum 2 este rdcin a lui f rezult c f(-2) = 0 adic .Pentru a afla celelalte dou rdcini avem dou metode:Metoda I. (relaiile lui Vite)nlocuim n prima relaie, vom avea sistemul ale crui soluii vor fi .

Metoda II. (Horner)

Cum - 2 este rdcin a lui f rezult c (X + 2) divide pe f . Cu schema lui Horner aflm ctul mpririi lui f la (X + 2) i polinomul se va scrie descompus f = . Rezolvnd ecuaia .Exemplu 4). Fie ecuaia. S se determine rdcinileX1, X2, X3ale ecuaiei, tiind c:

X1 + X2 = X3.Soluie: Scriem relaiile lui Viete:

Cum, atunci din prima relaie avem ci deci.

Din, obinem.

Formm apoi sistemul:, care d rdcinilei.Exemplu 5). S se determine parametrii reali m, n astfel nct ecuaia x4-x3-mx2-x+n=0 s aib rdcin dubl x=1 i s se rezolve ecuaia dat.

Metoda 1. Dac x=1 este rdcin dubl a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 i deci restul mpririi celor dou polinoame este polinomul nul.

Efectund mprirea avem egalitatea

X4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+x+1-n) - 2mx+n+m-1

Restul fiind polinomul nul, adic 2mx+n+m-1=0 d m=0 i n+m-1=0, adic m=0 i n=1.

Celelalte rdcini ale ecuaiei sunt soluii (ctul egal cu zero) ale ecuaiei x2+x+1=0, adic .

Metoda 2 (schema lui Horner):n schema lu Horner cerem ca x=1 s fie rdcin dubl:

x4 x3 x2 x x0

1 -1 -m -1 n

1 1 0 -m -m-1 -m+n-1=0

1 1 1 1-m -2m=0

Deci m+n-1=0 i m=0 dau m=0 i n=1, iar celelalte rdcini ale ecuaiei date coincid cu ale ctului x2+x+1=0.

Metoda 3 (metoda identificrii): Dac x=1 este rdcin dubl a ecuaiei atunci trebuie s avem egalitatea:

x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+((+().

Efectum nmulirile i prin identificare rezult sistemul:

Din prima i a treia ecuaie rezult (=1, (=1. Acum din celelalte ecuaii se obine m=0, n=1.

Acum ecuaia se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

Celelalte dou rdcini sunt date de rdcinile ecuaiei x2+x+1=0, adic .

Metoda 4. (relaiile lui Vite). Din enun x1=x2=1. Avnd o relaie ntre rdcini vom asocia acesteia relaiile lui Vite pentru o ecuaie i avem

sau

Din relaiile a doua i a treia rezult 1-m=1, adic m=0, iar din a doua i a patra n=1-m=1.

Pentru a gsi rdcinile x3, x4 se rezolv sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adic ecuaia x2+x+1=0

i gsim .Exemplu 6). Fie ecuaia , fiind parametru. Mulimea valorilor lui m pentru care este:a. ;b. ;c. ;d..

Soluie: .

.

Deci . R:a).Exerciii propuse

A. (uoare)7) Fie polinomul . S se determine rdcinile polinomului tiind c .

8) S se rezolve ecuaia tiind c rdcinile sale sunt n progresie aritmetic.

9) Se consider polinomul f = X3 9X2 X + 9, cu rdcinile x1, x2 , x3 C. Verificai c: x13 + x23 + x33 = 9(x12 + x22 + x32 ) 18.10) Se consider polinomul f = X3 -3X2 + X + 1, avnd rdcinile x1, x2, x3 C. Calculai determinantul D = .

B. (nivel mediu)

11) S se determine parametrii a i b tiind c polinomul are rdcin dubl .

12) S se determine m astfel nct suma a dou rdcini ale ecuaiei s fie egal cu 1.

13) S se determine m astfel ca o rdcin a ecuaiei s fie dublul altei rdcini. 14) S se determine , tiind c ecuaia are rdcinile n progresie aritmetic.15) S se rezolve ecuaia tiind c suma primelor dou rdcini este egal cu opusul mediei aritmetice a celorlalte dou.16) Fie cu rdcinile i cu rdcinile .

(A) este:a. 5; b. 7; c. 9; d. 1.

(B) este: a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.

Rezolvarea ecuaiilor algebrice cu coeficieni n Z, Q, R, C

Teorema fundamental a algebrei: Orice ecuaie algebric de grad mai mare sau egal cu 1 i cu coeficieni compleci are cel puin o rdcin complex.

Consecinta: Orice polinom f de grad n are n radacini.Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuatia algebrica generala de grad mai mare decat patru nu poate fi rezolvata prin radicali.

A. Mulimea polinoamelor cu coeficieni ntregi

Fie i ecuaia

Teorem: Dac f admite o rdcin de forma , , atunci i . Dac , atunci .

Exemplu 1) Fie care admite soluia . Deci .

mprind succesiv polinomul la posibilele radacini, obinem:

EMBED Equation.3 B. Mulimea polinoamelor cu coeficieni raionali

Teorem: Fie . Atunci dac este rdcin pentru f, cu , atunci este rdcin pentru f i x1 i x2 au aceeai multiplicitate.

Exemplu 1). Gsii rdcinile polinomului , tiind c are rdcin .Rezolvare:

este rdcin.

Exemplu 2). S se rezolve ecuaia: x3-3x2-3x+1=0 dac are rdcin .

Rezolvare: Fiind o ecuaie cu coeficieni raionali, se tie c dac ecuaia admite o rdcin , atunci ea admite i rdcina conjugat . Deci polinomul din membrul stng al ecuaiei se divide prin .

Efectund mprirea gsim . Aadar a treia rdcin a ecuaiei este dat de x+1=0, adic x3=-1.

Observaie. Pentru rezolvarea acestei ecuaii, mai simplu era dac aplicam prima relatie a lui Vite x1+x2+x3=3. Cum , , atunci x3=3-4=-1.

C. Mulimea polinoamelor cu coeficieni reali

Fie i ecuaia .

Teorem: Dac este rdcin pentru f, atunci este rdcin pentru f, iar x1 i xx au acelai ordin de multiplicitate.Exemplu 3). S se determine m i n i apoi s se rezolve ecuaia tiind c admite rdcina .

Rezolvare: Dac

EMBED Equation.3

Deci

.Dac .Rezolvarea ctorva ecuaii algebrice de grad superior (1)Ecuaii binome:Forma ecuaiilor binome este:. (2)Ecuaii biptrate:Forma general a ecuaiilor biptrate este:,i. n cazul general, rezolvarea ecuaiei se face astfel:

- se face substituiai obinem ecuaia de gradul doiAceast ecuaie se numete rezolventa ecuaiei anterioare, iar rdcinile ei sunt y1 i y2 :

Din egalitateaobinem ecuaiilei.

Ecuaiaare rdcinile x1 i x2.Ecuaiaare rdcinile x3 i x4.Numerele x1,x2, x3 i x4 sunt rdcinile ecuaiei date.

Exemplu 1). S se rezolve ecuaia biptrat:. Facem substituiai obinem ecuaia rezolventcare are rdcinilei. Rdcinile ecuaiei biptrate sunt:

,.

Folosind formulele de transformare a radicalilor dubli, obinem:

i

Deci,,,.Ex. Propus 2). Rezolvai ecuaia biptrat x4 ( 5x2 +5 = 0. (3)Ecuaii reciproce:O ecuaie de forma,avand proprietatea, oricare ar fi, se numete ecuaie reciproc de grad(altfel spus, o ecuaie este reciproc dac coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali).

Observaie:Ne intereseaz rezolvarea ecuaiilor reciproce de.

Dac, obinem forma general a ecuaiei reciproce de gradul 3: ,.

Dac, obinem forma general a ecuaiei reciproce de gradul 4: ,.

Dac n = 5 obinem forma general a ecuaiei reciproce de gradul 5: , a ( 0.

Proprieti generale ale ecuaiei reciproce de graduln.1) Dac ecuaia reciproc are rdcina, atunci ea are i rdcina.

2) Orice ecuaie reciproc de grad impar are rdcin.a)Rezolvarea ecuaiei reciproce de gradul IIIAm vzut c forma general a ecuaiei reciproce de gradul III este:,. Aceast ecuaie are rdcina. Atunci putem s scriem:. Ecuaia admite rdcinile:idate de ecuaia.Exemplu 3).S rezolvm ecuaia:.

Rezolvare: Aceast ecuaie este o ecuaie reciproc de gradul III. Ea se scrie:, care are rdcinilei x2, x3care sunt rdcinile ecuaiei, adic i .Exemplu 4).S se rezolve ecuaia: 2x3+3x2+3x+2=0;

Rezolvare: S observm c este o ecuaie reciproc de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaiei x+1=0 (cnd x=-1) i a unei ecuaii (reciproce) de gradul al doilea. Pentru a gsi coeficienii acestei ecuaii utilizm schema lui Horner (coeficienii din ultima linie, mai ngroai, sunt coeficienii cutai).

X3 X2 X X0

2 3 3 2

-1 2 1 2 0

Din schem rezult ecuaia 2x2+x+2=0 cu rdcinile . Ecuaia dat are soluiile : -1, .

b)Rezolvarea ecuaiei reciproce de gradul IVAm vzut c forma general a ecuaiei reciproce de gradul IV este:

,. Cum, ecuaia nu admite ca rdcin pe. mprim cui obinem ecuaiasau, grupnd termenii n mod convenabil, avem:Facem substituia. Cum, obinem ecuaia nsau.

Dacsunt rdcinile ecuaiei, atunci obinem dou ecuaii:

isaui.Dac x1 i x2sunt rdcinile ecuaiei, iarx3 i x4 sunt rdcinile ecuaiei, atuncisunt rdcinile ecuaiei,.

Exemplu 5).S se rezolve ecuaia. Aceast ecuaie este o ecuaie reciproc de gradul IV. mprim cui obinem:sau.

Notm. Cum, obinem ecuaiasaucare are rdcinilei.

Avem ecuaiile:i.

Prima ecuaie are rdcinile.

Ecuaia a doua are rdcinile.

Decisunt rdcinile ecuaiei date.Exemplu 6).Rezolvai ecuaia: x4-x3-10x2+2x+4=0.

Rezolvare: Fr a fi o ecuaie reciproc de gradul patru, utilizeaz pentru rezolvare o tehnic asemntoare. Se mparte ecuaia prin x2 i se scrie sub forma . Se noteaz , etc. Ecuaia data are soluiile: , .

c)Rezolvarea ecuaiei reciproce de gradul VForma general a ecuaiei reciproce de gradul V este: ,.

Deoarece aceast ecuaie este de grad impar, rezult c rezolvarea acestei ecuaii se reduce la rezolvarea ecuaieii a unei ecuaii reciproce de gradul IV.

Exemplu7).S se rezolve ecuaia.

Rezolvare: Aceast ecuaie este o ecuaie reciproc de gradul V.

Deoarece este de grad impar, aceast ecuaie admite soluia. Putem scrie

.

Deci obinem ecuaia reciproc de gradul IV: .

mprind cu, obinem:.

Facem substituia. Obinem ecuaiacare are rdcinilei.

Din ecuaiaobinem.

Din ecuaiaobinem.

Deci,sunt rdcinile ecuaiei date.Exemplu 8).S se rezolve ecuaia reciproc: .

Rezolvare: S observm c este o ecuaie reciproc de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaieii a unei ecuaii de gradul al doilea. Pentru a gsi coeficienii acestei ecuaii utilizm schema lui Horner:

Din schem rezult ecuaiacu rdcinile.

Ecuaia dat are soluiile:.Exemplu 9).S se rezolve ecuaia:

Rezolvare: Este o ecuaie reciproc de gradul patru. mprim ecuaia prin, cnd avem:

Notm, iar de aici prin ridicare la ptrat.

Ecuaia devinecu soluiile.

Revenim la substituie i avem ecuaiile,cu soluiilei respectiv. Ecuaia dat are soluiile:.Exemplu 10).

Rezolvare: Ecuaia este reciproc de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaieii a unei ecuaii reciproce de grad patru, ai crei coeficieni se determin din schema lui Horner cernd cs fie rdcin a ecuaiei date.

Coeficienii ecuaiei de gradul patru gsii duc la ecuaia.

Prin mprire lagsim.

Punem, iar de aici.

Devinecu soluiile.

Ecuaiileau soluiilei respectiv.

Ecuaia dat are soluiile:.

PAGE 14

_1348917001.unknown

_1460169048.unknown

_1460169056.unknown

_1460169060.unknown

_1460169064.unknown

_1460169066.unknown

_1460320804.unknown

_1460320805.unknown

_1460256345.unknown

_1460320788.unknown

_1460256248.unknown

_1460169065.unknown

_1460169062.unknown

_1460169063.unknown

_1460169061.unknown

_1460169058.unknown

_1460169059.unknown

_1460169057.unknown

_1460169052.unknown

_1460169054.unknown

_1460169055.unknown

_1460169053.unknown

_1460169050.unknown

_1460169051.unknown

_1460169049.unknown

_1348923021.unknown

_1460169040.unknown

_1460169044.unknown

_1460169046.unknown

_1460169047.unknown

_1460169045.unknown

_1460169042.unknown

_1460169043.unknown

_1460169041.unknown

_1459783438.unknown

_1460169038.unknown

_1460169039.unknown

_1459783439.unknown

_1459783435.unknown

_1459783436.unknown

_1459783437.unknown

_1348923025.unknown

_1348922667.unknown

_1348922766.unknown

_1348922983.unknown

_1348922990.unknown

_1348922999.unknown

_1348922987.unknown

_1348922779.unknown

_1348922785.unknown

_1348922789.unknown

_1348922781.unknown

_1348922768.unknown

_1348922752.unknown

_1348922756.unknown

_1348922747.unknown

_1348922622.unknown

_1348922637.unknown

_1348922663.unknown

_1348922627.unknown

_1348922435.unknown

_1348922559.unknown

_1348917739.unknown

_1115068272.unknown

_1348916787.unknown

_1348916815.unknown

_1348916896.unknown

_1348916901.unknown

_1348916819.unknown

_1348916798.unknown

_1348916802.unknown

_1348916793.unknown

_1115069433.unknown

_1348873806.unknown

_1348877409.unknown

_1348916781.unknown

_1348916761.unknown

_1348877408.unknown

_1115072546.unknown

_1115072757.unknown

_1115072770.unknown

_1115072588.unknown

_1115072664.unknown

_1115072563.unknown

_1115072511.unknown

_1115072532.unknown

_1115069518.unknown

_1115068525.unknown

_1115068621.unknown

_1115069373.unknown

_1115068890.unknown

_1115068551.unknown

_1115068348.unknown

_1115068470.unknown

_1115068300.unknown

_1114975442.unknown

_1114983231.unknown

_1114983405.unknown

_1114983589.unknown

_1114983742.unknown

_1115064428.unknown

_1115064740.unknown

_1115068247.unknown

_1115064665.unknown

_1115064427.unknown

_1114983741.unknown

_1114983462.unknown

_1114983577.unknown

_1114983449.unknown

_1114983355.unknown

_1114983392.unknown

_1114983317.unknown

_1114979502.unknown

_1114981659.unknown

_1114982716.unknown

_1114983215.unknown

_1114982884.unknown

_1114981701.unknown

_1114982693.unknown

_1114981785.unknown

_1114981684.unknown

_1114979584.unknown

_1114981643.unknown

_1114979526.unknown

_1114979434.unknown

_1114979501.unknown

_1114979433.unknown

_1114979104.unknown

_1114974810.unknown

_1114974830.unknown

_1114975400.unknown

_1114975441.unknown

_1114974821.unknown

_1114974792.unknown

_1114974803.unknown

_1112601931.unknown

_1114974702.unknown

_1112602492.unknown

_1112601927.unknown

Documents

Schema lui Horner