Schrodinger Wave Equation

tixV

xm

)(2 2

22

Davos, Swiss 1925

A total of five papers in 1926

薛丁格證明了波動力學與矩陣力學數學上是等價的！因此以波來描述電子成為最簡單方便的辦法。第一步就是要猜出波動方程式。

Rosetta StoneIt was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta

找物質波的波方程式如同解讀一個古老的失傳的語言

hfE

hp

E

kp

粒子與波的翻譯表

找尋波方程式的線索正弦波對應於一個不受力的自由粒子

tkx cos0

2h

hfE

hp

hfhm

2

21

波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係：對一般的波來說 vf

E

kp

2

2

2k

m

粒子與波的翻譯表

對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的：

因此，這個關係也就翻譯為波長與頻率的關係：E

mp

2

2

一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？

我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。

22

2 1 v

k

tkx cos0

22

2

kx

22

2

-t

2

2

22

2 1tvx

代入波方程式即給出色散關係 2

22 1

vk

vf

考慮正弦波一般波如何得出色散關係？

ω 的二次方，翻譯為時間的二次微分

k 的二次方，翻譯為位置的二次微分

這個翻譯方式，對物質波卻行不通：

2

2

2k

m

22

2 1 v

k

-kx-ωx-t

sin

或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波這個新函數，它的一次微分與自己成正比，但又必須振盪！需要一個函數又是指數函數又是三角函數！

右方的 ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分

我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ ?cos0 tkx

cossin ' sinsin ''

axax ae'e axax ea''e 2

iesin此定義對一次微分不成立，但如果比較它們的一次微分，竟然也非常類似

ixix ie'e 虛數指數函數的一次微分是自己乘上 i 將實數部及虛數部互換

ie

要同時是指數與正弦函數，並不是不可能。如果只看二次微分，可以假設： iaa 1,12

cossin ' sincos '

一次微分將 cos與 sin 互換

何不假設 的實數部與虛數部分別是正弦與餘弦？

找一個函數，又是指數函數又是三角函數！

sincos iei

ii iei'e cossin

iii eiei''e 2sincos

i

ii

ei

iiiee

sincos

sincoscossinsinsincoscossincossincos

此定義滿足指數函數所有重要性質！

正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。

正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。

sincos iei

sincos ieeee aiaia

在複數平面上表示， a 決定絕對值， θ 決定幅角

θ

aeaia ee

Re

Im

找到又是指數函數又是三角函數的函數了！

1ie

mnnm

我們可以更進一步定義複數的指數函數：

對電子波而言：色散關係：?

ti

xm

2

22

2

Schrodinger Wave Equation

tkxitkxe tkxi sincos0)(

0

2

2

2k

m

考慮複數的波函數

ikx

it

2iik

x

fiit

2

如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比

時間微分翻譯為 ω ，位置微分翻譯為 k

tkxitkxe tkxi sincos0)(

0

ikx

it

2

2

22

2 1ty

vxy

2iik

x

fiit

2

波方程式即給出色散關係2

22 1

vk

同樣的邏輯也是用於一般的波：

但此時波函數的實數部與虛數部可以分開，一開始起始條件沒有虛數部，以後也就沒有虛數部。

tkxitkxe tkxi sincos0)(

0

以此指數三角函數來嘗試構造自由電子的波函數

波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！因此干涉條紋與古典波類似！

電子波波方程式?

Schrodinger Wave Equation

如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？

Vk

m2

2

2tixV

xm

)(2 2

22

EVm

p

2

2

此時動量與能量的關係要修改為：

Schrodinger Wave Equation

因為有虛數係數，波函數必須是複數！波函數的實數部與虛數部無法分開。電子波函數必須是複數波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。

)(0

tkxie 22

0 ),( txI

tixV

xm

)(2 2

22

dxtxdxxP 2),()( 時間為 t 時在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率

b

a

dx2 在 a 與 b 之間發現該粒子的機率

計算函數的絕對值平方振幅平方，這可以用波物質波的強度是正比於 2

x dxx

雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！

薛丁格方程式的解固定能量解

我們通常對於能量為一定值 E 的解最有興趣，畢竟獨立系統都遵守能量守恆：這些解因為能量固定，因此具有固定頻率： hEf /

固定能量解

其與時間關係很簡單：波函數的變化率正比於波函數本身

tiikxtkxi eee 0)(

0

以自由電子為例：

),(),(),( txEtxtxt

i

薛丁格方程式一般來說很難解，但在某些特殊情況下是可以解的：

),(),( txEtxt

i

ExVmdxd

)(222

2

此常微分方程式有時也稱為與時間無關之薛丁格方程式。

),(),( txEtxt

i

波函數的變化率正比於波函數本身

具有這個性質的波函數，其能量的測量，沒有不確定性！ 0E

滿足此條件的波函數與時間的關係，可以很容易被解出來（指數函數）！

代入薛丁格方程式，位置函數 ψ(x) 則滿足一常微分方程式：

tixV

xm

)(2 2

22

titEiexextx

)()(),(

解出位置函數 ψ(x) 整個波函數就都知道了！

機率密度 22

22

2 )()()( xexexPtEitEi

與時間無關

tEiextx

)(),(

可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！

固定能量解正好描述穩定態

旅行波

當電子受力為零時，位能 V 是一常數， 0)( VxV

ikxikx BeAex )(

22

02 VEmk

)()()(),( tkxitkxiti BeAeextx

2022

2 2 kEVmdxd

這方程式與簡諧運動相同，其解很簡單：

分別對應於向 +x與 -x 方向運動的正弦電子波

自由電子

02

2 VEmk

波速不是定值

動能 2

2

2

kdxd

這正是德布羅意所猜到的波長與動量及能量的關係。

假設 0VE

電子顯微鏡

22

02 VEmk m1028.7 11

以 0.1c光速移動的電子 遠小於可見光，故鑑別度高於可見光顯微鏡！

22),( AtxP

單一方向傳播的電子波機率密度為一常數

tkxitkxAeA tkxi sincos)(

動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數

單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定：

與一般的波不同，它有虛數部！

粒子總是有一些區域性，需要一系列的電子波的疊加：波包。

Beat

動量不可能完全精確，若將波長有些微差距的兩個波疊加，結果振幅會出現忽大忽小的周期變化。

如果進一步疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在一個區域之內，稱為波包。

21

kx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來

波包的寬度 如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。

Δk

Δx

波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。

波包波函數的實部與虛部

波包不是固定能量態，而是能量相近的固定能量波的疊加，不是穩定態，所以波包會擴散！

Δk Δx

波包即是一個位置與動量同時都有不準度的粒子狀態的波函數。

粒子狀的態的波函數

面積不變0a

波狀的態的波函數x

兩者都是波包的極端情況

階梯狀位能，反射與透射

階梯狀位能

0for 0for 0

0

xVVxV

0VE

反射與透射

入射波

反射波

透射波

2

02

21

/2

/2

VEmk

Emk

21 kk

21

xikCex 2)(

xikxik BeAex 11)( 0x

0x

機率分布

反射的波與入射波疊加干涉！強度與位置有關。

以波包來描述粒子的反射與透射！

波包在撞擊位階後會分裂為二！透射與反射。古典粒子碰到這樣的位能是不會有反射的！一個粒子分成兩個？

古典粒子會直接穿越，只是速度變慢。 電子卻有一個反射回來的波包！

這就是一維的散射，所以散射後測量該電子，有可能發現它往右運動，也有小部分機率會發現它往左，但發現是永遠是一顆電子。如果式一束電子，波的強度就是電子數的分布！

oVE 如果Tunneling effect

xx BeAex )(

EVm 02

2

如果 E < V0 ，波數 為虛數，古典的粒子根本不能存在這樣的區域，然而在量子力學中，波函數還是有解，只是此時不再是正弦波，而是指數函數

2022

2 2 EVm

dxd

oVE

xBe 會往右一直增加，對左邊來的波是不可能的！

22

2

dxd

xikx eeik

xAex )( 指數遞減

202 /2 VEmk

xCex )(

EVm 02

2

xikxik BeAex 11)( 0x

0x

電子波會以指數遞減的程度滲入古典粒子無法進入的區域！

能量較低的波包撞擊位階，波會滲入禁止區，但長期而言，反彈如同古典粒子。

但如果這位能只持續很小一個範圍，位能很薄，粒子便能滲透過去：

穿隧效應 Tunneling Effect

穿牆人 Le Passe-MurailleMarcel Aymé, 1943

xAex )(

xtix eAeAe 2222

LeT 2

Tunneling effect

機率密度穿透機率

在位壘中 EVm 02

2

Scanning Tunneling Microscope 穿隧顯微鏡 STM

LeT 2

駐波

有限範圍的駐波態振盪，頻率都不是連續的

x

LnCxn sin)( 1 n

L2

有邊界之自由電子 22022

2 22 kEmEVmdxd

kxCkxCx cossin)( 21

0)0( 2 C kxCx sin)( 1

0)( L

nkL

0sin)( 1 kLCL

0)0( 0)( L

ikxikx BeAex )(

邊界條件：

無限大位能井，在井中如自由電子

x

LnCxn sin)( 1 n

L2

有邊界之自由電子形成駐波駐波能量不傳播，為穩定態

穩定態

mEh

ph

2

22

2

8n

mLhEn

基態的動量不為零

nL2

能量量子化

電子是靜不下來的！這是測不準原理的結果。

Ehf

能階躍遷

粒子狀態隨時間的演化即為能階穩定態之間的躍遷。

量子物理可以計算躍遷發生的機率！但無法預測何時確定會發生！

x

LnAdxxxP n 222 sin)()(

量子趨近古典n

節點節點處 P 永遠為零，在節點處永遠不可能發現該電子！

機率密度

電子被拘限於一定區域時，能量為離散的能階電子不被拘限於一定區域時，能量為連續

有限大位能井

氫原子中的電子狀態

氫原子系統的電子穩定態能量

)()()(),,( mlmnlnlm rRr

im

m e21)(

12 ime

integerm

這些標記粒子狀態的數多為整數或半整數，稱為量子數。

以極座標表示，波函數可分解為三個部分的乘積。

量子化條件

)()()(),,( mlmnlnlm rRr

量子化

的多項式cossin)( mlm

,.........2,1, mmml

integer positive ml

的多項式)( / rrerR lncrnl

..........3,2,1 llln

ln

才有解

才有解

)()()(),,( mlmnlnlm rRr

2

eV6.13n

E

能量只與 n 有關

每一個能階，包含多個能量相等的能態！

)()()(),,( mlmnlnlm rRr

ml

ln

integerm

integern

1.....3,2,1,0 nl

llllm ,1.....0,....1,

Principal Quantum Number

Orbital Quantum Number

Orbital Magnetic Quantum Number

決定能量

由量子數 n 出發來分類較容易；能量只與 n 有關

週期表

基態 Ground State

0

30

110,0,1 a

r

s ea

mln

nm053.02

2

0 ekm

aee

Radial probability density

drrdrrP 22 4)(

n=2, l=0

有 1 個節點

1,0,1,2 mln

s pz

py px

44,45 ln

量子數的物理意義

22 )1( llL mLz

yzx pzpyL ˆˆˆˆˆ

zxy pxpzL ˆˆˆˆˆ

xyz pypxL ˆˆˆˆˆ ),,( rnlm 為角動量大小及 z 方向角動量的本徵態

本徴值2222 ˆˆˆˆzyx LLLL

nlmnlm llL 22 )1(ˆ nlmnlmz mL ˆ

氫原子核對電子不作力矩，故電子的角動量守恒能量的本徵態也會是角動量的本徵態不過！…… .