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Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Verteilungskonvergenz Zentraler Grenzwertsatz Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen Patrick Dress 6. Juli 2010 Patrick Dress Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

Schwache Konvergenz vonWahrscheinlichkeitsmaßen

Patrick Dress

6. Juli 2010

Patrick Dress Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

Inhaltsverzeichnis

1 Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenDefinition

2 VerteilungskonvergenzWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

3 Zentraler GrenzwertsatzLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Patrick Dress Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Einleitung

Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen)

Sind Pn, n ∈ N und P Wahrscheinlichkeitsmaße uber (Rk ,Bk), soware es naheliegend, eine Verteilungskonvergenz Pn −→ P durch dieEigenschaft

limn→∞

Pn(B) = P(B) ∀B ∈ Bk .

zu definieren.

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Einleitung

Beispiel (Dirac-Verteilung)

Gelte fur n ∈ N Pn(B) = 11B(1/n), B ∈ B1.

1 Dann gilt Pn −→ δ0 auf dem Punkt 0.

2 Es gilt aber NICHT

Pn(B) −→ δ0(B) ∀B ∈ B1

3 beispielsweise erhalt man fur B = (−∞; 0]:

Pn((−∞; 0]) = 0 ∀n ∈ N, aber δ0((−∞; 0]) = 1

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Einleitung

Beispiel (Dirac-Verteilung)

Gelte fur n ∈ N Pn(B) = 11B(1/n), B ∈ B1.

1 Dann gilt Pn −→ δ0 auf dem Punkt 0.

2 Es gilt aber NICHT

Pn(B) −→ δ0(B) ∀B ∈ B1

3 beispielsweise erhalt man fur B = (−∞; 0]:

Pn((−∞; 0]) = 0 ∀n ∈ N, aber δ0((−∞; 0]) = 1

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Einleitung

Beispiel (Dirac-Verteilung)

Gelte fur n ∈ N Pn(B) = 11B(1/n), B ∈ B1.

1 Dann gilt Pn −→ δ0 auf dem Punkt 0.

2 Es gilt aber NICHT

Pn(B) −→ δ0(B) ∀B ∈ B1

3 beispielsweise erhalt man fur B = (−∞; 0]:

Pn((−∞; 0]) = 0 ∀n ∈ N, aber δ0((−∞; 0]) = 1

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Definition der schwachen Konvergenz vonWahrscheinlichkeitsmaßen

Definition (Schwache Konvergenz (2.Definition))

Es seien P,Pn, n∈ N, Wahrscheinlichkeitsmaße uber (Rk ,Bk) mitVerteilungsfunktionen F ,Fn, n ∈ N. F heißt Limesverteilung derFolge Fn, n ∈ N, wenn gilt

limn→∞

Fn(x) = F (x) ∀x ∈ C (F ).

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungDefinition

Definition der schwachen Konvergenz vonWahrscheinlichkeitsmaßen

Definition (Schwache Konvergenz (1.Definition))

Eine Folge Pn, n ∈ N von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Rk ,Bk)konvergiert schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf(Rk ,Bk), kurz Pn

w−→ P, wenn

limn→∞

∫f dPn =

∫f dP ∀f ∈ C (Rk).

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Definition

Definition (Verteilungskonvergenz)

Es seien X , Xn, n ∈ N, k-dimensionale Zufallsvektoren mit denVerteilungsfunktionen FX , FXn . Die Xn heißen

verteilungskonvergent gegen X (kurz: Xnd−→ X ), wenn gilt

PXn → PX .

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Beispiel

Beispiel (Poissonscher Grenzwertsatz)

Es gelte Xn ∼ Bin(n, pn) mit pn = a/n + o(1/n), a > 0, d.h.,

limn→∞

npn = a und

X0 ∼ Poi(a).

Dann sind die Xn verteilungskonvergent gegen X0, d.h.,

Bin(n, pn) −→ Poi(a)

.

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Konvergenzarten

Es seien X, X1,X2, ... : Ω→ R beliebige Zufallsvariablen. Danngilt:

Xnfs−→ X ⇐⇒ P(ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X (ω)) = 1

XnP−→ X ⇐⇒ lim

n→∞P(|Xn − X | > ε) = 0

XnLr−→ X ⇐⇒ lim

n→∞E |Xn − X |r = 0 r ≥ 1

Xnd−→ X ⇐⇒ lim

n→∞FXn(x) = FX (x) ∀x ∈ C (FX )

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Konvergenzarten

Es seien X, X1,X2, ... : Ω→ R beliebige Zufallsvariablen. Danngilt:

Xnfs−→ X ⇐⇒ P(ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X (ω)) = 1

XnP−→ X ⇐⇒ lim

n→∞P(|Xn − X | > ε) = 0

XnLr−→ X ⇐⇒ lim

n→∞E |Xn − X |r = 0 r ≥ 1

Xnd−→ X ⇐⇒ lim

n→∞FXn(x) = FX (x) ∀x ∈ C (FX )

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Konvergenzarten

Es seien X, X1,X2, ... : Ω→ R beliebige Zufallsvariablen. Danngilt:

Xnfs−→ X ⇐⇒ P(ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X (ω)) = 1

XnP−→ X ⇐⇒ lim

n→∞P(|Xn − X | > ε) = 0

XnLr−→ X ⇐⇒ lim

n→∞E |Xn − X |r = 0 r ≥ 1

Xnd−→ X ⇐⇒ lim

n→∞FXn(x) = FX (x) ∀x ∈ C (FX )

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Konvergenzarten

Es seien X, X1,X2, ... : Ω→ R beliebige Zufallsvariablen. Danngilt:

Xnfs−→ X ⇐⇒ P(ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X (ω)) = 1

XnP−→ X ⇐⇒ lim

n→∞P(|Xn − X | > ε) = 0

XnLr−→ X ⇐⇒ lim

n→∞E |Xn − X |r = 0 r ≥ 1

Xnd−→ X ⇐⇒ lim

n→∞FXn(x) = FX (x) ∀x ∈ C (FX )

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Zusammenhang der Konvergenzarten

Ls−→ ⇒s>r≥1

Lr−→

⇓fs−→ ⇒ P−−→ ⇒ d−−→

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Wiederholung

Satz (Zusammenhang der Konvergenzarten)

Aus XnP−→ X folgt Xn

d−→ X .Ist X ≡ const f.s., so gilt auch die Umkehrung.

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Beispiel

Beispiel (Gegenbeispiel)

Es seien (Xn)n>1 iid Zufallsvariablen mit Xn ∼ Bin(1, 1/2), n ∈ N.Dann gilt Xn

d−→ X1, aber

P(|Xn − X1| > ε) = P(Xn 6= X1)

= 1/2 ∀ε ∈ (0, 1] und ∀n > 2

nicht die stochastische Konvergenz.

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Beweis der Hinrichtung

Beweis der Hinrichtung.

Aus XnP−→ X folgt f (Xn)

P−→ f (X ) ∀f ∈ C (R).Dann gilt mit der ||.|| Supremumsnorm auf C (R):

|E (f (Xn)− E (f (X ))| 6 E |f (Xn)− f (X )|6 ε+ 2||f ||P(|f (Xn)− f (X )| > ε) ∀ε > 0

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Definition der Straffheit von Maßen

Definition (Straffheit von Maßen)

Eine Familie (Pi )i∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Rk ,Bk)heißt straff oder auch masseerhaltend, wenn fur jedes ε > 0 einKompaktum K ⊂ Rk existiert mit

supi∈I

Pi (K c) < ε

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit

Definition (Gleichgradige Integrierbarkeit)

Eine Familie (Xi )i∈I ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenndie durch

Qi (B) =

∫B|x |PXi (dx),B ∈ B

definierte Maßfamilie straff ist.

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Satz von Slutsky

Satz (von Slutsky)

Aus Xnd−→ X und Yn

P−→ c folgt

f (Xn,Yn)d−→ f (X , c) ∀ messbaren Funktionen f : R2 → R

f : R× (c − η, c + η) ⊂ C (f )

fur ein η > 0.

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Satz von Slutsky

Insbesondere gilt:

Xn + Ynd−→ X + c

XnYnd−→ XY

Xn/Ynd−→ X/c : c 6= 0, Yn 6= 0 f .s. ∀n > 1

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Portemanteau Theorem

Theorem (Portemanteau Theorem)

Fur Wahrscheinlichkeitsmaße P,P1,P2, . . . auf (Rk ,Bk) giltaquivalent:

1 Pnw−→ P

2 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim infn→∞

Pn(A) 6 P(A)

∀A ⊂ Rk offen

3 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim supn→∞

Pn(F ) > P(F )

∀F ⊂ Rk geschlossen

4 limn→∞

Pn(C ) = P(C ) ∀ P-stetige Mengen C ∈ Bk

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Portemanteau Theorem

Theorem (Portemanteau Theorem)

Fur Wahrscheinlichkeitsmaße P,P1,P2, . . . auf (Rk ,Bk) giltaquivalent:

1 Pnw−→ P

2 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim infn→∞

Pn(A) 6 P(A)

∀A ⊂ Rk offen

3 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim supn→∞

Pn(F ) > P(F )

∀F ⊂ Rk geschlossen

4 limn→∞

Pn(C ) = P(C ) ∀ P-stetige Mengen C ∈ Bk

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Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Portemanteau Theorem

Theorem (Portemanteau Theorem)

Fur Wahrscheinlichkeitsmaße P,P1,P2, . . . auf (Rk ,Bk) giltaquivalent:

1 Pnw−→ P

2 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim infn→∞

Pn(A) 6 P(A)

∀A ⊂ Rk offen

3 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim supn→∞

Pn(F ) > P(F )

∀F ⊂ Rk geschlossen

4 limn→∞

Pn(C ) = P(C ) ∀ P-stetige Mengen C ∈ Bk

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Portemanteau Theorem

Theorem (Portemanteau Theorem)

Fur Wahrscheinlichkeitsmaße P,P1,P2, . . . auf (Rk ,Bk) giltaquivalent:

1 Pnw−→ P

2 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim infn→∞

Pn(A) 6 P(A)

∀A ⊂ Rk offen

3 limn→∞

Pn(Rk) = P(Rk) und lim supn→∞

Pn(F ) > P(F )

∀F ⊂ Rk geschlossen

4 limn→∞

Pn(C ) = P(C ) ∀ P-stetige Mengen C ∈ Bk

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Beweisidee zum Portemanteau Theorem

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungWiederholungStraffheit von Maßen und Gleichgradige IntegrierbarkeitSatz von SlutskyPortemanteau Theorem

Weitere Satze zur Konvergenz in Verteilung

Satz

Es seien zwei Folgen Xn,Yn : Ω→ Rk und eine Metrik p gegeben.Dann gilt:

Xnd−→ X und p(Xn,Yn)

P−→ 0⇒ Ynd−→ X .

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Motivation

Einer der fundamentalsten Aussagen derWahrscheinlichkeitstheorie

Kernaussage: Die Summe von iid verteilten Zufallsvariablenkonvergiert mit wachsendem Umfang gegen dieStandardnormalverteilung und ist unabhangig von derkonkreten Verteilung der Zufallsvariablen.

Frage: Lasst sich die Bedingung der identischen Verteilung derZufallsvariablen auch abschwachen?

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Definition

Definition (Lindeberg-Bedingung)

Xn, n ∈ N, seien unabhangige Zufallsvariablen mit den induziertenWahrscheinlichkeitsmaßen Pn = PXn . Die Folge (Xn)n∈N erfullt dieLindeberg-Bedingung, wenn fur jedes δ > 0 gilt

limn→∞

1

τ2n

n∑j=1

∫|x−µj |>δτn

(x − µj)2 dPj(x) = 0

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Interpretation der Lindeberg-Bedingung I

Sei

Ai :=

|Xi − µi |

σn> ε

Dann gilt

P(Ai ) =

∫|Xi−µi |>σnε

dFXi(x)

≤ 1

ε2σ2n

∫|Xi−µi |>σnε

(x − µi )2 dFXi(x)

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Interpretation der Lindeberg-Bedingung II

P

(sup|Xi − µi |

σn> ε

)= P

(n⋃

i=1

Ai

)

≤n∑

i=1

P(Ai )

≤ 1

ε2σ2n

n∑i=1

∫|Xi−µi |>σnε

(x − µi )2 dFXi(x)

n→∞−−−→ 0

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

Satz (Zentraler Grenzwertsatz)

(Xn)n∈N sei eine Folge unabhangiger Zufallsvarablen mit σ2n <∞,die der Lindeberg-Bedingung genugt. Dann konvergiert die Folgeder Verteilungen der standardisierten Summen

Sn =1

τn

n∑j=1

(Xj − µj)

in Verteilung gegen die N(0,1)-Verteilung: PSn d−→ N(0, 1)

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Schwache Konvergenz von WahrscheinlichkeitsmaßenVerteilungskonvergenz

Zentraler Grenzwertsatz

EinleitungLindeberg-BedingungInterpretationZentraler Grenzwertsatz

Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!

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