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DIFFRACTION DES RX
Science des MatériauxCRISTALLOGRAPHIE
DEFAUTS CRISTALLINSSOLIDIFICATION - ALLIAGESTRAITEMENTS THERMIQUES
CRISTALLOGRAPHIELa structure réticulaire des cristaux :Rangée - Plan - Réseaux direct et réciproque
Les sept systèmes cristallins et les 14 réseaux de Bravais.Les principales structures cristallines des métaux : CC - CFC - HC
GénéralitésA l’échelle macro-structurale, les matériaux peuvent être considérés comme homogènes et isotropes.
Des « défauts » peuvent venir perturber ces structures cristallines :Impuretés, Lacunes, Dislocations, …
Ce n’est plus vrai à l’échelle micro-structurale où nous constatons l’existence de grains ou monocristaux. Les matériaux les plus usuels sont donc des matériaux polycristallins.Chaque grain monocristallin est alors constitué d’un empilement tridimensionnel et régulierd’atomes.
GénéralitésLe milieu cristallin est un état solide qui est ramené sur lui-même par translation suivant trois vecteurs de base non coplanaires.
a2
a1
a3 T = n1a1 + n2a2 + n3a3
La translation n’est pas la seule transformation qui permet de ramener le cristal sur lui-même : rotations et/ou symétries.
Structure réticulaire des cristauxPour décrire la structure d’un cristal, on commence par décrire le réseau ou support de la structure cristalline.
Le réseau est caractérisé par trois vecteurs de base non coplanaires. Le parallélépipède construit sur les trois vecteurs de base est appelé maille origine. Les autres mailles, obtenues par translations quelconques, sont identiques à la maille origine.Les sommets des mailles sont appelés les nœuds du réseau.Le contenu d’une maille est appelé le motif cristallin. a2
a1
a3 T = n1a1 + n2a2 + n3a3
a1
b1
a2
b2
Choix de la maille primitive
a1a2
a3 b2b1
b3Maille Multiplea1,a2,a3
Mailleprimitiveb1,b2,b3
Structure Cubique Centrée : C. C.
Cubique Faces Centrées : C. F. C.
b1
b3b2 a2
a1
a3
Maille Multiplea1,a2,a3
Mailleprimitiveb1,b2,b3
Les rangées réticulaires du réseau
a2a1
a3
[ 1 1 0 ][ 1 0 0 ]
[ 1 1 1 ]
Originequelconque
Représenter :
[ 1 0 0 ][ 1 1 0 ][ 1 1 1 ]
Les rangées réticulaires du réseau
a1
a2
a3
[ 1 1 0 ][ 0 1 1 ][ 1 0 1 ]
Représenter :
[ 1 1 0 ][ 0 1 1 ][ 1 0 1 ]
Les rangées réticulaires du réseauIndexer les grandes diagonales du cube
Les rangées réticulaires du réseauIndexer les grandes diagonales du cube
[ -1 1 -1 ]
[ 1 -1 -1 ]
[ 1 1 1 ]
[ 1 1 -1 ]
+/-
+/-
+/-
+/-
< 1 1 1 >
même paramètre de rangée ( | r | )
Les plans réticulaires du réseau
M1
M2
M3
a1a2
a3
OM1 = n1.a1
OM2 = n2.a2
OM3 = n3.a3
( h k l )
h =
k =
l = nnn 21×
nnn 32×
nnn 31×
n = PGCD ( n1n2 , n2n3 , n1n3 )
h’ =
k’ =
l’ = 31n
11n
21n
Les plans réticulaires du réseau
OM1 = 3.a1
OM2 = 2.a2
OM3 = 6.a3
Plans ( 2 3 1)
M2
M1
M3
a2a1
a3
Les plans réticulaires du réseau
Indexer les faces visiblesdu cube
Les plans réticulaires du réseau
( 1 0 0 )
( 0 1 0 )
( 0 0 1 )
Indexer les faces visiblesdu cube
+/-
+/-
+/-{ 1 0 0 }
même distance entre plans ( dhkl : distance interréticulaire )
[ 1 -1 -1 ]
[ -2 1 -2 ]
( 1 -1 -1 )
( -2 1 -2 )
Exercices
Représenter :
a2
a1
a3
[ 1 -1 -1 ]
[ -2 1 -2 ]
( 1 -1 -1 )
( -2 1 -2 )
Remarque : [ h k l ] ⊥ ( h k l ) pour le système cubique
ExercicesMontrez que : [ 1 1 0 ] ⊂ ( 1-1 1 )
[ 1 1 0 ]
( 1 -1 1 )
Par le dessin
Par le calcul
Réseau réciproque / réseau directLe réseau réciproque permet, de façon simple, la détermination des distances interréticulaires.
Définition : Soient aj les vecteurs de base du réseau direct, le réseau réciproqueassocié à ce réseau direct est défini à partir d’une origine arbitraire et de trois vecteurs de base notés ai* tels que
ai*. aj = δij (1 si i = j et 0 si i ≠ j).
Propriétés :A toute famille de plans réticulaires h,k,l , de distance inter-réticulaire dhkl , correspond un vecteur du réseau réciproque r*hkl
- perpendiculaire aux plans h,k,l ,- de module 1 / dhkl .
Différents types de réseau
Motif : 1 atome
1818 =×Réseau Primitif
Nombre d’atomes par maille :
Réseau P
Nombre d’atomes par maille :
22128
18 =×+×
(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w)
Réseau C (ou A ou B)
Réseau à une base centrée
Position des deux atomes du motif :
Motif : 2 atomes
Réseau I
Nombre d’atomes par maille :
21818 =+×
Réseau cubique centré
Motif : 2 atomes
Position des deux atomes du motif :
(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w+1/2)
Réseau F
Nombre d’atomes par maille :
42168
18 =×+×
Réseau cubique faces centrées
Motif : 4 atomes
Position des quatre atomes du motif :
(u,v,w), (u+1/2,v+1/2,w)
(u+1/2,v,w+1/2), (u,v+1/2,w+1/2)
Les 7 Systèmes CristallinsGéométrie et Symétries
aγ
α βb
c
TRICLINIQUE
1 centre de symétriea ≠ b ≠ c
α ≠ β ≠ γ
Réseau P
S
a
b
c
γα β
MONOCLINIQUE
1 axe de symétrie d’ordre 2
1 miroir
1 centre de symétrie Sa ≠ b ≠ c
α = β = 90° ≠ γ
Réseaux P et C
2/m
a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90°
ORTHORHOMBIQUE
3 axes de symétrie d’ordre 2
3 miroirs
1 centre de symétrie S
S
Réseaux P, C, I et F
2/m 2/m 2/m
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°
1 axe d’ordre 4
4 axes d’ordre 2
5 miroirs
1 centre de symétrie
QUADRATIQUE
Réseaux P et I
4/m 2/m 2/m
X3 axes d’ordres 4
4 axes d’ordre 3
6 axes d’ordre 2
9 miroirs
1 centre de symétrie
CUBIQUE
a = b = cα = β = γ = 90°
X
Réseaux P, I et F
4/m 3 2/m
1 axe d’ordre 6
6 axes d’ordre 2
7 miroirs
HEXAGONAL
a = b ≠ cα= β = 90°
γ = 120°
c
ab
1 centre de symétrie
X XRéseau P
6/m 2/m 2/m
a = b = cα = β = γ≠ 90°
1 axe d’ordre 3
3 axes d’ordre 2
3 miroirs
RHOMBOEDRIQUEX
X
1 centre de symétrie
Réseau P
3 2/m 2/m
Type A B A B A B A
Empilement
Ex : structure Hexagonale Compacte
Empilement
Type A B C A B C A B C
ex : structure Cubique Faces Centrées
Principales structures cristallines
44C.F.C.
H.C.
22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
Plans denses
Calcul de la densité :
²1
²1
414 aa =××
²2
2²1)14
14( aa=
××+×
3²1
3²2
613
aa=
×××
C-C Parmi les plans ( 1 0 0 ), ( 1 1 1 ) et ( 1 1 0 ),
quel est le plan le plus dense ?
( 1 0 0 ) :
( 1 1 0 ) :
( 1 1 1 ) :
aa
a
Principales structures cristallines
44C.F.C.
H.C.
22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
( 1 1 0 )
Plans denses
²2
²1)14
14( aa =×+×
²2
2²1)2
12414( aa
=×
××+×
3²4
3²2)2
13613(
aa=
×××+×
Calcul de la densité :
C-F-C Parmi les plans ( 1 0 0 ), ( 1 1 0 ) et ( 1 1 1 ),
quel est le plan le plus dense ?
( 1 0 0 ) :
( 1 1 0 ) :
( 1 1 1 ) :
Principales structures cristallines
44C.F.C.
H.C.
( 1 1 0 )22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
( 1 1 1 )
Distances entre atomesC-C
2×= ad
23×= ad
d = a[ 1 0 0 ] :
[ 1 1 0 ] :
[ 1 1 1 ] :
Calcul de la distance entre atomes :
Parmi les directions [ 1 0 0 ], [ 1 1 0 ] et [ 1 1 1 ],
quelle est la plus dense ?
a
a
a
Principales structures cristallines
( 1 1 1 )44C.F.C.
H.C.
( 1 1 0 )22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
[ 1 1 1 ]
Distances entre atomes
22×= ad
3×= ad
C-F-C Parmi les directions [ 1 0 0 ], [ 1 1 1 ] et [ 1 1 0 ],
quelle est la plus dense ?
d = a
Calcul de la distance entre atomes :
[ 1 0 0 ] :
[ 1 1 0 ] :
[ 1 1 1 ] :
Principales structures cristallines
( 1 1 1 )44C.F.C.
H.C.
[ 1 1 1 ]( 1 1 0 )22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
[ 1 1 0 ]
Structure hexagonale compacte
Maille élémentaire :prisme droit à base losange
Maille multiple :maille triple à base hexagonale
a = b ≠ cα= β = 90°
γ = 120°
b a
c
Structure hexagonale compacte
Projection des atomes de B
A
B
A
a
b
Position des deux atomes du motif :
(u,v,w), (u+2/3,v+1/3,w+1/2)
Principales structures cristallines
[ 1 1 0 ]( 1 1 1 )44C.F.C.
[ 1 1 0 ]( 1 1 1 )22H.C.
[ 1 1 1 ]( 1 1 0 )22C.C.
Directions denses
Plans denses
Nbred’atomes par maille
motifstructure
Principales structures cristallines
Be, Cd, Mg, Zn, …
Fe γ, Ni,Cu, Al, Ag, Au, …
Fe α, Fe δ, Cr α, Ti β,Mo, Nb, V, W, …
Exemples
12
12
8
Coordinance
Z
0.74H.C.
0.74C.F.C.
0.68C.C.
CompacitéStructure
Sites interstitielsCes structures, bien que compactes (de part leur construction), ont un coefficient de remplissage (volume des sphères contenues dansla maille / volume de la maille) inférieur à 1.On constate en effet l’existence de trous ou vides, encore appelés cavités ou interstices.
Site octaédrique
métal
site octa.
Structure C-C
Sites octaédriques
Structure C-C
Site tétraédrique
métal
site tétra.
Structure C-C
Sites tétraédriques
Structure C-C
Site octaédrique
Structure C-F-C
métal
site octa.
Structure C-F-C
Sites octaédriques
métal
site tétra.
Structure C-F-C
Site tétraédrique
Structure C-F-C
Sites tétraédriques
Sites interstitiels
Dans ces différents sites peuvent venir se loger des atomes de plus petites tailles.⇒ mélanges, alliages / solutions solides d’insertion, phases.On distingue les solutions solides d’insertion précédemment évoquées (dures et fragiles) et les solutions solides de substitution (plus ductiles).
Ces structures, bien que compactes (de part leur construction), ont un coefficient de remplissage (volume des sphères contenues dansla maille / volume de la maille) inférieur à 1.On constate en effet l’existence de trous ou vides, encore appelés cavités ou interstices.
« Défauts » ponctuels
- Atomes étrangers interstitiels
Auto-interstitiel
Atome étranger interstitiel
Lacune
Atome étranger substitutionnel
- Atomes étrangers substitutionnels- Atomes auto-interstitiels- Lacunes
!!