Indledende forløb i vektorregning i NspireFrank Wonsyld og Kjeld Reese, Munkensdam Gymnasium

1. IndledningForløbet er tænkt som en introduktion til vektorer, hvor eleven ved at prøve sig frem dels får en fornemmelse for vektorer og dels indser de sammenhænge, der gælder for vektorer.Forudsætningerne for forløbet er, at eleverne har et vist kendskab til Nspire, men kun lidt kendskab til geometrisk brug af vinduet Grafer og Geometri.

2. En vektor - geometriskStart med at åbne et Grafer og Geometri vindueVælg Vis |Vis gitterVælg Punkter og linjer |Vektor.Klik i arbejdsområdet på punktet (0,0), så vektoren udgår fra dette punkt. Markøren skal vise skæringspunkt for at få vektoren til at udgå fra (0,0):

Træk nu i vektoren og klik på et gitterpunkt for at forankre vektoren i arbejdsområdet og for at kunne arbejde med pæne (halvtallige) koordinater. Markøren skal vise punkt på for at være koblet til gitteret.

Højreklik på pilens endepunkt (der skal vises en pegende hånd) og udvælg Koord og Lign i menuen.

En vektors koordinater defineres som endepunktets koordinater, når startpunktet er lig med (0,0). Vi har altså nu fået vektorens koordinater angivet.

Du kan nu tage fat i vektorens endepunkt og trække dette til et andet gitterpunkt. Gør dette, så vektoren får koordinaterne (4,3).

Afsæt punktet (-2,1) og angiv punktets koordinater. Tegn den samme vektor som før (dvs. den skal være parallel med og lige så lang som den forrige) nu med udgangspunkt i dette punkt. Angiv endepunktets koordinater. Prøv evt. at flytte vektoren ved at flytte begge punkter.

1

Opgave 1a. Hvilken sammenhæng er der mellem endepunkternes koordinater og vektorens koordinater?

2. Regning med vektorer - geometrisk

2a. Summen af to vektorerÅbn en ny side og åbn et Grafer og Geometri vindueIndret dette som før. Træk koordinatsystemet ned mod nederste venstre hjørne.

Tegn med udgangspunkt i (0,0) vektorerne a=(25) og b=(31).

Vi vil nu lægge de to vektorer sammen. Summen a+ b konstrueres ved, at vi først afsætter a og for enden af denne afsætter vi b. Summen a+ b er så lig med den vektor, der går fra starten a til spidsen af b.

Konstruktionen sker på følgende måde:

Afsæt (25) og (31). Vælg Transformation | Translation

Klik så først på vektoren (25) og derefter på vektoren (31). Herved afsættes b for enden af a.

Tryk Enter for at forankre vektoren.

Tegn nu en vektor fra (0,0) til et gitterpunkt i spidsen af den flyttede (31)-vektor. Dette er

vektor a+ b. Afsæt et punkt i endepunktet for vektoren. Det gøres ved at vælge Punkter og linjer | Punkt. Punktet anbringes på a+ b og flyttes, til det ikke kan komme længere. Marker

2

punktets koordinater. (Det kan være lettest at angive koordinaterne, før punktet rykkes ud for enden af vektoren)

Opgave 2a. Hvad er sammenhængen mellem vektorernes koordinater og summens koordinater?b. Træk i vektoren (3,1). Holder sammenhængen stadigvæk?

Opgave 3Opdel vinduet i to vinduer.I det andet vindue konstrueres b+ a, vektorerne skal være de samme i de to vinduer. (NB. Man kan kun flytte den frie vektor med musen, men ved at klikke på et punkt koordinater kan ændre i dem) a. Hvilken sammenhæng er der mellem a+ b og b+ a?

Opgave 4a. Hvad skal man forstå ved a+ b+c?

2b. Differensen mellem to vektorer

Vi vil nu konstruere differensen mellem to vektorer.

Indsæt en ny side

Afsæt vektorerne a=(24) og b=(11) . Tegn vektoren fra endepunktet af b til endepunktet af a. Dette er a−b.For at bestemme koordinaterne til a−b skal vektoren flyttes, så den får begyndelsespunkt (0,0). Det gøres således.Vælg Transformation | Symmetri klik på (0,0) og på vektor b. Nu spejles denne i punktet (0,0).

Flyt nu a−bved først at klikke på (−1−1) vektoren og derefter på a−b.

3

Sæt et punkt for enden af vektoren.

Opgave 5a. Hvilken sammenhæng er der mellem koordinaterne til a , b og a−b?b. Træk i a. Holder det stadigvæk?

Opgave 6Opdel vinduet i to dele. Konstruer i den nye del af vinduet differensen b−a .a. Hvad er sammenhængen mellem b−a og a−b?

2c. Et tal ganget med en vektor

Det næste, vi vil konstruere, er et tal ganget med en vektor.

Indsæt en ny side.

Afsæt vektoren a=(32) .

Tilknyt længden af vektoren til a ved at vælge Målinger | Længde og herefter klikke på vektor a.Vælg Handlinger | TekstSkriv tallet 2 i tekstboksenVælg Transformation | ForstørrelseKlik på (0,0), klik på tallet tekstboksen og klik til sidst på a. Nu tegnes vektoren 2 a. Indsæt et punkt for enden af vektor 2 a og angiv koordinaterne. Tilknyt længden til vektor 2 a. Prøv nu at dreje/trække i vektor a.

Opgave 7a. Hvad gælder der om koordinaterne for vektor 2 a i forhold til koordinaterne til vektor a?b. Beskriv geometrisk vektor 2 a i forhold til vektor a.

Ændr tallet til 3 og prøv igen.

4

Ændr tallet til -2.

Opgave 8a. Beskriv vektor t a mht. retning, længde og koordinater i forhold til vektor a.

Opgave 9a. Konstruer 2 a+3 a. Beskriv denne vektor.b. Konstruer hhv. 2( a+b) og 2 a+2 b. Sammenlign de to vektorer.c. Konstruer 2(3 a). Beskriv denne vektor.d. Prøv at generalisere disse regneregler.

2d. Tværvektoren til en vektorDet sidste, vi vil se på, er tværvektoren til en vektor.

Indsæt en ny side

Afsæt vektoren a=(32) .

Gå i menuen ind under Filer | Indstillinger og ændr til graderAfsæt et tekstfelt og skriv 90Vælg Transformation | RotationKlik på (0,0), klik på tekstfeltet og klik på vektor a . Den drejes nu 90 grader. Den fremkomne vektor kaldes for tværvektoren til vektor a og betegnes a. Indsæt et punkt med koordinater for enden af a. Prøv at ændre på vektor a.

Opgave 10a. Hvilken sammenhæng er der mellem koordinaterne til a og koordinaterne til a?b. Hvad betyder hhv. a+ b og a+b.c. Del vinduet i to og konstruer hhv. a+ b og a+b. Sammenlign de to vektorer.c. Konstruer i de to vinduer hhv. sa og s a. Sammenlign de to vektorer.

5

6

3. SkalarproduktetÅbn ny sideVælg GrafregnerVektorer kan indtastes ved hjælp af symbolet: Prøv at taste som nedenfor. Som gangetegn mellem tal og vektor benyttes ved indtastning *.

Indtast a=¿ (a1a2) og som b ¿(b1b2). Skalarproduktet af de to vektorer defineres som a ∙ b=a1 ∙b1+a2∙ b2. I Nspire beregnes det med dotP(a,b). Beregn a ∙ b

Opgave 11a. Beregn b ∙ a og sammenlign med a ∙ b

b. Indtast c=(c1c2). Beregn a ∙(b+c) og a ∙ b+ a∙ c . Kommenter

c. Beregn ¿ , t ¿) og a ∙ (t b ). Kommenter

Retningsvinklen for en vektor er vinklen fra x-aksen til vektoren i positiv omløbsretning. I Nspire bestemmes en vektors længde og retningsvinkel med toPolar. Den findes i Matrix og

vektorer | Vetorer under Omregn til Polær og det ser således ud Svaret er så for vektoren (2,3)

enten eller afhængigt af, om man har indstillet til eksakt eller tilnærmet.

7

Opgave 12

Lad a=(23) og b=(34). a. Bestem længderne og retningsvinklerne for a og b . Beregn vinklen v mellem a og b .b. Beregn a ∙ b og beregn |a|∙|b|∙cos (v). Sammenlign.

Opgave 13

Lad c=(−15 ) og d=(43). a. Benyt sammenhængen fra opgave 12 til at beregne vinklen mellem c og d . Længden af en vektor fås ved norm(a)

4. DeterminantIndsæt en ny side. Åbn både et Grafregnervindue og et Grafer og Geometrivindue.Determinanten til et vektorpar defineres som skalarproduktet mellem tværvektoren til den ene vektor og den anden vektor det (a , b )=a ∙ b. I Nspire findes ikke determinant til et vektorpar, men determinant til en matrix. I matricen angives så først koordinaterne til vektor a og derefter koordinaterne til vektor b.

Ovenfor er også beregnet |a|∙|b|∙sin (v ) , hvor v er vinklen fra a til b. Dette produkt er lig med

det (a , b ).

I Grafer og Geometrivinduet afsættes a=(23) og b=(45). Afmærk punkterne i det

parallelogram, der er udspændt af de to vektorer. Dan et parallelogram og mål arealet, det skulle gerne være lig med den numeriske værdi af determinanten.

8

5. Projektion af vektor på vektorIndsæt en ny side og åbn et Grafer og Geometri vindue. Indret dette som før.

Tegn med udgangspunkt i (0,0) vektorerne a=(23) og b=(1 ).

Vi vil nu projicere vektor a på b.

Først tegnes en linje l gennem (0,0) med b som retningsvektor. Vælg Punkter og Linjer |Linje og klik på punkterne (0,0) og (5,1). Herved tegnes linjen. Højreklik på linjen og vælg Koord og Lign, så fås linjens ligning. Skriv l i en tekstboks nær linjen.

Vælg Konstruktion│Vinkelret. Udpeg først a ' sendepunkt (2,3) og dernæst b. Herved tegnes en linje, som går gennem a ' sendepunkt og som står vinkelret på b. Vi vil nu finde skæringspunktet mellem denne linje og linjen l: Vælg Punkter og linjer | Skæringspunkt og peg efter tur på de to linjer. Herved markeres skæringspunktet. Vælg Koord og Lign, så skæringspunktets koordinater fremgår. Vektoren fra (0,0) til skæringspunktet kaldes projektionen af a på b. (Bemærk: Det hedder en projektion og at projicere).

9

Tegn denne vektor ved at vælge Punkter og linjer | Vektor og udpege begyndelsespunkt og endepunkt.

Grib nu fat i a ' sendepunkt og træk det rundt i manegen. Bemærk, hvad der sker med projektionsvektoren. Denne kan altså både være ensrettet med b, modsat rettet b eller 0. Hvornår bliver den 0?

Formlen for projektionen af a på b er følgende: ab=a ∙b│b│2

b, idet projektionen af a på b kaldes

ab.

10

Åbnes et Grafregnervindue kan beregningen af ab se således ud:

Opgave 14Udregn ved hjælp af formlen projektionerne af a på b når

1) a=(24) og b=(−16 ).

2) a=(63) og b=( 2−4).

3) a=(31) og b=(62).Kontrollér resultaterne geometrisk i vinduet Grafer og Geometri.

11

6. Projektion af punkt på linjeIndsæt en ny side og åbn et Grafer og Geometri vindue. Indret dette som før.Vi vil nu projicere punktet med koordinaterne (1,3) på linjen med ligningen y = ½x - 1.Indtegn punktet i koordinatsystemet. Få også vist punktets koordinater.Linjen tegnes ved at gå ned i indtastningslinjen og skrive f1(x) = 0.5x -1. Tast enter.Linjen opfattes imidlertid ikke som et geometrisk objekt endnu men kun som graf for en funktion.For at råde bod på dette vælges to punkter på linjen: Vælg Punkter og linjer | Punkt på og udpeg to punkter på linjen. Vælg Punkter og linjer | Linje og udpeg de to punkter, så er linjen fastlagt.Hvis ikke man rammer ”pæne” punkter, kan der dobbeltklikkes på koordinaterne enkeltvis, og koordinaterne kan så skrives som ønsket.

Vælg Konstruktion | Vinkelret og udpeg først punktet (1,3) og dernæst linjen. Herved tegnes en linje gennem punktet vinkelret på linjen.Vælg Punkter og linjer | Skæringspunkt og peg efter tur på de to linjer. Så fås skæringspunktet, som er punktets projektion på linjen. Få også vist koordinaterne til projektionspunktet.

12

Vi vil nu regne os frem til projektionspunktet ved hjælp af vektorer. Vi indfører lige følgende betegnelser: O=(0,0), P=(1,3), A=(-2,-2), B=(6,2) og Pl er projektionspunktet.

Bemærk, at A Pl er projektionen af AP på AB.Og at O P l=OA+ A P l ifølge indskudsreglen.

13

Åbn et Grafregner vindue. Beregningerne kan da se således ud:

Idet O P l=(2.40.2) fås altså, at projektionspunktet Pl=(2.4,0.2).

Opgave 15Find projektionen af P på l, når

1) P=(-1,7) og l er givet ved ligningen y = 3x - 4.

2) P= (0,0) og l er givet ved ligningen y = x + 4.

3) P=(2,-3) og l er givet ved ligningen 2x + 3y – 4 = 0.

14

7. Afstand fra punkt til linjeVi vælger igen som eksempel punktet (1,3) og linjen med ligningen y = 0,5x - 1.Som i afsnit 6 indtegnes punktet og linjen og projektionen af punktet på linjen findes.Vælg Målinger | Længde og udpeg punktet samt projektionspunktet. Så fremkommer afstanden mellem de to punkter, som er lig med afstanden fra punktet til linjen. u står for den valgte enhed (unit).

Vi vil nu regne os frem til afstanden ved hjælp af vektorer. Som i afsnit 6 indføres P=(1,3) og

A=(-2,-2). Endvidere vælges en retningsvektor r for linien, på figuren er r=( 10.5) indtegnet

(kaldet r på figuren). Også r ’s tværvektor ner indtegnet (n på figuren), denne er da en normalvektor til linjen.

Bemærk nu, at AD , som er lig med AP’s projektion på n, opfylder, at |AD|er lig med den søgte afstand fra P til linjen.

15

16

Åbn et Grafregner vindue. Beregningerne kan da se således ud:

Generelt gælder, at hvis P=(x1,y1) og linjen l er givet ved ligningen ax + by +c = 0, så fås afstanden fra P til l ved formlen

Dist(P,l) = |ax1+b y1+c|

√a2+b2.

Denne formel bevises som ovenfor ved at vælge et punkt A på linjen og så projicere vektoren

AP på normalvektoren n med koordinaterne(ab). Det benyttes endvidere, at hvis A har

koordinaterne (x2,y2), så gælder at ax2 + by2 + c = 0.

Opgave 16Find afstandene fra punkterne (0,0), (1,-3) og (4,5) til linjen med ligningen y = 2x - 4.

Opgave 17Bevis ovenstående formel for Dist(P,l).

17