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Mtodos Estadsticos para la Toma de Decisiones pg. 1

Mdulo II

Probabilidad y Modelo de Probabilidades Para la Toma de Decisiones


ndice

Mdulo II: Probabilidad y Modelo de Probabilidades para la Toma de Decisiones

I. Probabilidad de un Evento y Propiedades Importantes

3

II. Probabilidad Condicional y Regla de la Multiplicacin ....

7

III. Variable Aleatoria ......

10

IV. Distribuciones de Probabilidad. .. 11


I. PROBABILIDAD DE UN EVENTO Y PROPIEDADES IMPORTANTES

CONCEPTOS BSICOS

Experimento aleatorio

Un experimento es aleatorio cuando sus resultados no pueden predecirse con exactitud antes de

realizar el experimento.

Ejemplo:

a) lanzamiento de una moneda

b) extraccin de una carta de una baraja de 52 cartas

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadstico. El espacio muestral

suele denotarse por la letra S o . Los elementos del espacio muestral, se denominan puntos

muestrales.

Ejemplo:

1) Sea el experimento de verificar el estado de un transistor (0=apagado y 1=prendido), el espacio

muestral es:

= {0 , 1}

2) Si se observa el tiempo de vida de un artefacto elctrico, el espacio muestral es:

= { / }

Evento o Suceso

Se denomina evento a cualquier subconjunto del espacio muestral (S).

Todo subconjunto es un evento, en particular S mismo es un evento, llamado suceso seguro y el

conjunto vaco , tambin es un evento, llamado suceso imposible .

Ejemplo:

A = {obtener un nmero impar al lanzar un dado}

A = {1,3,5}

Como los eventos son subconjuntos de S, entonces es posible aplicar la teora de conjuntos para

obtener nuevos eventos.

A B es un evento, y A B ocurre slo ocurre A o slo ocurre B u ocurren A y B a la vez.

A B es un evento, y A B ocurre ocurre A y ocurre B a la vez.

Ac es un evento, y Ac ocurre no ocurre A.


ENFOQUES DE PROBABILIDAD

A pesar de la difundida aplicacin de los principios de la probabilidad, existen slo tres formas

generalmente para enfocar: (1) el modelo de frecuencia relativa (a posteriori), (2) el modelo subjetivo y

(3) el modelo clsico (o a priori)

Modelo de frecuencia relativa

El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empricamente, registra la

frecuencia con que ha ocurrido algn evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento

ocurra nuevamente con base en estos datos histricos. La probabilidad de un evento con base en el

modelo de frecuencia relativa se determina mediante:

() =

Ejemplo:

Asumiendo que durante el ao anterior hubo 50 nacimientos en un hospital local, de los cuales 32 de

los recin nacidos eran nias. El modelo de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el

siguiente nacimiento (o un nacimiento seleccionado aleatoriamente) sea una nia es:

() =

=

32

50

Ejemplo:

Un importador de cristal irlands de Nueva York recibe envos de cajas de tres artculos. Los datos para

las ltimas 100 cajas indicaron el nmero de artculos daados que haba en cada caja. Por ejemplo

mostraba que en 40 de las cajas ningn artculo se haba daado mientras que en 12 de las cajas todos

(los tres) artculos se haban roto.

Resultado (Ei) (nmero de defectos)

Nmero de cajas

P(Ei)

0 40 40/100=0.4

1 27 27/100=0.27

2 21 0.21

3 12 0.12

100 1

En el pasado 21 de las 100 cajas totales contenan exactamente dos artculos daados. Entonces el

modelo de frecuencia relativa asignara una probabilidad de que dos artculos en cualquier caja dada

estuvieran daados as P(2) = 21/100 = 0.21. La probabilidad para cada resultado individual se

muestra en la ltima columna, la cual suma 1.


Un problema comn con el modelo de frecuencia relativa resulta cuando se hacen estimaciones con

un nmero insuficiente de observaciones. Por ejemplo, se asume que en los dos vuelos de una

aerolnea en los que se hicieron registros el ao pasado estuvieron retrasados al llegar a sus destinos.

Por tanto, se concluye que el vuelo que se abordar el prximo mes de la misma aerolnea, tambin

estar retrasado. Aunque tales inferencias son comunes, no existen suficientes datos como para sacar

tal conclusin y se deben evitar las decisiones basadas en tales inferencias.

Modelo de subjetivo

En muchos casos los datos pasados no se encuentran disponibles. Por tanto, no es posible calcular la

probabilidad a partir del desempeo anterior. La nica alternativa es estimar la probabilidad con base

en nuestro mejor criterio. El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algn evento con

base en la mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas una conjetura hecha

sobre cierta base. Un modelo subjetivo se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento

que nunca ha ocurrido.

Por ejemplo:

La probabilidad de que una mujer sea elegida como presidente de los Estados Unidos. Debido a que

no hay datos sobre los cuales confiar, se deben analizar tos opiniones y creencias para obtener una

estimacin subjetiva.

Modelo clsico

De los tres mtodos para medir la probabilidad, el modelo clsico es el que se relaciona con mayor

frecuencia con las apuestas y juegos de azar. La probabilidad clsica de un evento E se determina

mediante:

() =

Por ejemplo:

Se puede estar consciente de que la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una

moneda es la mitad.

() =

=

1

2

Existe slo una forma en que puede ocurrir el evento (se obtiene una cara), y existen dos posibles

resultados (una cara y un sello).

De igual forma, la probabilidad de sacar un 3 con un dado de seis caras es:

(3) =

=

1

6


Existe slo una forma en que puede ocurrir el evento (se saca un 3), y seis posibles resultados.

La probabilidad clsica implica la determinacin de la probabilidad de algn evento a priori (ante del

hecho).

Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se puede determinar que la probabilidad

de sacar un as es:

() =

=

4

52

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento es una medida

por valores comprendidos entre 0 y 1.

Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asignada estar ms prxima

a 1. La probabilidad de certeza es 1. La probabilidad de una imposibilidad es 0. Esto se podra expresar

as:

P (evento cierto) = 1

P (evento imposible) = 0

Por tanto:

0 () 1

De donde Ei es algn evento.

Axiomas de Probabilidad

Sea S un espacio muestral y sean A y B dos eventos cualesquiera de este:

Axioma 1: () 0

Axioma 2: () = 1

Axioma 3: Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, ( ) = , entonces:

( ) = () + ()

En general:

( =1 ) = ()

=1 , si Ai Aj = ,

Propiedades de Probabilidad

De estos tres axiomas fundamentales es posible determinar algunas propiedades y consecuencias:

() = 0

() = 1 ()


Sean los eventos A y B, tales que A B, entonces: () ()

Regla de la Adicin

Sean los eventos A y B, entonces:

( ) = () + () ( )

Regla de la Adicin generalizada

Si , = 1,2, , ; entonces:

(

=1

) = () ( ) + ( ) ( )

=1


( ) =( )

() , () > 0

Por otra parte, la probabilidad de B dado A, denotado por P(B/A), definido por:

( ) =( )

() , () > 0

REGLA DE LA MULTIPLICACIN

Regla de multiplicacin (de eventos dependientes)

Sean A, B

( ) = ()(/) , () > 0

( ) = ()(/), () > 0

Regla de multiplicacin de eventos independientes

Sean A, B

Diremos que A es independiente de B ( ) = ()

Diremos que B es independiente de A ( ) = ()

Entonces:

( ) = ()()

En general: 1, 2, , son eventos independientes

(

=1

) = (1) (2) (3) ()

Ejemplo:

Considere el caso de las promociones de los agentes de polica de una determinada ciudad. La fuerza

policiaca de una determinada consta de 1200 agentes, 960 hombres y 240 mujeres. De stos, en los

ltimos dos aos, fueron promovidos 340. A continuacin se presenta la siguiente tabla:

Hombre (H) Mujer (M) Total

Promovido (S) 288 36 324

No promovido (N) 672 204 876

Total 960 240 1200 a. Realice la tabla de probabilidad correspondiente.

b. De la tabla de probabilidad hallar: (), (), ( ), ( )

c. Cul es la probabilidad que un agente de la polica sea promovido dado que es hombre?

d. Cul es la probabilidad que un agente de la polica sea promovido dado que es mujer?


Solucin:

Sean:

H: el evento que un agente de polica sea hombre

M: el evento que un agente de polica sea hombre

S: el evento que un agente de polica sea promovido

N: el evento que un agente de polica no sea promovido

a. Realice la tabla de probabilidad correspondiente


Promovido (S) 288

1200= 0.24

36

1200= 0.03

= .

No promovido (N) 672

1200= 0.56

204

1200= 0.17

= .

Total

= .

= . 1

Entonces:


Promovido (P) 0.24 0.03 0.27

No promovido (N) 0.56 0.17 0.73

Total 0.8 0.2 1 b. De la tabla de probabilidad hallar: (), (), ( ), ( )

() =960

1200= 0.8 , 0.8

() =324

1200= 0.27 , 0.27

( ) =288

1200= 0.24 ,

0.24

( ) =204

1200= 0.17

0.17 c. Cul es la probabilidad que un agente de la polica sea promovido dado que es hombre?


( ) =( )

()=

0.24

0.8= 0.30

d. Cul es la probabilidad que un agente de la polica sea promovido dado que es mujer?

( ) =( )

()=

0.03

0.8= 0.15

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Los eventos 1, 2, , determinan una particin del espacio muestral si se cumplen con las

dos condiciones siguientes:

= 1 2 =

=1

; = .

Supongamos adems que, para todo i, P(Ai) > 0. Entonces, el teorema de la probabilidad total

establece que la probabilidad de cualquier evento B se puede calcular como:

() = ()(

=1

)

TEOREMA DE BAYES

Supongamos que tenemos un conjunto completo de eventos Ai, i = 1, . . . ,n y un evento B cualquiera

del espacio muestral. A veces es necesario conocer la probabilidad de uno de los eventos Aj

condicionada a que haya ocurrido B. Esto se puede hacer por el teorema de Bayes, que establece:

(

) =

()(

)

()(

)=1

III. VARIABLE ALEATORIA

VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una variable cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio.

Ejemplo:

Se lanza una moneda tres veces y se anota el nmero de caras que se obtienen. Los posibles

resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. La variable aleatoria es el nmero de caras que

se obtienen, y los posibles resultados son los valores de variable aleatoria.

Los pesos de envo de agua mineral en contenedores oscilaban aleatoriamente entre 10 a 25 libras.

Los pesos reales de los contenedores en libras, son los valores de la variable aleatoria peso.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.


Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta puede asumir slo ciertos valores, con frecuencia nmeros enteros y

resulta principalmente del conteo.

Ejemplos:

Experimento Variable aleatoria (x) Valores posibles para la variable aleatoria

Llamar a cinco clientes Nmero de clientes que hacen un pedido

0, 1, 2, 3, 4, 5

Inspeccionar un envo de 50 radios

Nmero de radios que tienen algn defecto

0, 1, 2,,49, 50

Hacerse cargo de un restaurante durante un da

Nmero de clientes 0, 1, 2, 3,

Vender un automvil Sexo del cliente 0 si es hombre; 1 si es mujer

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua resulta principalmente de la medicin y puede tomar cualquier valor, al

menos dentro de un rango dado.

Ejemplos:

Experimento Variable aleatoria (x) Valores posibles para la variable aleatoria

Operar un banco Tiempo en minutos entre la llegada de los clientes

0

Llevar una lata de refresco (mx. 12.1 onzas)

Cantidad de onzas 0 12.1

Construir una biblioteca Porcentaje del proyecto terminado en seis meses

0 100

Probar un proceso qumico nuevo

Temperatura a la que tiene lugar la reaccin deseada (min 150 F; mx. 212 F)

150 212

Observe que cada ejemplo describe una variable aleatoria que toma cualquier valor dentro de un

intervalo de valores.

IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribucin de probabilidad es un despliegue de todos los posibles resultados de un

experimento junto con las probabilidades de cada resultado.

Ejemplo:

Sea el experimento de lanzar tres monedas y observar el resultado.

El espacio muestral asociado a este experimento es:

= {(, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , ), (, , )}

Sea x: el nmero de caras obtenido en las tres monedas, entonces x es una variable aleatoria que toma

los siguientes valores:

X=0 corresponde al evento (, , ) ..con probabilidad 1/8

X=1 corresponde al evento (, , ), (, , ), (, , )..con probabilidad 3/8


X=2 corresponde al evento (, , ), (, , ), (, , )..con probabilidad 3/8

X=3 corresponde al evento (, , ) ......con probabilidad 1/8

Lo cual nos lleva a una distribucin de probabilidad

Caras (x) Probabilidad f(xi)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Total 1 Nota: En este caso f(xi) puede denotarse como p(X=xi)

a. Mencione el tipo de variable de esta distribucin de probabilidad

b. Es vlida esta distribucin de probabilidad

c. Cul es la probabilidad de que x=2?

d. Cul es la probabilidad de que x sea menor o igual a 2?

Solucin

a. El tipo de variable es discreta

b. Las condiciones requeridas para una distribucin de probabilidad discreta son:

() 0 () = 1

Como vemos en la tabla:

Cada () 0 () =1

8+

3

8+

3

8+

1

8= 1

Por tanto es vlida la distribucin

c. La probabilidad que x=2 es: f(2)=( = 2) = 3

8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3

f(xi)

N de caras

Distribucin de probabilidad para el nmero de caras


d. La probabilidad de que x sea menor o igual a 2

P(x sea menor o igual a 2)=( 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1

8 +

3

8 +

3

8=

7

8

Valor esperado de una variable aleatoria

La principal medida de centralizacin de la distribucin de una variable aleatoria es la media, tambin

conocida como esperanza matemtica.

Sea una variable aleatoria discreta x que toma los valores x1, x2, . . . y sea f(x) su funcin de

probabilidad. El valor esperado o esperanza matemtica se define:

() = = ()

En el caso continuo la expresin para la media es similar. Se define la media o esperanza matemtica

de una variable aleatoria continua x con funcin de densidad f(x) como:

() = = ()+

Varianza de una variable aleatoria

La media por s sola no proporciona una adecuada descripcin de la distribucin de la variable aleatoria.

Adems de conocer en qu valor se centra esa distribucin es importante determinar la dispersin o

variacin de los valores de la variable aleatoria en torno a la media.

Para una variable aleatoria discreta x con funcin de probabilidad f(x), la varianza y la desviacin

tpica se define:

() = 2 = ( )2

() = ( )2

() = () ;

De la misma manera se puede definir la varianza y desviacin tpica de una variable aleatoria continua

x con funcin de densidad f(x)

() = 2 = ( )2() = ()+

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

En toda variable aleatoria discreta, x, su distribucin de probabilidad se define mediante una funcin de

probabilidad, que se denota f(x) y la cual da la probabilidad que corresponde a cada valor de la variable

aleatoria.

() = ( = )

Una vez que se ha definido la funcin de probabilidad, es posible calcular el valor esperado, la varianza

y la desviacin estndar de la variable aleatoria.


En particular, para un valor xi de la variable aleatoria: () = ( = ). Adems, por las propiedades

de la probabilidad, la funcin de probabilidad cumple, para todo xi

() 0 , () = 1

La funcin acumulada F(x) de la variable aleatoria discreta X con distribucin de probabilidad f(x) est

dada por:

() = ( ) = ()

,

Entre las distribuciones de probabilidad discreta ms utilizadas tenemos la distribucin Binomial y de

Poisson

Distribucin de Probabilidad Binomial

La distribucin binomial se usa para determinar la probabilidad de x xitos en n ensayos, siempre que

el experimento satisfaga las propiedades siguientes:

1. El experimento consista en una serie de n ensayos idnticos.

2. En cada ensayo haya dos resultados posibles, uno llamado xito y el otro fracaso.

3. La probabilidad de un xito no vare de un ensayo a otro. Por tanto, la probabilidad de fracaso, (1-p),

tampoco variar de un resultado a otro.

4. Los ensayos sean independientes.

Si se satisfacen estas cuatro propiedades, la probabilidad de x xitos en n ensayos se determina

usando la funcin de probabilidad binomial.

.

() = ( = ) = (

) (1 )

Donde:

() =

=

(

) =!

! ( )!

=

1 =

Ejemplo:

En una encuesta realizada por la Oficina de Censos de Estados Unidos se encontr que 30% de las

personas de 25 aos o ms haban estudiado cuatro aos en la universidad (The New York Times

Almanac, 2006). Dada una muestra de 15 individuos de 25 aos o ms, conteste las preguntas

siguientes.

a. Cul es la probabilidad de que cuatro personas hayan estudiado cuatro aos en la universidad?


b. De que tres o ms hayan estudiado cuatro aos en la universidad?

Solucin:

La funcin de probabilidad binomial, para n=15 y p=0.30

() = ( = ) = (15

) 0.30(0.70)15

a. Cul es la probabilidad de que cuatro personas hayan estudiado cuatro aos en la universidad?

( = 4) = (154

) 0.304(0.70)154 = 0.2186

b. De que tres o ms hayan estudiado cuatro aos en la universidad?

( 3) = 1 ( < 3) = 1 ( 2) =

( 3) = 1 [( = 0) + ( = 1) + ( = 2)]

Hacemos uso de la tabla:

( 3) = 1 (0.0047 + 0.0305 + 0.0916) = 1 0.1268 = 0.8732

Distribucin de Probabilidad de Poisson

La distribucin de Poisson se usa cuando se quiere obtener la probabilidad de x ocurrencias de un

evento en un determinado intervalo de tiempo o de espacio. Para que se emplee la distribucin de

Poisson deben satisfacerse las condiciones siguientes:

1. La probabilidad de una ocurrencia del evento es la misma para cualesquier dos intervalos de la

misma longitud.

2. La ocurrencia o noocurrencia del evento en un determinado intervalo es independiente de la

ocurrencia o noocurrencia del evento en cualquier otro intervalo.

Funcin de probabilidad Poisson:

() =

!

Donde:

() =

=

= 2.71828

Ejemplo:


A un conmutador de la oficina principal de la compaa llegan llamadas a un promedio de dos por

minuto y se sabe que tienen distribucin de Poisson. Si el operador est distrado por un minuto, cul

es la probabilidad de que el nmero de llamadas no respondida sea:

a. Cero?

b. Por lo menos una?

c. Cul es la probabilidad de que haya dos o menos llamadas no respondidas, si el operador se distrae

4 minutos?

Solucin:

a. Cero?

La funcin de probabilidad de Poisson es:

() = ( = ) =22

!

Calculando, la probabilidad de que no se responda ninguna llamada, si el operador est distrado por

un minuto es:

( = 0) =202

0!= 0.1353 ,

b. Por lo menos tres?

( 3) = 1 ( < 3) = 1 ( 2)

= 1 (( = 0) + ( = 1) + ( = 2)) , .

( 3) = 1 (0.1353 + 0.2707 + 0.2707) = 1 0.6767

( 3) = 0.3233

c. Cul es la probabilidad de que haya dos o menos llamadas no respondidas, si el operador

se distrae 4 minutos?

Como lo que interesa es un intervalo de tiempo de 4 minutos:

= (2 .

1 ) (4 . ) = 8, representa el nmero esperado de llamadas en 4 minutos

Entonces la funcin de probabilidad de Poisson:

() =88

!

La probabilidad de haya menos de dos llamadas no respondidas, si el operador se distrae 4 minutos

es:

es denotado por en

algunas tablas


( 2) = ( = 0) + ( = 1) + ( = 2),

( 2) = 0.0003 + 0.0027 + 0.0107 = 0.0137

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

Veamos ahora el caso de las variables aleatorias continuas, es decir, aquellas que pueden tomar

cualquier valor en un intervalo (a, b), o incluso (, +). En este caso, la probabilidad de que la variable

X tome un valor determinado dentro de ese intervalo es cero, ya que existen infinitos valores posibles

en cualquier intervalo, por pequeo que sea, alrededor del valor en cuestin. Por ejemplo, la

probabilidad de que la altura de una persona sea exactamente 1.75 cm, con infinitos ceros en las cifras

decimales, es cero.

Por tanto no se puede definir una funcin de probabilidad igual que se haca para las variables discretas,

dando la probabilidad de cada valor de la variable. Lo que si puede especificar es la probabilidad de

que la variable est en un cierto intervalo. Para ello se define una funcin f(x) llamada funcin de

densidad de la variable aleatoria continua x de forma que, para todo x, cumpla:

() 0 ; () = 1+

Entre las distribuciones de probabilidad continua ms utilizadas tenemos la distribucin Exponencial y

Normal

Distribucin de Probabilidad Exponencial

La distribucin exponencial tiene una gran utilidad prctica ya que podemos considerarla como un

modelo adecuado para la distribucin de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan

un proceso de Poisson. De hecho la distribucin exponencial puede derivarse de un proceso

experimental de Poisson con las mismas caractersticas que las que enuncibamos al estudiar la

distribucin de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en

producirse un hecho.

La funcin de densidad de probabilidad exponencial.

() =

, 0, > 0

Donde, = es el valor esperado o la media y = 2.7183.

La funcin de distribucin acumulada para x es:

() = ( ) =


Ejemplo:

Considere la siguiente funcin de densidad de probabilidad exponencial.

() =

, >

a. D la frmula para hallar ( ).

b. Halle ( ).

c. Encuentre ( )

Solucin:

a.

() = ( ) = 1

3

b.

( ) = 1 23 = 1 0.5134 = 0.4866

c.

( ) = ( < ) = ( 33) = 1 (0.6321) = 0.3679

Distribucin de Probabilidad Normal

La distribucin continua de probabilidad ms importante de toda la estadstica es, sin duda alguna, la

distribucin normal. La importancia de esta distribucin se debe a que describe con gran aproximacin

la distribucin de las variables asociadas con muchos fenmenos de la naturaleza.

Por otra parte, bajo ciertas condiciones, la distribucin normal constituye una buena aproximacin a

otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y la de Poisson. Frecuentemente, a la distribucin

normal se la denomina tambin distribucin gaussiana.

La funcin de densidad normal de la variable aleatoria normal x, con media y desviacin estndar

es:

() = (, ) =1

2

()2

22 , +

La probabilidad de que una variable aleatoria (v.a.) X tome un valor determinado entre dos nmeros

reales x1 y x2 coincide con el rea encerrada por la funcin f(x) entre los puntos a y b:

(1 2) = ()2

1

La funcin de distribucin normal, til para el clculo de probabilidad, vendr dada por:

() = ( < ) = 1

2

()2

22

Entre las caractersticas de una distribucin Normal tenemos:


a) La curva es simtrica con respecto a la recta x = u. Se suele decir que es simtrica respecto a la

media.

b) La distribucin depende de la media y de la desviacin estndar. Esto es muy importante, ya que

podemos comparar poblaciones o muestras, comparando sus medias y sus desviaciones estndar.

c) Por la simtrica de la curva, el rea de la regin bajo la curva en el intervalo (, 0), es igual a 0,5;

que corresponde a ( ) = 0.5. Igual en el intervalo (0 , ). Se suele decir que del lado izquierdo de

la media se encuentra el 50% de los datos, as como del lado derecho; tambin se puede mencionar

que la probabilidad del lado izquierdo o derecho de la media es de 0,5. En definitiva el rea total bajo

la curva es igual a 1.

Distribucin Normal Estndar

Se observ que no existe una sola distribucin de probabilidad normal, sino una familia de ellas. Como

sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media () o una desviacin estndar distinta

(). Por tanto, el nmero de distribuciones normales es ilimitado y sera imposible proporcionar una

tabla de probabilidades para cada combinacin de y .

Para resolver este problema, se utiliza un solo miembro de la familia de distribuciones normales,

aquella cuya media es 0 y desviacin estndar 1 que es la que se conoce como distribucin

estndar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse. La frmula de

conversin es:

=

Entonces la funcin de densidad de z es:

() =1

2

2

2

El problema de calcular la probabilidad de que X se encuentre en un intervalo (x1, x2) se puede reducir

entonces a calcular la probabilidad de que Z este en un intervalo equivalente (z1, z2)

Ejemplo:

En un examen de estadstica la media fue 78 y la desviacin tpica 10. a) Determinar las referencias

tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron 93 y 62, respectivamente, b) Determinar las

puntuaciones de dos estudiantes cuyas referencias tipificadas fueron -0.6 y 1.2, respectivamente.

Solucin:

Si, = 78 , = 10 , , =

= +

a. Las referencias tipificadas de dos estudiantes cuyas puntuaciones fueron 1 = 93 2 = 62, son:

Para 1 = 93 1 =1

=

9378

10= 1.5 = .

Para 2 = 62 2 =2

=

6278

10= 1.6 = .


b. Las puntuaciones de dos estudiantes cuyas referencias tipificadas fueron 1 = 0.6 2 = 1.2, son:

Para 1 = 0.6 1 = 1 + = 0.6(10) + 78 = 72 =

Para 2 = 1.2 2 = 2 + = 1.2(10) + 78 = 90 =

Ejemplo:

La tasa de remuneracin media por hora para administrativos financieros en una determinada regin

es $32.62 y la desviacin estndar es $2.32 (Bureau of Labor Statistics, septiembre de 2005). Suponga

que estas tasas de remuneracin estn distribuidas normalmente.

a. Cul es la probabilidad de que un directivo financiero tenga una remuneracin entre $30 y

$35 por hora?

b. Cul es la probabilidad de que la remuneracin por hora de un directivo financiero sea menos

de $28 por hora?

Solucin:

Sean = . = .

a. La probabilidad de que un directivo financiero tenga una remuneracin entre $30 y $35 por hora, es

(30 35) = ( 35) ( 30)

= ( 35 32.62

2.32) (

30 32.62

2.32)

= ( 1.02) ( 1.13) , .

= 0.8461 0.1292 = .

b. La probabilidad de que la remuneracin por hora de un directivo financiero sea menos de $28 por

hora.

( 28) = ( 28 32.62

2.32) = ( 1.99)

( 28) = 0.0233

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