Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale ... · carichi di servizio è stato investigato modellando la ... 1.1 ANALISI ELASTICA DI UNA PIASTRA ... Convenzione delle

POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

ANALISI NUMERICA E CALCOLO A

ROTTURA DI UNA PIASTRA IN C.A.

Relatore: Prof. Pietro Giovanni GAMBAROVA

Elaborato di Laurea di

Mattia ZECCHILLO

Matr. n. 841673

Anno Accademico 2015 - 2016

SOMMARIO

In questo lavoro di tesi, a seguito di due prove di carico eseguite sotto carichi di servizio, è

studiata una piastra quadrata in calcestruzzo armato, dopo l’aggiunta di una trave

irrigidente in C.A. lungo l’unico lato libero. Il comportamento lineare mostrato nelle prove

sotto carichi piuttosto concentrati applicati in due diverse posizioni è stato il punto d’inizio,

(a) per confrontare gli abbassamenti ottenuti durante le prove con quelli ottenuti da un

modello ad Elementi Finiti, (b) per determinare i carichi di collasso prima e dopo l’aggiunta

della trave di bordo e (c) per verificare se il meccanismo più probabile in condizioni

ambientali normali potrebbe esserlo ancora durante un incendio sviluppato nella parte

sottostante, oppure altri meccanismi diventerebbero più probabili.

Le dimensioni nel piano e lo spessore sono 8x8 m e 35cm rispettivamente (L/t =23). I

meccanismi a collasso sono stati studiati in entrambe le condizioni ambientali, ordinarie e

durante un incendio, utilizzando un approccio cinematicamente ammissibile dell’Analisi

Limite (il Metodo delle Linee di Plasticizzazione), mentre il comportamento elastico con

carichi di servizio è stato investigato modellando la piastra tramite Elementi Finiti.

Sia l’analisi limite che quella in regime elastico hanno reso possibile verificare il ruolo svolto

dai vincoli ai bordi (due lati convergenti sono connessi a pareti sottostanti; un lato è

parzialmente vincolato ma mostra una continuità con la soletta adiacente; il quarto lato

inizialmente libero, ma in seguito irrigidito grazie a una trave in C.A. posta lungo

l’estradosso della piastra).

I vincoli, piuttosto complessi, rendono l’analisi agli EF fondamentale per la comprensione

dei risultati sperimentali sotto carichi di servizio, l’analisi con linee di plasticizzazione

mostra che non sempre la configurazione delle linee di plasticizzazione e dei meccanismi di

collasso dettati dall’intuizione sono i più probabili e come la durata d’incendio può attivare

meccanismi differenti, con o senza il contributo della trave di bordo. (In generale, le travi

irrigidenti sono meno sensibili al calore delle piastre, grazie al maggiore copriferro

presente).

ABSTRACT

A heavy-duty reinforced-concrete square slab is studied in this dissertation based on two

tests performed under the service loads, after adding a stiffening R/C beam along the only

free edge. The very linear behaviour exhibited by the tests under fairly concentrated loads

applied in two different locations was the starting point (a) to compare the displacement

obtained during the tests to the ones obtained from a Finite Element model, (b) to

determine the failure loads prior to and after adding the stiffening beam and (c) to check

whether the most probable mode in ordinary environmental conditions may still be the

most probable during a fire from below, or other failure modes would become more

probable.

Slab in-plan size and thickness are 8x8 m and 35 cm respectively (L/t = 23). In both ordinary

environmental conditions and fire the failure modes were studied by means of

kinematically-admissible approach of Limit Analysis (Yield-Lines Method), while the mostly

elastic behaviour under the service loads was investigated by modelling the slab via Finite

Elements.

Both elastic and limit analysis made it possible to check the role played by the boundary

restrains (two converging sides connected to underneath walls; one side partially supported

but exhibiting a continuity with an adjoining slab; the fourth side initially free, but later

stiffened by means of an R/C beam placed along the extrados of the slab.

The fairly complex restrains make FEM analysis instrumental in understanding the

behaviour resulting from the tests under the service loads, yield-lines analysis shows that

not always the yield-line patterns and the failure mechanisms dictated by intuition are the

most probable and how fire duration may activate different mechanisms, with o without

the contribution of the stiffening beam. (In general stiffening beams are less heat-sensitive

than slabs, thanks to the larger concrete covers found).

i

INDICE

1 FONDAMENTI DI ANALISI LIMITE: LA TEORIA DELLE YIELD LINES ..................... 1

1.1 ANALISI ELASTICA DI UNA PIASTRA SOTTILE ...................................................... 1

1.2 COMPORTAMENTO IDEALMENTE PLASTICO E STATO LIMITE DI COLLASSO ..... 6

1.3 STATO LIMITE PER I TELAI .................................................................................. 8

1.4 STATO LIMITE PER LE PIASTRE ......................................................................... 11

1.5 TEORIA DELLE YIELD LINES ............................................................................... 12

2 DESCRIZIONE DELL’OPERA E MODELLAZIONE STRUTTURALE ......................... 20

2.1 LOCALIZZAZIONE E DESCRIZIONE DELLA PIASTRA ........................................... 20

2.2 GRANDEZZE GEOMETRICHE E MECCANICHE ................................................... 23

2.3 PROVE DI CARICO ............................................................................................. 27

2.4 MODELLAZIONE AD ELEMENTI FINITI .............................................................. 30

2.4.1 Modellazione ............................................................................................. 30

2.4.2 Andamento degli abbassamenti ................................................................ 39

3 DIMENSIONAMENTO DELL’ARMATURA ........................................................ 49

3.1 METODO DELLE STRISCE O DI HILLERBORG ..................................................... 49

3.1.1 Piastra appoggiata con carico distribuito .................................................. 55

3.1.2 Piastra incastrata con carico distribuito .................................................... 57

3.1.3 Piastra appoggiata con carico concentrato ............................................... 59

3.1.4 Piastra incastrata con carico concentrato ................................................. 60

3.2 ARMATURA E MOMENTI RESISTENTI ............................................................... 63

4 INTRODUZIONE AI MECCANISMI DI ROTTURA .............................................. 69

4.1 MECCANISMO 1 ............................................................................................... 72

4.2 MECCANISMO 2 ............................................................................................... 76

4.3 MECCANISMO 3 ............................................................................................... 79

4.4 MECCANISMO 4 ............................................................................................... 82

5 MECCANISMI SIMMETRICI ............................................................................ 87

ii

5.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO ............................................................ 87

5.1.1 Meccanismo 1 ............................................................................................ 89

5.1.2 Meccanismo 2 ............................................................................................ 90

5.1.3 Meccanismo di collasso più probabile ...................................................... 92

5.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO ............................................................... 93

5.2.1 Meccanismo 1 ............................................................................................ 95

5.2.2 Meccanismo 2 ............................................................................................ 97

5.2.3 Meccanismo di collasso più probabile ...................................................... 99

5.4 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO ................................... 99

5.4.1 Meccanismo 3 .......................................................................................... 100

5.4.2 Meccanismo 4 .......................................................................................... 101

5.4.3 Meccanismo di collasso più probabile .................................................... 103

5.4.4 Meccanismo 4* – Armatura al negativo modificata ............................... 104

5.5 MECCANISMO DI COLLASSO PIU’ PROBABILE ................................................ 108

5.6 MECCANISMO PIU’ PROBABILE AL VARIARE DEL PARAMETRO K .................. 109

6 MECCANISMI ASIMMETRICI ........................................................................ 113

6.1 MECCANISMI ASIMMETRICI SENZA TRAVE DI BORDO .................................. 114

6.1.1 Meccanismo 1 .......................................................................................... 114

6.1.2 Meccanismo 2 .......................................................................................... 116


6.2 MECCANISMI ASIMMETRICI CON TRAVE DI BORDO ...................................... 119

6.2.1 Meccanismo 1 .......................................................................................... 119

6.2.2 Meccanismo 2 .......................................................................................... 121


6.3 MECCANISMO ASIMMETRICO INDIPENDENTE DALLA TRAVE DI BORDO ...... 124

6.3.1 Meccanismo 3 .......................................................................................... 124

6.3.2 Meccanismo di collasso 3 ........................................................................ 126

6.4 OSSERVAZIONI ................................................................................................ 127

7 VERIFICHE E CONFRONTI ............................................................................. 128

iii

7.1 CARICHI ECCEZIONALI .................................................................................... 128

7.1.1 Doppio autocarro - Carico uniformemente distribuito ........................... 128

7.1.2 Caso eccezionale - Carico concentrato .................................................... 128

7.2 VERIFICHE ....................................................................................................... 129

7.2.1 Carico uniformemente distribuito ........................................................... 129

7.2.1 Carico concentrato .................................................................................. 130

7.3 CONFRONTI FRA I MECCANISMI .................................................................... 131

7.3.1 Meccanismi simmetrici ............................................................................ 132

7.3.2 Meccanismi asimmetrici .......................................................................... 134

8 VERIFICHE AL FUOCO .................................................................................. 136

8.1 CAMPO TERMICO ........................................................................................... 137

8.2 PERDITA DI PRESTAZIONI DELL’ARMATURA INFERIORE ................................ 141

8.2.1 Assenza della trave di bordo ................................................................... 143

8.2.2 Presenza della trave di bordo .................................................................. 150

8.3 CARICHI DI ESERCIZIO ..................................................................................... 160

9 CONCLUSIONI ............................................................................................. 163

10 APPENDICE A .............................................................................................. 166

11 APPENDICE B .............................................................................................. 170

11.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO ........................................................ 171

11.1.1 Meccanismo 1 ........................................................................................ 171

11.1.2 Meccanismo 2 ........................................................................................ 173

11.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO ........................................................... 175

11.2.1 Meccanismo 1 ........................................................................................ 175

11.2.2 Meccanismo 2 ........................................................................................ 177

11.3 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO ............................... 179

11.3.1 Meccanismo 3 ........................................................................................ 179

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................. 181

iv

INDICE DELLE FIGURE

Figura 1.1 – Esempi di applicazioni reali per le piastre ......................................................................... 1

Figura 1.2 – Esempio di carico trasversale applicato a piastra rettangolare ......................................... 2

Figura 1.3 – Schema di una piastra sottile e del suo piano medio ........................................................ 3

Figura 1.4 – Modello cinematico della piastra ..................................................................................... 3

Figura 1.5 – Convenzione delle forze interne per il sistema di riferimento .......................................... 4

Figura 1.6 – Legge costitutiva dell’acciaio (Hughes 1976) .................................................................... 7

Figura 1.7 – Comportamento idealmente plastico dell’acciaio............................................................. 8

Figura 1.8 – Cerniera plastica. (a) Legame momento-curvatura, (b) Legame momento-spostamento

(Hughes 1976) ..................................................................................................................................... 9

Figura 1.9 – Schema di una trave doppiamente incastrata con carico trasversale q e andamento dei

momenti flettenti sollecitanti al limite elastico (in verde) e a collasso (in rosso) ............................... 10

Figura 1.10 – Esempio di meccanismo di collasso reale ..................................................................... 14

Figura 1.11 – Sviluppo del meccanismo di collasso ............................................................................ 15

Figura 1.12 – Esempi di meccanismi di rottura secondo la teoria delle yield lines .............................. 16

Figura 1.13 – Sezione in C.A. Distribuzione degli sforzi in campo elastico e plastico.......................... 16

Figura 2.1 – Schema piastra .............................................................................................................. 20

Figura 2.2 – Posizionamento pareti, marciapiedi e trave di bordo ..................................................... 21

Figura 2.3 – Rampa d’accesso al cunicolo tecnologico ....................................................................... 22

Figura 2.4 – Vista dal lato Sud ........................................................................................................... 23

Figura 2.5 - Geometria in pianta ........................................................................................................ 24

Figura 2.6 – Geometria sezioni .......................................................................................................... 24

Figura 2.7 – Sezione trave di bordo e armatura ................................................................................. 26

Figura 2.8 – (a) Posizione di carico 1 e (b) Posizione di carico 2 ......................................................... 27

Figura 2.9 – Attivazione LVDT ............................................................................................................ 28

Figura 2.10 – Posizionamento LVDT .................................................................................................. 28

Figura 2.11 – Modellazione del marciapiede ..................................................................................... 31

Figura 2.12 – Modellazione del parapetto ......................................................................................... 33

Figura 2.13 – Deformata modello incastrato ..................................................................................... 35

Figura 2.14 – Deformata modello misto ............................................................................................ 36

Figura 2.15 – Deformata modello appoggiato ................................................................................... 37

v

Figura 2.16 – Deformate per posizioni di carico 1 e 2 ........................................................................ 38

Figura 2.17 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove

sperimentali .................................................................................................................................. 39


sperimentali .................................................................................................................................. 40


sperimentali .................................................................................................................................. 40


sperimentali .................................................................................................................................. 41


sperimentali .................................................................................................................................. 41


sperimentali .................................................................................................................................. 42


sperimentali .................................................................................................................................. 42


sperimentali .................................................................................................................................. 43


sperimentali .................................................................................................................................. 43

Figura 2.26 – Abbassamenti: modello a 4 carichi —, modello con forza baricentrale - - -, prove

sperimentali .................................................................................................................................. 45


sperimentali .................................................................................................................................. 46


sperimentali .................................................................................................................................. 46


sperimentali .................................................................................................................................. 47


sperimentali .................................................................................................................................. 47


sperimentali .................................................................................................................................. 48

Figura 3.1 – Suddivisione della piastra in strisce ................................................................................ 52

Figura 3.2 – Veicoli frequenti ............................................................................................................ 53

Figura 3.3 – Distribuzione dei coefficienti e strisce maggiormente significative ............................. 56

vi


Figura 3.5 – Schema strutturale sezione BB ....................................................................................... 58

Figura 3.6 – Schema strutturale sezione AA....................................................................................... 58



Figura 3.9 – Momento sollecitante sezione BB .................................................................................. 62

Figura 3.10 – Momento sollecitante sezione AA ................................................................................ 62

Figura 3.11 – Disposizione barre d’armatura nel piano XZ ................................................................. 64

Figura 3.12 – Momento resitente sezione BB .................................................................................... 65

Figura 3.13 – Momento resistemte sezione AA ................................................................................. 66

Figura 4.1 – Meccanismo 1: ꟿ yield line positiva, - - - yield line negativa ......................................... 72




Figura 5.1 – Sezione trave di bordo ................................................................................................... 93

Figura 5.2 – Sezione equivalente ....................................................................................................... 94

Figura 5.3 - Meccanismo 4 .............................................................................................................. 102

Figura 5.4 – Momento sollecitante sezione BB ................................................................................ 104

Figura 5.5 – Momento sollecitante sezione AA ................................................................................ 105

Figura 5.6 – Riprogettazione ferri d’armatura al negativo. (*) Armatura ridotta rispetto alle fasce

laterali............................................................................................................................................. 105

Figura 5.7 – Meccanismo 4 .............................................................................................................. 106

Figura 5.8 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*

....................................................................................................................................................... 110


....................................................................................................................................................... 110


....................................................................................................................................................... 111


....................................................................................................................................................... 111

Figura 6.1 – Meccanismo 1 asimmetrico ......................................................................................... 114


Figura 6.3 – Meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo ............................................................ 119

Figura 6.4 – Meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo ............................................................ 121

vii


Figura 7.1 – Meccanismo più probabile con incastri e carico uniformemente distribuito................. 132

Figura 7.2 – Meccanismo più probabile con incastri e carico concentrato ....................................... 132

Figura 7.3 – Meccanismo più probabile con appoggi e carico uniformemente distribuito................ 133

Figura 7.4 – Meccanismo più probabile con appoggi e carico concentrato ...................................... 133

Figura 7.5 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico unif. distribuito 134

Figura 7.6 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico concentrato ..... 134

Figura 7.7 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico unif. distribuito

....................................................................................................................................................... 135

Figura 7.8 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico concentrato ... 135

Figura 8.1 – Curve nominali d’incendio............................................................................................ 137

Figura 8.2 – Curva nominale standard ISO 834 (Setti 2008) ............................................................. 137

Figura 8.3 – Profili di temperatura per piastre (30’-240’) ................................................................. 139

Figura 8.4 – Disposizione dell’armatura nel piano YZ e distanze dalla superficie libera .................... 140

Figura 8.5 – Coefficiente ks in funzione della temperatura θ che determina il decadimento della

rigidezza caratteristica (fyk) .............................................................................................................. 140


....................................................................................................................................................... 145


....................................................................................................................................................... 146

Figura 8.8 – Meccanismo 4 .............................................................................................................. 146


....................................................................................................................................................... 147

Figura 8.10 – Meccanismo 4 ............................................................................................................ 147


....................................................................................................................................................... 148


....................................................................................................................................................... 149


....................................................................................................................................................... 149

Figura 8.14 – Armatura della sezione equivalente ........................................................................... 150


....................................................................................................................................................... 154

viii


....................................................................................................................................................... 155

Figura 8.17 – Meccanismo 4 ............................................................................................................ 155


....................................................................................................................................................... 156


....................................................................................................................................................... 157


....................................................................................................................................................... 158


....................................................................................................................................................... 159

Figura 8.22 – , , .............................................. 160

Figura 8.23 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*,

Carico di esercizio ........................................................................................................................ 161

Figura 8.24 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*,

Carico di esercizio ........................................................................................................................ 162

ix

INDICE DELLE TABELLE

Tabella 3.1 – Momenti sollecitanti .................................................................................................... 61

Tabella 3.2 – Armatura e momenti resistenti .................................................................................... 64

Tabella 3.3 – Confronto armatura riprogettata e armatura di progetto ............................................. 66

Tabella 5.1 – Carichi ultimi per meccanismi senza trave di bordo ...................................................... 92

Tabella 5.2 – Carichi ultimi per meccanismi con trave di bordo ......................................................... 99

Tabella 5.3 – Carichi ultimi per meccanismi indipendenti dalla trave di bordo ................................. 103

Tabella 5.4 – Minimi di carico con vincoli ad incastro ...................................................................... 108

Tabella 5.5 – Minimi di carico con vincoli di appoggio ..................................................................... 109

Tabella 6.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 senza trave di bordo ....................................... 118

Tabella 6.2 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con trave di bordo .......................................... 123

Tabella 6.3 – Minimi di carico per il meccanismo 3 .......................................................................... 126

Tabella 8.1 – Coefficienti ks ............................................................................................................. 141

Tabella 8.2 – Minimi di carico senza trave di bordo per t≤60’ .......................................................... 143

Tabella 8.3 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=90’ .......................................................... 143

Tabella 8.4 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=120' ........................................................ 144

Tabella 8.5 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=180’ ........................................................ 144

Tabella 8.6 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=240’ ........................................................ 144

Tabella 8.7 – Minimi di carico con trave di bordo per t≤60’ ............................................................. 152

Tabella 8.8 – Minimi di carico con trave di bordo per t=90’ ............................................................. 152

Tabella 8.9 – Minimi di carico con trave di bordo per t=120’ ........................................................... 152

Tabella 8.10 – Minimi di carico con trave di bordo per t=180’ ......................................................... 153

Tabella 8.11 – Minimi di carico con trave di bordo per t=240’ ......................................................... 153

Tabella 10.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=0.1 ...................................................... 166





Tabella 10.6 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=0.75 .................................................... 168

Tabella 10.7 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=1 ......................................................... 169

Tabella 10.8 – Minimi di carico per meccanismi 3 e 4 ...................................................................... 169

x

Tabella 11.1 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico senza trave di bordo, incastro

a Ovest ............................................................................................................................................ 171

Tabella 11.2 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico senza trave di bordo,

appoggio a Ovest ............................................................................................................................ 172

Tabella 11.3 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo, incastro

a Ovest ............................................................................................................................................ 173

Tabella 11.4 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo,

appoggio a Ovest ............................................................................................................................ 174

Tabella 11.5 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, incastro a

Ovest .............................................................................................................................................. 175

Tabella 11.6 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, appoggio

a Ovest ............................................................................................................................................ 176

Tabella 11.7– Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, incastro a

Ovest .............................................................................................................................................. 177

Tabella 11.8 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, appoggio

a Ovest ............................................................................................................................................ 178

Tabella 11.9 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, incastro a Ovest .............. 179

Tabella 11.10 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, appoggio a Ovest .......... 180

xi

INTRODUZIONE

In questo lavoro di tesi viene analizzato il comportamento in esercizio e a collasso di

una piastra in calcestruzzo armato facente parte delle strutture di un impianto di

depurazione acque. I carichi d’esercizio sono dovuti al passaggio di autocarri con un

carico massimo pari a 12 t/asse. La piastra, di forma pressoché quadrata, presenta

vincoli di differente tipologia e che si prestano a diverse schematizzazioni. Il lavoro

prende spunto da due prove di carico effettuate in presenza degli assi posteriori di

un’autocisterna, per un carico di circa 22 t.

Il primo obiettivo è stato quello di analizzare per via elastica lineare gli

abbassamenti in presenza del carico di prova, per fare dei confronti con i valori

sperimentali. A tal fine è stato usato un approccio numerico basato sulla

discretizzazione ad Elementi Finiti.

Il secondo obiettivo è stato quello di riprogettare l’armatura della piastra. Per la

valutazione dei momenti sollecitanti, dati dal peso proprio della struttura e dai

carichi variabili, è stato adottato il Metodo delle Strisce o di Hillerborg, che rientra

nell’approccio staticamente ammissibile dell’Analisi Limite. I carichi variabili di

progetto sono stati scelti in base all’attuale normativa italiana.

Il terzo obiettivo è stato quello di ricercare, allo stato limite ultimo della piastra, il

meccanismo più probabile fra quelli che sono stati ipotizzati. Al tal fine si fa

riferimento al metodo delle Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method), che

rientra nell’approccio cinematicamente ammissibile dell’Analisi Limite e si

individuano fra i diversi meccanismi di rottura quello più probabile al variare di

condizioni di carico, di vincolo e di elementi strutturali.

Infine la piastra è stata verificata sotto l’azione di carichi eccezionali e sono state

svolte verifiche anche al fuoco, facendo riferimento all’incendio standard ISO 834.

xii

Si procede dunque con la descrizione dei contenuti presenti nei capitoli

dell’elaborato di laurea:

1. Fondamenti di Analisi Limite: le Linee di Plasticizzazione

In questo primo capitolo vengono descritti i principali aspetti teorici riguardanti

l’analisi della piastra in campo elastico e in campo non lineare.

Per quanto riguarda l’analisi elastica viene richiamata la classica teoria delle piastre

sottili caricate trasversalmente.

Successivamente si richiama il concetto di “plasticità ideale” e i fondamenti delle

linee di plasticizzazione nell’ambito dell’approccio cinematico dell’Analisi Limite.

2. Descrizione della prova e modellazione strutturale

In questo capitolo si toccano principalmente due aspetti:

La descrizione della piastra analizzata e delle prove di carico; in particolare vengono

presentati la geometria, i vincoli, i materiali e le condizioni di carico. Nel dettaglio il

carico è applicato nel baricentro della piastra e nella mezzeria del lato Est (infatti i

lati Ovest e Sud sono appoggiati/incastrati ai muri sottostanti, il lato Est è libero ed

eventualmente irrigidito da una trave ed il lato Nord è parzialmente incastrato e

parzialmente libero);

La valutazione degli abbassamenti secondo il modello numerico con discretizzazione

ad Elementi Finiti; questo ha permesso di modellare in dettaglio la geometria, i

vincoli e la distribuzione del carico sulla sua reale impronta, con risultati

soddisfacenti in termini di spostamenti. La modellazione è stata possibile dato che

le prove di carico effettuate in sito si sono svolte in regime elastico, vista la modesta

entità del carico.

xiii

3. Dimensionamento dell’armatura

Adottando il Metodo delle Strisce o di Hillerborg si procede con la valutazione dei

momenti sollecitanti la piastra per diverse configurazioni di vincoli e carico, al fine di

riprogettare l’armatura.

Il metodo, che rientra nell’approccio staticamente ammissibile dell’Analisi Limite,

consiste nella suddivisione della piastra nelle due direzioni in strisce e, una volta

assegnati i coefficienti di carico ad ogni zona che è stata individuata con riferimento

ai vincoli ai bordi, si studia l’andamento di momento per le strisce maggiormente

sollecitate.

A questo punto si procede ad armare la piastra con barre di acciaio nervato

laminato a caldo e si confronta l’armatura appena riprogettata con l’armatura di

progetto adottata in un lavoro di tesi precedente.

4. Introduzione ai meccanismi di rottura

In questo capitolo vengono ipotizzati 4 possibili meccanismi di rottura, ognuno in

funzione di uno o più parametri che ne determinano la geometria. La loro analisi è

stata condotta allo stato limite ultimo (incipiente collasso) usando il metodo delle

Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method). Nell’analisi è stato fatto riferimento al

momento limite dell’armatura al positivo nella direzione di massima rigidezza della

piastra (Nord-Sud), cosicché i momenti limite delle altre armature (al negativo nella

stessa direzione, ed al positivo/negativo nell’altra direzione, cioè Est-Ovest) sono

stati introdotti in funzione del momento limite di riferimento, attraverso fattori di

proporzionalità adimensionali.

Analogamente si è proceduto per la trave di bordo, il cui momento limite al positivo

è stato introdotto, attraverso un fattore di proporzionalità, come frazione

dell’intero momento limite al positivo della parallela armatura della piastra.

Le condizioni di carico analizzate al collasso sono state due:

Carico uniformemente distribuito;

xiv

Carico concentrato nel baricentro della piastra o nella mezzeria del lato Est, a

seconda del meccanismo.

Il metodo delle yield lines si basa sul Principio dei Lavori Virtuali e dunque la ricerca

dei carichi minimi di collasso per ogni meccanismo sfrutta l'uguaglianza tra Lavoro

Esterno (svolto dai carichi per una deformata virtuale) e Lavoro Interno (svolto dai

momenti limite lungo le linee di plasticizzazione). In questo modo sono stati

ottenuti i carichi per ogni meccanismo in funzione del/dei parametri geometrici e

per ognuno è stato ricercato il minimo.

5. Meccanismi simmetrici

Dopo aver armato la piastra i fattori di proporzionalità diventano noti e vengono

inseriti nelle funzioni di carico. A questo punto rimane incognita solamente la

geometria del meccanismo che si determina minimizzando la funzione di carico, e

quindi ricercando il punto di minimo.

In questo capitolo si sono considerate le medesime condizioni di vincolo (incastro o

appoggio) lungo il lati Nord e Sud, dunque l’unica asimmetria è lungo la mediana

Ovest-Est.

Facendo variare le condizioni di carico e di vincolo si determina per ogni

meccanismo il minimo della funzione “carico di collasso” con la presenza o meno

della trave di bordo, derivando ogni funzione rispetto al parametro che definisce la

geometria del meccanismo e ponendo nulle le derivate prime.

La condizione di carico uniformemente distribuito ha comportato uno studio più

approfondito dei cinematismi di collasso in quanto il sistema delle linee di

plasticizzazione è definito in questo caso da un parametro, mentre il carico

concentrato “attira” le linee di plasticizzazione e rende univocamente definito il

cinematismo per ogni tipologia di meccanismo.

Infine si studia anche la situazione nella quale l’armatura la lembo superiore sia

presente in modo significativo solo lungo le fasce laterali (in prossimità dei bordi),

xv

individuando solo per il meccanismo 4 valori di carico ultimo significativamente

inferiori.

6. Meccanismi asimmetrici

Si amplia lo studio svolto nel capitolo precedente imponendo condizioni di vincolo

differente anche lungo i lati Nord (incastro) e Sud (appoggio). Con carico

uniformemente distribuito i parametri che governano la geometria dei meccanismi

diventano 2, avendo una doppia asimmetria di vincoli ai bordi. Con carico

concentrato l’andamento delle yield lines tende a convergere nel punto di

applicazione della forza come per i casi visti precedentemente.

7. Verifiche e confronti

Le verifiche svolte secondo normativa allo Stato Limite Ultimo (SLU), con

amplificazione dei carichi permanenti e variabili, sono state positive. Inoltre è stato

necessario supporre situazioni di carico eccezionali per avvicinare i carichi di

collasso dei meccanismi “più probabili” (quelli con carico di collasso minore).

Successivamente é stato fatto un confronto grafico fra i carichi ultimi dei 4

meccanismi, così da riassumere le analisi fatte in precedenza e visualizzare in modo

immediato il loro andamento con medesime situazioni di vincolo, di carico e in

presenza o meno della trave di bordo.

8. Verifiche al fuoco

In quest’ultimo capitolo si analizza il comportamento al fuoco della piastra in

assenza e in presenza della trave di bordo, facendo riferimento all’Eurocodice 2 il

quale utilizza l’incendio standard ISO 834.

Durante l’evento le proprietà meccaniche delle barre d’armatura poste al lembo

inferiore vengono meno e questo, sempre facendo riferimento alla normativa, si

traduce in una riduzione dei momenti resistenti e quindi una variazione dei fattori di

proporzionalità.

xvi

Si evidenzia come il carico ultimo a collasso di tutti i meccanismi diminuisca e, per

tempi di incendio superiori alle 3 ore, la piastra, in assenza della trave di bordo,

possa collassare sotto l’azione del solo peso proprio. Infine si mettono in evidenza i

casi in cui la piastra possa raggiungere la situazione ultima con carico di servizio.

1

1 FONDAMENTI DI ANALISI LIMITE: LA TEORIA

DELLE YIELD LINES

1.1 ANALISI ELASTICA DI UNA PIASTRA SOTTILE

La piastra è un elemento strutturale caricato trasversalmente che schematizza ad

esempio i solai delle abitazioni oppure l’impalcato di un ponte vincolato al resto

della struttura.

Figura 1.1 – Esempi di applicazioni reali per le piastre

Spesso tali vincoli risultano essere

appoggi puntuali o distribuiti lungo

uno più lati della piastra.

Nella prima casistica ricadono i solai

per strutture multipiano, che

poggiano su colonne sottostanti,

mentre il secondo è il caso di un

impalcato di un ponte che presenta

lungo due lati opposti dello stesso

degli appoggi, incastri o altre tipologie

di vincoli.

La piastra è caratterizzata da due dimensioni principali e paragonabili tra loro,

definite lunghezza e larghezza, e la terza, ossia lo spessore, molto minore delle altre

due. In particolare se il rapporto tra spessore e larghezza e lunghezza è

notevolmente ridotto, è ragionevole considerare la piastra come sottile. Tale

assunzione garantirà in seguito un’analisi più agevole della piastra. Infatti è possibile

studiare il problema della piastra riferendosi unicamente al piano medio.

Per trattare questo problema ci si è riferiti a testi da letteratura (R. Szilard 1974).


2

Nel caso rimanga in campo elastico è valido assumere che:

La piastra risulta sollecitata solo da carichi trasversali, che possono essere sia

concentrati che distribuiti, e questa modalità di carico causa

prevalentemente una flessione dell’elemento;

Gli abbassamenti sono sufficientemente ridotti così da poter ritenere valide

le ipotesi di piccole deformazioni e spostamenti.

Si supponga che il carico sia applicato trasversalmente alla piastra.

Figura 1.2 – Esempio di carico trasversale applicato a piastra rettangolare

Se tali assunzioni risultano verificate è lecito ritenere valide le ipotesi di Love-

Kirchhoff (1950). Riferendosi dunque ad un segmento rettilineo ortogonale al piano

medio nella configurazione iniziale, si assume nel caso di configurazione deformata

che esso rimanga:

Rettilineo;

Perpendicolare alla superficie media;

Di lunghezza inalterata.


3

Questa assunzione permette

di semplificare notevolmente

il problema dato che consente

di riportare tutte le grandezze

in gioco in funzione del solo

abbassamento trasversale

w(x,y) riferito al piano medio.

Figura 1.3 – Schema di una piastra sottile e del suo piano medio

Figura 1.4 – Modello cinematico della piastra

Partendo dal modello cinematico ipotizzato è dunque possibile definire gli

spostamenti nel piano medio della piastra u e v, rispettivamente in direzione X ed Y,

e le rotazioni ϕxz e ϕyz, dipendenti dall’abbassamento w in direzione Z.


4

Questa dipendenza è dunque valida anche per le deformazioni e gli sforzi, definiti

partendo dalle equazioni di congruenza.

Di conseguenza si è in grado di ottenere sia i momenti sollecitanti flessionali sia

quelli torsionali e inoltre anche il valore dei tagli tramite le equazioni d’equilibrio in

relazione all’abbassamento trasversale w(x,y), di cui si riporta come esempio le

convenzioni delle forze interne.

Figura 1.5 – Convenzione delle forze interne per il sistema di riferimento

Si definisce D la rigidezza flessionale di tale piastra, che è caratterizzata dalla

seguente espressione:

Le grandezze che caratterizzano D sono il modulo di Young, il coefficiente di Poisson

e lo spessore, definite rispettivamente da E, ν e h.


5

I momenti flettenti nelle due direzioni di riferimento x ed y sono dunque i seguenti:

I momenti torcenti nelle due direzioni di riferimento x ed y sono definiti dalla

seguente espressione:

Per ultime si riportano le forze di taglio interne:

Si definisce come segue l’equazione per l’equilibrio verticale:

Sostituendo le grandezze precedentemente descritte all’interno dell’ultima

equazione riportata è possibile determinare l’equazione differenziale al

quart’ordine di Sophie Germain-Lagrange.

o in alternativa scritta nel seguente modo:

Tuttavia tale trattazione non è di facile applicazione, anche perché sarebbe

necessario risolvere un’equazione differenziale di 4° grado secondo x ed y


6

definendo di conseguenza 4 condizioni al contorno per ciascuna direzione

considerata, quindi nel complessivo 8. Inoltre la soluzione, una volta nota, è valida

solo in campo elastico mentre potrebbe risultare necessario analizzare la piastra in

campo non lineare, ad esempio per determinarne il carico limite ultimo.

Di conseguenza spesso si predilige usare altri metodi di analisi, come ad esempio il

metodo agli elementi finiti (FEM) in campo elastico o non lineare o quello delle linee

di plasticizzazione (yield lines method) per valutarne il carico ultimo. Quest’ultimo

approccio citato verrà utilizzato per stimare il carico ultimo (di collasso) del

problema reale che verrà successivamente descritto e analizzato.

1.2 COMPORTAMENTO IDEALMENTE PLASTICO E STATO LIMITE DI

COLLASSO

In questo paragrafo si introduce la problematica legata agli stati limite ultimi per

una qualsiasi struttura (L. C. Dell’Acqua 1994).

La resistenza di qualunque materiale è inevitabilmente limitata, in quanto esiste un

livello di sforzo che comunque non può essere superato. Ne consegue che pure

limitata è la capacità portante di una struttura, vale a dire l’entità dei carichi che

essa è in grado di reggere. La valutazione della capacità portante è un problema di

importanza evidente, che non può essere affrontato in ambito elastico-lineare

perché nessun materiale si mantiene tale fino all’esaurimento delle sue risorse.

Sono peraltro disponibili modelli costitutivi in grado di rappresentare aspetti

anelastici del comportamento ed è quindi in linea di principio possibile seguire

l’evoluzione dalla struttura fino al raggiungimento di una situazione di crisi. Tale

procedimento è però solo parzialmente attendibile, in quanto la soluzione spesso

dipende non solo dal valore finale del carico ma anche dalla storia seguita per

raggiungerlo. Il risultato è quindi a rigore valido limitatamente alla particolare storia

ipotizzata nel calcolo.


7

Esistono tuttavia materiali che presentano una notevole duttilità. Anche se il livello

di sforzo non può superare una determinata soglia, essi possono deformarsi in

misura cospicua, prima di giungere a rottura. In tal caso la crisi della struttura non è

di regola associata al cedimento di alcuni elementi per rottura del materiale di cui

sono costituiti, ma piuttosto all’impossibilità di assicurare l’equilibrio senza

eccedere il livello di sforzo ammissibile. Tale modalità di crisi è nota come collasso

plastico e il carico sotto cui si verifica come carico di collasso. Sotto ipotesi del tutto

ragionevoli in molte situazioni reali, il valore del carico di collasso risulta

indipendente dalla storia di carico. Questa notevole circostanza rende possibile la

sua valutazione diretta, che costituisce l’oggetto del calcolo a rottura (o analisi

limite), uno dei più significativi capitoli della meccanica delle strutture.

Le ipotesi necessarie sono semplicemente quelle di piccoli spostamenti, che deve

essere applicabile nella sua interezza, e di plasticità ideale (o perfetta). Quest’ultima

ipotesi è ragionevolmente applicabile all’acciaio, che è fornito di notevole duttilità.

Figura 1.6 – Legge costitutiva dell’acciaio (Hughes 1976)


8

Figura 1.7 – Comportamento idealmente plastico dell’acciaio

1.3 STATO LIMITE PER I TELAI

Per prima cosa si descrive brevemente tale comportamento nel caso delle travi, e di

conseguenza per i telai (Hughes 1976).

Se tale struttura presenta ovunque duttilità sufficientemente elevata prima di

giungere a rottura accade che:

Possano nascere un determinato numero di sezioni in campo plastico che

raggiungono la loro capacità ultima;

Se fosse una struttura iperstatica sarebbe in grado di ridistribuire il

momento portando alla creazione di un meccanismo di collasso,

caratterizzato dalla presenza di un determinato numero di cerniere

plastiche.

A questo riguardo è necessario definire cosa siano le cerniere plastiche sopra citate.


9

Esse rappresentano limitate porzioni della trave che presentano le seguenti

proprietà:

Sono caratterizzate da un momento sollecitante, che coincide con quello

resistente ultimo, pari a quello plastico;

Permettono rotazione fintantoché la curvatura ϕ risulta inferiore a quella

massima consentita dalla cerniera stessa.

Infatti esse sono caratterizzate dai grafici che definiscono la relazione momento-

curvatura e momento-abbassamento, di cui si riporta l’andamento di seguito:

Figura 1.8 – Cerniera plastica. (a) Legame momento-curvatura, (b) Legame momento-spostamento (Hughes 1976)

Si consideri come esempio una trave doppiamente incastrata soggetta ad un carico

trasversale q(x,y).


10

Figura 1.9 – Schema di una trave doppiamente incastrata con carico trasversale q e andamento dei momenti flettenti sollecitanti al limite elastico (in verde) e a collasso (in rosso)

Prima di giungere a rottura essa deve plasticizzarsi diventando una struttura labile

arrivando a definire 3 cerniere plastiche, due posizionate negli incastri mentre

l’ultima da determinarsi in funzione della distribuzione del carico. Ad esempio nel

caso fosse uniformemente distribuito allora si localizzerebbe in mezzeria perché le

cerniere plastiche rispettano la simmetria della trave.

Questo esempio appena citato ci permette di affermare, nel rispetto della teoria

allo stato limite ultimo, che per una struttura iperstatica si hanno i seguenti

vantaggi:

Non collassa quando plasticizza e raggiunge il momento o la curvatura limite

per la prima sezione;

Esiste la possibilità di incrementare ulteriormente il carico rispetto a quello

necessario per raggiungere il comportamento critico per la prima sezione.


11

Partendo da questi presupposti risulta dunque possibile ricercare la soluzione del

problema secondo due modalità:

Si ipotizza un determinato numero di meccanismi di rottura e si ricerca il

carico di collasso per tutti i casi considerati. Il valore minimo trovato è quello

che definisce il meccanismo di collasso più probabile tra quelli ipotizzati.

Questo tipo di approccio restituisce una soluzione cinematicamente

ammissibile;

Si determina la soluzione ricercando l’equilibrio della struttura lavorando

sulla distribuzione dei momenti arrivando a definire una soluzione

staticamente ammissibile.

Di conseguenza se si volesse conoscere la soluzione esatta del problema sarebbe

necessario considerare entrambi gli approcci, dato che il primo restituisce una

soluzione approssimata per eccesso mentre il secondo definisce una soluzione

approssimata per difetto. Si dovrebbe dunque ipotizzare un numero adeguato di

meccanismi di rottura e di distribuzione dei momenti per far convergere la

soluzione quella esatta.

Le limitazioni di questi approcci sono date dal fatto che si considera solo il collasso

causato dal raggiungimento di una distribuzione di momento critica e si trascura ad

esempio quello causato dal taglio.

1.4 STATO LIMITE PER LE PIASTRE

Come per il caso precedente applicato alle travi, anche in questo caso si ritiene

possibile che il collasso sia causato unicamente da una distribuzione di momento

flettente limite causata da un carico trasversale alla piastra.

Infatti dato che nelle piastre lo spessore solitamente è ridotto, e di conseguenza

sono presenti basse percentuale di armatura, il collasso per taglio è trascurabile.

Questa assunzione è ragionevolmente giustificata anche perché il taglio ha un


12

comportamento localizzato e una volta raggiunta la capacità limite la ripartisce agli

elementi circostanti, grazie all’iperstaticità della piastra, mentre il comportamento a

flessione risulta un fenomeno distribuito all’interno dell’elemento considerato.

Inoltre si suppone che la piastra sia caratterizzata da una duttilità adeguata che

possa garantire rotazioni sufficientemente ampie per lo sviluppo completo delle

yield lines (o linee di plasticizzazione), l’analogo delle cerniere plastiche delle travi.

Come nel paragrafo precedente è possibile ritenere valide le soluzioni trovate con i

due approcci per ricercare la soluzione cinematicamente e staticamente

ammissibile.

Soluzione cinematicamente ammissibile: definisce un meccanismo di rottura

garantendo che il momento nelle yield lines non sia maggiore di quello

ultimo e che il collasso sia compatibile con le condizioni al contorno (ad

esempio se esiste un lato semplicemente appoggiato deve essere garantita

un’eventuale rotazione attorno allo stesso e non deve essere presente

abbassamento lungo il lato stesso).

Soluzione staticamente ammissibile: definisce una particolare distribuzione

dei momenti al collasso tale che sia ovunque minore o uguale quello limite e

che l’equilibrio sia garantito ovunque.

Un esempio per il primo approccio è dato dalla teoria delle yield lines.

1.5 TEORIA DELLE YIELD LINES

Il Metodo delle Linee di Plasticizzazione è di semplice applicazione ma efficace,

permettendo di investigare condizioni di collasso di strutture piuttosto complicate.

Questo metodo ha anche una solida base teorica che riprende il teorema

cinematico dell’Analisi Limite (si veda ad esempio Nielsen 1984).


13

Essendo un approccio classico per l’analisi delle piastre, il metodo delle Yield Lines è

trattato in molti articoli scientifici e libri. Per piastre in C.A., molti riferimenti

possono essere trovati in libri eccellenti come Ferguson (1988), Park e Gamble

(2000), e Kennedy e Goodchild (2004). In particolare per la successiva trattazione ci

si è riferiti principalmente a quello scritto da Park (1963).

Con l’utilizzo del Principio dei Lavori Virtuali, ipotizzando un particolare meccanismo

di collasso, è possibile determinare il carico critico associato. Il meccanismo di

collasso ipotizzato è determinato in particolare dalla disposizione spaziale nella

piastra delle yield lines (linee di plasticizzazione). Queste ultime, come detto in

precedenza, svolgono per la piastra lo stesso ruolo delle cerniere plastiche nelle

travi.

Si assumono quindi che valgano le seguenti ipotesi per tali linee:

Esse si propagano fino a raggiungimento dei lati della piastra;

Sono rettilinee;

Passano per l’intersezione degli assi di rotazione dei conci adiacenti;

L’asse di rotazione si trova generalmente lungo la linea di supporto e

passano per le colonne;

Sono simmetriche se tale proprietà vale sia per i vincoli della piastra sia per il

carico applicato.

Inoltre quando si deve definire il meccanismo è necessario tenere conto del tipo di

vincoli presenti lungo bordi. Solitamente si ha la presenza di un lato:

Semplicemente appoggiato (in inglese “Simply Supported” – SS), che

garantisce spostamento nullo e rotazione diversa da zero;


14

Incastrato (in inglese “Clamped” – CL), che ha come nel caso SS spostamento

nullo ma rotazione nulla nella configurazione iniziale, mentre a collasso

incipiente tale lato è da considerarsi come una delle yield lines che

caratterizzano il meccanismo di collasso.

Libero (in inglese “Free Edge” – FE) che presenta sia spostamento che

rotazione arbitraria.

Si consideri ora la Figura 1.10, dove si riporta un esempio di meccanismo reale

determinato tramite prove di carico uniformemente distribuito applicato ad una

piastra semplicemente appoggiata lungo i 4 lati svolte alla Technical University di

Berlino.

Figura 1.10 – Esempio di meccanismo di collasso reale


15

Partendo da questo caso si osserva come si sviluppano le yield lines

all’incrementare del carico (Figura 1.11).

Di conseguenza, ipotizzando che la piastra sia inizialmente in campo elastico, si

desidera valutare il carico critico, avendo considerando un meccanismo simile a

quello sperimentale sopra riportato.

Figura 1.11 – Sviluppo del meccanismo di collasso

Il carico applicato alla piastra viene incrementato fino al raggiungimento di quello

limite e si ipotizza che ci sia sufficiente duttilità tale da permettere la redistribuzione

dei momenti all’interno della piastra.

In un primo momento, quando si raggiunge il limite elastico, una zona ridotta al

centro della piastra inizia a snervarsi e a passare in campo plastico.

Successivamente le yield lines, partendo da questa prima zona, tendono a

svilupparsi fino a che, secondo il meccanismo di collasso reale, non raggiungono i

bordi della piastra formando anche linee di plasticizzazione lungo i bordi, se

incastrati. Una volta sviluppato l’intero meccanismo si è raggiunto il carico critico,

che non può essere oltrepassato in alcun modo.


16

Si riportano di seguito altri due esempi di meccanismi di rottura:

Figura 1.12 – Esempi di meccanismi di rottura secondo la teoria delle yield lines

Per valutare quindi la capacità portante massima si applica il Principio dei Lavori

Virtuali (PLV) al meccanismo in condizioni di collasso incipiente (si veda Park e

Gamble 2000; Bamonte e Gambarova 2009). Tuttavia perché questo sia corretto,

come già accennato in precedenza, risulta necessario che si abbia sufficiente

duttilità per sviluppare l’intero meccanismo e siano trascurabili le deformazioni

elastiche rispetto a quelle plastiche.

Una volta definito il meccanismo, qualunque esso sia, è fondamentale andare a

valutare i momenti resistenti ultimi per le differenti posizioni e direzioni della

piastra, in modo analogo alle travi con l’unica differenza che si deve imporre una

larghezza unitaria della sezione considerata.

Figura 1.13 – Sezione in C.A. Distribuzione degli sforzi in campo elastico e plastico


17

Questo passaggio è necessario per la valutazione del carico critico attraverso il PLV

(Principio dei lavori virtuali).

Si assume che:

Gli spostamenti e le deformazioni possono essere ritenute sufficientemente

ridotte;

I momenti che operano sono quelli normali alla linea di rottura.

Note queste due assunzioni è possibile semplificare il problema: il lavoro svolto dal

momento normale per la corrispondente rotazione della yield line è uguale al lavoro

compiuto dalle due componenti di momento in direzione X e Y per le rispettive

rotazioni, componenti X,Y anch’esse della rotazione reale.

Questo approccio è solitamente usato nel caso di piastre con proprietà meccaniche

e geometriche sufficientemente regolari. Infatti, nel caso in cui le armature siano

distribuite in modo uguale nelle due direzioni principali (in modo isotropo o

ortotropo) e lo spessore risulta essere costante, la risoluzione a livello di calcolo si

semplifica notevolmente (si veda a titolo di esempio la trattazione di Guidotti e Titi

2009).

Si applica ora il Principio dei Lavori Virtuali che impone l’uguaglianza tra il Lavoro

Interno e quello Esterno definiti come seguono:

Il Lavoro Interno è dunque caratterizzato dalle n yield lines presenti nel

meccanismo, con che rappresenta il momento resistente normale j-esimo, la

rotazione relativa alla e la lunghezza della j-esima linea.


18

Se si disaccoppiasse il problema nelle direzioni x ed y si otterrebbe la seguente

espressione:

Il Lavoro Esterno invece è definito dal prodotto tra il carico applicato e

l’abbassamento integrato sulla superficie media della piastra.

con abbassamento virtuale. Nel caso particolare si abbia un carico:

Uniformemente distribuito allora l’espressione è possibile riscriverla nel

seguente modo:

con che definisce il volume del solido che si determina tra la

configurazione iniziale e quella deformata;

Concentrato in un punto P(x,y) si ottiene invece:

Di conseguenza si è in grado di determinare il carico di collasso.

Solitamente il meccanismo di collasso dipende da uno o più parametri che

definiscono la geometria esatta dello stesso, come ad esempio la distanza da un

lato di un punto che caratterizza l’intersezione tra 2 o più yield lines.

Per ricavare dunque l’esatto valore degli stessi, e come diretta conseguenza il carico

critico, si deve determinare la soluzione di minimo del carico rispetto a tali

parametri, cioè si ricerca la condizione di stazionarietà della funzione e si risolve la

stessa in funzione della variabile .


19

Noto il valore di tale parametro lo si sostituisce nell’espressione del carico così da

ottenere il valore di carico di collasso minimo associato a tale geometria.

20

2 DESCRIZIONE DELL’OPERA E MODELLAZIONE

STRUTTURALE

2.1 LOCALIZZAZIONE E DESCRIZIONE DELLA PIASTRA

La piastra, presente

nell'impianto di depurazione

acque reflue di Milano

Nosedo, è posizionata a Sud di

un passaggio sopraelevato

carrabile. I carichi agenti sulla

struttura sono dati dai mezzi

d'opera che trasportano

liquami o prodotti per la

disinfezione.

Figura 2.1 – Schema piastra

La piastra ha forma pressoché quadrata e permette il passaggio dei mezzi in

direzione Nord-Sud. Il lato Est è libero, i lati Ovest e Sud sono incastrati o appoggiati

ai muri sottostanti mentre il lato Nord è parzialmente incastrato ai muri sottostanti,

essendo vincolato ad entrambi gli estremi per un quarto della sua lunghezza e libero

nella restante porzione centrale. Importante è notare che la continuità a Nord tra la

piastra e la soletta, che prosegue lungo il passaggio carrabile posizionato tra due

serie di vasche, rende di fatto il vincolo dei muri sottostanti un incastro. Infine in

direzione Est-Ovest, al di sotto del lato Est, vi è l'accesso alla lunga galleria (Cunicolo

Tecnologico) posizionata tra le due serie di vasche.

2.Descrizione dell’opera e modellazione strutturale

21

Il lato Est è rimasto libero fino al Dicembre 2014 e in seguito è stato rinforzato

tramite l'apposizione per l'intera lunghezza di una trave in C.A. con sezione a L. La

base della trave è ancorata alla piastra tramite dei pioli Nelson e questo garantisce

una perfetta aderenza tra i due elementi. L'ala verticale della trave funge da

parapetto mentre quella orizzontale funge da marciapiede. Un marciapiede, largo

quanto l'ala orizzontale della trave a L, è posto sul lato Ovest non tanto per irrigidire

la piastra, che lungo quel lato è già appoggiata/incastrata alla parete sottostante,

quanto per garantire un restringimento della carreggiata, in modo da evitare il

passaggio contemporaneo di due mezzi d'opera.

Figura 2.2 – Posizionamento pareti, marciapiedi e trave di bordo

È stato deciso inoltre di ispezionare il collegamento fra il lato Nord e la soletta che

costituisce la carreggiata al di sopra del Cunicolo Tecnologico. In una prima fase si

procede con la scarnificazione del collegamento, constatando che i ferri di armatura

che escono dalla piastra non proseguono per una lunghezza sufficiente a sviluppare

l’aderenza nella soletta. Dunque sono stati apposti dei ferri aggiuntivi in modo da


22

rendere solidale il collegamento fra la piastra e la soletta ed è stata terminata

l’operazione ricoprendo tutto con della malta cementizia.

Figura 2.3 – Rampa d’accesso al cunicolo tecnologico

Infine è stato deciso di attuare un’ultima opera di rafforzamento apponendo al

lembo inferiore della piastra delle strisce di FRP (polimeri fibro-rinforzati) in

entrambe le direzioni, le quali permettono un incremento della capacità portante

andando a collaborare con l’armatura al positivo. La loro presenza è stata trascurata

durante le fasi di progetto e verifica della piastra eseguite in seguito.

A questo punto, una volta migliorate le proprietà strutturali della piastra in esame,

sono state svolte due prove di carico utilizzando un autocarro a pieno carico, con

l’obiettivo di valutare gli abbassamenti tramite l’utilizzo di 9 LVDT (trasduttori di

spostamento induttivo).


23

Figura 2.4 – Vista dal lato Sud

2.2 GRANDEZZE GEOMETRICHE E MECCANICHE

In questo paragrafo sono descritte le principali proprietà della piastra in C.A. e della

trave di bordo presente sul lato Est. Questi sono i due elementi fondamentali della

struttura che si analizzerà in seguito.

Per quanto riguarda la piastra, essa ha forma rettangolare e si sviluppa per

in direzione X e in direzione Y, con uno spessore di . Dunque:

Lato Nord/Sud:

Lato Est/Ovest:

Spessore:


24

Figura 2.5 - Geometria in pianta

Figura 2.6 – Geometria sezioni

Si nota immediatamente come la differenza delle misure nelle due direzioni sia

relativamente piccola, infatti loro rapporto è:

Dunque è ragionevole pensare la piastra come quadrata di lato .


25

Comunemente una piastra può essere considerata sottile se il rapporto tra il suo

spessore e la dimensione minore nel piano medio sia minore di

, e

dunque nel caso in esame:

Il calcestruzzo utilizzato è di classe C25/30, dunque la sua resistenza caratteristica

risulta:

Per quanto riguarda l’armatura, non si è un possesso di disegni che attestino in

modo certo diametri, passi e disposizione dei ferri e dunque è stato deciso di

riprogettarla. Sulla base del Decreto Ministeriale del 14/09/05 riguardante l’acciaio

nervato, è stato scelto di utilizzare barre B450C la cui resistenza caratteristica è:

Come impone la normativa, la resistenza di progetto si calcola come:

Nella fase di progetto, che verrà discussa in seguito, si pone come obiettivo quello

di ottenere un’armatura a maglia quadrata sia al lembo inferiore che a quello

superiore, senza superare i quantitativi di armatura necessari per “coprire” i

momenti flettenti sollecitanti.

Passando invece alla descrizione dalla trave di bordo presente sul lato Est a seguito

delle operazioni di rafforzamento, essa ha una sezione a L. L’ala orizzontale funge

da marciapiede e ha come scopo principale, come detto in precedenza, quello di

restringere la carreggiata, mentre l’ala verticale che funge da parapetto fornisce un

importante contributo strutturale irrigidendo l’unico lato libero.


26

Anche sul lato Ovest è presente un marciapiede privo di parapetto con medesime

dimensioni in sezione.

Figura 2.7 – Sezione trave di bordo e armatura

Il calcestruzzo utilizzato per la trave è di classe C60/75 e dunque .

Per quanto riguarda le barre d’armatura, dai dati progettuali risulta che siano state

utilizzate barre di diametri e con le seguenti caratteristiche:

Infine si nota che i marciapiedi, che comunque sia forniscono un contributo alla

capacità portante della piastra, sono collegati ad essa con pioli Nelson di diametro

immersi per , i quali garantiscono una perfetta collaborazione dei due

elementi.


27

2.3 PROVE DI CARICO

La piastra, oggetto dello studio, è stata sottoposta a due prove di carico

posizionando un autocarro a 4 assi sulla piastra. Il mezzo ha una massa di

, ripartiti in modo differente fra assi anteriori e posteriori. Le posizioni di

carico individuate sono state due (Figura 2.8), la prima con gli assi posteriori centrati

nel baricentro della piastra e la seconda con gli assi posteriori posizionati in

prossimità della mezzeria del lato Nord.

Figura 2.8 – (a) Posizione di carico 1 e (b) Posizione di carico 2

In particolare gli assi posteriori hanno massa pari a e in

entrambe le posizioni appena descritte gli assi anteriori, di massa

andavano ad appoggiare al di fuori della piastra, a Nord lungo la soletta che funge

da passaggio sopraelevato. Con 9 trasduttori di spostamento induttivi,

comunemente chiamati LVDT, si sono misurati gli abbassamenti di ogni prova e di

seguito si riporta il loro posizionamento al si sotto della piastra (Figura 2.10) e i

valori di spostamento rilevati.


28

Figura 2.9 – Attivazione LVDT

Figura 2.10 – Posizionamento LVDT


29

Posizione di carico 1

Mediana Ovest-Est

Strumento C A B G

Abbassamento [mm] 0.500 1.140 0.775 0.285

Mediana Sud-Nord

Strumento D A E F

Abbassamento [mm] 0.720 1.140 0.760 0.235

Lato Est

Strumento H G I

Abbassamento [mm] - 0.285 0.215


Mediana Ovest-Est

Strumento C A B G

Abbassamento [mm] 0.370 0.590 0.480 0.235


30

Mediana Sud-Nord

Strumento D A E F

Abbassamento [mm] 0.365 0.590 0.865 0.865

Lato Est

Strumento H G I

Abbassamento [mm] 0.165 0.235 0.205

2.4 MODELLAZIONE AD ELEMENTI FINITI

Data l’entità del carico, la prova è stata svolta sostanzialmente in regime elastico e

dunque è stato deciso modellare con il programma di calcolo ad Elementi Finiti

SAP2000 la piastra. A questo riguardo è risultato utile consultare CSI analysis

reference manual for SAP2000.

2.4.1 Modellazione

Elementi piastra

Definita la griglia e i nodi di interesse, inizialmente è stato fatto uso di elementi

Shell-Thin per ricostruire la piastra.

Nella parte centrale, in direzione Sud-Nord, lo spessore è pari a e dunque è

stato impostato tale valore con un calcestruzzo di classe C25/30. Lungo i lati Est e

Ovest vi sono 2 marciapiedi di calcestruzzo C60/75 posti nella parte superiore della

piastra e solidali ad essa, di spessore . In questo caso è stato scelto di

aumentare uniformemente lo spessore della piastra e mantenere come calcestruzzo


31

il C25/30, ricercando le proprietà inerziali del marciapiede e ponendole uguali alla

piastra con nuovo spessore. Questa operazione è abbastanza semplice e consiste

nell’imporre l’uguaglianza fra il momento d’inerzia del marciapiede reale e il

momento d’inerzia dell’ispessimento da aggiungere alla piastra, normalizzando

tutto rispetto al modulo di Young medio del calcestruzzo C25/30. Facendo

riferimento alle grandezze rappresentate in Figura 2.11, il bilancio tra momenti

d’inerzia è il seguente:

Figura 2.11 – Modellazione del marciapiede

Le formule utilizzate per la valutazione del modulo elastico medio sono quelle

fornite dalle NTC 14/01/08.


32

Si ottiene così che lo spessore necessario, per avere le medesime proprietà inerziali

è pari a:

Elemento trave

Il medesimo approccio, adottato per i marciapiedi, è stato utilizzato per modellare

l’ala verticale della trave di bordo che funge da parapetto e dà un notevole

contributo all’irrigidimento del lato libero ad Est della piastra. Ovviamente anche

questo elemento è composto da un calcestruzzo C60/75 e il suo baricentro non

coincide con quello della piastra.

L’obiettivo è quello di ottenere un elemento rettangolare con baricentro

coincidente con quello della piastra con medesime proprietà inerziali e anche di

peso. Queste due condizioni permettono di fatto di ritrovare le due incognite

(c*,t*).


33

Facendo riferimento alle grandezze rappresentate in Figura 2.12, il bilancio tra

momenti d’inerzia è:

Figura 2.12 – Modellazione del parapetto

La seconda equazione rappresenta la condizione riguardante il peso. Risolvendo il

sistema di due equazioni si ottiene:


34

Ricavate queste due misure è stato considerato che l’elemento Frame fosse troppo

distorto e dunque la soluzione a Elementi Finiti potesse essere soggetta a problemi

di convergenza.

È stato deciso in parallelo di creare un modello identico che però avesse una trave

di bordo la cui sezione fosse ancora rettangolare con altezza tripla della base. In

questo modo l’elemento modellato è meno distorto, ma più pesante della trave di

bordo realmente presente (essendo l’area della sezione maggiore). Dunque una

volta calcolato il peso lineare aggiuntivo, è stato applicato un carico costante fittizio

lungo tutto l’elemento trave diretto verso l’alto con l’obiettivo di compensare il

quantitativo di peso aggiuntivo. Gli abbassamenti forniti da questo nuovo modello

sono risultati fortemente simili a quelli del modello precedente con sezione della

trave , dunque risulta evidente che la distorsione non causa problemi

alla soluzione finale.

Vincoli

Si ricorda che la piastra è vincolata a muri sottostanti lungo i lati Nord, Ovest e Sud

mentre il lato Est risulta libero. Inoltre la piastra lungo il bordo Nord è collegata in

modo solidale alla soletta, che costituisce la carreggiata sopraelevata al di sotto

della quale si sviluppa il Cunicolo Tecnologico. Questa continuità permette di

garantire, almeno a Nord, un vincolo di tipo incastro. Lungo i lati Ovest e Sud invece

sono state studiate diverse soluzioni per modellare il problema andando ad

individuare 3 casi.


35

Modello incastrato

Figura 2.13 – Deformata modello incastrato

Questo è il modello vincolato in maniera più rigida infatti tutti i muri sono pensati

come vincoli di incastro per la piastra.


36

Modello misto

Figura 2.14 – Deformata modello misto

Lungo tutto il lato Ovest e in corrispondenza dei marciapiedi a Sud, i vincoli sono di

tipo appoggio; nella porzione centrale della piastra il vincolo di incastro permane.

Questa scelta, che in un primo momento sembra poco logica, è giustificata dal fatto

che i marciapiedi sono collegati in modo solidale con la piastra sottostante ma non

hanno di fatto vincoli ulteriori. Dunque nel momento in cui si consideri il loro

contributo di irrigidimento molto rilevante, i vincoli della piastra stessa possono

essere “declassati” a semplici appoggi.


37

Modello appoggiato

Figura 2.15 – Deformata modello appoggiato

In questo ultimo caso i lati Ovest e Sud sono appoggiati, dunque i collegamenti

muro-piastra sono considerati privi di rigidezza flessionale e di fatto le rotazioni ai

bordi della piastra (soggetta al peso proprio e al carico di prova) sono libere.

Nella realtà i vincoli forniti dalle pareti di sostegno non sono né incastri perfetti né

appoggi semplici. Anche nel caso in cui i collegamenti muro-piastra fossero ben

eseguiti, con ferri d’armatura correttamente innestati nei due elementi, la parete,

sotto l’azione di carichi verticali di qualsiasi natura, si infletterebbe e di fatto

consentirebbe una rotazione del bordo, non permessa nel caso di incastro.


38

Carichi

Il programma di calcolo, a seconda dei materiali che costituiscono i vari elementi del

modello, valuta in automatico il peso proprio. Le prove di carico eseguite sulla

piastra sono state due, la prima con l’impronta di carico posizionata nel baricentro

della piastra e la seconda posizionata nella mezzeria del lato Nord. L’impronta di

carico è x , dunque è stato scelto di modellare l’azione degli pneumatici

dell’autocarro con 4 forze concentrate poste negli spigoli dell’impronta di carico

stessa per entrambe le posizioni di carico. Nel caso della posizione 2 è stato deciso

di provare a modellare il carico come un’unica forza concentrata nel baricentro

dell’impronta, con l’obiettivo di migliorare l’andamento degli abbassamenti forniti

dal modello ad Elementi Finiti.

Figura 2.16 – Deformate per posizioni di carico 1 e 2

Discretizzazione

Infine, per quanto riguarda la discretizzazione, è stato deciso di utilizzare un reticolo

composto da elementi quadrangolari con dimensione massima di , al fine di

ottenere risultati sufficientemente accurati e non aumentare inutilmente l’onere

computazionale.


39

2.4.2 Andamento degli abbassamenti

Nei seguenti grafici sono riportati, per ogni tipologia di carico, gli spostamenti forniti

dai tre modelli al variare dei vincoli. In blu è indicato l’andamento degli

abbassamenti nel modello incastrato, in rosso l’andamento del modello misto e in

verde il modello appoggiato. I valori puntuali di spostamento misurati dagli LVDT

sono rappresentati graficamente con dei pallini neri.


Mediana Ovest-Est

Figura 2.17 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —,

prove sperimentali

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2000 4000 6000 8000

w[m

m]

x[mm]


40

Mediana Sud-Nord


prove sperimentali

Lato Est


prove sperimentali

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]


41


Mediana Ovest-Est


prove sperimentali

Mediana Sud-Nord


prove sperimentali

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2000 4000 6000 8000

w[m

m]

x[mm]

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]


42

Lato Est


prove sperimentali

Posizione di carico 2 – con carico concentrato nel baricentro dell’impronta

Mediana Ovest-Est


prove sperimentali

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2000 4000 6000 8000

w[m

m]

x[mm]


43

Mediana Sud-Nord


prove sperimentali

Lato Est


prove sperimentali

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]


44

Osservazioni:

1. Naturalmente gli abbassamenti forniti dal modello aumentano se i vincoli ai

bordi divengono meno rigidi. Infatti passando da vincoli ad incastro a vincoli

di appoggio gli spostamenti aumentano in tutti i casi.

2. Nella maggior parte dei casi gli abbassamenti rilevati sono inferiori al

millimetro, di conseguenza anche la minima imprecisione nel rilevamento

degli abbassamenti con LVDT può dare errori di misurazione, in percentuale,

elevati.

Questo non facilita certo l’accordo tra dati sperimentali e risultati forniti dal

modello a Elementi Finiti. È giustificato dunque il fatto che in alcuni casi

anche il modello “appoggiato” fornisca valori di spostamento minori di quelli

realmente misurati in sito durante la prova di carico.

3. Un ulteriore aspetto che non tiene in considerazione il modello ad Elementi

Finiti è la possibilità che durante la prova vi siano assestamenti oppure la

nascita di fessure, che possano indebolire la piastra. Infatti anche se le prove

sono state condotte in regime elastico, queste eventualità, in un materiale

scarsamente omogeneo come il calcestruzzo, non possono essere escluse.

Alla luce di ciò è ragionevole osservare in alcuni casi valori di spostamento

reali maggiori di quelli forniti dai modelli con vincoli di appoggio.

4. Nella posizione di carico 2, lungo la mediana Sud-Nord, l’andamento degli

abbassamenti dei punti E e F, fornito dalla prova di carico, è molto simile. Il

modello ad Elementi Finiti che meglio approssima questo comportamento

della piastra è quello con carico concentrato nel baricentro, mentre il

modello con i 4 carichi disposti negli spigoli dell’impronta, si discosta

notevolmente dalla realtà.

5. I dati sperimentali sono molto prossimi ai modelli “misto” e “appoggiato”,

dunque è ragionevole pensare che i collegamenti muro-piastra non siano

completamente efficienti oppure che le pareti siano piuttosto deformabili.


45

A conclusione di questo paragrafo è riportato il confronto fra i grafici del carico in

posizione 2 nel caso di 4 forze disposte ai vertici dell’impronta (linea continua) e

forza disposta nel baricentro (linea tratteggiata). Si prendono in considerazione le

tipologie di vincolo misto e appoggiato:

Misto:

Mediana Ovest-Est


sperimentali

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

w[m

m]

x[mm]


46

Mediana Sud-Nord


sperimentali

Lato Est


sperimentali

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]


47

Appoggio:

Mediana Ovest-Est


sperimentali

Mediana Sud-Nord


sperimentali

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 2000 4000 6000 8000

w[m

m]

x[mm]

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]


48

Lato Est


sperimentali

Cambiando la tipologia di carico si nota che gli andamenti degli spostamenti forniti

dai due modelli ad Elementi Finiti non si modificano in modo rilevante. Solamente

lungo la mediana Sud-Nord si hanno abbassamenti significativamente differenti per

entrambe le tipologie di vincoli ai bordi. Infatti nel caso si concentri tutto il carico

nel baricentro dell’impronta gli spostamenti, procedendo verso Nord, tendono ad

aumentare, avvicinandosi a quelli reali rilevati dagli strumenti E ed F.

Il caso di piastra completamente incastrata non è stato analizzato in quanto il

modello fornisce risultati dissimili da quelli reali.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

w[m

m]

y[mm]

49

3 DIMENSIONAMENTO DELL’ARMATURA

L'obiettivo di questa fase è quello di valutare i momenti sollecitati ai quali è

soggetta la piastra e dimensionare di conseguenza l'armatura al lembo superiore e

inferiore nelle due direzioni X e Y. Per far ciò si rende necessaria la valutazione di:

Momento massimo positivo in X Armatura lembo inferiore in X

Momento massimo positivo in Y Armatura lembo inferiore in Y

Momento massimo negativo in X Armatura lembo superiore in X

Momento massimo negativo in Y Armatura lembo superiore in Y

3.1 METODO DELLE STRISCE O DI HILLERBORG

Per la valutazione dei momenti sollecitanti, dati da peso proprio della struttura e

carichi variabili, è stato adottato il Metodo delle Strisce o di Hillerborg (Hillerborg

1996), che rientra nell’approccio staticamente ammissibile dell’Analisi Limite. Nella

seguente introduzione al metodo si fa riferimento a “Linee Guida per la

Progettazione delle Piastre in C.A.” (Gambarova, Coronelli, Bamonte 2008)

Nell'ambito del Metodo Statico lo stato limite ultimo di una piastra suddivisa in

strisce è caratterizzato dal raggiungimento, in una o più sezioni, del momento

limite, in un contesto di equilibrio sia dell'intera struttura che di ogni sua singola

parte. Come è noto, il campo dei momenti obbedisce all'equazione dell'equilibrio

flessionale della piastra:

Esistono, a priori, infiniti campi di momento in grado di soddisfare l'equazione, ma

solo uno è in grado di rispettare i vincoli. Ad eccezione di un limitato numero di casi

semplici, è pressoché impossibile determinare la soluzione con il Metodo Statico


50

senza l'uso di mezzi di calcolo automatici. Tuttavia è possibile ottenere soluzioni

soddisfacenti utilizzando il Metodo delle Strisce (Hillerborg 1996), che bene si

adatta all'intuizione dell'Ingegnere ed è di uso semplice. Tale metodo, proposto da

Hillerborg, considera trascurabile il contributo della torsione di modo che

l'equazione precedente assuma la forma seguente:

L'ipotesi di inefficacia della torsione di una piastra in C.A. fessurata trova la sua

giustificazione nella limitata profondità della zona compressa ,

ove il flusso delle tensioni tangenziali associate alla torsione ha braccio piuttosto

piccolo. A ciò si aggiunga la modesta efficacia dell'ingranamento degli inerti e

dell'azione di spinotto in presenza di valori medio-piccoli sia per l'aggregato, che per

il diametro delle barre d'armatura, situazioni queste molto frequenti nelle piastre.

Comunque i tre meccanismi resistenti a torsione (zona compressa, azione di

spinotto ed ingranamento delle particelle di aggregato) non sono necessariamente

simultaneamente attivi in quanto, all’avvicinarsi della situazione ultima, la zona

compressa si riduce, l’ingranamento perde di efficacia e l’azione di spinotto acquista

di importanza, per poi perderla allorché le barre si plasticizzano.

Dal punto di vista meccanico, trascurare la torsione significa ipotizzare che la piastra

si comporti come un insieme di strisce disposte nelle direzioni X e Y, ciascuna

soggetta a flessione e taglio. In tale ottica, la stessa equazione

fa intendere che le strisce in direzione X assorbono una

quotaparte del carico (con compreso tra 0 e 1), e le strisce Y la restante

quotaparte .


51

Con riferimento ai momenti sollecitanti l'armatura ed alla situazione ultima dei

carichi, l'equazione precedente dà origine alle seguenti due equazioni:

Queste equazioni rappresentano altrettanti comportamenti a trave delle strisce X e

Y, che sono vincolate agli estremi in accordo con i vincoli dei vari lati della piastra.

Inoltre, potendosi dare ad qualsiasi valore compreso fra 0 e 1, sempre nel rispetto

dell'equilibrio rappresentato dalle ultime due equazioni, il carico lungo le strisce si

presenta come variabile (se varia da punto a punto) oppure come uniforme

(sull'intera lunghezza della striscia, se è costante, oppure su lunghezze parziali, se

è variabile per zone).

Nel caso in esame è stata considerata la piastra quadrata con lati di , suddivisa in

4 strisce da l'una in entrambe le direzioni e in assenza della trave di bordo.

L'unico lato libero è quello Est mentre i restanti sono vincolati in modo differente:

Tutti incastrati;

Tutti appoggiati.

Le tipologie di carico che si individuano sono due:

Carico uniformemente distribuito;

Carico concentrato.


52

Figura 3.1 – Suddivisione della piastra in strisce

Nel caso di carico uniformemente distribuito si fa riferimento alle Norme Tecniche

per le Costruzioni (Decreto Ministeriale del 14 gennaio 2008). Essendo la piastra in

direzione Nord-Sud lunga circa, è possibile supporre che il numero massimo di

assi di un automezzo che fisicamente possono poggiare sulla piastra sia 4 . Infatti

nella Figura 3.2, preso in considerazione il mezzo 3, l’asse posteriore della motrice

dista dall’ultimo asse del rimorchio.


53

Figura 3.2 – Veicoli frequenti

Con riferimento al Modello di Catalogo delle Pavimentazioni Stradali, una tipica

realtà stradale in Italia presuppone un carico massimo di 12 tonnellate per asse.

Inoltre considerando anche il Nuovo Codice della Strada (Decreto Legislativo 30

Aprile 1992) viene detto esplicitamente che l’asse più caricato non deve superare

mai le 12 tonnellate.

Dunque non conoscendo a priori i carichi per ogni asse dei mezzi che transiteranno

sull’opera, si considerano tutti 4 gli assi caricati con per un totale di .


54

Quindi:

con coefficiente amplificativo dei carichi variabili allo stato limite ultimo e

accelerazione di gravità. Si calcola quindi il carico per unità di lunghezza di una

striscia avente larghezza L di 2 metri:

Nel caso di carico concentrato si considerano 2 assi, 12 tonnellate ciascuno,

posizionati in prossimità della mezzeria del lato libero (Est), zona di maggiore

debolezza della piastra vista l’assenza di vincolo lungo questo bordo. Dunque si

hanno 4 impronte da l'una che allo stato limite ultimo trasferiscono alla piastra 4

carichi ciascuno pari a:

In entrambi i casi è necessario anche considerare il peso proprio del calcestruzzo,

che risulta essere di fatto un carico uniformemente distribuito su tutta l'area della

piastre. Il peso specifico è:

Considerando lo spessore t di , strisce di larghezza costante L di e il

coefficiente amplificativo del peso proprio pari a 1.3 si ottiene:

il quale si somma nel caso di carico distribuito a oppure risulta essere l'unico

carico su unità di lunghezza nel caso di carico concentrato.

A questo punto si passa alla valutazione dei momenti sollecitanti per le varie

tipologie di carico e vincolo ai bordi tramite il Metodo delle Strisce.


55

3.1.1 Piastra appoggiata con carico distribuito

Si procede con l'assegnazione del valore del coefficiente (compreso tra 0 e 1) ai

vari campi individuati.

Ricordando che i momenti nelle direzione X e Y di una piastra soggetta a un

generico carico uniformemente distribuito p sono calcolati come:

allora con valori di più prossimi all'unità si intende che il momento nella direzioni

X prevale, viceversa con valori più prossimi allo zero. Dunque considerando i casi

limite si ha:

il momento agisce solo in direzione X;

il momento agisce solo in direzione Y.

Scelti i coefficienti per i vari campi, si studiano le strisce maggiormente caricate: in

direzione X si studia una delle due strisce centrali di lunghezza , sezione BB,

mentre in direzione Y si studia la striscia AA più vicina al lato libero di lunghezza .


56

Figura 3.3 – Distribuzione dei coefficienti e strisce maggiormente significative

La striscia BB, come si vede dalla Figura 3.3, ha un appoggio reale a sinistra e un

appoggio fittizio a destra dato dal fatto che poggia virtualmente sulla striscia AA

disposta perpendicolarmente ad essa. Dunque la reazione R dell'appoggio fittizio di

BB va a scaricarsi, in modo uniformemente distribuito, sulla striscia AA che è

ulteriormente sollecitata dal carico r.

Ne risultano 2 travi in semplice appoggio e a questo punto è possibile studiare

l'andamento del momento flettente nelle due direzioni e ricavare i momenti

massimi positivi:


57

3.1.2 Piastra incastrata con carico distribuito


Assegnati i coefficienti ai vari campi si studiano ancora una volta le sezioni AA e

BB nelle due direzioni, come mostrato in Figura 3.4. Il caso incastrato presenta una

difficoltà ulteriore, data dal fatto che le strisce studiate sono entrambe una volta

iperstatiche (la striscia AA è due volte iperstatica ma le due iperstatiche sono

uguali).

Utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali si studia la sezione BB come una mensola,

ponendo come incognita iperstatica la reazione R.


58

Pertanto risulta:

Figura 3.5 – Schema strutturale sezione BB

È quindi possibile studiare il momento flettente nella direzione X. Nella direzione Y

si sceglie di considerare una trave semplicemente appoggiata e di porre come

incognite iperstatiche i momenti agenti agli incastri. È necessario utilizzare due volte

il PLV dato che la trave è caricata dal carico q e dal carico r, ancora una volta dovuto

al fatto che la striscia BB scarica parte del carico sulla striscia AA. Le iperstatiche

sono quindi determinate:

Figura 3.6 – Schema strutturale sezione AA

La correttezza dei conti svolti è stata verificata consultando il Prontuario del

Cemento Armato (Santarella 1994).

Fatto questo si ricava il carico uniformemente distribuito agente solo nella porzione

centrale di come:

e si somma q che agisce sull'intera lunghezza L. A questo punto è possibile studiare

l'andamento del momento flettente e ricavare i massimi momenti negativi.


59

3.1.3 Piastra appoggiata con carico concentrato

Si ricorda che:


In questo caso la piastra è soggetta al carico uniformemente distribuito p, dato dal

peso proprio, e dai quattro carichi concentrati Pc. Come visto precedentemente la

sezione BB ha il vincolo d'appoggio di sinistra reale e quello di destra virtuale e

quindi la reazione R si ripercuote sulla sezione BB.


60

Importante è notare che i coefficienti del carico p sono identici a quelli del primo

caso (vedi Figura 3.3) mentre i coefficienti del carico concentrato sono indicati in

verde in Figura 3.7.

Ancora una volta le sezioni maggiormente sollecitate sono AA e BB e i momenti

massimi calcolati al positivo sono:

3.1.4 Piastra incastrata con carico concentrato


In questo ultimo caso i coefficienti del carico distribuito p sono identici al secondo

caso (Figura 3.4), mentre i coefficienti del carico concentrato sono indicati in verde


61

in Figura 3.8. Come nel secondo caso è necessario utilizzare il Principio dei Lavori

Virtuali e, una volta note le iperstatiche, si studia l'andamento del momento

flettente nelle due direzioni e si ottengono come massimi al negativo:

Momenti massimi sollecitanti

Nel seguente tabella si evidenziano in rosso i momenti massimi sollecitanti, al

positivo e al negativo, nelle due direzioni:

M+ [kNm] M- [kNm]

AA BB AA BB

Appoggio D 503.8 121.0 0.0 0.0

Appoggio C 490.6 76.2 0.0 0.0

Incastro D 157.5 60.8 299.2 145.9

Incastro C 173.7 46.0 309.8 89.9

Tabella 3.1 – Momenti sollecitanti

Con "D" si intende il caso di carico distribuito mentre con "C" quello concentrato.

Per maggiore chiarezza vengono riportati di seguito i momenti massimi al positivo e

al negativo nelle due direzioni:

Importante:

Questi momenti sollecitanti agiscono su strisce di larghezza di 2 metri.


62

Di seguito vengono riportati i grafici degli inviluppi dei momenti flettenti nelle due

direzioni lungo le sezioni, le cui larghezze sono indicate in metri.

Figura 3.9 – Momento sollecitante sezione BB

Figura 3.10 – Momento sollecitante sezione AA

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7

Ms[kNm]

Lx[m]

Sezione BB - Direzione X

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ms[kNm]

Ly[m]

Sezione AA - Direzione Y


63

3.2 ARMATURA E MOMENTI RESISTENTI

Si osserva come i momenti nella direzione Y siano maggiori di quelli agenti nella

direzione X. Questo fatto può essere spiegato ricordandosi il modello di Hillerborg

appena utilizzato: la striscia in direzione X ha, a seconda del caso, un vincolo di

appoggio o incastro a sinistra (lato Ovest) e un vincolo di appoggio fittizio a destra

(lato Est). Quest'ultimo vincolo è sostanzialmente dato dal fatto che la striscia in

direzione X si appoggia su quella in direzione Y, la quale è ben vincolata

nell’estremo Nord che nell’estremo Sud. Di conseguenza in direzione Y la striscia è

caricata oltre che dal carico distribuito e/o concentrato, anche da una quotaparte di

carico nella direzione trasversale, identificabile con la reazione a terra dell'appoggio

fittizio appunto.

Detto questo si procede ad armare la piastra, utilizzando la formula del momento

resistente per travi inflesse allo stato limite ultimo:

dove d è l'altezza utile della sezione, n il numero di barre, il loro diametro e la

resistenza di progetto allo snervamento dell'acciaio.

L'altezza utile d è calcolata come:

dove c è il copriferro, pari a 1.5 diametri.

Dato che i momenti sollecitanti maggiori sono in direzione Y, è stato scelto di porre

più esterne le armature in questa direzione, aumentando così il braccio della coppia

interna (0.9d), e più interne le armature in direzione X. Dunque in direzione Y il

valore di r è il raggio della barra stessa, mentre in direzione X il valore di r è la

somma tra il diametro della barra in direzione Y e il raggio della barra in direzione X.


64

Figura 3.11 – Disposizione barre d’armatura nel piano XZ

Come barre d'armatura sono state scelte le B450C, i cui diametri commerciali vanno

dai a con resistenza caratteristica allo snervamento è pari . Di

conseguenza scegliendo un fattore di sicurezza di 1.15 si ottiene:

Detto questo si calcolano i quantitativi necessari di armatura e i rispettivi passi:

Direzione Ф[mm] n Passo[cm] d [mm] Mr[kNm] Ms[kNm]

X inferiore 14 10 20 275 150.2 121.0

Y inferiore 26 10 20 296 555.3 503.8

X superiore 14 10 20 291 158.8 145.9

Y superiore 20 10 20 309 343.0 309.8

Tabella 3.2 – Armatura e momenti resistenti

Al lembo inferiore è stato scelto un copriferro di mentre al lembo superiore di

. Si ricorda che il dimensionamento dell'armatura è stato fatto su strisce di

larghezza .


65

Di conseguenza sull'intera sezione di risulta:

Lembo inferiore

40 14 direzione X

40 26 direzione Y

Lembo superiore

40 14 direzione X

40 20 direzione Y

Si ottiene sia al lembo superiore che a quello inferiore una maglia quadrata di passo

. Questo rende molto semplice la posa dei ferri in cantiere e diminuisce la

probabilità di errori.

Di seguito sono riportati i grafici degli inviluppi dei momenti sollecitanti con

l'aggiunta dell'armatura appena dimensionata, mettendo quindi in evidenza il

momento resistente che ne deriva:

Figura 3.12 – Momento resitente sezione BB

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7

M[kNm]

Lx[m]



66

Figura 3.13 – Momento resistemte sezione AA

Osservazione:

In un lavoro di tesi precedente, svolto da Pietro Torregiani, l’armatura adottata era

stata quella di progetto:

Armatura riprogettata Armatura di progetto

Direzione Ф[mm] Passo[cm] Ф[mm] Passo[cm]

X inferiore 14 20 14 10

Y inferiore 26 20 14 15

X superiore 14 20 12 10

Y superiore 20 20 14 15

Tabella 3.3 – Confronto armatura riprogettata e armatura di progetto

Comparando le due risulta evidente che l’armatura riprogettata dà più importanza

alla direzione Y, sia al lembo superiore che a quello inferiore. Questo è giustificato

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8

M[kNm]

Ly[m]



67

dal fatto che progettando con il Metodo di Hillerborg, le sezioni BB (in direzione X)

vanno a scaricare la propria reazione a terra (a Est) sulle sezioni AA (in direzioni Y),

le quali risultano di conseguenza sovraccaricate (si vedano Paragrafi da 3.1.1 a

3.1.4).

Per quanto riguarda l’armatura di progetto essa non ha maglia quadrata ed è meglio

distribuita nelle due direzioni (in direzione X è addirittura più fitta che in direzione

Y).

La scelta della tipologia di armatura risulta fondamentale nel seguito quando si

tratteranno i vari meccanismi di rottura. Infatti con l’applicazione del Principio dei

Lavori Virtuali, nell’ottica del Metodo delle Yield Lines, il Lavoro Interno è

strettamente dipendente dai momenti resistenti.

Armatura minima

Facendo riferimento all'Eurocodice 2, esso prescrive un’armatura minima pari a:

dove:

d è l'altezza utile della sezione e varia per ogni strato di armatura;

bt è pari a ed è la larghezza della sezione nella quale è contenuta

un'unica barra;

è la resistenza media del calcestruzzo a trazione. Con

l'Eurocodice 2 prescrive un valore di pari a 2.6.

Direzione Y lembo inferiore


68

Direzione Y lembo superiore

Direzione X lembo inferiore

Direzione X lembo superiore

69

4 INTRODUZIONE AI MECCANISMI DI ROTTURA

Come prima cosa si ricordano le dimensioni della piastra in pianta e dello spessore:

Si ipotizza che l'armatura al lembo superiore e al lembo inferiore sia uniformemente

distribuita in entrambe le direzioni e che i momenti positivi siano tali da tendere le

fibre inferiori.

Si decide di esprimere tutti i momenti resistenti, positivi e negativi, dati dalle

armature della piastra in funzione di my+ (momento uniformemente distribuito in

direzione y al positivo, lembo inferiore) nel modo seguente:

Dunque i parametri adimensionali ω, µ, η risultano:

Ricordando la presenza lungo il lato Est della trave di bordo, il suo momento

resistente espresso ancora una volta in funzione di my+ è dato da:

e di conseguenza

.


70

Al fine di ricercare il carico ultimo per la piastra in questione, si fa riferimento al

metodo delle Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method) e si individuano 4 diversi

meccanismi di rottura, fra i quali si ricerca il più probabile al variare delle condizioni

di carico e vincolo.

Per i primi tre meccanismi si considera il lato Nord completamente

incastrato/appoggiato, mentre per il quarto meccanismo si tiene in considerazione il

parziale vincolo dato dalla discontinuità della parete sottostante. La ricerca dei

carichi minimi di collasso per ogni meccanismo sfrutta il Principio dei Lavori Virtuali

(si veda Park e Gamble 2000; Bamonte e Gambarova 2009), imponendo

l'uguaglianza tra Lavoro Esterno (svolto dai carichi per una deformata virtuale) e

Lavoro Interno (svolto dai momenti limite lungo le linee di plasticizzazione).

Le yield lines sono l’evoluzione dal campo monodimensionale al campo

bidimensionale del concetto di "Cerniera Plastica", presente nella teoria dell’Analisi

Limite dei telai. Se una linea di plasticizzazione fa lavorare l’armatura al positivo si

rappresenta graficamente con una spezzata (ꟿ), mentre se lavora l’armatura al

negativo con una tratteggiata (-----). Dunque definendo un meccanismo

cinematicamente ammissibile è possibile valutare il Lavoro Interno come:

dove con n si intende il numero di yield lines a seconda del meccanismo e con la

lunghezza della j-esima linea di plasticizzazione.

Il Lavoro Esterno invece si calcola semplicemente come:

dove con δ si intende l’abbassamento virtuale.


71

Si è scelto di caricare la piastra in due modi differenti:

Carico uniformemente distribuito sull'intera piastra;

Carico concentrato posizionato, a seconda dei casi, nel baricentro della

piastra o nella mezzeria del lato Est.

I carichi e sono, come previsto da normativa, la componente variabile

rispettivamente dei carichi totali:

dove con si intende il peso proprio della struttura, che figura come un carico

uniformemente distribuito.

Imponendo a questo punto l'uguaglianza dei lavori, , si ottiene il carico in

funzione dei parametri ( ) che governano il meccanismo in questione. Dato

che l'obiettivo è quello di ricercare il minimo della funzione “carico ultimo” ( e

), essa va derivata rispetto a tutti i parametri ( ) per imporre poi la nullità

delle derivate stesse. Tale condizione è già, in generale, la condizione di minimo per

cui non è necessario controllare che le derivate seconde siano positive.

Fatto questo è possibile ottenere il parametro (o i parametri) in corrispondenza del

quale si ha il minimo carico e confrontare i carichi ultimi per i diversi meccanismi,

ricercando quello più probabile.


72

4.1 MECCANISMO 1

Figura 4.1 – Meccanismo 1: ꟿ yield line positiva, - - - yield line negativa

Il meccanismo è caratterizzato dal parametro che varia nel seguente intervallo di

ammissibilità:

Per il caso limite con il meccanismo non si attiva, mentre per il caso la

yield line 3 scompare. Dunque il Lavoro Interno in questo caso è dato

dall'attivazione di 6 linee di plasticizzazione e una cerniera plastica nella mezzeria

della trave di bordo, se presente. In particolare il lavoro dato dalle yield lines 1 e 2,

così come quello di 4 e 5, è identico.


73

Si osserva che la trave e la piastra collaborano perfettamente e dunque a collasso

compare una sola cerniera plastica in corrispondenza della mezzeria.

Sommando tra loro i vari contributi il Lavoro Interno risulta pari a:

Per quanto riguarda il Lavoro Esterno si considerano le due situazioni di carico:

uniformemente distribuito e concentrato nel baricentro.

Carico uniformemente distribuito

In questo caso il Lavoro Esterno si esprime come:

Essendo qtot costante su tutta l'area si ottiene:

Imponendo l'uguaglianza tra Lavoro Interno ed Esterno risulta:

Dunque il carico distribuito è:


74

Escludendo i valori e si va a ricercare il punto di minimo imponendo

nulla la derivata prima:

Il parametro H1 è funzione solamente delle armature all'interno della piastra e in

particolare del loro quantitativo e del loro posizionamento.

Risolvendo l'equazione di secondo grado in al numeratore si ottiene il valore del

parametro che minimizza il carico:

Riassumendo:

Il parametro , essendo funzione di H1 e della geometria, descrive il meccanismo di

collasso. La funzione di carico tende ad infinito per e e dunque il

meccanismo non si attiverebbe. Inoltre si nota che il valore 3 non appartiene al

domino ammissibile per e dunque l'unico caso da scartare è .


75

Carico concentrato

Il Lavoro Esterno risulta essere funzione della risultante Pu del carico distribuito

nell'impronta a'b' e dell'abbassamento del baricentro δb, punto di applicazione della

forza.

L'abbassamento del baricentro dipende dal valore che assume il parametro :

Imponendo ancora una volta l'uguaglianza dei lavori, si ottiene l'equazione del

carico concentrato al variare del parametro :

In entrambi i casi la derivata prima non risulta mai nulla; in particolare con

la funzione di carico risulta monotona decrescente, mentre con

risulta monotona crescente e dunque il punto di minimo coincide con .

Si nota che in questo caso la configurazione che minimizza la funzione di carico fa

convergere le linee di plasticizzazione nel punto di applicazione della forza.

Dunque imponendo si ottiene:

La soluzione trovata mette in evidenza che il carico aumenta all'aumentare dei

momenti resistenti e diminuisce all'aumentare del peso proprio.


76

4.2 MECCANISMO 2


In questo caso il meccanismo è caratterizzato dal parametro .

Nel caso il meccanismo non si attiva mentre nel caso il meccanismo

corrisponde con il precedente, ponendo .

Il Lavoro Interno si valuta in seguito all'attivazione di 5 yield lines e 2 cerniere

plastiche, se la trave di bordo è presente. Il contributo dato dalle linee di

plasticizzazione 1 e 2 così come quello dato da 3 e 4 risulta uguale.


77

Svolgendo i calcoli il Lavoro Interno risulta pari a:


Come in precedenza il Lavoro Esterno risulta:

Svolgendo i conti si ottiene:

Imponendo l'uguaglianza tra Lavoro Esterno ed Interno si ha:

Dalla precedente uguaglianza risulta:

I valori di che fanno tendere ad infinito il carico qu sono 0 e

;

non

appartiene al dominio di ammissibilità mentre per il meccanismo non si

attiva. Derivando il carico rispetto al parametro e imponendolo pari a zero

si ottiene il valore del parametro che minimizza la funzione di carico.


78

Dunque:

Anche in questo caso il parametro H2 dipende unicamente dai momenti resistenti

dati dalle armature, mentre dipende dalle armature e dalla geometria.

Carico concentrato

Osservando la geometria del meccanismo 2 risulta evidente che il punto di massimo

abbassamento, per qualsiasi valore di , è nella mezzeria del lato Est. Si decide

dunque di applicare il carico concentrato in questo punto, in modo da massimizzare

l'abbassamento, che risulterà pari a δ.

Imponendo l'uguaglianza dei lavori e considerando la stazionarietà della derivata

prima del carico rispetto al parametro risulta:

Come in precedenza aumentando il valore dei momenti resistenti dati dalle barre

d'armatura il valore del carico ultimo aumenta, mentre aumentando il peso proprio

Pu diminuisce.


79

4.3 MECCANISMO 3


Il meccanismo è caratterizzato dal parametro . I valori estremi

dell'intervallo non permettono l'attivazione del meccanismo dato che

l'abbassamento in entrambi i casi. Il Lavoro Interno è dato dall'attivazione 7

yield lines.

Come si può notare dall'equazione del Lavoro Interno, le linee di plasticizzazione 1 e

2 danno il medesimo contributo, così come le linee 3 e 4 e le linee 5 e 6. Per questo

meccanismo non si ha l'attivazione di alcuna cerniera plastica nella trave di bordo

posta sul lato libero a Est.


80

Dunque il Lavoro Interno vale:


Come per i casi precedenti il Lavoro Esterno risulta definito nel modo seguente:

Quindi:

Si impone l'uguaglianza dei lavori:

Ricavando l'equazione del carico e imponendo nulla la derivata prima rispetto al

parametro risulta, per il meccanismo in questione:

Si nota che per e per il valore di carico tende a infinito. A differenza dei

casi precedenti il parametro , che governa la geometria del meccanismo di

collasso, dipende solamente dalle proprietà meccaniche dell'armatura e dalla sua

disposizione ed è indipendente dalla geometria della piastra. Solamente il carico qu

è influenzato dalle dimensioni geometriche della piastra; in particolare

all'aumentare delle stesse il carico si riduce.


81

Carico concentrato

In questo caso si ipotizza che la risultante dell'impronta di carico a'b' sia applicata

nel baricentro della piastra. Il Lavoro Esterno risulta:

È evidente che l'abbassamento δb del baricentro dipende dal valore che assume il

parametro :

A seconda dell'intervallo di appartenenza, con l'uguaglianza dei Lavori si ottengono i

carichi:

Si trova che la derivata prima non risulta mai nulla e in particolare la prima funzione

di carico è monotona decrescente mentre la seconda funzione di carico è monotona

crescente. Dunque il punto di minimo corrisponde proprio al valore e la

funzione di carico si può riscrivere come:


82

Come per il meccanismo 1, anche in questo caso si dimostra come, sotto l'azione di

un carico concentrato, le yield lines tendano a convergere proprio nel punto di

applicazione della forza.

Come nei casi precedenti all'aumentare delle caratteristiche meccaniche (parametri

) aumenta il carico Pu , mentre con l'aumento del peso proprio il carico

diminuisce.

4.4 MECCANISMO 4



83

Il meccanismo 4 è l'unico che tiene in considerazione la particolare situazione di

vincolo presente al lato Nord. Il lato Ovest e gli estremi vincolati del lato Nord non

danno nessun contributo al Lavoro Interno perché essi non sono soggetti ad alcuna

rotazione. Alla luce di questo fatto è dunque indifferente considerarli incastrati o

appoggiati.

Il parametro che governa il meccanismo è . Con nullo il meccanismo

non può attivarsi mentre con pari all'unità la linea di plasticizzazione 3 scompare

e l'abbassamento massimo si ha in corrispondenza del lato Nord. Le yield lines che

vengono a crearsi sono 6, in particolare le linee 1,2 e 4,5 danno il medesimo

contributo nel calcolo del Lavoro Interno.

Svolgendo i conti risulta quindi:

Un'osservazione importante può essere fatta riguardo al tipo di contributo che le

linee di plasticizzazione danno al Lavoro Interno. Nei casi precedentemente

analizzati le yield lines che corrono lungo i bordi della piastra sollecitano l'armatura

al lembo superiore mentre le yield lines che si sviluppano all'interno della piastra

sollecitano l'armatura al lembo inferiore. Nel meccanismo 4 invece si nota come le

linee 4 e 5 non corrono lungo i bordi e sollecitano le armature al lembo superiore.

Questo fatto è importante quando in seguito si affronterà il caso di vincolo di

incastro e di appoggio sui lati della piastra.


84


Come per i casi precedenti il Lavoro Esterno dato da un carico uniformemente

distribuito si calcola come:

Svolgendo i calcoli si ottiene:

Imponendo l'uguaglianza tra i Lavori risulta:

Ricavando qu dalla precedente equazione e imponendo nulla la derivata prima

rispetto al parametro si ricava il seguente sistema di equazioni caratterizzanti il

meccanismo 4 nel caso di carico uniformemente distribuito:

Il parametro H4 e il parametro dipendono sia dalle proprietà meccaniche della

piastra sia da quelle geometriche.

Il carico limite dipende anch'esso da geometria e proprietà meccaniche derivanti

dalla tipologia e dalla disposizione dell'armatura. Nel caso il carico limite

tende ad infinito, infatti le yield lines 1 e 2 vanno a coincidere con la 6 e il

meccanismo non può attivarsi. Anche per

il carico limite tende ad infinito ma


85

esso non appartiene al dominio di interesse e dunque non si prende in

considerazione.

Carico concentrato

Considerando ancora una volta la risultante dell'impronta di carico a'b' e definendo

δb come l'abbassamento del baricentro della stessa, il Lavoro Esterno risulta:

A seconda del parametro che definisce la geometria del meccanismo il valore di

δb cambia:

Imponendo l'uguaglianza dei Lavori risulta:

La derivata prima per entrambe le espressioni del carico Pu non risulta mai nulla. In

particolare la prima equazione risulta monotona decrescente mentre la seconda

monotona crescente e dunque il punto di minimo della funzione coincide proprio

con

. Allora l'equazione del carico concentrato risulta:


86

Anche in questo caso, come nei precedenti, le yield lines tendono a convergere nel

punto di applicazione del carico stesso. Il carico concentrato limite è funzione della

geometria, delle proprietà meccaniche fornite dall'armatura e del peso proprio.

Incrementando i parametri e migliorando quindi le proprietà meccaniche,

Pu aumenta mentre incrementando il peso proprio diminuisce.

87

5 MECCANISMI SIMMETRICI

A questo punto è possibile valutare i carichi minimi per ogni meccanismo resistente.

Infatti, dimensionata l’armatura sono noti anche i momenti resistenti e di

conseguenza divengono noti anche i parametri adimensionali ( ), che

regolano le funzioni di carico minimo.

Importante è osservare che per i meccanismi 1 e 2, una o più linee di

plasticizzazione attraversano il bordo Est dato che esso risulta in questi casi libero.

Tale fatto è rilevante nel momento in cui si vogliano ricercare i carichi minimi con la

presenza o meno della trave di bordo. Nel caso in cui la trave di bordo sia presente,

a collasso nascono una o più cerniere plastiche che daranno un contributo al Lavoro

Interno e di conseguenza andranno ad influenzare le funzioni di carico, mentre in

assenza di questo elemento di irrigidimento le cerniere plastiche non si sviluppano.

Per quanto concerne i meccanismi 3 e 4 essi sono indipendenti dalla trave di bordo

in quanto le linee di plasticizzazione non attraversano mai il lato Est, proprio perché

esso risulta semplicemente appoggiato.

5.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO

In questo paragrafo si studiano solo i meccanismi 1 e 2 in quanto i meccanismi 3 e 4,

come detto precedentemente, sono indipendenti dalla presenza o meno della trave

di bordo.

Dunque, essendo noti i momenti resistenti nelle due direzioni al lembo inferiore e

superiore, è possibile determinare per i meccanismi in questione i parametri

, nei casi di incastro e appoggio, imponendo proprio per il fatto che

in questo momento non è considerata la presenza della trave di bordo.


88

Come prima cosa è necessario adimensionalizzare i momenti resistenti per unità di

lunghezza:

Dunque nel caso di tre lati incastrati i parametri risultano essere:

Nel caso in cui i tre lati della piastra siano semplicemente appoggiati i parametri

sono:

I parametri e risultano nulli in ragione del fatto che nel caso di semplice

appoggio i momenti negativi nelle due direzioni risultino pari a zero, infatti le yield

lines che attivano l’armatura la lembo superiore non sono presenti.

Infine posto il peso specifico del calcestruzzo

, considerando la piastra

spessa e il coefficiente amplificativo si ottiene come peso proprio:


89

5.1.1 Meccanismo 1

Incastri - Carico uniformemente distribuito

Si ricorda che e che i lati dimensioni a e b vengono considerati lunghi 8

metri entrambi.

Il parametro adimensionale H1 risulta:

Di conseguenza si ottiene:

Il parametro appartiene al dominio e quindi è possibile con tale valore calcolare il

carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:

Appoggi - Carico uniformemente distribuito



Il parametro quindi è possibile con tale valore calcolare il carico

uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:


90

Incastri - Carico concentrato

In questo caso il valore di che minimizza il carico concentrato è di 0.5. Dunque:

Appoggi - Carico concentrato

Come in precedenza .

5.1.2 Meccanismo 2


Si ricorda che e che i lati dimensioni a e b vengono considerati lunghi 8

metri entrambi.



Il parametro non appartiene al dominio e quindi si pone uguale a 0.5. Ora è

possibile calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale

configurazione può sopportare:


91


H2 risulta:


Il parametro non appartiene al dominio e quindi si pone uguale a 0.5. Ora è

possibile calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale

configurazione può sopportare:


In questo caso si calcola come:

Non appartenendo al dominio si impone uguale a 0.5 e il minimo carico

concentrato risulta:


92


A differenza del caso precedente, ponendo , risulta:

Non appartenendo al dominio si impone uguale a 0.5 e il minimo carico

concentrato risulta:

5.1.3 Meccanismo di collasso più probabile

MECCANISMO 1 MECCANISMO 2

qu [kN/m2] Pu [kN] qu [kN/m2] Pu [kN]

67.3 1802.3 80.1 1708.5

35.4 957.5 44.2 943.1

Tabella 5.1 – Carichi ultimi per meccanismi senza trave di bordo

In rosso sono indicati, per ogni tipologia di vincolo e di carico, i meccanismi più

probabili. Risulta evidente che sia nel caso di incastro che di appoggio, il

meccanismo più probabile con carico distribuito è il primo, mentre con carico

concentrato è il secondo. Si nota che modificando i vincoli da incastri perfetti a

semplici appoggi vi è una riduzione dei carichi minimi mediamente del 45%.


93

5.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO

Nel Dicembre 2014 la piastra è stata soggetta a una serie di opere di rafforzamento,

tra le quali la più rilevante è l'aggiunta di una trave di bordo sul lato Est, avente la

duplice funzione di marciapiede e parapetto. Si ricorda che, pur non avendo

particolari funzioni strutturali, il marciapiede è stato aggiunto anche sul lato Ovest

per avere un significativo restringimento di carreggiata e permettere così il

passaggio di un singolo mezzo d'opera alla volta. Sul lato Est invece il contributo

della trave è fondamentale in quanto irrigidisce notevolmente il bordo, al quale è

ancorata in modo "perfetto" grazie alla presenza di pioli Nelson che si vanno a

innestare direttamente nella piastra.

Figura 5.1 – Sezione trave di bordo

In questo paragrafo si studiano solo i meccanismi 1 e 2 in quanto i meccanismi 3 e 4,

come detto precedentemente, sono indipendenti dalla presenza o meno della trave

di bordo.


94

L'inserimento della trave permette di ampliare il nostro campo di studio: infatti nel

caso dei meccanismi 1 e 2 si ha necessità che le yield lines attraversino in uno o due

punti la trave, a seconda dei casi, creando così una o due cerniere plastiche.

Oltre ai parametri e già valutati in precedenza, e che riportiamo

nuovamente, ora è necessaria la valutazione dell’ulteriore parametro :

dove con si intende il momento resistente della trave di bordo. Per valutarlo è

stato deciso di considerare come area della sezione della trave di bordo parte

dell'area della sezione del marciapiede e parte della sezione della piastra stessa, con

una diffusione a 45 gradi come indicato in Figura 5.2.

Figura 5.2 – Sezione equivalente


95

È stata considerata come reagente l'armatura della piastra che comprende e

e i posti alla base della trave di bordo. Una volta calcolata l'area

d’acciaio, l'affondamento del baricentro hG delle armature e la resistenza di

progetto dell'acciaio pari a , il momento resistente risulta:

A questo punto la valutazione di è immediata:

Noto anche questo parametro si procede con la ricerca del meccanismo più

probabile tra i 4 individuati. Con meccanismo "più probabile" si intende quello che

minimizza il carico limite di collasso a parità di vincoli e tipologia di forze. Si

considera sempre la piastra quadrata di lato .

Si ricorda che il peso proprio è:

5.2.1 Meccanismo 1


Il parametro che regola il meccanismo è ed è compreso nel dominio . Il

parametro adimensionale H1 risulta:

Dunque:


96

Il parametro appartiene al dominio e quindi è possibile con tale valore calcolare il

carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:


Il parametro H1, dipendente dal comportamento meccanico dell'armatura, risulta:

Di conseguenza:

risulta compreso nel dominio e quindi è possibile calcolare il carico limite a

collasso:


In questo caso il valore di che minimizza il carico concentrato è 0.5, punto di

applicazione della forza.

Dunque:


Anche in questo caso è il valore che minimizza il carico.


97

5.2.2 Meccanismo 2


Ricordando che , il parametro adimensionale H2 risulta:

Procedendo si trova:

Il parametro non appartiene al dominio ed essendo la funzione di carico

monotona decrescente, per minimizzarla si prende il valore estremo dell'intervallo,

quindi . Il carico limite a collasso è:


H2 risulta:

Di conseguenza:

Ancora una volta e quindi si impone . Si procede con il calcolo

del minimo del carico distribuito:


98


Con il carico concentrato applicato nella mezzeria del lato Est, il parametro si

calcola come:

Non appartenendo al dominio si impone . Il carico concentrato a collasso

risulta:


Il parametro risulta essere:

Non appartenendo al dominio, si impone uguale a 0.5 in modo da minimizzare il

carico concentrato a collasso che risulta:


99




88.6 2391.7 107.7 2297.9

56.3 1546.9 71.8 1532.5

Tabella 5.2 – Carichi ultimi per meccanismi con trave di bordo



meccanismo più probabile con carico distribuito è il primo, mentre con carico

concentrato è il secondo. Si nota che modificando i vincoli da incastri perfetti a

semplice appoggio si ha una riduzione dei carichi minimi mediamente del 30-35%.

5.4 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO

Fra i quattro meccanismi, gli unici indipendenti dalla presenza o meno della trave di

bordo sono il meccanismo 3 e il meccanismo 4. Infatti in essi il vincolo al bordo Est è

modellato come semplice appoggio.

Come detto in precedenza risulta:


100

5.4.1 Meccanismo 3


Ricordando che la geometria del meccanismo è governata dal parametro ,

si calcola il parametro H3 come:

Successivamente si ottiene :

A questo punto il calcolo del carico limite ultimo a collasso risulta:


A differenza del caso con incastri, ora risulta impossibile la valutazione del

parametro H3 perché con esso tenderebbe ad infinito. Anche il parametro

e dunque si impone . Questa scelta è giustificata del fatto che lungo

la direzione Ovest-Est, nel caso di semplice appoggio, si ha simmetria di vincolo e

dunque le linee di plasticizzazione tenderanno ad essere equidistanti dai due bordi.

Alla luce di ciò si calcola il carico limite a collasso:


101


Per questo meccanismo il carico concentrato è applicato nel baricentro della piastra

e le yield lines, convergendo nel punto di applicazione della forza, determinano

. Il carico risulta:


Come per il caso a incastri risulta .

5.4.2 Meccanismo 4


La geometria del meccanismo è governata dal parametro . Nello specifico

si trova:

Si procede al calcolo del minimo carico di collasso:


Per tutti i meccanismi analizzati precedentemente, le yield lines che corrono

internamente alla piastra danno un contributo al Lavoro Interno in funzione dei

parametri e , in quanto fanno lavorare le armature poste al lembo inferiore. Le


102

yield lines che corrono lungo i bordi danno un contributo funzione di e perché

in questo caso sono fatte lavorare le armature al lembo superiore. Dunque nel caso

di appoggi le linee di plasticizzazione lungo i bordi spariscono e le armature al

lembo superiore non daranno più alcun contributo. Allora il caso di vincoli di

appoggio equivale al caso con incastri con parametri e nulli.

Si osserva che nel meccanismo 4 si

cambia la tipologia di vincolo (da

incastro ad appoggio) solo sul lato Sud,

in quando i lati Nord, Est e Ovest non

danno nessun contributo al calcolo del

Lavoro Interno. Si nota al contempo che

in questo meccanismo, a differenza di

tutti gli altri, vi sono 2 linee di

plasticizzazione (4 e 5) che fanno

lavorare le armature al lembo superiore.

Figura 5.3 - Meccanismo 4

Dunque l'annullamento dei parametri e causerebbe un Lavoro Interno nullo

per queste linee, che sono evidentemente presenti sia nel caso con incastri che nel

caso di appoggi. Si procede allora al calcolo di e q facendo riferimento al caso di

incastri, con Lavoro Interno della sola yield line 6 pari a 0.

Quindi il minimo tra i carichi di collasso limite risulta:


103


Nell'intervallo la funzione di carico è monotona decrescente mentre in

è monotona crescente. Di conseguenza il punto di minimo è raggiunto

in corrispondenza del valore e il carico limite di collasso per forza

concentrata risulta:


Come in precedenza è il valore per il quale si ottiene il minimo della

funzione di carico.




93.7 2013.1 96.4 1762.4

54.8 1168.3 79.7 1419.4

Tabella 5.3 – Carichi ultimi per meccanismi indipendenti dalla trave di bordo



meccanismo più probabile con carico distribuito è il terzo. Con carico concentrato se


104

i vincoli sono incastri il meccanismo più probabile è il quarto, mentre se i vincoli

sono appoggi il più probabile è il terzo. Si nota che modificando i vincoli da incastri

perfetti a semplice appoggio si ha una riduzione dei carichi minimi mediamente del

30% per il meccanismo 3 e del 15-20% per il meccanismo 4.

5.4.4 Meccanismo 4* – Armatura al negativo modificata

Per quanto detto precedentemente nella fase di progettazione, è presente al lembo

superiore una maglia quadrata di barre passo con diametri in direzione Y

e in direzione X. Questa armatura lavora solo quando i vincoli ai bordi sono di

incastro e, osservando i grafici dei momenti sollecitanti, si nota che il momento

negativo è presente solo in prossimità dei lati Nord, Sud e Ovest.

Figura 5.4 – Momento sollecitante sezione BB

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 7

Ms[kNm]

Lx[m]



105

Figura 5.5 – Momento sollecitante sezione AA

Dunque tutto il quantitativo di armatura posto nella parte centrale del lembo

superiore di fatto non lavora e quindi si potrebbe riprogettare l’armatura nel

seguente modo:

Figura 5.6 – Riprogettazione ferri d’armatura al negativo. (*) Armatura ridotta rispetto alle fasce laterali

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ms[kNm]

Ly[m]



106

Non entrando nel dettaglio della progettazione, si osserva che questa modifica non

influenza il Lavoro Interno dei meccanismi, eccezion fatta per il meccanismo 4.

Infatti i primi 3 meccanismi, con lati

incastrati, hanno linee di plasticizzazione

che fanno lavorare l’armatura al

negativo solamente lungo i bordi e

dunque dove l’armatura al lembo

superiore è ancora “fitta”. Osservando

invece il meccanismo 4, esso ha le yield

lines 4 e 5 che fanno lavorare l’armatura

al negativo e che allo stesso tempo non

corrono lungo i bordi.

Figura 5.7 – Meccanismo 4

Dunque queste linee di plasticizzazione, con l’armatura riprogettata, non danno più

il loro contributo al Lavoro Interno significativo in quanto attraversano la piastra in

zone scarsamente armate. Con un’armatura di questo tipo è quindi si analizza il

meccanismo 4* trascurando il lavoro compiuto dalle yield lines 4 e 5.

Si procede alla determinazione dei carichi di collasso.


La geometria del meccanismo è governata dal parametro . Nello specifico

si trova:


107

Si procede al calcolo del minimo carico di collasso:


Sempre con e ponendo si ottiene:

Quindi il minimo tra i carichi di collasso limite risulta:


Nell'intervallo la funzione di carico è monotona decrescente mentre in

è monotona crescente. Di conseguenza il punto di minimo è raggiunto

in corrispondenza del valore e il carico limite di collasso per forza

concentrata risulta:


Come in precedenza è il valore per il quale si ottiene il minimo della

funzione di carico. Ponendo risulta:


108

5.5 MECCANISMO DI COLLASSO PIU’ PROBABILE

Nella seguente tabella sono riassunti i minimi delle funzioni di carico di ogni

meccanismo.

Incastri

qu[kN/m2] Pu[kN]

MECCANISMO 1 STB 67.3 1802.3

CTB 88.6 2391.7


CTB 107.7 2297.9

MECCANISMO 3 - 93.7 2013.1

MECCANISMO 4 - 96.4 1762.4

MECCANISMO 4* - 64.9 1281.6

Tabella 5.4 – Minimi di carico con vincoli ad incastro


109

Appoggi

qu[kN/m2] Pu[kN]


CTB 56.3 1546.9


CTB 71.8 1532.5

MECCANISMO 3 - 54.8 1168.3

MECCANISMO 4 - 79.7 1419.4

MECCANISMO 4* - 50.6 938.7

Tabella 5.5 – Minimi di carico con vincoli di appoggio

Con “STB” si intende senza trave di bordo mentre con “CTB” con trave di bordo.

5.6 MECCANISMO PIU’ PROBABILE AL VARIARE DEL PARAMETRO K

Interessante è anche l'analisi del meccanismo più probabile al variare del parametro

. Questo nella pratica significa osservare come il comportamento della piastra a

collasso assecondi un meccanismo piuttosto che un altro, variando il momento

resistente nella trave e quindi osservando cosa sarebbe potuto accadere se fossero

state scelte delle travi di bordo con migliori o peggiori capacità meccaniche rispetto

a quella effettivamente messa in opera. Di seguito sono riportati i diagrammi dei

carichi ultimi in funzione del parametro ed ogni diagramma fa riferimento a una

specifica situazione di vincolo ai bordi. In blu si indica l’andamento del meccanismo

1, in rosso il meccanismo 2, in verde il 3 e in arancio il 4.


110

Carico uniformemente distribuito – Incastri


Carico uniformemente distribuito – Appoggi


50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

qu[kN/m2]

k

30

40

50

60

70

80

90

100

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

qu[kN/m2]

k


111

Carico concentrato - Incastri


Carico concentrato – Appoggi


1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Pu[kN]

k

700

900

1100

1300

1500

1700

1900

2100

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Pu[kN]

k


112

Risulta evidente che i meccanismi 1 e 2 aumentano le rispettive capacità portanti in

maniera proporzionale all’aumentare del parametro , quindi all’aumentare del

momento resistente della trave di bordo. Se si pone significa che il momento

resistente della trave di bordo diviene pari al momento resistente delle armature al

lembo inferiore in direzione Y. I meccanismi 3 e 4, essendo indipendenti dalla trave

di bordo, non modificano la loro capacità portante al variare di .

In Appendice A sono riportati risultati per alcuni valori di specifici.

113

6 MECCANISMI ASIMMETRICI

Fino ad ora i meccanismi 1 e 2 sono stati modellati supponendo che i lati Nord, Sud

e Ovest siano allo stesso tempo tutti incastrati o tutti appoggiati. Questo facilita

l'analisi di tali meccanismi perché si ha sempre la simmetria delle yield lines in

direzione Sud-Nord e utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali il carico è sempre

funzione di un solo parametro ( per il meccanismo 1 e per il meccanismo 2).

A seguito di ciò si vuole ampliare lo studio appena fatto supponendo condizioni di

vincolo più articolate, considerando la stessa geometria (spessore e lati ).

Nei meccanismi che si studiano il lato Nord risulta sempre incastrato. Questa è una

scelta conforme con la realtà infatti, indipendentemente dal tipo di vincolo che i

muri sottostati posti ai quarti estremi danno, vi è continuità tra la piastra e la soletta

che prosegue oltre, permettendo lo sviluppo del passaggio carrabile posizionato tra

le due serie di vasche. Al contempo per ottenere un’asimmetria è necessario avere

un tipo di vincolo diverso lungo il lato Sud, che è quindi modellato sempre come

appoggiato.

Per i meccanismi 1 e 2 il lato Est risulta libero mentre per il meccanismo 3

semplicemente appoggiato. Infine la tipologia di vincolo del lato Ovest viene fatta

variare e dunque si studierà il caso con incastro lungo questo bordo e il caso in

semplice appoggio.


114

6.1 MECCANISMI ASIMMETRICI SENZA TRAVE DI BORDO

6.1.1 Meccanismo 1

Figura 6.1 – Meccanismo 1 asimmetrico

Si pongono le lunghezze a e b dei lati pari a . Come si può osservare dalla Figura

6.1 i parametri che regolano l'andamento delle yield lines sono e . Essi possono

variare entro un certo campo di valori:


La funzione di carico risulta:

Essendo la funzione di carico dipendente da due parametri, il punto di minimo si

trova derivando prima rispetto ad , poi rispetto a e mettendo a sistema le due

derivate prime poste uguali a zero.


115

Si ottiene allora che e e dunque si ricava immediatamente che

.

Nel caso con appoggio a Ovest si procede nella stessa maniera ottenendo

e . A differenza del caso precedente, la yield line 6 scompare e quindi è

sufficiente porre a zero il coefficiente ottenendo:

Carico concentrato

Nel caso di carico concentrato le yield lines tendono a convergere esattamente nel

punto di applicazione della forza, in ragione del fatto che il carico ricercato è il

minimo tra i vari cinematicamente ammissibili. Questo fa sì che i parametri e

siano uguali a 0.5 e dunque, con incastro sul lato Ovest, il carico concentrato

minimo risulta:

Se il lato Ovest risulta appoggiato il coefficiente si annulla ottenendo così:


116

6.1.2 Meccanismo 2


Come si può osservare dalla Figura 6.2 i parametri che regolano l'andamento delle

yield lines sono e . Essi possono variare entro un certo campo di valori:


Imponendo l'uguaglianza tra Lavoro Esterno e Lavoro Interno si trova l'equazione

del carico distribuito con incastro lungo il lato Ovest:

Imponendo nulle le derivate prime rispetto a e e mettendole a sistema si

ottiene:


117

Si trova che e . Questo significa che le yield lines si incontrano in

corrispondenza del lato Est. Dunque .

Nel caso con appoggio a Ovest è sufficiente porre a zero il coefficiente ottenendo

come in precedenza e , e dunque:

Carico concentrato

Come per il meccanismo 1, le yield lines che si creano nella situazione limite al

collasso tendono a convergere nel punto di applicazione del carico stesso e questo

fa sì che i parametri e siano pari a 0.5. Dunque nel caso con incastro sul lato

Ovest si ottiene:

Nel caso con appoggio ad Ovest invece risulta:


118


Nella seguente tabella sono riportati i minimi di carico al variare delle condizioni di

vincolo per i meccanismi 1 e 2 senza trave di bordo.



67.3 1802.3 80.1 1708.5

53.9 1459.3 63.0 1365.5

46.9 1300.5 59.3 1286.1

35.4 957.5 44.2 943.1

Tabella 6.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 senza trave di bordo

Si nota che "penalizzando" i vincoli, quindi passando da incastri ad appoggi, i carichi

di collasso diminuiscono. In via intuitiva questo è ragionevole in quanto il graduale

passaggio da incastri ad appoggi fa "gravare" sempre più le sollecitazioni esterne

sull'armatura al lembo inferiore (al positivo), andando ad alleggerire il carico che

interessa l'armatura al lembo superiore (al negativo). Nel caso limite di appoggio su

tutti e tre i lati il momento in entrambe le direzioni risulterà ovunque positivo (al

più nullo negli appoggi).


119

Indipendentemente dalle condizioni di vincolo, il meccanismo più probabile con

carico uniformemente distribuito è il primo, mentre con carico concentrato il

meccanismo più probabile diventa il secondo.

6.2 MECCANISMI ASIMMETRICI CON TRAVE DI BORDO

6.2.1 Meccanismo 1

Figura 6.3 – Meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo

Come per il caso senza la trave di bordo i paramenti che regolano l'andamento delle

yield lines sono e .

Essi appartengono agli intervalli


La funzione di carico dipende dai 2 parametri, e :


120

Si impongono le due derivate prime nulle:

Si ottiene e , dunque .

Nel caso si abbia un vincolo di appoggio lungo il lato Ovest la yield line 6 non da

alcun contributo al Lavoro Interno. Questo significa porre e procedendo

come fatto fino ad ora si ottiene e . Dunque .

Carico concentrato

Si ricorda che per il meccanismo 1 il carico concentrato è posto nel baricentro della

piastra.

Per minimizzare la funzione di carico si pongono i parametri e uguali a 0.5. In

questo modo le yield lines convergono nel punto di applicazione della forza e

risulta:

Nel caso di appoggio lungo il lato Ovest la yield line 6 scompare e si ottiene,

ponendo :


121

6.2.2 Meccanismo 2

Figura 6.4 – Meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo

I parametri che regolano l'andamento delle linee di plasticizzazione sono e . Essi

possono variare entro un certo campo di valori:


Imponendo uguali Lavoro Esterno e Lavoro Interno si ricava l'equazione del carico

distribuito con incastro lungo il lato Ovest:

Si impongono uguali a zero le derivate prime rispetto a e e si mettono a

sistema:


122

Si trova che e . Questo significa che le yield lines si incontrano in

corrispondenza del lato Est. A questo punto risulta .

Nel caso il lato Ovest sia appoggiato si pone ottenendo ancora e

.

Carico concentrato

Si ricorda che per il Meccanismo 2 il carico concentrato è posto nella mezzeria del

bordo libero Est.

Per minimizzare la funzione di carico si pongono i parametri e uguali a 0.5. In

questo modo le yield lines convergono nel punto di applicazione della forza e

risulta:

Nel caso di appoggio lungo il lato Ovest la yield line 6 scompare e si ottiene,

ponendo :


123



vincolo per i meccanismi 1 e 2 con trave di bordo.



88.6 2391.7 107.7 2297.9

75.7 2048.7 91.0 1954.9

67.8 1889.9 87.2 1875.5

56.3 1546.9 71.8 1532.5

Tabella 6.2 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con trave di bordo

Indipendentemente dalle condizioni di vincolo, il meccanismo più probabile con

carico uniformemente distribuito è il primo mentre con carico concentrato il

meccanismo più probabile diventa il secondo.


124

6.3 MECCANISMO ASIMMETRICO INDIPENDENTE DALLA TRAVE DI

BORDO

6.3.1 Meccanismo 3


I parametri che regolano la geometria del meccanismo sono e . In particolare se

si ha incastro a Ovest risulta:

Se il lato Ovest risulta appoggiato:


Nel caso di lato Ovest incastrato, sfruttando l'uguaglianza tra il Lavoro Interno e

quello Esterno, si calcola la funzione di carico:


125

La ricerca del minimo della funzione consiste nel porre uguali a zero entrambe le

derivate rispetto ai parametri e . Dunque:

Risulta e , che sostituiti nella funzione di carico danno

.

Allo stesso modo con lato Ovest semplicemente appoggiato si ottiene e

e quindi:

Si nota che rendendo appoggiato il lato Ovest, si ritrova una simmetria dei vincoli

rispetto alla mediana Nord-Sud e di conseguenza il parametro risulta giustamente

0.5.

Carico concentrato

Il carico concentrato è applicato nel baricentro della piastra e di conseguenza le

yield lines convergono nel punto di applicazione della forza. Allora risulta e

e nel caso di incastro sul bordo Ovest si ottiene:


126

Nel caso in cui il lato Ovest sia appoggiato il contributo al Lavoro Interno della yield

line 7 scompare. Questo significa porre ottenendo:

6.3.2 Meccanismo di collasso 3


vincolo per i meccanismo 3.

MECCANISMO 3

qu [kN/m2] Pu [kN]

93.7 2013.1

76.7 1670.2

69.9 1511.3

54.8 1168.3

Tabella 6.3 – Minimi di carico per il meccanismo 3


127

6.4 OSSERVAZIONI

Per i meccanismi asimmetrici i parametri in gioco sono sempre 2. In via teorica la

ricerca del minimo della funzione di carico è eseguita ponendo a zero le due

derivate rispetto ai parametri, ma questo risulta essere un procedimento

abbastanza lungo dal punto di vista computazionale. Nella pratica è stato deciso di

ricercare per punti il minimo della funzione, sostituendo coppie parametri con valori

predefiniti ed estrapolando da matrici i valori minimi di carico. I dettagli sono

riportati nell’Appendice B.

Come si può notare in tutti i casi trattati, più è "rigido" il vincolo ai bordi, più le linee

di plasticizzazione tendono ad "allontanarsi" da esso. Osservando, per esempio, il

meccanismo 1 senza trave di bordo, nel caso di carico distribuito, si nota come con il

lato Ovest incastrato mentre nel caso con appoggio semplice .

Dunque nel passaggio da incastro ad appoggio il punto di convergenza delle yield

lines tende ad avvicinarsi al lato stesso, conseguenza del fatto che il vincolo lungo

quel bordo è stato "penalizzato". Il parametro invece è maggiore di 0.5 in quanto

l'incastro è presente a Nord e l'appoggio a Sud. Esso comunque rimane costante nei

due casi trattati in quanto la tipologia di vincolo lungo i bordi Nord e Sud non è

cambiata.

Per quanto riguarda il caso di carico concentrato, come per i meccanismi funzione di

un unico parametro, le yield lines convergono nel punto di applicazione della forza

stessa. Questo è naturale in ragione del fatto che il metodo delle linee di

plasticizzazione è cinematicamente ammissibile. Questo significa che fra tutte le

configurazioni possibili si ricerca quella che minimizzi il carico Pu . Configurazioni

nelle quali le yield lines non convergono nel punto di applicazione della forza

forniscono valori di carico maggiori.

128

7 VERIFICHE E CONFRONTI

È doveroso premettere che la piastra in questione è stata progettata trascurando la

presenza della trave di bordo e per resistere a carichi che corrispondono al

passaggio di un autocarro alla volta su di essa. Infatti sulla piastra sono stati posti

dei dissuasori laterali sui lati Est e Ovest per permettere il transito appunto di un

singolo autocarro alla volta. Per verificare l’opera è stato deciso di considerare

situazioni di carico eccezionale, maggiori di quelle considerate in fase di

progettazione.

7.1 CARICHI ECCEZIONALI

7.1.1 Doppio autocarro - Carico uniformemente distribuito

Il passaggio contemporaneo di due autocarri comporta la presenza di 8 assi sulla

piastra per un totale di .

7.1.2 Caso eccezionale - Carico concentrato

È stato considerato il caso eccezionale di 2 assi caricati con l’uno. Questa

situazione è altamente improbabile per autocarri comuni, ma è tipica per mezzi

d’opera come per i dumper da cantiere. Il carico totale risulta e dunque:


129

7.2 VERIFICHE

7.2.1 Carico uniformemente distribuito

Senza trave di bordo:

Il meccanismo più probabile è il primo, con vincoli di appoggio lungo tutti i lati. In

questo caso si ha:

Con trave di bordo:

Il meccanismo più probabile è il primo, con vincoli di appoggio lungo tutti i lati. In

questo caso si ha:

Dunque anche nel caso di passaggio contemporaneo di due autocarri per un totale

di la piastra risulta verificata con o senza trave di bordo.


130

7.2.1 Carico concentrato

Nel caso di carico concentrato il meccanismo 2 è il più probabile, con vincoli di

appoggio lungo tutti i lati. In questo caso si ha:

Senza trave di bordo:

Il meccanismo più probabile è il secondo, con vincoli di appoggio lungo tutti i lati. In

questo caso si ha:

Con trave di bordo:

Il meccanismo più probabile è il terzo, con vincoli di appoggio lungo tutti i lati. In

questo caso si ha:

Dunque anche nel caso di assi caricati eccezionalmente con la piastra risulta

verificata con e senza trave di bordo.

Osservazioni:

È interessante osservare che il contributo della trave di bordo è decisivo

nell’aumentare notevolmente i carichi ultimi, ma non necessario. Infatti nelle

verifiche appena fatte, pur prendendo in considerazione carichi eccezionali, la

piastra mostra sempre un carico ultimo maggiore di quello sollecitante, anche in

assenza dell’elemento irrigidente a Est.


131

7.3 CONFRONTI FRA I MECCANISMI

A conclusione di questo paragrafo riguardante diversi meccanismi di rottura si

riportano dei grafici che riassumono i risultati trovati, mettendo a confronto i

meccanismi tra loro a seconda delle tipologie di vincolo e alla presenza o meno della

trave di bordo. Nel caso in cui la trave di bordo sia presente, l’andamento dei carichi

è indicato con una linea tratteggiata nera, mentre nel caso in cui sia assente la linea

è continua. Si ricorda che i meccanismi 3 e 4 non sono influenzati dalla possibile

presenza della trave di bordo e dunque il loro carico, nei grafici, è unico.

Nota: nel caso di carico concentrato il meccanismo 2 è l’unico a non avere la forza

posizionata nel baricentro bensì nella mezzeria del lato Est, dove l’abbassamento in

questo caso è massimo. Dunque nel caso di carico concentrato il confronto tra il

meccanismo 2 e tutti gli altri perde di significato in quanto appunto la posizione del

carico è differente rispetto agli altri casi. Si sceglie quindi di confrontare i

meccanismi 1, 3 e 4 e di indicare con delle linee blu, continua e tratteggiata, il

valore di carico ultimo del meccanismo 2 rispettivamente senza e con trave di

bordo.


132

7.3.1 Meccanismi simmetrici

Incastri


Figura 7.1 – Meccanismo più probabile con incastri e carico uniformemente distribuito

Carico concentrato

Figura 7.2 – Meccanismo più probabile con incastri e carico concentrato

40

50

60

70

80

90

100

110

120

MECC 1 MECC 2 MECC 3 MECC 4

qu[kN/m2]

1300

1500

1700

1900

2100

2300

2500

MECC 1 MECC 3 MECC 4

Pu[kN]


133

Appoggi


Figura 7.3 – Meccanismo più probabile con appoggi e carico uniformemente distribuito

Carico concentrato

Figura 7.4 – Meccanismo più probabile con appoggi e carico concentrato

10

20

30

40

50

60

70

80

90

MECC 1 MECC 2 MECC 3 MECC 4

qu[kN/m2]

500

700

900

1100

1300

1500

1700


Pu[kN]


134

7.3.2 Meccanismi asimmetrici

Incastro lato Ovest


Figura 7.5 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico unif. distribuito

Carico concentrato

Figura 7.6 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico concentrato

30

40

50

60

70

80

90

100


qu[kN/m2]

900

1100

1300

1500

1700

1900

2100

MECC 1 MECC 3

Pu[kN]


135

Appoggio lato Ovest


Figura 7.7 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico unif. distribuito

Carico concentrato

Figura 7.8 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico concentrato

20

30

40

50

60

70

80

90

100


qu[kN/m2]

1000

1200

1400

1600

1800

2000

MECC 1 MECC 3

Pu[kN]

136

8 VERIFICHE AL FUOCO

Come già detto nei capitoli precedenti, in corrispondenza del lato Est vi è la rampa

d’accesso al Cunicolo Tecnologico, che si sviluppa fra le due serie di vasche

dell’impianto. Al di sotto della piastra sono presenti macchinari che svolgono varie

funzioni, dunque è stato deciso di svolgere delle verifiche al fuoco. L’obiettivo

principale della seguente trattazione non è quello di osservare la riduzione

quantitativa delle capacità portati della piastra durante l’incendio; infatti un’analisi

dettagliata di questo tipo necessiterebbe di un esame accurato per accertare il

quantitativo di materiale combustibile presente sul luogo e anche le condizioni di

aerazione sottostanti la piastra, per determinare più precisamente la quantità di

calore che potrebbe svilupparsi in un’eventualità di questo genere. Si sottolinea

anche che la normativa, nel caso di verifiche al fuoco svolte in modo accurato,

prescrive fattori amplificativi dei carichi ridotti. Per il peso proprio il fattore

amplificativo è pari a 1 mentre per i carichi variabili 0.7.

Dunque nel nostro caso è interessante osservare più che i carichi ultimi dal punto di

vista quantitativo, come i meccanismi di collasso possano cambiare al procedere

dell’incendio. Verranno presi in considerazione solamente i meccanismi simmetrici.

Per l’andamento delle temperature, si farà riferimento a curve temperatura/tempo

di tipo nominale:

Curva standard: introdotta dalla norma ISO 834 normalmente utilizzata;

Curva degli idrocarburi: più severa rispetto alla prima, da utilizzare nel caso

di incendi di quantità rilevanti di idrocarburi o altre sostanze con equivalente

velocità di rilascio termico;

Curva di incendio esterna: sensibilmente meno gravosa rispetto alla curva

standard, a cui può farsi riferimento nel caso di strutture poste all’esterno

rispetto al compartimento interessato dall’incendio.


137

Figura 8.1 – Curve nominali d’incendio

8.1 CAMPO TERMICO

Per l’analisi è stata scelta la curva standard ISO 834 che rappresenta un incendio di

notevole entità, con un significativo sviluppo di calore. Infatti questo tipo di curva è

ottenuta come inviluppo di diverse curve tempo-temperatura che fanno riferimento

a incendi naturali, con rapido incremento della temperatura nella parte iniziale,

raggiungimento un picco e successiva attenuazione dell’evento data dal consumo

dei materiali combustibili. Gli incendi di cui è stato detto hanno caratteristiche

diverse per ventilazione e carico di incendio.

Figura 8.2 – Curva nominale standard ISO 834 (Setti 2008)


138

A questo punto si procede con la determinazione dei parametri necessari all’analisi,

ottenendo così i meccanismi più probabili per le diverse durate di incendio.

Per rendere l’analisi più significativa, il copriferro al lembo inferiore è stato ridotto

da a . Questa scelta è anche giustificata dal fatto che prima del getto del

calcestruzzo in cantiere, vengono posti dei distanziatori tra le casseforme e le

armature in modo da tenerle sollevate. Queste operazioni sono soggette a

tolleranze che non modificano significativamente la capacità portante dell’opera

nelle normali condizioni ambientali. Tuttavia nel caso di incendio anche una

differenza di un solo centimetro di copriferro può modificare significativamente la

temperatura delle barre. Al lembo superiore la maglia di armatura non viene

interessata dall’evento in quanto la distanza dal lembo inferiore (circa ),

permette un buon isolamento delle barre al negativo.

Come prima cosa è necessario determinare l’andamento della temperatura nella

sezione della piastra per determinate durate di incendio. A questo riguardo è utile

sfruttare il grafico presente nell’Appendice A dell’Eurocodice 2 nella parte di

Progettazione strutturale contro l’incendio, il quale fornisce diverse curve che

mostrano l’andamento delle temperature nella sezione per incendi di durata

prefissata.


139

Figura 8.3 – Profili di temperatura per piastre (30’-240’)

Queste curve forniscono di fatto l’andamento delle isoterme. Il passaggio successivo

consiste nel determinare la posizione delle armature rispetto alla superficie

soggetta all’evento e ottenere i coefficienti di riduzione della resistenza kS(T)

dell’armatura in acciaio.

Scelto un copriferro di , la distanza del baricentro delle barre nelle 2 direzioni

rispetto alla superficie dell’intradosso della piastra è:


140

Figura 8.4 – Disposizione dell’armatura nel piano YZ e distanze dalla superficie libera

Per il calcolo dei fattori di riduzione kS si utilizza il grafico presente nel paragrafo

4.2.4.3 – Acciaio, sempre dell’Eurocodice 2.

Figura 8.5 – Coefficiente ks in funzione della temperatura θ che determina il decadimento della rigidezza caratteristica (fyk)

Si fa riferimento alla curva 1 in quanto le barre d’armatura utilizzate (B450C) sono

costituite da acciaio laminato a caldo.


141

8.2 PERDITA DI PRESTAZIONI DELL’ARMATURA INFERIORE

A questo punto si ottengono i seguenti fattori di riduzione della resistenza

dell’acciaio in funzione della temperatura per durante di incendio prefissate.

t(dur. incendio) Ty [°C] ks,y(T) Tx [°C] ks,x(T)

0’ 20 1 20 1

30’ 211 1 100 1

60’ 373 1 222 1

90’ 476 0.84 300 1

120’ 551 0.62 378 1

180’ 665 0.33 481 0.84

240’ 740 0.19 562 0.59

Tabella 8.1 – Coefficienti ks

I fattori di riduzione della resistenza dell’acciaio nelle due direzione sono pari a 1

fino a una durata di incendio di e dunque i carichi a collasso dei meccanismi

non si modificano. Per durate maggiori i parametri , utilizzati nei capitoli

precedenti, cambiano. I fattori kS riducono i momenti resistenti dell’acciaio in

quanto le capacità meccaniche delle barre ad alte temperature vengono meno.

Infatti considerando t0 il tempo di inizio dell’evento, al tempo generico ti risulta:

Come si può notare in caso di incendio la normativa impone l’utilizzo della

resistenza caratteristica in luogo della resistenza di progetto .


142

Ricordando che queste riduzioni interessano solamente le barre al lembo inferiore,

si ricavano i nuovi parametri che regolano i 4 meccanismi:

Si nota come i momenti resistenti delle armature superiori, e

, non siano

moltiplicati per alcun fattore di riduzione dato che tali barre non sono soggette ad

un innalzamento di temperatura rilevante, in quanto “protette” dallo spessore di

circa di calcestruzzo della piastra. La trave di bordo è parzialmente

interessata dall’evento; l’analisi dettagliata è trattata nel Paragrafo 8.2.2. e si

mostrano i risultati in Figura 8.22.

Per quanto detto finora è facilmente prevedibile che le capacità portanti in tutti i

meccanismi si ridurranno col passare del tempo di esposizione all’incendio. Di

seguito si analizzano i casi simmetrici in assenza e in presenza della trave di bordo.

Nota: nel caso di carico concentrato il meccanismo 2, a differenza di tutti gli altri,

non ha punto di applicazione della forza baricentrale, bensì posizionato nella

mezzeria del lato Est. Il meccanismo 4* invece ha l’armatura al lembo superiore

riprogettata come spiegato nel Paragrafo 5.4.4.


143

8.2.1 Assenza della trave di bordo

Di seguito sono riportati i minimi di carico per i 4 meccanismi simmetrici senza trave

di bordo. A parità di tipologia di carico e vincoli i minimi sono evidenziati in rosso.

Nel caso in cui riprogettando l’armatura il meccanismo più probabile diventi il 4*,

allora il carico è evidenziato in verde.

t=0’ – 60’

MECC 1 MECC 2 MECC 3 MECC 4 MECC 4*

INCASTRI qu[kN/m2] 81.7 96.4 112.1 115.2 78.9

Pu[kN] 2188.1 2057.1 2407.5 2103.8 1550.9

APPOGGI qu[kN/m2] 45.1 55.2 67.3 95.9 62.6

Pu[kN] 1216.6 1176.9 1436.0 1709.3 1156.5

Tabella 8.2 – Minimi di carico senza trave di bordo per t≤60’

t=90’


INCASTRI qu[kN/m2] 74.2 86.8 102.5 108.4 72.5

Pu[kN] 1983.8 1852.8 2203.1 1967.5 1414.7

APPOGGI qu[kN/m2] 37.7 45.6 57.7 88.5 55.8

Pu[kN] 1012.3 972.6 1231.6 1573.1 1020.2

Tabella 8.3 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=90’


144

t=120’


INCASTRI qu[kN/m2] 63.8 73.7 89.3 98.8 63.7

Pu[kN] 1702.8 1571.8 1922.1 1780.2 1227.3

APPOGGI qu[kN/m2] 27.4 32.4 44.6 77.8 46.3

Pu[kN] 731.3 691.6 950.6 1385.8 832.9

Tabella 8.4 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=120'

t=180’


INCASTRI qu[kN/m2] 48.9 55.7 69.3 81.6 47.0

Pu[kN] 1304.7 1187.5 1496.5 1459.6 906.7

APPOGGI qu[kN/m2] 12.4 14.4 24.6 58.5 28.8

Pu[kN] 333.2 307.4 525.0 1065.1 512.3


t=240’


INCASTRI qu[kN/m2] 40.6 46.3 56.6 68.5 33.4

Pu[kN] 1082.8 987.1 1231.3 1225.2 672.4

APPOGGI qu[kN/m2] 4.0 5.0 12.2 44.2 15.6

Pu[kN] 111.2 107.0 259.8 830.8 277.9



145

Grafici

Si riporta l’andamento dei carichi ultimi di collasso per i vari meccanismi in modo da

avere un confronto immediato.

Carico distribuito – incastri


La capacità resistente di tutti i meccanismi si riduce e il meccanismo 1 rimane

sempre il più probabile. Nell’ipotesi di armatura modificata al lembo superiore il

meccanismo più probabile diventa il 4*.

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu[kN/m2]

t[min]


146

Carico distribuito – appoggi


Anche in questo caso il meccanismo 1 rimane sempre il più probabile, ma dopo 4

ore la capacità portante dei meccanismi 1 e 2 tende a zero. Questo significa che la

piastra non è in grado di sopportare neanche il carico dato dal peso proprio.

Il meccanismo 4 risulta avere capacità

portante maggiore degli altri perché,

grazie alla sua geometria, è l’unico fra

i 4 studiati che in caso di appoggio che

fa lavorare l’armatura al negativo (si

vedano le yield lines 4 e 5). Questo

fatto con il passare del tempo

d’incendio, risulta sempre più

rilevante dato che l’unica armatura

soggetta ad un degrado di prestazioni

meccaniche è quella al lembo

inferiore.


0

20

40

60

80

100

120

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu[kN/m2]

t[min]


147

Carico concentrato – incastri


Il meccanismo più probabile è sempre il secondo. Nell’ipotesi di armatura

modificata al negativo il meccanismo più probabile diventa il 4*.

È interessante notare il

comportamento del meccanismo 4

che, rispetto agli altri meccanismi,

subisce una riduzione di capacità

portante minore. Questo è dovuto al

fatto che, a differenza degli altri casi,

al lembo inferiore esso fa lavorare

molto l’armatura in direzione X (che è

meno esposta all’aumento di

temperatura rispetto a quella in

direzione Y) tramite la linea di

plasticizzazione 3 (si veda Figura 8.10).


500

700

900

1100

1300

1500

1700

1900

2100

2300

2500

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu[kN]

t[min]


148

Carico concentrato – appoggi


In quest’ultimo caso i meccanismi 1 e 2 sono di fatto equiprobabili. Come già

spiegato in precedenza nel caso di carico distribuito con appoggi, il meccanismo 4

ha capacità portante ultima molto maggiore degli altri meccanismi.

Osservazioni

Avendo analizzato il caso senza la trave di bordo, i meccanismi più probabili, e

dunque con minori capacità resistenti a collasso, sono il primo e il secondo.

Interessante è osservare che, per ogni meccanismo e per ogni tipologia di carico e

vincolo, il rapporto tra carico ultimo con appoggi e carico ultimo con incastri tende a

diminuire con l’aumentare del tempo di incendio,ossia:

con tempo generico superiore ai 60’ di incendio, tempo iniziale e .

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu[kN]

t[min]


149

Si mettono a grafico i rapporti in funzione del tempo:



0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu,app/qu,inc

t[min]

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu,app/Pu,inc

t[min]


150

Questi andamenti sono giustificati dal fatto che, in caso d’appoggio, il contributo

alla rigidezza flessionale è dato solo dall’armatura al positivo (soggetta ad un

significativo innalzamento di temperatura), mentre in caso di incastro, oltre

all’armatura al positivo, lavora anche quella al negativo (non interessata da un

surriscaldamento rilevante).

Tali osservazioni sono solo in parte vere per il meccanismo 4 il quale è l’unico, con

vincoli di appoggio, a far lavorare l’armatura al negativo tramite le yield lines 4 e 5.

8.2.2 Presenza della trave di bordo

La presenza della trave di bordo presuppone la ricerca del fattore di proporzionalità

k, che precedentemente era stato definito come:

Ora k è influenzato dall’incendio, infatti le armature di trave e piastra sono soggette

a riduzioni di prestazioni meccaniche a causa dell’innalzamento di temperatura.

Figura 8.14 – Armatura della sezione equivalente


151

Le uniche barre influenzate dall’innalzamento di temperatura sono la 1,2,3,4,5,11.

Si ricordano i diametri:

;

;

;

Si procede ricercando l’area fittizia in presenza di incendio:

dove con si intende l’area dell’i-esima barra, con la resistenza caratteristica

dell’acciaio alla temperatura T e con la resistenza caratteristica dell’acciaio a

temperatura ambiente (pari a

). Si passa alla valutazione dell’altezza

efficace delle armature:

dove con si intende l’altezza efficace dell’i-esima barra. A questo punto la

valutazione del momento resistente è immediata:

Quindi il fattore di proporzionalità , in presenza di incendio, si calcola come:

Di seguito sono riportati i minimi di carico per i 4 meccanismi simmetrici in presenza

della trave di bordo. A parità di tipologia di carico e vincoli i minimi sono evidenziati

in rosso. Nel caso in cui riprogettando l’armatura il meccanismo più probabile

diventi il 4*, allora il carico è evidenziato in verde.


152

t=0’ – 60’


INCASTRI qu[kN/m2] 106.2 128.2 112.1 115.2 78.9

Pu[kN] 2865.9 2734.9 2407.5 2103.8 1550.9

APPOGGI qu[kN/m2] 69.1 86.9 67.3 95.9 62.6

Pu[kN] 1894.4 1854.7 1436.0 1709.3 1156.5

Tabella 8.7 – Minimi di carico con trave di bordo per t≤60’

t=90’


INCASTRI qu[kN/m2] 95.9 114.8 102.5 108.4 72.5

Pu[kN] 2581.1 2450.1 2203.1 1967.5 1414.7

APPOGGI qu[kN/m2] 59.1 73.6 57.7 88.5 55.8

Pu[kN] 1609.6 1569.9 1231.6 1573.1 1020.2

Tabella 8.8 – Minimi di carico con trave di bordo per t=90’

t=120’


INCASTRI qu[kN/m2] 81.7 96.5 89.3 98.8 63.7

Pu[kN] 2189.5 2058.5 1922.1 1780.2 1227.3

APPOGGI qu[kN/m2] 45.1 55.2 44.6 77.8 46.3

Pu[kN] 1218.0 1178.3 950.6 1385.8 832.9



153

t=180’


INCASTRI qu[kN/m2] 61.7 71.6 69.3 81.6 47.0

Pu[kN] 1645.7 1528.5 1496.5 1459.6 906.7

APPOGGI qu[kN/m2] 25.2 30.4 24.6 58.5 28.8

Pu[kN] 674.2 648.3 525.0 1065.1 512.3


t=240’


INCASTRI qu[kN/m2] 50.7 59.0 56.6 68.5 33.4

Pu[kN] 1353.3 1257.7 1231.3 1225.2 672.4

APPOGGI qu[kN/m2] 14.3 17.7 12.2 44.2 15.6

Pu[kN] 381.8 377.5 259.8 830.8 277.9



154

Grafici

Si riporta l’andamento dei carichi ultimi di collasso per i vari meccanismi in modo da

avere un confronto immediato.

Carico distribuito – incastri


La capacità resistente di tutti i meccanismi si riduce e il meccanismo 1 rimane

sempre il più probabile. Il meccanismo 2 risulta essere il più “penalizzato” dato il

decadimento maggiore di carico ultimo rispetto agli altri casi. In caso di armatura

modificata al negativo il meccanismo 4* diventa il più probabile.

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu[kN/m2]

t[min]


155

Carico distribuito – appoggi


I meccanismi 1 e 3 sono sostanzialmente equiprobabili per tutta la durata di

incendio analizzata. Con armatura modificata al lembo superiore il meccanismo 4* è

il più probabile fino a 110’ circa.

Il meccanismo 4 risulta avere capacità

portante maggiore degli altri perché,

grazie alla sua geometria, è l’unico fra

i 4 studiati che in caso di appoggio che

fa lavorare l’armatura al negativo (si

vedano le yield lines 4 e 5). Questo

fatto con il passare del tempo

d’incendio, risulta sempre più

rilevante dato che l’unica armatura

soggetta ad un degrado di prestazioni

meccaniche è quella al lembo

inferiore.


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu[kN/m2]

t[min]


156

Carico concentrato – incastri


In questa situazione il meccanismo 4 è il più probabile per tutta la durata

dell’incendio. Si osserva come i meccanismi, che inizialmente hanno carichi di

collasso molto differenti, tendono a convergere col passar del tempo. A 4 ore tutti i

meccanismi sono di fatto equiprobabili. Con l’ipotesi di armatura modificata al

negativo il meccanismo 4* diventa il più probabile.

500

700

900

1100

1300

1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

2900

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu[kN]

t[min]


157

Carico concentrato – appoggi


Il meccanismo 3 è il più probabile per tutta la durata dell’incendio e il

comportamento del carico ultimo dei meccanismi 1 e 2 è praticamente identico. Il

meccanismo 4 subisce meno degli altri la presenza dell’incendio perché, come già

detto in precedenza, è l’unico che in presenza di vincoli d’appoggio fa lavorare

l’armatura al negativo, la quale non è soggetta ad un innalzamento di temperatura

significativo. Con armatura modificata al lembo superiore il meccanismo 4* diventa

il più probabile ma, a 180’ il meccanismo 3 gli diventa di fatto equiprobabile.

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu[kN]

t[min]


158

Osservazioni

Grazie alla presenza della trave di bordo le capacità dei meccanismi 1 e 2

aumentano, diventando paragonabili a quelle dei meccanismi 3 e 4.

Come già detto nell’analisi fatta precedentemente senza trave di bordo, anche in

questo caso, per ogni meccanismo e per ogni tipologia di carico e vincolo, il

rapporto tra carico ultimo con appoggi e carico ultimo con incastri tende a

diminuire con l’aumentare del tempo di incendio, vale a dire:

con tempo generico superiore ai 60’ di incendio, tempo iniziale e .

Si mettono a grafico i rapporti in funzione del tempo:


0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

qu,app/qu,inc

t[min]


159


Come già detto in precedenza questi andamenti sono giustificati dal fatto che, in

caso d’appoggio, lavora solo l’armatura al positivo (soggetta ad un significativo

innalzamento di temperatura) contribuendo alla rigidezza flessionale, mentre in

caso di incastro lavora, oltre all’armatura al positivo, anche quella al negativo (non

interessata da un surriscaldamento rilevante).

Tali osservazioni sono solo in parte vere per il meccanismo 4.

In conclusione è riportato un grafico nel quale si osserva la riduzione del momento

resistente della trave in funzione del tempo, la riduzione del momento

resistente dell’armatura al positivo in direzione Y della piastra e

l’andamento del fattore di proporzionalità

.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

Pu,app/Pu,inc

t[min]


160

Figura 8.22 – ,

,

8.3 CARICHI DI ESERCIZIO

In quest’ultimo paragrafo si compara il carico di esercizio applicato durante le prove

di carico ( , circa ) e i carichi ultimi dei meccanismi soggetti ad incendio

appena studiati. Questa tipologia di carico può considerarsi sufficientemente

concentrata e dunque il confronto è fatto rispetto ai casi con carico concentrato.

Nei casi di vincoli ad incastro, con e senza trave di bordo, il carico ultimo Pu dopo 4

ore di incendio (tempo massimo della nostra analisi) risulta di molto maggiore

rispetto ai delle prove di carico. Più interessanti sono i casi con appoggi

lungo i bordi della piastra.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

60 90 120 150 180 210 240

kFire

My,traveFire[kNm]

my+ Fire.a [kNm]

t[min]


161

Appoggi – Assenza della trave di bordo

Figura 8.23 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*, Carico di esercizio

Come è evidente dal grafico, a 210’ i meccanismi 1 e 2 hanno carico ultimo pari a

circa e per durate maggiori il carico ultimo diminuisce ulteriormente,

raggiungendo il minimo di circa a 240’. Dunque verosimilmente a 210’ il

collasso può verificarsi anche sotto l’azione di carichi di servizio.

0

200

400

600

800

1000

1200

160 170 180 190 200 210 220 230 240

Pu[kN]

t[min]


162

Appoggi – Presenza della trave di bordo

Figura 8.24 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*, Carico di esercizio

Con trave di bordo la situazione è migliore della precedente. I meccanismi che a 4

ore di incendio si avvicinano al carico di esercizio di sono il 3 e il 4*, con

carichi ultimi rispettivamente di e . Per una durata di incendio

maggiore di 4 ore è facilmente prevedibile che il carico di esercizio venga

oltrepassato, causando il collasso dell’opera.

0

200

400

600

800

1000

1200

160 170 180 190 200 210 220 230 240

Pu[kN]

t[min]

163

9 CONCLUSIONI

In questo lavoro di tesi è stato analizzato il comportamento di una piastra in C.A.

presente presso un impianto di depurazione acque, in presenza dei carichi

d’esercizio dovuti al passaggio di un autocarro.

E’ stato valutato l’abbassamento sotto un carico pari a applicato su un’impronta

di circa e lo si è paragonato con quello ottenuto dalla prova di carico. La

modellazione ad Elementi Finiti si rivela efficace, in quanto mostra un buon accordo

sugli andamenti di spostamento lungo le sezioni mediane e lungo i bordi

parzialmente incastrati o con trave irrigidente.

In una seconda fase si è riprogettata l’armatura e si sono stati ipotizzati quattro

meccanismi di collasso nell’ambito dell’analisi limite (Metodo delle Linee di

Plasticizzazione). Sono state svolte delle analisi basate sul ruolo dei momenti

resistenti d’armatura nelle direzioni dei lati e del momento resistente della trave di

rinforzo posta lungo il lato Est.

Le analisi al variare di vincoli, tipologia di carico ed elementi strutturali, hanno

permesso di identificare i meccanismi di collasso più probabili – cioè con carico

ultimo minore – della piastra a seconda dei casi trattati.

È stato chiarito inoltre il ruolo della trave di bordo (la cui presenza o meno dipende

il passaggio dall’uno all’altro dei cinematismi di collasso) ed è stato evidenziato

come la situazione con vincoli ad incastro sia sempre migliore della situazione con

vincoli d’appoggio (dato che nella prima l’armatura al negativo evita che tutta la

sollecitazione si scarichi sull’armatura al positivo).

Fra le due tipologie di carico affrontate quella uniformemente distribuita risulta

sicuramente la più interessante, in quanto la geometria dei meccanismi a collasso

non è prevedibile a priori e in alcuni casi nemmeno scontata. Con carico

9. Conclusioni

164

concentrato si evidenzia che le yield lines tendono a convergere nel punto di

applicazione della forza, in quanto tale configurazione permette di minimizzare la

funzione “carico di collasso”.

Infine la piastra è stata verificata allo stato limite ultimo ed è risultato evidente

come essa riuscisse a sopportare carichi ben maggiori di quelli per la quale è stata

progettata. Questo è ragionevole dato che la scelta progettuale è stata quella di

armare rispetto al momento massimo sia al positivo che al negativo. Dunque è

importante osservare che l’inserimento della trave di bordo non è di fatto

necessario, in quanto le verifiche con carichi eccezionali sono rispettate anche in

assenza di questo elemento strutturale aggiuntivo e nel caso più “penalizzante” di

vincoli d’appoggio.

Le verifiche al fuoco hanno anche premesso di osservare che al passare del tempo

la capacità resistente della piastra degradi e in alcuni casi tenda a zero. Inoltre si

evidenzia che talvolta il surriscaldamento continuo delle barre causa il

cambiamento di tipologia di meccanismo più probabile a collasso. Per durate

superiori alle 3 ore e con vincoli di appoggio si evidenzia che è raggiunto, e alcune

volte superato, il carico di servizio.

Sviluppi futuri

La scelta dei vincoli ai bordi della piastra, nel modello ad Elementi Finiti, è risultata

determinante. Infatti i tre modelli (incastrato, misto e appoggiato) hanno mostrato

una notevole diversità nei risultati in termini di spostamento. Generalmente gli

spostamenti sperimentali sono compresi tra i risultati del modello misto e del

modello appoggiato, facendo supporre che il vincolo dato dalle pareti sottostanti la

piastra non sia molto rigido. Uno sviluppo del modello potrebbe consistere proprio

nel raffinamento dei vincoli ai bordi: studiando i muri sarebbe possibile ottenere la

9. Conclusioni

165

loro rigidezza flessionale e questo è modellabile con vincoli di appoggio dotati di

molle rotazionali, che forniscano alla piastra la medesima rigidezza.

Dato che le verifiche con carichi eccezionali sono sempre rispettate, la

progettazione dell’armatura potrebbe essere fatta in modo differente. Invece che

mantenere il passo delle barre costante in entrambe le direzioni, si potrebbe

progettare al lembo inferiore un’armatura più fitta nella parte centrale e più rada in

prossimità dei bordi (dati gli andamenti dei momenti flettenti sollecitanti). Ciò

comporterebbe uno studio più approfondito dei meccanismi di rottura in quanto il

Lavoro Interno fornito da molte yield lines risulterebbe costante a tratti oppure

variabile linearmente.

Riguardo alle verifiche al fuoco si potrebbe utilizzare una curva tempo-temperatura

differente dall’incendio standard ISO 834. Un’analisi dei quantitativi di materiale

combustibile in sito e delle condizioni di aerazione risulterebbe utile per tracciare

una curva tempo-temperatura dell’incendio che realmente di svilupperebbe,

permettendo uno studio più preciso della situazione e delle capacità portanti

ultime.

166

10 APPENDICE A

Di seguito sono riportati i carichi ultimi dei meccanismi 1 e 2 per specifici valori del

parametro della trave di bordo.

Caso k=0.1



71.3 1913.4 85.3 1819.5

39.4 1068.6 49.4 1054.1

Tabella 10.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=0.1

Caso k=0.2



75.3 2024.4 90.5 1930.6

43.4 1179.6 54.6 1165.2


10. Appendice A

167

Caso k=0.3



79.3 2135.5 95.7 2041.7

47.3 1290.3 59.8 1276.3


Caso k=0.4



83.3 2246.6 100.9 2152.7

51.2 1401.8 65.0 1387.3


10. Appendice A

168

Caso k=0.5



87.3 2357.6 106.1 2263.8

55.1 1512.8 70.2 1498.4


Caso k=0.75



97.2 2635.3 119.1 2541.5

64.8 1790.5 83.3 1776.1


10. Appendice A

169

Caso k=1



107.1 2913.0 132.1 2819.1

74.4 2068.2 96.3 2053.7

Tabella 10.7 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=1

Si osserva che al crescere del parametro k le capacità resistenti dei due meccanismi

migliorano. Per i meccanismi 3 e 4 i carichi ultimi rimangono invariati, come è

riportato nella seguente tabella:



93.7 2013.1 96.4 1762.4

54.8 1168.3 79.7 1419.4

Tabella 10.8 – Minimi di carico per meccanismi 3 e 4

170

11 APPENDICE B

Le funzioni “carico ultimo” dei meccanismi asimmetrici sono governate da due

parametri. Dato che l'obiettivo è quello di ricercare il minimo della funzione, essa va

derivata rispetto a tutti i parametri ( ) per imporre poi la nullità delle derivate

stesse. Tale condizione è già, in generale, la condizione di minimo per cui non è

necessario controllare che le derivate seconde siano positive. Nella pratica questo

procedimento è molto dispendioso dal punto di vista computazionale. Nella pratica

è stato deciso di ricercare per punti il minimo della funzione, sostituendo coppie

parametri con valori predefiniti ed estrapolando da matrici i valori minimi di carico.

Di seguito si riportano solo i casi di carico uniformemente distribuito, dato che per i

casi di carico concentrato le yield lines convergono sempre nel punto di

applicazione della forza e quindi la ricerca dei due parametri è banale.

171

11.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO

11.1.1 Meccanismo 1

Si ricorda che:

Incastro ad Ovest

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0.36 54.778 54.758 54.779 54.843 54.949 55.100 55.296 55.540 55.833 56.178 0.37 54.616 54.596 54.617 54.681 54.788 54.939 55.136 55.381 55.675 56.021 0.38 54.474 54.454 54.476 54.540 54.647 54.799 54.997 55.242 55.538 55.885

0.39 54.352 54.332 54.354 54.418 54.526 54.678 54.877 55.123 55.420 55.768 0.40 54.248 54.228 54.250 54.314 54.422 54.575 54.774 55.022 55.319 55.669 0.41 54.160 54.140 54.162 54.227 54.335 54.489 54.689 54.937 55.236 55.587 0.42 54.088 54.068 54.090 54.155 54.264 54.418 54.619 54.868 55.168 55.521 0.43 54.031 54.011 54.033 54.098 54.207 54.362 54.564 54.814 55.115 55.469 0.44 53.987 53.967 53.989 54.055 54.164 54.320 54.522 54.773 55.075 55.431 0.45 53.957 53.936 53.958 54.024 54.134 54.290 54.494 54.746 55.049 55.406

0.46 53.939 53.918 53.940 54.006 54.117 54.273 54.477 54.731 55.035 55.393 0.47 53.932 53.911 53.934 54.000 54.111 54.268 54.473 54.727 55.033 55.392 0.48 53.936 53.915 53.938 54.004 54.116 54.274 54.479 54.735 55.042 55.403

Tabella 11.1 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico senza trave di bordo, incastro a Ovest

11. Appendice B

172

Appoggio ad Ovest

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0.26 47.560 47.541 47.561 47.622 47.725 47.870 48.059 48.294 48.576 48.908 0.27 47.408 47.389 47.410 47.471 47.574 47.720 47.910 48.145 48.429 48.762 0.28 47.282 47.263 47.284 47.345 47.449 47.595 47.785 48.022 48.306 48.641 0.29 47.179 47.159 47.180 47.242 47.346 47.493 47.684 47.921 48.206 48.542

0.30 47.096 47.076 47.097 47.159 47.264 47.411 47.603 47.841 48.127 48.464 0.31 47.032 47.012 47.033 47.096 47.200 47.348 47.541 47.780 48.067 48.406 0.32 46.985 46.965 46.987 47.049 47.154 47.302 47.496 47.736 48.024 48.364 0.33 46.954 46.934 46.955 47.018 47.124 47.273 47.467 47.707 47.997 48.338 0.34 46.937 46.918 46.939 47.002 47.108 47.257 47.452 47.694 47.984 48.327 0.35 46.934 46.914 46.936 46.999 47.105 47.255 47.451 47.693 47.985 48.329 0.36 46.943 46.924 46.945 47.008 47.115 47.266 47.462 47.706 47.998 48.343

Tabella 11.2 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico senza trave di bordo, appoggio a Ovest

11. Appendice B

173

11.1.2 Meccanismo 2

Si ricorda che:

Incastro ad Ovest

0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45

0.55 66.482 65.950 65.463 65.018 64.611 64.240 63.902 63.596 63.320 63.071 0.56 66.232 65.697 65.207 64.758 64.348 63.973 63.633 63.324 63.045

0.57 66.004 65.465 64.971 64.519 64.106 63.728 63.385 63.073 0.58 65.796 65.253 64.756 64.300 63.884 63.503 63.157

0.59 65.606 65.060 64.559 64.100 63.681 63.298 0.60 65.435 64.885 64.381 63.919 63.496

0.61 65.281 64.728 64.221 63.756 0.62 65.144 64.588 64.077

0.63 65.024 64.464 0.64 64.919

Tabella 11.3 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo, incastro a Ovest

11. Appendice B

174

Appoggio ad Ovest

0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45

0.55 62.919 62.371 61.866 61.403 60.979 60.590 60.234 59.910 59.615 59.348 0.56 62.653 62.100 61.592 61.126 60.698 60.306 59.947 59.620 59.322

0.57 62.407 61.851 61.339 60.869 60.438 60.042 59.681 59.350 0.58 62.181 61.621 61.106 60.632 60.197 59.799 59.434

0.59 61.974 61.410 60.891 60.414 59.976 59.575 0.60 61.785 61.217 60.695 60.215 59.774

0.61 61.613 61.042 60.516 60.033 0.62 61.458 60.883 60.354

0.63 61.319 60.741 0.64 61.196

Tabella 11.4 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo, appoggio a Ovest

11. Appendice B

175

11.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO

11.2.1 Meccanismo 1

Si ricorda che:

Incastro ad Ovest

0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 0.61

0.36 76.045 75.946 75.904 75.919 75.994 76.128 76.323 76.581 76.902 77.291 0.37 75.964 75.864 75.822 75.838 75.913 76.047 76.243 76.501 76.825 77.215 0.38 75.904 75.804 75.762 75.778 75.853 75.988 76.184 76.444 76.768 77.160

0.39 75.864 75.763 75.721 75.737 75.812 75.948 76.145 76.406 76.731 77.124 0.4 75.843 75.741 75.699 75.715 75.791 75.927 76.125 76.386 76.713 77.108

0.41 75.838 75.737 75.694 75.710 75.786 75.923 76.122 76.384 76.712 77.108 0.42 75.850 75.748 75.705 75.722 75.798 75.935 76.135 76.398 76.727 77.125 0.43 75.878 75.775 75.732 75.748 75.825 75.963 76.163 76.428 76.758 77.158 0.44 75.919 75.817 75.773 75.790 75.867 76.005 76.206 76.471 76.803 77.204 0.45 75.975 75.872 75.828 75.845 75.922 76.061 76.263 76.529 76.862 77.265

Tabella 11.5 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, incastro a Ovest

11. Appendice B

176

Appoggio ad Ovest

0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6 0.61 0.62

0.26 67.955 67.914 67.930 68.002 68.131 68.319 68.567 68.877 69.251 69.693 0.27 67.878 67.838 67.853 67.925 68.055 68.243 68.492 68.804 69.179 69.623 0.28 67.827 67.787 67.802 67.874 68.004 68.194 68.444 68.756 69.133 69.578 0.29 67.800 67.759 67.774 67.847 67.977 68.167 68.418 68.732 69.110 69.557

0.3 67.793 67.752 67.768 67.841 67.972 68.162 68.414 68.729 69.109 69.557 0.31 67.806 67.765 67.781 67.854 67.985 68.177 68.429 68.745 69.127 69.577 0.32 67.837 67.795 67.811 67.885 68.017 68.209 68.462 68.779 69.162 69.614 0.33 67.884 67.842 67.858 67.932 68.064 68.257 68.512 68.830 69.214 69.667 0.34 67.946 67.904 67.920 67.994 68.127 68.321 68.576 68.896 69.281 69.736 0.35 68.022 67.980 67.996 68.070 68.204 68.398 68.655 68.975 69.363 69.819

Tabella 11.6 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, appoggio a Ovest

11. Appendice B

177

11.2.2 Meccanismo 2

Si ricorda che:

Incastro ad Ovest

0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54

0.46 95.786 95.409 95.069 94.762 94.488 94.244 94.030 93.842 93.682 93.546 0.47 95.091 94.710 94.364 94.053 93.774 93.525 93.306 93.114 92.949

0.48 94.442 94.056 93.705 93.389 93.105 92.852 92.628 92.432 0.49 93.836 93.444 93.089 92.768 92.480 92.223 91.995

0.5 93.270 92.874 92.514 92.189 91.896 91.635 0.51 92.742 92.342 91.978 91.648 91.351

0.52 92.251 91.846 91.478 91.144 0.53 91.794 91.385 91.013

0.54 91.371 90.957 0.55 90.978

Tabella 11.7– Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, incastro a Ovest

11. Appendice B

178

Appoggio ad Ovest

0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54

0.46 92.223 91.830 91.472 91.148 90.856 90.594 90.362 90.156 89.977 89.823 0.47 91.512 91.113 90.750 90.421 90.124 89.857 89.620 89.410 89.226

0.48 90.845 90.441 90.073 89.739 89.437 89.166 88.924 88.709 0.49 90.221 89.812 89.439 89.101 88.794 88.518 88.272

0.5 89.638 89.224 88.846 88.503 88.192 87.912 0.51 89.092 88.674 88.292 87.944 87.628

0.52 88.583 88.160 87.773 87.421 0.53 88.108 87.681 87.290

0.54 87.666 87.234 0.55 87.255

Tabella 11.8 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, appoggio a Ovest

11. Appendice B

179

11.3 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO

11.3.1 Meccanismo 3

Incastro ad Ovest

Si ricorda che:

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0.54 76.892 76.866 76.894 76.978 77.118 77.317 77.576 77.898 78.285 78.740 0.55 76.818 76.792 76.820 76.904 77.045 77.244 77.503 77.824 78.211 78.666

0.56 76.761 76.735 76.763 76.847 76.987 77.186 77.445 77.767 78.153 78.608 0.57 76.720 76.694 76.722 76.806 76.946 77.145 77.404 77.726 78.113 78.568 0.58 76.696 76.669 76.698 76.782 76.922 77.121 77.380 77.702 78.088 78.543 0.59 76.688 76.662 76.691 76.774 76.915 77.114 77.373 77.694 78.081 78.536 0.60 76.698 76.672 76.701 76.784 76.925 77.124 77.383 77.704 78.091 78.546 0.61 76.726 76.700 76.728 76.812 76.953 77.152 77.411 77.732 78.119 78.574 0.62 76.772 76.746 76.774 76.858 76.999 77.198 77.457 77.778 78.165 78.620

0.63 76.837 76.811 76.839 76.923 77.064 77.262 77.522 77.843 78.230 78.685 Tabella 11.9 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, incastro a Ovest

11. Appendice B

180

Appoggio ad Ovest

Si ricorda che:

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64

0.45 70.049 70.023 70.051 70.135 70.276 70.475 70.734 71.055 71.442 71.897 0.46 69.998 69.971 70.000 70.084 70.224 70.423 70.682 71.004 71.390 71.845

0.47 69.958 69.932 69.960 70.044 70.184 70.383 70.642 70.964 71.351 71.806 0.48 69.930 69.903 69.932 70.016 70.156 70.355 70.614 70.936 71.322 71.777 0.49 69.913 69.886 69.915 69.999 70.139 70.338 70.597 70.919 71.305 71.760 0.50 69.907 69.881 69.909 69.993 70.134 70.332 70.591 70.913 71.300 71.755

0.51 69.913 69.886 69.915 69.999 70.139 70.338 70.597 70.919 71.305 71.760 0.52 69.930 69.903 69.932 70.016 70.156 70.355 70.614 70.936 71.322 71.777 0.53 69.958 69.932 69.960 70.044 70.184 70.383 70.642 70.964 71.351 71.806 0.54 69.998 69.971 70.000 70.084 70.224 70.423 70.682 71.004 71.390 71.845

Tabella 11.10 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, appoggio a Ovest

181

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