2.1 Vektör 13 2.2 Vektörel Toplama ve Çıkartma 15 Örnekler 16 2.3 Vektörlerde Çarpma İşlemleri 18 Örnekler 21 2.4 Türev Operatörü Nabla 24 Örnekler 25 PROBLEMLER 27

Kuramsal matematiğin kurucularından biri olan İsviçreli matematikçi ve fizikçidir. Geometri, diferansiyel ve integral hesap, mekanik, sayı kuramları, gözlemsel astrono-mi üzerine önemli katkıları olmuştur. Trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar kuramı-nı geliştirdi. Matematiğe, değişkenleri birbirine bağlayan fonksiyon kavramını getirdi ve sonsuz küçük tanımını kazandırdı. Trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık sayılar arasındaki ilişkiyi kurdu. Euler toplama için “” işaretini, doğal logaritmada tabanı göstermek üzere “e” simgesini, fonksiyonu belirten “f” harfi ile içine bağımsız değiş-kenlerin yazıldığı parantezi, çemberde çevrenin çapa oranını veren “” simgesini ve (1) için de “i” harfini matematiğe kazandırdı. 1735 de bir gözünü ve 1766 da diğer gözünü kaybetmesine rağmen güçlü hafızası nedeniyle çalışmalarını hep sürdürdü. Matematik eğitiminin kuramsallaşması üstünde önemli hizmetleri oldu. 1783 de en büyük buluşlarından birini olan kuvadratik karşılılık yasasını ortaya atarak modern sayılar kuramının temellerini oluşturdu.

Leonhard EULER (1707-1783)

2.1 VEKTÖR

Sadece bir skaler tanımı ile bir mekanik problem matematiksel anlamda tam olarak ifade edilemez. O nedenle mekanik olaylar ölçülürken ya da değerlendirilirken kullanılan matematiksel büyüklükler temelde üç sınıfa ayrılırlar. Bunlar:

Skaler: Mekanikteki en sade büyüklük olup, sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır ve bir birimi vardır. Matematik anlamda sıfı-

rıncı mertebeden bir büyüklüktür ve karşılığı 03 1º sayıdır. Örneğin cismin yoğunluğu bir skalerdir.

Vektör: Matematik anlamda birinci mertebeden bir büyüklüktür ve

karşılığı 13 3º tane sayıdır. Boyutlu bir büyüklük olan vektör, şiddet, doğrultu ve yön belirtir. Örneğin kuvvet vektörel bir büyüklüktür. Bu kitapta vektörel büyüklükler kalın yazı karakteriyle F, W, ... biçimin-de ifade edilecektir.

Tansör: Matematik anlamda .n mertebeden bir büyüklüktür ve karşı-

lığı olan sayı adedi 3n dür. Örneğin 2. mertebeden bir tansör 23 9º tane sayı ile ifade edilir.

VEKTÖR: Bir F vektörünün şiddeti ya F ya da F ile simgelenir. Şekil

(2.1a) da görülmekte olan F vektörünün doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok, şiddetini de okun boyu belirler. F vektörünün zıt yönlüsü -F ile

gösterilir ve buradaki ( )- işareti sadece yön değişikliğini belirtir, yoksa vektörler skaler büyüklüklerde olduğu gibi artı ya da eksi değer almazlar (Bakınız Şekil 2.1b). Vektörlere bir örnek olarak kuvveti sayabiliriz.

14 STATİK

Vektörün ilişkilendirildiği fiziksel büyüklüğe bağlı olarak, etki noktası, boyu (şiddeti), hareketliliği önemli ya da önemsiz olabilir. O nedenle çeşitli özelliklere sahip vektörler vardır. Şimdi bunları sırayla ele alalım.

Serbest Vektör: Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda serbestçe hareket ettirilebilen vektörlere denir. Buna örnek olarak, 3. Bölüm'de ele alınacak kuvvet çiftinin moment etkisi gösterilebilir.

Kayan Vektör: Kendisi ile aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile iste-nilen herhangi bir noktaya uygulanabilen vektörlere denir.

Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir. Bunların kayan vektörler oldu-ğunu, süperpozisyon ve denge ilkesi yardımıyla kolayca göstermek müm-kündür. Bunun için Şekil (2.2a) daki rijit cismin A noktasına etki eden F kuvvetini ele alalım. Şimdi denge ilkesi hatırlanırsa, F kuvveti ile aynı tesir çizgisi üstünde duran ve cismin içinde yer alan bir B noktasına yön-leri ters, şiddetleri F olan iki kuvvet Şekil (2.2b) de görüldüğü gibi

yerleştirilebilir. Daha sonra süperpozisyon ilkesi kullanılarak, denge halindeki cisimde, A noktasındaki F kuvveti ile B noktasındaki -F

kuvveti kaldırılabilir. Böylece Şekil (2.2c) de görüldüğü gibi A noktasına etkiyen F kuvveti aynı cisim içinde, doğrultusu değiştirilmeden B noktasına taşınmış olur.

Sabit Vektör: Uygulama noktası sabit olan vektörlere denir.

Birim Vektör: Boyu birim olan vektördür. Eğer birim vektörü λ ile gös-terirsek, bunun için iki önemli bağıntı yazılır,

► 2 2 21

x y z

x y z

ü= + + ïïïýï= + + ïïþ

λ i j k (2.1)

(2.1) in ilk denklemi, Şekil (2.3) deki vektörün bileşenleri cinsinden ifade edilişidir. İkincisi ise birim vektörün boyu ile ilgili koşuldur. Kartezyen koordinat takımında pozitif ),,( zyx eksenleri yönündeki birim vektör-

lerine sırası ile i, j, k dersek, zyx ,, de sırası ile bu i, j, k birim vek-

törleri yönünde λ vektörünün bileşenleridir. Bilinen bir,

► x y zF F F= + +F i j k

vektörünün, birim vektörü,

► F =F

λF

(2.2)

biçiminde hesaplanır (Bakınız Şekil 2.4). (2.2) de F nin şiddeti,

2. VEKTÖRLER 15

► 2 2 2x y zF F F F= = + +F (2.3)

dir. F vektörü (2.2) ve (2.3) den FF=F λ biçiminde de hesaplanır.

Boyu, A ( , , )A A Ax y z ve B( , , )B B Bx y z gibi iki nokta arasında verilmiş bir

F vektörü düşünelim. Vektörün yönü A noktasından B noktasına doğru yönelmiş olsun. Bu durumda F vektörü aşağıdaki işlem yapılarak hesap-lanır:

( ) ( ) ( )B A B A B Ax x y y z z= - + - + -F i j k (2.4)

2.2 VEKTÖREL TOPLAMA VE ÇIKARTMA

Statikte tüm hesaplar vektörel olarak yapılabilir ama bu uygulama teknik olarak uzay (üç boyutlu) problemlerde tercih edilir. Şimdi rijit cisim stati-ğinde kullanılacak bazı temel vektörel işlemlerin bize gerekenlerini göre-lim.

Paralelkenar İlkesi: Vektörler paralel kenar ilkesi kullanılarak birbirleri ile toplanır ya da çıkartılırlar. Örneğin Şekil (2.5a) daki F1 ve F2 gibi iki vektör için toplama işlemi,

► 1 2= +R F F (2.5)

biçiminde yapılır ve sonuç yine bir vektör olur. Aynı F1 ve F2 vektörleri arasında, F1 den F2 yi çıkartmak istersek,

1 2= -Q F F (2.6)

( )1 2= + -F F (2.7)

yazılır. Burada 2( )-F den 2F nin ters yönlüsü anlaşılmalıdır. Paralel

kenar ilkesinin çıkartma işleminde uygulanışını Şekil (2.5b) de izlemek mümkündür. Sonuç olarak vektörlerde toplama ve çıkartma bir geometrik işlemdir. Toplama işleminin iki önemli özelliği vardır. Bunlar,

Komütatif özellik: 1 2 2 1+ = +F F F F

Asosyatif özelllik: ( ) ( )1 2 3 1 2 3+ + = + +F F F F F F

Şimdi bunları daha iyi açıklayabilmek için üçgen ilkesinden yararlanalım.

Üçgen İlkesi: İki vektörün toplamını bulmakta kullanılır. Üçgen ilkesi aslında paralel kenar ilkesinin daha özel bir uygulamasıdır.

Keyfi 1F ve 2F vektörleri biri öbürünün ucuna, sırası önemli olmamak

üzere, eklenerek Şekil (2.6) da gösterildiği gibi (ABC) ya da (ADC)

çizilebilir. Bu Şekil (2.6) da görüldüğü gibi iki biçimde yapılabilir. Ya 1F