Matemáticas II

Actividad: Sólidos de Revolución

CompetenciaComprender y aplicar el concepto de integral definida de funciones reales, para modelar y dar solución a problemas en diferentes contextos.

ObjetivoEncontrar el volumen de un sólido de revolución empleando los métodos de discos, y anillos Ejercicio inicial

Encuentre el volumen del sólido generado cuando la zona delimitada por la curva y2=x , el eje x y la recta x = 2 se hace girar sobre el eje "x". Usando el método de los cilindros y el de los discos

En WolframAlpha puedes calcular la aproximación del volumen; es importante distinguir los objetos de la sumatoria; por otra parte puedes calcular el valor exacto;

Lección:

¿Cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al hacer girar la región limitada por la gráfica de una función en torno a uno de los ejes mediante integrales definidas ?

En matemáticas e ingeniería , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al hacer girar una curva plana en torno a una línea recta, llamada eje de revolución, que se encuentra en el mismo plano.

Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones.

El volumen de un sólido de revolución puede ser encontrado por los siguientes procedimientos:

Método de los discosSi una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y la recta se llama eje de revolución.

Fórmula ¿ conocida ¿Volumen del discoV=πR2w

Elemento ¿ representativo ¿

ΔV =π [ R (x i ) ]2 Δx

Nueva fórmula ¿de int egración ¿

V=π∫a

b

[ R ( x ) ]2 dx

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar una de las formulas siguientes.

Eje de revolución horizontal

Volumen=V=π∫a

b

[R ( x ) ]2dx

Eje de revolución vertical

Volumen=V=π∫a

b

[R ( y ) ]2 dyThe tutorial below with

examples and detailed solutions is designed to answer the above question.

El método de los anillos

El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos reemplazando el disco con una arandela o anillo

Eje de revolución horizontal

V=π∫a

b

( [R ( x ) ]2−[r ( x )2] ) dx

Eje de revolución vertical

V =π∫a

b

( [ R ( y ) ]2−[ r ( y )2 ] )dy

Ejemplos1. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas

y=√x y=0 x=4

a) alrededor del eje xb) alrededor del eje yc) alrededor de x=4

d) alrededor de x=6

Alrededor del eje x Alrededor del eje y

alrededor de x=4 Alrededor de x=6

2. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas

f ( x )=√x y g ( x )=x2 alrededor del eje x. Usa WolframAlpha

Actividad para el estudiante

Para los siguientes ejercicios utiliza el método de los discos y usa WolframAlpha para revisar tus respuestas

1. Encuentre el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.

a. y=x2 , x= y2 , alrededor de la línea x=3

b. y=e−x , y=2 , x=1; alrededor de la línea y=-1

2. La región R que se muestra en la figura está limitada por las parábolas y2=2 ( x−3 ) y y

2=x . Encuentre el volumen del sólido generado al rotar al rotar R alrededor del eje x.

3. Encuentre el volumen del elipsoide generado al rotar al rotar alrededor del eje x la región limitada por la

elipse con ecuación ( xa )

2

+( yb )

2

=1

Aplicación

Cierre

Un barril de vino tiene un radio en la tapa de 30 cm y un radio en el centro de 40 cm. La altura del barril es 1m. ¿Cuál es el volumen del barril (en L), si se asume que la forma de los lados es parabólica?

Demostraciones

Solid of Revolution "Volumes Using the Disc Method" from the Wolfram Demonstrations Project "The Disk Method" from the Wolfram Demonstrations Project