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Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.8 - Tensão equivalente e tensão admissível
Se σeq ≤ σadm a peça não romperá !
Peça
real
Modelo matemático
cálculos YZXZXY
ZYX
,,
,,
0
,, IIIIII
Critério de
resistência Tensão equivalente : σeq
Tensão ideal : σi
Tensão de confronto : σv
A3. 1
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.8.1 Peças submetidas a carregamentos em geral → Estado geral de tensões
Para se aplicar os resultados de um ensaio (tração, compressão, torção) a um
elemento que esteja submetido a um carregamento multiaxial é
necessário se considerar o mecanismo real de falha.
Critérios de Resistência
A3. 2
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.8.2 Falhas
3. 3
Um componente mecânico, associado em conjunto a outros componentes, tem seu comportamento não tão
bem delimitado e podem apresentar falha. São aplicados Critérios de Resistências que se utilizam de conceitos de
segurança para o dimensionamento de componentes.
Resistência de uma peça
mecânica (projeto) Resistência da peça fabricada
material;
tratamento térmico;
processamento.
quantidade do lote;
variações no processo;
acabamento superficial;
esforços na conformação;
combinações com outros
no conjunto. Utiliza-se de dados de corpos de
prova mesmas condições de
carregamento, fabricação,
acabamento.
Falha
quebra;
deformação permanente;
A falha depende da:
tipo de tensão (tração, compressão, cisalhamento);
tipo de carregamento (estático, dinâmico).
A3. 3
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Ensaio de tração: se observarmos o círculo de Mohr para tração pura aplicada
lentamente nota se que há também a existência de tensão de cisalhamento,
cujo valor máximo é exatamente a metade da tensão normal.
F
F
1
x 2 3
13
QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??
Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas
suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão
normal.
A3. 4
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Material Dúctil
Material Frágil
A3. 5
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
1 2 3
xy
xy
QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??
Ensaio de torção: se observarmos o círculo de Mohr torção pura aplicada
lentamente nota-se que há também a presença de tensão normal cujo valor
máximo é igual a tensão de cisalhamento.
Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelas
suas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensão
normal.
A3. 6
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
a) Descrição alternativa das tensões para um eixo em
torção, b) amostra de pedra arenosa após ensaio de
torção
Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. AMORELLI
MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978.
c)Torção em materiais de baixa resistência ao
cisalhamento, quebra perpendicular ao eixo.
Acima: Ferro fundido cinzento,
Abaixo: liga de alumínio 2024-T351
Fonte: Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson
Prentice Hall.2007. p.156.
A3. 7
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
a) Estado simples de tensões
Tensão tangencial :
.2..2
cos..
.2cos1..2
cos. 2
senA
Fsen
A
F
A
F
A
F Equações
paramétricas
do círculo
F
Fsen Fcos
F
F
A
F
τ
3.8.3 Estado de tensões – Círculo de Mohr
Tensão normal :
Direção do plano
onde atuam σα e τα
2
I
τ Círculo de Mohr
A3. 8
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
b) Estado duplo de tensões
Equilíbrio
de
forças
yxxy
).2cos(.).2(.2
).2(.).2cos(.22
sen
sen
YX
XYYX
x
y
y
x
yx
yx
xy
xy
x
y
xy
xy
y
x
dA
dAsin dAcos
Direção do plano onde atua σx
Direção do plano onde atua σy
45 2
Ix
II
2
yx
xy
yx
max
2
2
2
yx
Círculo de Mohr
y
3. 9
A3. 9
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
• Tensões
principais
•Tensão tangencial
máxima
•Ângulo dos
planos principais
•Tensões em
um ângulo qualquer
I,II
X Y X Y
2 2
22
maxX Y
2
22
tan( . ).
22
X Y
X Y, . cos( . )
.sen( . )
I II I II
I II
2 22
22
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Fonte: Budynas, R.G., Nisbett, J.K., Shigley´s Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, 2011
Exemplo (Shigley):
x
y
80
50
50
𝜏
𝜎
50
𝜎𝑦 = 0
0
50
(80,50)
(0,-50)
40
50
64,03
104,03 -24,03
Convenção:
- Tensões de cisalhamento “girando” o elemento
no sentido horário: positivo (acima do eixo σ);
- anti-horário: negativo (abaixo do eixo σ);
𝜎𝑥 = 80
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Exemplo: refazer para as condições abaixo:
x
y
80
50
50
𝜏
𝜎
20
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SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
c) Estado triplo de tensões
I
II
III
I
I
II
II
III
III
III
II
III
III I
IIIIII
3. 14
A3. 14
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SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.8.4 Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações
• Pressão hidrostática biaxial
• Eixo solicitado à flexo-torção
2
2
max
2
2
III,2
; 22
bbb
I III
II
III
A3. 15
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SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
Cada critério: σeq diferente
3.8.5 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
A3. 16
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SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
a) Critério da tensão normal máxima (Rankine): Considera que um elemento
constituído de material frágil falha quando a tensão principal máxima no material
atinge a tensão normal máxima que o material pode suportar em um teste de tração
uniaxial.
A3. 17
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
b) Máxima tensão tangencial (Tresca): considera que em um material dúctil sob
qualquer estado de tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha ocorre quando a
tensão cisalhante em qualquer plano atinge o valor de σy/2.
A3. 18
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
KV III
III0III
II I
Kd
Kd
KZ
KZ
I
KZ < |Kd|
II
Dou I ZV K
A3. 19
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c) Máxima energia de distorção (von Mises)
Elipse inclinada à 45o com semi-eixos K
K
.
. /
2
2 3
2IIII
2
IIIII
2
III.2
1 V
2
IIIII
2
I . V
Estado triplo
de tensões
Estado duplo
de tensões
K
K
K
K
Tensão
normal
Tensão de
cisalhamento
I
II
15% (dif.)
73% (dif.)
15% (dif.)
Energia de
distorção
A energia total de deformação em uma peça carregada consiste em duas componentes: uma
devido ao carregamento hidrostático que muda seu volume; e outra devido a distorção que
muda sua forma.
A tensão de cisalhamento presente deve-se a parcela da energia de distorção.
A3. 20
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I A3. 21
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I A3. 22
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
COMPARAÇÃO ENTRE CRITÉRIOS
A3. 23
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I A3. 24
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.8.5.1 Casos estáticos
a) Tensão equivalente
z
y
x
tensões principais
321 ,, 2
13
2
32
2
21.2
1 e
b) Tensão admissível segurança de coef.
ruptura
adm
3.8.5.2 Casos de solicitação dinâmica (fadiga)
a) Tensão equivalente
Critério leva em conta a fadiga do material
fadiga
fadiga
K
KtKfe
H
H
.lim
.lim
2
max
22
max
=
entalhede coef. = s
...
b) Tensão admissível fadigadeteoria adm
Critério + usado p/ aço energia de distorção (Von Mises)
3. 25
A3. 25
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3.8.6. Aplicação dos critérios de resistência
• Eixo submetido à flexo-torção
• Círculo de Mohr
Critério de
Resistência
Tensão de
Confronto (σv)
Máx. tensão normal
Máx. tensão tangencial
Máx. energia de distorção
(Von Mises) 22
22
2
2
I
.3
.4
22
eq
eq
eq
2
2
max
2
2
III,
2
22
f
ff
dA
f
f
45 2
xy
yx
max
f
3. 26
A3. 26
Mt Mt
Mf
Mf
dA
Aula 03 – Aplicação Mec. Sólidos em Elementos de Máquinas
SEM 0241 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS I
3.9 Referências
• Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.
• Niemann G. Elementos de Máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher, 1991.
• Popov EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli, M.O.C. Ed. Edgard Blücher, 1978.
• ShigleyJE, Mitchell LD. Projeto de Engenharia Mecânica, 7th ed., Bookman, Porto Alegre 2005.
A3. 27