* Matemtica Bsica I Ing. Ricardo Rosas Roque 2010 II

*Combinacin lineal de vectores Al multiplicar un vector por un escalar se obtiene otro vector que pertenece a la misma recta (igual direccin) con mdulo diferente. Este vector es linealmente dependiente del primero.

*Ejemplo A = a (x1, x2) = (ax1, ax2)

Si a = 3 y A = (2, -5) A = 3(2, -5)

= (6, -15)

*Combinacin lineal de vectoresDados dos vectores: y , y dos nmeros: a y b, el vector se dice que es una combinacin lineal de y .

Es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

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Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros dos que tengan distinta direccin. Esta combinacin lineal es nica.

*Ejemplo: Dados los vectores x = (1, 2) e y = (3, -1), hallar el vector combinacin lineal z = 2x + 3y

*Ejemplo: El vector z = (2, 1), se puede expresar como combinacin lineal de los vectores

*Vectores linealmente dependientesVarios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinacin lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

(a 0)

*Propiedades Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y slo si, son paralelos.

Dos vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

*Vectores linealmente independientesVarios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinacin lineal de los restantes.

Los vectores linealmente independientes tienen distinta direccin y sus componentes no son proporcionales.

*Ejemplo Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores: u = (3, 1) y v = (2, 3)

3 = 1 2 3

3 . 3 2 . 1Linealmente independiente

*Vectores unitarios cannicos Los Vectores Unitarios (1, 0) y (0, 1) se llaman Vectores Unitarios Cannicos y se denotan por: i = (1, 0) y j = (0, 1)

Todo vector se puede expresaren combinacin lineal de losvectores fundamentales i = (1, 0) y j = (0, 1)

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a = (a1, a2) = (a1, 0) + (0, a2) = a1 (1, 0) + a2 (0, 1)

a = a1 i + a2 j

A los nmeros a1, a2 se denominan componentes escalares de a y los vectores a1i, a2j se denomina componentes vectoriales del vector a

*Ejemplo: expresar el vector 3a - b como combinacin lineal de los vectores i, j siendo a = i j, b = 2i - j

3a - b = (3i - 3j) - (2i - j)

= i - 2j

*Producto Escalar

Sean a y b dos vectores dados.

El producto escalar (o producto interno) de a y b est dado por la suma de los productos de sus componentes correspondientes: a . b = (a1, a2) . (b1, b2) = a1b1 + a2b2

*Ejemplo: Si a = (2, 1) b = (3, 2). Hallar a . b

a . b = (2, 1) . (3, 2)

(2 x 3) + (1 x 2)

6 + 2

= 8

*Propiedades del producto escalar Conmutativa: u v = v u

Asociativa: k (u v) = (k u ) v

Distributiva: u ( v + w) = u v + u w

El producto escalar de un vector no nulo por s mismo siempre es positivo.

U 0 u u > 0 u 2 = u . u

*Ejemplo: a = 7, b = 3, a . b = - 4 Hallar: M = (11 a + 3b) . (2 a + 7b)

= 11 a .(2 a + 7b) + 3b . (2 a + 7b) = 22 a . a + 77 a . b + 6 a . b + 21 b b

= 22(49) + 83 (- 4) + 21 (9) = 1078 - 332 + 189

= 935

*Vectores paralelos y ortogonales Dos vectores a, b R 0

Son paralelos si uno de ellos es igual al otro vector multiplicado por un nmero real. En este caso a = r . b r R

El ngulo entre ellos es 0

*Ejemplo: a = (2, 3), b = (1, 3/2) Entonces a l l b r = 2 / a = 2 b

Son los vectores a = (2, 3), b(5, 3) paralelos?

No no existe r R, tal que a = r b

Entre a y b debe existir proporcionalidad entre las componentes correspondientes.

*Ejemplo: determinar si los vectores a = (-6, 4), b = (9, -6) son paralelos Deben existir proporcionalidad:

= - 6 = 4 = - 2 9 -6 3

*Criterio de colinealidad. Un conjunto de puntos: A, B, C son colineales si y slo si pertenecen a una misma recta.

Tomando dos en dos se obtienen vectores paralelos. AB AC

L A B C

*Ejemplo. Determinar si los puntos A(3, 1), B(2, 2), C(1, 3) son colineales. AB = B A = (2, 2) - (3, 1) = (-1, 1)

AC = C - A = (1, 3) - (3, 1) = (-2, 2) = 2(-1, 1)

BC = C - B = (1, 3) - (2, 2) = (-1, 1)

Luego: AC = 2 AB AC y AB son paralelos BC = 1 AB BC y AB son paralelosSon colineales.

*

Calcular el valor de a para que los puntos estn alineados.a =

*Ortogonales

Son perpendiculares si el ngulo entre ellos es / 2.

En este caso: ( u ) ( v ) = 0

*Ejemplo: determinar si a = (2, 1) y b = (-1, 2) son ortogonales. a . b = (2, 1) . (-1, 2)

= 2 x -1 + 1 x 2

= -2 + 2 = 0

*Angulo entre dos vectores El ngulo entre vectores u y v, se define como el nico nmero (0 ) que cumple

*Determine el ngulo entre los vectores u (1, 2) y v (1, -1) u . v = 1 - 2 = -1

| u | = ( 5 ) 1/2 | v| = ( 2 ) 1/2

cos = - 1 / (10) 1/2 - (10 ) 10

*Componente de un vector sobre otro vector

*Ejemplo: determinar la componente de b = (1, 5) sobre a = (4, 1).

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2) De b = (4, 1) sobre a = (1, 5).

3) De b = (-3, 1) sobre a = (2, 2).

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Calcule el permetro del tringulo de vrtices A (2, 5), B (-3, 4) C (-1, -1)

Permetro = dist (A, B) + dist (A, C) + dist (B, C) AB = [(-3 -2)2 + (4 - 5)2] 1/2 = (25 + 1) AC = [(-1 - 2)2 + (-1 - 52] 1/2 = (9 + 36) BC = [(-1 (-3))2 + (-1 4)2] 1/2 = (4 + 25)

= (26)1/2 + 3 ( 5 )1/2 + (29)1/2

Producto vectorial en R3 Sea u = (x1, y1, z1)v = (x2, y2, z2) vectores en R3Se define el producto vectorial, denotado u x v, como el vector que viene dado por

u . (u x v) = 0. perpendiculares

u x v = 0 paralelos

El rea de un paralelogramo generado por vectores u, v =

Tringulo:

Ejemplo: sean A, B, C tres puntos en R3 tales que A = (1, 2, 1), B = (3, -1, 7), C = (7, 4, -2) Verifique que A, B, C son los vrtices de un tringulo issceles.Calcular el ngulo cuyo vrtice es CCalcular el rea del tringulo de

vrtices A, B, C

b. Angulo

c. Area

Determine el vector C en R3 que cumpla las siguientes condiciones a) Forma un ngulo de / 6 con el vector, A = (0, 1, 0)

b) Es paralelo al vector B = (0, 1, 3)

c) C = 2

Sea C = (a, b, c)Por la informacin (b) se tiene que C . B = 0 - c = 1

Por informacin (c )El vector buscado es

*Observe que si w es unitario, entonces w = (cos , cos , cos )