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física unIverSitaria
SEARS • ZEMANSKY
27
CAPÍTULO 1 RESUMEN
Cantidades y unidades físicas: Las cantidades físicas fundamentales de la mecánica son masa, longitud y tiempo. Las unidades del SI básicas correspondientes son el kilogramo, el metro y el segundo. Las unidades derivadas para otras cantidades físicas son productos o cocientes de las unidades básicas. Las ecuaciones deben ser dimensionalmente congruentes. Sólo pueden sumarse dos términos cuando tienen las mismas unidades. (Véanse los ejemplos 1.1 y 1.2.)
Cifras significativas: La exactitud de una medición puede indicarse con el número de cifras significativaso dando una incertidumbre. El resultado de un cálculo no suele tener más cifras significativas que losdatos. Cuando sólo disponemos de estimaciones burdas como datos, podemos estimar el orden demagnitud del resultado. (Véanse los ejemplos 1.3 y 1.4.)
Cifras significativas en magenta
p 5 5 5 3.14C2r
0.424 m2(0.06750 m)
123.62 1 8.9 5 132.5
Escalares, vectores y suma de vectores: Las cantidades escalares son números y se combinan con laaritmética usual. Las cantidades vectoriales tienen tanto dirección como magnitud, y se combinan segúnlas reglas de la suma vectorial. El negativo de un vector tiene la misma magnitud pero apunta en ladirección opuesta. (Véase el ejemplo 1.5.)
A 1 BS S
5 1 A SA
S
BS
BS
Componentes de vectores y suma de vectores: La sumavectorial puede efectuarse con componentes de vectores. La componente x de la suma vectorial es lasuma de las componentes x de y en tanto que lascomponentes y y z se obtienen de forma análoga. (Véanse los ejemplos 1.6 a 1.8.)
BS
,AS
RS
5 AS
1 BS
Rx 5 Ax 1 Bx
Ry 5 Ay 1 By (1.10)
Rz 5 Az 1 Bz
Ox
y
By
BxAx
Rx
Ry
Ay AS
BS
RS
Vectores unitarios: Los vectores unitarios describendirecciones en el espacio y tienen magnitud uno, sinunidades. Los vectores unitarios y alineados con losejes x, y y z de un sistema de coordenadas rectangular,tienen especial utilidad. (Véase el ejemplo 1.9.)
k,ed,
(1.16)AS
5 Ax d 1 Ay e 1 Az k y
xO
Ax i
Ay j
j
i ^^
^
^
A 5 Ax i 1 Ay jS
^ ^
Producto escalar: El producto escalar de dosvectores y es una cantidad escalar. Se puede expresaren términos de las magnitudes de y y el ángulo f queforman, o bien, en términos de las componentes de y El producto escalar es conmutativo; Elproducto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.(Véanse los ejemplos 1.10 y 1.11.)
AS # BS 5 B
S # AS.BS
.AS
BS
AS
BS
AS
C 5 AS # BS (1.18)
(1.21)AS # BS 5 Ax Bx 1 Ay By 1 Az Bz
AS # BS 5 AB cos f 5 0AS 0 0BS 0 cos f Producto escalar A # B 5 AB cos f.
f
BS
S S
AS
Producto vectorial: El producto vectorial dedos vectores y es otro vector cuya magnituddepende de las magnitudes de y así como del ángulo fentre los dos vectores. La dirección de esperpendicular al plano de los dos vectores multiplicados,según la regla de la mano derecha. Las componentes de se pueden expresar en términos de lascomponentes de y El producto vectorial no esconmutativo; El producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos es cero. (Véase el ejemplo 1.12.)
AS
3 BS
5 2BS
3 AS
.BS
.AS
CS
5 AS
3 BS
AS
3 BS
BS
AS
AS
3 BS
CS
.BS
AS
CS
5 AS
3 BS
(1.22)
(1.27) Cz 5 Ax By 2 Ay Bx
Cy 5 Az Bx 2 Ax Bz
Cx 5 Ay Bz 2 Az By
C 5 AB sen f A � B es perpendicularal plano que formanA y B.
A � BS S
S S
S S
(Magnitud de A � B) 5 AB sen f.S S
AS
BS
f
60
(2.4)
(2.5)ax 5 límDtS0
Dvx
Dt5
dvx
dt
amed-x 5v2x 2 v1x
t2 2 t15
Dvx
Dt
x
p1
p2
Ot
�x
5 x
2 2
x1
�t 5 t2 2 t1t2t1
x1
x2
Pend
iente
5 v m
ed-x
Pendiente 5 v x
Aceleración media e instantánea: La aceleración media amed-x durante un intervalo Dt es igual al cambio de velocidad Dvx 5 v2x2 vlx durante ese lapso divididoentre Dt. La aceleración instantánea ax es el límite de amed-x cuando Dt tiende a cero, o la derivada de vx conrespecto a t. (Véanse los ejemplos 2.2 y 2.3.)
vx
v2x
v1x
t2t1t
O
p1
p2
Dt 5 t2 2 t1
Dv x
5 v
2x 2
v1x
Pendien
te 5
a med-x
Pendiente 5 ax
Movimiento rectilíneo con aceleración constante:Cuando la aceleración es constante, cuatro ecuaciones relacionan la posición x y la velocidad vx en cualquier instante t con la posición inicial x0, la velocidad inicial v0x
(ambas medidas en t 5 0) y la aceleración ax.(Véanse los ejemplos 2.4 y 2.5.)
Sólo aceleración constante:(2.8)
(2.12)
(2.13)
(2.14)x 2 x0 5 1v0x 1 vx
2 2 tvx
2 5 v0x
2 1 2ax 1 x 2 x0 2
x 5 x0 1 v0x t 11
2 ax t2
vx 5 v0x 1 ax t
0
0
0
0
0
t 5 2Dt
t 5 3Dt
t 5 Dt
t 5 4Dt
t 5 0v
a
va
va
va
va
x
x
x
x
x
Cuerpos en caída libre: La caída libre es un caso del movimiento con aceleración constante. La magnitud de la aceleración debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleración de un cuerpo en caída libre siempre es hacia abajo. (Véanse los ejemplos 2.6 a 2.8.)
Movimiento rectilíneo con aceleración variable: Cuandola aceleración no es constante, sino una función conocidadel tiempo, podemos obtener la velocidad y la posición enfunción del tiempo integrando la función de la aceleración.(Véanse los ejemplos 2.9 y 2.10.)
ay 5 2g 5 29.80 m/s2
O
amed-x
ax
t1 t2t
Dt
(2.17)
(2.18)x 5 x0 1 3t
0
vx dt
vx 5 v0x 1 3t
0
ax dt
CAPÍTULO 2 RESUMEN
Movimiento rectilíneo, velocidad media e instantánea:Cuando una partícula se mueve en línea recta, describimossu posición con respecto al origen O mediante unacoordenada como x. La velocidad media de la partícula,vmed-x, durante un intervalo Dt 5 t2 2 tl es igual a su desplazamiento Dx5 x2 2 x1 dividido entre Dt. La velocidad instantánea vx en cualquier instante t es igual a la velocidad media en el intervalo de tiempo de t a t 1 Dten el límite cuando Dt tiende a cero. De forma equivalente,vx es la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. (Véase el ejemplo 2.1.)
(2.2)
(2.3)vx 5 límDtS0
Dx
Dt5
dx
dt
vmed-x 5x2 2 x1
t2 2 t15
Dx
Dt
96
Vectores de posición, velocidad y aceleración: El vectorde posición de un punto P en el espacio es el vector delorigen a P. Sus componentes son las coordenadas x, y y z.
El vector de velocidad media durante el intervaloDt es el desplazamiento (el cambio del vector de posición dividido entre Dt. El vector de velocidadinstantánea es la derivada de con respecto al tiempo, ysus componentes son las derivadas de x, y y z con respectoal tiempo. La rapidez instantánea es la magnitud de La velocidad de una partícula siempre es tangente a latrayectoria de la partícula. (Véase el ejemplo 3.1.)
El vector de aceleración media durante el intervalode tiempo Dt es igual a (el cambio en el vector develocidad dividido entre Dt. El vector de aceleracióninstantánea es la derivada de con respecto al tiempo, y sus componentes son las derivadas de vx, vy y vz conrespecto al tiempo. (Véase el ejemplo 3.2.)
La componente de aceleración paralela a la dirección de la velocidad instantánea afecta la rapidez; en tanto que la componente de perpendicular a afecta la direccióndel movimiento. (Véanse los ejemplos 3.3 y 3.4.)
vSaS
vS,aSvS )
DvSaSmed
vSvS.
rS,vSrS)
D rSvSmed
rS
Dx
Dy
y1Sr1
SDr
DvS
Sr2
v2S
v2S
v1S
v1S
x1 x2
y2
y
Ox
y
Ox
S
amed 5 S Dv
D t
S
vmed 5 S Dr
D t
Movimiento de proyectiles: En el movimiento de proyectiles sin resistencia del aire, ax 5 0 y ay 52g. Las coordenadas y componentes de la velocidad son funciones sencillas del tiempo, y la forma de la trayectoriasiempre es una parábola. Por convención, colocamos el origen en la posición inicial del proyectil. (Véanse los ejemplos 3.5 a 3.10.)
y
Ox
SvSv
SvSv
vx
vx
ay 5 2gvy
vy
vxvy
Movimiento circular uniforme y no uniforme: Cuando unapartícula se mueve en una trayectoria circular de radio Rcon rapidez constante v (movimiento circular uniforme),su aceleración está dirigida hacia el centro del círculo yes perpendicular a La magnitud arad de la aceleración sepuede expresar en términos de v y R, o en términos de R y el periodo T (el tiempo que tarda en dar una vuelta), donde (Véanse los ejemplos 3.11 y 3.12.)
Aunque la rapidez en un movimiento circular no sea constante (movimiento circular no uniforme), habrá una componente radial de dada por la ecuación (3.28) o laecuación (3.30), pero también habrá una componente de paralela (tangencial) a la trayectoria; esta componente tan-gencial es igual a la tasa de cambio de la rapidez, dv>dt.
aSaS
v 5 2pR/T.
vS.aS
vS
vS
vSvS
vS aradS
aradS
aradS
aradS
aradSarad
S
vS
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)vy 5 v0 sen a0 2 gt
vx 5 v0 cos a0
y 5 1v0 sen a0 2 t 21
2gt2
x 5 1v0 cos a0 2 t
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
az 5dvz
dt
ay 5dvy
dt
ax 5dvx
dt
aS 5 límDtS0
DvS
Dt5
dvS
dt
aSmed 5vS2 2 vS1
t2 2 t15
DvS
Dt
vx 5dx
dt vy 5
dy
dt vz 5
dz
dt
vS 5 límDtS0
D rS
Dt5
d rS
dt
vSmed 5rS2 2 rS1
t2 2 t15
D rS
Dt
rS 5 x d 1 y e 1 z k
(3.30)arad 54p2R
T2
Velocidad relativa: Cuando un cuerpo P se mueve relativoa un cuerpo (o marco de referencia) B, y B se mueverelativo a A, denotamos la velocidad de P relativa a B con
la velocidad de P relativa a A con y la velocidadde B relativa a A con Si todas estas velocidades están en la misma línea, sus componentes sobre la línea están relacionadas por la ecuación (3.33). De formamás general, estas velocidades están relacionadas por la ecuación (3.36). (Véanse los ejemplos 3.13 a 3.15.)
vSB/A .vSP/A ,vSP/B ,
A (observadoren el suelo)
B (aire enmovimiento)
P (avión)
SvP/BSvP/A
SvB/AvP/A 5 vP/B 1 vB /AS S S(3.33)
(velocidad relativa en una línea)
(3.36)(velocidad relativa en el espacio) vSP/A 5 vSP/B 1 vSB/A
vP/A-x 5 vP/B-x 1 vB/A-x
CAPÍTULO 3 RESUMEN
(3.28)arad 5v2
R
129
CAPÍTULO 4 RESUMEN
Fuerza como vector: La fuerza es una medida cuantitativade la interacción de dos cuerpos. Es una cantidad vectorial.Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el efecto sobre sumovimiento es igual al que se da cuando una sola fuerza,igual a la suma vectorial (resultante) de las fuerzas, actúasobre el cuerpo. (Véase el ejemplo 4.1.)
(4.1)RS
5 FS
1 1 FS
2 1 FS
3 1N5 aFS
La fuerza neta sobre un cuerpo y la primera ley de Newton: La primera ley de Newton dice que, si la sumavectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo(la fuerza neta) es cero, el cuerpo está en equilibrio y tieneaceleración cero. Si el cuerpo está inicialmente en reposo,permanece en reposo; si está inicialmente en movimiento,sigue moviéndose con velocidad constante. Esta ley sólo es válida en marcos de referencia inerciales. (Véanse losejemplos 4.2 y 4.3.)
(4.3)aFS
5 0
Masa, aceleración y segunda ley de Newton:Las propiedades inerciales de un cuerpo se caracterizan por su masa. La aceleración de un cuerpo bajo la acción deun conjunto de fuerzas dado es directamente proporcional a la suma vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Esta relación es la segunda ley de Newton. Al igual que la primera ley, ésta sólo es válida en marcos de referenciainerciales. La unidad de fuerza se define en términos de las unidades de masa y aceleración. En el SI, la unidad de fuerza es el newton (N), igual a 1 kg · m>s2. (Véanse los ejemplos 4.4 y 4.5.)
FxS
RS
FyS
F1S
SF 5 0S
v 5 constanteS
SF2 5 2F1S
(4.7)
(4.8)
aFz 5 maz
aFy 5 may
aFx 5 max
aFS
5 maS
Masa mF1S
F2S
a 5 SF/mSS
SSF
Peso: El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacionalejercida sobre él por la Tierra. El peso es una cantidad vectorial. La magnitud del peso de un cuerpo en un lugardado es igual al producto de su masa m y la magnitud de la aceleración debida a la gravedad g en ese lugar. Mientras que el peso de un cuerpo depende de su ubicación, la masa es independiente de la ubicación. (Véanse los ejemplos 4.6 y 4.7.)
wS (4.9)w 5 mg
Tercera ley de Newton y pares acción-reacción: La terceraley de Newton dice que cuando dos cuerpos interactúan, se ejercen mutuamente fuerzas que en todo instante soniguales en magnitud y opuestas en dirección. Estas fuerzasse denominan fuerzas de acción-reacción y cada una actúasólo sobre uno de los dos cuerpos; nunca actúan sobre el mismo cuerpo. (Véanse los ejemplos 4.8 a 4.11.)
(4.11)FS
A sobre B 5 2FS
B sobre A
gSw 5 mgS S
Masa m
FA sobre BS
FB sobre A
A
B
S
165
CAPÍTULO 5 RESUMEN
Aplicación de la primera ley de Newton: Cuando un cuer-po está en equilibrio en un marco de referencia inercial, esdecir, en reposo o en movimiento con velocidad constante,la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él debeser cero (primera ley de Newton). Los diagramas de cuerpolibre son indispensables para identificar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo considerado.
La tercera ley de Newton (acción y reacción) tambiénsuele necesitarse en problemas de equilibrio. Las dos fuerzas de un par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. (Véanse los ejemplos 5.1 a 5.5.)
La fuerza normal ejercida por una superficie sobre un cuerpo no siempre es igual al peso del cuerpo. (Véase el ejemplo 5.3.)
(forma vectorial) (5.1)
(forma de componentes) (5.2)aFy 5 0
aFx 5 0
aFS
5 0 y
xa
n
T
aw cos a
w sen a
w
n
T
w
Aplicación de la segunda ley de Newton: Si la suma vec-torial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no es cero,el cuerpo tiene una aceleración determinada por la segundaley de Newton.
Al igual que en los problemas de equilibrio, los diagra-mas de cuerpo libre son indispensables para resolver pro-blemas donde interviene la segunda ley de Newton, y lafuerza normal ejercida sobre un cuerpo no siempre es iguala su peso. (Véanse los ejemplos 5.6 a 5.12.)
Forma vectorial:
(5.3)
Forma de componentes:
(5.4)aFx 5 max aFy 5 may
aFS
5 maS
a
n
w
y
xw cos a
w sen aT
w
a
m
Tax
a n
Fricción y resistencia de fluidos: La fuerza de contacto entre dos cuerpos siempre puede representarse en términosde una fuerza normal perpendicular a la superficie decontacto y una fuerza de fricción paralela a la superficie.
Cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie, la fuerza de fricción se denomina fricción cinética. Su magnitud fk es aproximadamente igual a la magnitud de la fuerza normal n multiplicada por mk, el coeficiente defricción cinética. Si un cuerpo no se mueve con respecto a la superficie, la fuerza de fricción se denomina fricciónestática. La máxima fuerza de fricción estática posible esaproximadamente igual a la magnitud n de la fuerza normalmultiplicada por ms, el coeficiente de fricción estática. La fuerza de fricción estática real puede variar entre cero y ese valor máximo, según la situación. ms suele ser mayorque mk para un par de superficies en contacto dado. (Véanse los ejemplos 5.13 a 5.17.)
La fricción de rodamiento es similar a la fricción cinética; pero la fuerza de resistencia de fluidos depende de la rapidez de un objeto a través de un fluido.(Véanse los ejemplos 5.18 y 5.19.)
fS
nS
Magnitud de la fuerza de fricción cinética:
(5.5)
Magnitud de la fuerza de fricción estática:
(5.6)fs # ms n
fk 5 mk n
Friccióncinética
Fricciónestática
O
1 fs 2máx
fk
f
T
Fuerzas en el movimiento circular: En el movimiento circular uniforme, el vector aceleración apunta al centro del círculo. El movimiento se rige por la segunda ley deNewton (Véanse los ejemplos 5.20 a 5.24.)gF
S5 maS.
Aceleración en movimiento circular uniforme:
(5.14), (5.16)arad 5v2
R5
4p2R
T 2
arad
v
SF
S
S
aradS
aradS
S
SFS
SFS
vS
vS
202
W 5 Fis 5 (F cosf)s
F
f
F'
Fi 5 F cosf
S
Energía cinética: La energía cinética K de una partícula es igual a la cantidad de trabajo necesario para acelerarladesde el reposo hasta la rapidez v. También es igual al trabajo que la partícula puede efectuar en el proceso de detenerse. La energía cinética es una cantidad escalar sin dirección en el espacio; siempre es positiva o cero, y sus unidades son las mismas que las del trabajo:1 J 5 1 N # m 5 1 kg # m2/s2.
El teorema trabajo-energía: Cuando actúan fuerzas sobreuna partícula mientras sufre un desplazamiento, la energíacinética de la partícula cambia en una cantidad igual al trabajo total realizado sobre ella por todas las fuerzas. Esta relación, llamada teorema trabajo-energía, es válidapara fuerzas tanto constantes como variables, y para trayectorias tanto rectas como curvas de la partícula; sin embargo, sólo es aplicable a cuerpos que pueden tratarse como partículas. (Véanse los ejemplos 6.3 a 6.5.)
Trabajo efectuado por una fuerza variable o en una trayectoria curva: Si la fuerza varía durante un desplaza-miento rectilíneo, el trabajo que realiza está dado por unaintegral [ecuación (6.7)]. (Véanse los ejemplos 6.6 y 6.7.)Si la partícula tiene una trayectoria curva, el trabajo efectuado por una fuerza está dado por una integral en la que interviene el ángulo f entre la fuerza y el desplaza-miento. Esta expresión es válida aun cuando la magnitud de la fuerza y el ángulo f varían durante el desplazamiento.(Véanse los ejemplos 6.8 y 6.9.)
FS
(6.5)K 51
2 mv2
(6.6)Wtot 5 K2 2 K1 5 DK
(6.7)
(6.14)
5 3P2
P1
FS # d l
S
W 5 3P2
P1
F cos f dl 5 3P2
P1
Fi dl
W 5 3x2
x1
Fx dx
m 2mvS vS
Al aumentar m al doble se duplica K.
m mvS 2vS
v al doble se cuadruplica K.
Wtot 5 trabajo total efectuadosobre la partícula en la trayectoria.
K2 5 mv22 5 K1 1 Wtot
12
K1 5 mv12
v2
v1
m
m
12
Área 5 trabajo efectuadopor la fuerza duranteel desplazamiento.
x1
xx2
Fx
O
Potencia: La potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo. La potencia media Pmed es la cantidad de trabajoDW realizada en un tiempo Dt dividida entre ese tiempo. La potencia instantánea es el límite de la potencia mediacuando Dt se acerca a cero. Cuando una fuerza actúa sobre una partícula que se mueve con velocidad la potencia instantánea (rapidez con que la fuerza efectúa trabajo) es el producto escalar de y Al igual que el trabajo y la energía cinética, la potencia es una cantidadescalar. Su unidad en el SI es 1 watt 5 1 joule>segundo (1 W 5 1 J>s). (Véanse los ejemplos 6.10 y 6.11.)
vS.FS
vS,FS
(6.15)
(6.16)
(6.19)P 5 FS # vS
P 5 límDtS0
DW
Dt5
dW
dt
Pmed 5DW
Dt t 5 5 s
t 5 0
Trabajo que ustedefectúa sobre la cajapara levantarla en 5 s:
W 5 100 JSu potencia producida:
20 W
P 5 5
5
Wt
100 J5 s
Trabajo efectuado por una fuerza: Cuando una fuerza
constante actúa sobre una partícula que sufre un despla-
zamiento rectilíneo el trabajo realizado por la fuerza
sobre la partícula se define como el producto escalar
de y La unidad de trabajo en el SI es 1 joule 5 1
newton-metro (1 J 5 1 N · m). El trabajo es una cantidad
escalar, ya que puede ser positivo o negativo, pero no tiene
dirección en el espacio. (Véanse los ejemplos 6.1 y 6.2.)
sS.FS
sS,
FS (6.2), (6.3)
f 5 ángulo entre FS
y sSW 5 F
S # sS 5 Fs cos f
CAPÍTULO 6 RESUMEN
237
CAPÍTULO 7 RESUMEN
Energía potencial gravitacional y energía potencial elástica: El trabajo efectuado sobre una partícula por una fuerza gravitacional constante puede representarse entérminos de un cambio en la energía potencial gravitacionalUgrav 5 mgy. Esta energía es una propiedad compartida de la partícula y la Tierra. Una energía potencial también se asocia con la fuerza elástica Fx 5 2kx ejercida por unresorte ideal, donde x es la distancia de estiramiento o compresión. El trabajo efectuado por esta fuerza puede representarse como un cambio en la energía potencial elástica del resorte, Uel 5 1
2 kx2.
(7.1), (7.3)
(7.10)
5 Uel, 1 2 Uel, 2 5 2DUel
Wel 51
2 kx1
2 21
2 kx2
2
5 2DUgrav
5 Ugrav,1 2 Ugrav,2
Wgrav 5 mgy1 2 mgy2
Ugrav,2 5 mgy2
Uel 5 kx2
x 5 0 xx
O
y
Ugrav,1 5 mgy1 12
En y 5 h
En y 5 0
y
h
xO
cero
E 5 K 1 Ugrav
E 5 K 1 Ugrav
Punto 2
Punto 1
f
f
w
w
w
R
f 5 0n 5 0
nn
cero
E K5 1Ugrav
En elpunto 2
cero
E UgravK5 1
En el punto 1
Cuando la energía mecánica total se conserva: La energíapotencial total U es la suma de las energías potenciales gravitacional y elástica: U 5 Ugrav 1 Uel. Si sólo fuerzasgravitacional y elástica realizan trabajo sobre una partícula,se conserva la suma de las energías cinética y potencial. Esta suma, E 5 K 1 U, se denomina energía mecánica total. (Véanse los ejemplos 7.1, 7.3, 7.4 y 7.7.)
(7.4), (7.11)K1 1 U1 5 K2 1 U2
Cuando la energía mecánica total no se conserva:Cuando fuerzas distintas de la gravitacional y la elásticaefectúan trabajo sobre una partícula, el trabajo Wotras
realizado por estas otras fuerzas es igual al cambio en la energía mecánica total (energía cinética más energía potencial total). (Véanse los ejemplos 7.2, 7.5, 7.6, 7.8 y 7.9.)
(7.14)K1 1 U1 1 Wotras 5 K2 1 U2
Fuerzas conservativas, fuerzas no conservativas y la ley de conservación de la energía: Todas las fuerzasson conservativas o bien no conservativas. Una fuerza conservativa es aquella para la cual la relación trabajo-energía cinética es totalmente reversible. El trabajo de unafuerza conservativa siempre puede representarse medianteuna función de energía potencial, no así el de una fuerza no conservativa. El trabajo realizado por fuerzas no conservativas se manifiesta como cambios en la energía interna de los cuerpos. La suma de las energías cinética, potencial e interna siempre se conserva. (Véanse los ejemplos 7.10 a 7.12.)
(7.15)DK 1 DU 1 DUint 5 0 v
v 5 0Conforme la fricción frenael bloque, la energía mecánicase convierte en la energía internadel bloque y la rampa.
cero
cero
cero
E K5 1UgravE UgravK5 1
Cálculo de la fuerza a partir de la energía potencial:En un movimiento rectilíneo, una fuerza conservativa Fx(x)es la derivada negativa de la función de energía potencial Uasociada a ella. En tres dimensiones, las componentes de una fuerza conservativa son las derivadas parciales negativas de U. (Véanse los ejemplos 7.13 y 7.14.)
Equilibrios inestables
Equilibrios estables
U
Ox
(7.16)
(7.17)
(7.18)FS
5 2 1'U'x d 1'U'y
e 1'U'z
k 2 Fz 5 2
'U'y
Fx 5 2
'U'x
Fy 5 2
'U'y
Fx 1 x 2 5 2
dU 1 x 2dx
273
CAPÍTULO 8 RESUMEN
El momento lineal de una partícula: El momento lineal de una partícula es una cantidad vectorial igual al producto dela masa m de la partícula y su velocidad La segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre unapartícula es igual a la tasa de cambio del momento lineal de la partícula.
vS.
pS
Impulso y momento lineal: Si una fuerza neta constanteactúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo
Dt de t1 a t2, el impulso de la fuerza neta es el producto de la fuerza neta y el intervalo de tiempo. Si varía con el tiempo, es la integral de la fuerza neta en el intervalo detiempo. En cualquier caso, el cambio en el momento lineal de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre tal partícula duranteese intervalo. El momento lineal de una partícula es igual al impulso que la aceleró desde el reposo hasta su rapidez actual. (Véanse los ejemplos 8.1 a 8.3.)
JS
gFS
JS
gFS
Conservación del momento lineal: Una fuerza interna esuna fuerza ejercida por una parte de un sistema sobre otra.Una fuerza externa es una fuerza ejercida sobre cualquier parte del sistema por algún elemento externo al sistema. Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es cero, el momento lineal total (la suma vectorial de los momentoslineales de las partículas individuales que constituyen el sistema) es constante, esto es, se conserva. Cada componentedel momento lineal total se conserva individualmente. (Véanse los ejemplos 8.4 a 8.6.)
PS
Choques: En todo tipo de choques, los momentos lineales totales inicial y final son iguales. En un choqueelástico entre dos cuerpos, las energías cinéticas totales inicial y final también son iguales y las velocidadesrelativas inicial y final tienen la misma magnitud. En un choque inelástico entre dos cuerpos, la energía cinética total final es menor que la inicial. Si los dos cuerpos tienen la misma velocidad final, el choque es totalmente inelástico. (Véanse los ejemplos 8.7 a 8.12.)
Centro de masa: El vector de posición del centro de masa de un sistema de partículas, es un promedio ponderado de las posiciones de las partículas. El momento lineal total de un sistemaes igual a su masa total M multiplicada por la veloci-dad de su centro de masa. El centro de masa de un sistema se mueve como si toda la masa M estuvieraconcentrada en ese punto. Si la fuerza externa neta queactúa sobre el sistema es cero, la velocidad del centro de masa es constante. Si la fuerza externa neta noes cero, el centro de masa se acelera como si fuera unapartícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta. (Véanse los ejemplos 8.13 y 8.14.)
vScm
vScm
PS
rS2 , crS1 ,rScm ,
p 5 mv
m
vpy
px
S
S S
y
Ox
(8.2)
(8.4) gFS
5d pS
dt
pS 5 m vS
(8.5)
(8.7)
(8.6) JS
5 pS2 2 pS1
JS
5 3t2
t1
gFS
dt
JS
5 gFS 1 t2 2 t1 2 5 gF
S Dt
Jx 5 (Fmed)x(t2 2 t1)Fx
(Fmed)x
Ot
t1 t2
A B
y
xFB sobre A
y
xFA sobre B
S S
P 5 pA 1 pB = constanteSSS
(8.29)
(8.32)
(8.34) gFS
ext 5 MaScm
5 M vScm
PS
5 m1 vS1 1 m2 vS2 1 m3 vS3 1N
5g imi rSi
g imi
rScm 5m1 rS1 1 m2 rS2 1 m3 rS3 1N
m1 1 m2 1 m3 1 c
B
A B
A
A BvA1S vB1
S
vB2SvA2
S
Un obús estallacm
cmcm
Propulsión de un cohete: En la propulsión de cohetes, la masa de un cohete cambia al quemarse el combustible y ser expulsado de la nave. El análisis del movimiento del cohete debe incluir el momento linealque se lleva el combustible quemado, así como la del cohete mismo. (Véanse los ejemplos 8.15 y 8.16.)
Dirección 1 x
v 1 dv
m 1 dm2dm
vcq 5 v 2 vesc
(8.14)
Si entonces PS
5 constante.gFS
5 0,
5 mA vSA 1 mB vSB 1N
PS
5 pSA 1 pSB 1N
306
Cinemática rotacional: Cuando un cuerpo rígido gira sobreun eje fijo (que por lo general se llama eje z), su posiciónestá descrita por una coordenada angular u. La velocidadangular vz es la derivada con respecto al tiempo de u. La aceleración angular az es la derivada con respecto al tiempo de vz o la segunda derivada de u. (Véanse losejemplos 9.1 y 9.2.) Si la aceleración angular es constante,entonces u, vz y az están relacionadas por ecuaciones sencillas de cinemática análogas a las del movimiento rectilíneo con aceleración lineal constante. (Véase el ejemplo 9.3.)
(9.3)
(9.5)
(9.11)
(sólo az constante)
(9.10)
(sólo az constante)
(9.7)(sólo az constante)
(9.12)(sólo az constante)
vz
2 5 v0z
2 1 2az 1 u 2 u0 2
vz 5 v0z 1 az t
u 2 u0 51
2 1vz 1 v0z 2 t
u 5 u0 1 v0z t 11
2 az t2
az 5 límDtS0
Dvz
Dt5
dvz
dt5
d2u
dt2
vz 5 límDtS0
Du
Dt5
du
dt
Relación entre cinemática angular y lineal: La rapidez angular v de un cuerpo rígido es la magnitud de su velocidad angular. La razón de cambio de v es a 5 dv>dt.En el caso de una partícula de un cuerpo que está a una distancia r del eje de rotación, la rapidez v y las componentes de la aceleración están relacionadas con v y a. (Véanse los ejemplos 9.4 a 9.6.)
aS
(9.13)
(9.14)
(9.15)arad 5v2
r5 v2r
atan 5dvdt
5 r
dv
dt5 ra
v 5 rv
Duu2
u1O
x
En t2 En t1
yvz 5du
dt az 5dvz
dt
aSAceleraciónlineal delpunto P s
v 5 rv
r
P
u
y
Ox
vatan 5 ra
arad 5 v2r
Eje derotación
v
12K 5 Iv2
miri2I 5
iS
r1
r2
r3
m1
m2
m3
Momento de inercia y energía cinética rotacional:El momento de inercia I de un cuerpo alrededor de un eje dado es una medida de su inercia rotacional: cuanto mayor sea el valor de I, más difícil será cambiar el estadode rotación del cuerpo. El momento de inercia se puede expresar como una sumatoria para las partículas mi queconstituyen el cuerpo, cada una de las cuales está a una distancia perpendicular ri del eje. La energía cinética rota-cional de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijodepende de la rapidez angular v y del momento de inercia Ipara ese eje de rotación. (Véanse los ejemplos 9.7 a 9.9.)
(9.16)
(9.17)K 51
2 Iv2
5ai
mi ri
2
I 5 m1 r1
2 1 m2 r2
2 1 c
cm
PMasa MIcm
IP 5 Icm 1 Md2
dCálculo del momento de inercia: El teorema de los ejesparalelos relaciona los momentos de inercia de un cuerporígido de masa M alrededor de dos ejes paralelos: un ejeque pasa por el centro de masa (momento de inercia Icm) y un eje paralelo que está a una distancia d del primero(momento de inercia IP). (Véase el ejemplo 9.10.) Si el cuerpo tiene una distribución continua de masa, el momento de inercia se calcula por integración. (Véanse los ejemplos 9.11 a 9.13.)
(9.19)IP 5 Icm 1 Md2
CAPÍTULO 9 RESUMEN
341341
t 5 r 3 F
Ftan 5 F sen fr
O
l 5 r sen f 5 brazo de
palanca
Frad 5 F cos f
f fFS
S
S
Torca: Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, la torcade esa fuerza con respecto a un punto O tiene una magnituddada por el producto de la magnitud F de la fuerza y el bra-zo de palanca l. En términos más generales, la torca es unvector igual al producto vectorial de (el vector de posición del punto donde actúa la fuerza) y . (Véase el ejemplo 10.1.)
FS
rStS
FS (10.2)
(10.3)tS
5 rS 3 FS
t 5 Fl
Dinámica rotacional: El análogo rotacional de la segundaley de Newton dice que la torca neta que actúa sobre un cuerpo es igual al producto del momento de inercia del cuerpo y su aceleración angular. (Véanse ejemplos 10.2 y 10.3.)
(10.7)a tz 5 Iaz
Traslación y rotación combinadas: Si un cuerpo rígido semueve en el espacio al tiempo que gira, su movimientopuede considerarse como la conjunción de un movimientotraslacional del centro de masa y un movimiento rotacionalen torno a un eje que pasa por el centro de masa. De estamanera, la energía cinética es la suma de una energía cinética traslacional y una rotacional. En dinámica la segunda ley de Newton describe el movimiento del centrode masa y el equivalente rotacional de esa ley describe la rotación en torno al centro de masa. En el caso de uncuerpo que rueda sin resbalar, existe una relación especialentre el movimiento del centro de masa y el movimiento rotacional. (Véanse los ejemplos 10.4 a 10.7.)
(10.8)
(10.12)
(10.13)
(10.11)
(rodamiento sin deslizamiento)
vcm 5 Rv
a tz 5 Icm az
aFS
ext 5 M aScm
K 51
2 Mvcm
2 11
2 Icm v2
F F
Mg
n
M
R Rx
y
Trabajo efectuado por una torca: Si una torca actúa sobreun cuerpo rígido que gira, efectúa trabajo sobre el cuerpo.Ese trabajo puede expresarse como una integral de la torca.El teorema trabajo-energía dice que el trabajo rotacional total efectuado sobre un cuerpo rígido es igual al cambio de energía cinética rotacional. La potencia, o rapidez conque la torca efectúa trabajo, es el producto de la torca y la velocidad angular. (Véanse los ejemplos 10.8 y 10.9.)
vcm
vcm 5 0v 5 0
h
1
2
R
M
v
(10.20)
(10.21)(sólo torca constante)
(10.22)
(10.23)P 5 tz vz
Wtot 51
2 Iv2
2 21
2 Iv1
2
W 5 tz 1 u2 2 u1 2 5 tz Du
W 5 3u2
u1
tz du
Momento angular: El momento angular de una partículacon respecto a un punto O es el producto vectorial del vec-tor de posición de la partícula con respecto a O y a sumomento lineal Si un cuerpo simétrico gira alre-dedor de un eje de simetría estacionario, su momento angu-lar es el producto de su momento de inercia y su vector develocidad angular Si el cuerpo no es simétrico o el ejede rotación (z) no es un eje de simetría, la componente delmomento angular sobre el eje de rotación es Ivz. (Véase el ejemplo 10.10.)
vS
.
pS 5 mvS.rS
(10.24)(partícula)
(10.28)(cuerpo rígido que giraen torno a un eje de simetría)
LS
5 IvS
LS
5 rS 3 pS 5 rS 3 mvS
Ftan
S
Rdu
ds
R
O
Ftan
S
vS
LS
CAPÍTULO 10 RESUMEN
Términos clavemovimiento traslacional, 316línea de acción, 317brazo de palanca (brazo de momento), 317torca, 317traslación y rotación combinadas, 323
rodar sin deslizar, 324momento angular, 331principio de conservación del momento
angular, 333
precesión, 337rapidez angular de precesión, 388
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?Cuando el acróbata está en el aire, la torca neta que actúa sobre su centro de masa es cero. Por lo tanto, el momento angular de sucuerpo (el producto del momento de inercia I y la rapidez angu-lar v) en torno al centro de masa se mantiene constante. Al estirarsus extremidades, el acróbata aumenta I, así que v disminuye; siencoge las extremidades, I disminuye y v aumenta.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión10.1 Respuesta: ii) La fuerza P actúa a lo largo de una línea ver-tical, de manera que el brazo de palanca es la distancia horizontaldesde A hasta la línea de acción. Ésta es la componente horizon-tal de la distancia L, que es Lcosu. Por lo tanto, la magnitud de latorca es el producto de la magnitud de la fuerza P y el brazo de pa-lanca o 10.2 Respuesta: iii), ii), i) Para que el objeto colgante de masa m2
acelere hacia abajo, la fuerza neta sobre él debe ser hacia abajo.Por lo tanto, la magnitud m2g de la fuerza del peso hacia abajo debe ser mayor que la magnitud T2 de la fuerza de tensión haciaarriba. Para que la polea tenga aceleración angular en sentido hora-rio, la torca neta sobre la polea debe ser en sentido horario. La ten-sión T2 tiende a girar la polea en sentido horario, en tanto que latensión T1 tiende a girar la polea en sentido antihorario. Ambasfuerzas de tensión tienen el mismo brazo de palanca R, de maneraque hay una torca T2R en sentido horario y una torca T1R en sen-tido antihorario. Para que la torca neta sea en sentido horario, T2
debe ser mayor que T1. Por consiguiente, m2g . T2 . T1.10.3 Respuestas: a) ii), b) i) Si usted vuelve a realizar los cálcu-los del ejemplo 10.6 con un cilindro hueco (momento de iner-cia Icm 5 MR2 en vez de un cilindro sólido (momento de inercia
), usted encontrará y (en vez dey para un cilindro sólido). Por lo tanto, la ace-
leración es menor aunque la tensión sea mayor. Usted puede llegarT 5 1
3 Mgacm-y 5 23 g
T 5 12 Mgacm-y 5 1
2 gIcm 5 12 MR2
t 5 PL cos u.L cos u,
a la misma conclusión sin efectuar el cálculo. Mayor momento deinercia significa que el cilindro hueco girará más lentamente y, porconsiguiente, rodará hacia abajo más lentamente. Para hacer máslento el movimiento descendente, se requiere una mayor fuerza detensión hacia abajo para oponerse a la fuerza de gravedad haciaabajo.10.4 Respuesta: iii) Aplicamos la misma torca durante el mismodesplazamiento angular a ambos cilindros. Entonces, por la ecua-ción (10.21), efectuamos la misma cantidad de trabajo sobre losdos cilindros y les impartimos la misma energía cinética a ambos.(El que tiene menor momento de inercia desarrolla la mayor rapi-dez angular, aunque eso no es lo que se preguntó. Compare con elejemplo conceptual 6.5 de la sección 6.2.)10.5 Respuestas: a) no, b) sí Al dar vuelta al círculo la pelota, lamagnitud de no cambia (la rapidez es constante), pero sudirección sí lo hace, así que el vector de momento lineal no esconstante. Sin embargo, sí es constante: la pelota man-tiene una magnitud constante (la rapidez y la distancia perpendicu-lar entre la mano y la pelota no cambian) y una dirección constante(sobre el eje de rotación, perpendicular al plano de movimiento dela pelota). El momento lineal cambia porque una fuerza neta actúa sobre la pelota (hacia el centro del círculo). El momento angular no cambia porque no hay torca neta; el vector apunta dela mano a la pelota, y la fuerza que actúa sobre la pelota apun-ta hacia la mano, de modo que el producto vectorial es cero.10.6 Respuesta: i) En ausencia de torcas externas, el momentoangular de la Tierra Lz 5 Ivz permanecería constante. El hielo de-rretido se movería de los polos al ecuador (es decir, se alejaría deleje de rotación del planeta) y el momento de inercia I de la Tierraaumentaría un poco. Por lo tanto, la velocidad angular vz disminui-ría ligeramente y el día duraría un poco más.10.7 Respuesta: iii) Aumentar al doble la masa del volante dupli-caría tanto su momento de inercia I como su peso w, así que la ra-zón I>w no cambiaría. La ecuación (10.33) dice que la rapidezangular de precesión depende de esta razón, así que el valor de Vno cambiaría.
tS
5 rS 3 FS
FS
rS
FS
LS
5 rS 3 pS
pS 5 mvS
Dinámica rotacional y momento angular:La torca externa neta sobre un sistema es igual a la rapidez de cambio de su momento angular. Si la torcaexterna neta que actúa sobre el sistema es cero, el momento angular total del sistema es constante (se conserva). (Véanse ejemplos 10.11 a 10.15.)
(10.29)atS
5dLS
dt
342 C APÍTU LO 10 Dinámica del movimiento rotacional
370
CAPÍTULO 11 RESUMEN
Condiciones del equilibrio: Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, deben cumplirse dos condiciones. Primera, la suma resultante de las fuerzas debe ser cero. Segunda, la suma de las torcas con respecto a cualquierpunto debe ser cero. La torca debida al peso de un cuerpose calcula suponiendo que todo el peso se concentra en el centro de gravedad, que está en el mismo punto que elcentro de masa si tiene el mismo valor en todos los puntos. (Véanse ejemplos 11.1 a 1 1.4.)
gS
(11.1)
(11.2)
(11.4)
rScm 5m1 rS1 1 m2 rS2 1 m3 rS3 1 c
m1 1 m2 1 m3 1 c
atS
5 0 alrededor de cualquier punto
aFx 5 0 aFy 5 0 aFz 5 0
Esfuerzo, deformación y ley de Hooke: La ley de Hookeestablece que, en las deformaciones elásticas, el esfuerzo(fuerza por unidad de área) es proporcional a la deforma-ción (cambio fraccionario de forma). La constante de pro-porcionalidad se llama módulo de elasticidad.
(11.7)Esfuerzo
Deformación5 Módulo de elasticidad
Esfuerzo de tensión y de compresión: El esfuerzo de ten-sión es la fuerza de tensión por unidad de área, Ladeformación por tensión es el cambio fraccionario de longi-tud, Dl>l0. El módulo de elasticidad se llama módulo deYoung, Y. El esfuerzo y la deformación por compresión sedefinen de la misma forma. (Véase el ejemplo 11.5.)
F'/A.
(11.10)
Y 5Esfuerzo de tensión
Deformación por tensión5
F'/ADl/l0
5F'A
ww
E
T
x
yT
Ty
Ey
Ex
Tx
Esfuerzo de volumen: La presión ejercida por un fluido esla fuerza por unidad de área. El esfuerzo de volumen es uncambio de presión, Dp, y la deformación por volumen es el cambio fraccionario de volumen DV>V0. El módulo de elasticidad se llama módulo de volumen, B. La compresibilidad, k, es el inverso del módulo de volumen: k 5 1>B. (Véase ejemplo 11.6.)
(11.11)
(11.13)
B 5Esfuerzo de volumen
Deformación por volumen5 2
Dp
DV/V0
p 5F'A
Esfuerzo de corte: El esfuerzo de corte es la fuerza porunidad de área, para una fuerza aplicada tangente a una superficie. La deformación por corte es el desplaza-miento x de un lado dividido entre la dimensión transversal h. El módulo de elasticidad se llama módulo de corte, S. (Véase el ejemplo 11.7.)
Fi /A,
(11.17)
S 5Esfuerzo por corte
Deformación por corte5
Fi /Ax/h
5Fi
A h
x
Los límites de la ley de Hooke: El límite proporcional es el esfuerzo máximo para el que el esfuerzo y la deformación son proporcionales. Más allá del límite proporcional, la ley de Hooke no es válida. El límiteelástico es el esfuerzo a partir del cual se presenta una deformación irreversible. El esfuerzo de rotura, o resistencia límite, es el esfuerzo en el que el material se rompe.
410
Ley de Newton de la gravitación: Dos cuerpos cuales-quiera con masas m1 y m2, separados por una distancia r, se atraen con fuerzas inversamente proporcionales a r2. Tales fuerzas forman un par acción-reacción y obedecen la tercera ley de Newton. Si dos o más cuerpos ejercenfuerzas gravitacionales sobre un cuerpo dado, la fuerza gravitacional total que actúa sobre ese cuerpo es la sumavectorial de las fuerzas ejercidas por los otros cuerpos. La interacción gravitacional de cualquier distribución esféricamente simétrica de masa, como los planetas o las estrellas, es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el centro. (Véanse los ejemplos 12.1 a 12.3 y 12.10.)
(12.1)Fg 5Gm1 m2
r2
Fuerza gravitacional, peso y energía potencial gravitacional:El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional total ejercida sobre él por todos los demás cuerpos del Universo.Cerca de la superficie de la Tierra (masa mE y radio RE), el peso en esencia igual a la fuerza gravitacional de la Tierra sola. La energía potencial gravitacional U de dos masas m y mE separadas por una distancia r es inversamenteproporcional a r. La energía potencial nunca es positiva; es cero sólo cuando los dos cuerpos están infinitamente distantes entre sí. (Véanse los ejemplos 12.4 y 12.5.)
RE 5 6.38 3 106 m
r 2 RE (3 10 6 m)
r (3 106 m)
w (N)
0
0
masa m
Tierra, masa mE
w 5 GmEm/r 2
Órbitas: Si un satélite se mueve en una órbita circular, la atracción gravitacional de la Tierra proporciona la aceleración centrípeta. Las tres leyes de Kepler describen el caso más general: la órbita elíptica de un planeta alrededor del Sol o de un satélite alrededor de un planeta.(Véanse ejemplos 12.6 a 12.9.)
(rapidez en órbita circular) (12.10)
(periodo en órbita circular) (12.12)
T 52pr
v5 2pr Å
r
GmE5
2pr3/2
"GmE
v 5 ÅGmE
r
FgS
aS
vS
FgS
aS
vS
FgS
aSvS
RE
r
Agujeros negros: Si una distribución esférica de masa sin rotación, con masa total M, tiene un radio menor que su radio de Schwarzschild, RS, se clasifica como agujeronegro. La interacción gravitacional impide que cualquiercosa, incluida la luz, escape de una esfera con radio RS.(Véase el ejemplo 12.11.)
(radio de Schwarzschild) (12.30)
RS 52GM
c2
RS
Si todo el cuerpo está dentro de suradio de Schwarzschild RS = 2GM/c2,el cuerpo es un agujero negro.
Fg (1 sobre 2)S
Fg (2 sobre 1)S
r
Fg (1 sobre 2) 5 Fg (2 sobre 1)
m1
m2
CAPÍTULO 12 RESUMEN
(peso en la superficie terrestre)
(12.3)
(aceleración debida a la (12.4)
gravedad en la superficie terrestre)
(12.9)U 5 2
GmE m
r
g 5GmE
RE
2
w 5 Fg 5GmE m
RE
2
445
CAPÍTULO 13 RESUMEN
Movimiento periódico: Un movimiento periódico se repite en un ciclo definido; se presenta siempre que uncuerpo tiene una posición de equilibrio estable y una fuerza de restitución que actúa cuando el cuerpo se desplaza del equilibrio. El periodo T es lo que tarda un ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia angular v es 2p veces la frecuencia. (Véase el ejemplo 13.1.)
(13.1)
(13.2)v 5 2pf 52p
T
f 51
T T 5
1
f
Movimiento armónico simple: Si en el movimiento periódico la fuerza de restitución Fx es directamente proporcional al desplazamiento x, el movimiento se denomina armónico simple (MAS). En muchos casos, estacondición se satisface si el desplazamiento con respecto alequilibrio es pequeño. La frecuencia angular, la frecuenciay el periodo en un MAS no dependen de la amplitud, sólodependen de la masa m y la constante de fuerza k. En unMAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración sonfunciones senoidales del tiempo; la amplitud A y el ángulode fase f de la oscilación están determinados por la posición y velocidad iniciales del cuerpo. (Véanse los ejemplos 13.2, 13.3, 13.6 y 13.7.)
(13.3)
(13.4)
(13.10)
(13.11)
(13.12)
(13.13)x 5 A cos 1vt 1 f 2
T 51
f5 2p Å
m
k
f 5v
2p5
1
2p Å
k
m
v 5 Åk
m
ax 5Fx
m5 2
k
m x
Fx 5 2kx
Energía en movimiento armónico simple: La energía seconserva en un MAS. La energía total se puede expresar en términos de la constante de fuerza k y la amplitud A.(Véanse los ejemplos 13.4 y 13.5.)
(13.21)
E 51
2 mvx
2 11
2 kx2 5
1
2 kA25constante
Movimiento armónico simple angular: En el MAS angular,la frecuencia y la frecuencia angular están relacionados con el momento de inercia I y la constante de torsión k.
(13.24)
v 5 Åk
I y f 5
1
2p Å
k
I
Fx
ax
xxn
mg
y
n
mg
y
Fx
ax
x
n
mg
y
x = 2A x = 0x , 0 x . 0
x = A
x
x
2TtO
A
T2A
Energía
x
E 5 K 1 U
O A2A
U
K
utz
ResorteRueda debalance
La torca del resorte tz se oponeal desplazamiento angular u
Péndulo simple: Un péndulo simple consiste en una masa puntual m en el extremo de un cordón sin masa delongitud L. Su movimiento es aproximadamente armónicosimple si la amplitud es lo bastante pequeña; entonces, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo dependensólo de g y L, no de la masa ni de la amplitud. (Véase el ejemplo 13.8.)
(13.32)
(13.33)
(13.34)T 52p
v5
1
f5 2p Å
L
g
f 5v
2p5
1
2p Å
g
L
v 5 Åg
L L
T
mg sen umg
mg cos u
u
Términos clavemovimiento armónico simple (MAS), 421oscilador armónico, 422círculo de referencia, 423fasor, 423ángulo de fase, 426péndulo simple, 436péndulo físico, 438amortiguamiento, 440
oscilación amortiguada, 440amortiguamiento crítico, 441sobreamortiguamiento, 441subamortiguamiento, 441fuerza impulsora, 442oscilación forzada, 442frecuencia angular natural, 442resonancia, 443
(vx 5 0), ya que la fuerza ejercida por el resorte depende de si se comprime o se estira, y con qué distancia. Esto explica las respuestasa) a e). Si la aceleración es cero como en f), la fuerza total también debe ser cero y por ello el resorte debe estar relajado: x 5 0.13.2 Respuestas: a) A + 0.10 m, f * 0; b) A + 0.10 m, f + 0 Enambas situaciones, la velocidad v0x inicial (t 5 0) no es cero, de mane-ra que de la ecuación (13.19) la amplitud esmayor que la coordenada inicial x0 5 0.10 m. A partir de la ecuación(13.18), el ángulo de fase es el cual es positi-vo si la cantidad (el argumento de la función arcotangente)es positivo, y es negativo si es negativo. En el inciso a) x0 yv0x son ambos positivos, así que y En el incisob) x0 es positivo y v0x es negativo, por lo que y
13.3 Respuestas: a) iii), b) v) Para aumentar la energía total
en un factor de 2, la amplitud A debe aumentar en un fac-
tor de Puesto que es MAS, un cambio de amplitud no afecta la
frecuencia.13.4 Respuesta: i) El periodo de oscilación de un cuerpo de masa munido a un resorte colgante de constante de fuerza k está dado por
la misma expresión que para el cuerpo unido al resorteT 5 2p "m/k ,
"2 .
E 5 12 kA2
f . 0.2v0x/vx0 . 0f , 0.2v0x/vx0 , 0
2v0x/vx0
2v0x/vx0
f 5 arctan 12v0x/vx0 2 ,A 5 "x0
2 1 1v0x
2/v2 2
movimiento periódico (oscilación), 419desplazamiento, 420fuerza de restitución, 420amplitud, 420ciclo, 420periodo, 420frecuencia, 420frecuencia angular, 420
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?Ninguna de ellas; el reloj seguiría marcando correctamente el tiempo.Si la masa de su varilla es despreciable, el péndulo es simple y su pe-riodo es independiente de la masa [véase la ecuación (13.34)]. Si se in-cluye la masa de la varilla, se trata de un péndulo físico. Un aumentode su masa m al doble también duplica su momento de inercia I, asíque la razón I>m no cambia y el periodo [ecuación(13.39)] sigue siendo el mismo.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión13.1 Respuestas: a) x * 0, b) x + 0, c) x * 0, d) x + 0, e) x 5 0, f) x + 0 La figura 13.2 muestra que la componente x de la fuerza total Fx y la aceleración ax son ambas positivas cuando x , 0 (así queel cuerpo se desplaza hacia la izquierda y el resorte se comprime);mientras que Fx y ax son ambas negativas cuando x . 0 (así que elcuerpo se desplaza hacia la derecha y el resorte se estira). Por lo tanto,Fx y ax siempre tienen signos opuestos. Esto es válido si el objeto semueve a la derecha (vx . 0), a la izquierda (vx , 0), o no se mueve
T 5 2p "I/mgd
446 C APÍTU LO 13 Movimiento periódico
Péndulo físico: Un péndulo físico es un cuerpo suspendidode un eje de rotación. La frecuencia angular y el periodopara oscilaciones de amplitud pequeña son independientesde la amplitud, aunque dependen de la masa m, la distanciad del eje de rotación a su centro de gravedad, y del momento de inercia I con respecto al eje. (Véanse los ejemplos 13.9 y 13.10.)
(13.38)
(13.39)T 5 2p ÅI
mgd
v 5 Åmgd
Id
z
mg sen u
mgmg cos u
cg
O
d sen uu
0
2A
A
T0 2T0 3T0 4T0 5T0
t
Ae2(b/2m)t
x
b 5 0.1�km
b 5 0.4�km
Oscilaciones amortiguadas: Si a un oscilador armónicosimple se le aplica una fuerza Fx 5 2bvx proporcional a la velocidad, el movimiento se denomina oscilación amorti-guada. Si (condición de subamortiguamiento),el sistema oscila con amplitud decreciente y una frecuenciaangular que es más baja de la que tendría sin amortigua-miento. Si (condición de amortiguamiento crítico) o (condición de sobreamortiguamiento),cuando el sistema se desplaza regresa a su posición de equilibrio sin oscilar.
b . 2 "kmb 5 2 "km
v r
b , 2 "km
Oscilaciones impulsadas y resonancia: Si a un osciladorarmónico amortiguado se aplica una fuerza impulsora quevaría senoidalmente, el movimiento resultante se deno-mina oscilación forzada. La amplitud es función de la frecuencia impulsora vd y alcanza un máximo con una frecuencia impulsora cercana a la frecuencia natural del sistema. Este comportamiento se denomina resonancia.
(13.46)A 5Fmáx
"1 k 2 mvd
2 2 2 1 b2vd
2
Fmáx/k2Fmáx/k3Fmáx/k4Fmáx/k5Fmáx/k
0.5 1.0 1.5 2.0
Ab 5 0.2�km
0vd /v
b 5 0.4�km
b 5 0.7�kmb 5 1.0�km
b 5 2.0�km
(13.42)
(13.43)v r 5 Åk
m2
b2
4m2
x 5 Ae21b/2m2t cos v rt
CAPÍTULO 14 RESUMEN
476
Densidad y presión: Densidad es masa por unidad de vo-lumen. Si una masa m de material homogéneo tiene un volumen V, su densidad r es el cociente de la razón m>V.La gravedad específica es la razón entre la densidad de un material y la del agua. (Véase el ejemplo 14.1.)
Presión es fuerza normal por unidad de área. La ley dePascal establece que la presión aplicada a la superficie de un fluido encerrado se transmite sin disminución a todaslas porciones del fluido. La presión absoluta es la presióntotal en un fluido; la presión manométrica es la diferenciaentre la presión absoluta y la atmosférica. La unidad de presión del SI es el pascal (Pa): 1 Pa 5 1 N>m2. (Véase el ejemplo 14.2.)
(14.1)
(14.2)p 5dF'dA
r 5m
V
Presiones en un fluido en reposo: La diferencia de pre-sión entre dos puntos 1 y 2 en un fluido estático con densi-dad uniforme r (un fluido incompresible) es proporcional ala diferencia entre las alturas yl y y2. Si la presión en la su-perficie de un líquido incompresible en reposo es p0, la pre-sión a una profundidad h es mayor en una cantidad rgh.(Véanse los ejemplos 14.3 y 14.4.)
(presión en un fluido (14.5)de densidad uniforme)
(presión en un fluido (14.6)de densidad uniforme)
p 5 p0 1 rgh
p2 2 p1 5 2rg 1 y2 2 y1 2
Flotación: El principio de Arquímedes dice que cuando uncuerpo se sumerge en un fluido, éste ejerce sobre el cuerpouna fuerza de flotación hacia arriba igual al peso del fluidoque el cuerpo desplaza. (Véase el ejemplo 14.5.)
Fuerzas normales igualesejercidas sobre ambos ladospor el fluido circundante.
dAdF�
dF�
Área pequeña dA dentrodel fluido en reposo
p2 5 p0
p1 5 p
y1
y 2
y2 2 y1 5 h2
1
Fluido, densidad r
cg
Elemento fluido que se sustituye por un cuerpo sólido del mismo tamaño y forma
BdF'
wcuerpo
Flujo de un fluido: Un fluido ideal es incompresible y notiene viscosidad (no hay fricción interna). Una línea de flujo es la trayectoria de una partícula de fluido; una líneade corriente es una curva tangente en todo punto al vector de velocidad en ese punto. Un tubo de flujo es un tubo delimitado en sus costados por líneas de flujo. En flujo laminar, las capas de fluido se deslizan suavementeunas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el patrón de flujo cambia constantemente.
La conservación de la masa en un fluido incompresiblese expresa con la ecuación de continuidad, la cual relacionalas rapideces de flujo v1 y v2 para dos secciones transversa-les A1 y A2 de un tubo de flujo. El producto Av es igual a latasa de flujo de volumen, dV>dt, la rapidez con que el volu-men cruza una sección del tubo. (Véase el ejemplo 14.6.)
La ecuación de Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo v y la altura y de dos puntos 1 y 2 cualesquiera, suponiendo flujo estable en un fluido ideal.(Véanse los ejemplos 14.7 a 14.10.)
(ecuación de continuidad, (14.10)fluido incompresible)
(tasa de flujo de volumen)
(14.11)
(ecuación de Bernoulli) (14.17)
p1 1 rgy1 11
2 rv1
2 5 p2 1 rgy2 11
2 rv2
2
dV
dt5 Av
A1 v1 5 A2 v2p2A2
ds2
ds1
ab
cd
dV
dV
v2
Flujo
y1
y2
A1
A2
p1A1
v1
516
CAPÍTULO 15 RESUMEN
Ondas y sus propiedades: Una onda es cualquier pertur-bación con respecto a una condición de equilibrio que sepropaga de una región a otra. Una onda mecánica siempreviaja dentro de un material llamado medio. La perturbaciónondulatoria se propaga con la rapidez de onda v, que depende del tipo de onda y de las propiedades del medio.
En una onda periódica, el movimiento de cada punto del medio es periódico. Una onda senoidal es una onda pe-riódica especial, donde todos los puntos tienen movimientoarmónico simple. La frecuencia f de cualquier onda perió-dica es el número de ciclos por unidad de tiempo, el periodo T es el tiempo que dura un ciclo, la longitud de onda l es la distancia en la que se repite el patrón de la onda, y la amplitud A es el desplazamiento máximo de una partícula en el medio. El producto de l y f es igual a la rapidez de la onda. (Véase el ejemplo 15.1.)
(15.1)v 5 lf
Funciones de onda y dinámica de onda: La función de onda y(x, t) describe los desplazamientos de partículas individuales del medio. Las ecuaciones (15.3), (15.4) y(15.7) dan la ecuación de una onda senoidal que viaja en la dirección 1x. Si la onda se mueve en la dirección 2x, el signo menos de las funciones coseno se cambia por un signo más. (Véase el ejemplo 15.2.)
La función de onda debe obedecer una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda, ecuación (15.12).
La rapidez de una onda transversal en una cuerda depende de la tensión F y de la masa por unidad de longitud m. (Véase el ejemplo 15.3.)
(15.3)
(15.4)
(15.7)
(15.12)
(15.13)v 5ÅF
m (ondas en una cuerda)
'2y 1 x, t 2'x2
51
v2 '2y 1 x, t 2't2
donde k 5 2p/l y v 5 2pf 5 vk
y 1 x, t 2 5 A cos 1 kx 2 vt 2 y 1 x, t 2 5 A cos 2p 1 xl 2
t
T 2 5 A cos 2pf 1 xv 2 t 2
y 1 x, t 2 5 A cos Sv 1 xv 2 t 2 T
Potencia de onda: El movimiento ondulatorio transportaenergía de una región a otra. En el caso de una onda mecá-nica senoidal, la potencia media Pmed es proporcional alcuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia. En el caso de ondas que se propagan en tres dimensiones, la intensidad de la onda I es inversamenteproporcional a la distancia de la fuente. (Véanse los ejemplos 15.4 y 15.5.)
Superposición de ondas: Una onda que llega a una frontera del medio de propagación se refleja. El principiode superposición indica que el desplazamiento de onda total en cualquier punto donde se traslapan dos o más ondas es la suma de los desplazamientos de las ondas individuales.
(15.27)(principio de superposición)y 1 x, t 2 5 y1 1 x, t 2 1 y2 1 x, t 2
O
Potencia de onda contratiempo t en la coordenadax 5 0
t
PPmáx
Periodo T
Pmed 5 Pmáx12
0
y
xA
A
y
Longitud de onda l
t
Periodo T
A
A
v
Cada partícula dela cuerda oscilaen MAS.
Amplitud A
Rapidezde onda
Longitud deonda l
(15.25)
(potencia media, onda senoidal)
Pmed 51
2 "mF v2A2
(15.26)
(ley del inverso del cuadradopara la intensidad)
I1
I25
r2
2
r1
2
Resumen 517
Términos claveonda mecánica, 488medio, 488onda transversal, 488onda longitudinal, 488rapidez de la onda, 489onda periódica, 489onda senoidal, 489longitud de onda, 490función de onda, 492número de onda, 493
fase, 494ecuación de onda, 497intensidad, 504interferencia, 505condición de frontera, 506principio de superposición, 506nodo, 508antinodo, 508onda estacionaria, 508onda viajera, 508
interferencia destructiva, 509interferencia constructiva, 509frecuencia fundamental, 512armónicos, 512serie armónica, 512sobretono, 512modo normal, 512contenido armónico, 513
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?La potencia de una onda mecánica depende de su frecuencia y su am-plitud [véase la ecuación (15.25)].
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión15.1 Respuesta: i) La “ola” viaja horizontalmente de un espectadoral siguiente en cada fila del estadio, pero el desplazamiento de cada es-pectador es verticalmente hacia arriba. Puesto que el desplazamientoes perpendicular a la dirección en que viaja la onda, la onda es trans-versal.15.2 Respuesta: iv) La rapidez de las ondas en una cuerda, v, no de-pende de su longitud de onda. Podemos rescribir la relación v 5 lf co-mo f 5 v>l, la cual nos indica que si se duplica la longitud de onda l,la frecuencia f se reduce a la mitad.15.3 Respuestas: a. T, b. c. Puesto que la onda es senoidal,cada punto en la cuerda oscila en movimiento armónico simple(MAS). Puesto que podemos aplicar todas las ideas del capítulo 13acerca del MAS a la onda descrita en la figura 15.8. a) Una partículaen MAS tiene su rapidez máxima cuando pasa por la posición deequilibrio (y 5 0 en la figura 15.8). La partícula en el punto A se mue-ve hacia arriba por tal posición en b) En MAS vertical la ace-leración máxima hacia arriba ocurre cuando una partícula está en sudesplazamiento máximo hacia abajo. Esto sucede para la partícula enel punto B en c) Una partícula en MAS vertical tiene una ace-leración hacia abajo cuando su desplazamiento es hacia arriba. Lapartícula en C tiene un desplazamiento hacia arriba y se mueve haciaabajo en 15.4 Respuesta: iii) La relación [ecuación (15.13)] indicaque la rapidez de onda es máxima en una cuerda con densidad lineal de
v 5 "F/mt 5 5
8 T.
t 5 48 T.
t 5 28 T.
58 T4
8 T,28
masa mínima. Ésa es la cuerda más delgada, que tiene menor masa my, por lo tanto, menor densidad lineal de masa m 5 m>L (todas lascuerdas tienen la misma longitud).15.5 Respuesta: iii), iv), ii), i) La ecuación (15.25) indica que la poten-cia media es una onda senoidal en una cuerda esLas cuatro cuerdas son idénticas, así que todas tienen la misma masa,la misma longitud y la misma densidad de masa lineal m la frecuencia fes la misma para cada onda, como la frecuencia angular Por lo tanto, la potencia de onda media para cada cuerda es proporcio-nal a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda F y el cuadrado de laamplitud A. En comparación con la cuerda i) la potencia media en cadacuerda es iii) veces mayor; ii) veces mayor; y iv) veces mayor.15.6 Respuesta:"2 12 2 2 5 4 "2
42 5 16"4 5 2
v 5 2pf.
Pmed 5 12 "mF v2A2.
Ondas estacionarias sobre una cuerda: Cuando una ondasenoidal se refleja de un extremo fijo o libre de una cuerdaestirada, las ondas incidente y reflejada se combinan paraformar una onda senoidal estacionaria que contiene nodos y antinodos. Dos nodos adyacentes están separados una distancia l>2, lo mismo que dos antinodos adyacentes.(Véase el ejemplo 15.6.)
Si ambos extremos de una cuerda con longitud L estánfijos, sólo puede haber ondas estacionarias si L es un múltiplo entero de l>2. Cada frecuencia y su patrón de vibración asociado se denomina modo normal. La frecuenciamás baja f1 es la frecuencia fundamental. (Véanse los ejemplos 15.7 y 15.8.)
l2
l2
l2
l2
N A N
5 L
N A N
3 5 L
NA N A
N A N
2 5 L
N A
N A N
4 5 L
N ANAAN
(15.28)(onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x 5 0)
(15.33)
(15.35)
(cuerda fija en ambos extremos)
f1 51
2L Å
F
m
fn 5 n
v2L
5 nf1 1n 5 1, 2, 3, c 2
y 1 x, t 2 5 1ASW sen kx 2 sen vt
561
CAPÍTULO 16 RESUMEN
Ondas sonoras: El sonido consiste en ondas longitudinalesen un medio. Una onda sonora senoidal se caracteriza tantopor su frecuencia f y longitud de onda l (o frecuencia angular v y número de onda k), como por su amplitud dedesplazamiento A. La amplitud de presión pmáx es directa-mente proporcional a la amplitud de desplazamiento, el número de onda y el módulo de volumen B del medio de la onda. (Véanse los ejemplos 16.1 y 16.2.)
La rapidez de una onda sonora en un fluido depende del módulo volumétrico B y densidad r. Si el fluido es un gas ideal, la rapidez puede expresarse en términos de la temperatura T, la masa molar M y la razón de lascapacidades caloríficas g del gas. La rapidez de las ondaslongitudinales en una varilla sólida depende de la densidady del módulo de Young Y. (Véanse los ejemplos 16.3 a 16.5.)
(16.5)(onda sonora senoidal)
(16.7)
(onda longitudinal en un fluido)
(16.10)
(onda sonora en un gas ideal)
(16.8)
(onda longitudinal en una varilla sólida)
v 5 ÅY
r
v 5 ÅgRT
M
v 5 ÅB
r
pmáx 5 BkA
Expansión Compresión
pmáx
p
�pmáx
A
�A
yy . 0 y . 0
y , 0 y , 0
x
Longitud deonda l
x
Intensidad y nivel de intensidad de un sonido: La intensi-dad I de una onda sonora es la rapidez media con que trans-porta energía por unidad de área. Para una onda senoidal, la intensidad puede expresarse en términos de la amplitudde desplazamiento A o la amplitud de presión pmáx. (Véanse los ejemplos 16.6 a 16.8.)
El nivel de intensidad de sonido b de una onda sonoraes una medida logarítmica de su intensidad. Se mide relativaa I0, una intensidad arbitraria que por definición es 10212
W>m2. Los niveles de intensidad de sonido se expresan en decibeles (dB). (Véanse los ejemplos 16.9 y 16.10.)
(16.12), (16.14)
(intensidad de una onda sonora senoidal)
(16.15)
(definición de nivel de intensidad de sonido)
b 5 110 dB 2 log I
I0
5pmáx
2
2 "rB
I 51
2 "rB v2A2 5
pmáx
2
2rvFuente puntual
P2
P1
Ondas sonoras estacionarias: Se pueden establecer ondassonoras estacionarias en un tubo. Un extremo cerrado es un nodo de desplazamiento y un antinodo de presión; un extremo abierto es un antinodo de desplazamiento y un nodo de presión. En el caso de un tubo de longitud Labierto por ambos extremos, las frecuencias de modo nor-mal son múltiplos enteros de la rapidez del sonido divididaentre 2L. En el caso de un tubo cerrado (abierto sólo en unextremo), las frecuencias de modo normal son los múltiplosimpares de la rapidez del sonido dividida entre 4L. (Véanselos ejemplos 16.11 y 16.12.)
Se puede forzar al aire en un tubo, o a cualquier sistemade modos normales, a oscilar con cualquier frecuencia. Se presenta una respuesta máxima, o resonancia, si la frecuencia impulsora es cercana a una de las frecuencias de modo normal del sistema. (Véase el ejemplo 16.13.)
(16.18)
(tubo abierto)
(16.22)
(tubo cerrado)
fn 5nv4L
1n 5 1, 3, 5, c2
fn 5nv2L
1n 5 1, 2, 3, c2Tuboabierto
Tubocerrado
A ANANA
N
A
N N
A
N
AA
l2
l4
f1 5 v2L
f2 5 2 5 2f1v
2L
f1 5 v4L
f3 5 3 5 3f1v
4L
Q
Las ondasllegandesfasadasmediociclo
d2
d1d1
P
Las ondaslleganen fase
d2 1l2
Interferencia: Si dos o más ondas se traslapan en la misma región del espacio, los efectos resultantes se llaman interferencia. La amplitud resultante puede ser mayor o menor que la de cada onda individual,dependiendo de si las ondas están en fase (interferencia constructiva) o desfasadas (interferencia destructiva). (Véase el ejemplo 16.14.)
562 C APÍTU LO 16 Sonido y el oído
Desplazamiento
Pulso
t
t
v
L a S
vL
v v
v
v
v
v
vS
vSa bl l
�
S S
L
Onda de choque
vS . v
a
Pulsos: Se escuchan pulsos cuando dos tonos con frecuencias ligeramente distintas fa y fb suenan juntos. La frecuencia del pulso fpulso es la diferencia entre fa y fb.
(16.24)(frecuencia del pulso)fpulso 5 fa 2 fb
Efecto Doppler: El efecto Doppler para el sonido es elcambio de frecuencia que se da cuando hay movimiento de la fuente de sonido, de un receptor o de ambos, relativoal medio. Las frecuencias en la fuente y el receptor fS y fL
tienen una relación con las velocidades de la fuente y el receptor vS y vL relativas al medio, y con la rapidez del sonido v respecto del medio. (Véanse los ejemplos 16.15 a 16.19.)
(16.29)fL 5v 1 vL
v 1 vS fS
*Ondas de choque: Una fuente de sonido que se muevecon rapidez vS mayor que la del sonido v crea una onda de choque. El frente de onda es un cono con ángulo a.(Véase el ejemplo 16.20.)
(16.31)sen a 5vvS
Términos clavesonido, 527gama audible, 527ultrasónico, 528infrasónico, 528amplitud de desplazamiento, 528amplitud de presión, 529volumen, 531tono, 531
timbre, 532ruido, 532nivel de intensidad de sonido, 539decibel, 539nodo de desplazamiento, 541antinodo de desplazamiento, 541nodo de presión, 542antinodo de presión, 542
resonancia, 546curva de resonancia, 547pulsos, 551frecuencia del pulso, 551efecto Doppler, 552*supersónico, 558*onda de choque, 558*número de Mach, 558
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo?Tanto los sonidos musicales como el ruido consisten en una combina-ción de ondas sonoras senoidales. La diferencia es que todas las fre-cuencias de las ondas senoidales de un sonido musical son múltiplosenteros de una frecuencia fundamental; en tanto que en el ruido estánpresentes todas las frecuencias.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión16.1 Respuesta: v) Por la ecuación (16.5), la amplitud de desplaza-miento es La amplitud de presión pmáx y el módulo devolumen B no cambian; pero la frecuencia f aumenta en un factor de 4.Por lo tanto, el número de onda también aumentaen un factor de 4. Puesto que A es inversamente proporcional a k, laamplitud de desplazamiento disminuye a . Dicho de otro modo, a unafrecuencia más alta se requiere un menor desplazamiento máximo, pa-ra producir la misma fluctuación de la presión máxima.16.2 Respuesta: i) Por la ecuación (16.7), la rapidez de las ondaslongitudinales (sonido) en un fluido es Podemos rescribiresto para obtener una expresión del módulo de volumen B en términosde la densidad de fluido r y la rapidez del sonido A 20 °Cla rapidez del sonido en el mercurio es ligeramente menor que en elagua (1451 m>s contra 1482 m>s); sin embargo, la densidad del mercu-
B 5 rv2.v:
v 5 "B/r.
14
k 5 v/v 5 2pf/v
A 5 pmáx/Bk.
rio es mayor que la del agua por un factor grande (13.6). De esta man-era, el módulo de volumen del mercurio es mayor que el del agua enun factor de (13.6)(1451>1482)2 5 13.0.16.3 Respuestas: A y pmáx aumentan en un factor de B y v per-manecen sin cambio, b aumenta en 3.0 dB Las ecuaciones (16.9)y (16.10) muestran que el módulo de volumen B y la rapidez del soni-do v no cambian porque tampoco cambian las propiedades físicas delaire. Por las ecuaciones (16.12) y (16.14), la intensidad es proporcio-nal al cuadrado de la amplitud de desplazamiento o al cuadrado de laamplitud de presión. Por lo tanto, un aumento al doble de la intensidadimplica un aumento tanto de A como de pmáx en un factor de Elejemplo 16.10 muestra que una multiplicación de la intensidad por unfactor de 2 (I2>I1 5 2) corresponde a sumar (10 dB) log (I2>I1 5 (10dB) log 2 5 3.0 dB al nivel de intensidad de sonido.16.4 Respuesta: ii) El helio es menos denso que el aire y su masamolar es menor, así que el sonido viaja con mayor rapidez en helio queen aire. Las frecuencias de modo normal de un tubo son proporciona-les a la rapidez del sonido v, así que la frecuencia y por ende el tonoaumentan cuando el tubo se llena con helio en vez de aire.16.5 Respuesta: i) y iv) Habrá resonancia si 660 Hz es una de las fre-cuencias de modo normal del tubo. Un tubo de órgano cerrado tienefrecuencias de modo normal que son múltiplos impares de su frecuen-cia fundamental [véase la ecuación (16.22) y la figura 16.18]. Por lotanto, el tubo i), que tiene frecuencia fundamental de 220 Hz, tambiéntiene frecuencia de modo normal de 3(220 Hz) 5 660 Hz. El tubo
"2 .
"2 ,
(efecto Doppler, fuente en movimiento y receptor en movimiento)
598
CAPÍTULO 17 RESUMEN
Temperatura y escalas de temperatura: Un termómetromide la temperatura. Dos cuerpos en equilibrio térmico deben tener la misma temperatura. Un material conductorentre dos cuerpos permite una interacción que conduce aequilibrio térmico; un material aislante evita o dificulta esa interacción.
Las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit se basan en las temperaturas de congelación (0 °C 5 32 °F) yde ebullición (100 °C 5 212 °F) del agua. Un grado Celsiuses igual a grados Fahrenheit. (Véase el ejemplo 17.1.)
La escala Kelvin tiene su cero en la temperatura extrapolada de presión cero para un termómetro de gas,2273.15 °C 5 0 K. En la escala de un termómetro de gas, el cociente de dos temperaturas Tl y T2 es igual por definición al cociente de las dos presiones correspondientesdel termómetro de gas, pl y p2. La temperatura de punto triple del agua (0.01 °C) se define como 273.16 K.
95
(17.1)
(17.2)
(17.3)
(17.4)T2
T15
p2
p1
TK 5 TC 1 273.15
TC 55
9 1TF 2 32° 2
TF 59
5 TC 1 32°
Expansión térmica y esfuerzo térmico: Un cambio detemperatura DT provoca un cambio en toda dimensión lineal L0 de un cuerpo sólido. El cambio DL es aproxima-damente proporcional a L0 y DT. Asimismo, un cambio detemperatura DT causa un cambio DV en el volumen V0
de cualquier material líquido o sólido, el cual es aproxima-damente proporcional a V0 y DT. Las cantidades a y b sonlos coeficientes de expansión lineal y de expansión de volumen, respectivamente. En sólidos, b 5 3a. (Véanse los ejemplos 17.2 a 17.4.)
Si un material se enfría o se calienta sujetándolo de modo que no pueda contraerse ni expandirse, está sometidoa un esfuerzo de tensión F>A. (Véase el ejemplo 17.5.)
(17.6)
(17.8)
(17.12)F
A5 2Ya DT
DV 5 bV0 DT
DL 5 aL0 DT
Si los sistemas A y B están cada unoen equilibrio térmico con el sistema C …
A B
Aislante
Conductor
… entonces A y B están enequilibrio térmico entre sí.
A B
CC
L 5 L0 1 DL 5 L0(1 1 a DT )
DLL0
T0
T0 1 DT
0
100
T (8C)
Punto de ebullición
Punto de fusión
La fase cambia, la temperatura es constante:Q 5 1mL.
La temperatura aumenta, la fase no cambia:Q 5 mcDT.
t
Calor, cambios de fase y calorimetría: El calor es transferencia de energía de un cuerpo a otro a causa de una diferencia de temperatura. La cantidad de calor Qnecesaria para elevar la temperatura de una cantidad de material en una cantidad pequeña DT es proporcional a DT.Esta proporcionalidad se puede expresar en términos de lamasa m y del calor específico c, o bien, en términos del número de moles n y la capacidad calorífica molar C 5 Mc.Aquí, M es la masa molar y m 5 nM. (Véanse los ejemplos17.6 y 17.7.)
Para que una masa m de material cambie de fase a lamisma temperatura (como de líquido a sólido o de líquido a vapor) hay que agregarle o quitarle una cantidad de calor.Esa cantidad es igual al producto de m y L, el calor de fusión, vaporización o sublimación.
Si se agrega calor a un cuerpo, el Q correspondiente espositivo; si se le quita, Q es negativo. El principio básico de la calorimetría es la conservación de la energía. En unsistema aislado, cuyas partes interactúan intercambiandocalor, la suma algebraica de los Q para todas las partes delsistema debe ser cero. (Véanse los ejemplos 17.8 a 17.11.)
(17.13)
(17.18)
(17.20)Q 5 6mL
Q 5 nC DT
Q 5 mc DT
Conducción, convección y radiación: La conducción estransferencia de energía debido al movimiento molecular dentro de un material, sin movimiento del material. La corriente de calor H o conducción depende del área Apor la que fluye el calor, la longitud L del trayecto de flujodel calor, la diferencia de temperatura (TH 2 TC) y la conductividad térmica k del material. (Véanse ejemplos 17.12 a 17.14.)
La convección es un proceso complejo de transferenciade calor, que implica movimiento de masa de una región a otra. Depende del área superficial, la orientación y la diferencia de temperatura entre un cuerpo y su entorno.
La radiación es transferencia de energía por radiaciónelectromagnética. La corriente de calor H causada por radiación depende del área superficial A, la emisividad e de la superficie (un número puro adimensional entre 0 y 1)y la temperatura T en Kelvin. También interviene una constante fundamental s llamada constante de Stefan-Boltzmann. Si un cuerpo a temperatura T está rodeado por material a temperatura TS, la corriente de calor neta Hnet del cuerpo a su entorno depende tanto de T como de TS.(Véanse los ejemplos 17.15 y 17.16.)
(17.21)
(17.25)
(17.26) 1T 4 2 Ts4 2 Hnet 5 Aes
H 5 AesT 4
H 5dQ
dt5 kA
TH 2 TC
L
THA
L
Corriente de calor H
TC
TH 2 TC
LCorriente de calor H 5 kA
Resumen 599
Términos clavetermodinámica, 570temperatura, 571termómetro, 571equilibrio térmico, 571aislante, 571conductor, 571ley cero de la termodinámica, 572escala de temperatura Celsius, 572escala de temperatura Fahrenheit, 573escala de temperatura Kelvin, 574escala de temperatura absoluta, 576cero absoluto, 576coeficiente de expansión lineal, 576
coeficiente de expansión de volumen, 578esfuerzo térmico, 580calor, 582caloría, 582unidad térmica británica, 583calor específico, 583capacidad calorífica molar, 584fase, 586estados de la materia, 586cambio de fase, 586calor de fusión, 586equilibrio de fases, 587calor de vaporización, 587
calor de combustión, 589conducción, 592corriente de calor, 592conductividad térmica, 592gradiente de temperatura, 592resistencia térmica, 593convección, 595radiación, 596emisividad, 596constante de Stefan-Boltzmann, 596ley de Stefan-Boltzmann, 596cuerpo negro, 567
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?No. “Calor” se refiere a transferencia de energía de un cuerpo a otro,debido a una diferencia de temperatura entre los cuerpos. Los cuerposno contienen calor.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión17.1 Respuesta: ii) Un termómetro de líquido en tubo en realidad mi-de su propia temperatura. Si el termómetro permanece en agua calientesuficiente tiempo, llegará al equilibrio térmico con el agua y su tempe-ratura será la misma que la del agua.17.2 Respuesta: iv) Tanto una banda bimetálica como un termómetrode resistencia miden su propia temperatura. Para que ésta sea igual a latemperatura del objeto que se está midiendo, el termómetro y el objetodeben estar en contacto y en equilibrio térmico. Un termómetro arterialtemporal detecta la radiación infrarroja en la piel de una persona. Asíque no hay necesidad de que el detector y la piel estén a la misma tem-peratura.
17.3 Respuestas: i), iii), ii), v), iv) Para comparar estas temperaturas,conviértalas todas a la escala Kelvin. Para i) la temperatura Kelvin es para ii) y
para iii) TK 5 260.00 K; para iv) TK 5 77.00; y para v) TK 5 TC 1 273.155 2180.00 1 273.15 5 93.15 K.17.4 Respuestas: ii) y iii) El metal 2 debe expandirse más que el metal 1 cuando se calienta, así que debe tener un mayor coeficiente de expansión lineal a. En la tabla 17.1 vemos que dos metales con va-lores de a más grandes que el del cobre son el aluminio y el latón, aun-que no el acero.17.5 Respuestas: ii), i), iv), iii) En los casos i) y ii), la cantidad rele-vante es el calor específico c de la sustancia, que es la cantidad de calorrequerido para elevar la temperatura de 1 kilogramo de esa sustanciaen 1 K (1 C°). De acuerdo con la tabla 17.3, estos valores son i) 138 Jpara el mercurio y ii) 2428 J para el etanol. En los casos iii) y iv) nece-sitamos la capacidad calorífica molar C, que es la cantidad de calor re-querida para elevar la temperatura de 1 mol de esa sustancia en 1 C°.De nuevo, a partir de la tabla 17.3, estos valores son iii) 27.7 J para el
TK 5 TC 1 273.15 5 217.78 1 273.15 5 255.37 K;TC 5 5
9 1TF 2 32° 2 5 59 1 0.00° 2 32° 2 5 217.78 °C
TK 5 TC 1 273.15 5 0.00 1 273.15 5 273.15 K;
635
CAPÍTULO 18 RESUMEN
Ecuación de estado: La presión p, el volumen V y la temperatura absoluta T de una cantidad dada de una sustancia se llaman variables de estado y están relacionadaspor una ecuación de estado. Esa relación implica únicamente estados de equilibrio, con p y T uniformes en todo el sistema. La ecuación de estado del gas ideal relaciona p, V, T y el número de moles n a través de unaconstante R que es la misma para todos los gases. (Véanse los ejemplos 18.1 a 18.4.)
Una gráfica pV presenta una serie de curvas, llamadasisotermas, que muestran la presión en función del volumen,cada una a cierta temperatura constante.
(18.3)pV 5 nRT
Propiedades molares de la materia: La masa molar Mde una sustancia pura es la masa por mol. La masa total mtotal de una cantidad de sustancia es igual a M multiplicadapor el número de moles n. El número de Avogadro NA es el número de moléculas que hay en un mol. La masa m deuna molécula individual es M dividida entre NA. (Véase el ejemplo 18.5.)
(18.2)
(18.8) M 5 NA m
mtotal 5 nM
Modelo cinético molecular de un gas ideal: En un gasideal, la energía cinética de traslación total del gas en conjunto (Ktr) y la energía cinética de traslación media pormolécula son proporcionales a la temperaturaabsoluta T. La rapidez eficaz de las moléculas de un gasideal es proporcional a la raíz cuadrada de T. En estas expresiones interviene la constante de Boltzmann k 5 R>NA. (Véanse los ejemplos 18.6 y 18.7.)La trayectoria libre media l de las moléculas de un gasideal depende el número de moléculas por volumen (N>V) y del radio molecular r. (Véase el ejemplo 18.8.)
312 m 1v2 2med 4(18.14)
(18.16)
(18.19)
(18.21)l 5 vtmed 5V
4p"2 r2N
5 Å3RT
M
vrms 5 "1v2 2med 5 Å3kT
m
1
2 m 1v2 2med 5
3
2 kT
Ktr 53
2 nRT
O
T4 . T3 . T2 . T1
V
T4
p
T3T2
T1
Ionescloruro
Ionessodio
Traslación
Rotación
Vibración7R/2
5R/2
3R/2
R/2
4R
3R
2R
R
25 50 100
250
500
1000
2500
5000
10,0
00
CV
T (K)O
7R/2
5R/2
3R/2
Capacidades caloríficas: La capacidad calorífica molar CV a volumen constante se puede expresar como múltiplosencillo de la constante de los gases R en ciertos casos idealizados: el gas monoatómico ideal [ecuación (18.25)];el gas diatómico ideal con inclusión de energía rotacio-nal [ecuación (18.26)]; y el sólido monoatómico ideal [ecuación (18.28)]. Podemos aproximar satisfactoriamentemuchos sistemas reales con esas idealizaciones.
(gas monatómico) (18.25)
(gas diatómico) (18.26)
(sólido monoatómico) (18.28) CV 5 3R
CV 55
2 R
CV 53
2 R
Rapidez molecular: Las rapideces de las moléculas de ungas ideal se distribuyen según la distribución de Maxwell-Boltzmann f(v). La cantidad f(v)dv describe la fracción delas moléculas que tiene rapideces entre v y v 1 dv.
(18.32)f 1v 2 5 4p 1 m
2pkT 2 3/2v2e2mv2/2kT
v2y 5 vy
v1x 5 2�vx�
vv2x 5 �vx�
v
y
x
v1y 5 vy
Molécula despuésdel choque
Molécula antesdel choque
v1 v2 vA
T
vmp
f (v)
Ov
Fracción de moléculas conrapideces de v1 a v2
Fracción de moléculas conrapideces mayores que vA
Fases de la materia: La materia ordinaria existe en las fases sólida, líquida y gaseosa. Un diagrama defases muestra las condiciones en las que dos fases pueden coexistir en equilibrio. Las tres fases puedencoexistir en el punto triple. La curva de vaporización termina en el punto crítico, arriba del cual desaparece la distinción entre las fases líquida y gaseosa.
Fusi
ón Punto
crítico
SÓLIDO LÍQUIDO
VAPOR
p
OT
PuntotripleSublimación Vaporización
Términos clavevariables de estado, 611ecuación de estado, 611masa molar, 611ecuación del gas ideal, 612gas ideal, 612constante de los gases, 612temperatura y presión estándar, 613ecuación de Van der Waals, 616diagrama pV, 616
isoterma, 616moléculas, 617pozo de potencial, 617mol, 618número de Avogadro, 618constante de Boltzmann, 622rapidez eficaz (rms), 622trayectoria libre media, 625equipartición de energía, 627
grados de libertad, 627regla de Dulong y Petit, 628distribución de Maxwell-Boltzmann, 630equilibrio de fases, 632diagrama de fases, 632punto triple, 632punto crítico, 633
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?Por la ecuación (18.19), la rapidez eficaz de una molécula de gas esproporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta T. El inter-valo de temperaturas que estamos considerando es de (25 1 273.15) K5 298 K a (100 1 273.15) K 5 373 K. Por lo tanto, las rapideces aumentan en un factor de es decir, hayun aumento del 12%. Si bien 100 °C se siente mucho más caliente que 25 °C, la diferencia de rapideces moleculares es relativamen-te pequeña.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión18.1 Respuestas: ii) y iii) (empate), i) y v) (empate), iv) Podemosrescribir la ecuación del gas ideal, ecuación (18.3), como n 5 pV>RT.Esto nos dice que el número de moles n es proporcional a la presión y al volumen e inversamente proporcional a la temperatura absoluta.Por lo tanto, en comparación con i) el número de moles en cada caso es ii) (2) (1)>(1) 5 2 veces más, iii) (1) (2)>(1) 5 2 veces más, iv)
, y v) (2) (1)>(2) 5 1, es decir, igual.18.2 Respuesta: vi) El valor de r0 determina la separación en equili-brio de las moléculas de la fase sólida, así que un aumento de r0 al do-ble implica duplicar la separación. Por lo tanto, un cubo sólido de estecompuesto aumentaría de 1 cm de lado a 2 cm. El volumen sería en-tonces 23 5 8 veces mayor y la densidad (masa dividida entre volu-men) sería de la original.
18.3 Respuestas: a) iv), ii), iii) y i); b) iii) y iv) (empate), i) y ii) (empate) a) La ecuación (18.19) nos dice que de
manera que la rapidez eficaz es proporcional a la raíz cuadrada de la
razón de temperatura absoluta T a la masa molar M. En comparación
con i), el oxígeno a 300 K, vrms en los otros casos es
ii) 1.07 veces más rápido,
iii) veces más rápido y
iv) veces más"1330 K 2 132.0 g/mol 2 / 1 300 K 2 128.0 g/mol 2 5 1.12
"1330 K 2 / 1 300 K 2 5 1.05
"132.0 g/mol 2 / 128.0 g/mol 2 5
vrms 5 "3RT/M ,
18
11 2 11 2 / 12 2 5 12
"1373 K 2 / 1298 K 2 5 1.12;
rápido. b) De acuerdo con la ecuación (18.16), la energía cinética de
traslación media por molécula es que es directa-
mente proporcional a T e independiente de M. Tenemos T 5 300 K
para los casos i) y ii) y T 5 330 K para los casos iii) y iv), de manera
que tiene valores iguales para los casos iii) y iv) y valores
iguales (pero más pequeños) para los casos i) y ii).18.4 Respuestas: no, cerca del principio La adición de una cantidadpequeña de calor dQ al gas produce un cambio de temperatura dT,donde dQ 5 nCV dT [ecuación (18.24)]. La figura 18.19 muestra queCV para el H2 varía con la temperatura entre 25 K y 500 K, así que unacantidad dada de calor produce diferentes cambios de temperatura du-rante el proceso. Por lo tanto, la temperatura no aumentará a ritmoconstante. El cambio de temperatura dT 5 dQ>nCV es inversamenteproporcional a CV, así que la temperatura aumenta más rápidamente alprincipio del proceso cuando la temperatura es más baja y CV es máspequeño (véase la figura 18.19).18.5 Respuesta: ii) La figura 18.23b muestra que la fracción de mo-léculas con rapideces entre v1 y v2 es igual al área bajo la curva de f(v)contra v desde v 5 v1 a v 5 v2. Esto es igual a la integral que a la vez es igual a la diferencia entre las integrales (lafracción de moléculas con rapideces de 0 a v2 y (la frac-ción de moléculas con rapideces de 0 a la menor rapidez v1). El núme-ro de moléculas con rapideces de v1 a v2 es igual a la fracción demoléculas en este intervalo de rapidez multiplicado por N, el númerototal de moléculas.18.6 Respuestas: no, sí La presión de punto triple del agua (tabla18.3) es 6.10 3 102 Pa. La presión atmosférica actual en Marte es un poco menor y corresponde a la línea rotulada ps en la figura 18.24.Por lo tanto, no puede existir agua líquida en la superficie de Marte, así que no hay lagos ni ríos. Los estudiosos de los planetas han llegadoa la conclusión de que en el pasado, cuando la atmósfera era más densa, pudo haber existido, y casi seguramente existió, agua líquida en Marte.
∫v10 f 1v 2 dv
∫v20 f 1v 2 dv∫v2
v1 f 1v 2 dv,
12 m 1v2 2med
12 m 1v2 2med 5 3
2 kT,
636 C APÍTU LO 18 Propiedades térmicas de la materia
665
CAPÍTULO 19 RESUMEN
Calor y trabajo en los procesos termodinámicos:Un sistema termodinámico puede intercambiar energía con su entorno por transferencia de calor o mediante trabajo mecánico. Cuando un sistema a presión p cambia su volumen de V1 a V2, efectúa una cantidad de traba]o Wdada por la integral de p con respecto al volumen. Si la presión es constante, el trabajo efectuado es igual a pmultiplicado por el cambio de volumen. Un valor negativode W implica que se efectúa trabajo sobre el sistema. (Véase el ejemplo 19.1.)
En cualquier proceso termodinámico, el calor agregado al sistema y el trabajo efectuado por el sistema no sólo dependen de los estados inicial y final, sino también dependen de la trayectoria (la serie de estados intermedios por los que pasa el sistema).
(19.2)
(19.3)(sólo presión constante) W 5 p 1V2 2 V1 2
W 5 3V2
V1
p dV
La primera ley de la termodinámica: La primera ley de la termodinámica establece que, cuando se agrega calor Qa un sistema mientras éste efectúa un trabajo W, la energíainterna U cambia en una cantidad igual a Q 2 W. Esta leytambién puede plantearse para un proceso infinitesimal.(Véanse los ejemplos 19.2, 19.3 y 19.5.)
La energía interna de cualquier sistema termodinámicodepende exclusivamente de su estado. El cambio de energíainterna durante cualquier proceso depende únicamente delos estados inicial y final, no de la trayectoria seguida. La energía interna de un sistema aislado es constante. (Véase el ejemplo 19.4.)
(19.4)
(19.6)(proceso infinitesimal) dU 5 dQ 2 dW
DU 5 Q 2 W
Tipos de procesos termodinámicos importantes:
• Proceso adiabático: no entra calor al sistema ni sale de él, Q 5 0.• Proceso isocórico: volumen constante, W 5 0.• Proceso isobárico: presión constante, W 5 p(V2 2 V1).• Proceso isotérmico: temperatura constante.
Trabajo 5 Área
1
2
p1
p2
V1 V2
VO
p
5#V1 p dV . 0
V2
Aumenta el volumen(V2 . V1):
el trabajo y el áreason positivos
Q 5 150 J W 5 100 J
�U 5 Q 2 W 5 1 50 J
Entorno(ambiente)
Sistema
O
p
3
2 1 4
a
Isocórico
T2 , Ta
Adiabático
T1 , Ta
pa
Va
Isobárico
T3 . Ta
Isotérmico
T4 5 Ta
V
Termodinámica de los gases ideales: La energía internadel gas ideal depende únicamente de su temperatura, no desu presión ni de su volumen. En el caso de otras sustancias,la energía interna generalmente depende tanto de la presióncomo de la temperatura.
Las capacidades caloríficas molares CV y Cp del gasideal difieren por R, la constante del gas ideal. El cocienteadimensional de capacidades caloríficas, Cp>CV, se denotacon g. (Véase el ejemplo 19.6.)
(19.17)
(19.18) g 5Cp
CV
Cp 5 CV 1 R
p1
p
V1O V
Q 5 DUQ 5 DU 1 W
T1, U1
T2 , U2
V2
p2
W
Procesos adiabáticos en gases ideales: En un procesoadiabático de un gas con comportamiento ideal, las cantida-des TV g 21 y pV g son constantes. El trabajo efectuado por el gas ideal durante una expansión adiabática puede expresarse en términos de los valores inicial y final de latemperatura, o en términos de los valores inicial y final dela presión y el volumen. (Véanse los ejemplos 19.7 y 19.8.)
(19.25)
(19.26) 51
g 2 1 1p1 V1 2 p2 V2 2
5CV
R 1p1 V1 2 p2 V2 2
W 5 nCV 1T1 2 T2 2 p
b
apa
VaO V
pb
Vb
T T 1 dT
W
Proceso adiabático a S b:Q 5 0, �U 5 2W
CAPÍTULO 20 RESUMEN
700
Procesos reversibles e irreversibles: Un proceso reversible es uno cuya dirección puede revertirse conun cambio infinitesimal en las condiciones del proceso, y en el cual el sistema siempre está en equilibriotérmico o muy cerca de él. Todos los demás procesos termodinámicos son irreversibles.
Máquinas térmicas: Una máquina térmica toma calor QH de una fuente, convierte parte de él en trabajo W y desecha o expulsa el resto a una temperatura menor.La eficiencia térmica e de una máquina térmica mide quétanto del calor absorbido se convierte en trabajo. (Véase el ejemplo 20.1.)
0QC 0(20.4)e 5
W
QH5 1 1
QC
QH5 1 2 P QC
QHP
Ciclo Otto: Un motor de gasolina que opera según el ciclo Otto tiene una eficiencia térmica máxima teóri-ca e que depende de la razón de compresión r y de la razón de capacidades caloríficas g de la sustancia de trabajo.
(20.6)e 5 1 21
rg21
Refrigeradores: Un refrigerador toma calor QC de un lugar más frío, tiene un aporte de trabajo y desecha o expulsa calor a un lugar más caliente. La eficiencia del refrigerador está dada por su coeficientede rendimiento K.
0QH 00W 0 , (20.9)K 5
0QC 00W 0 50QC 00QH 0 2 0QC 0
p
VO
QH
c
bd
�QC�
V rV
W
a
Ciclo Otto
Segunda ley de la termodinámica: La segunda ley de la termodinámica describe la direccionalidad de los procesos termodinámicos naturales y puede plantearse de varias formas equivalentes. El planteamiento de máquina es que ningún proceso cíclico puede convertir calor totalmente en trabajo; el planteamiento de refrigerador es que ningún proceso cíclico puede transferir calor de un lugar más frío a uno más caliente sin aporte de trabajo mecánico.
Ciclo de Carnot: El ciclo de Carnot opera entre dos fuentes de calor a temperaturas TH y TC y usa sólo procesos reversibles. Su eficiencia térmica depende única-mente de TH y TC. Otro planteamiento equivalente de la segunda ley es que ninguna máquina que opere entre dos temperaturas dadas puede ser más eficiente que unamáquina de Carnot que opera entre las mismas temperaturas. (Véanse los ejemplos 20.2 y 20.3.)
Una máquina de Carnot operada al revés es un refrigerador de Carnot; su coeficiente de rendimiento depende únicamente de TH y TC. Otra forma de la segundaley dice que ningún refrigerador que opere entre dos temperaturas dadas puede tener un mayor coeficiente de rendimiento que un refrigerador de Carnot que opera entre las mismas temperaturas. (Véase el ejemplo 20.4.)
QC Interior del refrigerador a, TC
Aire exterior a, TH
Refrigerador�QH�
�W�
Máquina 100% eficienteQH 2 �QC�TH
WImposible
TC
V
p
d
b
c
O
TH
TC
a
QH
Ciclo de Carnot
W
�QC�
Agua,40 8C
40 8CIrreversible:Metal,70 8C
Reversible:Metal,
0 8C
Hielo a0 8C
Agua,0 8C
0 8CHielo a0 8C
Fuente fría a, TC
W 5 QH 1 QC
5 �QH� 2 �QC��QC�
Fuente caliente a, THMáquina
W
QH
(20.14)
(20.15)KCarnot 5TC
TH 2 TC
eCarnot 5 1 2TC
TH5
TH 2 TC
TH
Entropía: La entropía es una medida cuantitativa del desorden de un sistema. El cambio de entropía en cualquierproceso reversible depende de la cantidad de flujo de calory de la temperatura absoluta T. La entropía sólo dependedel estado del sistema, y el cambio de entropía entre un estado inicial y uno final dados es el mismo para todos losprocesos que llevan de uno al otro. Esto puede servir paracalcular el cambio de entropía en un proceso irreversible.(Véanse los ejemplos 20.5 a 20.10.)
Un planteamiento importante de la segunda ley de latermodinámica es que la entropía de un sistema aisladopuede aumentar pero nunca disminuir. Si un sistema interactúa con su entorno, el cambio total de entropía del sistema y el entorno nunca puede ser negativo. Si la interacción implica sólo procesos reversibles, la entropíatotal es constante y DS 5 0; si hay procesos irreversibles, la entropía total aumenta y DS . 0.
Resumen 701
(20.19)
(proceso reversible)
DS 5 32
1
dQ
T
Entropía y estados microscópicos: Cuando un sistema está en cierto estado macroscópico, las partículas que locomponen pueden estar en cualquiera de w posibles estadosmicroscópicos. Cuanto mayor es w, mayor es la entropía.(Véase el ejemplo 20.11.)
(20.22)S 5 k ln w
Número demicroestados = w
Nmoléculas
de gas
V
V
Número de micro-estados = 2Nw
2V
Términos claveprocesos irreversibles, 673proceso reversible, 674proceso en equilibrio, 674máquina térmica, 675sustancia de trabajo, 675proceso cíclico, 675eficiencia térmica, 676
razón de compresión, 678ciclo Otto, 678ciclo Diesel, 680refrigerador, 680coeficiente de rendimiento, 680calificación de eficiencia de energía, 682bomba de calor, 682
segunda ley de la termodinámica, 682ciclo de Carnot, 684escala de temperatura Kelvin, 690cero absoluto, 690entropía, 691estado macroscópico, 697estado microscópico, 697
Respuesta a la pregunta de inicio de capítulo ?Sí. Eso es lo que logra un refrigerador: hace que fluya calor del interiorfrío al exterior cálido. La segunda ley de la termodinámica dice que nopuede haber un flujo espontáneo de calor de un cuerpo frío a uno ca-liente. El refrigerador cuenta con un motor que efectúa trabajo sobre elsistema para forzar al calor a que fluya en ese sentido.
Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión20.1 Respuesta: ii) Al igual que deslizar un libro por una mesa, fro-tarse las manos utiliza fricción para convertir energía mecánica en ca-lor. En el proceso opuesto (que es imposible), las manos se enfriaríanespontáneamente y la energía así liberada haría que las manos se mo-vieran rítmicamente.20.2 Respuestas: iii), i), ii) A partir de la ecuación (20.4), la eficiencia es e 5 W>QH, y de la ecuación (20.2),
Para la máquina i), QH 5 5000 J yQC 5 24500 J, de manera que W 5 5000 J 1 (24500 J) 5 500 J y e 5 (500 J)>(5000 H) 5 0.100. Para la máquina ii), QH 5 25,000 J yW 5 2000 J, por lo que e 5 (2000 J)>(25,000 J) 5 0.080. Para la
W 5 QH 1 QC 5 0QH 0 2 0QC 0 .
máquina iii), W 5 400 J y QC 5 22800 J, de manera que QH 5 W 2QC 5 400 J 2(22800 J) 5 3200 J y e 5 (400 J)>(3200 J) 5 0.125.20.3 Respuestas: i), ii) Duplicar la cantidad de combustible quemadopor ciclo significa que QH se duplica, de manera que el aumento resul-tante en la presión de b a c en la figura 20.6 es mayor. La razón decompresión y, por lo tanto, la eficiencia permanecen igual, así que
(la cantidad de calor expulsado hacia el ambiente) debe incre-mentarse en el mismo factor que QH. Por consiguiente, la caída de pre-sión de d a a en la figura 20.6 también es mayor. El volumen V y larazón de compresión r no cambian, de manera que las dimensiones ho-rizontales del diagrama pV no se alteran.20.4 Respuesta: no Un refrigerador utiliza un suministro de trabajopara transferir calor de un sistema (el interior del refrigerador) a otro(su exterior, que incluye la casa donde el refrigerador está instalado).Si la puerta está abierta, estos dos sistemas son en realidad el mismosistema, y tarde o temprano estarán a la misma temperatura. Por laprimera ley de la termodinámica, todo el suministro de trabajo al mo-tor del refrigerador se convertirá en calor y la temperatura de la casaaumentará. Para enfriar la casa se requiere un sistema que transfieracalor de ella al mundo exterior, como un acondicionador de aire o unabomba de calor.
0QC 0
A-1
APÉNDICE A
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
El Système International d’Unités, SI, es el sistema desarrollado por la Conferencia General de Pesos y Medidas y adop-tado por casi todas las naciones industriales del mundo. El siguiente material es una adaptación de B. N. Taylor, ed.,National Institute of Standards and Technology Spec. Pub. 911 (U.S. Govt. Printing Office, Wahsington, DC, 1995). Véasetambién http://physics.nist.gov/cuu
Cantidad Nombre de la unidad Símbolo
Unidades básicas del SI
longitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo scorriente eléctrica ampere Atemperatura termodinámica kelvin Kcantidad de sustancia mol molintensidad luminosa candela cd
UnidadesUnidades derivadas del SI equivalentes
área metro cuadradovolumen metro cúbicofrecuencia hertz Hzdensidad de masa (densidad) kilogramo por metro cúbicorapidez, velocidad metro por segundovelocidad angular radián por segundoaceleración metro por segundo cuadradoaceleración angular radián por segundo cuadradofuerza newton Npresión (esfuerzo mecánico) pascal Paviscosidad cinemática metro cuadrado por segundoviscosidad dinámica newton-segundo por metro cuadradotrabajo, energía, cantidad de calor joule Jpotencia watt W J/scantidad de electricidad coulomb Cdiferencia de potencial, fuerza electromotriz volt V J/C, W/Aintensidad de campo eléctrico volt por metro V/m N/Cresistencia eléctrica ohm V/Acapacitancia farad Fflujo magnético weber Wbinductancia henry Hdensidad de flujo magnético tesla Tintensidad de campo magnético ampere por metro A/mfuerza magnetomotriz ampere Aflujo luminoso lumen lmluminancia candela por metro cuadradoiluminancia lux lxnúmero de onda 1 por metroentropía joule por kelvin J/Kcapacidad de calor específico joule por kilogramo kelvinconductividad térmica watt por metro kelvin W/m # K
J/kg # K
m21lm/m2
cd/m2cd # sr
Wb/m2V # s/AV # sA # s/V
V
A # s
N # mN # s/m2m2/s
N/m2kg # m/s2
rad/s2m/s2rad/sm/skg/m3
s21m3m2
A-2
Unidades Cantidad Nombre de la unidad Símbolo equivalentes
intensidad radiante watt por esterradián W/sractividad (de una fuente radiactiva) becquerel Bqdosis de radiación gray Gy J/kgdosis de radiación equivalente sievert Sv J/kg
Unidades complementarias del SI
ángulo plano radián radángulo sólido esterradián sr
s21
Definiciones de las unidades del SI
metro (m) El metro es la longitud igual a la distanciarecorrida por la luz, en el vacío, en un tiempo de1/299,792,458 segundos.
kilogramo (kg) El kilogramo es la unidad de masa; esigual a la masa del prototipo internacional del kilogramo(que es un cilindro particular de una aleación de platino-iridio que la Oficina Internacional de Pesas y Medidasconserva en una bóveda de seguridad en Sèvres, Francia).
segundo (s) El segundo es la duración de 9,192,631,770periodos de la radiación correspondiente a la transiciónentre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental delátomo de cesio 133.
ampere (A) El ampere es la corriente constante que, sise mantiene en dos conductores rectos y paralelos de lon-gitud infinita, de sección transversal circular despreciabley separados por una distancia de 1 metro en el vacío, pro-duciría entre ellos una fuerza igual a 2 3 1027 newtons por metro de longitud.
kelvin (K) El kelvin, unidad de temperatura termodiná-mica, es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodi-námica del punto triple del agua.
ohm (V) El ohm es la resistencia eléctrica entre dospuntos de un conductor cuando una diferencia constantede potencial de 1 volt aplicada entre ellos, produce en elconductor una corriente de 1 ampere, sin que el conductorsea fuente de ninguna fuerza electromotriz.
coulomb (C) El coulomb es la cantidad de electricidadtransportada en 1 segundo por una corriente de 1 ampere.
candela (cd) La candela es la intensidad luminosa, enuna dirección dada, de una fuente que emite radiaciónmonocromática de frecuencia 540 3 1012 herzts y quetiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683watts por esterradián.
mole (mol) El mole es la cantidad de sustancia de un sis-tema que contiene tantas entidades elementales como áto-mos de carbono hay en 0.012 kg de carbono 12. Lasentidades elementales deben estar especificadas y puedenser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas,o grupos especificados de esas partículas.
newton (N) El newton es la fuerza que da a una masa de1 kilogramo una aceleración de 1 metro por segundo porsegundo.
joule (J) El joule es el trabajo realizado cuando el puntode aplicación de una fuerza constante de 1 newton sedesplaza una distancia de 1 metro en la dirección de esafuerza.
watt (W) El watt es la potencia que da lugar a la gene-ración de energía a razón de 1 joule por segundo.
volt (V) El volt es la diferencia de potencial eléctricoentre dos puntos de un alambre conductor que transportauna corriente constante de 1 ampere, cuando la potenciadisipada entre tales puntos es igual a 1 watt.
weber (Wb) El weber es el flujo magnético que, al cerrarun circuito de una vuelta, produce en éste una fuerza elec-tromotriz de 1 volt conforme se reduce a cero a una tasauniforme de 1 segundo.
lumen (lm) El lumen es el flujo luminoso emitido en unángulo sólido de 1 esterradián por una fuente puntual uni-forme que tiene una intensidad de 1 candela.
farad (F) El farad es la capacitancia de un capacitorentre cuyas placas hay una diferencia de potencial de 1volt cuando tiene una carga de electricidad igual a 1 coulomb.
henry (H) El henry es la inductancia de un circuito cerra-do en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 voltcuando la corriente eléctrica en el circuito varía de manerauniforme a razón de 1 ampere por segundo.
radian (rad) El radián es el ángulo plano entre dosradios de un círculo que recorre en la circunferencia unarco igual a la longitud del radio.
esterradián (sr) El esterradián es el ángulo sólido que,cuando tiene su vértice en el centro de una esfera, recorreun área de la superficie de la esfera igual a la de uncuadrado cuyos lados tengan una longitud igual al radio de la esfera.
prefijos del SI Los nombres de los múltiplos y submúlti-plos de unidades del SI se forman con la aplicación de losprefijos listados en el Apéndice F.
A-3
APÉNDICE B
RELACIONES MATEMÁTICAS ÚTILES
Álgebra
Logaritmos: Si log entonces
Si ln entonces
Fórmula cuadrática: If
Teorema del binomio
TrigonometríaEn el triángulo rectángulo ABC,
Definiciones de las funciones trigonométricas:
Identidades:
GeometríaCircunferencia de un círculo de radio r:Área de un círculo de radio r:Volumen de una esfera de radio r:Área de la superficie de una esfera de radio r:Volumen de un cilindro de radio r y altura h: V 5 pr 2h
A 5 4pr 2V 5 4pr 3/3A 5 pr 2C 5 2pr
cos a 1 cos b 5 2 cos 12 1a 1 b 2 cos
12 1a 2 b 2cos 1a 6 p/2 2 5 7sen a
sen a 1 sen b 5 2 sen 12 1a 1 b 2 cos
12 1a 2 b 2sen 1a 6 p/2 2 5 6cos a
cos 1 a 6 b 2 5 cos a cos b 7 sen a sen bcos 12a 2 5 cos a
sen 1a 6 b 2 5 sen a cos b 6 cos a sen bsen 12a 2 5 2sen a
cos 12 a 5 Å
1 1 cos a
2sen
12 a 5 Å
1 2 cos a
2
5 1 2 2 sen2 a
cos 2a 5 cos2 a 2 sen2
a 5 2 cos2 a 2 1sen 2a 5 2 sen a cos a
tan a 5sen a
cos asen2
a 1 cos2 a 5 1
tan a 5 y/xcos a 5 x/rsen a 5 y/r
x2 1 y2 5 r 2.
1a 1 b 2 n 5 an 1 nan21 b 1n 1 n 2 1 2an22b2
2!1
n 1n 2 1 2 1n 2 2 2an23b3
3!1 c
x 52b 6 "b2 2 4ac
2a.ax2 1 bx 1 c 5 0,
ln 1an 2 5 n ln aln a 2 ln b 5 ln 1 a/b 2ln a 1 ln b 5 ln 1 ab 2a 5 ex.a 5 x,
log 1an 2 5 n log alog a 2 log b 5 log 1 a/b 2log a 1 log b 5 log 1 ab 2a 5 10x.a 5 x,
a 1x2y2 5ax
aya 1x1y2 5 axaya2x 51
a x
Cálculo
Derivadas:
Series de potencias (convergentes para el intervalo de x que se indica):
Integrales:
ln 11 1 x 2 5 x 2x2
21
x3
32
x4
41 c 1 0 x 0 , 1 23 eax
dx 51a
eax
ex 5 1 1 x 1x2
2!1
x3
3!1 c 1para toda x 23 cos ax dx 5
1a
tan x 5 x 1x3
31
2x2
151
17x7
3151 c 1 0 x 0 , p/2 23 sen ax dx 5 2
1a
cos ax
cos x 5 1 2x2
2!1
x4
4!2
x6
6!1 c 1para toda x 23
dxx
5 lnx
sen x 5 x 2x3
3!1
x5
5!2
x7
7!1 c 1 para toda x 23xn
dx 5x n11
n 1 1 1n 2 21 2
1 1 1 x 2 n 5 1 1 nx 1n 1n 2 1 2 x2
2!1
n 1n 2 1 2 1n 2 2 23!
x3 1 c 1 0 x 0 , 1 2
3 x dx
1 x2 1 a2 2 3/2 5 21
"x2 1 a2
d
dx ln ax 5
1x
3 dx
1 x2 1 a2 2 3/2 51
a2
x
"x2 1 a2
d
dx eax 5 aeax
3 dx
x2 1 a2 51a
arctan
xa
d
dx cos ax 5 2a sen ax
3 dx
"x2 1 a25 ln 1 x 1 "x2 1 a2 2d
dx sen ax 5 a cos ax
3 dx
"a2 2 x25 arcsen
x
a
d
dx xn 5 nxn21
APÉNDICE C
EL ALFABETO GRIEGO
Nombre Mayúscula Minúscula Nombre Mayúscula Minúscula
Alfa NyBeta XiGamma ÓmicronDelta PiÉpsilon RhoDzeta SigmaEta TauTheta YpsilonIota FiKappa JiLambda PsiMy Omega vVmM
cClL
xXkK
fFiI
yYuU
tThH
sSzZ
rRPE
pPdD
oOgG
jJbB
nNaA
A-4
Longitud
Área
Volumen
Tiempo
Ángulo
Rapidez
1 furlong/14 días 5 1.662 3 1024 m/s1 mi/h 5 1.466 ft/s 5 0.4470 m/s 5 1.609 km/h1 km/h 5 0.2778 m/s 5 0.6214 mi/h1 mi/min 5 60 mi/h 5 88 ft/s1 ft/s 5 0.3048 m/s1 m/s 5 3.281 ft/s
1 rev/min (rpm) 5 0.1047 rad/s1 revolución 5 360° 5 2p rad1° 5 0.01745 rad 5 p/180 rad1 rad 5 57.30° 5 180°/p
1 año 5 365.24 d 5 3.156 3 107 s1 día 5 86,400 s1 h 5 3600 s1 min 5 60 s
1 galón 5 3.788 litros1 ft3 5 0.02832 m3 5 28.32 litros 5 7.477 galones1 litro 5 1000 cm3 5 1023 m3 5 0.03531 ft3 5 61.02 in3
1 ft 5 144 in2 5 0.0929 m21 in2 5 6.452 cm21 m2 5 104 cm2 5 10.76 ft21 cm2 5 0.155 in2
1 año luz 5 9.461 3 1015 m1 milla náutica 5 6080 ft1 Å 5 10210 m 5 1028 cm 5 1021 nm1 mi 5 5280 ft 5 1.609 km1 yd 5 91.44 cm1 ft 5 30.48 cm1 in. 5 2.540 cm1 cm 5 0.3937 in1 m 5 3.281 ft 5 39.37 in1 km 5 1000 m 5 0.6214 mi1 m 5 100 cm 5 1000 mm 5 106 mm 5 109 nm
Aceleración
Masa
Fuerza
Presión
Energía
Equivalencia masa-energía
Potencia
1 Btu/h 5 0.293 W1 hp 5 746 W 5 550 ft # lb/s1 W 5 1 J/s
1 eV 4 1.074 3 1029 u1 u 4 931.5 MeV1 kg 4 8.988 3 1016 J
1 kWh 5 3.600 3 106 J1 eV 5 1.602 3 10219 J1 Btu 5 1055 J 5 252 cal 5 778 ft # lb1 ft # lb 5 1.356 J1 cal 5 4.186 J (basada en caloría de 15°)1 J 5 107ergs 5 0.239 cal
1 mm Hg 5 1 torr 5 133.3 Pa 5 14.7 lb/in2 5 2117 lb/ft2
1 atm 5 1.013 3 105 Pa 5 1.013 bar1 lb/ft2 5 47.88 Pa1 lb/in2 5 6895 Pa1 bar 5 105 Pa1 Pa 5 1 N/m2 5 1.450 3 1024lb/in2 5 0.209 lb/ft2
1 lb 5 4.448 N 5 4.448 3 105 dinas1 N 5 105 dinas 5 0.2248 lb
1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g 5 9.80 m/s21 u 5 1.661 3 10227 kg1 slug 5 14.59 kg1 g 5 6.85 3 1025 slug1 kg 5 103 g 5 0.0685 slug
1 mi/h # s 5 1.467 ft/s21 ft/s2 5 0.3048 m/s2 5 30.48 cm/s21 cm/s2 5 0.01 m/s2 5 0.03281 ft/s21 m/s2 5 100 cm/s2 5 3.281 ft/s2
A-6
APÉNDICE E
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
APÉNDICE F
A-7
CONSTANTES NUMÉRICAS
Constantes físicas fundamentales*
Nombre Símbolo Valor
Rapidez de la luz cMagnitud de la carga eléctrica de un electrón eConstante gravitacional GConstante de Planck hConstante de Boltzmann kNúmero de AvogadroContante de los gases RMasa del electrónMasa del protónMasa del neutrónPermeabilidad del espacio librePermitividad del espacio libre
Otras constantes útiles*
Equivalente mecánico del calorPresión atmosférica estándar 1 atmCero absoluto 0 KElectrón volt 1 eVUnidad de masa atómica 1 uEnergía del electrón en reposo 0.510998918(44) MeVVolumen del gas ideal (0 °C y 1 atm) 22.413996(39) litro/molAceleración debida a la gravedad g(estándar)
*Fuente: National Institute of Standards and Technology (http://physics.nist.gov/cuu). Los números entre paréntesis indicanla incertidumbre en los dígitos finales del número principal; por ejemplo, el número 1.6454(21) significa 1.6454 6 0.0021. Los valores sin incertidumbre son exactos.
9.80665 m/s2
mec2
1.66053886(28) 3 10227 kg1.60217653(14) 3 10219 J2273.15°C1.01325 3 105 Pa4.186 J/cal (caloría 15°)
8.987551787 c 3 109 N # m2/C21/4pP0
8.854187817 c 3 10212 C2/N # m2P0 5 1/m0c2
4p 3 1027 Wb/A # mm0
1.67492728(29) 3 10227 kgmn
1.67262171(29) 3 10227 kgmp
9.1093826(16) 3 10231 kgme
8.314472(15) J/mol # K6.0221415(10) 3 1023 moléculas/molNA
1.3806505(24) 3 10223 J/K6.6260693(11) 3 10234 J # s6.6742(10) 3 10211 N # m2/kg21.60217653(14) 3 10219 C2.99792458 3 108 m/s
A-8
Datos astronómicos†
Cuerpo Masa (kg) Radio (m) Radio de la órbita (m) Periodo de la órbita
Sol — —Luna 27.3 dMercurio 88.0 dVenus 224.7 dTierra 365.3 dMarte 687.0 dJúpiter 11.86 ySaturno 29.45 yUrano 84.02 yNeptuno 164.8 yPlutón‡ 247.9 y†Fuente: NASA Jet Propulsion Laboratory Solar System Dynamics Group (http://ssd.jpl.nasa.gov) y P. Kenneth Seidelmann, ed.,Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (University Science Books, Mill Valley, CA, 1992), pp. 704-706. Paracada cuerpo, el “radio es el radio en su ecuador, y el “radio de la órbita” es su distancia promedio desde el Sol (para los planetas) o desde la Tierra (para la Luna).‡En agosto de 2006, la Unión Astronómica Internacional reclasificó a Plutón y otros objetos pequeños que giran en órbita alrededordel Sol como “planetas enanos”.
Prefijos para potencias de 10
Potencia de 10 Prefijo Abreviatura
yocto- yzepto- zatto- afemto- fpico- pnano- nmicro-mili- mcenti- ckilo- kmega- Mgiga- Gtera- Tpeta- Pexa- Ezetta- Zyotta- Y
Ejemplos:
1 gigahertz 5 1 GHz 5 109 Hz1 microkelvin 5 1 mK 5 1026 K
1 megawatt 5 1 MW 5 106 W1 nanocoulomb 5 1 nC 5 1029 C
1 kilopascal 5 1 kPa 5 103 Pa1 picosegundo 5 1 ps 5 10212 s
1 millivolt 5 1 mV 5 1023 V1 femtómetro 5 1 fm 5 10215 m
1024102110181015101210910610310221023
m102610291021210215102181022110224
5.91 3 10121.15 3 1061.31 3 10224.50 3 10122.48 3 1071.02 3 10262.87 3 10122.56 3 1078.68 3 10251.43 3 10126.03 3 1075.68 3 10267.78 3 10116.91 3 1071.90 3 10272.28 3 10113.40 3 1066.42 3 10231.50 3 10116.38 3 1065.97 3 10241.08 3 10116.05 3 1064.87 3 10245.79 3 10102.44 3 1063.30 3 10233.84 3 1081.74 3 1067.35 3 1022
6.96 3 1081.99 3 1030
![Física Universitaria [Volumen I] - (Sears & Zemansky)](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5580cd6ad8b42a8e558b5170/fisica-universitaria-volumen-i-sears-zemansky.jpg)
![Física Universitaria Vol 1 (Sears - Zemansky) - 11º Edición [Solucionario]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/563dbbb9550346aa9aafb7a8/fisica-universitaria-vol-1-sears-zemansky-11o-edicion-solucionario.jpg)
