8.5 SEBARAN BETA

Nama sebaran ini dihubungkan dengan fungsi gamma, yang didefenisikan untuk

parameter α >0 dan β>0. Sedangkan fungsi beta itu sendiri didefenisikan sebagai berikut;

B(α, β) = dx

Atau dapat ditulis dengan fungsi gamma :

B(α, β) =

D.8.9 Defenisi : Suatu sebaran dinyatakan sebaran beta jika untuk parameter α >0

dan β>0 fungsi padatnya :

F(x) =

Dari defenisi di atas dapat diturunkan suatu teorema yaitu:

T.8.13 Teorema : Rataan dan varians sebaran beta adalah :

dan

Bukti:

=

=

=

=

E (X ) =

=

=

=

=

= -

= -

=

=

Bentuk kurva tergantung dari α dan β. Jika :

1. α<1 dan β≥1 kurva berbentuk J terbalik

2. β<1 dan α≥1 kurva berbentuk J

3. α, β<1, kurva berbentk U

4. α dan β >1 maka kurva berbentuk lonceng dengan satu modus x=(α-1)/( α+β-2)

5. α = β maka kurva simetrik

8.6 SEBARAN STDENT T

Dari suatu sebran sample acak berukuran n≥30 nilai (varians populasi peubah

aaknya) dapat ditaksir dengan pendekaan nilai S (varians sample acak) dan sebaran

statistic secara pendekatan menyebar normal baku Z

Bila n<30 nilai S berubah cukup besar dari sample ke sample dan tidak menyebar

normal baku. Anggaplah suatu sample acak berasal dari peubah acak normal, dan

misalkanlah statistia t dinyatakan t = dan dengan Z = ,V= (n-1) S / maka

T =

D.8.10 Defenisi : Suatu sebaran yang komponennya Z peubah acak normal, dan V

peubah acak chi kwadrat berderajat bebas v, dimana Z dan V bebas,

sehingga peubah acaknya :

T =

Disebut sebaran student t.

Pada sebaran ini v tergantung pada n yaitu besar sample, dimana v = n – 1. Dari defenisi

ini dapat diturunkan suatu teorema yaitu :

T.8.14 Teorema : Sebaran t dengan peubah acak T = mempunyai fungsi

padat : h(t) = ,-∞ < t < ∞

Bukti :

Z menyebar normal baku sehingga f (z) =

V menyebar chi kwadrat sehingga f (V) =

Karena Z dan V bebas maka sebaran bersamanya adalah :

g(z,v) = f (z) . f (V)

=

= , -∞ < z < ∞, 0 < v < ∞

Dengan menggunakan transformasi dari g(z,v) ke h(t, u) dimana u = V dan t = ,

atau dapat ditulis z = t sehingga dapat diperoleh determinan Jacobinya yaitu :

J = = dan batas – batasnya menjadi , -∞ < t < ∞, 0 < u <

∞.

Maka diperoleh :

h(t, u) = , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞

= , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞

= , -∞ < t < ∞, 0 < u < ∞

Maka f(t) yang dimaksut adalah fungsi marginal dari h(t, u), sehingga dengan

mengintegralkan h(t, u) terhadap u akan diperoleh fungsi padat f(t),

f(t) = = = =

= du

= du

Misalkan : p = atau dapat ditulis u = 2p maka

du = 2 dp, selanjutnya jika u = 0 → p = .0 = 0dan jika

u = ∞ → p = .∞ = ∞, dengan demikian f(t) menjadi :

f (t) =

=

=

=

Dari defenisi fungsi γ maka diperoleh : , sehingga

f(t) = , -∞ < t < ∞, v>0

= , -∞ < t < ∞, v>0

= 0,untuk t selainnya

Kurva sebaran t, berbentuk lonceng, setangkup terhadap rata-ratanya t = 0,

seperti kurva sebaran normal. Kurva sebaran t berbeda-beda satu sama lain

karena nilai T dan variasinya tergantung pada besaran berubah-ubah x an S

yang ditentukan nilai n >1. Jika n → ∞ atau sama arti dengan v = ∞, maka

sebaran t menjadi sebaran normal.

Contoh :

Seorang laboratoran ahli fisika yakni bahwa rataan penggunaan benang

gantungan bandul pada percobaan supaya jangan terdapat kekeliruan sekitar

800 jam. Dia akan etap menggunakan benang – benang sejenis apabila hanya

5% dari benang yang digunakan tidak memenuhi syarat lagi. Pada suatu saat

ahli tersebut ragu karena makin sering terdapat kekeliruan dalam penarikan

keputusan, lalu ia memiih sample n = 50 benang, ternyata rataan lama benang

bias terpakai dengan baik adalah = 792 jam dan S = 55 jam. Apakah ahli

tersabut masih mempertahankan penggunaan benang sejenis?

Jawab :

Ahli akan bertahan menggunakan benang bila kekeliruan adalah 5 % ini berarti

bahwa apabila nilai t berada di antara t dan t dengan derajat bebas 49, yaitu

-2,01< t < 2,01.

Rataan sample = 792 jam sehingga nilai t = = -1,029 niai t berada di

antara -2,01< t < 2,01. Kesimpulannya ahli tersebut masih bertahan menggunakan

benang sejenis dalam percobaan bandul.

X = 800

T

t = -2,01 0 t = 2,01

t = -1,029

8.7 SEBARAN F

Sebaran kontinulain yang cukup penting dalam Statistik adalah sebaran F yang

diturunkan dari dua peubah acak yang masing-masing menyebar chi kwadrat. Kedua

peubah acak ini mempunyai dua buah nilai deajat bebas, sehingga sebaran baru F juga

akan dibicarakan dalam dua derajat bebas.Peubah acak F merupakan hasil perbandingan

antara dua hasil bagi peubah dengan derajat bebasnya sebagaimana didefenisikan sebagai

berikut:

D.8.11 Defenisi : Misalkan x dan y dua peubah acak bebas menyebar chi kwadrat

dengan derajat bebas v ,v berturut-turut, sebaran yang peubah acaknya :

F = disebut sebaran F.

Dari defenisi di atas dapat diturunkan suatu teorema seperti berikut :

T.8.15 Teorema : Sebaran F mempunyai fungsi padat h(f; v ,v ) =

a. ,f > 0

b. 0, untuk f lainnya

v ,v adalah derajat bebas.

Bukti :

0,025 0,025

X dan Y menyebar chi kwadrat ditunjukan dengan

f(x) =

g(y) =

Karena X dan Y adalah peubah acak bebas maka sebaran bersamanya adalah :

Φ(x,y) = .

= , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞

Jika Φ(x,y ditransformasikan ke fungsi baru yaitu h(f,w) diman w = y dan

f = (x/ v )/(y/ v ) atau x = (v / v )fw, maka determinan jacobinya adalah:

J = = w

Maka diperoleh hasil transformas sebagai berikut :

h(f,w) =

=

=

=

=

Sebaran F atau fungsi h(f) adalah sebaran marginal dari h(f,w), sehingga

h(f) = +

= + =

=

Selanjutnya substitusi z = dan dw = dz diperoleh :

h(t) =

=

=

=

Dari defenisi fungsi gamma = sehingga h(f) menjadi

h(t) = , 0 < f < ∞

= , 0 < f < ∞

= , 0 < f < ∞

= , 0 < f < ∞

= , 0 < f < ∞

= , 0 < f < ∞

Kurva sebaran F tidak simetrik dan tergantung pada derajat bebas v dan v .

Catatan : Ada penulis menunjukan f dengan derajat bebas v dan v dengan symbol

f (v ,v ) atau sedang dalam tulisan ini digunakan atau

T.8.16 Teorema :

Bukti :

Jika X dan Y sample acak yang menyebar chi kwadrat dengan derajat bebas v

dan v berturut maka menurut defenisi D.8.11 F’ = juga menyebar F

dengan derajat bebas v ,v .

Contoh :

T.8.17 Teorema : Jika dan berturut varians sample acak berukuran

dan , diambil dari dua poulasi normal dengan varians dan

,maka :

Menyebar F dengan derajat bebas -1 dan -1

Bukti : Menurut teorema T.8.10.b. berlaku

menyebar khi kwadrat dengan derajat bebas -1

menyebar khi kwadrat dengan derajat bebas -1

Sehingga menurut defenisi D.8.11.

, menyebar F dengan derajat bebas

-1 dan =1

Contoh :

Bila dan menyatakan varians sample acak ukuran =25 dan = 31,

diambil dari dua populasi normal masing-masing dengan varians = 10 dan

= 15 .Hitunglah P( / )>1,26.

Jawab :

EVALUASI

1. Dari dua sample acak normal didapat = 1 dengan = 16 dan = 0,5

dengan = 16. Periksalah apakah pengambilan sample tersebut representatif

apabila syarat untuk itu peluang dari ( / >f)<0,05.

Jawab:

Dari table sebaran F diperoleh yang berarti P(F>2,40) = 0,05 sedangkan

dari perhitungan F = 2 < 2,4 sehingga P(F > 2) > 0,05 yang bertentangan dengan syarat

yang ditentukan. Jadi sample yang diambil tidak reprensentatif.s