Upload
williamw39
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2013/1 Seção 11 1
Métodos Quantitativos
Prof. Gerson Lachtermacher Prof. Paulo Sérgio Coelho
Melhorado pelo Prof Roberto Pinho
2012/2 Seção 11 2
Modelos de Rede
Regra do Fluxo Balanceado
Modelos de Transporte Caso LCL Motocicletas S.A.
Modelos de Escala de Produção Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.
Caso LCL Fogões Ltda.
Modelos de Rede de Distribuição Caso Automóveis Brasil
Modelos de Menor Caminho
Modelos de Fluxo Máximo
Conteúdos do Capítulo Conteúdos do Capítulo
2012/2 Seção 11 3
Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas.
Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos.
Modelos em Rede Modelos em Rede
Nós
arcos
[-oferta] [+demanda]
Grafo
Fluxo
Capacidade
Rede: grafo cujos arcos e/ou nós estão associados à variável numérica fluxo e/ou capacidade.
2012/2 Seção 11 4
Problemas de rede no mundo real Problemas de rede no mundo real
Transporte
Escala de produção
Rede de distribuição
Menor Caminho
Fluxo máximo
Caminho crítico
2012/2 Seção 11 5
Num modelo de rede cada nó terá uma denominação ou numeração especifica.
As variáveis de decisão estarão ligadas aos arcos existentes entre os nós.
X12 – pode indicar o nº de veículos que passa na estrada que liga a cidade 1 à cidade 2.
X34 – pode indicar o nº de geladeiras que é entregue pela fábrica 3 no revendedor 4.
Modelos em Rede Modelos em Rede
2012/2 Seção 11 6
A função-objetivo do problema de rede de distribuição é dada por:
Onde
cij é o custo unitário de transporte de uma unidade do produto de i para j
xij é o número de produto transportados na rota de i para j
Modelos em Rede Modelos em Rede
ij ijMin Z c X
2012/2 Seção 11 7
Condições para operacionalizar as restrições Condições para operacionalizar as restrições
As fábricas não podem produzir mais do que suas capacidades instaladas
Os centros consumidores não desejam receber volumes acima de suas
demandas
Fábrica Centro Consumidor
Capacidade Recife Salvador Fortaleza
Cuiabá 25 18 30 2300
Santo André 32 24 25 2100
Florianópolis 23 16 23 2500
Demanda 2000 3000 1000 6000\6800
Caso I - Oferta maior que a Demanda
Caso II - Demanda maior que a Oferta
Fábrica Centro Consumidor
Capacidade Recife Salvador Fortaleza
Cuiabá 25 18 30 2000
Santo André 32 24 25 2000
Florianópolis 23 16 23 1500
Demanda 2800 3100 1000 6900\5500
2012/2 Seção 11 8
Modelagem matemática do problema de transporte Modelagem matemática do problema de transporte
Ações e interpretações para as variáveis dummy
Capacidade > Demanda Demanda > Capacidade
Ação: busca de novos centros consumidores
Ação: Criação de nova fábrica
Interpretação: capacidade ociosa das fábricas
Interpretação: demanda não atendida
2012/2 Seção 11 9
Modelagem matemática do problema de transporte Modelagem matemática do problema de transporte
ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑓𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑓𝑖 = 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
Oferta
Demanda
Fábrica Centro Consumidor
Capacidade D1 D2 D3
O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3
O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3
O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3
Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O
2012/2 Seção 11 10
Modelagem matemática do problema de transporte Modelagem matemática do problema de transporte
ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑓𝑖 = 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
Oferta Demanda 𝑥𝑖𝑗 =< 𝑓𝑖
𝑛
𝑗=1
Fábrica
Centro Consumidor
Capacidade D1 D2 D3 D4(Dummy)
O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 C14/ x14 Soma D1 a D4
O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 C24/ x24 Soma D1 a D4
O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 C34/ x34 Soma D1 a D4
Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O
Oferta >Demanda
2012/2 Seção 11 11
Modelagem matemática do problema de transporte Modelagem matemática do problema de transporte
ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑓𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑓𝑖 = 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑗=1
Oferta Demanda 𝑥𝑖𝑗 =< 𝑑𝑖
𝑛
𝑗=1
Fábrica Centro Consumidor
Capacidade D1 D2 D3
O1 C11/ x21 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3
O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3
O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3
O4(Dummy) C41/ x41 C42/ x42 C43/ x43 Soma D1 a D3
Demanda Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma D\Soma O
Demanda > Oferta
2012/2 Seção 11 12
Uma maneira de modelar as restrições de um problema de rede
é seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada nó.
Nesta regra para cada nó da rede devemos estabelecer a
diferença entre as variáveis que estão chegando (entradas) ao
nó menos as variáveis que estão deixando o nó (saídas).
xij – é uma entrada para o nó j e é uma saída do nó i
O sinal da restrição varia com ofertas e demandas totais
O lado direito das restrições serão as ofertas ou demandas de
cada nó
Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado
2012/2 Seção 11 13
Caso de Oferta Total = Demanda Total
Caso a Oferta Total > Demanda Total
Caso a Oferta Total < Demanda Total
Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado
total de entradas total de saídas Oferta/Demanda - =
no nó no nó do nó
total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -
no nó no nó do nó
total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -
no nó no nó do nó
Regra do fluxo balanceado(Ragsdale, 2001)
2012/2 Seção 11 14
Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.
A LCL Motocicletas S.A. possui 3 fábricas localizadas em Cuiabá, Santo
André e Florianópolis. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador
e Fortaleza. Considerando os custos de transporte unitários, as
capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros
consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine
quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro
consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.
Centro Consumidor
Fábrica Recife Salvador Fortaleza Capacidade
Cuiabá 25 18 30 2000
Santo André 32 24 25 2000
Florianópolis 23 16 23 1500
Demanda 2000 3000 1000
2012/2 Seção 11 15
Caso LCL Motocicletas S.A. Variáveis de Decisão Caso LCL Motocicletas S.A. Variáveis de Decisão
Existem 9 variáveis para expressar a quantidade
transportada em cada uma das possíveis vias.
xij= Quantidade transportada da fábrica i para o centro
consumidor j.
Centro Consumidor
Fábrica
Recife
(4)
Salvador
(5)
Fortaleza
(6)
Cuiabá (1) x14 x15 x16
Santo André (2) x24 x25 x26
Florianópolis (3) x34 x35 x36
-
-
-
Florianópolis 3
Santo André 2
Cuiabá 1
i
-
-
-
Fortaleza 6
Salvador 5
Recife 4
j
2012/2 Seção 11 16
Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Gráfico Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Gráfico
25 Cuiabá
1
Sto.André
2
Florianópolis
3
Recife
4
Salvador
5
Fortaleza
6
18
30
32
24
25
23
16
23
[-2000]
[-2000]
[-1500]
[+2000]
[+3000]
[+1000]
2012/2 Seção 11 17
Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo
2012/2 Seção 11 18
Como a demanda total é maior que a oferta total
devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:
total de entradas total de saídas Oferta/Demanda
- no nó no nó do nó
Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.
2012/2 Seção 11 19
Caso LCL Motocicletas S.A. Parâmetros Caso LCL Motocicletas S.A. Parâmetros
2012/2 Seção 11 20
Caso LCL Motocicletas S.A. Solução Caso LCL Motocicletas S.A. Solução
2012/2 Seção 11 21
O problema de rede não é aplicado apenas a problemas de
distribuição de mercadorias das fábricas para centros
distribuidores;
O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros tipos
de problema, tais como:
Problemas de Escalas de Produção;
Problemas de Lay-out de fábricas;
Problema de Rede Aplicações Problema de Rede Aplicações
2012/2 Seção 11 22
A GLP Fórmula Turismo Ltda. fornece motores para equipes de fórmula turismo. A
companhia detém contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano.
As entregas deverão ocorrer a cada quadrimestre. A tabela resume as entregas
programadas, a capacidade máxima de produção e o custo de produção por
quadrimestre incluindo o custo de armazenamento. Formule o problema para
achar o número de motores que devem ser fabricados em cada quadrimestre de
maneira a atender os pedidos contratados.
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.
Quadrimestre
Produção
Quadrimestre de Entrega milhões de Reais
1º (nó 4) 2º (nó 5) 3º (nó 6) Capacidade
1º (nó 1) 1,08 1,09 1,10 45
2º (nó 2) 1,08 1,09 35
3º (nó 3) 1,07 25
Demanda 30 40 30
2012/2 Seção 11 23
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Representação Gráfica do Modelo Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Representação Gráfica do Modelo
1,08
Prod. Q1
1
Prod. Q2
2
Prod. Q3
3
Ent.Q1
4
Ent.Q2
5
Ent.Q3
6
1,09
1,10
[-45]
[-35]
[-25]
[+30]
[+40]
[+30]
1,08
1,09
1,07
2012/2 Seção 11 24
Como a oferta total é maior que a demanda total
devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:
nó nó nóentradas - saidas oferta/demanda
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.
2012/2 Seção 11 25
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.
2012/2 Seção 11 26
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.
2012/2 Seção 11 27
Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Solução Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Solução
2012/2 Seção 11 28
A LCL Fogões Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua
produção para os próximos 3 meses. Sua fábrica pode produzir
mensalmente, em horário normal, 250 fogões a um custo de
R$35,00, e em horário extra, 50 unidades a um custo de
R$40,00. Considere que é possível armazenar durante um mês a
um custo unitário de R$5,00 sem restrições de espaço. Suponha
que as demandas para os próximos quatro meses são de 140,
200 e 130. Qual o escala de produção a ser seguida?
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 29
Para resolver este problema, criaremos uma rede onde:
Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 6 unidades produtoras (2 por mês)
São 3 unidades receptoras (3 meses)
Cada arco está relacionado ao custo de produção e/ou armazenagem.
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 30
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
[-250] 1
3
5
2
4
6
C
B [+200]
A 1
3
5
2 [-50]
4
6
9 [+130]
8
7 [ +140]
35
40
35
40
35
40
5
5
[-250]
[-50]
[-250]
[-50]
2012/2 Seção 11 31
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 32
Como a oferta total é maior que a demanda total devemos
utilizar a seguinte restrição em todos os nós:
nó nó nóentradas - saidas oferta/demanda
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 33
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 34
Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.
2012/2 Seção 11 35
A Automóveis Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma em
Salvador (1) e outra em Santo.André (2), e está estudando a
forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas
de Minas Gerais, nas cidades de Juiz de Fora (3), B.Horizonte (4),
Barbacena (5) e Tiradentes (6).
A seguir é apresentada a rede de revendas da Automóveis
Brasil, seus custos de transporte unitários, demandas das
revenda e as capacidades das fábricas.
Determine a forma como a entrega de veiculas deve ser
realizada pelas fabricas às revendas.
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
2012/2 Seção 11 36
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
1
2
3
4
5
6
[-800]
[-600]
[+200]
[+300]
[+350]
40
20
20 25
25
35
40
10
10
10
15
[+450]
2012/2 Seção 11 37
Variáveis de Decisão xij – Quantidade de carros remetidos de i para j
Exemplo: x14 – Quantidade de carros remetidos de 1 para 4
Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
13 14 15 23 24 25 36
45 46 56 65
20 10 40 10 20 40 25
35 25 15 10
Min x x x x x x x
x x x x
2012/2 Seção 11 38
Como a oferta total é maior que a demanda total devemos
utilizar a seguinte restrição em todos os nós:
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
nó nó nóentradas - saidas oferta/demanda
2012/2 Seção 11 39
Caso Automóveis Brasil Modelo Caso Automóveis Brasil Modelo
2012/2 Seção 11 40
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
2012/2 Seção 11 41
Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil
2012/2 Seção 11 42
Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a distância
entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a rota que une estes
pontos com distância mínima, teremos um problema do tipo do
Menor caminho.
Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a
distribuição de produtos, entre outros.
Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho
2012/2 Seção 11 43
Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho
2012/2 Seção 11 44
Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária
entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a
distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.
Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo
A B
4
3
2
1
40
30
30
30
20 20
20
2012/2 Seção 11 45
Este problema pode ser visto como um problema de rede de
distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e
ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos
da malha sem demanda ou oferta (=0)
Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo
[-1] [+1] A B
4
3
2
1
40
30
30
30
20 20
20
2012/2 Seção 11 46
Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo
2012/2 Seção 11 47
Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo
2012/2 Seção 11 48
Problemas de Menor Caminho Solução Problemas de Menor Caminho Solução
2012/2 Seção 11 49
Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos, e
desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa fluir de um
determinado nó para outro.
Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser utilizado
simultaneamente.
Existem restrições de capacidades de fluxo nos arcos
Aplicações
Rede de distribuição de água, luz, óleo, gás, energia e
tráfego na internet, fluxos de carros em uma malha
rodoviária.
Problema do Fluxo Máximo Problema do Fluxo Máximo
2012/2 Seção 11 50
Problema do Fluxo Máximo - Aplicações Problema do Fluxo Máximo - Aplicações
Gás
Água
Energia
Internet
2012/2 Seção 11 51
Como resolver o problema?
Adicionar um arco artificial/virtual ligando o ponto de saída
(A) ao ponto de chegada (B).
Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande).
Utilizar a regra de balanceamento de redes.
As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em
cada trecho da rede, portanto restrições no modelo.
O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero.
Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo
2012/2 Seção 11 52
Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo
A B
4
3
2
1
40
30
30
30
20 20
40
2012/2 Seção 11 53
Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo
2012/2 Seção 11 54
Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo
2012/2 Seção 11 55
Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo
2012/2 Seção 11 56
Livro Básico 1
Exercícios 5.1, 1 – 10, pp. 134 – 136
Exercícios 5.2, 1 – 10, pp. 152 – 153
Livro Básico 2
Problemas 5.1 – 5.31, pp. 263 - 269
Exercícios Propostos Exercícios Propostos
2013/1 Seção 11 57
Bibliografia
Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.