Estática

Prof. Jorge Formiga

jorge.formiga@etep.edu.br

Seção 3 – Momento de Força

1

Objetivo: O aluno deverá aplicar o

momento de força nos

problemas de equilíbrio do corpo

rígido.

2

Corpo Rígido Sistema de forças equivalentes

Forças externas e internas

Princípio da transmissibilidade

Momento de força em relação a um

ponto

0.875m

C

B

A

E

D

0.2m d C

riação: D

I -

CE

TE

C

3

F 1 2

P1

1 2 F F12 F21

N2 N1

P2

Forças externas e internas

(exemplo 1/3)

Forças externas

F N1 N2 mg1 mg2

Forças internas

Par ação e reação

F12 = - F21

4

N1 N2

F

mg Fx12

N1

mg

1

N2

F

Fx21

2

M12 M21

Fy12 Fy21

Forças externas e internas (exemplo 1/3)

Forças externas

F mg N1 N2

Forças e Momentos internos

Par ação e reação

F12 = - F21 M12 = - M21

5

q

Momento de Força em

Relação a um ponto Produto vetorial

Direção: perpendicular ao

plano definido por

Sentido: regra da mão

direita

Módulo do produto vetorial

6

FrM

0

0M

r

F

Fer

qsenFrM

0

F

0M

r

)braço(dsenr q

q

d

0

A

q

d

Nm

m N

)braço(dsenr q

7

FdM 0

F

0M

r

r

d = L

x

y

90o

d

0 A

L

d 0

A

L

q d = Lsenq

Exemplo 1

kFLjFiLM

jFFiLr

FrM

)(

;

0

0

kFLsenM

jFFjLiLsenr

FrM

q

qq

0

0

;cos

8

q FLsenM0

FLM0

F

r

F

r

i

j

x

y z

0

A

X

Y

Z

Fx

Fy

Fz

kzjyixr

kFjFiFF zyx

FrM

0

k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(

FFF

zyx

kji

M xyzxyz

zyx

0

kMjMiMM z0y0x00

yFxFM

xFzFM

zFyFM

xyz

zxy

yzx

0

0

0

Momento de força com relação a origem do sistema de referência OXYZ

x

y z

0

A

X

Y

Z

Fx

Fy

Fz

FrM

0

9

r

F

r

F

Exemplo 2

)Nm(k1300j100i1000

100300100

314

kji

M0

Nm13001)100(4300yFxFM

Nm1004)100(3)100(xFzFM

Nm100033001)100(zFyFM

xyz0

zxy0

yzx0

10

X M0

M0z

M0y M0x

Z

Y

q

0 A

x

y z

0

A

Y

Z

Fx

Fy

Fz

X q

)N(k100j300i100F

)m(k3j1i4r

)Nm(k1300j100i1000M0

M0 = 1643 Nm dFsenFrM0 q

d = 4,95 m F = 332 N q = 103,90

11

r

F

0M

r

F

12

A B C SI

F 300 N

d 5 m

M0 1500 Nm

FA = 300N

FB = 200N

FC = 100N

Exemplo 3: Calcular o torque em

relação a origem

FdM 0

12

3 m

1m 4m

0

A

X

Y

Z

C

AFBF

CF

Momento de força com relação a um ponto

qualquer (ponto B)

x

y z

0

A

X

Y

Z

FA

x

FAy

FA

z B

Y

’

X

’ Z’ AB/AB FrM

kzjyixr B/A

kFjFiFF AzAyAxA

BAB/A rrr

BA xxx BA yyy

BA zzz

k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(

FFF

zyx

kji

M AxAyAzAxAyAz

AzAyAx

B

kMjMiMM BzByBxB

yFxFM

xFzFM

zFyFM

AxAyBz

AzAxBy

AyAzBx

13

Ar

AF

B/Ar

Br

FA = 300N

FB = 200N

FC = 100N

Exemplo 4

3 m

1m 4

m

0

A

X

Y

Z

C

B

Y’

X’

Z’

FdMB )Nm(FrM B/AB

A B C SI

F 300 200 N

d 4 0 m

MB 1200 0 120 Nm

A

B

C

-1200 0 0 1200

0 0 0 0

0 120 0 120 14

BM

i

k

j

0M

AFBF

CF

3

4

53o

53o

FC

FCX

FCY

C

1,5 B

2

FCX = FCcos(53º) = 80 N

FCY = FCsen(53º) = 60 N

FC = 100 N 2,5

FCX = FCcos(53º) = 60 N

FCY = FCsen(53º) = 80 N

FC = 100 N

15

Forças externas e internas

Princípio da transmissibilidade

Momento de força em relação a um

ponto

Corpo Rígido Sistema de forças equivalentes

Teorema de Varignon

Binário ou Par conjugado

Representação de uma dada força em

uma força atuando num ponto O e em um

binário

Redução de um sistemas de forças em

uma força e um binário

history.mcs.st-and.ac.uk 0.875m

C

B

A

E

D

0.2m d C

riação: D

I -

CE

TE

C

16

Teorema de Varignon

history.mcs.st-and.ac.uk

0

A

X

Y

Z

...FrFr...)FF(r 2121

...FFF 21

forçasdastetansulRe:F

17

1F

2F

3F

r

)m(k4j1i3r

i)N400(F

j)N300(F

2

1

A

a

3 m

1m

0

Y

Z

4m

A

X

+

Exemplo 5

18

kjiFr

kjiFr

FrFrM

40016000

90001200

2

1

210

k500j1600i1200M0

1F

2F

F

r

2F

1F F

N5000300400FF

k0j300i400F

222

Exemplo 5

k500j1600i1200M

)j300i400()k4j1i3(M

FrM

0

0

0

(cont.)

19

20

B

50o

A

240 mm

180 mm

1000 N

Uma força de 1000 N atua na extremidade A da

estrutura da figura abaixo. Determinar o momento de

força com relação ao ponto B, a) da força de 1000N e b)

de suas componentes nas direções horizontal e vertical.

Exercício 1

20

Reposta:

a)M=292,3 Nm

b)Mx=137,9Nm e My=154,3Nm

BBA

BA

BA

MFrM

FrrM

FrFrM

/0

0

0

)(

)(

FdMMM

senrFMM

B0

B/AB0

q

d B

A

F

d

F

0 X

Y

Z

B

A

Ar

Br

B/Ar

q

M

Binário ou Par conjugado

0)(

FFFdM 21

B/Ar

X

Y

B

A A

B

M = Fd M = Fd

0)(

FF

(cont.)

22

F

F

M

F

F

M

Binário ou Par conjugado

Binários Equivalentes Binário 1

M = F1d1

Y

Z

X

5cm 12N 12N

M

Y

Z

X

d1

23

1M

1F

1F

Binários Equivalentes

M = F2d2

Y

Z

X

4cm

15N

15N

M Y

Z

X

d2

Binário 2

24

2M

2F

2F

Binários Equivalentes

21 MM

Direção

Sentido

Intensidade

M = F1d1 = F2d2

25

Binários Equivalentes Binário 1 Binário 2

M = F1d1 M = F2d2

Y

Z

X

5c

m

12N 12N

M

Y

Z

X

4cm

15N

15N

M

Y

Z

X

d2

Y

Z

X

d1

21 MM

Direção

Sentido

Intensidade

M = F1d1 = F2d2

26

1M

1F

1F

2M

2F

2F

Soma de Binários

X

Y

Z d1

1F

1F

2F

1M

2M

A B

2F

R

R

B/Ar Y

0 X

Z

21B

2B/A1B/AB

21B/AB

B/AB

MMM

FrFrM

)FF(rM

RrM

27

1M

2M

BM

1 0 0 -100 100

2 0 0 300 300

3 -200 200 0 283

-200 200 200 346

1

2

3

X

Y

Z

Z

X

Y

N100

N100

N300A

B N300

N200

N200

1m

1

2

3

cubo

(Nm)

Soma de Binários

28

1M

k

j

nM

i

nM

RM

Representação de uma dada força em uma

força atuando num ponto O e em um binário

0M

F

= =

FrM0

29

F

r

F

F

F

r

30

90o

d

0 A

L

90o

d

0 A

L

90o

d

0 A

L

0M

30

FLM0

F

r

F

r

F

F

F

r

Na estrutura da figura abaixo determinar a) os momentos

dos binários 1 e 2; b) o momento resultante dos dois

binários; c) a soma dos momentos de cada uma das forças

com relação ao ponto O; OBS: Dimensões da estrutura em

centímetro. (Sugestão: livro Beer pag 159 5ª edição)

100N

X

Y

Z 20

50

50

20

200N

200N 100N

0

A

B

C

D 1

2

Exercício 1

31

30 cm

F

A

200

300

B

2- Para satisfazer limitações de projeto é necessário determinar o efeito da

força trativa F= 2 kN atuando no cabo, sobre o cisalhamento, tração e flexão

da viga em I engastada. Com esse propósito substitua a força por seu

equivalente em duas forças em A perpendicular e paralela a viga. Calcule o

torque exercido por F no ponto A.

Exercícios

Respota: Ft=1,286 KN e

Fn=1,532 KN

T=459,6 Nm

33

03- Um pé-de-cabra é usado para remover um prego, como mostra a

figura abaixo. Determine o momento da força de 240 N em relação ao

ponto O, de contato entre o pé-de-cabra e o pequeno bloco de

suporte.

Exercícios

Reposta: Mo=84N.m

34

04- O elemento estrutural rígido está

submetido a um binário composto de um

par de forças de 100N. Substitua esse

binário equivalente, consistindo nas duas

forças P e –P, cada uma com módulo de

400N. Determine o ângulo θ apropriado.

Exercícios

Reposta: Mo=10N.m e θ=51,3°

35

05- Uma força F=50N é exercida sobre a alavanca do freio de mão

de mão de um automóvel onde x=250mm. Substitua a força por um

sistema força-binário equivalente no ponto O.

Exercícios

Reposta: Mo=17N.m

36

05- A figura representa duas engrenagens maciças submetidas às

forças de contato mostradas. Substitua as duas forças por um única

força equivalente R no eixo de rotação O e por um binário M

correspondente. Especifique os módulos de R e M.

Exercícios

Reposta:

R=3,56 kN , Mo=12N.m

37

06-Um força trativa T de módulo 10 kN é aplicada ao cabo preso no

topo do mastro rígido, em A e preso ao chão em B. Determine o

momento Mz de T em relação ao eixo z que passa pela base O.

Exercícios

Reposta:

Mz=-84,9 kN.m

38

07-Uma força de 40N é aplicada em

A na manivela da alavanca de

controle que está conectada ao eixo

rígido OB. Ao determinar o efeito da

força sobre o eixo em um a seção

transversal, como aquela em O,

podemos substituir a força por uma

força equivalente em O e por um

momento. Descreva esse momento

como um vetor M e a direção do

vetor no plano y-z.

Exercícios

Reposta:

M=-50j+80k N.m e θ=32º