SECCIONES CNICAS

DOCENTE

UNIVERSIDAD SECCIONAL FACULTAD GEOMETRIA ANALITICA 2014Tabla de contenido

INTRODUCCIN3OBJETIVOS4PARBOLA5ECUACIN5ELEMENTOS DISTINTIVOS5GRAFICA5EJEMPLOS6CIRCUNFERENCIA7ECUACIN7ELEMENTOS DISTINTIVOS8GRAFICA8EJEMPLOS8ELIPSE9ECUACION10ELEMENTOS DISTINTIVOS11GRAFICA11EJEMPLOS11HIPERBOLA13ECUACION13ELEMENTOS DISTINTIVOS14GRAFICA14EJEMPLOS15BIBLIOGRAFIA18

INTRODUCCIN

Las secciones cnicas son curvas que pueden obtenerse como la interseccin de un cono circular con un plano que no contenga al vrtice del cono. Las distintas cnicas aparecen dependiendo de la inclinacin del plano respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono tiene una parbola y si corta a ambas ramas del cono la curva es una hiprbola

OBJETIVOS

Reconocer las secciones cnicas como lugares geomtricos y adquirir la habilidad de identificar sus elementos Comprender la existencia de una seccin cnica especfica, al proporcionar sus elementos. Deducir la ecuacin de una seccin cnica partiendo de su definicin como lugar geomtrico. Asociar las ecuaciones cuadrticas en dos variables con alguna seccin cnica.

PARBOLA

Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y una recta fija, llamada directriz.ECUACIN A partir de la definicin deduciremos la ecuacin de una parbola que tenga el vrtice en el origen de coordenadas y la directriz paralela al eje x, por lo tanto el foco es el punto F(0,p)Puedes dar la ecuacin de la directriz?. Recuerda que por ser paralela al eje x estar representada por una ecuacin del tipo y=k.Si P(x,y) es un punto que pertenece a la parbola entonces de P al foco es:d(P,F)= y la distancia de P a la directriz es d=Luego si el punto esta debe verificar que d(P,F) es decir= Elevado al cuadrado y simplificando, se obtiene Y= La ecuacin normal o canonca de la parbola con foco en (0;p) y directriz Y=-pes Y= ELEMENTOS DISTINTIVOS La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parbola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vrtice. Es claro que el vrtice es un punto que pertenece al eje de la parbola.GRAFICA Puede notarse que la grfica es simtrica respecto del eje y porque la ecuacin no cambia cuando se reemplaza x por x. adems y=0 solo cuando x=0, por lo tanto el nico punto en comn entre la grfica y el eje x es el origen de coordenadas. Tambin puede observarse que si p0, y toma valores siempre positivos y cuando p0, y toma valores siempre negativos. Teniendo en cuenta estas observaciones las grficas son:

Si ahora pensamos en una parbola con vrtice en el origen pero foco en (p,0) y la directriz de ecuacin x=-p obtenemos la ecuacin x=EJEMPLOS1) Dada la ecuacin , halla la ecuacin canonca de la parbola, indica el vrtice, el foco y la directriz. Cul es el eje de la parbola?Solucin Escribimos la ecuacin x=, y obtenemos que 4p=-6, de donde p= 0. Con estos datos sabemos que el foco est en el puto (), el vrtice es el origen de coordenadas y la directriz es la recta de ecuacin x=. El eje de la parbola es eje x.

2) Dada la ecuacin , hallar la ecuacin canonca de la parbola, indica el vrtice, el foco y la directriz. Cul es el eje de la parbola?Solucin Completando cuadrados((X== (Obtenida la ecuacin de la parbola en forma normal leemos que el vrtice es el punto V(2,3), que p=1 y por tanto el foco es F(3,3) y la directriz tiene ecuacin x=1.El eje de la parbola es la recta que contiene al vrtice y al foco, luego tiene ecuacin y=3.

CIRCUNFERENCIA

Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio. ECUACIN A partir de la definicin deduciremos la ecuacin de una circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y radio R. Si P(x, y) es un punto que pertenece a la circunferencia entonces la distancia de P al centro es:d (P,O) = Elevado al cuadrado se obtiene

que es la ecuacin cannica de la circunferencia con centro en el origen y radio R. Te proponemos que deduzcas la ecuacin cannica de la circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(a, b) y radio R.ELEMENTOS DISTINTIVOS Los elementos que distinguen a las circunferencias son su centro y su radio.GRAFICA

EJEMPLOS1) Encuentra la ecuacin de la circunferencia centrada en el punto c(2,-3) y radio 5.Solucin Todo punto que pertenezca a la circunferencia debe estar a distancia 5 del punto c(2,-3), por lo tanto debe verificarse que: d(P,C)=

Elevado al cuadrado

2) Encuentra la ecuacin de la circunferencia centrada en C(1,-6), sabiendo que el punto P(2,3).Solucin Si el punto P est en la grfica podemos usar este dato para hallar el radio de la circunferencia pues R= d(P,C)=Por lo tanto la ecuacin queda escrita los elementos de esta circunferencia son el centro C(1,-6) y el radio r=

ELIPSE

Es el conjunto de puntos P del plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro. Para visualizar la definicin de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lpiz que tensa esa cuerda, su trazo ir dibujando una elipse, como se muestra en la siguiente figura.

ECUACION Vamos a deducir a partir de la definicin, la ecuacin de una elipse cuyos focos pertenecen a uno de los ejes coordenados, digamos por ejemplo que estn en el eje x, y centro en el origen de coordenadas. As los focos sern los puntos F( c, 0) y F(c, 0) y para los puntos P(x, y) que pertenezcan a la grfica de la elipse debe verificarse qued(P, F) + d(P, F) = k = 2o lo que es lo mismo=2a =2a - elevamos al cuadrado ambos miembros y simplificamos y obtenemos+

=a=si elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros de la igualdad, tenemos =

mirando en la figura anterior el tringulo FPF y recordando que la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la medida del tercer lado se tiene d(P, F) + d(P, F) = 2a > 2c y por lo tanto a > c > 0 , de donde se deduce que > 0 teniendo en cuenta esto podemos dividir ambos miembros de la igualdad y obtenemos=1Tomando b= la ecuacin anterior queda escrita =1, llamada ecuacin cannica. ELEMENTOS DISTINTIVOS La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vrtices. La cuerda que une los vrtices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor se denomina eje menor.GRAFICA Hagamos ahora la grfica en un sistema de ejes coordenados, suponiendo que el centro de la elipse es el origen de tal sistema.

Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuacin cannica cuando los focos estn sobre el eje y, y el centro es el origen de coordenadas.Se define excentricidad de la elipse como el cociente entre c y a, es decir, e = Observa que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vrtices, siempre se tiene que

0 < c < a 0 < < 1 0 < e < 1

es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno. Si la excentricidad est ms cerca de cero la grfica es ms circular y si est ms cerca de uno resulta ms alargada.EJEMPLOSSi buscamos ejemplos de elipses basta con pensar en las rbitas de planetas como la Tierra donde un foco corresponde al Sol.1) Halla la ecuacin normal, los vrtices y los focos de la elipse 4x2 + y2 = 100. Grafica indicando los elementos.

SolucinDividiendo ambos miembros de la ecuacin por 100 queda =1 obteniendo la ecuacin normal. De ella se deduce que el eje mayor est contenido en el eje y tiene por extremos los puntos (0, 6) y (0, 6) que son dos de los vrtices. El eje menor est contenido en el eje x y determina los otros dos vrtices (-5, 0) y (5, 0). Los focos estn ubicados en el eje mayor y por lo tanto son puntos del eje y. Calculemos sus coordenadas, sabiendo que y entonces se tiene que c2 = a2 b2 = 36 25 = 11, de donde c = . Luego F1(0.- ) y F2 (0.)

2) Encontrar la ecuacin normal de la elipse con focos en los puntos F1(0,-5),y F2 (0,5) y tal que la longitud del eje mayor sea 20. Graficar la elipse indicando sus vrtices. El eje mayor mide 20, por lo tanto a = 10. Conociendo el valor de a y el de c2 que es 75, sabemos que b2 = a2 c2 = 25, y a partir de esto la ecuacin normal de la elipse que buscamos es

Los vrtices son los puntos (0, 10), (0, 10), (5, 0) y (5, 0).

Queda como tarea para los alumnos deducir la ecuacin cannica cuando los focos estn sobre la recta y = k, y el centro en un punto de coordenadas (h, k). Para que tengan en cuenta la grfica tiene la forma de la siguiente figura:

HIPERBOLA

Se llama hiprbola al conjunto de puntos P del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias entre P y dos puntos fijos F y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento de recta que une los focos se denomina centro.

ECUACION Deduciremos la ecuacin de la hiprbola en el caso en que los focos estn ubicados sobre el eje x y el centro es el origen de coordenadas. Sean entonces F( c, 0) y F(c, 0). Sea P(x, y) un punto que pertenece a la grfica de la hiprbola, entonces

=k - elevamos al cuadrado ambos miembros y simplificamos y obtenemos

Simplificando y reordenando se obtiene4cx- = 2k cx-elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y simplificando tenemos:

Mirando en la figura anterior el tringulo de vrtices FFP, se ve que se verifica que d(P, F) + d(F, F) > d(P, F) d(F, F) > d(P, F) d(P, F) = k = 2 aLuego d(F, F) = 2c > 2a y por lo tanto c > a c2 a2 > 0Definimos entonces b = ecuacin en forma cannica centrada en el origen y focos en el eje x.ELEMENTOS DISTINTIVOSSe llama eje transverso al segmento de recta con extremos en puntos de la hiprbola que contiene a los focos. Los extremos del eje transverso se llaman vrtices. En , considerando y = 0, los vrtices estn en ( a, 0) y (a, 0) El segmento de recta que pasa por el centro de la hiprbola, perpendicular al eje transverso, con extremos en (0, b) y (0, b), se llama eje conjugado.GRAFICA Tengamos en cuenta algunas observaciones:

Puede verse que la grfica no tendr puntos en comn con el eje conjugado, ya que si consideramos x = 0 (ecuacin de la recta que contiene al eje conjugado), reemplazando en resulta , que no tiene solucin en el conjunto de nmeros reales.

Para un valor fijo de x (distinto de cero), se obtienen dos valores de y, anlogamente para un valor fijo de y (cualquiera) se obtienen dos valores de x, con lo que se concluye que la grfica estar en los cuatro cuadrantes y tendr dos ramas, ya que no puede tocar al eje conjugado, como vimos en el punto anterior.

Si despejamos y en trminos de la variable x (queda como tarea para el alumno) se obtiene se ve que estar bien definida si x2 a2 (por qu?), es decir, a. Adems si x crece infinitamente o x decrece infinitamente, el cociente 0, y por lo tanto los puntos de la grfica de la hiprbola se acercan a los puntos sobre las rectas o que se las denomina asntotas de la hiprbola. Estas se intersecan en el centro de la hiprbola y resultan ser las diagonales extendidas del rectngulo que tiene por vrtices los extremos de los ejes transverso y conjugado. Este rectngulo se llama rectngulo auxiliar.

Observacin: El centro de la hiprbola puede no estar en el origen. Cul sera la ecuacin de una hiprbola con centro en (h, k) y focos sobre la recta y = k? Se define excentricidad de la hiprbola como el cociente entre c y a, es decir, Si la excentricidad es grande los focos estn cerca del centro y las ramas de la hiprbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos estn lejos del centro y las ramas de la hiprbola tienen mayor curvatura.EJEMPLOS

1) Hallar la ecuacin cannica, los focos, los vrtices, la excentricidad y las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es

Solucin

Completando cuadrados en ambas variables tenemos

Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda:

Por tanto, el centro est en (2, 3). El eje transverso de la hiprbola es horizontal, a = 1 y b = 3. Como c2 = a2 + b2 , se tiene que c= . Por lo tanto los vrtices estn en (1, 3) y (3, 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + , 3) y en (2 , 3). La excentricidad es e = . La grfica se muestra en la siguiente figura:

2) Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola con vrtices en (3, 5) y (3, 1), y las asntotas son las rectas y = 2x 8 e y = 2x + 4. Adems calcule los focos, la excentricidad y trace la grfica.

Solucin

Por ser el centro el punto medio del segmento que une los vrtices sus coordenadas son (3, 2). Adems, la hiprbola tiene eje transverso vertical y el valor de a es 3. Por otro lado, por el teorema de las asntotas Por tanto, la ecuacin cannica es

El valor de c est dado por

Los focos estn en ( y ( y la excentricidad es

BIBLIOGRAFIA

http://es.slideshare.net/tito.carrreras/introduccin-a-secciones-cnicashttp://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/contenidos/SeccionesConicas-Parabola-12-16.pdfhttp://sitios.usac.edu.gt/seccionesconicas/introduccion.htmlhttp://www.ing.unlp.edu.ar/ingreso/contenidos/circunferencia_elipse-17-24.pdfhttp://www.ing.unlp.edu.ar/ingreso/contenidos/hiperbola-25-30.pdf

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