Secciones cónicas•Circunferencia:1. Forma canónica de la ecuación de una

circunferencia2. Forma general de la ecuación de una

circunferencia3. Cálculo de los elemento de una

circunferencia4. Ecuación de la recta tangente a una

circunferencia5. Problemas relacionados con la

geometría plana y espacial.

Secciones cónicas: CircunferenciaDefinición: Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo es el centro de la circunferencia.

Forma canónica de la ecuación de una circunferencia

Recordatorio: Distancia entre dos puntos de un segmento de recta

Por definición de circunferencia La distancia del punto al punto se define como:

•Forma general de la ecuación de una circunferencia

Resolviendo la forma canónica Se obtiene la forma general de la ecuación de la circunferencia:

Ejemplos:• Ejemplo de la ecuación de una

circunferencia1) Determine la ecuación de la

circunferencia centrada en el punto y cuya longitud del radio es 3.

2) Determine la ecuación general de la circunferencia de centro y que contiene

3) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

2) Determine la ecuación general de la circunferencia de centro y que contiene

•3) Determinea) La forma canónica de la ecuación de la

circunferencia dada la forma general

b) La gráfica de la circunferencia

•AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO)•Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada

circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia:

•a) •b) •c) •d) •e)

4) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO)

a) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

•Autoevaluación (cuaderno)5) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general:•a) •b) •c) 6) Determine la ecuación general de la circunferencia centrada en el punto y cuya longitud del radio r. Realizar la gráfica

Deber N°03

b)

c) d)

1) Determine la distancia entre los siguientes pares de rectas

2) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia:a) b) c) d) e)

Recordatorio•Ecuación de la circunferencia en su

forma general

•Si se divide todo para A

Resolución de problemas•1) Determine la ecuación general de la

circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

•2) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

•Autoevaluación en clase•3) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

•4) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

Ecuación de la recta a una circunferencia•Caso II : Fuera de la circunferencia

Ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre una recta L

Ejemplo: Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6) y B(1,5) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

Problemas en clase:•1) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(-1,-3) y B(-5,3) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

2) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,0) y B(6,2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

Sección cónica: Parábola

Definición: ParábolaEl conjunto de todos los puntos P(x,y) en el plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija L. El punto es denominado foco de la parábola; la recta L es la directriz de la parábola.𝑃𝑎𝑟 á𝑏𝑜𝑙𝑎= {𝑃 (𝑥 , 𝑦 )∈ℝ 2/𝑑 ( 𝑃 ,𝐹 𝑜 )=𝑑 ( 𝑃 ,𝐿 ) }Elementos de la parábola:- Vértice- Recta directriz- Parámetro p- Lado recto =4p

Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso I)•i) Parábola centrada en el origen dirigida

hacia arriba

Datos

V(0,0)F(0,p)Recta directriz: Lado recto

Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso II)•i) Parábola centrada en el origen dirigida

hacia abajo

Datos

V(0,0)F(0,-p)Recta directriz: Lado recto

Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso III)•i) Parábola centrada en el origen dirigida

hacia abajo

Datos

V(0,0)F(p,0)Recta directriz: Lado recto

Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso IV)•i) Parábola centrada en el origen dirigida

hacia abajo

Datos

V(0,0)F(-p,0)Recta directriz: Lado recto

Ejemplo:•1) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es

2) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es

Autoevaluación (en el cuaderno)•Para cada literal encuentra la ecuación en

su forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y con foco .

•b•c) •d

Problema 3: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P y Q

Problema 4: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P y Q

Problema 5: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice y cuyo foco es .

Problema 6: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice y cuyo foco es .

Autoevaluación en clase•Para cada literal, encontrar la ecuación

general de la parábola dado su vértice y foco

a) b)

Ecuación en la forma canónica de la parábola con vértice cualquiera

Caso I•Parábola dirigida hacia arriba

Caso II•Parábola dirigida hacia abajo

Caso III•Parábola dirigida hacia arriba

Caso IV•Parábola dirigida hacia arriba

Problema 1: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo vértice es y la recta directriz es

Problema 2: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo vértice es y la recta directriz es

Problema 3: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo foco es F y la recta directriz es 0

Autoevaluación en clase•1) Para cada literal, determine la gráfica y

ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del vértice y la recta directriz

a) b) •2) Para cada literal, determine la gráfica y

ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del foco y la recta directriz

a) Fb) F

•Reconociendo los elementos de la parábola, complete la tabla a continuación:VÉRTICE FOCO RECTA

DIRECTRIZECUACIÓN DE LA PARABOLA EN SU FORMA CANÓNICA

L:y=1

V(3,-4) F(3,-1) L:y=-7

Ecuación de la parábola en su forma general•Caso I y II

Caso III y IV

Problema 1: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica

Problema 2: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica

Problema 3: Determine la ecuación de la parábola en su forma canónica dada la ecuación en su forma general

Problema 4: Dada la ecuación de la parábola en su forma general Determine:a) La ecuación de la parábola en su forma canónicab) Vérticec) Distancia del vértice al focod) Focoe) Recta directrizf) Valor del lado recto

Autoevaluación en claseDada la ecuación de la parábola en su forma general, determine la ecuación en su forma canónica, vértice, foco, lado recto y la ecuación de la directriz

b)

c)

d)

Secciones cónicas: ElipseDefinición. Conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, tales que la suma de sus distancia a dos puntos fijos, denominados focos es una constante.

𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒={𝑃 ( 𝑥 , 𝑦 ) ∈ℝ2/𝑑 (𝑃 ,𝐹 1 )+𝑑 (𝑃 ,𝐹 2)=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 }

Elementos de la elipse

Elementos de la elipse

•Vértices V1 y V2•Focos F1 y F2•Centro de la elipse •Eje menor: 2b•Eje mayor: 2a•Distancia focal: 2c•Semieje menor: b•Semieje mayor: a•Semidistancia focal: c

•Cálculo de la longitud del eje menor

( semieje menor)

Forma canónica de la ecuación de una elipse (demostración)

𝑑 (𝑃 ,𝐹1 )+𝑑 ( 𝑃 ,𝐹 2 )=2𝑎

• Ecuación de la elipse en su forma canónica con centro en el origen (horizontal)

Vértices

Focos

• Ecuación de la elipse en su forma canónica con centro en el origen (vertical)

Vértices

Focos

Problema 1:Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica .Determine:a) Vérticesb) Focosc) Gráfica de la elipse

Problema 2: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica . Determine:a) Los vérticesb) Focosc) La gráfica de la elipse

Problema 3: Dado el foco y el vértice de una elipse centrada en el origen. Determine la ecuación de la elipse en su forma canónicaProblema 4: Dado el foco y el vértice de una elipse centrada en el origen. Determine la ecuación de la elipse en su forma canónica

Autoevaluación• Para cada literal, encuentre los vértices,

focos, distancia focal, longitud del eje mayor y menor de las ecuaciones de las elipses en su forma canónica. Grafique:

• .• b) .Para cada literal, encuentre la ecuación de la elipse en su forma canónica. Dado uno de sus vértices y focos. Grafique:

Ecuación de la elipse en su forma canónica cuando el centro no es el origen de coordenadasCaso I (Elipse horizontal)

Ecuación de la elipse horizontal con centro en • ; Elementos de la elipse

Vértices: Focos: Semieje mayor: aSemieje menor: bSemidistancia focal: c

Ecuación de la elipse en su forma canónica cuando el centro no es el origen de coordenadasCaso II (Elipse vertical)

Ecuación de la elipse vertical con centro en • ; Elementos de la elipse

Vértices: Focos: Semieje mayor: aSemieje menor: bSemidistancia focal: c

Problema 5: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica Determine:a) Centrob) Vérticesc) Semieje menorc) Focosd) Distancia focale) Gráfica de la elipse

Problema 6: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica Determine:a) Centrob) Vérticesc) Semieje menord) Focose) Distancia focalf) Gráfica de la elipse

•AutoevaluaciónPara cada literal, determine la gráfica de la elipse dada su ecuación en su forma canónicaa) b) c) d)

Ecuación de la elipse en su forma general

• donde A y B tienen el mismo signo, además siendo ésta puede transformarse en otra del tipo .

• Condición importante para que sea elipseEJEMPLO:

TRANSFORME LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE DADA EN SU FORMA CANÓNICA A LA

FORMA GENERAL.

EJEMPLO 1: Transformar la ecuación de la elipse dada en su forma general a la forma canónica

Ejemplo 2: Dada la ecuación de la elipse en su forma general

•Determine:•a) La ecuación de la elipse en su forma

canónica• b) La gráfica de la elipse indicando todos

sus elementos.

Autoevaluación•Para cada literal transforme la ecuación

de la elipse dada en su forma general a la forma canónica y grafique.

•a) •b) •C) •D) •E)

Resolución de problemas de referentes a elipses•Problema 1: Calcular las coordenadas

de los vértices los focos •A) •B) •C)•D)

Problema 2: Obtener la ecuación de la elipse en su forma canónica cuyas características se dan a continuación

a) Centro ejes sobre los ejes coordenados y para por los puntos

b) Centro ejes sobre los ejes coordenados y pasa por los puntos

c) Focos y pasa por el punto d) Centro el eje principal es el eje y, la

distancia que separa a los focos es 24 y pasa por el punto

Problema 3: Emplear la definición de elipse para obtener una ecuación en la forma canónica de la elipse cuyos focos están dados y para la cual está dada la suma de la distancias que separan a un punto de la elipse de los focos•a) ; •b) ; •c) ; •d) ;

Problema 4: Dada la gráfica a continuación.

Determine:a)La ecuación de la

elipse en su forma canónica

b)La ecuación de la circunferencia en su forma general

c)La ecuación de las parábolas cuyos focos es el mismo foco de la elipse F1

¿ Fin ?