10
SECCIONES CÓNICAS 1. INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos ciertos lugares geométricos que son muy importantes en la Geometría Analítica y que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos de un cono doble circular recto, mediante un plano. Ello da lugar a las figuras llamadas precisamente SECCIONES CÓNICAS, o simplemente CÓNICAS, las que según el ángulo de corte reciben el nombre de PARÁBOLA, ELIPSE, HIPÉRBOLA, y algunos casos especiales de estas curvas, llamados Casos Degenerados De Las Cónicas como los puntos, las circunferencias, las rectas paralelas, dos rectas que se cortan… Todas estas Secciones Cónicas tienen una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que: El Cociente entre la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F y su distancia a una recta fija L es siempre CONSTANTE. Esta contante es denotada por e y es denominada EXCENTRICIDAD de la cónica. El punto fijo de F es llamado FOCO, y la recta fija es llanada la DIRECTRIZ de la cónica. Aquí presentaremos el enfoque vectorial de la Geometría Analítica De Las Cónicas. En el tratamiento de cada cónica usaremos una figura similar a la (Fig. 2) y omitiremos con frecuencia la representación gráfica el vector unitario ū ˔ , correspondiente al vector

Secciones Cónicas: La Parábola

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Análisis vectorial de la sección cónica: parábola.

Citation preview

SECCIONES CNICAS1. INTRODUCCINEn este captulo estudiaremos ciertos lugares geomtricos que son muy importantes en la Geometra Analtica y que se originan de considerar cortes en diferentes ngulos de un cono doble circular recto, mediante un plano.Ello da lugar a las figuras llamadas precisamente SECCIONES CNICAS, o simplemente CNICAS, las que segn el ngulo de corte reciben el nombre de PARBOLA, ELIPSE, HIPRBOLA, y algunos casos especiales de estas curvas, llamados Casos Degenerados De Las Cnicas como los puntos, las circunferencias, las rectas paralelas, dos rectas que se cortanTodas estas Secciones Cnicas tienen una propiedad comn que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que:El Cociente entre la distancia de cada uno de estos puntos hasta un punto fijo F y su distancia a una recta fija L es siempre CONSTANTE.Esta contante es denotada por e y es denominada EXCENTRICIDAD de la cnica. El punto fijo de F es llamado FOCO, y la recta fija es llanada la DIRECTRIZ de la cnica.Aqu presentaremos el enfoque vectorial de la Geometra Analtica De Las Cnicas.En el tratamiento de cada cnica usaremos una figura similar a la (Fig. 2) y omitiremos con frecuencia la representacin grfica el vector unitario , correspondiente al vector unitario de rotacin de coordenadas, pero cuya presencia ser implcita por medio de la direccin positiva del EJE Y.

2. LA PARBOLA. ECUACION DE LA PARBOLA:Dada un recta fija L y un punto fijo F no pertenece a L (F L) LA PARBOLA P como el conjunto de todos aquellos puntos P (x, y) cuya distancia al punto fijo F es igual a su distancia a la recta fija L llamada recta DIRECTRIZ; es decir, tales que:Al punto fijo F se le llama el FOCO de la parbola. De la definicin previa se tiene que LA EXCENTRICIDAD e de cualquier parbola, que es precisamente el valor del cociente de estas dos distancias, es igual a 1.En toda parbola, en general (como en la fig. 3), se tiene los siguientes PUNTOS Y SEGMENTOS CARACTERSTICOS:L: Recta DIRECTRIZ (Con ecuacin X = - p); F: foco V: VRTICE (Nuevo origen de las coordenadas X Y)P: PARMETRO DE LA PARABOLA; RR: LADO RECTO de la parbola.

De la definicin se deduce que si hacemos P = V, entonces se tiene que d[ V, F] = d [ V, L] = |p|Es decir, la distancia del vrtice V al foco F es igual a la distancia del vrtice V a la recta Directriz LNOTA: El EJE X sigue la direccin del vector unitario de rotacin de coordenadas, y se le llama EJE o EJE FOCAL de la parbola

2.1 ECUACIN GENERAL DE LA PARBOLA:Hallaremos la ecuacin estndar de una parbola en el sistema de EJES X Y, que luego podra ser transformada a las coordenadas originales de acuerdo a lo que convenga mediante las frmulas de cambio de coordenadas siguientes:

Donde el vrtice V corresponde a la TRASLACIN (Origen del nuevo sistema X Y), y al vector unitario de ROTACIN de coordenadas.

De la figura 3 la ecuacin vectorial de la RECTA DIRECTRIZ tiene la forma:

De esta manera, un punto P esta sobre la parbola P si y solo si P satisface

2.2. ECUACIN DE LA PARBOLA CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE X:Corresponde al caso = (NO HAY ROTACION DE EJES), = (1,0), y si V= (h, k) es el vrtice que corresponde a la traslacin, entonces reemplazando en (*):

0Vemos que para la misma ecuacin: (y - k)2 = 4p (x - h), si p > 0 la parbola se abre hacia la derecha, y si p < 0 entonces la parbola se abre hacia la izquierda.

2.3 ECUACIN DE LA PARBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y:Corresponde al caso = j = (0, 1) ROTACIN DE 90, y si V= (h, k) es el vrtice que corresponde a la traslacin, de EJES, entonces:

Reemplazamos estos valores en la ecuacin (*): y2 = 4px, y obtenemos la ecuacin:(x - h)2 = 4p (y - k)Que es la ECUACIN DE UNA PARBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y.En tal caso, F= V + p = V + pj = (h, k) + (0, p) = (h, k + p) Directriz L: y = k p

Vemos que para la misma ecuacin (x - h)2 = 4p (y - k): Si p > 0, la parbola se abre hacia arriba, y Si p < 0, la parbola se abre hacia abajo.2.5 CASO PARTICULAR: EL VRTICE V EN EL ORGEN Cuando el vrtice V (h, k) de una parbola se encuentra en el orgen de coordenadas (0, 0), V = (h, k) = (0, 0) h = 0, k = 0 las ecuaciones:a) (y - k)2 = 4p (x - h) b) (x - h)2 = 4p (y - k), toman la forma siguiente.