GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Secções por Planos ProjectantesCones

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES – Cones

Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário identificar o tipo de secção.

Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do cone, a figura de secção é uma circunferência.

O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante conter o vértice de superfície:1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone;2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;

a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto;

b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta;

c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo.

O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante não conter o vértice de superfície:1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante; 2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone;3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;

a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse;

b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola;

c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.

Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante Paralelo à Base

Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ1 num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.

x

(hφ)

O2

O1

≡ V2

V1

A2

A1

B2

B1

(hφ1)

C2

C1

Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície

com a Recta de Intersecção Exterior à BaseUma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.

x

(hφ)

O2

O1

≡ V2

V1

A2

A1

B2

B1

hα

fα

A recta vertical de intersecção v entre o plano secante e o plano da base do cone, passa pelo exterior da base.O ponto V é a figura de secção.

(v1)

v2

Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície

com a Recta de Intersecção Tangente à BaseUma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.

x

(hφ)

O2

O1

≡ V2

V1

A2

A1

B2

B1

hα

fα

≡ (v1)

v2

A recta vertical de intersecção v entre entre o plano secante e o plano da base do cone, é tangente à base. A recta r é a figura de secção. ≡ r1

r2

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície

com a Recta de Intersecção Secante à BaseUm sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção..

xA2

A1

O2

O1

B2

B1

V2

V1

hδ

fδ

C1

C2

D1

≡ D2

O hδ é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone. A recta é secante à base. O triângulo [CDV] é a figura de secção.

Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de

Superfície com a Recta de Intersecção Exterior à Base

Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção.

x

O2

O1

≡ V2

V1

A2

A1

B2

B1

hα

fα

hθ

Um plano auxiliar vertical θ, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz fθ

que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.

fθ

C2

C1

D2

D1

Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse:1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base;2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido;3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência.

(hφ)

R2

R1

Q1

(i1)

i2

E2

≡ E1

F2

≡ F1

A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse.

≡ M1

M2

(hφ1)

S2

S1 (i’1)

i’2

G2

≡ G1

H2

≡ H1

(hφ2)

T2

T1

i’’2

I2

(i’’1)≡ I1

J2

≡ J1

≡ Q2

É dado um cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida num plano horizontal. O ponto O (-2; 4; 2) é o centro da circunferência que limita a base, cujo raio é de 3,5 cm. O ponto V (-4; 4; 10) é o vértice do cone. Determina as projecções da figura da secção produzida no cone por um plano de topo θ, sabendo que o plano θ corta o eixo x num ponto com 5 cm de abcissa, e faz um ângulo de 40º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.

x

y ≡ z

O2

O1

V2

V1

(fν)

A2

A1

B2

B1

hθ

fθ

Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.

fθ1

hθ1

Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse:1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base;2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido;3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência.

(fν1)R2

R1

C2

C1

D2

D1

Q2

(i2)

i1

E1

≡ E2

F1

≡ F2

M1

≡ M2

A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse.

(fν2)S2

S1

i’1

Q1

(i’2)

G1

≡ G2

H1

≡ H2

(fν3)T2

T1

i’’1

(i’’2)

I1

≡ I2

J1

≡ J2

(r2)

r1

Q’2

Q’1

Q’’2

Q’’1

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de

Superfície com a Recta de Intersecção Tangente à Base

Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.

x

A2

A1

O2

O1

B2

B1

V2

V1

hθ

fθ

C1

C2

D1

≡ D2

Um plano auxiliar vertical θ1, paralelo ao plano secante θ e que contém o vértice, produzfθ1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola.

fθ1

hθ1

Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E.Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.

g1

g2

E2

E1

(fν)Q2

Q1

R2

R1

(i2)

i1

F1

≡ F2

G1

≡ G2

(fν1)Q’2

Q’1

S2

S1

(i’2)

i’1

H1

≡ H2

I1

(fν2)T2

T1

Q’’2

Q’’1

(i’’2)

i’’1

J1

≡ J2

K1

≡ K2

≡ I2

Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à

BasePretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.

xO2

O1 ≡ V1

V2

A2

A1

B2

B1

hα

fα Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz hα

que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é secante à base, sendo a figura de secção uma hipérbole.

hα1

fα1

Para obter a hipérbole, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C e D.O ponto E é o ponto que o plano secante corta a geratriz mais á direita do contorno aparente frontal do cone.Para determinar o espaço útil para os planos auxiliares, é necessário determinar o ponto de maior cota da secção (o ponto F), através de ponto T e recta tangente à base (recta t) e da geratriz que contém o ponto T.No espaço útil entre os pontos F, C e D, será obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.

C2

C1

D2

D1

E2

E1

t1

≡ t2

g1

T2

T1

g2

F2

F1

É dado um cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção e tangente ao Plano Horizontal de Projecção. O centro da base é o ponto O (1; 0; 4). As geratrizes do cone medem 8 cm. O cone é cortado por um plano vertical α, que corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida no cone pelo plano α. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano de base. Determina a V.G. da figura de secção.

x

y ≡ z

O2

O1

≡ V2

V1

hα

fα

Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano secante α e que contém o vértice, produzfα1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola.

hα1

fα1

Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E.Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.

C2

C1

D2

≡ D1

E2

E1

Para obter a V.G. da parábola, é necessário rebater o plano secante para o Plano Frontal de Projecção, sendo a charneira fα.

≡ (e)1

≡ e1

V.G.