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Seconde 3 Mathématiques 1h 4/03/2013
Devoir N°6
correction
Probabilités :
On choisit au hasard un nombre parmi l’ensemble E des nombres entiers naturels de 1 à 10.
Calculer la probabilité des évènements suivants : (Bien rédiger et justifier les réponses)
1. D : « Obtenir un multiple de 2 » ; D = 2; 4; 6; 8; 10
𝑃 𝐷 =510 = 0,2
2. T : « Obtenir un multiple de 3 » ; 𝑇 = 3; 6; 9
𝑃 𝑇 =310 = 0,3
3. C : « Obtenir un multiple de 5 » ; 𝐶 = 5; 10
𝑃 𝐶 =210 = 0,2
4. K : « Obtenir un carré parfait » ; 𝐾 = 1; 4; 9
𝑃 𝐾 =310 = 0,3
5. N : « Obtenir un nombre qui n’a que deux diviseurs, 1 et lui même » ; 𝑁 = 2; 3; 5; 7
𝑃 𝑁 =410 = 0,4
6. S : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 5 » ; 𝑆 = 6; 7; 8; 9; 10
𝑃 𝑆 =510 = 0,5
7. I : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 8 » ; 𝐼 = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
𝑃 𝐼 =810 = 0,8
8. Définir l’évènement C ∩ N C’est l’événement qui réalise C et N donc 5
𝑃 𝐶 ∩ 𝑁 =110 = 0,1
9. Définir l’événement C ∪ N et donner de deux façons différentes sa probabilité. C’est l’évènement qui réalise C ou N donc 2; 3; 5; 7; 10
𝑃 𝐶 ∪ 𝑁 = 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝑁 − 𝑃 𝐶 ∩ 𝑁 =210+
410−
110 = 0,5 𝑜𝑢 𝑃 𝐶 ∪ 𝑁 =
510
10. Définir l’évènement K ∩ S C’est l’événement qui réalise K et S donc 9
𝑃 𝐾 ∩ 𝑆 =110 = 0,1
11. Définir l’événement K∪ S. C’est l’évènement qui réalise K ou S : 1; 4; 6; 7; 8; 9; 10
𝑃 𝐾 ∪ 𝑆 = 𝑃 𝐾 + 𝑃 𝑆 − 𝑃 𝐾 ∩ 𝑆 =310+
510−
110 = 0,7 𝑜𝑢 𝑃 𝐾 ∪ 𝑆 =
710
Fonction homographique
Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓 𝑥 =−2𝑥 + 3𝑥 − 3 .
On note 𝐶! sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, 𝚤, 𝚥 .
1. L’ensemble de définition 𝐷! = ℝ− 3 .
2. Trouver les réels a et b tels que pour tout 𝑥 ∈ 𝐷! :
𝑓 𝑥 = 𝑎 +𝑏
𝑥 − 3 =𝑎 𝑥 − 3 + 𝑏
𝑥 − 3 =𝑎𝑥 + 3𝑎 + 𝑏
𝑥 − 3
𝑓 𝑥 =−2𝑥 + 3𝑥 − 3 par identification 𝑎 = −2 et 𝑏 = −3 donc 𝑓 𝑥 = −2−
3𝑥 − 3 .
3. Pour la suite on pourra admettre que
𝑓 𝑥 = −2−3
𝑥 − 3 Montrer que la fonction f est croissante sur −∞; 3 . On admettra que la fonction est croissante sur 3;+∞ . Résumer cette étude dans un tableau de variation. Pour tout 𝑎 ∈ −∞; 3 et 𝑏 ∈ −∞; 3 tel que 𝑎 < 𝑏 on a ∶ 𝑎 < 𝑏 < 3 donc 𝑎 − 3 < 𝑏 − 3 < 0 deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans un ordre différents donc 1
𝑎 − 3 >1
𝑏 − 3 donc −3𝑎 − 3 <
−3𝑏 − 3 et− 2−
3𝑎 − 3 < −2−
−3𝑏 − 3 donc 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)
Les nombres et leurs images respectives sont rangés dans le même ordre donc la fonction est croissante sur −∞; 3 de même que sur 3;+∞
𝑥 −∞ 3 +∞ 𝑓
4.
𝑓 𝑥 − −2 = −3
𝑥 − 3 or 𝑥 − 3 < 0 si 𝑥 < 3 et 𝑓 𝑥 − (−2) > 0 si 𝑥 < 3 la courbe est en dessus de la droite d’équation y = -‐2 or 𝑥 − 3 > 0 si 𝑥 > 3 et 𝑓 𝑥 − (−2) < 0 si 𝑥 < 3 la courbe est en dessous de la droite d’équation y = -‐2
5. Recopier et compléter, à l’aide de la calculatrice le tableau suivant.
x -‐7 -‐5 -‐3 0 1 2 2,5 f(x) -‐1,7 -‐1,6 -‐1,6 -‐1 -‐0,5 1 4
x 3,5 4 6 9 10 14 f(x) -‐8 -‐5 -‐3 -‐2,5 -‐2,4 -‐2,3
6. Tracer dans le repère ci dessous, la droite (d), la droite d’équation x = 3 et la courbe
𝐶! .