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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
ROSILENE BOTINI SALVADOR
APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA UTILIZANDO AS FIGURAS PLANAS
IVAIPORÃ-PR 2011
ROSILENE BOTINI SALVADOR
APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA UTILIZANDO AS FIGURAS PLANAS
Produção Didática Pedagógica-Caderno Pedagógico, Apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria de Estado da Educação, como requisito parcial para o cumprimento das atividades propostas, sob a orientação do Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho.
IVAIPORÃ-PR 2011
DEDICATÓRIA
Agradeço primeiramente, a equipe de professores do programa de PDE, em especial, ao professor Dr. Túlio Oliveira de Carvalho que me orientou durante a realização desse trabalho. Aos colegas do Grupo de Pesquisa da Educação Matemática, que colaboraram muito nas discussões realizadas. E ao meu esposo que esteve sempre ao meu lado colaborando em tudo que era possível.
Sumário
1. APRESENTAÇÃO...............................................................................................5
2. PROCEDIMENTOS ............................................................................................6
4. CONTEÚDOS DE ESTUDO .............................................................................14
5. ORIENTAÇÕES E RECOMENDAÇÕES AO PROFESSOR.............................16
6. PROPOSTA DE AVALIAÇÃO...........................................................................16
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................17
1. APRESENTAÇÃO
Tema de Estudo
Aprendizagem da Álgebra no cotidiano utilizando as figuras planas
Título
Aprendendo com a Álgebra
Justificativa
Esta produção didático-pedagógica é um material elaborado com o objetivo
de oferecer aos alunos condições de compreender, reelaborar e aprofundar os
saberes matemáticos de álgebra, de maneira significativa, mediante a construção e
utilização de recursos didáticos diversificados, como resolução de problemas,
desafios matemáticos e atividades práticas com materiais manipuláveis.
Sabendo da importância do ensino da matemática para o desenvolvimento do
raciocínio lógico é que se faz necessário práticas pedagógicas diversificadas, para
que o aluno possa ter várias formas de aprender os conteúdos matemáticos.
Este material didático é uma ferramenta desenvolvida a partir de estudos e
orientações ofertadas pelo Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que
busca proporcionar ensino de qualidade para a Educação Pública do Estado do
Paraná.
O material está estruturado atividades, cada atividade contendo conteúdos
específicos relacionados ao tempo proposto. O tempo de cada atividade dependerá
do desenvolvimento dos alunos em relação ao aprendizado. O intuito é que este
material colabore para um aprendizado significativo e real e tenha um resultado
positivo mediante sua implementação.
Público-alvo
Alunos da 7ª série do Colégio Estadual de Arapuã – Ensino Fundamental e
Médio.
Objetivo Geral
Oferecer aos alunos condições de compreender, reelaborar e aprofundar os
saberes matemáticos de álgebra, de maneira significativa, mediante a construção e
utilização de recursos didáticos diversificados, como resolução de problemas,
desafios matemáticos e atividades práticas com materiais manipuláveis.
Objetivos Específicos
� Utilizar o LEM com os alunos da 7ª série;
� Estudar problemas de identificação e classificação das figuras planas: retas,
círculos e parábolas;
� Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática: perseverança na
busca de soluções, confiança na capacidade de aprender e fazer matemática,
prazer em estudá-la;
� Traduzir situações-problema para a linguagem matemática, e
consequentemente, conhecer os significados matemáticos;
� Desenvolver o espírito investigativo, a autonomia e o trabalho em equipe.
2. PROCEDIMENTOS
Descrevemos as atividades, com comentários sobre os conteúdos e
resultados esperados.
ATIVIDADE 1
O projeto será apresentado à turma, mostrando todos os passos a serem
desenvolvidos no decorrer da implementação do mesmo. Também será apresentado
o material que será desenvolvido e utilizado durante todo o projeto.
Para atribuir significado à álgebra vamos entendê-la essencialmente como
uma linguagem. Em primeiro plano, a linguagem para expressar e comunicar
generalizações. Isso leva às funções e suas variáveis. Em segundo plano, as letras
e símbolos são usados na resolução de problemas para representar quantidades
desconhecidas, o que leva às equações e suas incógnitas.
A álgebra é empregada na dedução de fórmulas como cálculos de áreas, no
Teorema de Pitágoras, nas relações métricas e figuras geométricas. Sistematizando
resoluções de equações e de sistemas de primeiro e segundo grau, exploram-se os
gráficos das funções polinomiais de primeiro e segundo grau.
O Ensino da Geometria plana se inicia desde a pré-escola baseado numa
Geometria intuitiva e natural que promove a exploração e a observação das formas
presentes do meio físico frequentado pelas próprias crianças nas suas ações e
interações.
O aprendizado da geometria nas séries iniciais se caracteriza pelo simples
fato de desenvolver as noções lógicas mais elementares possíveis, tornando o aluno
capaz de diferenciar figuras usando apenas a visão, e formalizando uma consciência
de atributos específicos suficiente para caracterizar diversas formas geométricas.
Além disso, a geometria ativa as estruturas mentais, possibilitando ao estudante
visualizar, através das operações concretas, as mais diversas operações abstratas,
desempenhando um papel primordial no ensino-aprendizagem ao tornar hábito a
abstração e a dedução que constituem a essência da geometria.
No que se refere às formas geométricas, há configurações do cotidiano tais
como uma bola de futebol, o formato de um corpo qualquer, o CD e DVD e muitos
outros objetos, são exemplos das configurações geométricas que servem de
subsídio para o professor a fim de conseguir uma ideia concreta daquilo que se
estuda em classe.
ATIVIDADE 2
1) Em certa cidade, os taxistas cobram a corrida desta maneira R$ 3,20 de
bandeirada, somados a R$ 1,50 por quilômetro rodado; a bandeirada é paga mesmo
se você “rodar” zero quilometro.
a) Qual é o preço de uma corrida de 5 km?
b) E o de uma corrida de 16 km?
c) Você consegue expressar algebricamente o custo da corrida em função da
distância percorrida?
Objetivo: levar o aluno a reconhecer a aplicação de uma função afim, que é o
resultado esperado. A generalização é a principal dificuldade esperada.
Procedimento: trabalho em equipe de 3 alunos.
Tempo Estimado: uma aula
Avaliação: As equipes apresentarão à classe as suas conclusões.
2) Há algum tempo, uma lotérica anunciou que x apostadores ganharam a prêmio de
60 milhões de reais. O prêmio seria rateado (dividido) entre todos estes x
ganhadores. Entretanto, dias depois, anunciou-se que dois cartões foram
impugnados excluindo dois apostadores. Restaram, então x-2 ganhadores, e cada
recebeu 5 milhões a mais. Determine o número de ganhadores inicialmente
divulgado.
Objetivo: Levar o aluno a raciocinar a representar e resolver equações algébricas
na situação-problema. Pode-se conduzir as discussões dos alunos através do
roteiro:
a) Representar em função de x o prêmio que receberia cada um dos x
ganhadores.
b) Representar em função de x o prêmio de cada um dos x-2 ganhadores.
c) Expresse o fato de que o prêmio de x-2 ganhadores é igual ao prêmio de x
ganhadores mais 5 milhões. E finalmente resolva esta equação.
Procedimento: Comparar as idéias que os alunos apresentam antes e depois do
estudo do exercício proposto na sala, reunidos em equipe de 3 alunos.
Tempo estimado: Uma aula.
Avaliação: Exposição para a classe do exercício proposto.
3) Um grupo de amigas foi a uma pizzaria comemorar o aniversário de Júlia.
Decidiram que Júlia não participaria do pagamento da despesa, cujo total de R$
107,00. As amigas de Júlia deram R$ 14,00 cada uma, sobrando R$ 5,00 para
gorjeta. Quantas amigas foram comemorar esse aniversário?
Objetivo: Levar o aluno a fazer cálculo algébrico utilizando o raciocínio lógico.
Procedimentos: Propor aos alunos uma discussão sobre o exercício de lógico que
desperte a curiosidade e proporcionem a interação entre eles reunida em grupo de
dois alunos.
Tempo Estimado: uma aula
Avaliação: Pedir para os alunos à apresentação da solução do problema proposto a
classe.
4) Um reservatório já esta com 300 litros de água. Se for aberta uma torneira que
despeja 35 litros de água por minuto, responda:
a) Qual é a expressão algébrica que representa o número de litros de água no
reservatório após x minutos com a torneira aberta?
b) Qual é o valor numérico dessa expressão para x=16
c) No item b o que representam a equação algébrica de igualdade x=16 e o valor
numérico obtido?
Objetivo: Levar os alunos a representar algebricamente a situação-problema.
Procedimentos: Trabalho em equipe de 3 alunos, leitura e compreensão do
problema.
Tempo Estimado: uma aula.
Avaliação: As apresentações orais em grupo qual foi as habilidades que utilizou
para resolver o problema.
5) Análise a figura, na qual as medidas estão dadas em centímetros. Represente
cada um dos itens abaixo algebricamente.
a) O perímetro da região amarela.
b) A área da região amarela.
c) O perímetro da região marrom.
d) O perímetro da região azul.
e) A área da região azul.
f) A área da região toda.
Objetivo: treinamento de manipulação das fórmulas de perímetro (soma) e área
(produto).
Procedimento: Propor aos alunos que desenhe e recorte a figura, fazendo a
visualização da na prática.
Tempo Estimado: duas aulas.
Avaliação: Reconhecer a figura geométrica e identificar o cálculo algébrico.
6) Observe a figura logo abaixo
a) Represente o perímetro do polígono algebricamente.
b) Atribuir valores para x, uma vez com números inteiros e outra com decimais.
c) Qual o resultado do perímetro que encontrou nas duas situações?
Objetivo: Somar expressões algébricas. Compreender a substituição de valores.
Procedimento: Conduzir os alunos em grupo de dois, a visualizar a álgebra na
figura geométrica e representar aritmética assim podendo fazer um questionamento
entre eles utilizarei os recurso da informática do sofware geogébra.
Tempo Estimado: duas aulas.
Avaliação: Observação e registro do exercício proposto e interação entre eles.
7) Observe a seguinte sucessão de figuras, construídas com fósforos.
Prossegue-se acrescentando um quadrado a cada passo.
a) Calcule a quantidade de fósforos necessária para construir a figura que
ocuparia a sétima posição na sequência.
b) Calcular a quantidade de fósforos necessária para construir a centésima
figura da sequência.
c) É possível generalizar e obter uma fórmula que expressa a quantidade de
fósforos para n quadradinhos?
Objetivo: Reconhecer que existe uma expressão algébrica no problema proposto.
Procedimento: Leitura do exercício por um grupo, e realização da tarefa em grupos
de 3 alunos.
Tempo Estimado: duas aulas.
Avaliação: Observação dos recursos que os alunos utilizaram para resolver o
exercício.
8) Observe o jardim retangular.
Aumentando 1 m em cada lado a área é aumentada em 16 m².
a) Escrever a equação algébrica que compara a área antiga e a área nova.
b) Quais as dimensões originais do jardim.
Objetivo: Equacionar as informações, usando a fórmula da área retangular. Obter a
solução, retornar e fazer a substituição.
Procedimento: Os alunos serão organizados em grupos de três, onde farão a
discussão da atividade impressa e logo após eles serão levado ao computador para
desenhar a figura no sofware geogebra.
Tempo Estimado: duas aulas.
Avaliação: Através de debates e discussões feitas pelos alunos.
9) Bruna, Letícia, Carla e Thaís estão passeando em um bosque circular. Conhecido
como Círculo do Amor. Bem no meio do bosque existe um chafariz.
a) Qual é o menor caminho que cada uma delas deve fazer para alcançar o
chafariz?
b) Considerando o menor caminho para cada uma qual delas vai andar mais?
Qual vai andar menos? Justifique.
c) Descreva o menor caminho que Thaís deve fazer para chegar até Carla, para
responder, troque idéias com seus colegas.
d) Se a menor distância entre Carla e Bruna é de 12m, você acha possível
estimar a distância entre Letícia e Thaís? Qual é essa distância?
Objetivo: Identificar os pontos e a distância na circunferência.
Procedimento: Os alunos estarão reunidos em grupo de dois, os mesmos
trabalharão com manipulação de material concreto confeccionado ou trazido por eles
como o EVA, colocando pontos coloridos para identificar a distância, será utilizadoi o
sofware geogébra.
Tempo Estimado: duas aulas.
Avaliação: Observação e registro, realizado durante a aula.
4. CONTEÚDOS DE ESTUDO
O conteúdo teórico em que se baseiam as atividades dependem de algumas
noções fundamentais da geometria plana. O Geogébra pode ser e será utilizado
para facilitar a apresentação destas noções.
Uma reta é composta por um conjunto infinito de pontos alinhados. É um
objeto que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja,
tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma
reta, apenas dois pontos são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.
A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um
ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de
circunferência cujo raio é infinito. Usualmente denota-se uma reta com letras
minúsculas.
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que
estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro
da circunferência. Esta é uma curva importante no contexto das aplicações.
Sofware Geogebra
Como atividade será feita uma descrição geral do Sofware GeoGebra e
demonstração dos comandos básicos. Este será um momento de integração com o
software, onde os participantes lidarão com a retirada dos eixos para exibição no
modo geométrico.
O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos: a Zona
Gráfica, a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar
os objetos matemáticos em três diferentes representações: graficamente (e.g.,
pontos, gráficos de funções), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos,
equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do
mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às
mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses
objetos foram inicialmente criados.
5. ORIENTAÇÕES E RECOMENDAÇÕES AO PROFESSOR
Este trabalho é voltado para o aprendizado dos alunos, os conteúdos foram
selecionados com o intuito de propiciar aos alunos uma maior compreensão dos
tópicos que interrelacionam Geometria e Álgebra.
O professor pode estimular a autonomia do aluno, instigando-o a refletir,
investigar e descobrir, criando na sala de aula uma atmosfera de busca e
camaradagem, onde o diálogo e a troca de ideias sejam constantes.
É importante ressaltar que o professor leve em conta as condições socio-
culturais, os propósitos, as necessidades e as capacidades dos seus alunos. Assim,
o aluno terá oportunidade de reestruturar e ampliar a compreensão dos conceitos e
procedimentos envolvidos nas situações cotidianas.
6. PROPOSTA DE AVALIAÇÃO
A meta deste trabalho é de mediar a prática pedagógica de todos aqueles que
buscam por uma prática diferenciada, querendo sempre ampliar o conhecimento dos
alunos por meio de atividades diversificadas. Os conteúdos selecionados poderão
colaborar para um aprendizado real e diferenciado dos alunos, contribuindo por uma
educação de maior qualidade.
A avaliação dos alunos será mediante as atividades propostas em cada aula,
em um processo contínuo. De acordo com o desenvolvimento do projeto, os alunos
terão a oportunidade de realizar diversas atividades, sendo dessa forma avaliados
pelo seu desenvolvimento na expressão verbal e escrita. Serão também levados em
consideração o interesse e a participação da turma durante todo o processo de
implementação.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Materiais Consultados
IMENES, L. M. Matemática para todos: 8ª série, 4º ciclo. São Paulo: Scipione, 2002. LINS, R.C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. São Paulo: Papirus, 1997. LORENZATO, S. (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. São Paulo: Autores Associados, 2009. PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Curitiba: SEED, 2008. SESSA, C. Iniciação ao estudo didático da álgebra: origens e perspectivas. São Paulo: Edições SM, 2009. SOUZA, J. R. de. PATARO, P. R. M. Vontade de saber Matemática, 8º ano. São Paulo: FTD, 2009.
