SECTION DE MATHÉMATIQUES SECTION DE MATHÉMATIQUES

SECTION DE MATHÉMATIQUESSECTION DE MATHÉMATIQUES

2 0 1 4 - 2 0 1 5

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RÉSUMÉ DES COURS

2

COURS DONNÉS

PAR LES ENSEIGNANTS DE LA SECTION

DE MATHÉMATIQUES

3

BACCALAURÉAT 1ère ANNÉE

4

ALGÈBRE I 11M010 A. ALEKSEEV, po Semestre d’automne

Cours Exercices TP TOTAL Nombre d’heures

par semaine 4 2 1 7

Nombre d’heures par semestre

56 28 14 98

Objectifs Introduction à l'algèbre linéaire, son interprétation géométrique et ses applications. Compréhension de la structure algébrique des espaces vectoriels et des applications linéaires. Calcul matriciel. Contenu

1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires et leurs représentations matricielles. 3. Déterminants. 4. Valeurs et vecteurs propres, forme de Jordan. 5. Espaces euclidiens et hermitiens. 6. Théorème spectral.

Nombre de crédits ECTS : 7 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit + certificat d’exercices de cours Sessions d’examen : février - septembre

5

ALGÈBRE I 11M011 P.-A. CHERIX, mer Semestre de printemps


par semaine 2 2 1 5


28 28 14 70

Objectifs Etudier deux structures algébriques fondamentales et omniprésentes dans toutes les mathématiques : les groupes, qui sont l'étude des symétries, et les anneaux, qui généralisent l'arithmétique des entiers. Contenu

I. Théorie des groupes

1. Homomorphismes. 2. Groupes quotients. 3. Groupes cycliques. 4. Théorème de Lagrange. 5. Applications à la cryptographie.

II. Théorie des anneaux

1. Homomorphismes d’anneaux, idéaux. 2. Corps quotients. 3. Théorème chinois. 4. Anneaux de polynômes. 5. Anneaux factoriels et euclidiens. 6. Applications à la théorie des nombres.

Nombre de crédits ECTS : 7 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit et oral Session d’examen : juin - septembre

6

ANALYSE I 11M020 H. DUMINIL-COPIN, past Semestre d’automne


par semaine 4 3 1 8


56 42 14 112

Objectifs Ce cours constitue une introduction à l'analyse. Il a pour but d'initier les étudiants à la logique et au formalisme de la théorie des ensembles, et de revisiter les concepts d'analyse étudiés au collège. Contenu

1. Introduction à la théorie des ensembles et à la logique. 2. Ensembles des nombres entiers, rationnels, réels et complexes. 3. Suites numériques. 4. Fonctions continues de la variable réelle. 5. Fonctions dérivables. 6. Intégration des fonctions réglées sur un segment.

Nombre de crédits ECTS : 9 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit + certificat d’exercices de cours Sessions d’examen : février - septembre

7

ANALYSE I 11M021 A. SZENES, po Semestre de printemps


par semaine 4 3 1 8


56 42 14 112

Objectifs Les objectifs de ce cours sont d'approfondir des savoirs par les étudiants de l'analyse à une variable et de commencer les études d'analyse à plusieurs variables. Contenu

1. Séries numériques, séries entières. 2. Suites et séries de fonctions. 3. Intégrales impropres. 4. Equations différentielles. 5. Fonctions à plusieurs variables. 6. Intégrales multiples.

Nombre de crédits ECTS : 9 Pré-requis : analyse I - automne Mode d’évaluation : examen écrit et oral Sessions d’examen : juin - septembre

8

GÉOMÉTRIE I 11M030 M. BUCHER-KARLSSON, mer Semestre d’automne


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Le but de ce cours est l’initiation aux diverses approches de la géométrie. Contenu

1. Géométrie euclidienne. 2. Géométrie analytique. 3. Perspective et géométrie projective.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral + certificat d’exercices de cours Sessions d’examen : février - septembre

9

GÉOMÉTRIE I 11M031 M. BUCHER-KARLSSON, mer Semestre de printemps


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Le but de ce cours est l’initiation aux diverses approches de la géométrie. Contenu

1. Groupes et actions de groupes. 2. Groupes d’isométrie. 3. Géométrie hyperbolique. 4. Géométrie sphérique.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : géométrie I automne, algèbre linéaire automne Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

10

LABORATOIRE DE PROGRAMMATION MATHÉMATIQUE 11M050 P.-A. CHERIX, mer Semestre de printemps


par semaine - - 3 3


- - 42 42

Objectifs Le but de ces travaux pratiques est d’être un appui informatique pour les cours de mathématiques de première année. Il s'agit de résoudre, à l'aide de logiciels de calcul symbolique ou de calcul matriciel, des problèmes venant de l'analyse ou de l'algèbre linéaire principalement, mais aussi reliés à des applications physiques ou informatiques. L'étudiant se familiarise avec une résolution de problèmes via l'ordinateur. L'approche est essentiellement pratique : l'étudiant résout, avec l'aide éventuelle de l'assistant, des exercices gradués. Les logiciels utilisés sont Matlab et Maple. Contenu

1. MatLab, calcul matriciel. 2. Maple, calcul symbolique.

Nombre de crédits ECTS : 4 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : contrôle continu Sessions d’examen : --

11

BACCALAURÉAT 2èmeANNÉE

12

ALGÈBRE II 12M010 T. SMIRNOVA-NAGNIBEDA, pas Annuel


par semaine 2 2 4

Nombre d’heures par année

56 56 112

Objectif Ce cours a pour but de continuer l’étude des structures algébriques fondamentales commencée en algèbre I. Contenu

1. Groupes. 2. Anneaux. 3. Corps. 4. Introduction à la théorie de Galois.

Nombre de crédits ECTS : 10 Pré-requis : algèbre I Mode d’évaluation : examen écrit et oral Sessions d’examen : juin - septembre

13

ANALYSE II - complexe 12M020A

A. KARLSSON, pas Semestre d’automne


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Connaissance de la théorie d’analyse complexe et compétence à utiliser cette théorie pour des problèmes concrets. Contenu

1. Différentiabilité dans C : équations de Cauchy-Riemann, fonctions analytiques, calcul avec des séries, fonction exponentielle, logarithme.

2. Théorie des fonctions holomorphes : intégrale curviligne, formule intégrale de Cauchy, principe du maximum, prolongement analytique, open mapping theorem.

3. Singularités et fonctions méromorphes : développement de Laurent, singularités isolées, théorème des résidus, calcul des intégrales, fonctions méromorphes (Mittag-Leffler), principe de l'argument.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : février - septembre

14

ANALYSE II - complexe 12M020P

A. KARLSSON, pas Semestre de printemps


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Connaissance de l’analyse de Fourier et ses applications, principalement en théorie des équations différentielles. Contenu

1. Séries de Fourier : Lemme de Riemann, fonctions à variation bornée, noyau de Dirichlet, phénomène de Gibbs, théorie de Fejér, systèmes orthogonaux, convergence en moyenne quadratique.

2. Equations aux dérivées partielles : équation des ondes, équation de la chaleur, équation de Laplace.

3. Transformation de Fourier et de Laplace. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : juin - septembre

15

ANALYSE II - Analyse réelle 12M025 R. KASHAEV, pas Semestre d’automne


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs L’acquisition de méthodes avancées de l'analyse réelle permettant notamment de passer de la perception intuitive de notions abstraites à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser pour résoudre des problèmes concrets en mathématiques et dans les autres disciplines. Le développement de compétences utiles aux scientifiques, qu’ils soient chercheurs ou enseignants. Contenu

1. Espaces métriques et espaces vectoriels normés. 2. Théorème du point fixe. 3. Les objets fractals, la dimension de Hausdorff. 4. Calcul différentiel dans des espaces de Banach. 5. Théorème des fonctions implicites.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : février - septembre

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ANALYSE II - Analyse réelle 12M026 R. KASHAEV, pas Semestre de printemps


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs L’acquisition de méthodes avancées de l'analyse réelle permettant notamment de passer de la perception intuitive de notions abstraites à leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser pour résoudre des problèmes concrets en mathématiques et dans les autres disciplines. Le développement de compétences utiles aux scientifiques, qu’ils soient chercheurs ou enseignants. Contenu

1. Multiplicateurs de Lagrange. 2. Calcul des variations. 3. Formes différentielles. 4. Théorème de Stokes. 5. Equations différentielles ordinaires.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : juin - septembre

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ANALYSE NUMÉRIQUE 12M040 G. VILMART, scols2 Annuel


par semaine 2 1 - 3


56 28 - 84

Objectifs Ce cours a pour but d’introduire les techniques importantes du calcul scientifique et d’en analyser les algorithmes. Contenu

1. Intégration numérique. 2. Interpolation et approximation (FFT). 3. Résolution numérique des équations différentielles ordinaires. 4. Algèbre linéaire numérique, méthode des moindres carrés. 5. Calcul des vecteurs et valeurs propres. 6. Équations non linéaires à plusieurs variables.

Nombre de crédits ECTS : 10 Pré-requis : 1ère année de mathématique ou informatique Mode d’évaluation : examen oral Session d’examen : février - juin - septembre

18

GÉOMÉTRIE II 12M030A M. MARINO-BEIRAS, po Semestre d’automne


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Dans la première partie de ce cours, on étudie les géométries sphériques et hyperboliques, qui sont les exemples classiques de géométries non-euclidiennes. La deuxième partie est une initiation à la topologie générale. Contenu Géométrie classique

1. Géométrie sphérique. 2. Géométrie hyperbolique.

Topologie générale

1. Espaces topologiques et voisinages. 2. Continuité et homéomorphismes. 3. Constuction d’espaces topologiques : sous-espaces, produits, quotients. 4. Espaces compacts. 5. Espaces connexes.

Bibliographie [1] M. Reid and B. Szendroi, Geometry and Topology, Cambridge University Press, 2005. [2] N. Borisovich, N. Bliznyakov, Ya. Izraeilevich, T. Fomenko, Introduction to Topology, Mir Publishers, 1985. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre I et géométrie I Mode d’évaluation : examen écrit (note minimum 4 pour valider) Session d’examen : février - septembre

19

GÉOMÉTRIE II 12M030P D. CIMASONI, mer Semestre de printemps


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Etudier les courbes et les surfaces au moyen des outils de la géométrie différentielle. Contenu Géométrie différentielle des courbes

1. Courbes spatiales : courbure, torsion, formules de Frenet. 2. Courbes planes : inégalité isopérimétrique, indice de rotation.

Géométrie différentielle des surfaces

1. Surfaces régulières, changements de paramètres, plan tangent. 2. Première et deuxième formes fondamentales, courbure moyenne, courbure de Gauss. 3. Géodésiques, courbure normale et courbure géodésique, le théorème de Gauss-Bonnet

et ses applications. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I, algèbre I et géométrie I Mode d’évaluation : examen oral (note minimum de 4 pour valider) Session d’examen : juin - septembre

20

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE 12M060A (cours pour mathématiciens) Y. VELENIK, po Semestre d’automne


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Introduction des concepts de base de la théorie des probabilités : événements, mesure de probabilité, espace de probabilité, probabilité conditionnelle, indépendance, formule de Bayes, variable et vecteur aléatoires, principales lois de probabilité, espérance, variance, moments, covariance, corrélation, loi faible des grands nombres, fonctions génératrices et fonctions caractéristiques. Contenu

1. Espaces de probabilité discrets. 2. Marche aléatoire simple sur Z. 3. Fonctions génératrices. 4. Espaces de probabilité généraux. 5. Fonctions caractéristiques.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : 1ère année de baccalauréat. Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : février - septembre

21

PROBABILITÉS ET STATISTIQUE 12M060P (cours pour mathématiciens) Y. VELENIK, po Semestre de printemps


par semaine 2 2 - 4


28 28 - 56

Objectifs Introduction à quelques thèmes plus avancés de théorie des probabilités : théorèmes limites, processus stochastiques. Introduction à la statistique. Contenu

1. Théorèmes limites : lemmes de Borel-Cantelli, loi forte des grands nombres, théorème central limite, loi 0/1 de Kolmogorov.

2. Processus stochastiques : compléments sur les marches aléatoires, chaînes de Markov, modèle de percolation, processus de Poisson.

3. Introduction à la statistique : estimateurs, intervalles de confiance, tests d'hypothèse. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : 1ère année de baccalauréat, cours du 1er semestre Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : juin - septembre

22

BACCALAURÉAT 3èmeANNÉE MAÎTRISE 1ère ANNÉE

23

24

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE III 13M010A (cours de 3ème année de bachelor) D. CIMASONI, mer Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Assimiler les premiers outils de la topologie algébrique (groupe fondamental, revêtement, théorie simpliciale) et les utiliser pour une meilleure compréhension de certains espaces topologiques. Contenu

1. Constructions de base : chemins, homotopie, groupe fondamental, fonctorialité, applications.

2. Théorème de van Kampen : produit libre de groupes, théorème de van Kampen, application aux complexes cellulaires et aux surfaces.

3. Revêtements : propriété de relèvement, classification des revêtements, groupe d'un revêtement.

4. Théorie simpliciale : Delta-complexes, caractéristique d'Euler.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre II, géométrie II Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

25

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE III 13M010P (cours de 3ème année de bachelor uniquement) M. MARINO BEIRAS, po Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Le cours fournit une introduction à la géométrie des variétés différentiables qui est le langage de base de la géométrie moderne. Contenu

1. Variétés différentiables. 2. Espace tangent. 3. Applications différentiables. 4. Immersions et submersions. 5. Sous-variétés. 6. Espaces fibrés. 7. Topologie des variétés. 8. Champs de vecteurs. 9. Champs de tenseurs et formes différentielles.

10. Intégration sur les variétés. Théorème de Stokes. References [1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Second Edition, Academic Press, 2003. [2] F. Brickell and R. S. Clark, Differentiable manifolds. An introduction, Van Nostrand, 1970. [3] P.M. Gadea and J. Mu˜noz Masqu´e, Analysis and algebra on differentiable manifolds, Springer, 2009. [4] L. Tu, An introduction to manifolds, Second Edition, Springer, 2011. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre II, géométrie II Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : juin - septembre

26

ANALYSE III 13M020A (cours de 3ème année de bachelor) P. SEVERA, smer Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Etablir les bases de la théorie de la mesure et de l’intégration selon Lebesgue. Contenu

1. Sigma-algèbres et mesures. 2. Mesure de Lebesgue. 3. Constuction de mesures. 4. Intégral de Lebesgue. 5. Théorèmes fondamentaux (convergence monotone, Lemme de Fatou et convergence

dominée) . 6. Espaces L^p. 7. Mesures produit et théorèmes de Tonelli et Fubini. 8. Théorème de Radon-Nikodym.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse II Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

27

ANALYSE III 13M020P (cours de 3ème année de bachelor) P. SEVERA, smer Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Introduction à l’analyse fonctionnelle et à la théorie des distributions. Contenu

1. Distributions. 2. Transformation de Fourier. 3. Convolution. 4. Espaces de Banach. 5. Espaces de Hilbert. 6. Théorème de Hahn-Banach. 7. Espace dual et les topologies faibles. 8. Opérateurs bornés. 9. Opérateurs compacts. 10. Théorème spectral.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse II Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

28

ASPECTS MATHÉMATIQUES DE LA THÉORIE QUANTIQUE 14M152 R. KASHAEV, pas Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Aborder les aspects mathématiques de la théorie quantique qui est une branche de la physique qui décrit le comportement des objets microscopiques : les molécules, les atomes ou les particules élémentaires. Contenu La théorie quantique est caractérisée par le principe de superposition, l’indéterminisme de la mesure, la dualité onde-corpuscule, l’effet tunnel, l’intégrale de chemin, la quantification, le principe d’incertitude de Heisenberg, etc. Ce cours sera consacré aux quelques aspects de l’appareil mathématique de cette théorie. On discutera en particulier les espaces de Hilbert, les relations de Heisenberg et de Weil, le théorème spectral, les équations de Schrödinger et de Dirac, le calcul des distributions, la transformation de Fourier, les représentations de groupes, la diffusion quantique. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I, analyse II, algèbre I Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

29

DE RHAM COHOMOLOGY 14M143 (cours en anglais) P. TURNER, scc Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs De Rham cohomology is an important topological invariant of smooth manifolds encoding information about differential forms on manifolds. The aim of this course is to introduce de Rham cohomology and then to investigate a number of topics in differential topology that can be expressed using this theory. Contenu

1. Differential forms. 2. Definition of de Rham cohomology. 3. Properties of de Rham cohomology. 4. Applications including Morse inequalities and the Hopf invariant.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : géométrie II Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

30

ESTIMATION STATISTIQUE 14M118 S. SARDY, mer Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Apprendre des grands principes d’estimation en statistiques dans le contexte de la régression. Etudier en particulier les estimateurs de régularisation par seuillage. Programmer certains estimateurs en R. Contenu Pour des problèmes d'estimation de fonctions (régression, densité, problème inverse, anova,classification), nous analyserons des méthodes d'estimation paramétrique et non paramétrique basées sur la régularisation pour contrôler le compromis biais-variance. Pour chaque estimateur nous étudierons ses propriétés (existence, unicité, convergence, inégalité oracle), le choix de son paramètre de régularisation (AIC, BIC, SURE, (G)CV, seuil universel), la résolution numérique de son calcul (optimisation, point fixe). On étudiera d’abord le problème général de l'estimation paramétrique et nonparamétrique (maximum likelihood, Bayesien, substitution principal, GMM), à l'estimation de densité et aux estimateurs classiques de regression paramétrique tels que best subset variable selection, ridge regression, principal component regression, partial least squares, en commençant par least squares. Puis on étudiera en particulier la régularisation induisant de la sparsité/parsimonie par seuillage ou penalité L1. Nous étudierons en particulier grouped/adaptive lasso, iterative thresholding, et des méthodes basées sur les ondelettes (ex. Waveshrink) et champ de Markov en régression, compressive sampling, anova et problème inverse. En parallèle, un projet sera conduit pour programmer en R ou en Matlab ces estimateurs et analyser des données de régression. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre linéaire, analyse réelle, probabilités et statistique, notions de programmation Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

31

GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE 14M147 M. BUCHER-KARLSSON, mer Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Etudier les propriétés géométriques de l’espace hyperbolique, en contraste avec les espaces Euclidiens ou sphériques. Contenu La géométrie hyperbolique a été introduite par Bolyai, Gauss et Lobachevski dans la première moitié du 19ème siècle comme exemple d'une géométrie contredisant l'axiome de parallélisme d'Euclide. Dès lors, cette géométrie demeure un sujet de recherche actif, et puisqu'elle sert de prototype aux prédominantes géométries de courbure négative, elle est, dans un certain sens, plus fondamentale que la géométrie euclidienne classique. Dans ce cours, nous étudierons différents aspects de la géométrie de l'espace hyperbolique tels que ses géodésiques, volumes, isométries, pavages. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

32

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE 14M141 A. KARLSSON, pas Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Apprentissage de la géométrie métrique et développement des compétences nécessaires à l'application de cette théorie pour des problèmes concrets. Contenu La théorie moderne des espaces métriques, comme la courbature au sens d'Alexandrov développée par Gromov et autres. On va étudier des exemples d’espaces importants, et les horofonctions avec applications.

1. Théorèmes de point fixe. 2. La métrique de Hilbert. 3. Espaces CAT (0). 4. Les espaces symétriques. 5. Horofonctions. 6. Applications spectrales.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse I, algèbre I Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

33

GRAPHES EXPANSEURS 14M149 T. SMIRNOVA-NAGNIBEDA, pas Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Ce cours s’adresse aux étudiants avancés et aux doctorants en mathématiques. Les informaticiens sont aussi les bienvenus. Objectifs Le but de ce cours est de donner une introduction de cette belle théorie. Contenu De façon intuitive, on peut dire que des graphes expanseurs sont des graphes possédant d’excellentes propriétés de connectivité. Des familles croissantes de tels graphes présentent un grand intérêt pour la construction de toute sorte de réseaux efficaces, notamment en informatique théorique. L’existence des familles infinies des graphes expanseurs peut être démontrée par des méthodes probabilistes, mais, comme c’est souvent le cas en mathématiques, de là à en construire au moins un exemple concret, il faut encore beaucoup de travail. Le problème de construction de graphes expanseurs a mené, en l’espace de quelques dernières décennies, au développement d’un champs de recherche extrêmement actif et intéressant, à la frontière de la géométrie, la combinatoire, la théorie des groupes et la théorie des nombres. Références.

1) S.Hoory, N. Linial and A. Wigderson. “Expander graphs and their applications”. Bulletin AMS, vol. 43, No 4, 2006, pages 439—561.

2) Emmanuel Kowalski. Expander Graphs. Les notes du cours donné à l’ETHZ en 2011.

http://www.math.ethz.ch/~kowalski/expanders.html

3) Alexander Lubotzky. Discrete groups, expander graphs and invariant measures. Birkhauser. 1994.

Information supplémentaire pour les étudiants avancés, intéressés dans la recherche et pour les doctorants : l’école doctorale Suisse organisera au printemps 2015 une semaine de cours intensifs sur le sujet des expanseurs en dimensions supérieures. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

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INTRODUCTION AUX MODÈLES SUR RÉSEAU 14M150 Y. VELENIK, po Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs La théorie mathématique des transitions de phase a connu de très importants développements ces 50 dernières années. En particulier, l'analyse des modèles sur réseau est devenu un domaine central de la théorie des probabilités (comme en témoignent, par exemple, les médailles Fields de W. Werner, en 2006, et S. Smirnov, en 2010). Le but de ce cours est d'introduire les étudiants à ce domaine de recherche, en illustrant diverses problématiques à l'aide de modèles particulièrement importants. Contenu

1. Le modèle d'Ising : généralités, transition de phase en champ magnétique nul, absence de transition en champs magnétique non nul.

2. Le modèle de gaz sur réseau : généralités, ensembles canonique et grand-canonique, équivalence des ensembles.

3. Le modèle XY : généralités, absence de brisure de symétrie en dimensions 1 et 2 (théorème de Mermin-Wagner), décroissance des corrélations.

4. D'autres sujets si le temps le permet.

Le cours est basé sur un livre sur ce sujet, en cours de rédaction. Des ébauches de plusieurs chapitres peuvent être téléchargées à l'adresse : http://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html N.B. : ce cours ne présuppose aucune connaissance préalable en physique, et est conçu pour être accessible aux étudiants en mathématique et en physique. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre linéaire, analyse réelle et complexe, notion de base de théorie des probabilités Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

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MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES 14M080 (cours de 3ème année de bachelor uniquement) A. ALEKSEEV, po N. KALININ, assistant Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs En mathématiques, on peut introduire de nombreux sujets en tant que suites de problèmes relativement simples. On exigera que les auditeurs les démontrent par leurs propres forces, étape par étape. Les théorèmes et les idées débattus ne sont pas isolés en mathématiques, mais largement appliqués. Ainsi, le cours sera présenté sous la forme d'un ensemble de problèmes ; pour les résoudre, on n'aura pas besoin de connaître de théories particulières. On distribuera aux auditeurs des devoirs et on en discutera ensuite en classe. Contenu

1. Théorie élémentaire des nombres (arithmétique modulaire, des polynômes irréductibles).

2. Théorie de Ramsey. 3. Géométrie combinatoire planaire. 4. Equation de Pell-Ferma, théorème de Minkowski au sujet d'un convexe symétrique. 5. Théorie de graphes (colorations de graphes, problème du voyageur de commerce,

lemme des mariages). 6. Inégalités de Young, Jensen, Muirhead, leurs applications.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrits + interventions au tableau + tests écrits Sessions d’examen : février - septembre

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MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES 14M139 G. VILMART, scols2 Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Les équations différentielles stochastiques (EDS) interviennent dans de nombreux modèles en physique, chimie, économie. Ce cours avancé est une introduction aux méthodes numériques pour les EDS, d'un point de vue à la fois théorique et pratique. Des connaissances préalables en théorie de la mesure et probabilités, ainsi qu'en analyse numérique des équations différentielles, sont souhaitables, mais le cours comportera les rappels nécessaires. Contenu

1. Rappels et compléments de probabilité. Mouvement brownien, bruit blanc. 2. Intégrales stochastiques, formule d'Itô. 3. Convergence forte et convergence faible, méthode numériques classiques. 4. Étude de stabilité, intégrateurs pour les EDS raides. 5. Intégrateurs numériques d'ordre faible élevé. 6. Réduction de variance : méthode de Monte-Carlo multi-niveaux.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : analyse numérique, analyse II, probabilités et statistique Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

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NUMERICAL OPTIMIZATION 14M151 (cours en anglais) N.N Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs This course is an introduction to numerical continuous optimization: the mathematical formulation of optimization problems, the numerical algorithms to solve these problems together with their convergence and efficient implementation. An overview of existing software will be given and used during practical exercise sessions in MATLAB. Contenu

1. Applications and types of optimization problems 2. Unconstrained optimization (gradient- and Newton-like algorithms, globalization

techniques, non-linear least-squares) 3. Constrained optimization (optimality conditions, KKT system, linear and quadratic

programming, SQP) 4. Convex optimization (duality, SDP, interior points algorithms, convex relaxations) 5. Special topics (manifold optimization, stochastic methods)

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : multivariable calculus, linear algebra, and numerical methods. Some programming experience (although not necessarily in MATLAB). Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

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PRINCIPES TRANSVERSAUX EN MATHÉMATIQUES 14M023 P.-A. CHERIX, mer Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Ce cours est principalement orienté vers les personnes se destinant à l’enseignement des mathématiques. En tant qu’enseignant du secondaire, j’entends souvent : "Les études de mathématiques ne sont pas assez orientées vers l'enseignement. Ce que l'on voit à l'uni n’a rien à voir avec notre enseignement." Il faut néanmoins rappeler que la plupart des notions vues durant la scolarité sont reprises et approfondies dans les cours de première année. Il est possible néanmoins qu'une approche différente de ces notions empêche certains étudiants de reconnaître des notions déjà connues. Il s'agit donc plus d'une difficulté à transposer une notion dans un cadre différent. Comment remédier à cela? Il s’agit de revisiter, dans un cours avancé, des sujets primordiaux et transversaux à toutes les branches des mathématiques, permettant ainsi de faire des ponts entre les sujets. Il existe en effet des objets, des idées et des approches qui apparaissent toujours, même si elles sont légèrement cachées par la technicité et le vocabulaire propre à chaque sujet. Voir où et comment ces notions transversales sont présentes (de manière peut-être embryonnaire) dans l'enseignement des mathématiques au secondaire permet de donner un autre regard aux notions mathématiques enseignées dans l’enseignement secondaire. Contenu

1. Les ensembles de nombres. 2. Symétries et invariants. 3. L’approximation. 4. Structures algébriques.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : cours des deux premières années du bachelor en mathématiques Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

39

THÉORIE ADDITIVE DES NOMBRES : SOMMES DE CARRÉS 14M148 Y.-F.S. PETERMANN, cc Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Au IIIème siècle déjà, Diophante d’Alexandrie observe que chaque entier positif est somme de quatre carrés positifs ou nuls; ce fait est démontré en 1770 par Lagrange. En 1634, Albert Girard décrit les entiers positifs qui sont sommes de deux carrés positifs ou nuls; la première démonstration complète est donnée par Euler en 1754. La caractérisation des entiers positifs qui sont sommes de trois carrés positifs ou nuls est plus difficile à démontrer. La première preuve est due à Legendre en 1797-8; Gauss a donné un résultat plus complet en 1801. Et une preuve devenue classique est due à Dirichlet en 1850 : c’est celle qui sera présentée dans ce cours. Contenu

1. Introduction. 2. Additions de suites, densités. 3. Le théorème des quatre carrés de Lagrange. 4. Le théorème des deux carrés “de Fermat”. 5. La loi de réciprocité quadratique. 6. Le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. 7. Formes quadratiques binaires et ternaires. 8. Le théorème des trois carrés de Legendre.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : Analyse I et Algèbre I Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin - septembre

40

THÉORIE ALGÈBRIQUE DES NOMBRES 14M146 P. SEVERA, smer Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Introduction à la théorie algébrique des nombres, surtout dans le cas des corps quadratiques, avec des applications pour des équations Diophantiennes. Contenu

1. Nombres algébriques entiers. 2. Factorisation en idéaux premiers. 3. Réciprocité quadratique et corps quadratiques. 4. Finitude du groupe des classes d’idéaux. 5. Ramification et discriminants. 6. Théorème des unités. 7. Nombres p-adiques.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : juin – septembre

41

THÉORIE DE L’HOMOLOGIE 14M145 D. CIMASONI, mer Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Introduire les différentes versions de la théorie de l'homologie (simpliciale, singulière, cellulaire) et en déduire un maximum d'applications topologiques. Contenu Homologie simpliciale et singulière

1. Delta-complexes, homologie simpliciale. 2. Homologie singulière : définition, fonctorialité, invariance par homotopie, suites exactes

et excision. 3. Equivalence des homologies simpliciales et singulières.

Calcul et applications

1. Le degré de Brouwer. 2. Suite exactes de Mayer-Vietoris. 3. CW-complexes, homologie cellulaire, caractéristique d’Euler. 4. Applications classiques.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : algèbre II, géométrie II Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

42

THÉORIE DES GRAPHES 14M144 V. QUACH HONGLER, cc Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Dans ce cours, après avoir introduit les notions de base, on abordera quelques chapitres sympathiques de la Théorie des Graphes : Contenu

1. Arbres recouvrants. 2. Coloriage des graphes. 3. Graphes sur les surfaces. 4. Théorème flot-max/coupe-min. 5. Mariages. 6. Nombres de Ramsey. 7. Applications à la Topologie.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

43

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA PERCOLATION 14M142 H. DUMINIL-COPIN, past Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Ce cours constitue une introduction à la percolation. La percolation sur le réseau Z^d est un modèle de graphes aléatoires d'apparence très simple mais qui exhibe un comportement très riche et constitue un terrain d'essai privilégié pour l'étude de phénomènes physiques concrêts. Dans ce cours, nous nous proposons de développer une théorie mathématique de la percolation, et d'illustrer à travers cette théorie certains des principes fondamentaux de la physique statistique. Mentionons que la définition élémentaire du modèle nous permettra d'aborder rapidement des travaux de recherche actuelle (notamment dus à Schramm, Smirnov et Werner). Contenu

1. Transition de phase de la percolation sur Z^d. 2. Percolation planaire et invariance conforme. 3. Thèmes de recherche actuelle.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : cours de probabilités de 2ème année Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : février - septembre

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SÉMINAIRES Les candidats au Baccalauréat universitaire en mathématiques choisissent un des deux séminaires ci-après. Les candidats à la Maîtrise universitaire en mathématiques, direction G choisissent un des séminaires ci-après qu'ils n'ont pas déjà suivi pour le Baccalauréat, sauf accord exprès de l'enseignant.

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SÉMINAIRE ALGÈBRE-GÉOMÉTRIE 13M761 V.QUACH-HONGLER, cc Semestre d’automne


par semaine 2 - 2


28 - 28

Ouvert aux candidats à un baccalauréat ou à une maîtrise universitaire en mathématiques. Semestre d’automne Contenu Des chapitres choisis principalement dans les domaines de la géométrie , la topologie et de l'algèbre sont proposés. Le programme des séminaires sera établi en fonction de l'intérêt des participants. Quelques références: G.Toth: Glimpses of Algebra and Geometry. P.Hilton, D. Holton, J.Pedersen: Mathematical Reflections. V. Prasolov: Intuitive Topology. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : certificat Sessions d’examen : --

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SÉMINAIRE DE THÉORIE DES NOMBRES 13M762 Y.-F. PETERMANN, cc Semestre d’automne


par semaine 2 - 2


28 - 28

Ouvert aux candidats à une maîtrise bi-disciplinaire, mineure en mathématiques. Et également aux candidats à un « complément d’études en sciences, pour l’enseignement ». Pour des raisons d’organisation, il est impératif que chaque participant soit présent à la première séance du séminaire. Objectif On abordera quelques chapitres choisis de théorie des nombres, avec des méthodes plutôt élémentaires et parfois historiques. Voici une liste non exhaustive de quelques sujets possibles. Contenu

1. Introduction aux fonctions arithmétiques. 2. Densités de suites d’entiers. 3. Comportement asymptotique de la suite des nombres premiers. 4. Le crible d’Eratosthène. 5. Suites de Farey et approximations de nombres irrationnels. 6. Ordres de grandeur. 7. Problèmes de visibilité.

Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : certificat Sessions d’examen : --

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SÉMINAIRE - THÉORIE MATHÉMATIQUE DES JEUX 13M760 P. TURNER, scc Semestre d’automne


par semaine 2 - 2


28 - 28

Ouvert aux candidats à un baccalauréat ou à une maîtrise universitaire en mathématiques. Contenu La théorie des jeux est un domaine développé relativement récemment en mathématiques, notamment par John von Neumann et John Nash. Elle fait intervenir des techniques issues de nombreux domaines différents, qui seront abordés dans ce séminaire : théorie des probabilités, théorie combinatoire, théorie des graphes, algèbre, analyse, topologie, etc... Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : certificat Sessions d’examen : --

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COURS DONNÉS À D’AUTRES SECTIONS

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52

MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES 11M000 S. SARDY, mer Semestre d’automne


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Dégager les idées du calcul différentiel et intégral à une et plusieurs variables qui sont importantes pour la pratique scientifique en Biochimie, Biologie, Chimie, Pharmacie et Science de la terre. Contenu

1. Analyse de fonctions univariées : graphe, limite, continuité, dérivation, intégration, Taylor.

2. Fonctions à plusieurs variables : graphes, limite, continuité, gradient, hessienne, Taylor. 3. Optimisation : concepts clef, existence, unicité, convexité, algorithmes. 4. Algèbre linéaire : espace vectoriel, partie libre, partie génératrice, base, déterminant,

norme, produit scalaire, produit vectoriel, matrice, vecteurs/valeurs propres. 5. Equations différentielles simples.

Nombre de crédits ECTS : dépend des baccalauréats Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : février - septembre

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MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES 11M001 S. SARDY, mer Semestre de printemps


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Apprendre les concepts clefs en statistique et probabilités. Contenu

1. Analyse exploratoire (statistiques simples et analyse graphique) et utilisation du logiciel statistique R.

2. Calculs élémentaires de probabilités. 3. Variables aléatoires et distributions discrètes, leur espérance et variance. En particulier,

distributions Bernoulli, Binomiale et Poisson. 4. Variables aléatoires et distributions continues, leur espérance et variance. En particulier,

distributions Gaussienne et Student. 5. Introduction à la régression, au test statistique (test de Student) et estimateur.

Nombre de crédits ECTS : dépend des baccalauréats Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : juin - septembre

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MATHÉMATIQUES POUR INFORMATICIENS 11M005 M. GANDER, po Semestre de printemps


par semaine 4 2 6


56 28 84

Objectifs Ce cours est une continuation d’Analyse I (automne) et d’Algèbre I (automne). Il traite quelques sujets plus avancés de mathématiques, qui sont importants pour les étudiants en informatique, et il donne les bases théoriques pour les sujets traités au cours "Analyse numérique" en deuxième année. Contenu

1. Topologie de l'espace euclidien et fonctions continues. Distance, normes, convergence, ensembles ouverts et fermés, fonctions continues à plusieurs variables, courbe de Peano-Hilbert.

2. Calcul matriciel. Rappel d’algèbre linéaire, forme normale de Schur, matrices orthogonales, formes quadratiques, matrices définies positives, classification des hyper-quadriques, matrices définies positives, norme d'une matrice.

3. Calcul différentiel (plusieurs variables). Dérivées partielles, différentiabilité, dérivées d'ordre supérieur, série de Taylor, théorème des accroissements finis, théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. surfaces et sous-variétés, espace tangent.

4. Optimisation. Maxima relatifs, multiplicateurs de Lagrange, contraintes sous forme d’équations et inéquations, programmation linéaire, algorithme du simplexe.

5. Calcul intégral. Primitives, applications du calcul intégral, techniques d’intégration, intégration de fonctions rationnelles, substitutions importantes, intégrales multiples.

6. Séries de Fourier. Exemples et étude élémentaire de convergence, noyau de Dirichlet, convergence ponctuelle et en moyenne quadratique.

Nombre de crédits ECTS : 6 Pré-requis : analyse I (automne), algèbre I (automne) Mode d’évaluation : examen oral Session d’examen : juin - septembre - février

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PROBABILITÉS ET STATISTIQUE 12M061 (cours pour informaticiens) A. SZENES, po Semestre d’automne


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Le but de ce cours est une introduction aux probabilités . Nous illustrerons la théorie par simulations informatiques. Contenu Événements, mesure de probabilité, espaces de probabilités. Probabilités conditionnelles, événements indépendants. Formule de Bayes. Variables aléatoires, fonctions de répartition. Principales lois de probabilités. Espérance, variance, moments. Vecteurs aléatoires : distribution conjointe, distribution marginale, distribution conditionnelle, indépendance, covariance et corrélation. Fonctions génératrices et fonctions caractéristiques. Loi des grands nombres et théorème central limite. Introduction à la statistique. Tests d'hypothèses. Intervalles de confiance. Nombre de crédits ECTS : 4 Pré-requis : 1ère année de baccalauréat. Mode d’évaluation : examen oral Sessions d’examen : février - septembre

56

COURS DONNÉS PAR DES ENSEIGNANTS D’AUTRES SECTIONS

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ALGORITHMIQUE 12X001 J. ROLIM, po B. CHOPARD, po Semestre d’automne


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Ce cours est un approfondissement aux concepts et techniques de l’algorithmique. Contenu On étudie les mécanismes utilisés par un ordinateur pour résoudre un problème donné, pour mesurer l’efficacité d’un algorithme proposé et pour comparer cet algorithme à d’autres solutions possibles. De nombreux algorithmes et techniques sont présentés et étudiés, de façon à bien comprendre leur conception et leur analyse. Les sujets suivants seront abordés :

1. Structures de données avancées. 2. Algorithmes gloutons. 3. Diviser pour conquérir. 4. Programmation dynamique. 5. Backtracking. 6. Branch and bound. 7. Algorithmes d’approximation.

Documentation : « Computer Algorithms », Computer ScienceS Press, 1998 – E. Horowitz, S. Sahni, S. Rajasekaran. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : complexité et calculabilité Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : février - septembre

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COMPLEXITÉ ET CALCULABILITÉ 11X008 J. ROLIM, po Semestre de printemps


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Ce cours étudie les frontières fondamentales entre le possible (calculabilité) et le faisable (complexité) dans le traitement d’information par ordinateur. Contenu En première partie, ce cours présente une introduction à la théorie de la calculabilité et de la décidabilité en utilisant les machines de Turing comme modèle universel des ordinateurs. La deuxième partie du cours est dédiée à l'étude de la complexité d'un algorithme, laquelle mesure l'efficacité de celui-ci. Au-delà des algorithmes, la théorie de la complexité permet aussi d'étudier la difficulté intrinsèque des problèmes rencontrés en particulier en optimisation combinatoire, par l’élaboration d'une hiérarchie de difficultés de résolution y compris les problèmes NP-complets. Les sujets suivants seront abordés :

1. Calculabilité effective. 2. Hypothèse de Church et machines universelles. 3. Langages récursifs et récursivement énumérables. 4. Machines de Turing déterministes et non-déterministes. 5. Classes P, NP, co-NP et PSPACE. 6. Transformations polynomiales. 7. Problèmes NP-complets et NP-difficiles.

Documentation : Liste d’ouvrages de référence et notes de cours. Préparation pour : Algorithmique. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : langages formels Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : juin - septembre

60

CONCEPTS ET LANGAGES ORIENTÉS OBJETS 12X003 P. DUGERDIL, cc Semestre de printemps


par semaine 2 2 4 8


28 28 56 112

Objectifs

Ce cours a pour but d'introduire les concepts fondamentaux de la construction de logiciels basée sur les objets. Après une introduction à la notion d’objet, le cours se concentre sur la modélisation des logiciels à objets en utilisant le langage de modélisation UML. Il présente ensuite une technique d’analyse et de conception de logiciels basée sur les objets. Le cours est illustré par l'étude d'un langage de programmation orienté objets (Java). Les séances d'exercices, liées au cours, donnent l'occasion de mettre en oeuvre les notions enseignées, tant sur papier pour les questions de modélisation que sur machine pour l'emploi de l'environnement de développement et du langage Java.

Contenu

1. Concepts de programmation orienté objet (objets, messages, instances, classes, encapsulation, polymorphisme, héritage).

2. Modèles UML statiques des logiciels (diagramme de classe, de composants et d’objets). 3. Modèles UML dynamiques des logiciels (diagramme de séquence, de communication, d’activité et

d’états). 4. Langage de modélisation de contraintes OCL. 5. Technique d’analyse de logiciels basée sur les responsabilités et les collaborations (RDD). Présentation du langage Java qui est utilisé pour la plupart des exemples illustrant le cours ainsi que pour les travaux pratiques. Documentation : Polycopié et ouvrages de référence. Préparation pour : Génie logiciel. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : bon niveau de programmation Mode d’évaluation : examen oral Session d’examen : juin - septembre

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ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DE L’INFORMATION 12X004 (anciennement Structures discrètes et information) S. VOLOSHYNOVSKYY, pas Semestre de printemps


par semaine 2 2 4 8


28 28 56 112

Objectifs Le but du cours est de donner aux étudiants une introduction à la théorie de l’information. Le cours développera les volets théoriques nécessaires au traitement des problèmes dans les domaines suivants : transfert de l’information, tests d’hypothèses et réduction de la Redondance. Contenu Le cours contiendra les chapitres suivants :

1. Méthodes probabilistes. 2. Mesure de l’information. 3. Sources de l’information (discrètes sans mémoire, de Markov, binaires et continues). 4. Réduction de la redondance (compression des données) et transfert de l’information.

Documentation : Note de cours et liste d’ouvrages de référence. Préparation pour : Imagerie numérique, Imagerie numérique avancée , Data Mining, Cryptographie et sécurité, Sécurité et confidentialité de multimédia, Elements of multiuser information theory and wireless communications. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : probabilités et statistiques Mode d’évaluation : examen oral ou contrôle continu Session d’examen : juin - septembre

62

INTRODUCTION À L'INFORMATIQUE 12X013 J. LÄTT, mer Semestre d’automne


par semaine 3 2 5 10


42 28 70 140

Objectifs Le but de ce cours est celui de fournir les notions et les outils de base de l’informatique et de l’algorithmique aux étudiants en première année de mathématiques. Contenu Le cours offre tout d’abord un aperçu des concepts fondamentaux de la programmation et de l’algorithmique. Ces aspects seront mis en pratique dans des séances d’exercices, axés sur la programmation. Après une présentation conceptuelle de la notion d’algorithme, on passera à une étude de la complexité de différentes classes d’algorithme. On présentera finalement les algorithmes de base de l’informatique : algorithmes de recherche et de tri, structures de données fondamentales (listes, files et piles), et structures de données non-linéaires (arbres et graphes). Nombre de crédits ECTS : 4 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Session d’examen : février - septembre

63

INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION DES ALGORITHMES 11X001 T. PUN, po Semestre d’automne


par semaine 4 2 6 12


56 28 84 168

Objectifs Ce cours a pour but d'introduire les concepts fondamentaux de l’algorithmique et de la programmation des ordinateurs en suivant simultanément l'approche de la programmation fonctionnelle et celle de la programmation procédurale. Des algorithmes représentatifs de problèmes classiques sont étudiés. Contenu 1. Concepts d’algorithmes, notions fondamentales, abstraction, séquences, itérations, récursivité. 2. Programmes et langages de programmation. 3. Analyse, performance et complexité des algorithmes. 4. Programmation fonctionnelle :

- Expressions fonctionnelles, procédures, récursivité, processus de calcul. - Lamda-calcul, modèles d'évaluation et de substitution. - Procédures et fonctions d'ordre supérieur. - Abstraction de données, données composées et hiérarchie de données. 5. Programmation procédurale : - Modèle de von Neumann, types abstraits de données. - Instructions d'affectation et de contrôle, sous-programmes. - La récursivité en programmation procédurale. 6. Algorithmes et leur analyse, tels : tri, cryptographie, analyse d’images. Le cours est illustré par l’étude d’un langage fonctionnel (Scheme) et d’un langage procédural (Pascal). En parallèle, il est nécessaire de suivre le laboratoire de programmation : 4h par semaine. Nombre de crédits ECTS : 7 Pré-requis : bon niveau en mathématiques élémentaires Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : février - septembre

64

LANGAGES FORMELS 11X003 J. ROLIM, po Semestre d’automne


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Ce cours a pour sujet l’étude et l'analyse des langages formels et de leurs éléments : les mots. Les langages formels sont des objets fondamentaux en informatique comme les langages de programmation, compilation, codages, complexité, etc… On étudie les langages formels et les systèmes qui en permettent une spécification ou représentation comme les automates, grammaires, systèmes de réécriture et logiques. Contenu Les sujets suivants seront abordés :

1. Langages réguliers. 2. Automates à états finis. 3. Expressions et grammaires régulières. 4. Langages hors-contexte. 5. Grammaires. 6. Automates à piles déterministes et non déterministes. 7. Langages récursivement énumérables. 8. Machines de Turing. 9. Logiques de 1er ordre.

Préparation pour : Complexité et calculabilité. Documentation : liste d’ouvrages de référence et note de cours. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : février - septembre

65

LOGICIELS ET RÉSEAUX INFORMATIQUES 11X004 E. SOLANA, cc Semestre de printemps


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Ce cours a pour but de présenter les principes de fonctionnement des réseaux informatiques et des systèmes distribués. Il décrit également le rôle du système d¿exploitation d¿un ordinateur, la notion de pagination, la gestion de la mémoire et la virtualisation. Enfin, il permet à l¿étudiant de saisir les principaux concepts inhérents à la sécurité des systèmes et à la protection des réseaux. Contenu

1. Principes fondamentaux et architecture de base des réseaux. 2. Technologie de transmission et techniques de traitement des erreurs. 3. Technologies de liaison, réseau et transport. 4. Systèmes d’exploitation, gestion de la mémoire et virtualisation. 5. Systèmes et applications distribués. 6. Introduction à la sécurité informatique et à la protection des informations digitales 7. Techniques des protections des réseaux et des ressources informatiques.

Bibliographie Understanding Networked Multimedia: Applications and Technologies. F. Fluckiger, Prentice Hall, 1995. Data and Computer Communications (10th Edition) Williams Stallings. William Stallings Books on Computer and Data Communications, 2013. Architecture des Réseaux (2e édition) Danièle Dromard, Dominique Seret. Pearson Education, 2010. Architecture de l'Ordinateur (4e édition). Andrew Tanenbaum. Dunod, 2001. Cryptography and Network Security: Principles and Practice (5th Edition). Williams Stallings. Prentice Hall, 2010. Security Engineering: A Guide to Building Dependable Distributed Systems (2nd Edition). Ross J. Anderson. Wiley 2008. Préparation pour : Concepts de langages informatiques, Imagerie numérique. Nombre de crédits ECTS : 3 Pré-requis : technologie des ordinateurs Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : juin - septembre

66

OUTILS FORMELS DE MODÉLISATION 12X005 D. BUCHS, pas Semestre d’automne


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs Ce cours introduit les concepts et les techniques qui permettent de modéliser formellement des systèmes informatiques dynamiques et discrets. L’accent sera mis sur les concepts fondamentaux des modèles existants et leurs propriétés formelles. La vérification des propriétés des systèmes modélisés au moyen de techniques algorithmiques et de mécanismes de raisonnement symbolique sera également abordée. Contenu Les outils mathématiques élémentaires seront introduits et ensuite différents modèles fondamentaux seront abordés parmi les sujets suivants : 1. Réseaux de Petri : formalisation, propriétés, graphes de marquage, graphes de couverture, utilisation

de l’algèbre linéaire, invariants, extensions temporelles et extensions colorées. 2. Introduction à la logique (propositionnelle et du 1er ordre) et aux preuves : syntaxe, sémantique,

formes normales, preuves, théorie des séquents de Gentzen . Documentation : Liste d’ouvrages de référence et notes de cours. Préparation pour : Génie logiciel. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen oral Session d’examen : février - septembre

67

PHYSIQUE GÉNÉRALE 11P090 A. BLONDEL, po Semestre d’automne


par semaine 4 - 4


56 - 56

Objectifs Ce cours doit permettre aux étudiants d’acquérir une connaissance de base des lois fondamentales de la physique à travers les grands domaines de la physique classique ainsi que certains aspects de la physique moderne. Contenu Introduction à la physique, cinématique, lois de Newton, dynamique, statique, gravitation, rotation, énergie mécanique, les solides, les fluides, oscillations et ondes mécaniques, le son, propriétés thermiques de la matière, chaleur et thermodynamique. REFERENCES Physique, Eugène Hecht, De Boeck Université. Physique générale (3 volumes), D.C. Giancoli, De Boeck Université. Physique (3 volumes), D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Ed. Dunod. Nombre de crédits ECTS : math 5, math-info 4 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : février - septembre

68

PHYSIQUE GÉNÉRALE 11P091 C. SENATORE, pas Semestre de printemps


par semaine 4 - 4


56 - 56

Objectifs Ce cours doit permettre aux étudiants d'acquérir une connaissance de base des lois fondamentales de la physique à travers les grands domaines de la physique classique ainsi que certains aspects de la physique moderne. Contenu Electrostatique, électrodynamique, magnétisme, induction électromagnétique. circuits, courant continu et alternatif, ondes électromagnétiques, propagation de la lumière, optique géométrique, optique ondulatoire, relativité restreinte, origines de la physique moderne, théorie quantique. REFERENCES Physique, Eugène Hecht, De Boeck Université. Physique générale (3 volumes), D.C. Giancoli, De Boeck Université. Physique (3 volumes), D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Ed. Dunod. Nombre de crédits ECTS : math 5, math-info 4 Pré-requis : néant Mode d’évaluation : examen écrit Sessions d’examen : juin - septembre

69

PROGRAMMATION DES SYSTÈMES 12X006 P. LEONE, mer Semestre de printemps


par semaine 2 2 4


28 28 56

Objectifs

L'objectif de ce cours est de présenter les aspects matériels des systèmes informatiques du point de vue du programmeur. Les travaux pratiques permettent de mettre en oeuvre les concepts abordés au cours en pratiquant la programmation de bas niveau en langages C et assembleur.

Contenu

1. Architecture des systèmes informatiques : notion des bus, mémoires, plan d’adressage. 2. Systèmes d’interruptions : interruptions vectorisées, systèmes d’interruption du

mprocesseur ARM7. 3. Jeu d’instruction du processeur ARM7TDMI. 4. Programmation de périphériques spécifiques : timers, DMA, graphiques. 5. Optimisation des programmes et performances.

Documentation : liste d’ouvrages de référence et notes de cours. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : technologie des ordinateurs, logiciels et réseaux informatiques. Mode d’évaluation : examen oral ou contrôle continu. Sessions d’examen : juin - septembre

70

STRUCTURE DE DONNÉES 11X005 S. MARCHAND-MAILLET, pas Semestre de printemps


par semaine 4 2 6


56 28 84

Objectifs Ce cours a pour but d'initier les étudiants à une méthodologie formelle à travers la modélisation d’un panorama de structures de données complexes. Contenu

1. Formalisme, outils basiques de modélisation. 2. Types abstraits, notion de pointeur. 3. Structures dynamiques fondamentales : chaînes, anneaux, piles, files d’attente, listes

généralisées, arbres, graphes. 4. Algorithmes de construction, de parcours et de manipulation. 5. Transformation de clés et « hash-coding ». 6. Structures complexes : fichiers séquentiels indexés et B-arbres.

Pour les travaux pratiques, voir « Laboratoire de programmation ». Documentation : Livre support de cours et liste d’ouvrage de référence. Préparation pour : Langages informatiques . Nombre de crédits ECTS : 6 Pré-requis : introduction à la programmation des algorithmes Mode d’évaluation : examen écrit Session d’examen : juin - septembre

71

SYSTÈMES INFORMATIQUES - Fonctionnalités 12X009 G. CHANEL, ass J.-L. FALCONE, cs Semestre d’automne


par semaine 2 2 1 5


28 28 14 70

Objectifs Utilisation et compréhension du fonctionnement d’un système d’exploitation et de la représentation des données qu’il met en oeuvre. Familiarisation avec le système d’exploitation. Introduction aux API permettant d’accéder aux fonctionnalités des systèmes d’exploitation et à la programmation d’applications les utilisant. Contenu

1. Concepts fondamentaux du système Unix. 2. Ligne de commande et scripts shell. 3. Introduction au langage C.. 4. Fichiers et disques. 5. Entrées/sorties. 6. Processus. 7. Communication entre processus. 8. Signaux.

Documentation : support de cours en ligne Préparation pour : Programmation des systèmes, Parallélisme, développement informatique. Nombre de crédits ECTS : 5 Pré-requis : structure de données, introduction à la programmation des algorithmes Mode d’évaluation : examen oral (1/2) + travaux pratiques (1/2) Session d’examen : février - septembre

72

TECHNOLOGIES DES ORDINATEURS 11X006 G. Di MARZO, po Semestre d’automne


par semaine 2 1 3


28 14 42

Objectifs Introduction à la pensée informatique A la fin de ce cours, les étudiants connaissent le fonctionnement d’un ordinateur, sont familiarisés avec la notion de langage de programmation et d’algorithmes, ainsi que l’encodage des données. Contenu Les systèmes d’information et les services basés sur la technologie nécessitent des calculs computationnels effectués par des ordinateurs. Ce cours décrit les principes fondamentaux de l’architecture des ordinateurs tels qu’on les connaît aujourd’hui, et passe en revue les éléments clés de leur fonctionnement, comme les langages de programmation, les algorithmes, et l’encodage des données.

1. Architecture des Ordinateurs (Von Neumann). 2. Algorithmique de base, langages de programmation divers et compilateurs. 3. Fondements théoriques (Turing). 4. Encodage des données.

Documentation : Architecture et Technologie des Ordinateurs. P. Zanella, Y. Ligier, Dunod. Understanding Networked Multimedia : Applications and Technologies. F. Flückiger, Prentice Hall. Nombre de crédits ECTS : 4 Pré-requis : néant Préparation pour : logiciels et réseaux informatiques Mode d’évaluation : examens écrit Session d’examen : février - septembre

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SÉMINAIRES AVANCÉS

NUMERO

SEMINAIRE

ENSEIGNANT

CREDITS

ECTS 15M711 Algèbres, Géométrie et

Combinatoire M. Bucher-Karlsson, A. Karlsson, P. de la Harpe

10

15M740 Analyse numérique M. Gander, G. Vilmart, 10 15M746 Fables géométriques G. Mikhalkin 10 15M710 Groupes de Lie et Espaces de

modules A. Alekseev, A. Szenes 10

15M747 Groupes et Géométrie A. Karlsson, P. de la Harpe, T. Smirnova-Nagnibeda

10

15M745 Mathématique physique S. Smirnov, H. Duminil-Copin 10 14P709 Physique mathématique P. Wittwer 10 15M736 Séminaire « de la Tortue » A. Szenes 10 15M735 Topologie et Géométrie D. Cimasoni, R. Kashaev, V. Quach

Hongler, P. Turner, C. Weber 10

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COURS À OPTION Pour les candidats au Baccalauréat universitaire en

mathématiques

En 2014/2015, les candidats au Baccalauréat choisissent, comme cours à option prévus aux plans d’études, deux cours semestriels ou un cours annuel de 2 à 3 heures hebdomadaires dans les disciplines suivantes :

1. Histoire et philosophie des sciences. 2. Informatique. 3. Physique. 4. Econométrie (cours du Master en statistiques).

La liste des cours à option se trouve sous : www.unige.ch/math/enseignement/coursoption.html CE CHOIX DOIT ÊTRE AGRÉÉ PAR LES ENSEIGNANTS RESPONSABLES ET PAR LE CONSEILLER AUX ETUDES DE LA SECTION DE MATHÉMATIQUES AU DÉBUT DE L’ANNÉE.

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COURS AVANCÉS

pour les candidats au Baccalauréat universitaire 3ème année et à la

Maîtrise universitaire en mathématiques 1ère année

NUMERO COURS SEMESTRE ENSEIGNANT CREDITS ECTS

13M010A/P Algèbre et géométrie III* Annuel D. Cimasoni M. Marino

10

13M020A/P Analyse III * Annuel P. Severa 10 14M152 Aspects mathématiques de la

théorie quantique Automne R. Kashaev 5

14M143 De Rham cohomology Printemps P. Turner 5 14M118 Estimation statistique Printemps S. Sardy 5 14M147 Géométrie hyperbolique Automne M. Bucher-Karlsson 5 14M141 Géométrie métrique Printemps A. Karlsson 5 14M149 Graphes expanseurs Automne T. Smirnova-

Nagnibeda 5

14M150 Introduction aux modèles sur réseau

Printemps Y. Velenik 5

14M080 Méthodes élémentaires* Automne A. Alekseev 5 14M139 Méthodes numériques pour les

équations différentielles stochastiques

Automne G. Vilmart 5

14M151 Numerical optimization Printemps N.N. 5 14M023 Principes transversaux en

Mathématiques Printemps P.-A. Cherix 5

14M148 Théorie additive des nombres : sommes de carrés

Printemps Y.-F. Petermann 5

14M146 Théorie algébrique des nombres Printemps P. Severa 5 14M145 Théorie de l’homologie Automne D. Cimasoni 5 14M144 Théorie des graphes Automne C.V. Quach-Hongler 5 14M142 Théorie mathématique de la

percolation Automne H. Duminil-Copin 5

* : cours de baccalauréat uniquement

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COURS AVANCÉS pour les candidats

au Baccalauréat universitaire 3ème année et à la Maîtrise universitaire 1ère année

en mathématiques et sciences informatiques

NUMERO COURS SEMESTRE ENSEIGNANT CREDITS ECTS

13M010A/P Algèbre et géométrie III* Annuel D. Cimasoni M. Marino

10

14X001 Algorithmes distribués pour réseaux de capteurs sans fils**

Printemps A. Jarry J. Rolim

5

14X004 Algorithmes probabiliste** Printemps B. Chopard 5 14X026 Analyse et traitement de l’information** Automne S. Marchand-

Maillet, S. Voloshynovskyy

5

13M020A/P Analyse III * Annuel P. Severa 10 14M152 Aspects mathématiques de la théorie

quantique Automne R. Kashaev 5

13X001 Compilateurs et interprètes Automne D. Buchs 5 14M143 De Rham cohomology Printemps P. Turner 5 14X010 Elements of multiuser information theory

and wireless communications** Printemps S. Voloshynovskyy 5

14M118 Estimation statistique Printemps S. Sardy 5 13X003 Génie logiciel Automne D. Buchs,

P. Dugerdil 5

14M147 Géométrie hyperbolique Automne M. Bucher-Karlsson

5

14M141 Géométrie métrique Printemps A. Karlsson 5 14M149 Graphes expanseurs Automne T. Smirnova-

Nagnibeda 5

13X004 Imagerie numérique Annuel T. Pun 10 13X005 Intelligence artificielle Automne G. Bologna 5 14M150 Introduction aux modèles sur réseau Printemps Y. Velenik 5 14X013 Métaheuristiques pour l’optimisation Automne B. Chopard 5 14M080 Méthodes élémentaires * Automne A.Alekseev 5 14M139 Méthodes numériques pour les équations

différentielles stochastiques Automne G. Vilmart 5

14X015 Modélisation et simulation de phénomènes naturels**

Printemps B. Chopard 5

14X023 Modélisation et vérification de logiciels** Printemps D. Buchs 5 14M151 Numerical optimization Printemps N.N. 5

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14X014 Outils formels avancés** Printemps D. Buchs 5 13X007 Parallélisme Automne B. Chopard 5 14M023 Principes transversaux en mathématiques Printemps P.-A. Chérix 5 14X011 Recherche d’Information** Printemps S. Marchand-

Maillet 5

13X009 Réseaux informatiques Automne P. Leone 5 14X021 Sécurité des systèmes d’information** Automne E. Solana 5 14X016 Sécurité et confidentialité de

multimédia** Printemps S. Voloshynovksyy 5

4304061CR Interaction multimodale et affective *** Automne G. Falquet,T. Pun, L. Moccozet

5

14M148 Théorie additive des nombres : sommes de carrés

Printemps Y.-F. Petermann 5

14M146 Théorie algébrique des nombres Printemps P. Severa 5 14M145 Théorie de l’homologie Automne D. Cismasoni 5 14M144 Théorie des graphes Automne C.V. Quach-

Hongler 5

14M142 Théorie mathématique de la percolation Automne H. Duminil-Copin 5 En italique : cours d’informatique * : cours de baccalauréat uniquement ** : cours de maîtrise uniquement *** : cours no 4304061CR : ce cours a changé de titre. Anciennement Techniques d’interaction homme-machine

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ENSEIGNEMENT POSTGRADE EN MATHÉMATIQUES

PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES

ET EN STATISTIQUE ET PROBABILITES APPLIQUEES

Des informations plus précises sur les programmes doctoraux sont données sur le site http://www.cuso.ch/programmes-doctoraux/

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NOTES

80

INDEX ALPHABÉTIQUE DES ENSEIGNEMENTS

CODE ENSEIGNEMENT PAGE 13M010A/P ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE III 23/24 11M010/011 ALGÈBRE I 3/4 12M010 ALGÈBRE II 11 12X001 ALGORITHMIQUE 57 11M020/021 ANALYSE I 5/6 12M020A/P ANALYSE II - Analyse complexe 12/13 12M025/026 ANALYSE II - Analyse réelle 14/15 13M020A/P ANALYSE III 25/26 12M040 ANALYSE NUMÉRIQUE 16 14M152 ASPECTS MATHEMATIQUES DE LA THEORIE

QUANTIQUE 27

11X008 COMPLEXITÉ ET CALCULABILITÉ 58 12X003 CONCEPTS ET LANGAGES ORIENTÉS OBJETS 59 14M143 DE RHAM COHOMOLOGY 28 12X004 ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DE L’INFORMATION 60 14M118 ESTIMATION STATISTIQUE 29 14M147 GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE 30 11M030/031 GÉOMÉTRIE I 7/8 12M030A/P GÉOMÉTRIE II 17/18 14M141 GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE 31 14M149 GRAPHES EXPANSEURS 32 12X013 INTRODUCTION À L'INFORMATIQUE 61 11X001 INTRODUCTION À LA PROGRAMMATION DES

ALGORITHMES 62

14M150 INTRODUCTION AUX MODÈLES SUR RÉSEAU 33 11M050 LABORATOIRE DE PROGRAMMATION

MATHÉMATIQUE 9

11X003 LANGAGES FORMELS 63 11X004 LOGICIELS ET RÉSEAUX INFORMATIQUES 64 11M000/001 MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES 51/52 11M005 MATHÉMATIQUES POUR INFORMATICIENS 53 14M080 MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES 34 14M139 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LES ÉQUATIONS

DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES 35

14M151 NUMERICAL OPTIMIZATION 36 12X005 OUTILS FORMELS DE MODÉLISATION 65 11P090/091 PHYSIQUE GÉNÉRALE 66/67 14M023 PRINCIPES TRANSVERSAUX 37 12M061 PROBABILITÉS ET STATISTIQUE - pour informaticiens 54 12M060A/P PROBABILITÉS ET STATISTIQUE - pour mathématiciens 19/20 12X006 PROGRAMMATION DES SYSTÈMES 68 13M761 SÉMINAIRE ALGÈBRE-GÉOMÉTRIE 45 15M711 SÉMINAIRE ALGÈBRES, GÉOMÉTRIE ET

COMBINATOIRE 72

15M740 SÉMINAIRE D’ANALYSE NUMÉRIQUE 72

81

15M736 SÉMINAIRE DE LA TORTUE 72 15M745 SÉMINAIRE DE MATHÉMATIQUE PHYSIQUE 72 14P709 SÉMINAIRE DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE 72 13M762 SÉMINAIRE DE THÉORIE DES NOMBRES 46 15M746 SÉMINAIRE FABLES GÉOMETRIQUES 72 15M710 SÉMINAIRE GROUPES DE LIE ET ESPACES DE

MODULES 72

15M747 SÉMINAIRE GROUPES ET GÉOMÉTRIE 72 13M760 SÉMINAIRE THÉORIE MATHÉMATIQUE DES JEUX 47 15M735 SÉMINAIRE TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE 72 11X005 STRUCTURE DE DONNÉES 69 12X009 SYSTÈMES INFORMATIQUES - Fonctionnalités 70 11X006 TECHNOLOGIE DES ORDINATEURS 71 14M148 THÉORIE ADDITIVE DE NOMBRES : SOMME DE

CARRÉS 38

14M146 THÉORIE ALGÈBRIQUE DES NOMBRES 39 14M145 THÉORIE DE L’HOMOLOGIE 40 14M144 THÉORIE DES GRAPHES 41 14M142 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA PERCOLATION 42

Documents

SECTION DE MATHÉMATIQUES SECTION DE MATHÉMATIQUES