Segunda Lista de Exercícios - Engenharia Civil

Disciplina Cálculo III - IFSP

1o sem. - 2015

Prof. José Renato

. Comprimento de curva. Coordenadas polares. Revisão de Geometria.

Exercício 1: Calcule o comprimento da curva dada.

a) γ(t) = (t cos(t), t sen(t)), t ∈ [0, 2π];

b) γ(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2];

c) γ(t) = (cos(t), sen(t), e−t), t ∈ [0, π];

Exercício 2: Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas abaixo.

a) (1,π

2) b) (−2, π

4)

c) (3, 0) d) (2,−π7

)

Exercício 3: Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Em seguida, encontre ascoordenadas cartesianas do ponto.

a) (3,π

2) b) (2

√2,

3π

4)

c) (2,2π

3) d) (4, 3π)

Exercício 4: Determine a equação do plano que passa pelo ponto (4, 0,−3) e cujo vetornormal é j + 2k.

Exercício 5: Determine a equação do plano que passa pela origem e pelos pontos (2,−4, 6)e (5, 1, 3).

Exercício 6: Nos exercícios abaixo, esboce o grá�co da superfície de equação dada.

a) x+ 2 y − 6 = 0 b) 2x+ y + 5 z = 10

1

Exercício 7: Revise os seguintes conceitos de geometria no espaço: distância, equação daesfera, comprimento, produto escalar, ângulo entre vetores, produto vetorial, produto misto,equação da reta e equação do plano. Consulte, por exemplo, Stewart, J., vol. 2, p. 795 / 796 /801 / 806 / 807 / 813 / 818 / 822 / 825 para os temas solicitados, respectivamente.

Exercício 8: Estude as seguintes superfícies quadráticas: parabolóide elíptico, parabolóidehiperbólico, hiperbolóide, elipsóide e cone. Observe as respectivas equações e suas formas grá�-cas. Consulte, por exemplo, Stewart, J., vol. 2, p. 831 a 836.

Exercício 9: Esboce o grá�co da superfície z = x2. Dica: Lembre-se do esboço da superfíciez = ex realizada em sala de aula.

Exercício 10: Identi�que e esboce a superfície x2+y2 = 1. Dica: Lembre-se que x2+y2 = 1representa uma circunferência e como z não aparece na equação (z é livre) obtemos um cilindrocomo superfície.

Exercício 11: Esboce a superfície z = 4x2 + y2. Dica: Veri�que que a superfície é umparabolóide elíptico.

Exercício 12: Identi�que a superfície quadrática

x2

4+ y2 − z2

4= 1.

Resp.: A superfície é um hiperbolóide de uma folha.

Exercício 13: Identi�que a superfície quadrática 4x2 − y2 + 2 z2 + 4 = 0.Nota: Observe que

−x2 + y2

4− z2

2= 1

representa um hiperbolóide de duas folhas.

Exercício 14: Ache a equação da superfície de pontos P = (x, y, z) cuja distância ao eixo y

é2

3da distância de P ao plano xz. Dica: Note que o eixo y corresponde ao ponto (0, y, 0) e um

correspondente do plano xy é o ponto (x, 0, y). A resposta é x2 − 4

9y2 + z2.

Exercício 15: Use um computador com um programa que trace superfícies tridimensionaisabaixo:

a) − 4x2 − y2 + z2 = 1 b) x2 − y2 − z = 0

Exercício 16: Esboce a região delimitada pelas superfícies z =√x2 + y2 e x2 + y2 = 1

para 1 ≤ z ≤ 2. Dica: Use algum software computacional e observe ainda que o cilindro estarácontido no cone.

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