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SEGUNDO TALLER INGENIERIA DE CONTROL 23040 PRESENTADO POR: CODIGO: CODIGO: 2070336 PRESENTADO A: ING. RUDY CEPEDA GÓMEZ, Ph.D. UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICO-MECÁNICAS ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

Segundo Taller de Control Ball and Beam

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Page 1: Segundo Taller de Control Ball and Beam

SEGUNDO TALLER

INGENIERIA DE CONTROL 23040

PRESENTADO POR:

CODIGO:

CODIGO: 2070336

PRESENTADO A:

ING. RUDY CEPEDA GÓMEZ, Ph.D.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICO-MECÁNICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

BUCARAMANGA –SANTANDER

2013

DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO

Page 2: Segundo Taller de Control Ball and Beam

En este trabajo, se va a emplear una versión simplificada del sistema del ball and beam. Se considera que la relación entre la posición de la esfera y el ángulo de la viga este dada por:

Ge (s )=X (s )Ө (s )

= 5∗g

7∗s2

Mientras que la relación entre la tensión aplicada al motor y el ángulo de la viga es:

Gv ( s)=Ө (s )V (s )

=

kRa∗Jeq

s∗(s+( beq

Jeq)+( k 2

Ra∗J eq))

La función de transferencia que relaciona la posición de la esfera con la tensión aplicada al motor DC se obtiene mediante la conexión en cascada de los dos sistemas presentados:

Así, el modelo del sistema completo, es:

X (s )V (s )

=5∗( g∗K

Ra∗J eq)

7∗s3∗(s+ beq

Jeq

+ K 2

Ra∗J eq)

Acá los parámetros se han ajustado, de manera que contiene el efecto de la caja reductora y del momento de inercia de la viga, la inductancia de armadura se ha despreciado por ser excesivamente pequeña. Los valores numéricos a emplearse en este trabajo se resumen en la tabla anterior.

Page 3: Segundo Taller de Control Ball and Beam

Para este sistema lineal:

1. CONSTRUYA UNA GRÁFICA DEL LUGAR DE LAS RAÍCES. DETERMINE SI LA REALIMENTACIÓN UNITARIA ES SUFICIENTE PARA ESTABILIZAR EL SISTEMA.

La función de transferencia del sistema ball and beam para hallar la gráfica el lugar de las raíces es:

X (s )V (s )

=5∗( g∗K

Ra∗J eq)

7∗s3∗(s+ beq

Jeq

+ K 2

Ra∗J eq)

Código utilizado: SIN RETROALIMENTACIÓN UNITARIA

Page 4: Segundo Taller de Control Ball and Beam

Código utilizado: CON RETROALIMENTACIÓN UNITARIA

Y obtenemos la siguiente grafica:

Page 5: Segundo Taller de Control Ball and Beam

2. UTILIZANDO LA HERRAMIENTA DE TOOLBOX DE MATLAB OBTENGA UN COMPENSADOR CAPAZ DE ESTABILIZAR EL SISTEMA COMPLETO. NO HAY REQUISITOS ESPECIALES SIMPLEMENTE QUE EL SISTEMA COMPENSADO SEA ESTABLE.

Para compensar el sistema se agregaron en la gráfica del lugar de las raíces polos y ceros teniendo en cuenta que el numerador debe tener una grado menor al denominador.

Page 6: Segundo Taller de Control Ball and Beam

G(s)=(1+5.3∗s ) (1+0.35∗s+ (0.4∗s )2 )

(1+0.021∗s+(0.012∗s )2 ) (1+0.017∗s+(0.0099∗s )2 )

Y presenta una ganancia de: 0.30549

3. SIMULE LA RESPUESTA AL ESCALÓN DEL SISTEMA COMPENSADO, DETERMINE LOS VALORES DEL TIEMPO DE ASENTAMIENTO Y DE SOBREPASO MÁXIMO.

Page 7: Segundo Taller de Control Ball and Beam

La grafica nos proporciona un tiempo de asentamiento y sobre pico que se encuentran en los puntos de: Tiempo de asentamiento: Amplitud: 0.231 y Tiempo: 8.65; Sobre Pico: Amplitud: 1.28 y Tiempo: 0.42.

CAPITULO II

Una mejor manera de estabilizar el sistema consiste en el empleo de un control multilazo. En esta técnica se busca estabilizar primero el motor, con el fin de

Page 8: Segundo Taller de Control Ball and Beam

generar el ángulo requerido para que la esfera se mantenga en la posición deseada. Para esto, considere la siguiente estructura de control para el motor DC:

Los valores de A y T pueden obtenerse a partir de esta ecuación

Ө ( s )V ( s )

=

kRa∗Jeq

s(s+( beq

J eq)+( k2

Ra∗J eq))

ω (s)V (s )

=

KRa∗Jeq

S+ beqJeq

+ K2

Ra∗Jeq

θ (s )ω(s)

=1S

Pero sabemos que:

Resultados:

ω ( s)V ( s )

=A

τs+1=

S+1τ

= KRa∗Jeq

1τ=beq

Jeq+ K2

Ra∗Jeq

Page 9: Segundo Taller de Control Ball and Beam

A=1 ,745

T=0 ,373

Page 10: Segundo Taller de Control Ball and Beam

1. UTILIZANDO LA ESTRUCTURA DE LA FIGURA, PLANTEE UN DIAGRAMA DE BLOQUES QUE GENERE LA SIGUIENTE SEÑAL DE CONTROL:

v (t )=K p∗(Өd−Ө (t ) )−KD w ( t )

Siendo Өd la de referencia, el valor deseado para el ángulo de la viga.

2. UTILIZANDO EL CONTROL SUGERIDO EN EL PUNTO ANTERIOR, HALLE

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO, Gm=( Ө ( s)Өd (s ) )

Reduciendo y simplificando el diagrama de bloques se encuentra que:

AT s+1

1+ AT s+1

∗Kd

∗K p∗1

s

Realizando la retroalimentación unitaria tengo que:

Ө ( s)Өd (s )

=( A∗K p

(T s+1+A∗K d )∗s )(1+( A∗K p

(T s+1+A∗Kd )∗s ))

Por último se encuentra la función de transferencia como:

Gm=Ө (s )Өd ( s)

=A∗K p

(T s+1+A∗Kd )∗s+A∗K p

funcionde transferencia

Page 11: Segundo Taller de Control Ball and Beam

3. CALCULE LOS VALORES PARA K p y K dQUE GARANTICEN UNA RESPUESTA AL ESCALÓN CON UN TIEMPO DE ASENTAMIENTO MENOR DE 1S Y UN SOBRE PICO DE MENOS DEL 1%.

En el libro de OGATA se encuentra la respuesta a escalón de sistemas de segundo orden así:

C (s )R (s )

= K

J∗s2+B∗s+K

Siendo.

K=A∗K p J=T B=1+A∗Kd

Los valores de K_p y K _d se hallan utilizando las ecuaciones de sobre pico y tiempo de asentamiento que a continuación se muestran.

sobre pico=MP=e

−( ϧ

(1− ϧ2 )12 )∗ᴨ

tiempodeasentamiento=t s=( 4ϧ∗ωn

)Siendo ϧ y ωn correspondientemente:

ϧ= B

2∗(J∗K )12

=1+A∗K d

2∗(T∗A∗K p )12

ωn=(K )

12

J=

( A∗K p )12

T

0.01=e

−( ϧ

(1− ϧ2 )12 )∗ᴨ1=

4ϧ∗ωn

Resolviendo y reemplazando los valores que se quiere obtener se encuentra las condiciones para los cuales K_p y K_d toman los valores de:K P=1,88 y Kd=0,48CAPITULO III

Page 12: Segundo Taller de Control Ball and Beam

Considere ahora que el sistema del motor, estabilizado con este lazo interno, se conecta en cascada con la bola sobre la viga y un compensador, cerrando el lazo:

X r ( s ) Corresponde a la posición deseada para la bola a lo largo de la viga.

1. CONSTRUYA EL LUGAR DE LAS RAÍCES PARA ESTE SISTEMA. ¿ES POSIBLE ESTABILIZARLO CON REALIMENTACIÓN UNITARIA?

Esta es la función a usar para hallar el lugar de las raíces porque en este caso tenemos un compensador Gc(s)=1.

X (s )X r ( s )

=Ge (s )∗Gm (s )∗G c ( s)Gc ( s)=1

X (s )X r ( s )

=

5∗g

7∗s2∗A∗K p

T∗s2+(1+A∗Kd )∗s+A∗K p

Gráfica del lugar de las raíces:

Page 13: Segundo Taller de Control Ball and Beam

Para la retroalimentación unitaria tenemos el siguiente código:

La retroalimentación unitaria no es suficiente.

Page 14: Segundo Taller de Control Ball and Beam

2. DISEÑE GC (s )DE MANERA QUE SE OBTENGA UN SISTEMA ESTABLE

CON EL MENOR TIEMPO DE ASENTAMIENTO POSIBLE. PUEDE

EMPLEAR CUALQUIER TIPO DE CONFIGURACIÓN PARA GC (s ).

Gráfica del lugar de las raíces compensada:

Función del compensador:

Gc (s )=0.0050775(1+9.6 s+(6.1∗s )2 )

(1+0.081 s )¿¿¿

Grafica de la respuesta al escalón:

Page 15: Segundo Taller de Control Ball and Beam

3. SIMULE EL SISTEMA EMPLEANDO COMO ENTRADA DE CONTROL UN PULSO RECTANGULAR DE AMPLITUD 0.1 Y FRECUENCIA VARIABLE. COMPARE LA ENTRADA Y LA SALIDA. HASTA QUE FRECUENCIA PUEDE EL SISTEMA OPERAR DE MANERA SATISFACTORIA.

Diagrama de bloque del sistema ball and beam:

Diagrama de bloques del motor:

Diagrama de bloques para la posición de la esfera

Representación gráfica del sistema lineal al generarle un pulso rectangular:

Page 16: Segundo Taller de Control Ball and Beam

En esta grafica se puede ver cómo responde el sistema al pulso rectangular se observa que el sistema al sentir la perturbación oscila y busca estabilizarse rápidamente. La simulación se realizó para 600 segundos.

Grafica del comportamiento del ángulo theta que nos da el motor:

Observamos en esta grafica que el sistema responde al pulso generado pero se estabiliza casi inmediatamente lo que nos indica que tiene una alta velocidad de respuesta a las perturbaciones generadas.

COMPARACION DEL SISTEMA NO LINEAL CON EL SISTEMA LINEAL.

Diagrama de bloques del sistema no lineal:

Page 17: Segundo Taller de Control Ball and Beam

Diagrama de bloques del motor:

Diagrama de bloques del posicionamiento de la esfera sobre la viga:

Análisis de resultados

Podemos ver que en este taller se comprueba lo visto en clase, los sistemas no lineales ganan velocidad pero pierden precisión. En este caso el sistema no lineal es inestable debido a varios aspectos que producen este resultado, uno de estos aspectos es que el sistema es no lineal lo cual puede causar qué el compensador no cause el efecto o ventaja que se obtuvo en el sistema lineal, otro factor es la saturación del subsistema motor y otra podría ser la relación trigonométrica que se le aplica al ángulo de la viga para posicionar la esfera.