Calibración

Juan Carlos SEGURA-ORTIZ M.Sc.

Universidad de La Salle / Escuela Colombiana de Ingeniería

Bogotá, D.C., 2004

Determinación de Parámetros: La Calibración

La calibración constituye una aproximación determinista de la estimación de los valores de los parámetros en un CGE.

La estimación econométrica de un CGE es usualmente implausible por dos razones principales:

a. En los modelos aplicados aparece tal cantidad de parámetros que su estimación simultánea haciendo uso de series de tiempo es, al menos por el momento, implausible debido a que se requerirían grandes cantidades de datos y resolver grandes problemas de identificación. identificación. b. La información de benchmark (SAM / MIP) tiene por unidades valores; su descomposición en observaciones separadas para precios y cantidades no garantiza la obtención de secuencias con unidades consistentes a través del tiempo, como se exige en series de tiempo.

Para resolver estos problemas se procede de dos maneras (Keyzer & Ginsburgh, 1997):

1. Utilizando estimaciones econométricas por componentes, tomando algunos parámetros de la literatura (pero no incorporan todas las restricciones contenidas en el modelo completo);2. Definiendo los parámetros restantes a través de métodos de calibración (benchmarking methods)

Con Keyzer y Ginsburgh [1997], el procedimiento de la calibración puede entenderse como la selección de valores numéricos para los parámetros de las funciones de demanda del consumidor xi(p, hi), así como para las funciones de producción yj(p) o los requerimientos directos unitarios A(p).

En términos de las variables de la Matriz de Contabilidad Social xi*, hi*, yj*, p*, la calibración consiste en resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( )( ) h,lA,;pA

l,jy,;py

l,ix,;h,px

*lh

*lh

*jl

*jl

*il

*i

*il

∀=γβ

∀=γβ

∀=γβ

β y γ son vectores de parámetros, y A* es la matriz de insumo-producto.

[A]

Con frecuencia algúnos parámetros clave como las elasticidades de sustitución o las tasas de retorno a escala, ― γ ―, se toman prestados de investigaciones y trabajos econométricos (i.e., estimados en sistemas parciales). En contraste, los parámetros en el vector β harán las veces de incógnitas en el sistema [A].

El supuesto clave es que existe un equilibrio de alguna clase en la economía observada de manera que la primera tarea en el ciclo de modelaje no es hallar el equilibrio sino utilizar el equilibrio observado para determinar parámetros consistentes con esa observación(Shoven & Whalley, 1992).

Puesto que los datos de benchmark vienen en valores(p*q), es preciso escoger unidades particulares para poder separar precios de cantidades. Una convención muy popular, originalmente adoptada por A. Harberger (1959, 1962) consiste en escoger unidades para bienes y factores tales que, en el equilibrio base, tengan un precio igual a uno (1).

Una prominente característica de la calibración es que no hay pruebas de hipótesis para verificar si la especificación del modelo es adecuada, justamente por el carácter determinístico del procedimiento. (Crítica Econométrica)

Con la convención de Harberger, en modelos aplicados, las unidades físicas de los factores son aquellas cantidades que reportan una unidad monetaria de retorno ($1) en el equilibrio.

Las unidades para las mercancías se derivan, de manera similar, como aquellas cantidades que se venden por $1, netas de impuestos y subsidios, en el equilibrio.

El supuesto de que en el equilibrio el producto marginal factorial es igual en todos los usos posibles, permite que los pagos a los factores por industria puedan ser utilizados como observaciones de las cantidades físicas de los inputs primarios.

Con datos SAM / MIP sobre usos de factores por industria y los supuestos previos, es posible entonces calcular parámetros para las funciones de producción del modelo.

Ejemplo: Calibrando una Función de Producción CES en dos factores

Una función de producción de Elasticidad de Sustitución Constante puede ser escrita de la siguiente forma:

( )( ) µµµ α−+α= /LKAQ

11

El producto marginal del capital está dado por:

[E1.1.]

( )( )( )( )( ) µµ−µα−+αα= /K/LAPmgK 11

Note además que, dado que de [E1.1.]

( ) ( ) µµµ α−+α= LKA/Q 1

Se sigue que 11 −µµ−µα= KQAPmgK

[E1.2.]

[E1.3.]

Y por simetría, ( ) 111 −µµ−µα−= LQAPmgL [E1.4.]

De manera que 1

1

−µ

α−α==

L

K

PmgL

PmgKTMST L,K

[E1.5.]

Las demandas por K,L, se derivan de la siguiente forma: Recuerde que el problema de minimización del costo unitarioes:

( )( ) 11 s.a. min 1 =α−+α⋅+⋅= µµµ /

lk LKAPlPkC

Las CPO resultantes son, justamente:

L

K

P

P

L

K

PmgL

PmgK =

α−α=

−µ 1

1

( )( ) 111 =α−+α µµµ /

LKA

[E1.6.]

[E1.7.]

De la CPO [E1.6.], se tiene:

( ) ( )µ

−µµ−µµµ ⋅

αα−= l

P

Pk

/

L

K

/ 111

Reemplazando en [E1.7.] y reordenando, se tiene, finalmente:

[E1.8.]

( ) ( )

( ) µ−µµ−µµ−µµ

=⋅α−+⋅

αα−α All

P

P/

L

K

/

11

11

Expresión que expresa en forma unívoca l y de la cual puede determinarse la demanda de éste factor de producción, por unidad de producto.

En efecto,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) µ−µµµ−−µµµ−

µ−

α−+α

α−=−µ

//L

//K

/

L/

PPA

Pl

/

1111111

11

1

111

y de manera similar

[E1.9.]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) µ−µµµ−−µµµ−

µ−

α−+α

α=−µ

//L

//K

/

K/

PPA

Pk

/

1111111

11

1

11

Siendo k, l requerimientos unitarios de factores.

[E1.10.]

Premisas para la calibración CES

La calibración de esta forma es de fácil implementación, a partir de la base de datos del Benchmark. De la SAM (MIP) se obtienen valores para los factores (k, l) y, en el caso de un modelo con impuestos, las tasas implícitas de impuestos del benchmark asociadas a cada factor, se implícitas de impuestos del benchmark asociadas a cada factor, se calculan de los pagos efectivos en la submatriz impuestos.

Puesto que, por la convención de Harberger, PK = PL = 1, se dispone de los precios (netos de impuestos) de equilibrio para los factores, en el año base.

Considere dos posibles isocuantas en una formulación CES:

• En el punto A las dos isocuantas presentan la misma pendiente (igual a la relación de los precios de los factores) en una relación que resulta consistente con los precios de los factores.• Esto crea un problema de calibración porque la función tiene tres (3) parámetros mientras que de

K

2σ 1σ

tres (3) parámetros mientras que de la SAM se tienen solo dos piezas de información: las isocuantas pasan a través de un punto específico con pendiente específica y un nivel de producción dados los inputs registrados. La respuesta estándar consiste en tomar prestada la elasticidad de sustitución, σ.

L

A

Tomando el valor de la elasticidad de sustitución de la literatura, aprovechando la definición funcional de las demandas por factores [E1.9] y [E1.10.], y teniendo en cuenta que el parámetro µ se relaciona con σσσσ mediante la expresión:

( )µ−=σ 11/

tendremos:

( )( )( )

( )( )( )

σ−σσ−σ α−=⋅α−=⋅ LL PP

PPl

11( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) σ−σσ−σσ−σσ−σσ−σσ−σ α−+α

=⋅α−+α

=⋅ //L

/K

LL//

L/

K

LL

PPAP

PPAPl 1111111111 11

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) σ−σσ−σσ−σ

σ−σ

σ−σσ−σσ−σ

σ−σ

α−+α

α=⋅α−+α

α=⋅ //L

/K

KK//

L/

K

KK

PPA

PP

PPA

PPk 1111111111 11

De manera que, si definimos,

( ) σ−σ

σ−σ

α−α=

⋅⋅=ω

1

1

1 L

K

L

KKL

P

P

Pl

Pk

Asumiendo la Convención de Harberger ( PK = PL = 1), se puede despejar α, sin complicación:

( )( ) σ

σ

ω+ω=α /

KL

/KLˆ 1

1

1

El valor de A se deriva de las condiciones de beneficio cero que se suponen en un modelo competitivo. Note que el costo de producir una unidad es:

PLPK lkC +=

Reemplazando las demandask, l tendremos:

[E1.10.]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )µ−µ

−µµµ−−µµµ− α−+α=1

111111 11 /

L//

K/ PP

AC [E1.11.]

Por lo tanto, haciendo uso del valor calibrado de α

( )( ) 111

1

1

=α−+α= σ−σσ ˆˆC ( )( ) 11 1 =α−+α= σ−ˆˆA

C

Resolviendo para A

( )( ) σ−σσ α−+α= 1

1

1 ˆˆA

Ejemplo Numérico: SAM Bogotá (1994)

SAM Bogotá, 1994Componentes del Valor Agregado

Calibración de una Función CES en K, L

AGROMIN SERVPUB BSCONSM BSKPTAL CONSTRC COMERCE SSPRIVS SSGOVRN

Remuneración a Asalariados FCTRAS 39.050 106.888 1,160.437 106.413 442.495 1,253.970 2,059.981 2,059.685

Excedente de Explotación FCTEBE 88.296 395.727 4,192.298 268.895 1,562.070 1,735.721 2,472.692 956.799

Consumo de Capital Fijo FCTCCF 1.020 27.341 87.077 9.263 67.509 64.549 180.885 24.135

Impuestos FCTTAX 3.079 -7.641 163.158 12.284 77.173 86.236 332.149 69.731

Calculado K 89.316 423.068 4,279.375 278.158 1,629.579 1,800.270 2,653.577 980.934

Calculado L 39.050 106.888 1,160.437 106.413 442.495 1,253.970 2,059.981 2,059.685

Calculado VA 128.366 529.956 5,439.812 384.571 2,072.074 3,054.240 4,713.558 3,040.619

Calculado k 0.696 0.798 0.787 0.723 0.786 0.589 0.563 0.323

Calculado l 0.304 0.202 0.213 0.277 0.214 0.411 0.437 0.677

Calculado w 2.287 3.958 3.688 2.614 3.683 1.436 1.288 0.476

Prestado σσσσ 1.880 1.966 2.781 10.980 4.390 5.830 2.364 5.607

Calibrado µµµµ 0.468 0.491 0.640 0.909 0.772 0.828 0.577 0.822

Calibrado δδδδ 0.608 0.668 0.615 0.522 0.574 0.516 0.527 0.467

Calibrado A 1.915 1.800 1.866 1.980 1.913 1.994 1.993 1.976

Verificación VA^ 128.366 529.956 5,439.812 384.571 2,072.074 3,054.240 4,713.558 3,040.619

Cálculos: J-segura@uniandes.edu.co

Lo mismo, con GAMS:

PARAMETERk0(j) Capital - Agrega CCF & EBEl0(j) Empleo -va(j) Valor Agregado en L K en Benchmark

psi(j) Ratio k l unitariomu(j) Exponente en CES

delta(j) Parámetro de Distribución en CESA(j) Parámetro de Escala en CES

va_hat(j) Chequeo de la Calibración ;

k0(j) = F("FCTEBE",J) + F("FCTCCF",J) ;

l0(J) = F("FCTRAS",J) ;l0(J) = F("FCTRAS",J) ;

va(j) = K0(j) + L0(j) ;

psi(j) = (k0(j)/va(j))/(l0(j)/va(j)) ;

mu(j) = -((1-esub(j))/esub(j)) ;

delta(j) = psi(j)**(1/esub(j)) / (1 + psi(j) **(1/esub(j))) ;

A(j) = (delta(j)**esub(j) + (1-delta(j))**e sub(j))**(1/(1-esub(j))) ;

va_hat(j) = A(j)*(delta(j)*k0(j)**(mu(j)) + (1-delta(j))*l0(j)**(mu(j)))**(1/mu(j)) ;

---- 166 PARAMETER report1 Datos y Resultado Calibración VA (CES)

sigma psi mu delta A VA VAhat

AGROMIN 1.8801 2.2872 0.4681 0.6083 1.9153 128.3660 128.3660SERVPUB 1.9660 3.9580 0.4914 0.6681 1.7995 529.9561 529.9561BSCONSM 2.7814 3.6877 0.6405 0.6152 1.8661 5439.8122 5439.8122BSKPTAL 10.9797 2.6139 0.9089 0.5219 1.9799 384.5716 384.5716CONSTRC 4.3897 3.6827 0.7722 0.5737 1.9130 2072.0742 2072.0742COMERCE 5.8296 1.4357 0.8285 0.5155 1.9944 3054.2403 3054.2403SSPRIVS 2.3636 1.2882 0.5769 0.5268 1.9933 4713.5576 4713.5576SSGOVRN 5.6074 0.4763 0.8217 0.4670 1.9763 3040.6185 3040.6185

Ejemplo: Calibrando una Función de Utilidad CES en dos mercancías

Una función de utilidad CES para dos bienes se expresa:

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]0,1 11//1

2/1

1 ∈−+=−−− ααα

σσσσσσ XXu [E2.1.]

Los símbolos tienen el significado usual. El problema de la maximización de la utilidad:

( ) ( ) ( )( ) ( )XXu −+=

−−− 1//12

/11 1 max

σσσσσσ αα ( )( ) M X P XP ≤+ 2211

21

s.a.

Da las demandas ordinarias (i.e. de Marshall) por X1, X2:

( )

−+=

−−

−

σσσσ

σσ

ααα

12

11

11

11

1 PP

P

P

MX

( )( )

−+−= −−

−

σσσσ

σσ

ααα

12

11

12

22

1

1

PP

P

P

MX

[E2.2.]

[E2.3.]

Participaciones presupuestalesen CES

La participación de X1 en el presupuesto es:

( )

−+=

−−

−

σσσσ

σσ

ααα

12

11

1111

1 PP

P

M

PX

En tanto que la participación de X2 es:

( )

− −σσα 11 PPX

[E2.4.]

[E2.5.]( )( )

−+−= −−

−

σσσσ

σσ

ααα

12

11

1222

1

1

PP

P

M

PX [E2.5.]

A efectos de calibración, resulta útil la relación:

( )

1

2

11

2

11

22

11

11

−

−

−

−=

−=

σσ

σσ

σσ

αα

αα

P

P

P

P

XP

XP[E2.6.]

Por su parte, la elasticidad-precio propio de la demanda por X1, está dada por:

( )( )

−+−+−=∂∂= −−

−−

12

11

12

11

11

11

1

1σσσσ

σσσσ

ααασαξ

PP

PP

PX

PX[E2.7.]

Note que este resultado sugiere que es posible obtener una estimación de la elasticidad de sustitución, σ, a partir de alguna estimación de la elasticidad precio de la demanda, si bien se trata de una función obviamente no lineal.

Al utilizar la convención de Harberger, la calibración del parámetro de distribución, -α-, se logra a partir del mismo procedimiento utilizado en la CES de producción; en el caso de la utilidad, no hay un parámetro de escala.

No obstante, como anotan Shoven y Whalley [1992], la convención de Harberger debe ser utilizada con cautela cuando se observan distorsiones sobre los precios: impuestos, tasas, multas. En estos casos, los precios iniciales son mayores que 1. En estos casos,

( )1

2

1

111

1

2

1

12

11

22

11 −

−=

++

−=

−==

−

−

− σθ

αα

ττ

αα

ααω

σσσ

σσ

σσ

X

X

P

P

P

P

XP

XP

De forma que el parámetro a calibrar es:

( ) σσσ

σ

θωωα

/1/1

/1

ˆ −+= [E2.8.]