SELECTIVIDAD 2008-11 - Matematicas Camoens · SELECTIVIDAD 2008-11 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ... El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios

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MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS AAPPLLIICCAADDAASS AA LLAASS CCIIEENNCCIIAASS SSOOCCIIAALLEESS BBaacchhiilllleerraattoo ddee CCiieenncciiaass HHuummaannaass yy SSoocciiaalleess

MMooddeellooss ddee eexxáámmeenneess DDiissttrriittoo úúnniiccoo ddee AAnnddaalluuccííaa

MATEMÁTICAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA APLICADAS A PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD LAS CIENCIAS

SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Sean las matrices .16

y0320

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

baBA

a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que ABBA ⋅=⋅ . b) (1.5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial 2IABX =−⋅ . EJERCICIO 2

Sea la función definida de la forma .2si102

2si1

2

)(2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

<−

=xxx

xx

x

xf

a) (0.5 puntos) Halle el dominio de f. b) (1.25 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x = 2. c) (1.25 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. EJERCICIO 3 Parte I a) (1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que P(A)=0.5, que P(B)=0.4 y que )./( determine ,8.0)( BAPBAP =∪ b) (1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que

son independientes, determine DCDPCP y quey 8.0)( que ,3.0)( == ).( DCP ∪ Parte II El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normal de media μ días y desviación típica 3 días. a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza para estimar μ, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días. b) (1 punto) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92%?


SOCIALES II


OPCIÓN B EJERCICIO 1 a) (2 puntos) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones:

0;0;3;104;62 ≥≥≤+−≤+≤+ yxyxyxyx y determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función 324),( −+= yxyxf en el recinto anterior e indique dónde se alcanza. EJERCICIO 2

Sea la función f definida mediante .1si)(1si

)(2

⎩⎨⎧

≥<++

=xxLxbaxx

xf

a) (1.5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en .1−=x

b) (1.5 puntos) Para , estudie la derivabilidad de 1y 1 =−= ba .1en y 1en =−= xxf EJERCICIO 3 Parte I Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo. a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo. b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores. Parte IISea la población {1,2,3,4}. a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple. b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales.


SOCIALES II


OPCIÓN A

EJERCICIO 1 a) (1.5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+453

1231

yxx

.

b) (1.5 puntos) Calcule la matriz inversa de .021010101

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

EJERCICIO 2 a) (1.5 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

3)( x

xf = en el punto de abscisa .1−=x

b) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b para que la función xbaxxg +=)( tenga un

extremo relativo en el punto (1, 2). EJERCICIO 3 Parte I El examen de Matemáticas de un alumno consta de dos ejercicios. La probabilidad de que resuelva el primero es del 30%, la de que resuelva ambos es del 10%, y la de que no resuelva ninguno es del 35%. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos: a) (1 punto) Que el alumno resuelva el segundo ejercicio. b) (1 punto) Que resuelva el segundo ejercicio, sabiendo que no ha resuelto el primero. Parte IILa longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley Normal con desviación típica 4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm:

205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202. a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables. b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estimación de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.


SOCIALES II


OPCIÓN B

EJERCICIO 1 (3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario?

EJERCICIO 2 Dada la función , determine: 3234)( xxxf +−=a) (1.5 puntos) La monotonía y la curvatura de f . b) (0.5 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos. c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa .1−=x EJERCICIO 3 Parte I Se consideran los sucesos A y B. a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos:

1. Que no ocurra ninguno de los dos. 2. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A.

b) (1.25 puntos) Sabiendo que 5.0)(,5.0)( == BPAP y halle .

,3.0)/( =BAP)( BAP ∪

Parte II (2 puntos) Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporción de enfermos que responderían positivamente si este medicamento se aplicase a la población de la que se ha extraído la muestra.

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2009-2010

MATEMÁTICAS

APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A

Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: EJERCICIO 1

0;60;2;15 ≥≤≤≤≤+ xyyxyx a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función yxyxF 58),( += en el recinto anterior y dónde se alcanza.

Sea la función

EJERCICIO 2 32

312)( xxxf −= . Calcule:

a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.

Un alumno va a la Facultad en autobús el 80% de los días y el resto en su coche. Cuando va en autobús llega tarde el 20% de las veces y cuando va en coche llega a tiempo sólo el 10% de las veces. Elegido un día cualquiera al azar, determine:

EJERCICIO 3

a) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús. b) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase. c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús?

Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de los trabajadores de una ciudad. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 500 trabajadores, de los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93%,

EJERCICIO 4

a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera. b) (0.75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.



MATEMÁTICAS


II



OPCIÓN B

Sean las matrices

EJERCICIO 1

=

1312

A y

−

=0121

B .

a) (1 punto) Calcule tt BABA ⋅−⋅ . b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial .BBAAX =+

Calcule las derivadas de las siguientes funciones: EJERCICIO 2

a) (0.8 puntos) 2

3

1)(

xexf

x

+= .

b) (0.8 puntos) { }.)31(ln)( 2xxxg +=

c) (0.9 puntos) 2

5 12)(x

xh x += .

De las 180 personas que asisten a un congreso médico, 100 son mujeres. Observando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras 20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso.

EJERCICIO 3

a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra? b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra? c) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?

Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos:

EJERCICIO 4

95. , 84 , 83 , 85 , 92 , 86 , 95 , 87 , 83 , 80 Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) (1.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación

05.0=α . b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?



MATEMÁTICAS


II



OPCIÓN A

Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones: EJERCICIO 1

.50;6;43 ≤≤≤+≥+ yyxyx a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función

.35),( yxyxF += ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?

Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. EJERCICIO 2

La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es 24)( tttN −= a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente 24)( tttN −= , con .0)( ≥tN

En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD.

EJERCICIO 3

Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) No lea ninguno de los dos. b) (0.75 puntos) Lea sólo LA MAÑANA. c) (1 punto) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA.

(2.5 puntos) En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%.

EJERCICIO 4

Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, ¿se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis

4.0:0 ≥pH , donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?



MATEMÁTICAS


II



OPCIÓN B

Sean las matrices: EJERCICIO 1

=

021

aP ,

=

bQ

48511

y

=

5010106dc

R .

a) (1 punto) Calcule, si es posible, QP ⋅ y PQ ⋅ , razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que ?2 RQP =⋅

Sea la función

EJERCICIO 2

.1si561si32)( 2

2

>+−≤+−−=

xxaxxaxxxf

a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) (2 puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.

Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un 2. Se lanza tres veces ese dado.

EJERCICIO 3

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un 2 en cualquier orden? c) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes?

a) (1.25 puntos) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm, con un nivel de confianza del 98%.

EJERCICIO 4

b) (1.25 puntos) Dada la población { }17,12,10 , escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muestrales.

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Junio Común 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS

APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas..

OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Sean las matrices A =

−−

3152 , B =

−110213 y C =

− 351

321

a) (1 punto) Calcule A2 – B.Ct b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B = 2.C

EJERCICIO 2 a) (1 punto) Calcule la función derivada de f (x) = (e

-2x)/(-x

2+2)

2.

b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = at2+bt, 0 ≤ t ≤ 8, a, b ∈ R. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. EJERCICIO 3 En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a) (1.25 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) (1.25 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca. EJERCICIO 4 Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de 1000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de 10’0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0’2 cm. a) (0.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm. b) (1 punto) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación α = 0’025. c) (1 punto) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?


Junio Común 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS




OPCIÓN B

EJERCICIO 1 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones:

x + y ≤ 20, 3x + 5y ≤ 70, x ≥ 0, y ≥ 0. a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4’1,11’7) pertenece al recinto. b) (1.25 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (0.75 puntos) ¿Dónde alcanzará la función F(x, y) = 0’6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? EJERCICIO 2 Las funciones I(t) = -2t2

+ 51t y G(t) = t2 - 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0’5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio. EJERCICIO 3 Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el 2% del tercera tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a) (1’25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) (1’25 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? EJERCICIO 4 a) (1 punto) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra? b) (1.5 puntos) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.


Junio Específico 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS




OPCIÓN A

EJERCICIO 1 (a) (1’2 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones 6x - y + 9 ≥ 0, 2x + 5y – 13 ≤ 0, 2x - 3y - 5 ≤ 0. (b) (0’9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior. (c) (0’4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 3x - 2y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza. EJERCICIO 2

Sea la función: f(x) =

≥+−

<≤

<+−

4 x si 14

4x 2 si x4

2 x si 4x

2 xx

(a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f (b) (0’5 puntos) Determine los extremos locales de f (c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3. EJERCICIO 3 Un examen consta de una parte teórica y una parte practica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0’7 y la de que se apruebe la parte practica 0’75. Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. (a) (0’75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. (b) (0’75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. (c) (1 punto) ¿Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"? EJERCICIO 4 El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizo una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta revelo que 130 de ellas habían visto ese programa. (a) (0’5 puntos) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director. (b) (1 punto) Halle la región critica de ese contraste para un nivel de significación del 5’5%. (c) (1 punto) Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?


Junio Específico 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS




OPCIÓN B

EJERCICIO 1

(a) (1’5 puntos) Dadas las matrices M =

−−

201130

y Nt =

−

−011132

, razone cuales de las

siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + Nt, Mt.N, M.N. (b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final. Efectúe el producto P.Qt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

P:

100200260240400550

descafein.natural

C B A Q:

3'603'903'202'502'752'20

descafein.natural

C B A

Efectúe el producto P.Qt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. EJERCICIO 2 (2’5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

f(x) =x

x2 2x + ; g(x) = (x2 +1)2 - ln(e3x + 4) ; h(x) =2x

53x1

2 −−

EJERCICIO 3 Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar, (a) (1’25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? (b) (1’25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? EJERCICIO 4 El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media μ y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 5274 gramos. (a) (1’25 puntos) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media μ. (b) (1’25 puntos) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?


Septiembre 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS




OPCIÓN A

EJERCICIO 1 Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

x + y ≥ 2; x + 3y ≤ 15; 3x – y ≤ 15; x ≥ 0, y ≥ 0. (a) (1’5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. (b) (0’5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 3x + y en dicho recinto. (c) (0’5 puntos) Razone si existen puntos (x, y) del recinto, para los que F(x, y) = 30. EJERCICIO 2 (a) (1’25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función f(x) =

12x4x+

(b) (1’25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x3 + 3x2 + 3x. EJERCICIO 3 En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0’1. Si este se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0’95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0’03. (a) (1’5 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que suene la alarma? (b) (1 punto) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente. EJERCICIO 4 Suponiendo que la variable "años de vida de los individuos de un país" sigue una distribución Normal con desviación típica 8’9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71’8 años. (a) (0.5 puntos) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado. (b) (1 punto) Determine la región critica a un nivel de significación del 5%. (c) (1 punto) Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?


Septiembre 2010-2011

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS




OPCIÓN B

EJERCICIO 1

Sean las matrices A=

101010 y B =

−2113 ,

(a) (1’25 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A.At; At.A; A.B (b) (1'25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A.At.X = B. EJERCICIO 2

Sea la función f(x) =

>−

≤+−

2 x si xa4

2 x si 43xx2

(a) (1’5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a. (b) (1 punto) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas. EJERCICIO 3 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: p(A) = 0’4, p(B) = 0’5 y p(A∩B) = 0’2. (a) (1’5 puntos) Calcule las siguientes probabilidades: p(A∪B), p(A/B) y P(B/AC). (b) (0’5 puntos) Razone si A y B son sucesos incompatibles. (c) (0’5 puntos) Razone si A y B son independientes. EJERCICIO 4 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16. (a) (1 punto) ¿Cual es la distribución de la media muestral? (b) (1’5 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral este comprendida entre 47’5 y 52’5?

Resolución del examen de Selectividad de

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Andalucía �Junio de 2008

Antonio Francisco Roldán López de Hierro *

19 de junio de 2008

Opción A

Ejercicio 1 Sean las matrices A =

0 2

3 0

!y B =

a b

6 1

!.

a) (1�5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A �B = B �A.

b) (1�5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X �B �A = I2.

Solución : Calculemos los productos A �B y B �A:

A �B = 0 2

3 0

!� a b

6 1

!=

12 2

3a 3b

!;

B �A = a b

6 1

!� 0 2

3 0

!=

3b 2a

3 12

!:

Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá

únicamente si 3a = 3 y 3b = 12, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y

b = 4.

Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es

B =

1 0

6 1

!:

*Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/

1

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad �Junio de 2008

De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, detB = 1), lo

que signi�ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:

B�1 =1

detB� eBT = 1

1�

1 0

�6 1

!=

1 0

�6 1

!:

Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X:

X �B �A = I2 , X �B = A+ I2 , X = (A+ I2) �B�1 ,

, X =

" 0 2

3 0

!+

1 0

0 1

! #�B�1 =

1 2

3 1

!�

1 0

�6 1

!=

=

�11 2

�3 1

!:

La matriz X =

�11 2

�3 1

!es la única solución de la ecuación matricial dada.

Ejercicio 2 Sea la función de�nida de la forma f (x) =

8><>:2x

x� 1 ; si x < 2;

2x2 � 10x; si x � 2;

a) (0�5 puntos) Halle el dominio de f .

b) (1�25 puntos) Estudie la derivabilidad de f en x = 2.

c) (1�25 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de f en el punto de abscisax = 0.

Solución : En el intervalo [2;+1[, la función f está de�nida de una forma polinómica, por lo quepodemos asegurar que está bien de�nida y además es continua en el subintervalo abierto ]2;+1[(en el extremo inferior x = 2 aún no sabemos si es o no continua porque no hemos estudiado el

límite puntual por la izquierda). Por otro lado, si x < 2, la función pretende estar de�nida de

manera racional, pero el denominador se anula en el punto x = 1, por lo que debemos excluir

este punto del dominio de f . En consecuencia, podemos a�rmar que el mayor dominio posible

en el que se puede considerar la función f correctamente de�nida es:

dom f = R� f1g :

Para estudiar la derivabilidad de f en x = 2, hemos de estudiar primeramente si es continua

en dicho punto. En primer lugar, observamos que el punto está en el dominio, es decir, x = 2 2

Andalucía �Curso 2007/08 2 Antonio Roldán


dom f y su imagen por f es f (2) = 8 � 20 = �12. Veamos ahora si f posee límite en x = 2

estudiando sus límites laterales en dicho punto:

f�2��= l��mx!2�

f (x) = l��mx!2�

2x

x� 1 =4

2� 1 = 4;

f�2+�= l��mx!2+

f (x) = l��mx!2+

�2x2 � 10x

�= 8� 20 = �12:

Como los límites laterales de f en x = 2 existen pero son distintos, podemos a�rmar que la

función f no es continua en x = 2 y, por consiguiente, tampoco es derivable en x = 2 (si fuese

derivable, entonces sería continua en dicho punto, lo cual no ocurre).

Finalmente, la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x = 0, si existe, es:

y � f (0) = f 0 (0) � (x� 0) :

Por un lado, es sencillo calcular f (0) = 0= (�1) = 0. Por otro lado, debemos calcular f 0 (0),

si existe. Dado el carácter local de la derivación, para derivar f en x = 0 basta con derivar la

expresión 2x= (x� 1), pues coincide con f en el intervalo abierto ]�1; 2[, que contiene al puntox = 0. De esta forma:

x < 2;

�2x

x� 1

�0=2 (x� 1)� 2x(x� 1)2

=�2

(x� 1)2:

Así, f 0 (0) = �2= (�1)2 = �2, y la ecuación de la recta buscada es:

y � f (0) = f 0 (0) � (x� 0) , y � 0 = �2 (x� 0) , y = �2x:

Concluimos entonces que la recta tangente a la grá�ca de f en el punto de abscisa x = 0 es la

recta de ecuación y = �2x.

Ejercicio 3 a) (1 punto) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que

p (A) = 005, que p (B) = 004 y que p (A [B) = 008, determine p (A=B).

b) (1 punto) Sean C y D dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que p (C) = 003,

que p (D) = 008 y que C y D son independientes, determine p (C [D).

Solución : Esencialmente, la fórmula que se utiliza en este ejercicio es la relación:

p (A [B) = p (A) + p (B)� p (A \B) ;

válida para cualesquiera sucesos A y B de un mismo espacio de probabilidad. Esta igualdad nos

permite despejar:

p (A \B) = p (A) + p (B)� p (A [B) = 005 + 004� 008 = 001;



y de aquí, la probabilidad condicionada p (A=B) es:

p (A=B) =p (A \B)p (B)

=001

004=1

4:

De la misma forma, sabemos que una de las posibles caracterizaciones de la independencia

de sucesos es:

C y D son independientes , p (C \D) = p (C) � p (D) :

Utilizando este hecho, podemos deducir la siguiente probabilidad:

p (C [D) = p (C) + p (D)� p (C \D) = p (C) + p (D)� p (C) � p (D) =

= 003 + 008� 003 � 008 = 101� 0024 = 0086:

Esto acaba el ejercicio.

Ejercicio 4 El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley Normalde media � días y de desviación típica 3 días.

a) (1 punto) Determine un intervalo de con�anza para estimar �, a un nivel del 97%, con unamuestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es de 8�1 días.

b) (1 punto) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar � con unerror máximo de 1 día y un nivel de con�anza del 92%?

Solución : Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo (en días) de permanencia en el hospital

de un enfermo tomado al azar. Según indica el problema, de esta variable sabemos que X ,!N (�; � = 3), siendo la media � desconocida. Se elige una muestra aleatoria de tamaño n = 100,

que arroja una media muestral de �x = 801 días. Como la población de partida es Normal, el

intervalo de con�anza solicitado es:

I:C: =

��x� z�=2

�pn

�:

Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z�=2 al nivel de con�anza del 97%

(o lo que es lo mismo, a un nivel de signi�cación � = 3 % = 0003). Para ello, recordamos que el

número z�=2 es el único número real que cumple que p�Z > z�=2

�= �=2 = 00015, siendo Z una

variable con distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda,

traducimos esta condición con el suceso opuesto, es decir, p�Z � z�=2

�= 1 � 00015 = 00985.

Buscamos este valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico



z�=2 = z00015 = 2017, como se aprecia en el siguiente grá�co.

z z

0'97

_0'015 0'015

0'015 0'015

x

y

Z ,! N (0; 1)

De esta forma, el intervalo de con�anza es:

I:C: =

��x� z�=2

�pn

�=

�801� 2017 3p

100

�=�801� 00651

�=�70449; 80751

�:

Esto signi�ca que el tiempo medio de permanencia en el hospital, �, al 97% de con�anza, varía

entre 7�45 y 8�75 días, aproximadamente.

Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con�anza para la media

� con un error máximo de E = 1 día al 92% de con�anza. Entonces debemos tomar una muestra

aleatoria de un tamaño n que veri�que

n ��z�=2 �

E

�2;

donde z�=2 es el valor crítico correspondiente a un nivel de con�anza p = 1 � � = 92 % (o lo

que es lo mismo, a un nivel de signi�cación � = 0008). Razonando como antes, sabemos que

p�Z > z�=2

�= �=2 = 0004, lo que se traduce en que p

�Z � z�=2

�= 1� 0004 = 0096. Buscamos

este valor en la tabla de colas a la izquierda de la distribución Normal estándar, y encontramos

el valor crítico z�=2 = 1075. Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una

muestra es:

n ��z�=2 �

E

�2=

�1075 � 31

�2= 2705625:

Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con�anza para

� sea inferior a un día, al 92% de con�anza, el menor número de personas que debemos tomar

en una muestra aleatoria es de 28 individuos.



Opción B

Ejercicio 1 a) (2 puntos) Represente grá�camente la región determinada por las siguientesrestricciones:

2x+ y � 6 ; 4x+ y � 10 ; �x+ y � 3 ; x � 0 ; y � 0:

b) (1 punto) Calcule el máximo de la función f (x; y) = 4x + 2y � 3 en el recinto anterior e

indique dónde se alcanza.

Solución : Llamemos R al recinto buscado. Una forma de dibujar sus bordes consiste en hacer

igualdades las desigualdades y calcular los puntos en los que estas rectas cortan a los ejes de

coordenadas.

2x+ y � 6!

8<: (3; 0)

(0; 6)4x+ y � 10!

8<: (205; 0)

(0; 10)� x+ y � 3!

8<: (�3; 0)

(0; 3)

Con estos puntos, ya podemos dibujar los bordes del recinto.

4 2 2 4 6 8 102

2

4

6

8

10

12

14

x

y

El primer cuadrante (delimitado por las inecuaciones x � 0 e y � 0) queda así dividido en

siete recintos, cinco de ellos acotados y dos no acotados. Comprobando cuál de ellos veri�ca, a

la vez, las cinco inecuaciones del sistema, determinamos que el recinto R que buscamos es el

único recinto del primer cuadrante que posee al punto A (0; 0) como vértice. Otros dos de sus

vértices son B (0; 3) y E (205; 0). Calculamos sus otros dos vértices encontrando dónde se cortan

las rectas distintas de los ejes coordenados:

8<: 2x+ y = 6

4x+ y = 10

8<: 2x+ y = 6

�x+ y = 3

x = 2; y = 2 x = 1; y = 4R

A

B

C

D

E1 1 2 3 4 51

1

2

3

4

5

x

y



De esta forma, podemos a�rmar que los vértices de la región R determinada por las restricciones

dadas son:

A (0; 0) ; B (0; 3) ; C (1; 4) ; D (2; 2) ; E�205; 0

�:

El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a�rma que la función f (x; y) = 4x+2y�3alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos extremos deben estar

situados en sendos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores:

f (0; 0) = �3; f (0; 3) = 6� 3 = 3; f (1; 4) = 4 + 8� 3 = 9;f (2; 2) = 8 + 4� 3 = 9; f

�205; 0

�= 10� 3 = 7:

Observamos entonces que el valor máximo de f en el recinto R es 9 (no se nos pide el valor

mínimo). No obstante, este valor extremo no se alcanza en un único vértice, sino que observamos

que hay dos vértices consecutivos del recinto en los que se alcanza dicho valor máximo. Entonces

sabemos la función f toma el mismo valor en todos los puntos del segmento cerrado que une

vértices consecutivos al mismo nivel. Esto nos permite concluir que la función f alcanza su valor

máximo (que es 9) en el recinto R en todos los puntos del segmento cerrado de extremos C (1; 4)

y D (2; 2).

Ejercicio 2 Sea la función f de�nida mediante f (x) =

8<: x2 + ax+ b; si x < 1;

L (x) ; si x � 1:

a) (1�5 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = �1.

b) (1�5 puntos) Para a = �1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x = �1 y en x = 1.

Solución : La función f está de�nida en el intervalo abierto ]�1; 1[ como una función polinómica,y en el intervalo abierto ]1;+1[ como la función logaritmo neperiano. Por tanto, dado el carácterlocal de la continuidad y de la derivabilidad, de entrada, podemos a�rmar que f es continua y

derivable en R� f1g. El único punto en el que puede fallar la continuidad es en el punto x = 1.Estudiemos qué relación deben veri�car los coe�cientes a y b para que f sea continua en x = 1.

Para ello, calculamos los límites laterales de f en x = 1 y establecemos que sean iguales.

f�1��= l��mx!1�

f (x) = l��mx!1�

�x2 + ax+ b

�= 1 + a+ b;

f�1+�= l��mx!1+

f (x) = l��mx!1+

L (x) = L (1) = 0:

Para que f sea continua en x = 1, es necesario (y su�ciente) que 1+a+b = 0, es decir, a+b = �1.Por otro lado, si f alcanza un mínimo en x = �1, entonces debe cumplirse que f 0 (�1) = 0, yaque se ha comentado que f es derivable en dicho punto. Dado que si x < 1 se tiene que:

f 0 (x) =�x2 + ax+ b

�0= 2x+ a;



entonces:

f 0 (�1) = 0 , �2 + a = 0 , a = 2:

Sabiendo ahora que f es continua en x = 1, podemos despejar:

a+ b = �1 ) b = �a� 1 = �2� 1 = �3:

Por consiguiente, concluimos que los valores que hacen que f sea continua y, a la vez, tenga un

mínimo en x = �1, son a = 2 y b = �3.

Supongamos ahora que a = �1 y b = 1. Entonces podemos a�rmar lo siguiente.

La función f es derivable en x = �1, pues ya se ha expuesto antes que, sean cuales seanlos valores de a y de b, la función f es derivable en R� f1g.

La función f no es derivable en x = 1 ya que en dicho punto no es continua. Para ser

continua en x = 1, hemos visto que los valores a y b deben veri�car la relación a+ b = �1,y los valores a = �1 y b = 1 no la cumplen. Así, f no es continua en x = 1 y, en

consecuencia, no puede ser derivable en dicho punto.

Esto acaba el ejercicio.

Ejercicio 3 Se sabe que el 30% de los individuos de una población tiene estudios superiores;

también se sabe que, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de la parte de la población que no

tiene estudios superiores, el 60% tiene empleo.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.

b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad deque tenga estudios superiores.

Solución : Llamemos S al suceso �elegido un individuo al azar en la población, éste tiene estudios

superiores�, y llamemos E al suceso �elegido un individuo al azar en la población, éste tiene

empleo�. Como hay un 30% de personas con estudios superiores, sabemos que p (S) = 003, y

sin estudios superiores habrá un 70%, es decir, p�SC�= 1 � p (S) = 007. Entre los que tienen

estudios superiores, hay un 95% de personas con empleo, lo que nos indica la probabilidad

condicionada p (E=S) = 0095. Igualmente, entre las personas que no tienen estudios superiores,

hay un 60% que tienen empleo, y así p�E=SC

�= 006. Con estas verosimilitudes y probabilidades


Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Junio de 2008

a priori, podemos completar el siguiente diagrama en arbol.

E

S

0′9544iiiiiiiiiii

0′05 **UUUUUUUUUU

EC

•

0′3

::tttttttttttt

0′7 %%JJJJJJJJJJJ

E

SC

0′644iiiiiiiiii

0′4 **TTTTTTTTTT

EC

Aplicando entonces el Teorema de la Pro-babilidad Total, deducimos que la probabilidadde que un individuo, seleccionado al azar, tengaempleo es:

p (E) = p (S) · p(

E

S

)+ p

(SC)· p(

E

SC

)=

= 0′3 · 0′95 + 0′7 · 0′6 = 0′705.

Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la definicion de probabi-lidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que tiene empleo, la probabilidad de quetenga estudios superiores es:

p

(S

E

)=

p (S ∩ E)p (E)

=p (S) · p

(ES

)p (S) · p

(ES

)+ p (SC) · p

(ESC

) =0′3 · 0′95

0′3 · 0′95 + 0′7 · 0′6=

=0′2850′705

=285705

=1947

.

Aproximadamente, esta probabilidad es del 40’43 %.

Ejercicio 4 Sea la poblacion{

1, 2, 3, 4}

.

a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamano 2, mediante muestreo aleatorio

simple.

b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales.

Solucion : Llamemos X2 a la variable aleatoria que mide la media muestral de los dos numerosobtenidos mediante muestreo aleatorio simple en la poblacion indicada. Salvo que se indique locontrario, el muestreo aleatorio simple se entiende con reemplazamiento. Por consiguiente, todaslas muestras posibles de tamano dos son: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4)

(3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4)

.

El elemento (1, 1) significa que en la primera extraccion sacamos un 1 y en la segunda extraccion,despues de devolver a la poblacion el numero encontrado, volvemos a sacar un 1. Igualmente,el elemento (3, 2) indica que primero sacamos un 3 y, despues de devolverlo a la poblacion,

Andalucıa – Curso 2007/08 9 Antonio Roldan


sacamos un 2. Haciendo la media de los dos números obtenidos en cada una de las posibilidades

anteriores, tenemos la siguiente tabla de frecuencias, con la que podemos determinar la varianza

de las medias muestrales:

�xi ni �xi � ni �x2i � ni1 1 1 1

105 2 3 405

2 3 6 12

205 4 10 25

3 3 9 27

305 2 7 2405

4 1 4 16

16 40 110

8>>><>>>:� �X2 =

Pi �xi � niN

=40

16=5

2;

�2�X2=

Pi �x2i � niN

� �2�X2 =110

16��5

2

�2=5

8:

Esto concluye que la varianza de las medias muestrales de tamaño 2 es 5=8.

Nota 1 Hay una segunda forma de resolver el ejercicio anterior que es especialmente sencilla.Basta con calcular la media y la varianza de la población f1; 2; 3; 4g con las fórmulas usuales:

� =1 + 2 + 3 + 4

4=10

4=5

2= 205;

�2 =(1� 205)2 + (2� 205)2 + (3� 205)2 + (4� 205)2

4=1052 + 0052 + 0052 + 1052

4=5

4:

Recordemos que el Teorema Central del Límite establece lo siguiente: �Dada una poblaciónde media � y desviación típica � (no necesariamente Normal), la distribución de las medias

muestrales �Xn de tamaño n veri�ca:

� �Xn = �; �2�Xn =�2

n;

y, a medida que n crece, dicha distribución se aproxima a una distribución Normal (es casi

Normal cuando n � 30)�. No obstante, hay ocasiones en que los parámetros muestrales siguencumpliendo las relaciones anteriores aun cuando la población de partida ni es Normal ni se

toma una muestra su�cientemente grande. Es el caso de la población que aquí manejamos, que

cumple:

� �X2 = � =5

2; �2�X2 =

�2

n=5=4

2=5

8:

Este segundo procedimiento también nos lleva a demostrar que la varianza de las medias mues-

trales de tamaño 2 es 5=8.


Resolución del examen de Selectividad de

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Andalucía �Junio de 2009

Antonio Francisco Roldán López de Hierro *

18 de junio de 2009

Opción A

Ejercicio 1 Sea la igualdad A �X +B = A, donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma

dimensión.

(a) (1 punto) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa.

(b) (2 puntos) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo

A =

2 5

1 3

!y B =

0 �3�1 2

!:

Solución : Apartado (a). Primero se despeja A �X (pasando B restando al segundo miembro)

y luego se multiplica por la inversa de A por la izquierda:

A �X +B = A , A �X = A�B , A�1 �A �X = A�1 � (A�B) ,, I �X = A�1 �A�A�1 �B , X = I �A�1 �B;

donde I es la matriz identidad de la misma dimensión que A. También hubiese valido X =

A�1 � (A�B).

X = A�1 � (A�B) = I �A�1 �B

Apartado (b). Teniendo en cuenta que el determinante de A es 1, su matriz inversa es:

A�1 =1

detA� adjAT = 1

1�

3 �5�1 2

!=

3 �5�1 2

!:

*Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/

1


De esta forma, podemos calcular la matriz X utilizando el apartado anterior:

X = I2 �A�1 �B = 1 0

0 1

!�

3 �5�1 2

!�

0 �3�1 2

!=

=

1 0

0 1

!�

5 �19�2 7

!=

�4 19

2 �6

!:

Concluimos que la matriz X solicitada es:

X =

�4 19

2 �6

!:

Ejercicio 2 Sea la función f (x) =

8<: x2 + x; si x < 0;x

x+ 1; si x � 0:

(a) (2 puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función f en su dominio.

(b) (0�5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.

(c) (0�5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene.

Solución : Apartado (a). En el intervalo abierto R� = ]�1; 0[, la función f está de�nida deforma polinómica (un trozo de parábola), por lo que es continua y derivable en este intervalo.

De la misma forma, En el intervalo abierto R+ = ]0;+1[, la función f está de�nida de formaracional (un trozo de hipérbola), de manera que el denominador no se anula en todo este intervalo

(sólo lo hace en x = �1). Por tanto, en este otro intervalo, f también es continua y derivable.Hemos deducido, pues, que f es continua y derivable en R�f0g, y queda por estudiar qué ocurreen x = 0.

� f (0) =0

0 + 1= 0;

�

8><>:f (0�) = l��m

x!0�f (x) = l��m

x!0�

�x2 + x

�= 0

f (0+) = l��mx!0+

f (x) = l��mx!0+

x

x+ 1=

0

0 + 1= 0

9>=>; ) l��mx!0

f (x) = 0;

� f (0) = 0 = l��mx!0

f (x) :

De las tres propiedades anteriores deducimos que f es continua en x = 0 y, por tanto, es

continua en R. Estudiamos a continuación su derivabilidad en x = 0. En puntos distintos de



cero su primera derivada se obtiene derivando cada trozo:

x 6= 0; f 0 (x) =

8><>:2x+ 1; si x < 0;

1

(x+ 1)2si x > 0:

Estudiamos si existen los límites laterales de la función primera derivada en x = 0:

� f 0�0��= l��mx!0�

f 0 (x) = l��mx!0�

(2x+ 1) = 0 + 1 = 1;

� f 0�0+�= l��mx!0+

f 0 (x) = l��mx!0+

1

(x+ 1)2=

1

(0 + 1)2= 1:

Como f es continua en R, derivable alrededor de x = 0 y en este punto existen los límites

laterales de la función derivada y son iguales, concluimos que f es derivable en x = 0 y su

derivada en este punto coincide con los límites laterales de la derivada en dicho punto.

La función f es continua y derivable en R.

Apartado (b). A la izquierda (en �1), f no posee ninguna asíntota horizontal, puescoincide con una función parabólica (es todo caso, se dice que posee una rama parabólica). Se

comprueba de una manera sencilla que:

l��mx!�1

f (x) = l��mx!�1

�x2 + x

�= l��mx!+1

�(�x)2 + (�x)

�= l��mx!+1

�x2 � x

�= +1:

Sin embargo, a la derecha (en +1), f coincide con una función hiperbólica, que posee unaasíntota horizontal. Es sencillo calcular:

l��mx!+1

f (x) = l��mx!+1

x

x+ 1= 1:

Por consiguiente, la recta y = 1 es asíntota horizontal de f (a la derecha).

La recta y = 1 es asíntota horizontal de la función f (a la derecha).

Apartado (c). La función f no posee ninguna asíntota vertical pues es continua en todo R.

Dibujamos la función f para comprobar algunos de los datos del ejercicio anterior.

2 1 1 2 3 4

1

1

2

x

y



Ejercicio 3 Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de visitar Cádiz, un

40% de visitar Sevilla y un 30% de visitar ambas ciudades. Calcule la probabilidad de que:

(a) (0�5 puntos) Visite al menos una de las dos ciudades.

(b) (0�5 puntos) Visite únicamente una de las dos ciudades.

(c) (0�5 puntos) Visite Cádiz pero no visite Sevilla.

(d) (0�5 puntos) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz.

Solución : Llamemos C y S a los sucesos �elegido/a un/a turista al azar, éste/a visita Cádiz�o

�Sevilla�, respectivamente. Según los datos del enunciado, p (C) = 005, p (S) = 004 y p (C \ S) =003. Con estos datos, podemos realizar el siguiente diagrama de Venn:

C S

0'30'2 0'1

De esta forma, todos los apartados son inmediatos. No obstante, utilizamos algunas fórmulas

para justi�carlos:

(a) p (C [ S) = p (C) + p (S)� p (C \ S) = 005 + 004� 003 = 006:(b) p (�una sóla ciudad�) = p (C�S) + p (S�C) = (p (C)� p (C \ S)) + (p (S)� p (C \ S)) =

=�005� 003

�+�004� 003

�= 002 + 001 = 003:

(c) p (C�S) = p (C)� p (C \ S) = 005� 003 = 002:

(d) p

�S

C

�=p (C \ S)p (C)

=003

005=3

5= 006:

(a) p (C [ S) = 006: (b) p (�una sóla ciudad�) = 003:

(c) p (C�S) = 002: (d) p

�S

C

�= 006:

Ejercicio 4 El tiempo (en horas) que permanecen los coches en un determinado taller de reparaciónes una variable aleatoria con distribución Normal de desviación típica 4 horas.



(a) (1 punto) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron136 horas en reparación. Determine un intervalo de con�anza, al 98.5%, para la media del

tiempo que permanecen los coches en ese taller.

(b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar lamedia del tiempo que permanecen en reparación los coches en ese taller con un error en la

estimación no superior a una hora y media y con el mismo nivel de con�anza del apartado

anterior.

Solución : Llamemos X a la variable aleatoria que mide el �tiempo (en horas) que permanece

un coche, elegido al azar, en ese taller de reparación�. De esta variable sabemos que X ,!N (�; � = 4), donde la media � es desconocida.

Apartado (a). Si se eligieron 16 coches al azar y, entre todos, estuvieron 136 horas en eltaller, podemos decir que la media del tiempo que estuvieron estos coches en el taller es de

�x = 136=16 = 805 horas. Como X sigue una distribución Normal, el intervalo de con�anza para

la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller es:

I:C: =

��x� z�=2

�pn

�:

Para aplicar esta fórmula, es necesario calcular el valor crítico z�=2 al nivel de con�anza del 98�5%



�= �=2 = 000075, siendo Z una



�= 1 � 000075 = 009925.



z z

0'985

_0'0075 0'0075

0'0075 0'0075

x

y

Z ,! N (0; 1)




I:C: =i�x� z�=2 �p

n

h=

�805� 2043 4p

16

�= ] 805� 2043 [ = ] 6007; 10093 [ :

I:C: =i6007; 10093

h:

Esto signi�ca que el tiempo medio, �, de permanencia de los coches en ese taller está entre 6�07

y 10�93 horas, al 98�5% de con�anza.

Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con-�anza para la media � con un error máximo de E = 105 horas al 98�5% de con�anza. Entonces

debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri�que:

n ��z�=2 �

E

�2;

donde z�=2 es el mismo valor crítico que en el apartado anterior. Con estos datos, el tamaño

mínimo n que debemos tomar en una muestra veri�ca:

n ��z�=2 �

E

�2=

�2043 � 4105

�2= 60482 = 4109904:

Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con�anza para �

sea inferior a una hora y media, al 98�5% de con�anza, el menor número de coches que debemos

tomar en una muestra aleatoria es de 42 de ellos.

42 coches.

Opción B

Ejercicio 1 (a) (1�5 puntos) Dibuje el recinto de�nido por las siguientes restricciones:

x+ y � 2; x� y � 0; y � 4; x � 0:

(b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función F (x; y) = x+y en el recinto anteriory los puntos donde se alcanzan.

(c) (0�5 puntos) ¿Pertenece el punto�1

3;4

3

�al recinto anterior? Justi�que la respuesta.

Solución : Apartado (a). Llamemos R al recinto determinado por las desigualdades anteriores.Para dibujar el recinto R, determinamos un par de puntos de cada recta (por ejemplo, donde



corta a los ejes de coordenadas) que delimita el recinto, la cual se consigue estableciendo la

iguadad en cada desigualdad.

x+ y = 2!

8<: (2; 0) ;

(0; 2) ;x� y = 0!

8<: (0; 0) ;

(1; 1) :y = 4!

8<: (0; 4) ;

(1; 4) :x = 0!

8<: (0; 0) ;

(0; 1) :


1 1 2 3 4 51

1

2

3

4

5

x

y

Buscamos cuál de estos recintos veri�ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en

el que está el punto (1; 3) (marcado en el dibujo anterior). De esta forma, el recinto R es el

siguiente:

RA

BC

D1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

x

y

Los vértices de la región R determinada por las restricciones dadas son:

A (0; 2) ; B (0; 4) ; C (4; 4) ; D (1; 1) :

Apartado (b). Consideremos la función F (x; y) = x + y. El Teorema Fundamental de la

Programación Lineal a�rma que la función F alcanza máximo y mínimo absolutos en la región

acotada R, y que estos extremos deben estar situados en ciertos vértices del recinto, por lo que

evaluamos F en los puntos anteriores:

F (0; 2) = 2; F (0; 4) = 4; F (4; 4) = 8; F (1; 1) = 2:



Esto signi�ca lo siguiente.

El valor máximo de F en la región R es 8 y se alcanza en el punto (4; 4).

Igualmente, el valor mínimo de la función F en el recinto R es 2 y se alcanza

en todos los puntos del segmento cerrado de extremos (0; 2) y (1; 1).

Apartado (c). El punto�13 ;43

�no cumple la inecuación x+y � 2, ya que 13+

43 =

53 = 1

0b6 < 2.Por tanto, no pertenece al recinto R.

El punto�1

3;4

3

�no pertenece al recinto dado.

Ejercicio 2 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de unaciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:

C (t) = �002t2 + 4t+ 25; 0 � t � 25 (t = años transcurridos desde el año 2000).

(a) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?

(b) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?

(c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de la función C(t) en t = 8.Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.

Solución : Como la función C es claramente un trozo de parábola cóncava, no nos cuesta ningún

trabajo dibujarla. Su vértice está situado en:

tv =�b2a

=�4�004 = 10:

Con tres puntos de una tabla de valores (los extremos del intervalo de de�nición y el vértice de

la parábola) podemos dibujar la función C:

t C (t)

0 25

10 45

25 0

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

x

y



Apartado (a). El máximo de la función C está en t = 10, pues es su vértice. Por tanto,

como partimos del año 2000,

el año de máxima contaminación será el año 2010.

Apartado (b). La función anterior únicamente vale cero (corta al eje de abscisas) cuandot = 25, por lo que deducimos que:

el año de contaminación cero será el año 2025.

Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la grá�ca de la función C = C(t) en

t = 8 es la derivada C 0 (8). Como C 0 (t) = �004t + 4, resulta que C 0 (8) = �302 + 4 = 008 > 0.Por consiguiente,

la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de la función C = C(t)

en t = 8 es C 0 (8) = 008. Que esta pendiente sea positiva signi�ca que la

función C = C(t) es estrictamente creciente en t = 8, es decir, el nivel de

contaminación crece en 2008.

Ejercicio 3 En un centro escolar, los alumnos de 2o de Bachillerato pueden cursar, como asignaturasoptativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO). El 70% de los alumnos estudia

Estadística y el resto DAO. Además, el 60% de los alumnos que estudia Estadística son mujeres y,

de los alumnos que estudian DAO son hombres el 70%.

(a) (1 punto) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

(b) (1 punto) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que estudieEstadística?

Solución : Llamemos E y DAO a los sucesos �elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a estudia

Estadística�o �Diseño Asistido por Ordenador�, respectivamente. De la misma forma, llamemos

H y M a los sucesos �elegido/a un/a alumno/a al azar, éste/a resulta ser hombre�o �mujer�,

respectivamente. El enunciado nos dice que p (E) = 007, por lo que p (DAO) = 003 ya que hay

que elegir obligatoriamente alguna de las dos asignaturas. También sabemos que p (M=E) = 006,



de donde p (H/E) = 0′4, y ademas p (H/DAO) = 0′7, de donde p (M/DAO) = 0′3. Con todasestas probabilidades construimos el siguiente diagrama en arbol:

H

E

0′444hhhhhhhhhhh

0′6 **VVVVVVVVVVV

M

•

0′7

88qqqqqqqqqqqq

0′3 &&MMMMMMMMMMM

H

DAO

0′744hhhhhhhhhh

0′3 **VVVVVVVVV

M

Apartado (a). Aplicando el Teorema de laProbabilidad Total, deducimos que la probabilidad deque una persona, seleccionada al azar, sea un hombrees:

p(H) = p (E) · p(

H

E

)+ p (DAO) · p

(H

DAO

)=

= 0′7 · 0′4 + 0′3 · 0′7 = 0′49.

Apartado (b). Como hay un 49 % de hombres, debe haber un 51 % de mujeres, por lo quep (M) = 0′51. Aplicando la definicion de probabilidad condicionada:

p

(E

M

)=

p (E ∩M)p (M)

=p (E) · p

(ME

)p (M)

=0′7 · 0′6

0′51=

0′420′51

=4251≈ 0′82353.

(a) p (H) = 0′51. (b) p

(E

M

)=

4251≈ 0′82353.

Ejercicio 4 En un estudio de mercado del automovil en una ciudad se ha tomado una muestra

aleatoria de 300 turismos, y se ha encontrado que 75 de ellos tienen motor diesel. Para un nivel de

confianza del 94 %:

(a) (1’5 puntos) Determine un intervalo de confianza de la proporcion de turismos que tienen

motor diesel en esa ciudad.

(b) (0’5 puntos) ¿Cual es el error maximo de la estimacion de la proporcion?

Solucion : Apartado (a). Como hay 75 coches con motor diesel en una muestra de tamanon = 300, la proporcion muestral de coches con motor diesel es p = 75/300 = 0′25. Dado quen ≥ 30, n · p = 300 · 0′25 = 75 ≥ 5 y n · (1− p) = 300 · 0′75 = 225 ≥ 5, podemos utilizar laaproximacion de De Moivre para obtener la formula de intervalo del confianza para la proporcionpoblacional de coches en esa ciudad con motor diesel, que es:

I.C. =

]p± zα/2

√p (1− p)

n

[.






�= �=2 = 0003, siendo Z una



�= 1 � 0003 = 0097.


z�=2 = 1088 (realmente no es el valor exacto, pero es mejor aproximación que 1�89).

z z

0'94

_0'03 0'03

0'03 0'03

x

y

Z ,! N (0; 1)


I:C: =

#p� z�=2

rp (1� p)

n

"=

#0025� 1088

r0025 � 0075300

"=�0025� 00047

�=�00203; 00297

�:

Esto signi�ca que, al 94% de con�anza, la proporción de coches con motor diésel en esa ciudad

está en el intervalo:

I:C: =i00203; 00297

h;

es decir, entre el 20�3% y el 29�7%.

Apartado (b). Si el intervalo de con�anza es el anterior, el error máximo que puede cometereste intervalo (determinado al 94% de con�anza) es:

E = z�=2

rp (1� p)

n= 1088

r0025 � 0075300

= 00047 = 407 %:

El error máximo de la estimación de la proporción es del 4�7%.


Resolucion del examen de Selectividad de

Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Andalucıa – Septiembre de 2009

Antonio Francisco Roldan Lopez de Hierro *

17 de septiembre de 2009

Opcion A

Ejercicio 1 (a) (2’5 puntos) Represente la region definida por las siguientes inecuaciones y de-

termine sus vertices:

x+ 3y ≤ 12 ;x

3+y

5≥ 1 ; y ≥ 1 ; x ≥ 0.

(b) (0.5 puntos) Calcule los valores extremos de la funcion F (x, y) = 5x+ 15y en dicha region y

donde se alcanzan.

Solucion : La segunda inecuacion es equivalente a:

x

3+y

5≥ 1 ⇔ 5x+ 3y ≥ 15.

Llamemos R al recinto determinado por las desigualdades anteriores. Para dibujar el recinto R,

determinamos un par de puntos de cada recta (por ejemplo, donde corta a los ejes de coorde-

nadas) que delimita el recinto, la cual se consigue estableciendo la igualdad en cada desigualdad.

x+3y = 12→

⎧⎨⎩ (12, 0) ,

(0, 4) ;5x+3y = 15→

⎧⎨⎩ (3, 0) ,

(0, 5) ;y = 1→

⎧⎨⎩ (0, 1) ,

(1, 1) ;x = 0→

⎧⎨⎩ (0, 0) ,

(0, 1) .


*Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html

1

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad �Septiembre de 2009

2 4 6 8 10 12

2

4

6

x

y

Buscamos cuál de estos recintos veri�ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en

el que está el punto (4; 2) (marcado en el dibujo anterior). De esta forma, el recinto R es el

siguiente:

RA

B

C

2 4 6 8 10

2

4

6

x

y

Calculamos los vértices A, B y C resolviendo ciertos sistemas de ecuaciones.

A :

8<: y = 1

5x+ 3y = 15B :

8<: 5x+ 3y = 15

x+ 3y = 12C :

8<: y = 1

x+ 3y = 12

x =12

5= 204; y = 1 x =

3

4= 0075; y = 3075 x = 9; y = 1

Por tanto, los vértices del recinto son A (204; 1), B (0075; 3075) y C (9; 1).

Los vértices del recinto son A (204; 1), B (0075; 3075) y C (9; 1).

Apartado (b). El Teorema Fundamental de la Programación Lineal a�rma que la funciónF (x; y) = 5x + 15y alcanza máximo y mínimo absolutos en la región acotada R, y que estos

extremos deben estar situados en sendos vértices del recinto, por lo que evaluamos F en los

puntos anteriores:

F�204; 1

�= 27; F

�0075; 3075

�= 60; F (9; 1) = 60:


Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad – Septiembre de 2009

Estos valores nos proporcionan la solucion.

El valor mınimo de F en el recinto R es 27, y se alcanza en el punto

(2′4, 1). De igual forma, el valor maximo de F en el recinto R es 60, y se

alcanza en todos los puntos del segmento cerrado de extremos (0′75, 3′75) y

(9, 1).

Ejercicio 2 La funcion derivada de una funcion f viene dada por f ′ (x) = 3x2 − 12x+ 9.

(a) (1.5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonıa de la funcion f y los valores de x en los que

dicha funcion alcanza sus extremos locales.

(b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la funcion f .

(c) (0.75 puntos) Sabiendo que la grafica de f pasa por el punto (2, 5), calcule la ecuacion de la

recta tangente a la grafica de f en dicho punto.

Solucion : No debemos confundir la funcion f con su primera derivada f ′. El ejercicio nos indica

f ′, pero no f . Veremos que no hace falta conocer f . Lo que sı esta claro es que, dado que

f ′ (x) = 3x2 − 12x+ 9 es una funcion continua en ℝ (por ser una funcion polinomica), sabemos

que f es una funcion derivable en ℝ y, por tanto, tambien es continua en ℝ.

Apartado (a). Para calcular la monotonıa de f , determinamos sus puntos crıticos, es decir,

los puntos que anulan a la primera derivada.

f ′ (x) = 0 ⇔ 3x2 − 12x+ 9 = 0 ⇔ x2 − 4x+ 3 = 0 ⇔

⇔ x =4±√

16− 4 ⋅ 1 ⋅ 32 ⋅ 1

=4±√

4

2=

4± 2

2⇔ {x1 = 1, x2 = 3}.

Por tanto, f posee dos puntos crıticos, x1 = 1 y x2 = 3, que son los candidatos a extremos

relativos. Hacemos la siguiente tabla para estudiar la monotonıa de f .

f ′ + max − mın +

f ↗ 1 ↘ 3 ↗f ′ (0) = 9 > 0; f ′ (2) = −3 < 0; f ′ (4) = 9 > 0.

De la tabla anterior deducimos la siguiente solucion.

La funcion f es (estrictamente) creciente en ]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[ y es

(estrictamente) decreciente en ]1, 3[. Ademas, posee un maximo relativo en

x = 1 y un mınimo relativo en x = 3.



Apartado (b). Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la funcion f ,

utilizamos la segunda derivada de f , que es f ′′ (x) = 6x − 12, para cada x ∈ ℝ, y estudiamos

donde se anula:

f ′′ (x) = 0 ⇔ 6x− 12 = 0 ⇔ x = 2.

El unico punto candidato a punto de inflexion es x = 2. La siguiente tabla nos indica la curvatura

de f .

f ′′ − P.I. +

f ∩ 2 ∪f ′′ (0) = −12 < 0; f ′′ (3) = 6 > 0.

La funcion f es concava en ]−∞, 2[ y es convexa en ]2,+∞[.

Apartado (c). Decir que la funcion f pasa por el punto (2, 5) es lo mismo que decir que

f (2) = 5. Sabiendo que f ′ (2) = −3, ya podemos calcular la ecuacion de la recta tangente a la

grafica de la funcion f en el punto x = 2:

y− f (2) = f ′ (2) ⋅ (x− 2) ⇔ y− 5 = −3 ⋅ (x− 2) ⇔ y = −3x+ 6 + 5 ⇔ y = −3x+ 11.

La ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto x = 2 es

y = −3x+ 11.

Ejercicio 3 Una enfermedad afecta al 10 % de la poblacion. Una prueba de diagnostico tiene las

siguientes caracterısticas: si se aplica a una persona con la enfermedad, da positivo en el 98 % de los

casos; si se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, da positivo en el 6 % de los casos. Se

elige una persona, al azar, y se le aplica la prueba.

(a) (1 punto) ¿Cual es la probabilidad de que de positivo?

(b) (1 punto) Si no da positivo, ¿cual es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad?

Solucion : Apartado (a). Llamemos E al suceso “elegido un individuo al azar en la poblacion,

este tiene la enfermedad”, y llamemos P al suceso “elegido un individuo al azar en la poblacion,

este da positivo al hacer la prueba de diagnostico”. Como hay un 10 % de personas que tienen

la enfermedad, sabemos que p (E) = 0′1, y sin la enfermedad habra un 90 %, es decir, p(EC)

=

1−p (E) = 0′9. Entre las personas que tienen la enfermedad, la prueba de diagnostico da positivo

en el 98 % de los casos, es decir, p (P/E) = 0′98. Igualmente, entre las personas que no tienen la

enfermedad, la prueba da positivo en el 6 % de los casos, lo que significa que p(P/EC

)= 0′06.



Con estas verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama

en arbol.

P

E

0′9844iiiiiiiiiii

0′02 **UUUUUUUUUU

PC

∙

0′1

::tttttttttttt

0′9 %%KKKKKKKKKKK

P

EC

0′0644iiiiiiiiii

0′94 **UUUUUUUUU

PC

Aplicando entonces el Teorema de la Proba-

bilidad Total, deducimos que la probabilidad de

que un individuo, seleccionado al azar, de posi-

tivo en la prueba es:

p (P ) = p (E) ⋅ p(P

E

)+ p

(EC)⋅ p(P

EC

)=

= 0′1 ⋅ 0′98 + 0′9 ⋅ 0′06 = 0′152.

La probabilidad de que la prueba de resultado positivo es 0′152.

Apartado (b). Por otro lado, aplicando el Teorema de Bayes (o bien directamente la

definicion de probabilidad condicionada), seleccionado un individuo al azar que no ha dado

positivo, la probabilidad de que tenga la enfermedad es:

p

(E

PC

)=p(E ∩ PC

)p (PC)

=p (E) ⋅ p

(PC

E

)p (E) ⋅ p

(PC

E

)+ p (EC) ⋅ p

(PC

EC

) =0′1 ⋅ 0′02

0′1 ⋅ 0′02 + 0′9 ⋅ 0′94=

=0′002

0′848=

2

848=

1

424≈ 0′0023585.

La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad si no ha dado

positivo es 1/424 (aproximadamente, un 0’236 %).

Ejercicio 4 Se desea estimar la proporcion de fumadores de una poblacion mediante una muestra

aleatoria.

(a) (1 punto) Si la proporcion de fumadores en la muestra es 0.2 y el error cometido en la estimacion

ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95 %, calcule el tamano mınimo de la

muestra.

(b) (1 punto) Si en otra muestra de tamano 280 el porcentaje de fumadores es del 25 %, determine,

para un nivel de confianza del 99 %, el correspondiente intervalo de confianza para la proporcion

de fumadores de esa poblacion.



Solución : Apartado (a). La proporción de fumadores en la muestra es p = 002 y el error cometi-do en la estimación veri�ca E � 0003. El tamaño mínimo de la muestra se puede determinar

así:

z�=2

rp (1� p)

n= E � 0003 ,

z2�=2 p (1� p)n

= E2 � 00033 ,

, n =z2�=2 p (1� p)

E2�z2�=2 p (1� p)

00032;

donde z�=2 es el valor crítico al nivel de con�anza del 95% (o lo que es lo mismo, a un nivel

de signi�cación � = 5 % = 0005). Para calcular este valor, recordamos que el número z�=2 es

el único número real que cumple que p�Z > z�=2

�= �=2 = 00025, siendo Z una variable con

distribución Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos

esta condición con el suceso opuesto, es decir, p�Z � z�=2

�= 1� 00025 = 00975. Buscamos este

valor en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z�=2 = 1096.

z z

0'95

_0'025 0'025

0'025 0'025

x

y

Z ,! N (0; 1)

De esta forma:

n �z2�=2 p (1� p)

00032=10962 � 002 � 008

00032� 682095:

El tamaño mínimo de la muestra es de 683 personas.

Apartado (b). Supongamos ahora que el tamaño de la muestra es n = 280 y que el por-

centaje de fumadores ha resultado ser p = 0025. Calculamos el valor crítico a un nivel de con�anza

del 99% (es decir, al � = 1 % = 0001 de signi�cación). En este caso, el número z�=2 es el único

número real que cumple que p�Z > z�=2

�= �=2 = 00005, siendo Z una variable con distribu-

ción Normal estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta

condición con el suceso opuesto, es decir, p�Z � z�=2

�= 1� 00005 = 00995. Buscamos este valor

en la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando el valor crítico z�=2 = 20575 (hemos



tomado el punto medio entre 2057 y 2058).

z z

0'99

_0'005 0'005

0'005 0'005

x

y

Z ,! N (0; 1)


I:C: =

#p� z�=2

rp (1� p)

n

"=

#0025� 20575

r0025 � 0075280

"=

=�0025� 000666

�=�001834; 003166

�:

Esto signi�ca que, al 99% de con�anza, se estima que la proporción de fumadores de esa

población está en el intervalo:

I:C: =i001834; 003166

h;


Opción B


1 �10 2

!y B =

3 1

�1 1

!.

(a) (1 punto) Calcule A2 y 2B + I2.

(b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial A �X � I2 = 2B2.

Solución : Apartado (a). Las matrices solicitadas son:

A2 = A �A = 1 �10 2

! 1 �10 2

!=

1 �30 4

!;

2B + I2 = 2

3 1

�1 1

!+

1 0

0 1

!=

6 2

�2 2

!+

1 0

0 1

!=

7 2

�2 3

!:



A2 =

(1 −3

0 4

)y 2B + I2 =

(7 2

−2 3

).

Apartado (b). El determinante de la matriz A es:

detA =

∣∣∣∣∣ 1 −1

0 2

∣∣∣∣∣ = 2− 0 = 2.

Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y esta es:

A−1 =1

detA⋅ adjAT =

1

2

(2 1

0 1

)=

(1 1

2

0 12

).

Despejamos entonces la matriz X de la ecuacion matricial:

A ⋅X − I2 = 2B2 ⇔ A ⋅X = 2B2 + I2 ⇔ A−1 ⋅A ⋅X = A−1 ⋅(2B2 + I2

)⇔

⇔ I2 ⋅X = A−1 ⋅(2B2 + I2

)⇔ X = A−1 ⋅

(2B2 + I2

).

La matriz 2B2 + I2 es:

2B2 + I2 = 2

(3 1

−1 1

)(3 1

−1 1

)+

(1 0

0 1

)= 2

(8 4

−4 0

)+

(1 0

0 1

)=

=

(16 8

−8 0

)+

(1 0

0 1

)=

(17 8

−8 1

).

De esta forma, la matriz X buscada es:

X = A−1 ⋅(2B2 + I2

)=

1

2

(2 1

0 1

)(17 8

−8 1

)=

1

2

(26 17

−8 1

)=

(13 17

2

−4 12

).

Concluimos que:

X =

(13 17

2

−4 12

).

Ejercicio 2 Sea la funcion f (x) = ax3 + bx2 + x.

(a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parametros a y b sabiendo que la funcion f tiene un

maximo en x = 1 y que f (1) = 2.

(b) (1.5 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el

punto de abscisa x = 0.



Solucion : Apartado (a). Como la funcion f es una funcion polinomica, sabemos que es deri-

vable en su dominio (ℝ). De hecho, su primera derivada es f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + 1 para cada

x ∈ ℝ. Como f posee un maximo en x = 1, su primera derivada en este punto debe anularse.

Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incognitas:{f (1) = 2,

f ′ (1) = 0⇔

{a+ b+ 1 = 2,

3a+ 2b+ 1 = 0⇔

{a+ b = 1,

3a+ 2b = −1⇔

{a+ b = 1,

a = −3.

De aquı se deduce inmediatamente que los valores de a y b deben ser:

a = −3 y b = 4.

Apartado (b). Si a = b = 1, la funcion f toma el valor f (x) = x3 + x2 + x, para cada

x ∈ ℝ, y su primera derivada es f ′ (x) = 3x2 + 2x+ 1, para cada x ∈ ℝ. De esta forma, f (0) = 0

y f ′ (0) = 1. Ası, la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion f en el punto x = 0:

y − f (0) = f ′ (0) (x− 0) ⇔ y − 0 = 1x ⇔ y = x.

La ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto x = 0 es

y = x.

Ejercicio 3 En una editorial hay dos maquinas A y B que encuadernan 100 y 900 libros al dıa,

respectivamente. Ademas, se sabe que la probabilidad de que un libro encuadernado por A tenga

algun fallo de encuadernacion es del 2 %, y del 10 % si ha sido encuadernado por la maquina B. Se

elige, al azar, un libro encuadernado por esa editorial.

(a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.

(b) (1 punto) Si es defectuoso, halle la probabilidad de haber sido encuadernado por la maquina

A.

Se puede resolver este ejercicio con el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes

(como en la opcion A). Por variar, vamos a resolverlo con una tabla de contingencia y la regla

de Laplace.

Solucion : Cada dıa se encuadernan 1000 libros, de los que 100 son encuadernados por la maquina

A y 900 son encuadernados por la maquina B. De los 100 libros que cada dıa encuaderna la



maquina A, el 2 % (o sea, 2 libros) poseen fallos de encuadernacion. Igualmente, de los 900 libros

que cada dıa encuaderna la maquina B, el 10 % (o sea, 90 libros) poseen fallos de encuadernacion.

Completamos la siguiente tabla de contingencia, donde se anota el numero de libros de cada clase:

Maq. A Maq. B TOTAL

Con fallos 2 90

Sin Fallos

TOTAL 100 900 1000

⇒

Maq. A Maq. B TOTAL

Con fallos 2 90 92

Sin Fallos 98 810 908

TOTAL 100 900 1000

Apartado (a). La probabilidad de que, elegido un libro al azar, este sea defectuoso, es,

segun la regla de Laplace:

p (“defectuoso”) =numero de libros defectuosos

numero total de libros=

92

1000=

23

250= 0′092.

La probabilidad de que, elegido un libro al azar, este sea defectuoso, es

23/250, es decir, del 9’2 %.

Apartado (b). La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la maquina A

si es defectuoso es:

p

(“maquina A”

“defectuoso”

)=

numero de libros defectuosos encuadernados en la maquina A

numero total de libros defectuosos=

=2

92=

1

46≈ 0′02174.

La probabilidad de que un libro haya sido encuadernado por la maquina

A si es defectuoso es 1/46 (aproximadamente, un 2’2 %).

Ejercicio 4 El tiempo que se tarda en la caja de un supermercado en cobrar a los clientes sigue

una ley Normal con media desconocida y desviacion tıpica 0.5 minutos. Para una muestra aleatoria

de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5.2 minutos.

(a) (1 punto) Calcule un intervalo de confianza, al nivel del 97 %, para el tiempo medio que se

tarda en cobrar a los clientes.

(b) (1 punto) Indique el tamano muestral mınimo necesario para estimar dicho tiempo medio con

un error maximo de 0.5 y un nivel de confianza del 96 %.



Solución : Apartado (a). Llamemos X a la variable aleatoria que mide el �tiempo (en minutos)

de espera de un cliente, elegido al azar, en la cola de un supermercado�. De esta variable sabemos

que X ,! N (�; � = 005), cuya media � es desconocida. Se toma una muestra de n = 25 clientes,

que arroja una media de �x = 502 minutos. Aunque n no es mayor o igual que 30, sabemos

que la distribución de las medias muestrales de tamaño 25 es una distribución Normal, ya que

la población de partida es Normal. De esta forma, el intervalo de con�anza para la media del

tiempo de espera en la cola del supermercado es:

I:C: =

��x� z�=2

�pn

�:




�= �=2 = 00015, siendo Z una



�= 1 � 00015 = 00985.



z z

0'985

_0'015 0'015

0'015 0'015

x

y

Z ,! N (0; 1)


I:C: =

��x� z�=2

�pn

�=

�502� 2017 005p

25

�=�502� 00217

�=�40983; 50417

�:

I:C: =i40983; 50417

h:

Esto signi�ca que el tiempo medio, �, de permanencia de los clientes en la cola del supermercado

está entre 5 y 5�4 minutos, aproximadamente, al 97% de con�anza.

Apartado (b). Por otro lado, supongamos que queremos determinar un intervalo de con-�anza para la media � con un error máximo de E = 005 minutos al 96% de con�anza. Entonces

debemos tomar una muestra aleatoria de un tamaño n que veri�que:

n ��z�=2 �

E

�2;



donde z�=2 se calcula como en el apartado anterior. A un nivel de signi�cación � = 4 % = 0004,

el número z�=2 es el único número real que cumple que p�Z > z�=2

�= �=2 = 0002, siendo Z una



�= 1 � 0002 = 0098.


z�=2 = z00015 = 20055 (hemos elegido un valor intermedio entre 2005 y 2006), como se aprecia en

el siguiente grá�co.

z z

0'98

_0'02 0'02

0'02 0'02

x

y

Z ,! N (0; 1)

Con estos datos, el tamaño mínimo n que debemos tomar en una muestra veri�ca:

n ��z�=2 �

E

�2=

�20055 � 005005

�2= 200552 � 40223:

Por consiguiente, para que el error cometido por el correspondiente intervalo de con�anza para

� sea inferior a 0�5 minutos, al 96% de con�anza,

el menor número de clientes que debemos tomar en una muestra aleatoria

es de 5 de ellos.

En el último apartado, si la población de partida no fuese Normal, necesitaríamos al menos

30 clientes para que el intervalo de con�anza sea signi�cativo. Sin embargo, como la población

de partida es Normal, la distribución de la medias muestrales de cualquier tamaño es Normal,

y así vale cualquier número de clientes.


Resolucion del examen de Selectividad de

Matematicas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Andalucıa – Junio de 2010

Antonio Francisco Roldan Lopez de Hierro *

Miercoles, 16 de junio de 2010

Opcion A

Ejercicio 1 Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes:

x+ y ≤ 15 ; x ≤ 2y ; 0 ≤ y ≤ 6 ; x ≥ 0.

(a) (1 punto) Represente graficamente dicho recinto.

(b) (1 punto) Calcule sus vertices.

(c) (0’5 puntos) Determine el valor maximo de la funcion F (x, y) = 8x+5y en el recinto

anterior y donde se alcanza.

Solucion : Apartado (a). Primeramente, transformamos las desigualdades en igualdades, ob-

servando que hay cinco de ellas, a saber,

x+ y = 15 ; x = 2y ; y = 0 ; y = 6 ; x = 0,

y representamos graficamente las rectas que verifican estas igualdades, entre las que estaran los

bordes del recinto R delimitado por las inecuaciones dadas.

*Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html

1


5 10 15

5

10

15

x

y

x+ y = 15

x = 2y

y = 6

Buscamos cuál de estos recintos veri�ca todas las condiciones dadas, resultando el recinto en el

que está el punto (2; 4) (marcado en el dibujo anterior), cuyas coordenadas cumplen todas las

inecuaciones. De esta forma, el recinto R es el siguiente:

R

A

B C

D

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

x

y

Apartado (b). Es claro que dos de los vértices de la región R son A(0; 0) y B(0; 6). Calcu-lamos los otros dos vértices resolviendo sendos sistemas de ecuaciones.

C �

8<: x+ y = 15

y = 6D �

8<: x+ y = 15

x = 2y

x = 9; y = 6 x = 10; y = 5

Los vértices de la región R son A(0; 0), B(0; 6), C(9; 6) y D(10; 5).

Apartado (c). Consideremos la función F (x; y) = 8x+ 5y. El Teorema Fundamental de laProgramación Lineal a�rma que la función F alcanza máximo (y mínimo) absoluto en la región

acotada R, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto R, por lo que

evaluamos F en los puntos anteriores:

F (0; 0) = 8 � 0 + 5 � 0 = 0; F (0; 6) = 8 � 0 + 5 � 6 = 30;F (9; 6) = 8 � 9 + 5 � 6 = 102; F (10; 5) = 8 � 10 + 5 � 5 = 105:



Esto significa lo siguiente.

El maximo absoluto de la funcion F en la region R es 105 y se alcanza

en el punto (10, 5).

Ejercicio 2 Sea la funcion f(x) = 2x2 − 1

3x3. Calcule:

(a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos.

(c) (0’5 puntos) El punto de la grafica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha

grafica es 4.

Solucion : Apartados (a) y (b). Dado que la funcion f posee una expresion general polinomica,

sabemos que es continua y derivable en ℝ. Calculamos su primera derivada.

f ′ (x) = 2 ⋅ 2x− 1

3⋅ 3x2 = 4x− x2 = x (4− x) , para cada x ∈ ℝ.

Los puntos crıticos de f son las soluciones de la siguiente ecuacion:

f ′ (x) = 0 ⇔ x (4− x) = 0 ⇔ x ∈ {0, 4}.

La siguiente tabla nos indica tanto la monotonıa de f como sus extremos relativos.

f ′ − mın + max −f ↘ 0 ↗ 4 ↘

f ′ (−1) = −5 < 0; f ′ (1) = 3 > 0; f ′ (5) = −5 < 0.

Como f(0) = 0 y f(4) = 2 ⋅ 42 − 43/3 = 32− 64/3 = 32/3, deducimos la siguiente solucion.

La funcion f es (estrictamente) decreciente en ]−∞, 0[ ∪ ]4,+∞[ y es

(estrictamente) creciente en ]0, 4[. Ademas, posee un mınimo relativo en (0, 0)

y un maximo relativo en(4, 323

).

Apartado (c). La pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcion en un punto

(en el que es derivable) es, precisamente, el valor de su derivada. Por ello, lo que se pide en el



problema es encontrar el punto en el que la primera derivada de f vale exactamente 4, o sea,

resolver la ecuacion:

f ′ (x) = 4 ⇔ 4x− x2 = 4 ⇔ x2 − 4x+ 4 = 0 ⇔

⇔ x =4±√

16− 4 ⋅ 42

=4±√

16− 16

2=

4±√

0

2=

4± 0

2= 2.

Como f(2) = 2 ⋅ 22 − 23/3 = 8− 8/3 = 16/3, deducimos que:

el punto de la grafica de la funcion f en el que la pendiente de la recta

tangente vale 4 es el punto(2, 163

).

Ejercicio 3 Un alumno va a la Facultad en autobus el 80 % de los dıas y el resto en su

coche. Cuando va en autobus llega tarde el 20 % de las veces y cuando va en coche llega

a tiempo solo el 10 % de las veces. Elegido un dıa cualquier al azar, determine:

(a) (0’75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobus.

(b) (0’75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase.

(c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cual es la probabilidad de que no haya ido

en autobus?

Solucion : Llamemos A, C, P y R a los sucesos “elegido un dıa al azar, este va en autobus”, “va

en coche”, “llega puntual a clase” y “llega con retraso a clase”, respectivamente. Como el alumno

va en autobus el 80 % de los dıas, p(A) = 0′8, y entonces p(C) = 0′2 ya que el resto de los dıas

va en coche. Si va en autobus, llega tarde el 20 % de las veces, lo que significa que p(R/A) = 0′2,

y ası llega puntual el 80 % de las ocasiones en que va en autobus, es decir, p(P/A) = 0′8.

Finalmente, si va en coche, llega puntual el 10 % de las veces, es decir, p(P/C) = 0′1, lo que

implica que llega con retraso en un 90 % de las restantes veces, o sea, p(R/C) = 0′9. Con estas

verosimilitudes y probabilidades a priori, podemos completar el siguiente diagrama en arbol.



P

A

0′844jjjjjjjjjj

0′2 **TTTTTTTTTT

R

∙

0′8

::ttttttttttt

0′2 $$JJJJJJJJJJJ

P

C

0′144jjjjjjjjjj

0′9 **TTTTTTTTTT

R

Apartado (a). Aplicando el teorema de la probabilidad compuesta, la probabilidad de que

llegue a tiempo a clase y haya ido en autobus es:

p (A ∩ P ) = p (A) ⋅ p(P

A

)= 0′8 ⋅ 0′8 = 0′64.

Apartado (b). Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que llegue

tarde a clase es:

p (R) = p (A) ⋅ p(R

A

)+ p (C) ⋅ p

(R

C

)= 0′8 ⋅ 0′2 + 0′2 ⋅ 0′9 = 0′34.

Apartado (a). Aplicando el teorema de Bayes, si ha llegado a tiempo a clase, la probabilidad

de que no haya ido en autobus (o sea, haya ido en coche) es:

p

(AC

P

)= p

(C

P

)=

p (C) ⋅ p(PC

)p (A) ⋅ p

(PA

)+ p (C) ⋅ p

(PC

) =

=0′2 ⋅ 0′1

0′8 ⋅ 0′8 + 0′2 ⋅ 0′1=

0′02

0′66=

2

66=

1

33≈ 0′03.

(a) p (A ∩ P ) = 0′64 (b) p (R) = 0′34 (c) p

(AC

P

)=

1

33

Ejercicio 4 Una empresa consultora quiere estudiar algunos aspectos de la vida laboral de

los trabajadores de una ciudad. Para ello, selecciona una muestra de 500 trabajadores, de

los que 118 afirman residir en otra ciudad. Con un nivel de confianza del 93 %,

(a) (1’75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporcion de trabajadores que

residen fuera.

(b) (0’75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.



Solución : Apartado (a). Los datos indican que en una muestra de n = 500 trabajadores, hay118 que residen fuera, lo que supone una proporción muestral p = 118=500 = 00236 = 2306% de

trabajadores que residen fuera de la ciudad. Calculamos el valor crítico a un nivel de con�anza

del 93% (es decir, al � = 0007 = 7% de signi�cación). El número z�=2 es el único número real

que cumple que p�Z > z�=2

�= �=2 = 00035, siendo Z una variable con distribución Normal

estándar. Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición

con el suceso opuesto, es decir, p�Z � z�=2

�= 1 � 00035 = 00965. Buscamos este valor en

la tabla de la distribución Normal estándar, encontrando que p(Z � 1081) = 009649 y que

p(Z � 1082) = 009656. Por ello, parece razonable tomar como valor crítico z�=2 = 1081.

z z

0'93

_0'035 0'035

0'035 0'035

x

y

Z ,! N (0; 1)

De esta forma, el intervalo de con�anza para la proporción de trabajadores que residen fuera de

la ciudad es:

I:C: =

#p� z�=2

rp (1� p)

n

"=

#00236� 1081

r00236 � 00764

500

"�

��00236� 000344

�=�002016; 002704

�:

Esto signi�ca que, al 93% de con�anza, se estima que la proporción de de trabajadores que

residen fuera de la ciudad está en el intervalo:

I:C: =i002016; 002704

h;


Apartado (b). El error máximo cometido al realizar esta estimación, al 93% de con�anza,

es una parte, ya calculada, de la fórmula del intervalo de con�anza:

E = z�=2

rp (1� p)

n= 1081

r00236 � 00764

500= 000344 = 3044%:

El error máximo cometido por el intervalo anterior es del 3�44%.



Opcion B


(2 1

3 1

)y B =

(1 2

−1 0

).

(a) (1 punto) Calcule At ⋅B −A ⋅Bt.

(b) (1’5 puntos) Resuelva la ecuacion matricial AX +BA = B.

Solucion : Apartado (a). Al trasponer las matrices, encontramos que:

At =

(2 3

1 1

)y Bt =

(1 −1

2 0

).

Entonces:

At ⋅B −A ⋅Bt =

(2 3

1 1

)(1 2

−1 0

)−

(2 1

3 1

)(1 −1

2 0

)=

=

(−1 4

0 2

)−

(4 −2

5 −3

)=

(−5 6

−5 5

).

At ⋅B −A ⋅Bt =

(−5 6

−5 5

).

Apartado (b). El determinante de la matriz A es:

detA =

∣∣∣∣∣ 2 1

3 1

∣∣∣∣∣ = 2− 3 = −1.

Como este determinante es distinto de cero, sabemos que la matriz A posee inversa, y entonces

podemos despejar de la ecuacion matricial la incognita X:

AX +BA = B ⇔ AX = B −BA ⇔ X = A−1 (B −BA) .

Por un lado:

B−BA =

(1 2

−1 0

)−

(1 2

−1 0

)(2 1

3 1

)=

(1 2

−1 0

)−

(8 3

−2 −1

)=

(−7 −1

1 1

).

Por otro lado, la matriz inversa de A es:

A−1 =1

detAadjAt =

1

− 1

(1 −1

−3 2

)=

(−1 1

3 −2

).



Por consiguiente:

X = A−1 (B −BA) =

(−1 1

3 −2

)(−7 −1

1 1

)=

(8 2

−23 −5

).

X =

(8 2

−23 −5

).

Ejercicio 2 Calcule las derivadas de las siguientes funciones

(a) (0’8 puntos) f(x) =e3x

1 + x2.

(b) (0’8 puntos) g(x) = ln{x(1 + 3x2)

}.

(c) (0’9 puntos) ℎ(x) = 25x +1

x2.

Solucion : Apartado (a). Aplicamos la formula de la derivada de un cociente:

f ′ (x) =3 e3x

(1 + x2

)− e3x ⋅2x

(1 + x2)2=

e3x(3x2 − 2x+ 3

)(1 + x2)2

.

Apartado (b). Ahora aplicamos la formula de la derivada de un logaritmo neperiano,

teniendo en cuenta que g(x) = ln{x(1 + 3x2)

}= ln

(3x3 + x

):

g′ (x) =9x2 + 1

3x3 + x.

Apartado (c). Finalmente utilizamos la formula de la derivada de una suma:

ℎ′ (x) =[

25x + x−2]′

= 25x ⋅ 5 ⋅ ln 2 + (−2)x−3 = 5 ln 2 ⋅ 25x − 2

x3.

(a) f ′ (x) =e3x(3x2 − 2x+ 3

)(1 + x2)2

(b) g′ (x) =9x2 + 1

3x3 + x(c) ℎ′ (x) = 5 ln 2 ⋅ 25x − 2

x3

Ejercicio 3 De las 180 personas que asisten a un congreso medico, 100 son mujeres. Obser-

vando las especialidades de los congresistas, vemos que de las 60 personas que son pediatras,

20 son mujeres. Se elige al azar una persona asistente al congreso.



(a) (0’75 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer y pediatra?

(b) (0’75 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?

(c) (1 punto) ¿Cual es la probabilidad de que sea pediatra?

Solucion : Con los datos del problema, podemos rellenar la siguiente tabla de contingencia, que

completamos facilmente:

Muj. Homb. TOTAL

Pediatras 20 60

No pediatras

TOTAL 100 180

⇒

Mujeres Hombres TOTAL

Pediatras 20 40 60

No pediatras 80 40 120

TOTAL 100 80 180

Apartado (a). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, esta sea mujer y pe-

diatra, es, segun la regla de Laplace:

p (“mujer y pediatra”) =numero de mujeres pediatras

numero total de asistentes=

20

180=

1

9≈ 0′111.

Apartado (b). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, esta no sea hombre ni

sea pediatra es:

p (“no hombre y no pediatra”) = p (“mujer y no pediatra”) =

=numero de mujeres no pediatras


80

180=

4

9≈ 0′444.

Apartado (c). La probabilidad de que, elegida una persona al azar, esta sea pediatra es:

p (“pediatra”) =numero total de pediatras


60

180=

1

3≈ 0′333.

(a) p (“mujer y pediatra”) =1

9(b) p (“no hombre y no pediatra”) =

4

9

(c) p (“pediatra”) =1

3

Ejercicio 4 Un agricultor piensa que la produccion media por naranjo, en su finca, es de

88 kg o mas. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 10 de sus naranjos, pesa su

produccion y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos:

80 , 83 , 87 , 95 , 86 , 92 , 85 , 83 , 84 , 95.

Se acepta que la produccion de un naranjo sigue una distribucion Normal con desviacion

tıpica 5 kg.



(a) (1�5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condicionesdel problema y determine la región crítica para un nivel de signi�cación � = 0.05.

(b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultorsobre la producción media por naranjo de su �nca, utilizando ese mismo nivel designi�cación?

Solución : Apartado (a). Llamemos X a la variable aleatoria que mide la producción (en kg)

de un naranjo, elegido al azar, de ese agricultor. Según los datos del problema, X sigue una

distribución Normal N (�; � = 5), donde la producción media � es desconocida. Precisamente,el agricultor desea contrastar si esta producción media es mayor o igual de 88 kg, por lo que

planteamos el siguiente contraste de hipótesis (que lleva la igualdad en la hipótesis nula):8<: H0 : � � 88;

H1 : � < 88;donde �0 = 88 kg:

Tomando n = 10 naranjos, la región de aceptación de este contraste es la siguiente:

R:A: =

��0 � z�

�pn; +1

�;

donde debemos calcular el valor crítico z0005, que es el único número real tal que p(Z >

z0005) = 0005, donde Z es una variable aleatoria con distribución Normal estándar N (0; 1).Como disponemos de una tabla de colas a la izquierda, traducimos esta condición con el suceso

opuesto, es decir, p (Z � z0005) = 1� 0005 = 0095. Buscamos este valor en la tabla de la distribu-ción Normal estándar, encontrando el valor crítico z0005 = 10645 (tomamos un valor intermedio

entre 1064 y 1065).

z z

0'9

_0'05 0'05

0'05 0'05

x

y

Z ,! N (0; 1)

Entonces la región de aceptación es:

R:A: =

��0 � z0005

�pn; +1

�=

�88� 10645 5p

10; +1

��

��88� 4016; +1

�=

�83084; +1

�:



Por consiguiente, la region de rechazo o region crıtica del contrate de hipotesis (el intervalo

complementario del anterior en ℝ) es:

R.C. =]−∞, 83′84

].

Apartado (b). Si llamamos x a la media muestral, la regla de decision del contraste, a un

nivel de signicicacion � = 0′05, es la siguiente:⎧⎨⎩ ∙ Si x ∈ ]83′84,+∞[, entonces no podemos rechazar H0.

∙ Si x /∈ ]83′84,+∞[, entonces rechazamos H0.

En nuestro caso, la media muestral es:

x =80 + 83 + 87 + 95 + 86 + 92 + 85 + 83 + 84 + 95

10= 87 kg.

Esto significa que x = 87 ∈ ]83′84,+∞[, por lo que no podemos rechazar la hipotesis nula. Esto

se traduce en la siguiente conclusion.

Al 5 % de significacion, no podemos rechazar que la produccion media de

los olivos de ese agricultor sea igual o superior a 88 kg, es decir, no tenemos

evidencias suficientes para afirmar que la produccion media sea inferior a 88

kg.


Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad - Septiembre 2010

Andalucía Curso 2009-10 1 Antonio López

Resolución del examen Selectividad de

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Andalucía – Septiembre 2010.

OPCIÓN A

EJERCICIO 1 Sea el recinto del plano definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

3x + y≥4; x + y≤≤≤≤6; 0≤≤≤≤y≤≤≤≤5. a) (1 punto) Represéntelo gráficamente. b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto. c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y. ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?

Resolución: a) La representación gráfica es la de la figura adjunta.

b) Los vértices de dicho recinto vienen dados por la intersección de las rectas que lo determinan:

A ≡

==+0 y

6 y x , es decir A= (6, 0)

B ≡

==+5 y

6 y x , es decir B= (1, 5)

C ≡

=+=

4y 3x

5 y , es decir C= (-1/3, 5)

D ≡

=+=

4y 3x

0 y , es decir D = (4/3, 0)

c) Los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 3y y los puntos en que se alcanzan dichos valores los obtenemos sustituyendo las coordenadas de los vértices en F(x, y): F(A) = 5.6 + 3.0 = 30 F(B) = 5.1 + 3.5 = 20 F(C) = 5.(-1/3) + 3.5 = 40/3 F(D) = 5.4/3 + 3.0 = 20/3 � El máximo vale 30 y se alcanza en A= (6, 0) � El mínimo vale 20/3 y se alcanza en D = (4/3, 0)



EJERCICIO 2 Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = 4t-t2 a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Represente gráficamente N(t) = 4t- t2, con N(t) > 0.

Resolución: a) El número medio de pacientes es máximo si: N’ (t) = 0 ⇒ 4 - 2t = 0 ⇒ t = 2 Luego el número medio de pacientes es máximo a las 5+2 = 7, es decir a las 7 de la tarde. El valor de ese máximo es N(2) = 4.2 - 22 = 4 pacientes. b) Como el consultorio cierra cuando no hay pacientes, cerrará cuando N(t) = 0, es decir: 4t- t2 = 0 ⇒ t(4- t) = 0 ⇒ t = 0 y t= 4 Por lo tanto cerrará en t=0, es decir a las 5+4 = 9, es decir a las 9 de la noche. c) La representación gráfica es la de una parábola cóncava con máximo en (2, 4) y cortes con los ejes de coordenadas en (0,0) y (4,0).

EJERCICIO 3 En una capital se editan dos periódicos, CIUDAD y LA MAÑANA. Se sabe que el 85% de la población lee alguno de ellos, que el 18% lee los dos y que el 70% lee CIUDAD. Si elegimos al azar un habitante de esa capital, halle la probabilidad de que: a) (0.75 puntos) No lea ninguno de los dos. b) (0.75 puntos) Lea sólo LA MAÑANA. c) (1 punto) Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA.

Resolución: Consideremos los sucesos: C = “Leer el periódico CIUDAD” M = “Leer el periódico LA MAÑANA” Del enunciado deducimos que P(C) = 0,70, P(C∪M) = 0,85 y P(C∩M) = 0,18 a) Que no lea ninguno de los dos corresponde al suceso MC ∩ , cuya probabilidad hallamos utilizando las leyes de De Morgan y las propiedades del suceso contrario

)MCP( ∩ = )MCP( ∪ = M)P(C-1 ∪ = 1-0,85 = 0,15



b) Que lea sólo LA MAÑANA es el suceso MC ∩ , cuya probabilidad hallamos utilizando las propiedades de la diferencia de sucesos

M)CP( ∩ = M)P(C-P(M) ∩ Para hallar P(M) utilizamos la propiedad de la suma de sucesos disjuntos: P(C∪M) = P(C) + P(M) - P(C∩M) ⇒ ⇒ P(M) = P(C∪M) + P(C∩M) - P(C) = 0,85 +0,18- 0,70 = 0,33 c) El suceso “Lea CIUDAD, sabiendo que no lee LA MAÑANA” es MC/ , cuya probabilidad hallamos con la definición de la propiedad condicionada, de la diferencia de sucesos y del suceso contrario.

)MP(C/ = )MP(

)MP(C∩=

)P(M-1

M)P(C-P(C) ∩=

0,33-1

0,18-0,70= 0,78

EJERCICIO 4 (2.5 puntos) En una determinada especie animal el porcentaje de mortalidad debida a una enfermedad vírica es de al menos un 40%. Se está realizando un estudio para probar la eficacia de un fármaco que permite tratar esa enfermedad y, consecuentemente, reducir el porcentaje de mortalidad en esa especie. Para ello, se suministró el fármaco a 50 sujetos enfermos, elegidos al azar, de los que murieron 14. A la vista de estos datos, y tomando como nivel de significación 0.015, ¿se puede afirmar que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis H0: p ≥ 0.4, donde p es la proporción, y por lo tanto aceptar la eficacia del fármaco?

Resolución: Es un ejercicio de contraste de hipótesis unilateral para la proporción con p= 0,4. 1.- Hipótesis nula y alternativa H0: p ≥ 0.4 H1: p < 0.4 2. Zona de aceptación Un nivel de significación α = 0,015 significa que α/2 = 0,0075 y 1-α/2 = 0,9925 Zα/2 = 2,43 pues P(X<2,43) = 1-α/2 = 0,9925. Obtenemos el intervalo:

∞ ,

n

pqZ-p α/2 =

∞ ,

50

0,4.0,62,43-0,4 = (0,4-0,106; ∞) = (0,294; ∞)

3. Verificación:

P= 50

14 = 0,28

4.- Como 0,28 NO pertenece a la zona de aceptación RECHAZAMOS H0: p ≥ 0.4 tal como dice el enunciado y por lo tanto aceptamos la eficacia del fármaco.

OPCIÓN B EJERCICIO 1 Sean las matrices:

P =

0

21

a, Q=

b48

511 y R =

501010

6dc

a) (1 punto) Calcule, si es posible, P. Q y Q. P, razonando la respuesta. b) (1.5 puntos) ¿Cuánto deben valer las constantes a, b, c y d para que P.2Q = R?



Resolución: a) Es posible calcular P. Q ya que el número de columnas de P, 2, es igual al número de filas de Q. Dicho producto vale:

P.Q =

0

21

a.

b48

511=

+aaa

b

5

25918

Q. P no es posible, ya que el número de columnas de Q, 3, no es igual al número de filas de P. b) Para que P.2Q = R ha de ocurrir que:

P.2Q =

0

21

a.

b2816

1022=

+aaa

b

1022

4101836

+aaa

b

1022

4101836=

501010

6dc

Igualando miembro a miembro: c = 36 d = 18 10+4b = 6 ⇒ b = -1 2a = 10 ⇒ a = 5 Es decir que las constantes a, b, c y d han de valer a = 5, b = -1, c = 36 y d = 18.

EJERCICIO 2


>+−

≤++−

1 x si 56

1 x si 322

2

xax

axx

a) (0.5 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) (2 puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.

Resolución: a) Para que f sea continua en x = 1 al ser una función definida a trozos en R cuyas ramas son funciones polinómicas, ha de ocurrir que sean igual los límites laterales e iguales al valor de la función en x= 1: f(1) = f(x)lím

1 x -→= 3)2ax(-x2

1 x lím ++

→= 2 - 2a.

f(x)lím1 x +→

= )56x(ax2

1 x lím +−

→= a-1.

2 – 2a = a-1 ⇒ 3a = 3 ⇒ a = 1 Es decir que si a = 1 la función es continua en x = 1.

b) Para a = 1 la función es f(x) =

>+−

≤++−

1 x si 56

1 x si 322

2

xx

xx y su gráfica es la de la figura

adjunta:



a la vista de ella, la función es creciente en (-∞, 1)∪(3, ∞) y decreciente (1, 3) Sus extremos locales son: � Máximo en M = (1, 4) � Mínimo en m = (3, -4).

EJERCICIO 3 Un dado tiene seis caras, tres de ellas marcadas con un 1, dos marcadas con una X y la otra marcada con un 2. Se lanza tres veces ese dado. a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces el 1? b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos X y un 2 en cualquier orden? c) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres resultados diferentes?

Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {1, 1, 1, X, X, 2} Siendo los sucesos: 1 = “obtener un 1”, X = “obtener un X” y 2 = “obtener un 2” a) La probabilidad de obtener tres veces el 1 es:

P(111213) = 6

3.

6

3.

6

3 =

216

27

b) La probabilidad de obtener dos X y un 2 en cualquier orden es:

P(X1X223)+ P(X122X3)+ P(21X2X3) = 6

1.

6

2.

6

2+

6

2.

6

1.

6

2+

6

2.

6

2.

6

1 =

216

12

c) La probabilidad de obtener tres resultados diferentes es:

P(11X223)+ P(1122X3)+P(X11223)+ P(X12213)+P(2112X3)+ P(21X213) = 66

1.

6

2.

6

3 =

216

36

EJERCICIO 4 a) (1.25 puntos) La altura de los alumnos de una Universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 11 cm. Calcule el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de esos alumnos para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a l cm, con un nivel de confianza del 98%. b) (1.25 puntos) Dada la población {10, 12, 17}, escriba todas las muestras de tamaño 2 mediante muestreo aleatorio simple y calcule la media y la desviación típica de las medias muéstrales.

Resolución:



a) Un nivel de confianza del 98% (1-α = 0,98) significa que 1-α/2 = 2

0,981+= 0,9900

Zα/2 = 2,33 pues P(X < 2,33) = 1-α/2 = 0,9900 Si el error ha de ser menos que 1:

E = n

σZα/2 ⇒ n =

2α/2

E

σZ

n = 2

α/2

E

σZ

=

2

1

2,33.11

= 656,90

Hemos de tomar n = 657

b) Las muestras de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple de la población {10, 12, 17} son: (10, 10), (10,12), (10, 17), (12, 10), (12,12), (12, 17), (17, 10), (17,12), (17, 17) Luego la distribución de las medias muestrales es: L(X) = {10; 11; 13,5; 11, 12; 14,5; 13,5; 14,5; 17}

� La media aritmética de todas las medias muestrales,

xµ , es:

xµ =

9

17 14,5 22x13,512 11 210 +++++ xx = 13

� La desviación típica de todas las medias muestrales, xσ , es

xσ =

9

)1317()135,14.(2)135,13.(2 )1312()1311.(2)1310( 222222 −+−+−+−+−+−=2,08

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Común Específico) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

1

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010-2011 JUNIO (Específico)

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (a) (1’2 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones 6x - y + 9 ≥ 0, 2x + 5y – 13 ≤ 0, 2x - 3y - 5 ≤ 0. (b) (0’9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior. (c) (0’4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 3x - 2y + 3 en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza.

Solución (a), (b) y (c) Tenemos las siguientes inecuaciones: 6x - y + 9 ≥ 0, 2x + 5y – 13 ≤ 0, 2x - 3y - 5 ≤ 0. De las desigualdades pasamos a las igualdades: 6x - y + 9 = 0, 2x + 5y – 13 = 0, 2x - 3y - 5 = 0. Para dibujar la región factible o recinto, de cada inecuación despejamos la incógnita “y”, para dibujar la recta correspondiente, y después observando las inecuaciones tendremos la región y los vértices del recinto.

y = 6x + 9, y = -2x/5+13/5, y = 2x/3 – 5/3 . Dibujamos las rectas

Si nos fijamos en las desigualdades “y ≤ 6x + 9, y ≤ -2x/5+13/5, y ≥ 2x/3 – 5/3”, vemos que el recinto factible, y los vértices A, B y C de dicha región son:

De y= 2x/3-5/3 e y=6x+9, tenemos 2x/3-5/3 = 6x+9, de donde 2x-5 = 18x+27, es decir 16x = -32, luego x = -2 e y=-3, y el punto de corte es A(-2,-3). De y= -2x/5+13/5 e y=6x+9, tenemos -2x/5+13/5 = 6x+9, de donde 2x+13 = 30x+45, es decir 28x = -32, luego


2

x = -32/28 = -8/7 e y = 6(-8/7)+9 = 15/7, y el punto de corte B(-8/7,15/7) De y= -2x/5+13/5 e y=2x/3-5/3, tenemos -2x/5+13/5 = 2x/3-5/3, de donde -6x+39 = 10x-25, es decir 16x = 64, luego x = 4 e y = -2(4)/5+13/5 = 1, y el punto de corte C(4,1). El recinto tiene por vértices A(-2,-3), B(-8/7,15/7) y C(4,1). Consideremos la función F(x,y) = 3x - 2y + 3. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos vértices consecutivos), por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F(-2,-3) = 3(-2) - 2(-3) + 3 = 3, F(-8/7,15/7) = 3(-8/7) – 2(15/7) + 3 = -33/7 ≅ -4’7, F(4,1) = 3(4) – 2(1) + 3 = 13. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 13 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el punto (4,1), y el mínimo absoluto de F es -33/7 (el valor menor en los vértices) y se alcanza en el punto (-8/7,15/7). EJERCICIO 2

Sea la función f(x) =2

-x+4 si x < 24 si 2 x < 4x

x -4x+1 si x 4

≤

≥

(a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f (b) (0’5 puntos) Determine los extremos locales de f (c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3.

Solución

(a)

Estudie la continuidad y la derivabilidad de f(x) =2

-x+4 si x < 24 si 2 x < 4x

x -4x+1 si x 4

≤

≥

La función –x+4 es continua y derivable en R, en particular en (-∞,2). La función 4/x es continua y derivable en R – {0} (números que anulas el denominador), en particular en (2,4). La función x2 - 4x + 1 es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (4,∞). Falta estudiar la continuidad en x = 2 y x = 4. f(x) es continua en x = 2 si f(2) =

x 2lim→ −

f(x) =x 2lim→ +

f(x).

f(2) = 4/2 = 2; x 2lim→ −

f(x) =x 2lim→ −

(-x + 4) = - 2 + 4 = 2; x 2lim→ +

f(x) =x 2lim→ +

( 4/x) = 4/2 = 2. Como los tres valores son iguales, f es

continua en “x = 2”. f(x) es continua en x = 4 si f(4) =

x 2lim→ −

f(4) =x 2lim→ +

f(4).

f(4) = (4)2 - 4(4) + 1 = 1; x 4lim→ −

f(x) =x 4lim→ −

(4/x) = 4/4 = 1; x 4lim→ +

f(x) =x 4lim→ +

( x2 - 4x + 1) = (4)2 - 4(4) + 1 = 1. Como los tres

valores son iguales, f es continua en “x = 4”; por tanto f es continua en R. Veamos la derivabilidad en x = 2 y x = 4. f(x) es derivable en x = 2 si

x 2lim→ −

f’(x) =x 2lim→ +

f’(x), estamos viendo la continuidad de la derivada.

f(x) = 2

-x+4 si x < 24 si 2 x < 4x

x -4x+1 si x 4

≤

≥

, f’(x) = 2

-1 si x < 2-4 si 2 x < 4x

2x-4 si x 4

≤ >

.

x 2lim→ −

f’(x) =x 2lim→ −

(-1) = -1; x 2lim→ +

f’(x) =x 2lim→ +

(-4/x2) = -4/4 = -1, como x 2lim→ −

f’(x) = -1 =x 2lim→ +

f’(x), la función f es derivable en x=2.


3

f(x) es derivable en x = 4 si x 4lim→ −

f’(x) =x 4lim→ +


x 4lim→ −

f’(x) =x 4lim→ −

(-4/x2 ) = -1/4; x 4lim→ +

f’(x) =x 4lim→ +

(2x-4) = 8 – 4 = 4, como x 4lim→ −

f’(x) = -1/4 ≠ 4 =x 4lim→ +

f’(x), la función f no es derivable en x = 4. La función f es derivable en R – {4}. (b) Determine los extremos locales de f Los extremos locales se encontrarán entre las soluciones de f’(x) = 0, y también en x = 4, porque allí la función no es derivable.

Si observamos la función derivada f’(x) = 2

-1 si x < 2-4 si 2 x < 4x

2x-4 si x 4

≤ >

, vemos que la primera y segunda rama no anulan el

numerador, luego sólo nos queda la tercera es decir 2x – 4 = 0, de donde x = 2. En principio tendríamos que estudiar los puntos 2 y 4.

Si nos fijamos en la función f(x) = 2

-x+4 si x < 24 si 2 x < 4x

x -4x+1 si x 4

≤

≥

, observamos que la gráfica de la primera rama –x+4 es una

recta de pendiente negativa (derivada -1), es decir decreciente en (-∞,2). La gralfica de 4/x en (2,4) es el de una hipérbola situada en el primer cuadrante, luego también es decreciente, y en x = 2, la función es decreciente, luego no tiene ni máximos ni mínimos relativos. La gráfica de x2 - 4x + 1 es el de una parábola con las ramas hacia arriba y abscisa de su vértice en x = 2 ( solución de f’(x) = 0), pero como la parábola está dibujada en (4,+ ∞), hay la función es estrictamente creciente. Por tanto por definición x = 4 es un mínimo relativo, que vale f(4) = 1. Aunque no lo piden un esbozo de la función es:

(c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto de abscisa x = 3. En x = 3 la función es f(x) = 4/x. La recta tangente es “ y – f(3) = f’(3).(x-3) “ f(x) = 4/x, de donde f(3) = 4/3. f’(x) = -4/x2, de donde f’(3) = -4/9. La recta tangente es y - 4/3 = (-4/9).(x-3). EJERCICIO 3 Un examen consta de una parte teórica y una parte practica. La probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0’7 y la de que se apruebe la parte practica 0’75. Se sabe que el 50% de los alumnos ha aprobado ambas. (a) (0’75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. (b) (0’75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica. (c) (1 punto) ¿Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"?

Solución Llamemos T y P a los sucesos "apruebe parte teórica” y “apruebe parte práctica”, respectivamente De la probabilidad de que se apruebe la parte teórica es 0’7, tenemos p(T) = 0’7. De la probabilidad de que se apruebe la parte práctica es 0’75, tenemos p(P) = 0’75. De el 50% de los alumnos ha aprobado ambas, tenemos p(T y P) = p(T∩P) = 50% = 0’5. (a) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes. Me están pidiendo p(T ó P) = p(T∪P) = p(T) + p(P) - p(T∩P) = 0’7 + 0’75 - 0’5 = 0’95. (b) Calcule la probabilidad de aprobar la parte practica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica.


4

Me están pidiendo p(P/noT) = p(P/TC) =( )C

C

p P T

p(T )

∩=

( )p P)-p(P T 1-p(T)

∩= (0’75-0’5)/(1-0’7) ≅ 0’8333

(c) ¿Son independientes los sucesos "aprobar parte teórica" y "aprobar parte practica"? T y P son sucesos independientes si p(T∩P) = p(T).p(P). Como p(T∩P) = 0’5 y p(T).p(P) = 0’7.0’75 = 0’525, los sucesos T y P no son independientes. EJERCICIO 4 El director de una televisión afirma que un nuevo programa que va a emitirse será visto, al menos, por un 30% de personas. Una vez emitido se realizo una encuesta a 500 personas, elegidas al azar, y esta revelo que 130 de ellas habían visto ese programa. (a) (0’5 puntos) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director. (b) (1 punto) Halle la región critica de ese contraste para un nivel de significación del 5’5%. (c) (1 punto) Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?

Solución (a), (b) y (c)

Datos del problema: p0 = 30% = 0’3; n = 500; p = 130/500 = 0’26; α = 5’5% = 0’055 Etapa 1: Las hipótesis nula y alternativa son: H0: p0 ≥ 0’3 (al menos lo ve un 30%) y H1: p0 < 0’3, la cual nos indica la dirección del contraste, es decir la región crítica esta a la izquierda del punto crítico. Para plantear la hipótesis nula nos basamos en la información previa. El director dice que por lo menos un 30% de personas ve el programa de TV. Luego es un contraste de hipótesis unilateral. En la hipótesis alternativa nos dice que la situación es la contraria. Etapa 2: El nivel de significación es α = 0’055, luego tenemos 1 - α = 0,945. De p(Z ≤ z1-α) = 1 - α = 1 – 0’055 = 0’945, mirando en las tablas de la N(0,1), que no apar3ce en las tablas. El valor mas próximo es 0’9452, que corresponde a z1-α = 1’60, con lo cual el valor crítico es zα = -z1-α = -1’60 que separa las zonas de aceptación y rechazo.

Etapa 3 y 4 0

0 0

p - pp .(1-p )

n

: En este caso el estadístico de prueba es Z = , que sigue una normal tipificada N(0,1), y el valor

observado del estadístico de prueba será el número z0 = 0

0 0

p - pp .(1-p )

n

= 0'26 - 0'3 0'3.0'7

500

= -1’95.

Etapa 5

0 3 -11 0 -2

: Como el valor observado del estadístico de prueba z0 = -1’95 es menor que el valor crítico zα = -1,60, vemos que se encuentra en la zona de rechazo. Por tanto, tomamos la decisión de rechazar la aceptar hipótesis nula H0: p0 ≥ 0’3, y aceptamos la hipótesis alternativa H1: p0 < 0’3. Con lo cual con una probabilidad de equivocarnos del 5’5% afirmamos que dicho programa de TV lo verá menos de un 30% de personas..

OPCION B

EJERCICIO 1

(a) (1’5 puntos) Dadas las matrices M = y Nt =2 3 -1-1 1 0

, razone cuales de las siguientes operaciones

tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + Nt, Mt.N, M.N. (b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final:

P : A B C

natural 550 400 240descadein. 260 200 100

Q : A B C

natural 2'20 2'75 2'50descadein. 3'20 3'90 3'60

Efectúe el producto P.Qt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

Solución (a)


5

Dadas las matrices M =0 3 -11 0 -2

y Nt =2 3 -1-1 1 0

, razone cuales de las siguientes operaciones tienen sentido y

efectúe las que puedan realizarse: M + Nt, Mt.N, M.N. Sabemos que para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda, y para poder sumarlas tienen que tener el mismo orden. M + Nt = M2x3 + Nt

2x3. En este caso se puede sumar y el resultado es una matriz 2x3.

M + Nt =0 3 -11 0 -2

+2 3 -1-1 1 0

=2 6 -20 1 2 −

.

Mt.N = Mt3x2

.N3x2. En este caso se no puede multiplicar. M.N = M2x3 .N3x2. En este caso se puede multiplicar y el resultado es una matriz 2x2.

M.N =0 3 -11 0 -2

.2 -13 1-1 0

=10 34 -1

.

(b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final:

P : A B C

natural 550 400 240descadein. 260 200 100

Q : A B C

natural 2'20 2'75 2'50descadein. 3'20 3'90 3'60

Efectúe el producto P.Qt y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.

P.Qt =550 400 240260 200 100

.2'20 3'202'75 3'902'50 3'60

=2910 41841372 1972

El elemento a11 = 2910 es el resultado de multiplicar los kilos de café natural de cada tipo, por el precio del kilo de cada tipo y sumarlos, por tanto 2910 son lo euros totales que ha pagado por todo el café natural adquirido. El elemento a22 = 1972 es el resultado de multiplicar los kilos de café descafeinado de cada tipo, por el precio del kilo de cada tipo y sumarlos, por tanto 1972 son lo euros totales que ha pagado por todo el café descafeinado adquirido. EJERCICIO 2 (2’5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

f(x) =x 22 + x

x; g(x) = (x2 +1)2 - ln(e3x + 4) ; h(x) = 1

3x- 2

5 x - 2

Solución Recordamos algunas derivadas y reglas de derivación. También algo sobre extremos absolutos

( f(x)+g(x) )’ = f’(x)+g’(x); /

2

f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x)= g(x) (g(x))

; ( (f(x)k )’ = k.f(x)k-1.f’(x);

( ax)’ = ax.ln(a); ( ekx)’ = k.ekx ; (xk)’ = k.xk-1; (ln(f(x))’ = f'(x)f(x)

; (k)’ = 0.

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

f(x) =x 22 + x

x; g(x) = (x2 +1)2 - ln(e3x + 4) ; h(x) = 1

3x- 2

5 x - 2

f(x) =x 22 + x

x;

f’(x) = x 2 x

2

2 .ln(2).(x ) - 2 .(2x)(x)

=( )x 2

2

2 ln(2).(x ) - 2x .

(x)

g(x) = (x2 + 1)2.ln(e3x + 4)

g’(x) = 2.(x2 + 1)1.(2x).ln(e3x + 4) + (x2 + 1)2.3x

3x

3.ee + 4

= (4x3 + 4x).ln(e3x + 4) - 3x 2 2

3x

3.e .(x +1)e + 4

.


6

h(x) = 13x

- 2

5 x - 2

h’(x) = 2

-13x

- 2 2

-10x (x - 2)

= 2

-13x

+ 2 2

10x (x - 2)

EJERCICIO 3 Pedro vive en una ciudad donde el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia y el resto no lo hay. Cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces y cuando no lo hay, un 5% de las veces. Si se selecciona un día del año al azar, (a) (1’25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? (b) (1’25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas?

Solución Llamemos R, RC, P y PC a los sucesos "riesgo de lluvia”, “no riesgo de lluvia”, “coge paraguas” y “no coge paraguas”.

De “el 40% de los días del año hay riesgo de lluvia”, tenemos p(R) = 40% =0’4, y por suceso contrario p(RC) = 0’6. De “cuando hay riesgo de lluvia, Pedro coge el paraguas un 98% de las veces”, tenemos p(P/R) = 98% = 0'98. De “cuando no hay riesgo de lluvia, coge el paraguas un 5% de las veces”, tenemos p(P/RC) = 5% = 0'05. Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiendo que la suma de las que parten de un mismo nodo valen 1).

(a) ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día? Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que Pedro no coja el paraguas es:

p(PC) = p(R).p(PC/R) + p(RC).p(PC/RC) = (0’4)(0’02) + (0’6)(0’95) = 0’578. (b) ¿cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas? Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que si ha sonado la alarma, no haya habido incidente es:

p(R/P) = ( ) ( )

C

p R P p R).p(P/R 0'4.0'98 p(P) 1-0'5781-p(P )∩

= = ≅ 0’929.

EJERCICIO 4 El peso neto de las tabletas de chocolate de una determinada marca es una variable aleatoria Normal con media µ y desviación típica 7 gramos. Se sabe que 36 tabletas, elegidas al azar, han dado un peso total de 5274 gramos. (a) (1’25 puntos) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media µ. (b) (1’25 puntos) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?

Solución (a) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media µ. Sabemos que si una variable aleatoria X sigue una normal N(µ,σ), la distribución muestral de medias X sigue una

normal N(µ,nσ ).

Datos σ = 7; n = 36; µ( X ) = µ = 5274 = x Para construir el intervalo: - Se elige un estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ), en nuestro caso es de la media, luego es x =5274. - Se elige un nivel de confianza 1 – α con el que se desea construir el intervalo, que nos lo dan y es del 94%, es decir


7

1–α = 94% = 0’94, de donde α = 0’06 = 6% como nivel de significación. - El intervalo centrado en el estadístico x obtenido en la muestra sería:

I.C. = I(µ) = 1 - /2 1 - /2x - z . x + z . n nα ασ σµ

< <

, para estimar µ.

Donde z1-α/2 es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z ≈ N(0,1) tal que p(|Z| <z1 - α/2) = 1 -α. De esa igualdad se deduce que p(Z ≤ z1-α/2 ) = 1 - α/2, que se mira en la tabla de la Normal N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z1 - α/2 .

p(Z ≤ z1-α/2 ) = 1 - (0’06)/2 = 0’97, mirando en la tabla de la N(0,1) vemos que el valor más próximo a 0’97 es 0’9699, que corresponde a z1-α/2 = 1’88. Por tanto el intervalo de confianza pedido es

I.C.= I(µ) = 1 - /2 1 - /2x - z . x + z . n nα ασ σµ

< <

= 7 75274 - 1'88. ,5274 + 1'88.36 36

≅ (5271’81; 5276’19)

(b) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos? Si me dan el mismo intervalo de confianza 1–α = 0’94, sabemos que z1-α/2 = 1’88. La amplitud de un intervalo (a, b) sabemos que es “b-a”, y me dicen que como máximo es 3, luego:

75274 + 1'88.n

- 75274 - 1'88.n

= 7 26'322.1'88. = n n

< 3, de donde n > 226'32

3

≅ 76’97, por tanto el tamaño

de la muestra ha de ser como mínimo “n = 77” con un nivel de confianza del 94%.

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (General Modelo) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

1

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS

JUNIO 2010 (COMÚN MODELO)

OPCIÓN A

Sean las matrices A =

EJERCICIO 1 2 -51 -3

, B = 3 -1 20 1 1

, C = 1 2 3-1 5 3

.

a) (1 punto) Calcule A2 – B.Ct. b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B = 2.C .

Solución

Dadas A = 2 -51 -3

, B = 3 -1 20 1 1

, C = 1 2 3-1 5 3

, la matriz traspuesta de C es Ct = 1 12 53 3

−

.

(a)

A2 – B.Ct = 2 -51 -3

.2 -51 -3

–3 -1 20 1 1

.1 -12 53 3

= -1 5-1 4

–7 -25 8

=-8 76 4

− −

(b) Resuelva la ecuación matricial A.X + B = 2.C. De A.X + B = 2.C tenemos A.X = 2.C - B. Si A tiene inversa podríamos multiplicar por la izquierda la expresión entera por A-1 y nos quedaría: A-1.A.X = A-1(2.C – B), es decir X = A-1(2.C – B). A tiene inversa si mediante transformaciones elementales por filas de Gauss podemos llegar de (A|I2), a la expresión (I2|B), donde B = A-1. (I2|A) =

1 2 1 2

2 1 2

2 -5 1 0 F -F 1 -2 1 -1 1 -2 1 -1 F -2F 1 0 3 -5 1 0 3 -5F -F -1F1 -3 0 1 1 -3 0 1 0 -1 -1 2 0 -1 -1 2 0 1 1 -2

≈ ≈ ≈ ≈

La matriz inversa es A-1 =3 -51 -2

También se puede calcular la inversa por determinantes.

A tiene inversa si su determinante |A| es distinto de 0, y la inversa es A-1 = t1 .Adj(A )|A|

|A| =2 -51 -3

=2.(-3) – (-5)(1) = -1, luego existe A-1 = t1 .Adj(A )|A|

A = 2 -51 -3

; At = 2 1-5 -3

; Adj(At) = -3 5-1 2

; A-1 = -3 51-1 2-1

=3 -51 -2

X = A-1(2.C – B) =3 -51 -2

.1 2 3 3 -1 2

2.-1 5 3 0 1 1

−

=

3 -51 -2

.-1 5 4-2 9 5

=7 -30 -133 -13 -6

EJERCICIO 2

a) (1 punto) Calcule la función derivada de f(x) =-2x

2 2

e(-x +2)

b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = at2+bt, 0 ≤ t ≤ 8, a, b ∈ R. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b.

Solución Recordamos algunas derivadas y reglas de derivación. También algo sobre extremos absolutos

( f(x)+g(x) )’ = f’(x)+g’(x); /

2

f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x)= g(x) (g(x))

; ( (f(x)k )’ = k.f(x)k-1.f’(x);

( ekx)’ = k.ekx.; (xk)’ = k.xk-1; (k)’ = 0.


2

Sabemos que los extremos absolutos de una función N(t) se encuentran entre las soluciones de N(t)’ = 0, y en los extremos del intervalo (en este caso 0 y 8). También en los números donde no es continua o derivable, que no es nuestro caso por ser un trozo d una función polinómica a)

f(x) =-2x

2 2

e(-x +2)

; f’(x) = ( )3x 4 3 2-2x 2 2 -2x 2

2 2 2 2 4

-2.e . x +2x - 2x -2x+1-2.e .(-x +1) - e .2.(-x +1).(-2x) =((-x +1) ) (-x +1)

.

-2(-x2+1)2 – 2.( -x2+1)(-2x) = -2(x4-2x2+1) -2.(2x3-2x) = -2(x4 + 2x3 - 2x2 -2x +1) EJERCICIO 3 En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que: a) (1.25 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b) (1.25 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca.

Solución Antes de extraer las bolas la composición de las bolsas es: 1ª bolsa 4 bolas blancas y 3 negras y 2ª bolsa 3 blancas y 5 negras Llamemos Bl1 y Ne1 a los sucesos "sacar blanca de la 1ª bolsa”, “sacar negra de la 1ª bolsa”. Evidentemente p(Bl1) = 4/7 y p(Ne1) = 3/7 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Si saco una bola blanca de la 1ª bolsa y la introduzco en la 2ª bolsa la composición de la 2ª bolsa es 4 blancas y 5 negras, llamando Bl2 y Ne2 a los sucesos "sacar blanca de la 2ª bolsa”, “sacar negra de la 2ª bolsa”, tenemos las siguientes probabilidades p(Bl2 / Bl1 ) = 4/9 y p(Ne2 / Bl1) = 5/9 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Si saco una bola negra de la 1ª bolsa y la introduzco en la 2ª bolsa la composición de la 2ª bolsa es 3 blancas y 6 negras, llamando Bl2 y Ne2 a los sucesos "sacar blanca de la 2ª bolsa”, “sacar negra de la 2ª bolsa”, tenemos las siguientes probabilidades p(Bl2 / Ne1) = 3/9 y p(Ne2 / Ne1) = 6/9 (número de casos favorables partido número de casos posibles). Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol.

(a) Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída de la segunda bolsa sea negra es:

p(Ne2) = p(Bl1).p(Ne2/ Bl1) + p(Ne1).p(Ne2/Ne1) = (4/7)(5/9) + (3/7)(6/9) = 38/63 ≅ 0’603. (b) Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que la bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca es:

p(Ne1/Ne2) = ( ) ( )1 2 1 2 1

2 2

p Ne Ne p Ne ).p(Ne /Ne (3/7)(6/9) p(Ne ) p(Ne ) (38/63)

∩= = = 9/19 ≅ 0’474

EJERCICIO 4 Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud.


3

Se toma una muestra de 1000 piezas, comprobándose que la media sus longitudes es de 10’0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0’2 cm. a) (0.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm. b) (1 punto) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación α = 0’025. c) (1 punto) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?

Solución (a) , (b) y (c) Como me dicen que la máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud, y que plantee un contraste de hipótesis unilateral para ver si es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm, tenemos por tanto que la hipótesis nula que se desea contrastar es H0 : μ ≥ 10, frente a la hipótesis alternativa de este contraste que sería H1 : μ < 10, que se opone a hipótesis nula H0.

El estadístico de prueba de este contraste es 0X - Z =

/ nµ

σ, que sigue una ley normal N(0,1).

En nuestro caso: X = 10’0037 cm; µ0 = 10 cm; desviación típica σ = 0’2 cm; n=1000. Calculo de la región crítica para el nivel de significación α = 0’025 El valor critico correspondiente es zα = - z1- α Sabemos que p(Z ≤ z1-α ) = 1 - α = 1 - 0’025 = 0’975, que se mira en la tabla de la distribución Normal N(0,1), y nos dará el correspondiente valor crítico z1 - α. Vemos en la tabla de la N(0,1) que el valor 0’975 aparece en la tabla, y que corresponde a z1-α= 1’96. Por tanto zα = - z1- α = - z0’975 ≅ -1’96. Entonces la región crítica está formada por los números reales situados a la izquierda de los números -1’96. Cálculo del valor observado del estadístico de contraste:

00

x - 10'0037-10z = / n 0'2/ 1000µ

σ= ≅ 0’585

Resultado del contraste:

Como el valor observado 0’585 está a la derecha de -1’96, porque -1’96 < 0’585, se encuentra en la región de aceptación correspondiente al nivel 0’025, por lo cual no puede rechazarse la hipótesis nula H0 : μ ≥ 10 a este nivel. En consecuencia, no se puede afirmar, al nivel 0’025, que los datos la creencia de que las piezas midan menos de 10 cm o más.

OPCION B

EJERCICIO 1 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones:

x + y ≤ 20, 3x + 5y ≤ 7 0, x ≥ 0, y ≥ 0.


4

a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4’1,11’7) pertenece al recinto. b) (1.25 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (0.75 puntos) ¿Dónde alcanzará la función F(x,y) = 0’6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos?

Solución (a) Razone si el punto de coordenadas (4’1,11’7) pertenece al recinto. Tenemos que ver si verifica todas las desigualdades. Las dos últimas las verifica x ≥ 0 e y ≥ 0. Veamos las otras: x + y ≤ 20, en nuestro caso 4’1 + 11’7 ≤ 20 , es decir 15’8 ≤ 20 lo cual es cierto. 3x + 5y ≤ 70, en nuestro caso 3(4’1) + 5(11’7) ≤ 70, es decir 70’8 ≤ 70 lo cual es falso. Por tanto el punto (4’1,11’7) no pertenece al recinto. (b) Las desigualdades x + y ≤ 20, 3x + 5y ≤ 70, x ≥ 0, y ≥ 0, las transformamos las desigualdades en igualdades, y ya son rectas,

x+y = 20; 3x +5y = 70 ; y = 0; x = 0, Para que nos sea más fácil dibujar las rectas (con dos valores es suficiente) despejamos las “y” y tenemos

y = 20 - x; y = -(3/5)x + 70/5 = -0’6x + 14 ; y = 0; x = 0, Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, entre las que estarán los bordes del recinto delimitado por las inecuaciones dadas.

Calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. De y=0 e y=20-x, Tenemos 0 = 20-x, de donde “x = 20” e “y = 0”, y el punto de corte es D(20,0) De y=0 y x=0, obtenemos el punto A(0,0) De y=20-x e y= -0’6x+14, Tenemos 20-x= -0’6x+14, de donde 6 = 0’4x, luego “x = 6/0’4 = 15” e “y = 5” , y el punto de corte es C(15,5) De y=20-x y x=0, Tenemos y = 20, y el punto de corte es E(0,20) De y=-0’6x+14 y x=0, Tenemos y = 14, y el punto de corte es B(0,14) Fijándonos de nuevo en las desigualdades de las inecuaciones los vértices son sólo

A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(20,0). El recinto es:

(c)


5

Consideremos la función F(x,y) = 0’6x + y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza máximo (y mínimo) absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores A(0,0); B(0,14); C(15,5) y el D(20,0): F(0,0)=0’6.0+0=0, F(0,14)= 0’6.0+14=14, F(15,5) = 0’6.15+5=14, F(20,0)= 0’6.20+0=12. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 14 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en los puntos (0,14) y (15,5), por tanto todo el segmento BC es donde se alcanza el máximo. El mínimo es 0 y se alcanza en el punto (0,0) EJERCICIO 2 Las funciones I(t) = -2t2 + 51t y G(t) = t2 - 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0’5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio.

Solución (a) I(t) = -2t2 + 51t y G(t) = t2 - 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18 Lo que nos piden es que resolvamos la ecuación I(t) = G(t) en el intervalo [0,18]. De -2t2 + 51t = t2 - 3t + 96, tenemos 0 = 3t2 -54t + 96 (at2 + bt + c = 0)

Resolvemos 3t2 -54t + 96 = 0; t = = =2-(-54)± (-54) -4(3)(96) 54± 1764 54±42

2(3) 2 2, donde tenemos dos

soluciones t1 = (54+42)/2 = 48 y t2 = (54-42)/2 = 6. La solución válida es t = 6. (b) Beneficios = B(t) = I(t) – G(t) = -2t2 + 51t – (t2 - 3t + 96) = -3t2 + 54t – 96. Nos piden dibujar la parábola B(t) = -3t2 + 54t – 96 (a = -3, b = 54, c = -96) entre 0 y 18. Como a = -3 < 0, las parábola tiene las ramas hacia abajo (∩)´ Su vértice tiene la abscisa en t = -b/2a = -54/-6 = 9, que sabemos es un máximo. El vértice es V(9,B(9)) = V(9,147). B(9) = -3(9)2 + 54(9) – 96 = 147 Para t = 0, B(0) = -96. Para t = 18, B(18) = -3(18)2 + 54(18) – 96 = -96. La gráfica de la parábola es:

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

-50

50

100

150


6

(c) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueran máximos? Calcule el valor de ese beneficio. Sabemos que los extremos absolutos se encuentran entre los valores que anulan la primera derivada, y lo extremos del intervalo t = 0 y t = 18 De B(t) = -3t2 + 54t – 96, tenemos B’(t) = -6t + 54. Resolviendo -6t + 54. = 0, tenemos t = 54/6 = 9. Como B(9) = 147; B(0) = -96; B(18) = -96, resulta que los beneficios fueron máximos al cabo de 9 años y fueron de 147000 euros (el problema lo han dado en miles de euros). EJERCICIO 3 Un libro tiene cuatro capítulos. El primer capítulo tiene 140 páginas, el segundo 100, el tercero 150 y el cuarto 50. El 5% de las páginas del primer capítulo, el 4% del segundo y el 2% del tercera tienen algún error. Las páginas del cuarto capítulo no tienen errores. a) (1’25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? b) (1’25 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?

Solución Llamemos I,II,III,IV y Er, a los sucesos "páginas del capítulo I, II, III, IV, “páginas del capítulo con error”. Pondremos indistintamente ErC o Er , y recordaremos que p(ErC) = 1 - p(Er) y que p(ErC/II ) = 1 - p(Er/II) Número de páginas del libro = 140+100+150+50 = 440 Como el primer capítulo tiene 140 páginas tenemos p(I) = 140/440 = 7/22. Como el segundo capítulo tiene 100 páginas tenemos p(II) = 100/440 = 5/22. Como el tercer capítulo tiene 150 páginas tenemos p(III) = 150/440 = 15/44. Como el primer capítulo tiene 50 páginas tenemos p(IV) = 50/440 = 5/44. Como el 5% de las páginas del primer capítulo tienen algún error, p(Er/I) = 5% = 0’05. Como el 4% de las páginas del segundo capítulo tienen algún error, p(Er/II) = 4% = 0’04. Como el 4% de las páginas del segundo capítulo tienen algún error, p(Er/III) = 2% = 0’02. Como las páginas del cuarto capítulo no tienen errores, p(Er/IV) = 0% = 0. Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol. Recordamos que las sumas de las ramas de cada nodo en un diagrama de árbol suman 1.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error? Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que llegue tarde a clase (R) es:

p(Er) = p(I).p(Er/I) + p(II).p(Er/II) + p(III).p(Er/III) + p(IV).p(Er/IV) = = (7/22).0’05 + (5/22).0’04 + (15/44).0’02 + (5/44).0 = 7/220 ≈ 0’0318.

b) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo? Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de pedida es:

P(II/ErC) =( ) ( )C C

C C

p II Er p II).p(Er /II (5/22)(1-0'04) = =1-0'0318p(Er ) p(Er )

≈ 0’2253 = 22’53%


7

EJERCICIO 4 a) (1 punto) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra? b) (1.5 puntos) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.

Solución (a) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra? Sabemos que en un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, si hay “k” estratos y que el número de elementos de cada estrato es N1, N2, ..., Nk, y si n1, n2, ..., nk son los elementos de cada una de las muestras de los estratos, el tamaño total de la muestra n = n1 + n2, +...+ nk y se calculan eligiendo los números n1, n2, ..., nk proporcionales a los tamaños de los estratos N1, N2, ..., Nk, es decir

1

1

Nn

=2

2

Nn

= .... =k

k

Nn

=Nn

En nuestro caso 1n150

= 2n400

= 10250

= 4n200

= n1000

De 10250

= n1000

, tenemos n = 1000.10250

= 40, luego el tamaño de la muestra es “n = 40”.

(b) Sabemos que si tenemos una población con distribución normal N(µ,σ) y extraemos de ella muestras de

tamaño n, la distribución muestral de medias X sigue también una distribución normal: N(µ,nσ ).

También sabemos que cuando la población no sigue una distribución normal, podemos aplicar el teorema central del límite que dice: Si se toman muestras de tamaño n > 30 de una población, con una distribución cualquiera, media µ y una

desviación típica σ, la distribución muestral de medias X se aproxima a una distribución normal N(µ,nσ ).

Sabemos que un parámetro es un valor numérico que describe una característica de la población (µ, p, σ2 , etc. Es decir la media, la proporción, la varianza, ….).

Sabemos que para la media poblacional μ el estimador MEDIA MUESTRAL X , sigue una N(μ,nσ ), y

generalmente escribimos X ≈ N(µ , nσ ) o X → N(µ ,

nσ )

Sabemos que el intervalo de confianza para estimar la media es:

I.C= 1 /2 1 /2x z ,x zn nα ασ σ

− − − ⋅ + ⋅

donde z1-α/2 es el punto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z≈N(0,1) que verifica p(Z ≤ z1-α/2)=1 - α/2

También sabemos que el error máximo de la estimación es E = 1 /2znασ

− ⋅ , para el intervalo de la media.

De esta fórmula despejando “n” (tamaño de la muestra) tenemos n =2

1- /2z .Eα σ

.

En nuestro caso de los datos del problema tenemos E = 1; σ = 6, nivel de confianza 1 – α = 95% = 0’95. α = 1- 0’95 = 0’05, de donde α/2 = 0’05/2 = 0’025 De p(Z ≤ z1-α/2) = 1 - α/2 = 1 - 0’025 = 0’975 mirando en las tablas de la N(0,1) la probabilidad 0’975 vemos que corresponde a z1-α/2 = z0’975 = 1’96.


8

En nuestro caso n =2

1- /2z .Eα σ

=21'96.6

1

= 138’2976, por tanto el tamaño mínimo de la muestra es n = 139.

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

1

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración:1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A

EJERCICIO 1 Se considera el recinto R del plano, determinado por las siguientes inecuaciones:

x + y ≥ 2; x + 3y ≤ 15; 3x – y ≤ 15; x ≥ 0, y ≥ 0. (a) (1’5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices. (b) (0’5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x,y) = 3x + y en dicho recinto. (c) (0’5 puntos) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que F(x,y) = 30.

Solución (a) y (b) Tenemos las siguientes inecuaciones: x + y ≥ 2; x + 3y ≤ 15; 3x – y ≤ 15; x ≥ 0, y ≥ 0. De las desigualdades pasamos a las igualdades: x + y = 2; x + 3y = 15; 3x – y = 15; x = 0, y = 0. Para dibujar la región factible o recinto, de cada inecuación despejamos la incógnita “y” para dibujar la recta correspondiente, y después observando las inecuaciones tendremos la región factible que indicaremos como la letra “Región factible”.

y = -x+2; y = -x/3+5; y = 3x-15; x = 0, x = 0 (eje OY), y = 0 (eje OX) Dibujamos las rectas

Si nos fijamos en las desigualdades “y ≥ -x+2; y ≤ -x/3+5; y ≥ 3x-15; x ≥ 0, y ≥ 0”, vemos que el recinto factible, y los vértices A, C, D y E de dicha región son:

De y= -x+2 e y=0, Tenemos el punto de corte A(2,0) De y= -x+2 y x = 0, tenemos y= 0, y el punto de corte B(0,2) De y=-x/3+5 y x= 0, tenemos el punto de corte C(0,5) De y= -x/3+5 e y= 3x-15, tenemos -x/3+5 = 3x-15, de donde -x+15 = 9x-45, es decir 10x = 60, luego x = 6 e y= 3, y el punto de corte D(6,3) De y= 3x-15 e y= 0, tenemos x = 5 e y = 0, el punto de corte E(5,0) El recinto tiene por vértices A(2,0), B(0,2), C(0,5), D(6,3) y E(5,0).


2

Consideremos la función F(x,y) = 3x + y. El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos vértices consecutivos), por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F(2,0) = 3(2) + (0) = 6, F(0,2) = 3(0) + (2) = 2, F(0,5) = 3(0) + (5) = 5, F(6,3) = 3(6) + (3) = 21, F(5,0) = 3(5) + (0) = 15.

Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 21 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el punto (6,3), y el mínimo absoluto de F es 2 (el valor menor en los vértices) y se alcanza en el punto (0,2). (c) Razone si existen puntos (x,y) del recinto, para los que F(x,y) = 30. No existe ningún valor (x,y) tal que F(x,y) = 30, puesto que el máximo es 21 y el mínimo 2. EJERCICIO 2

(a) (1’25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función f(x) = 4x2x + 1

.

(b) (1’25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x3 + 3x2 + 3x.

Solución (a)

Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función f(x) = 4x2x + 1

.

Sabemos que el dominio de una función racional es R – {soluciones denominador = 0} Las asíntotas verticales (A.V.) suelen ser los números que anulan el denominador, después hay que comprobar que limx a→

f(x) = ∞. Las asíntotas horizontales son las rectas “y = b”, con limx→∞

f(x) = b.

Dom(f(x)) = R- {soluciones de 2x+1 = 0} = R – {-1/2}.

Como 1/2lim

x→ − +f(x) =

1/2lim

x→ − +

4x2x + 1

= -2/0+ = -∞, la recta “x = - 1/2" es una A.V.

1/2lim

x→ + +f(x) =

1/2lim

x→ + +

4x2x + 1

= -2/0- = +∞.

Como limx→+∞

f(x) = limx→+∞

4x2x + 1

= {términos de mayor grado} = limx→+∞

4x2x

= limx→+∞

(4/2) = 2, la recta “y = 2" es una A.H.

Sabemos que en los cocientes de funciones polinómicas la A.H. en +∞ y en - ∞ es la misma.

La función f(x) = 4x2x + 1

es una función homográfica, y su gráfica es una hipérbola con los ejes desplazados. Dándole un

valor a f(x), a izquierda y derecha del la A.V. x = - 1/2, sabemos donde está situada. En este caso en el II y IV cuadrante, de los nuevos ejes que son las asíntotas. Como me piden los cortes con los ejes, estos valdrán: Para x = 0, f(0) = 0. Punto (0,0), corte con el eje OY. Para f(x) = 0, tenemos 4x = 0, de donde x = 0. Punto (0,0), corte con el eje OX. También sabemos que la gráfica de una hipérbola nunca toca ni atraviesa las asíntotas. Teniendo en cuenta lo anterior, un esbozo de la gráfica es (en azul la función, y en rojo las asíntotas):


3

(b) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función g(x) = x3 + 3x2 + 3x. Estudie la monotonía de f. Recordamos que la monotonía sale del estudio de la primera derivada. Si f’(x) > 0, f(x) es estrictamente creciente (Se dibuja hacia arriba). Si f’(x) < 0, f(x) es estrictamente decreciente (Se dibuja hacia abajo). Recordamos que la curvatura sale del estudio de la segunda derivada. Si f’’(x) > 0, f(x) es convexa (∪) (en Andalucía). Si f’’(x) < 0, f(x) es cóncava (∩) (en Andalucía). Como g(x) = x3 + 3x2 + 3x, tenemos g’(x) = 3x2 + 6x + 3 y g’’(x) = 6x + 6.

De g’(x) = 0, tenemos 3x2 + 6x + 3= 0, de donde x2 + 2x + 1 = 0, de donde x = -2± 4-42

= -1 (doble) que será el posible

extremo relativo. Como g’(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) + 3 = 9, g(x) es estrictamente creciente en (-∞,-1). Como g’(0) = 3(0)2 + 6(0) + 3 = 0, g(x) es estrictamente creciente en (-1,+∞). Por tanto la función es estrictamente creciente en R y no tiene ni máximos ni mínimos relativos. De g’’(x) = 0, tenemos 6x + 6 = 0, de donde x = -1, que será el posible punto de inflexión. Como g’’(-2) = 6(-12) + 6 = -6 < 0, g(x) es cóncava (∩) en (-∞,-1). Como g’’(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0, g(x) es convexa (∩) en (-1,-∞). Por definición x = -1 es un punto de inflexión de g(x) que vale g(-1) = (-1)3 + 3(-1)2 + 3(-1) = -1. EJERCICIO 3 En un sistema de alarma, la probabilidad de que haya un incidente es 0’1. Si este se produce, la probabilidad de que la alarma suene es 0’95. La probabilidad de que suene la alarma sin que haya incidente es de 0’03. (a) (1’5 puntos) ¿,Cual es la probabilidad de que suene la alarma? (b) (1 punto) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente.

Solución Llamemos l, IC = noI, S y SC = noS a los sucesos "incidente”, “no incidente”, suene la alarma” y “ no suene”.

De “la probabilidad de que haya un incidente es 0’1”, tenemos p(I) = 0'1, y por suceso contrario p(noI) = 0’9. De “si hay incidente, la probabilidad de que la alarma suene es 0’95”, tenemos p(S/I)=0'95, y por contrario p(noS/I)= 0’05. De “suene la alarma sin que haya incidente es de 0’03”, tenemos p(S/noI)=0'03, y por contrario p(noS/noI) = 0’93. Todo esto se ve mejor en el siguiente diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiendo que la suma de ellas que parten de un mismo nodo vale 1).

(a) ¿Cual es la probabilidad de que suene la alarma? Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que suene la alarma es:

p(S) = p(l).p(S/l) + p(noI).p(S/noI) = (0’1)(0’95) + (0’9)(0’03) = 0’122. (b) Si ha sonado la alarma, calcule la probabilidad de que no haya habido incidente. Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad de que si ha sonado la alarma, no haya habido incidente es:

p(noI/S) = ( ) ( )p noI S p noI).p(S/noI 0'9.0'03

p(S) p(S) 0'122∩

= = ≅ 0’2213.


4

EJERCICIO 4 Suponiendo que la variable "años de vida de los individuos de un país" sigue una distribución Normal con desviación típica 8’9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido que su vida media ha sido 71’8 años. (a) (0.5 puntos) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado. (b) (1 punto) Determine la región critica a un nivel de significación del 5%. (c) (1 punto) Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?

Solución (a) , (b) y (c) Como me dicen que se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años, tenemos por tanto que la hipótesis nula que se desea contrastar es H0 : µ0 ≤ 70, frente a la hipótesis alternativa de este contraste que sería H1 : µ0 > 70, que se opone a hipótesis nula H0, que me da el sentido de la región crítica. Es un contraste unilateral.

El estadístico de prueba de este contraste es 0X - Z =

/ nµ

σ, que sigue una ley normal N(0,1).

En nuestro caso: X = 71’8 cm; µ0 = 70 cm; desviación típica σ = 8’9 cm; n =100. Calculo de la región crítica para el nivel de significación α = 5% =0’05 El valor critico correspondiente es z1- α Sabemos que p(Z ≤ z1-α ) = 1 - α = 1 - 0’05 = 0’95, que se mira en la tabla de la distribución Normal N(0,1), y vemos que no está en las tablas. Los valores mas próximos son 0’9495 y 0’9505. Elegimos 0’9505 y vemos en la tabla de la N(0,1) que el valor 0’9505 corresponde a z1-α= 1’65. Por tanto el punto crítico es z1- α = z0’9505 ≅ 1’65. Entonces la región crítica está formada por los números reales situados a la derecha de los números 1’65. Cálculo del valor observado del estadístico de contraste:

00

x - 71'8-70z = / n 8'9/ 100µ

σ= ≅ 2’0225

Resultado del contraste:

Como el valor observado z0 = 2’0225 está a la derecha de 1’65, porque 1’65 < 2’0225, por tanto se encuentra en la región de rechazo correspondiente al nivel 0’05. Se rechaza la hipótesis nula H0 : μ ≤ 70 a este nivel de significación, y aceptamos la hipótesis alternativa. En consecuencia, se puede afirmar, al nivel 0’05, que la vida media de los mismos supera los 70 años.

OPCION B

EJERCICIO 1

Sean las matrices A =0 1 01 0 1

y B =3 -11 2

.

(a) (1’25 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A.At; At.A; A.B (b) (1'25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial A.At.X = B.

Solución

Dadas A =0 1 01 0 1

y B =3 -11 2

, la matriz traspuesta de A es At = 0 11 00 1

.

(a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: A.At; At.A; A.B Sabemos que para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda A.At = A2x3 .At

3x2. En este caso se puede multiplicar y el resultado es una matriz 2x2.


5

A.At =0 1 01 0 1

.0 11 00 1

=1 00 2

.

At.A = A3x2 .At2x3. En este caso se puede multiplicar y el resultado es una matriz 3x3.

At.A =0 11 00 1

.0 1 01 0 1

=1 0 10 1 01 0 1

.

A.B = A2x3 .B2x2. En este caso no se puede multiplicar. (b) Resuelva la siguiente ecuación matricial A.At.X = B.

Me están pidiendo que resuelva 1 00 2

.X = 3 -11 2

.

Como A.At =1 00 2

, tiene matriz inversa (A.At)-1, multiplicando por la izquierda A.At.X = B tenemos:

(A.At)-1.(A.At).X = (A.At)-1.B → I2.X = (A.At)-1.B → X = (A.At)-1.B De A.X + B = 2.C tenemos A.X = 2.C - B. A.At tiene inversa si mediante transformaciones elementales por filas de Gauss podemos llegar de (A.At|I2), a la expresión (I2|B), donde B = (A.At)-1.

(A.At|I2) = 2

2

F1 0 1 0F /20 2 0 1

≈1 0 1 00 1 0 1/2

La matriz inversa es (A.At)-1 =1 00 1/2

También se puede calcular la inversa por determinantes.

A.At tiene inversa si su determinante | A.At | es distinto de 0, y la inversa es (A.At) -1 = tt

1 .Adj( (A.A ) )|A.A |

| A.At| =1 00 2

= 2 ≠ 0, luego existe la inversa.

A.At =1 00 2

; (A.At)t =1 00 2

; Adj( (A.At)t ) =2 00 1

; A-1 = 2 01.0 12

=1 00 1/2

De X = (A.At)-1.B, tenemos X = 2 01.0 12

.3 -11 2

=6 -21.1 22

=3 -1

1/2 1

.

EJERCICIO 2


2x -3x+4 si x 2a4 - si x 2x

≤

>

(a) (1’5 puntos) Halle el valor de “a” para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de “a”. (b) (1 punto) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.

Solución (a)

Halle el valor de “a” para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f(x) =

2x -3x+4 si x 2a4 - si x 2x

≤

>

para ese

valor de “a”. La función x2 – 4x + 5 es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (-∞,2). La función 4 - a/x es continua y derivable en R – {0} (números que anulas el denominador), en particular en (2,∞). Veamos la continuidad en x = 2 f(x) es continua en x = 2 si f(2) =

x 2lim→ −

f(x) =x 2lim→ +

f(x).


6

f(2) = (2)2 – 4(2) + 5 = 1; x 2lim→ −

f(x) =x 2lim→ −

(x2 – 4x + 5) = (2)2 – 4(2) + 5 = 1; x 2lim→ +

f(x) =x 2lim→ +

(4 - a/x) 4 – a/2. Como los tres

valores tienen que ser iguales (para que sea continua en “2”), tenemos 1 = 4 – a/2, de donde 2 = 8 – a, luego a = 6.

Si “a = 6”, f(x) =

2x -3x+4 si x 264 - si x 2x

≤

>

.

f(x) es derivable en x = 2 si x 2lim→ −

f’(x) =x 2lim→ +


f(x) =

2x -3x+4 si x 264 - si x 2x

≤

>

, f’(x) = 2

2x-3 si x < 2- 6 si x 2x

>

.

x 2lim→ −

f’(x) =x 2lim→ −

(2x-3) = 1; x 2lim→ +

f’(x) =x 2lim→ +

(-6/x2) = -6/4 = -3/2, como x 2lim→ −

f’(x) = 1 ≠ -3/2 =x 2lim→ +

f’(x), la función no es

derivable en x = 2, para a = 6. Por tanto f(x) es derivable en R – {2}, y es f’(x) = 2

2x-3 si x < 2- 6 si x 2x

>

.

(b) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.

Si “a = 1”, f(x) =

2x -3x+4 si x 214 - si x 2x

≤

>

.

Recordamos que x = a (suelen ser los números que anulan el denominador) es una asíntota vertical (A.V.) de f(x) si

x alim→

f(x) = ∞.

Recordamos que y = b es una asíntota horizontal de f(x) si xlim→∞

f(x) = b. Sabemos que en los cocientes de funciones

polinómicas la asíntota en +∞ y en -∞, es la misma. Si x < 2, f(x) = x2 – 4x + 5 es una función polinómica, y sabemos que dichas funciones no tiene asíntotas. Si x > 2, f(x) = 4 – 1/x es una función racional. Tendría una A.V. en “x=0”, pero dicho punto no está en el dominio x > 2 luego no tiene asíntotas verticales. Como

xlim→+∞

(4 – 1/x) = 4 – 0 = 4, la recta “y = 2” es la asíntota horizontal de f(x) en +∞.

EJERCICIO 3 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:

p(A) = 0’4, p(B) = 0’5 y p(A∩B) = 0’2. (a) (1’5 puntos) Calcule las siguientes probabilidades: p(A∪B), p(A/B) y P(B/AC). (b) (0’5 puntos) Razone si A y B son sucesos incompatibles. (c) (0’5 puntos) Razone si A y B son independientes.

Solución p(A) = 0’4, p(B) = 0’5 y p(A∩B) = 0’2. (a) Calcule las siguientes probabilidades: p(A∪B), p(A/B) y P(B/AC). p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) = 0’4 + 0’5 - 0’2 = 0’7.

p(A/B) =( )p A B

p(B)∩

= (0’2)/(0’4) = 0’5.

p(B/AC) =( )C

C

p B A

p(A )

∩=

( )p B)-p(A B 1-p(A)

∩= (0’5 - 0’2)/(1 - 0’4) = 0’5.

(b) Razone si A y B son sucesos incompatibles. A y B son sucesos incompatibles si p(A∩B) = 0, pero como p(A∩B) = 0’2, los sucesos no son incompatibles. (c) Razone si A y B son independientes. A y B son sucesos independientes si p(A∩B) = p(A).p(B). Como p(A∩B) = 0’2 y = p(A).p(B) = 0’4.0’5 = 0’2, los sucesos son independientes.


7

EJERCICIO 4 Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16. (a) (1 punto) ¿Cual es la distribución de la media muestral? (b) (1’5 puntos) ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral este comprendida entre 47’5 y 52’5?

Solución (a) y (b) Sabemos que si una variable aleatoria X sigue una normal N(µ, σ), la distribución muestral de medias X sigue una

normal N(µ,nσ ).

¿Cual es la probabilidad de que la media muestral este comprendida entre 47’5 y 52’5? Datos: X sigue una normal N(50,4), luego µ = 50 = x y σ = 4; n = 16

Me están pidiendo p(47’5 < X < 52’5) = { tipifico Z = x- / nµ

σ} = p( 47'5-50

4/ 16< Z < 52'5-50

4/ 16) ≅ p(-2’5 < Z < 2’5) =

= p(Z < 2’5) - p(Z < -2’5) = p(Z < 2’5) – [1 - p(Z ≤ 2’5)] = 2.p(Z < 2’5) – 1= {mirando en las tablas de la N(0,1) } = = 2.0’9798 - 1 = 0’9596.

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