Selectividad Andalucía. Matemáticas II. JUNIO 2015.€¦ · Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad

Selectividad Andalucía. Matemáticas II. JUNIO 2015.

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UNIVERSIDAD DE ANDALUCÍA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2014-2015

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o

realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B..

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara..

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad

para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la

obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIÓN A

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con

capacidad para 13'5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula

las dimensiones del depósito para el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula

dx

xx

x

22

2

.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

0

1

zyx

zx

zyx

a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de .

b) [1 punto] Resuelve el sistema para 0 .

Ejercicio 4.- Sean los puntos 1,1,0A , 3,1,2B , 0,2,1C y mD ,1,2 .

a) [0'75 puntos] Calcula m para que A , B , C y D estén en un mismo plano.

b) [0'75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.

c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A , B y C .



SOLUCIÓN OPCIÓN A:

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con

capacidad para 13'5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula

las dimensiones del depósito para el gasto en chapa sea el mínimo posible.

La función que debemos optimizar (minimizar) es la superficie de la chapa, es decir

el área del depósito que se debe cubrir con ella para así minimizar el coste.

2

2··4

··4 xyxA

xA

yxAAAA

b

L

bL

La ecuación de ligadura o de apoyo es el volumen:

yxalturaAV b ·5'13·5'13 2

Despejando y de la ecuación de apoyo y sustituyéndola en la función a optimizar tenemos:

mxxx

AsOptimizamoxx

xx

xAx

y 985'22

2'5302

2'532'535'13··4

5'13322

22

Para comprobar que es un mínimo, sustituimos en la segunda derivada:

985'20

985'2

4'109985'2·2)985'2(

4'10923

3

3

3

xAx

xA es un mínimo.

Calculamos la altura con la relación de apoyo:

myx

y 493'1985'2

5'135'1322

Luego la solución es:

my

mx

493'1

985'2



Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula

dx

xx

x

22

2

.

2ln3

41ln

3

1

2

34

1

31

3

11

3

42

212

2

2

2

2

2

2

21

2

21

2

21

2

dim

2

2

2

222

22

2

2

2

xxdxx

dxx

AxSi

BxSi

x

B

x

A

xx

x

fraccionesenSeparamos

dxxx

x

dxxx

xxdx

xx

xdxdx

xx

x

xx

x

xx

x

polinomiososDivi

dxxx

x

Luego:

Cxxxdxxx

x

2ln

3

41ln

3

1

22

2



Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

0

1

zyx

zx

zyx

a) [1'5 puntos] Discute el sistema según los valores de .

b) [1 punto] Resuelve el sistema para 0 .

a) Para discutir el sistema en función de , lo podemos hacer a partir del teorema de Rouché-Fröbenius.

Para ello vamos a calcular el rango de A y de A*.

11

0

11

A

011

0

111*

A

Rango de A:

El rango de A como máximo es 3.

0

11

0

1122

A . Luego el Rg(A) es distinto de 3 para cualquier valor de , por lo

tanto 2)( ARg .

Calculamos todos los determinantes de los menores 2x2 para averiguar los valores de .

000

1

1

00

100

0

11

10111

1

1

101

1

1101

1

11

0011

0

1

00

100

1

0

33

2

3231

23

2

2221

13

2

1211

mmm

mmm

mmm

Los distintos valores de que nos van a ayudar a clasificar el sistema son: 110 .

-Para 0 :

0

00

1

yx

zy

Rg(A)=2=Rg(A*)<Nº de incógnitas=3Sistema Compatible Indeterminado

-Para 1 :

0

1

1

zyx

zx

zyx

Rg(A)=2

Calculamos el rango de A*, para ello hacemos todos los determinantes 3x3 que encontremos dentro

de A*.



2)(3)(01111

011

101

111*

421 ARgARgCCC Sistema Incompatible

-Para 1 :

0

1

1

zyx

zx

zyx

Podemos comprobar que la 1ª Ecuación y la 3ª Ecuación de nuestro sistemas

son iguales pero con distintos resultados, por lo tanto el sistema es un Sistema Incompatible.

-Para 110 :

Sabemos que el Rg(A)=2, veamos cuál es el Rg(A*).

0

11

0

1122

321

CCC

2)(00

011

0

11*2

421

ARgCCC

2)(00

01

0

111*2

432

ARgCCC

Luego para 3)(2)(110 *ARgARg Sistema Incompatible.

En resumen:

)(ARg )( *ARg Clasificación del sistema

0 2 2 Sistema Compatible Indeterminado

0 2 3 Sistema Incompatible

b) Para 0 :

10

00

1

z

x

y

yx

zy



Ejercicio 4.- Sean los puntos 1,1,0A , 3,1,2B , 0,2,1C y mD ,1,2 .

a) [0'75 puntos] Calcula m para que A , B , C y D estén en un mismo plano.

b) [0'75 puntos] Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos.

c) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A , B y C .

a) Para que estén en un mismo plano, el determinante de tres vectores formados por los puntos debe ser cero:

mCD

BC

AB

,1,3

3,1,3

2,0,2

306662

13

313

202

mm

m

b)

Para calcular el plano respecto del cual A y B son simétricos:

03

)2,1,1(2

1,0,12 zx

BAM

ABn

c)

3,1,3

2,0,2

BC

BA 2282,0,2

313

2022

BCxBA

kji

BCxBA

BCxBA

AT

222

22uAT



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PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2014-2015

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o

realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B..

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara..

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad

para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la

obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

OPCIÓN B

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sabiendo que

2

2

0

cos1lim

xsen

xbxax

x

es finito e igual a uno, calcula los

valores de a y b .

Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la función ,0:f sabiendo que xxf ln y que su gráfica

tiene tangente horizontal en el punto 2,1P (ln denota la función logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Considera las matrices

mA

2

21 y

m

mB

23

02

021

a) [1'5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

Ejercicio 4.- Sea el plano 082 zyx .

a) [1'5 puntos] Calcula el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano .

b) [1 punto] Calcula la recta r , simétrica de la recta 1

5

3

1

2

2

zyxr , respecto del plano .



SOLUCIÓN OPCIÓN B:

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Sabiendo que

2

2

0

cos1lim

xsen

xbxax

x

es finito e igual a uno, calcula los

valores de a y b .

Para calcular los valores de a y b sabemos que el límite es finito e igual a uno, por lo tanto si hay alguna

indeterminación en el límite será la indeterminación 0

0, luego obligaremos a pasar por esta indeterminación.

2

11

2

121

2

12

4·cos2

cos2lim

',mindet0

0

·cos2

2lim

00

0

00

0mindet

0·cos2

2lim

',mindet0

0cos1lim

1cos1

lim

2220

20

20

2

2

0

2

2

0

aaa

xsenxx

xa

HôpitalLaplicamosaciónerInxx

xsenax

bb

aciónerInObligamosb

xx

xsenbax

HôpitalLaplicamosaciónerInxsen

xbxax

xsen

xbxax

x

x

x

x

x

Luego la solución es:

0

2

1

b

a



Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la función ,0:f sabiendo que xxf ln y que su gráfica

tiene tangente horizontal en el punto 2,1P (ln denota la función logaritmo neperiano).

El problema nos da la segunda derivada de una función por lo tanto vamos a buscar la función integrando

dos veces, pasando por la primera derivada.

Calculamos la primera derivada:

CxxxxfCxxxdxx

xxx

xvdxdv

dxx

duxu

partespornIntegració

dxxxf lnln1

··ln1

)ln(ln

Calculamos la segunda derivada:

DCxx

xx

xfDCxxx

xx

dxCxxxxf

xx

xdx

xx

xdx

x

xx

x

xvxdxdv

dxx

duxu

partespornIntegració

dxxx

dxCxdxdxxxdxCxxxxf

4

3ln

224ln

2ln

4ln

22ln

2

1

2ln

2

2

1)ln(

ln

lnln

22222

22222

2

Una vez que tenemos nuestra función primera derivada y nuestra función original, vamos a ver cuáles son

las ecuaciones que podemos formar para calcular las constantes C y D.

-Por tener una tangente horizontal en 1011ln11011 CCffx

-Por pasar por el punto 4

721

4

311ln

2

11212,1

22

DDffP

Luego la función xf es:

4

7

4

3ln

2

22

xx

xx

xf



Ejercicio 3.- Considera las matrices

mA

2

21 y

m

mB

23

02

021

a) [1'5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

a) Para encontrar el valor o los valores de m para los que A y B tienen el mismo rango, debemos saber que

como máximo el rango puede ser 2, ya que la matriz A es de orden 2.

Rango de A:

El rango de A como máximo es 2.

41)(

42)(404

2

21

msiARg

msiARgmm

mA

Rango de B:

El rango de B como máximo es 3.

4

004

23

02

0212

m

mmm

m

mB

-Si 3)(0 BRgm

Buscamos un menor 2x2 cuyo determinante sea distinto de cero

2)(0402

21

BRg

-Si 3)(4 BRgm

Buscamos un menor 2x2 cuyo determinante sea distinto de cero

2)(01642

04

042

21

BRg

Luego para que tengan el mismo rango

b) Para encontrar el valor o los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante:

0m



4

144

4

23

02

021

42

21

2

2 m

mmmm

mm

m

mB

mm

A

Luego para que tengan el mismo determinante

4

1

m

m



Ejercicio 4.- Sea el plano 082 zyx .

a) [1'5 puntos] Calcula el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano .

b) [1 punto] Calcula la recta r , simétrica de la recta 1

5

3

1

2

2

zyxr , respecto del plano .

a) Para calcular el punto P , simétrico del punto 5,1,2 P , respecto del plano , vamos a introducir una recta

perpendicular al plano que pase por P' :

tz

ty

tx

P

nrr

5

1

22

5,1,2

1,1,2

Calculamos el punto M, que es el punto de intersección entre el plano y la recta r :

6,2,1

10851222

M

ttttrM

Calculamos P , simétrico de P respecto del punto M.

7,3,45,1,212,4,22 PPMP

Luego el punto simétrico pedido es:

b) Para la recta r , simétrica de la recta 1

5

3

1

2

2

zyxr , respecto del plano , lo primero que

tenemos que hallar es la posición relativa que hay entre la recta r y el plano .

Para ello vamos a tomar un vector director de la recta r y el vector normal del plano .

02

)1,3,2(

1,1,2nr

r

n

Son secantes.

Podríamos calcular r' si tuviéremos el punto M , que es el punto de

intersección entre el plano y la recta r , y el punto Q' que es

simétrico de Q (un punto cualquiera de la recta r ) respecto del plano

.

I

7,3,4 P



Calculamos M, para ello vamos a poner la recta r en forma paramétrica.

tz

ty

tx

rzyx

r

5

31

22

1

5

3

1

2

2

8,8,4

308531222

M

ttttrM

Elijo un punto Q cualquiera de la recta r, para ello hago que 5,1,20 Qt .

Calculo la recta s que es perpendicular al plano y pasa por el punto Q.

tz

ty

tx

Q

nss

5

1

22

5,1,2

1,1,2

Calculamos el punto I intersección entre la recta s y el plano .

6,2,0

10851222

I

ttttsI

Calculamos el punto Q' simétrico de Q:

7,3,25,1,212,4,02 QQIQ

Ya sólo queda calcular la recta r' que pasa por los puntos Q' y M:

0122

028211

8

118

24

8,8,4

1,11,2

zx

yxr

tz

ty

tx

rM

QMr

Por lo tanto la recta r' pedida es:

0122

028211

zx

yxr

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