Selectividad de Matematicas 564 Paginas de Problemas Resueltos

Embed Size (px)

Citation preview

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    LGEBRA OPCIN A

    Hallar una matriz: de orden 2 tal que A-1XA = B siendo

    =

    dcba

    X

    =

    =1211

    1213

    ByA

    ( )

    ( ) ( )

    =

    =

    ==

    =

    =

    =

    ===+=

    =

    ======

    76119

    3211

    1425

    3211

    1211

    1213

    3211

    3211

    11

    3211

    112310123

    1213

    1

    1

    11

    11111

    ABAX

    AAadj

    AAadjA

    AAA

    ABAXABAXIABAXAAABXAABIXAABXAAA

    t

    tt

    1

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B

    a) Probar que ( ) ( ) ( )bcacabcbacba =222

    111

    ( )( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) obadobcacabcbacba

    abacacababacacabacab

    acab

    acacababacab

    acabacab

    acabacab

    Pr111

    11

    100

    111

    222

    22222222

    =

    +=++=++

    =

    =++

    =

    =

    b) Hallar la solucin del sistema: que, adems, satisface que la suma de

    valores correspondientes a cada una de las incgnitas es 4

    =++=++

    294032

    zyxzyx

    ( )

    ( )

    ( )5,5.31,5.32543132

    ,31,3231622

    03232032323223294

    0642

    +==+++

    +==

    =+++=++++==+

    =++=

    generalSolucinzyzy

    zyzzyzzxzxzyx

    zyx

    Solucin pedida

    2

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    GEOMETRA

    OPCIN A Se considera la recta r y los planos 21 y siguientes:

    022230232

    42132

    2

    1

    =++=+

    =+==

    zyx

    zyx

    zyx

    r

    a) Determinar la posicin relativa de los planos. b) Calcular la distancia de r a 2 . a) Los planos pueden ser paralelos, en este caso los vectores directores son proporcionales y si tienen un punto comn seria el mismo plano, o secantes

    antesSon sec22

    23

    b) En este caso la recta tiene que ser paralela al plano siendo los vectores directores, de ambos, perpendiculares y su producto vectorial es nulo, de no serlo la distancia ser nula porque la recta cortar al plano o sindolo si la distancia es nula es que la recta est contenida en el plano.

    ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    22

    2

    2

    0123

    111.2131,1,11,2,31,1,12,2,2

    1,2,3

    vvvv

    vvv

    v

    rr

    rr

    =++=

    ++==

    ==

    Al ser perpendiculares, los vectores directores de recta y plano, estos son paralelos La distancia ser la de un punto, cualquiera, de la recta al plano. Se toma el punto R indicado en la ecuacin de la recta

    63

    321

    121

    4448243

    222

    4.21.22.2322222

    ===++

    ++=

    ++

    ++== Rr dd

    3

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B a) Obtener los valores y para los cuales el vector de componentes ( )0,, tiene

    mdulo 2 y es perpendicular a la recta

    ===

    1

    12

    zyx

    r

    b) Estudiar si los vectores ( ) ( ) ( )1,1,0,1,1,0,2,1,3 === cba son linealmente independientes. c) Calcular el ngulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son

    cyb respectivamente. a)Al ser perpendiculares el producto escalar del vector pedido y el director de la recta r es nulo ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    vectormismoelesQuevvSoluciones

    ==

    ====

    ===

    =+

    =+=++

    ====

    0,1,10,1,1

    1111

    1122

    2220

    00001,1,10,,

    2

    1

    22

    2222222

    b) Si son linealmente dependientes sern coplanarios, el determinarte que forman es nulo, en caso contrario son independientes

    ( ) ( ) ( )( )

    ( ) laresperpendicuSonarccbcb

    cbcb

    c

    ntesindependieelinealmentSon

    ===

    ==

    +=

    ++++

    =

    =

    ==

    2900cos,

    020

    22110

    110110

    1,1,01,1,0.,cos

    )

    0633110

    110213

    222222

    4

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    ANLISIS

    OPCIN A

    1.-Sea ( ) ( )14

    122

    2

    +

    =xxxf

    a) Calcular el mximo y mnimo absoluto de ( )xf b) Estudiar si es una funcin simtrica respeto al eje OY ( )xf

    c) Calcular ( ) dxxfx

    0

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    >+

    >>>+

    >>>

    >

    >+

    +

    >+

    +=

    +

    ++=

    +

    +=

    +

    +=

    xx

    xxx

    xxxx

    xxx

    xfoCrecimiemtxxx

    xxxxxxf

    xxxxx

    xxxxxxf

    a

    0142112012

    2112012

    04

    01412124

    0'1412124

    142414124'

    1412214124

    1412814.2.12.2'

    )

    22

    22

    2222

    22

    22

    2

    22

    22

    21

    21

    4 (+) (+) (+)

    21

    >x () () (+)

    21

    >x () (+) (+)

    ( ) 014 22 >+x (+) (+) (+)Resultadooperacin (+)

    f(x)>0()

    f(x)0

    Crecimiento

    >

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN A(Continuacin) Continuacin del Problema 1 de Anlisis Opcin A

    Mnimo relativo en ( ) 02

    0

    1214

    1212

    21

    21 2

    2

    2

    ==

    +

    =

    = fx (la grfica, de la funcin,

    pasa de decrecimiento a crecimiento)

    ====+41

    4114014 222 xxxx No existen asntotas

    verticales No habiendo asntotas verticales, hay que estudiar la funcin en los extremos de los intervalos de su dominio, en este caso infinito positivo y negativo. Si no hay asntotas horizontales entonces la grafica terminara en el infinito positivo, si las hay estudiaremos si su valor como funcin es mayor o menor(en es caso seria este el valor pedido) que el de la funcin en los mximos y mnimos hallados, en caso contrario estos son los valores absolutos buscados

    ( ) 104

    00414

    144lim

    14

    144

    lim14

    144lim14

    12lim

    2

    2

    22

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    =++

    =+

    +=

    +

    +=

    =++

    =+

    =

    x

    xx

    xxx

    xxx

    xx

    xxx

    xxy

    xxxx

    Cuando f(x) tiende a infinito la funcin tiende a 1 (asntota horizontal)

    104

    00414

    144lim

    14

    144

    lim14

    144lim14

    144lim

    2

    2

    22

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    =+++

    =+

    ++=

    +

    ++=

    =+++

    =++

    =

    x

    xx

    xxx

    xxx

    xx

    xxx

    xxxy

    xxxx

    Cuando f(x) tiende a menos infinito la funcin tiende a 1 (asntota horizontal)

    Como 22110

    21

    =

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN A(Continuacin)

    2.-a) Razonar si para ( ) 402

    2

    x

    dttxF

    x

    = se satisface ( ) ( )xFxF

    xx'limlim

    00 =

    b) Calcular 23414lim 22 ++

    xxxx

    [ ] ( )[ ] ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ====

    ===

    =

    ==

    ====

    030

    30.2

    32lim'lim

    03

    031limlim

    32'

    31

    313

    1

    310

    31

    31

    )

    00

    22

    00

    2

    24

    6

    63320

    3

    0

    22

    2

    xxF

    xxF

    xxF

    xxFx

    x

    xxFxxtdtt

    a

    xx

    xx

    xx

    ( )( )( )

    43

    423

    0040403

    23414

    13lim

    23414

    13

    lim

    2341413lim

    2341423414lim

    2341423414lim

    234142341423414lim23414lim

    )

    22222

    2

    22

    2

    2222

    22

    22

    22

    22

    222222

    ==+++

    =

    +++

    =

    +++

    =

    =

    =+++

    =

    +++

    ++=

    +++

    ++=

    =+++

    +++++==++

    xxx

    x

    xxx

    xx

    xxx

    xxx

    xxxx

    xxxxxx

    xxxxxx

    xxxxxxxxxxxx

    b

    xx

    xxx

    xx

    7

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B

    ( )1.- Sea 1

    2+

    =x

    xxf

    a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asntotas b) Calcular ( ) ( )[ ]{ }xfxfx

    x+

    1lim 2

    ( ) ( )( ) ( )

    ( ) { }

    ( )( ) ( )

    ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( )( )

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    oblcuasasntotasexistenNo

    xxxxx

    xx

    xxx

    xx

    x

    xxfm

    xxxxx

    xx

    xxx

    xx

    x

    xxfm

    oblicuasAsntotas

    xyhorizontalAsntotaxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxy

    xyhorizontalAsntotaxxx

    xxx

    xxy

    eshorizontalAsntotas

    xf

    xfxEn

    verticalesAsntotas

    xoCrecimientxx

    xx

    xfoCrecimientxx

    xxxf

    xfDom

    tardemsestudiadaverticalAsntotafxx

    a

    xxxxxx

    xxxxxx

    xxxxx

    xxx

    x

    x

    021

    2lim1.12lim

    1

    2

    lim12lim1

    2

    limlim

    021

    2lim1.1

    2lim1

    2

    lim1

    2lim12

    limlim

    2

    212

    102

    112lim

    1

    2

    lim1

    .2lim1

    .2lim1

    2lim

    2

    201

    211

    2lim1

    2

    lim1

    2lim

    02lim02lim

    1

    0102

    01

    20'1

    21

    12'

    102

    111.21101

    )

    1

    1

    2222

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    +

    ==

    =

    =+

    =+

    =+

    =

    =+

    =+==

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    =

    +=

    =

    =+

    =+

    =+

    =

    =+

    =

    ==

    ===

    >+>

    >+

    >+

    =++

    =

    =

    =+

    ===+

    +

    +

    8

  • IES Mediterrneo de Mlaga Solucin Septiembre 2008 Juan Carlos Alonso Gianonatti

    OPCIN B(Continuacin) Continuacin del Problema 1 de Anlisis

    ( ) ( )[ ]{ } ( )( )( )

    ( ) ( )( )( )

    2001

    2231

    2lim23

    2

    lim23

    2lim

    2312lim

    232122lim

    212212lim

    12

    212lim

    12

    1112lim1lim

    )

    2222

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    222

    22

    222

    =++

    =++

    =++

    =

    =++

    =

    =

    ++=

    ++

    ++=

    ++++

    =

    =

    +

    ++

    =

    +

    ++

    +=+

    xxxxx

    xx

    xx

    xxx

    xxx

    xxxxxxx

    xxxxxx

    xx

    xxx

    xx

    xxxxfxfx

    b

    xxx

    xxx

    xxx

    2.- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista, en el tema, seala que, dada la estructura de la empresa, solo puede optar por alarmas de dos tipos, A o B; adems afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la dcima parte del producto entre el nmero de alarma de tipo A y el cuadrado del nmero de alarmas de tipo B. Estudiar cuantas alarmas de cada tipo debe de instalar en la empresa para maximizar la seguridad.

    .

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    ======

    ===

    ==

    ===

    ===

    ==+

    MximoS

    MnimoSBBB

    dBSdS

    BBB

    BBS

    BBBBdBdSSBBBBBAS

    BABA

    05963

    536''

    05903

    530''

    3533

    106618

    101''

    6060

    060'

    6103318

    101'9

    1019

    101

    101

    99

    2

    2

    23222

    A = 9 6 = 3 Para que la seguridad sea mxima habr que instalar 3 alarmas de tipo A y 6 de tipo B

    9

  • ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN A

    Ejercicio 1

    a) Dibuja el recinto limitado por las curvas 2+= xey , xey = y x = 0. (1 punto)b) Halla el rea del recinto considerado en el apartado anterior. (1,5 puntos)

    Ejercicio 2

    Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La alturaen metros alcanzada al cabo de t segundos viene dada por:

    tetth 2555)( =a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura mxima y el valor de esta.

    (1,5 puntos)b) Teniendo en cuenta que la velocidad es )()( thtv = , halla la velocidad al cabo de 2

    segundos. (1 punto)

    Ejercicio 3

    Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A = (1, 6) y B =(5, 2), y tiene su centro sobre la recta y = 2x. (2,5 puntos)

    Ejercicio 4

    Dada la matriz

    =

    43

    21A , calcula (AtA1)2A. (2,5 puntos)

  • ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    SOLUCIONES:

    OPCIN A

    Ejercicio 1.

    a) El recinto pedido es el sombreado en la siguiente figura.

    b) Corte de las curvas:

    xx ee + =2 x = 1

    El rea viene dada por:

    A =

    + +0

    1

    12 dxedxe xx

    La primera integral es impropia:

    ( ) eeeedxedxe ccc

    x

    cc

    x

    c

    x ==== +

    +

    +

    + )(lmlmlm 212

    12

    12

    La segunda integral vale:

    ( ) eedxe xx +==

    10

    1

    0

    1

    Por tanto:

    A = 2e 1

  • ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Ejercicio 2.

    a) tetth 2555)( = teth 2105)( += teth 220)( =

    teth 2105)( += = 0 22ln

    21

    ln21

    ==t 0,3466

    Como h (0,3466) < 0, para ese valor se da el mximo.

    La altura mxima es h(0,3466) = 0,767 m.

    (NOTA: resultan valores muy pequeos)

    b) tethtv 2105)()( +== 4105)2( += ev = 4,81 m/s (?)

    NOTA: Este resultado no es posible. Algn dato del problema es incorrecto. (Quiz nuestratranscripcin?)

    Ejercicio 3.

    Si P = (x, 2x) es el centro de la circunferencia se cumple que:

    d(P, A) = d(P; B) 2222 )22()5()26()1( xxxx +=+

    8 = 8x x = 1

    La ordenada del centro es y = 2x = 2. El radio = d(P, A) = 4.

    La ecuacin de la circunferencia es:

    222 4)2()1( =+ yx

    Ejercicio 4.

    2=A .

    La matriz de los adjuntos es: ( )

    =

    12

    34ijA

    Luego:

  • ANDALUCA / JUNIO 2000. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    =

    =

    2/12/3

    12

    13

    24

    211A

    =

    =

    02

    2/12/5

    2/12/3

    12

    42

    311AAt

    ( )

    =

    =

    15

    4/54/21

    02

    2/12/5

    02

    2/12/521AA t

    ( )

    =

    =

    62

    2/114/6

    43

    21

    15

    4/54/2121 AAAt

  • ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN A

    Ejercicio 1

    Sea f: R R la funcin dada por 28)( xxf = .

    a) [1 punto] Esboza la grfica y halla los extremos relativos de f (dnde se alcanzany cules son sus respectivos valores).

    b) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte de la grfica de f con la recta tangente a lamisma en el punto de abscisa x = 2.

    Ejercicio 2

    Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, considera la funcin f: (0, + ) R,definida por )()( xxLnxf = . Calcula:

    a) [1,5 puntos] dxxf )( .b) [1 punto] Una primitiva de f cuya grfica pase por el punto (1, 0).

    Ejercicio 3

    Sea

    +

    1coscos

    0cos

    0cos

    xsenxxsenxsenxx

    xsenx

    Para qu valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa.

    Ejercicio 4

    Halla la ecuacin del plano que pasa por el punto A(1, 0, 1), es perpendicular al

    plano x y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta

    =

    =

    0

    02

    zyx

  • ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Solucin

    Ejercicio 1

    a) 28)( xxf = =

    >

  • ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Se tendrn los puntos: )6820 ,622( y )6820 ,622( ++ .

    Adems, otro punto de corte es el de tangencia: (2, 4). (Vase la figura anterior.)Ejercicio 2

    a) dxxf )( = xdxx ln .

    La haremos por partes:

    u = x lnx du = (lnx +1)dxdv = dx v = x

    Luego,

    xdxx ln = + dxxxxxx )ln(ln2 2 xdxx ln = cxxx +2

    ln2

    2

    De donde, xdxx ln = kxxx +4

    ln21 22

    b) Para que esa primitiva pase por (1, 0):

    041

    =+ k 41

    =k

    Ejercicio 3

    Si A es la matriz dada, 1cos 22 =+= xxsenA . Tiene inversa para cualquier valor de x.

    La matriz de los adjuntos es: ( )

    =

    100

    1cos

    1cos

    senxxxsenx

    Aij .

    Luego,

  • ANDALUCA / JUNIO 01. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    ==

    111

    0cos

    0cos)(1 senxx

    xsenx

    AA

    At

    ij

    Ejercicio 4

    Las ecuaciones paramtricas de la recta dada son:

    =

    =

    =

    0

    2

    :

    ztytx

    r

    El plano pedido est determinado por el punto A = (1, 0, 1) y por los vectores

    vr

    = (1, 1, 2) y rvr

    = (2, 1, 0).

    Su ecuacin ser:

    0

    021

    11

    211

    =

    +

    zy

    x 2x + 4y + 3z + 5 = 0.

  • ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o

    bien realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta e forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero

    todos los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

    OPCIN A Ejercicio 1

    Considera la funcin f: R R definida por 122)( += x

    x

    exf a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los

    extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor mximo que alcanzan). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Determina un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que:

    P(0) = P(2) = 1 y 31

    )(2

    0= dxxP .

    Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina una matriz A simtrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

    det (A) = 7 y

    =

    31

    124

    31

    62A

    Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula la ecuacin de una recta que pasa por el punto de interseccin

    del plano x + y z + 6 = 0 con la recta 123

    +== zyxs y es paralelo a la

    recta

    =+

    =+

    0134

    043

    zyxyx

    r

  • ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN B Ejercicio 1

    Sea f la funcin definida por xx

    xxf239

    )(2

    = para x 0 y x 2.

    a) [1 punto] Calcula las asntotas de la grfica de f . b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Ejercicio 2 [2,5 puntos] Sea f: R R la funcin definida por xxexf =)( . Esboza el recinto limitado por la curva )(xfy = , los ejes coordenados y la recta x = 1. Calcula su rea. Ejercicio 3 [2,5 puntos] Determina la matriz X que verifica la ecuacin AX = X B siendo

    =

    001

    000

    100

    A y

    =

    110

    110

    101

    B

    Ejercicio 4 [2,5 puntos] Calcula el rea del tringulo de vrtices: A(1, 1, 2), B(1, 0, 1) y C(1, 3, 2) Soluciones a la Opcin A Ejercicio 1 a) La funcin est definida en todo R. En consecuencia, f no tiene asntotas verticales. Asntotas horizontales:

    10122

    ==++

    eelm xx

    x; 101

    22

    ==+

    eelm xx

    x

  • ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    La recta y = 1 es una asntota horizontal. b) Hacemos la derivada:

    1

    2

    22

    22

    )1(22

    )( ++

    = x

    x

    ex

    xxf f (x) = 0 si x = 1 o x = 1

    si x < 1, f (x) < 0 f es decreciente si 1 < x < 1, f (x) > 0 f es creciente en x = 1 hay un mnimo. si x > 1, f (x) < 0 f es decreciente en x = 1 hay un mximo.

    Para x = 1. 1)1( = ef Mnimo: (1, e1). Para x = 1. 1)1( ef = Mximo: (1, e) Ejercicio 2 Sea cbxaxxP ++= 2)( Por P(0) = 1 1 = c Por P(2) = 1 1 = 4a + 2b + c c = 1; b = 2a Luego: 12)( 2 += axaxxP Como

    31

    )(2

    0= dxxP 3

    13

    )12(2

    0

    232

    0

    2 =

    +=+ xaxx

    adxaxax

    31

    243

    8=+ aa

    45

    =a 25

    =b

    Por tanto, 125

    45

    )( 2 += xxxP

    Ejercicio 3

    Sea A la matriz simtrica:

    =

    cbba

    A . Con esto:

  • ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    72 == baccbba

    =

    31

    124

    31

    62

    cbba

    =

    31

    124

    362

    362

    cbcbbaba

    Se tiene:

    =

    =

    =

    7

    12

    42

    2baccb

    ba

    =

    =

    +=

    7

    12

    2/2

    2bacbc

    ba 7)12)(2/2( 2 =+ bbb

    De donde: b = 2; a = 1, c = 3. La matriz pedida es:

    =

    32

    21A

    Ejercicio 4

    Las ecuaciones paramtricas de la recta s son:

    +=

    +=

    =

    tzty

    txs

    1

    2

    3

    Sustituyendo en la ecuacin del plano: 3t + (2 + t) (1 + t) + 6 = 0 3t + 9 = 0 t = 3 La recta y el plano se cortan en P = (9, 1, 4). Hallamos las ecuaciones paramtricas de r:

    =+

    =+

    0134

    043

    zyxyx

    r

    =

    =

    =

    tzty

    txr

    1313

    34

    La recta pedida es la que pasa por P con vector de direccin rv

    r = (1, 3, 13). Sus

    ecuaciones son:

  • ANDALUCA / JUNIO 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    =

    =

    +=

    tztytx

    134

    31

    9

  • ANDALUCA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o bien

    realizar nicamente los cuatro ejercicios d la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los

    procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

    OPCIN A

    Ejercicio 1 [2,5 puntos] Sea )1ln( 2x el logaritmo neperiano de 21 x y sea f: (1, 1) R la funcin definida por )1ln()( 2xxf = . Calcula la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 [2,5 puntos] Se sabe que la funcin f: R R definida por cbxaxxxf +++= 23)( tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su grfica tiene un punto

    de inflexin en el punto de abscisa x = 1. Conociendo adems que 6)(1

    0= dxxf ,

    halla a, b y c. Ejercicio 3 Considera los vectores: ur = (1, 1, 1), vr = (2, 2, a) y wr = (2, 0, 0). a) [1,25 puntos] Halla los valores de a para los que los vectores ur , vr y wr son

    linealmente independientes. b) [1,25 puntos] Determina los valores de a para los que los vectores ur +vr y ur wr

    son ortogonales. Ejercicio 4

    [2,5 puntos] Sabiendo que las rectas zyxr == y

    =

    +=

    +=

    zyx

    s 31

    se cruzan, halla

    los puntos A y B, de r y s, respectivamente, que estn a mnima distancia.

  • ANDALUCA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN B

    Ejercicio 1 Dadas la parbola de ecuacin 21 xy += y la recta de ecuacin xy += 1 , se pide: a) [1,5 puntos] rea de la regin limitada por la recta y la parbola. b) [1 punto] Ecuacin de la recta paralela a la dada que es tangente a la parbola. Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por xexxf += )3()( . a) [0,5 puntos] Halla las asntotas de la grfica de f. b) [1,5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexin de su

    grfica. c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de f. Ejercicio 3 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) [0,5 puntos] El determinante de A3. b) [0,5 puntos] El determinante de A1. c) [0,5 puntos] El determinante de 2A. d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera,

    segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2. Ejercicio 4

    [2,5 puntos] Determina el punto P de la recta 31

    12

    1 zyxr =+= que equidista de

    los planos 031 =+++ zyx y

    =

    +=

    +=

    6

    3

    2

    zyx

    Soluciones de la Opcin A Ejercicio 1

    Hay que hallar = dxxxF )1ln()( 2 . Esta integral puede hacerse por partes. Tomamos:

  • ANDALUCA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    )1ln( 2xu = dxxxdu21

    2+

    =

    dvdx = xv =

    Luego, = dxxxF )1ln()( 2 = + dxxxxx

    2

    22

    12

    )1ln(

    La segunda integral se hace por descomposicin en fracciones simples, pues

    xB

    xA

    xxx

    xx

    ++

    +=

    +=

    +

    = 11

    21

    22

    1222

    12

    22

    2

    2

    2

    En consecuencia:

    xB

    xA

    x ++

    =

    1112

    2=

    21)1()1(

    xxBxA

    ++

    )1()1(2 xBxA ++=

    si x = 1: 2 = 2A A = 1

    si x = 1: 2 = 2B B = 1

    Por tanto:

    dxxx

    2

    2

    12

    = +++=

    + dx

    xdx

    xdxdx

    x 11

    11

    )2(1

    22 2 =

    = cxxx +++ )1ln()1ln(2 Luego

    = dxxxF )1ln()( 2 = cxxxxx +++ )1ln()1ln(2)1ln( 2 Para que pase por el punto (0, 1) debe cumplirse que F(0) = 1, y por tanto: 11ln1ln01ln0)0( =++= cF c = 1. La primitiva pedida es: 1)1ln()1ln(2)1ln()( 2 +++= xxxxxxF Ejercicio 2

    cbxaxxxf +++= 23)( baxxxf ++= 23)( 2 axxf 26)( += Por tener un extremo relativo en x = 0 f (0) = 0 b = 0

  • ANDALUCA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Por tener un punto de inflexin en x = 1 f(1) = 0 6 + 2a = 0 a = 3 Luego, de momento, cxxxf ++= 23 3)(

    Por 6)(1

    0= dxxf 614

    14

    )3(1

    0

    341

    0

    23 =++=

    ++=++ ccxx

    xdxcxx 4

    19=c

    En consecuencia,

    4

    193)( 23 ++= xxxf

    Ejercicio 3 a) Los vectores sern linealmente independientes si el rango{ur , vr , wr } = 3. Para ello, el determinante asociado debe ser distinto de cero.

    042

    002

    22

    111

    = aa a 2

    b) ur +vr = (3, 3, 1 + a); ur wr = (1, 1, 1). Estos vectores son ortogonales cuando su producto escalar vale 0.

    (ur +vr ) (ur wr ) = 0 (3, 3, 1 + a) (1, 1, 1) = 1 + a = 0 a = 1 Ejercicio 4 La mnima distancia viene dada por el mdulo del vector AB, siendo AB ortogonal comn a los vectores de direccin de r y s.

    Las ecuaciones paramtricas de la recta r son:

    =

    =

    =

    tztytx

    r

    Sean A y B dos puntos genricos de r y s, respectivamente. Sus coordenadas sern: A = (t, t, t); B = (1 + , 3 + , ) El vector AB = (1 + t, 3 + t, t).

  • ANDALUCA / JUNIO 03. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Este vector debe ser perpendicular a rvr

    = (1, 1, 1) y a svr

    = (1, 1, 1). En consecuencia:

    AB rv

    r = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3t = 0

    AB sv

    r = 0 (1 + t, 3 + t, t) (1, 1, 1) = 0 4 + 3 t = 0

    Resolviendo el sistema:

    =+

    =+

    034

    034

    tt

    t = 1 y = 1

    Luego, A = (1, 1, 1) y B = (0, 2, 1)

  • ANDALUCA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    EXAMEN COMPLETO ACLARACIONES PREVIAS a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin A o

    bien realizar nicamente los cuatro ejercicios de la opcin B. c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos

    los procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

    OPCIN A

    Ejercicio 1

    De la funcin f: (1, ) R se sabe que 2)1(3)(+

    =x

    xf y que f(2) = 0.

    a) [1,25 puntos] Determina f. b) [1,25 puntos] Halla la primitiva de f cuya grfica pasa por el punto (0, 1). Ejercicio 2 Considera la funcin f: R R definida por )2)(1)(1()( += xxxxf . a) [1 punto] Halla la ecuacin de las rectas tangente y normal a la grfica de f en el

    punto de abscisa x = 1. b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.

    Tiene puntos de inflexin la grfica de f? Ejercicio 3 Considera este sistema de ecuaciones:

    ==

    121

    mmyxymx

    a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema segn los valores de m. b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solucin en

    la que x = 3. Ejercicio 4 Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(1, 4, 3). a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos estn en el mismo plano. Halla la

    ecuacin de dicho plano. b) [0.75 puntos] Demuestra que el polgono de vrtices consecutivos ABCD es

    rectngulo. c) [0,75 puntos] Calcula el rea de dicho rectngulo.

  • ANDALUCA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN B

    Ejercicio 1 Se sabe que la funcin f: (1, +) R definida por:

    +

  • ANDALUCA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    b) Una primitiva de f es:

    kxxdxx

    xF +++=

    +

    +

    = )1ln(3113)(

    Si pasa por (0, 1), F(0) = 1: 10)10ln(3)0( =+++= kF k = 1 Por tanto, 1)1ln(3)( +++= xxxF

    Ejercicio 2 a) Operando, obtenemos:

    22)( 23 += xxxxf La ecuacin de la recta tangente a f(x) en el punto (a, f(a)) es: ))(()( axafafy =

    La ecuacin de la normal es: )()(

    1)( axaf

    afy =

    Como 143)( 2 = xxxf , se tiene que f (1) = 2; mientras que f(1) = 0. Por tanto: Tangente: )1(2 = xy y = 2x + 2

    Normal: )1(21

    = xy

    b) La derivada segunda es: 46)( = xxf . Esta derivada se anula en x = 2/3. Como f(x) = 6 0, en x = 2/3 hay un punto de inflexin. Adems, como: si x < 2/3, f(x) < 0 f(x) es cncava () si x > 2/3, f(x) > 0 f(x) es convexa () Ejercicio 3 a) Estudiamos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y de la matriz ampliada (M).

    Mmm

    mA =

    =

    121

    11

  • ANDALUCA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    El determinante de A, 11

    1 2 +=

    = mm

    mA

    Este determinante vale 0 si m = 1 o m = 1 Con esto: Si m 1, 1 r(A) = 2 = r(M). El sistema ser compatible determinado. Si m = 1 se tiene:

    MA =

    =

    31

    1111

    El rango de A, r(A) = 1; mientras que r(M) = 2. En consecuencia, el sistema ser incompatible. Si m = 1 se tiene:

    MA =

    =11

    1111

    Como las dos filas de la matriz son iguales r(A) = r(M) = 1. El sistema ser compatible indeterminado. b) Si x = 3, se tendr:

    ==

    5313

    myym

    ==

    5313

    mymy

    12)13(3 = mmm

    043 2 =+ mm m = 4/3; m = 1

    Para m = 4/3, el sistema tiene por solucin:

    ==

    53

    yx

    . En este caso, al ser el sistema

    compatible determinado, la solucin es nica.

    Para m = 1, el sistema tiene por solucin:

    ==

    23

    yx

    . En este caso, al ser el sistema

    compatible indeterminado, la solucin es una de las infinitas posibles. Ejercicio 4 a) Los cuatro puntos pertenecern al mismo plano si los vectores AB, AC y AD son

    linealmente dependientes. Estos vectores son: AB = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 1, 0)

    AC = (2, 3, 1) (1, 2, 1) = (1, 3, 2)

  • ANDALUCA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    AD = (1, 4, 3) (1, 2, 1) = (2, 2, 2) Como

    0222231011=

    los vectores, efectivamente, son linealmente dependientes. b) El cuadriltero ser rectngulo si los vectores AB y BC, y AB y AD son ortogonales. Como: AB = (1, 1, 0), BC = (2, 2, 2) y AD = (2, 2, 2) se tiene: AB BC = AB AD = (1, 1, 0) (2, 2, 2) = 0 Por tanto, se trata de un rectngulo. c) Al tratarse de un rectngulo, su superficie se halla multiplicando su base por su

    altura. La base puede ser el mdulo de AB; la altura, el mdulo de AD.

    211 =+=AB ; 12444 =++=AD Por tanto,

    S = 24122 ==ADAB NOTA: La superficie tambin podra hallarse mediante el producto vectorial:

    ADABS =

  • ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    EXAMEN COMPLETO

    ACLARACIONES PREVIAS

    a) Duracin: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin A o bien

    realizar nicamente los cuatro ejercicios de la Opcin B.

    c) La puntuacin de cada pregunta est indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla grfica), pero todos los

    procesos conducentes a la obtencin de resultados deben estar suficientemente justificados.

    OPCIN A

    Ejercicio 1. [2,5 puntos] Determina un punto de la curva 2xxey en el que la pendiente

    de la recta tangente sea mxima.

    Ejercicio 2. Sea 2

    0 2

    3

    1dx

    x

    xI

    a) [1,25 puntos] Expresa I aplicando el cambio de variable 21 xt

    b) [1,25 puntos] Calcula el valor de I.

    Ejercicio 3. Considera a

    aA

    0

    1, siendo a un nmero real.

    a) [1 punto] Calcula el valor de 200

    1122 AA .

    b) [1 punto] Calcula en funcin de a, los determinantes de A2 y tA , siendo tA la traspuesta de A.

    c) [0,5 puntos] Existe algn valor de a para el que la matriz A sea simtrica? Razona la respuesta.

    Ejercicio 4. Considera el plano de ecuacin 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuacin

    a) [1 punto] Halla la posicin relativa de r y segn los valores del parmetro m

    b) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano

    c) [0,75 puntos] Para m = 3, halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano

    m

    zy

    x 6

    2

    5

  • ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    OPCIN B

    Ejercicio 1. Sea f la funcin definida por x

    xxf

    3)(

    4

    , para x 0.

    a) [0,75 puntos] Halla, si existen, los puntos de corte de los ejes y las asntotas de la grfica de f

    b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f

    c) [0,5 puntos] Esboza la grfica de f

    Ejercicio 2. [2,5 puntos] El rea del recinto limitado por las curvas de ecuaciones a

    xy

    2

    e axy , con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.

    Ejercicio 3. [2,5 puntos] Resuelve

    2

    0

    5

    3

    2

    2

    111

    211

    502

    z

    y

    x

    Ejercicio 4. Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones 012

    03

    zx

    zyx

    a) [1 punto] Halla la ecuacin del plano que contiene al punto P y a la recta r

    b) [1,5 puntos] Determina las coordenadas de l punto Q simtrico de P respecto de

    la recta r

  • ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    SOLUCIN

    OPCIN A

    EJERCICIO 1

    La pendiente de la tangente es mxima en las soluciones de 0y (que son los puntos de

    inflexin) y que, adems, verifican que 0y .

    Haciendo las derivadas se tiene:

    2xxey

    222

    )21()2( 2 xxx exexxey

    222

    )46()2)(21()4( 32 xxx exxexxexy

    222

    )8246()2)(46()126( 4232 xxx exxexxxexy

    0)46(23 xexxy )23(246

    23 xxxx x = 0; 2

    3x

    6)0(y ; 0)18366()2/3(2/3ey

    El punto buscado es (0, 0).

    EJERCICIO 2

    a) Si 21 xt xdxdt 2

    Adems, de 21 xt 12 tx . Por tanto:

    para x = 2 se tendr: 122 t t = 5

    para x = 0 se tendr: 10 t t = 1

    Sustituyendo:

    2

    0 2

    3

    1dx

    x

    xI =

    2

    0 2

    2

    1dx

    x

    xx =

    5

    1

    2

    1)1(

    t

    dtt

    = 5

    1

    1

    2

    1dt

    t

    t

    b) Operando:

    2/1

    1

    2/3

    1

    2/1

    5

    2/3

    5

    2

    1

    2/12/32

    1)(

    2

    1 2/12/32/12/35

    1

    2/12/35

    1

    2/12/1 ttdttt =

    = 3

    2522

    3

    252

    3

    510

    2

    1

  • ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    EJERCICIO 3

    a) 200

    1122 AA

    200

    112)( IAA

    200

    112

    10

    11

    0

    1

    a

    a

    a

    a

    200

    112

    0

    12

    2

    aa

    aa

    20

    122

    2

    aa

    aa

    5;4

    3;4

    aa

    aa

    La nica solucin comn es a = 4.

    b) 24

    20

    222 a

    a

    aA 2

    1

    0a

    a

    aAt

    c) Es evidente que no, pues a

    a

    a

    aA

    1

    0

    0

    1 para cualquier valor de a

    EJERCICIO 4

    a) Estudiamos el ngulo de los vectores v

    = (2, 1, 1), normal al plano y el de

    direccin de la recta, rv

    = ( 2, 1, m)

    Su producto escalar es: v

    rv

    = (2, 1, 1) ( 2, 1, m) = 3 m

    Cuando este producto escalar es distinto de 0, el plano y la recta se cortan en un punto.

    Si el producto escalar es 0, el plano y la recta son paralelos; o el plano contiene a la

    recta.

    Por tanto:

    Si m 3, v

    rv

    0 la recta corta al plano en un punto.

    Si m = 3, v

    rv

    = 0 la recta es paralela al plano o est contenida en l.

    Como el punto P (5, 0, 6) de la recta no pertenece al plano, se concluye que la recta es

    paralela al plano.

    b) Para m = 3 el plano pedido viene determinado por los vectores v

    = (2, 1, 1) y rv

    =

    ( 2, 1, 3). Su ecuacin es:

    htz

    hty

    htx

    36

    225

    0

    136

    11

    225

    z

    y

    x

    x 4y 2z + 7 = 0

  • ANDALUCA / JUNIO 06 LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    c) El vector caracterstico de este plano es el mismo que el de ; como adems debe contener al punto P(5, 0, 6) su ecuacin ser:

    0)6()5(2 zyx 2x + y z 4 = 0

  • ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Opcin A

    A.1. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumple las siguientescondiciones:1) Coincide con su traspuesta.2) Verifica la ecuacin matricial

    =

    33

    33

    10

    11

    11

    11A

    3) Su determinante vale 9.[2,5 puntos]

    A.2. Dada la recta de ecuaciones paramtricas

    =

    +=

    +=

    1

    1

    21

    :

    zyx

    r

    y los puntos P = (1, 1, 2) y Q = (1, 1, 2), se pide:1) Encontrar la posicin relativa de r y la recta determinada por P y Q [1,5 puntos].2) Hallar el punto o los puntos R de r para los que el tringulo PQR es issceles de

    lados iguales PR y QR. [1 punto]

    A.3. Hallar los valores de las constantes, a, b y c para que las grficas de lasfunciones

    baxxxf ++= 2)( y cxxg += 3)(

    pasen por el punto (1, 2) y en este punto tengan la misma tangente. [2,5 puntos]

    A.4. Un tringulo issceles tiene 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm dealtura. Se inscribe en este tringulo un rectngulo uno de cuyos lados se apoya en labase del tringulo. Hallar las dimensiones del rectngulo as construido y que tengala mayor rea posible [2,5 puntos]

  • ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Solucin

    A.1

    Por 1) la matriz A debe ser simtrica:

    =

    dbba

    A

    Por 2):

    =

    33

    33

    10

    11

    11

    11

    dbba

    =

    ++

    33

    33

    dabadaba

    =+

    =+

    3

    3

    daba

    Por 3): 92 == badA

    Sustituyendo d y b en esta ltima ecuacin se tiene: a = 2; b = 1; d = 5.

    La matriz buscada es

    =

    51

    12A

    A.2

    Ecuaciones de la recta PQ:

    =

    =

    =

    2

    21

    1

    :

    zty

    xs , con PQ = vs = (0, 2, 0).

    1) Estudiando la dependencia lineal de los vectores vr, vs y AP, siendo A r y P s, sedetermina la posicin relativa de ambas recta: si esos vectores son l.i, las rectas se cruzan; sison l.d., estn en el mismo plano.

    Como vr = (2, 1, 0), vs = (0, 2, 0); tomando A = (1, 1, 1) y P = (1, 1, 2) se tiene queAP = (2, 2, 1).

    Con esto:

    4

    122

    020

    012

    =

  • ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Luego, los vectores vr , vs y AP son linealmente independientes. En consecuencia, lasrectas r y s se cruzan.

    2) Sea R un punto genrico de r : R = (1 + 2, 2 + , 1). Entonces:

    PR = (2 + 2, 2 + , 1) y QR = (2 + 2, , 1)

    Como deben tener el mismo mdulo:

    222222 )1()22()1()2()22( +++=++++ = 1

    El punto pedido es R = (1, 0, 1).

    A.3

    Debe cumplirse:

    baf ++== 12)1( cg +== 12)1( c = 1

    axxf += 2)( 23)( xxg = 3)1( =g

    Como )1()1( gf = , entonces:

    2 1 + a = 3 a = 1 b = 0.

    Las funciones son:

    xxxf += 2)( y 1)( 3 += xxg

    A.4

    El rea del rectngulo es base por altura: A = b a (Ver figura)

  • ZARAGOZA / JUNIO 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Por Tales se tiene que:205

    =ax

    a = 4x

    Luego

    A = b a = (10 2x) 4x = 40x 8x2

    Para que A sea mxima: A= 0, A < 0.

    A= 40 16 x = 0 x = 2,5

    A= 16 < 0.

    Las dimensiones del rectngulo deben ser: base = 5 cm; altura = 10 cm.

  • ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    Opcin A

    A.1. Dada la matriz

    =

    201

    00

    100

    aA , se pide:

    i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la identidad A2 + 2A + I = O,siendo I la matriz identidad de orden 3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos]

    ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto]

    A.2. Hallar la ecuacin de la circunferencia C que pasa por los puntos (0, 2) y (0, 2)y es tangente a la recta r: y = 3x + 2 [1,5 puntos]. En el haz de rectas paralelas a rhay otra tangente a C, hallar su ecuacin [1 punto]

    A.3. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el permetro de unacara lateral es de 30 cm, hallar las dimensiones (lado de la base y altura) del quetiene volumen mximo [2,5 puntos]

    A.4. Tenemos la funcin f definida para todo nmero real no negativo y dada por

    >

    = 1 si

    110 si1

    )(2

    xx

    xxf

    Se pide su representacin grfica [0,5 puntos], hallar 3

    0)( dxxf [1,5 puntos] e

    interpretar geomtricamente el resultado [0,5 puntos]

    Solucin.

    A.1

    i)

    =

    =

    302

    00

    201

    201

    00

    100

    201

    00

    10022 aaaA

    A2 + 2A + I = O

    =

    ++

    000

    000

    000

    000

    0120

    0002 aa 0122 =++ aa a = 1

  • ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    ii) Si a = 1,

    =

    201

    010

    100

    A ; Adj(A) =

    001

    010

    102

    ; 1=A

    Luego,

    =

    001

    010

    1021A

    A.2

    Observamos que la tangente pasa por el punto (0, 2). Luego ese es el punto de tangencia.

    El centro de la circunferencia pedida est en el punto de corte de la mediatriz de la cuerdadeterminada por P = (0, 2) y Q = (0, 2), que es la el eje OX, y la recta perpendicular a latangente en el punto de tangencia.

    Cuerda: y = 0

    Perpendicular a la tangente en (=, 2): xy31

    2

    =

    Corte: O = (6, 0). Aqu est el centro.

    Radio = d(P, O) = 40

    Ecuacin de la circunferencia: 40)6( 22 =+ yx

    El punto de tangencia de la otra tangente debe ser diametralmente opuesto a P, en P= (x, y).

    Como el centro O es el punto medio del segmento PP, se tendr:

    (6, 0) =

    ++

    22

    ,2

    0 yx P = (12, 2)

    Y la recta pedida ser:

    y + 2 = 3 (x 12)

  • ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 00. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

    www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM

    A.3

    Si x es el lado de la base e y la altura, se trata de hacer mximo el volumen

    V = x2y

    con la condicin de que el permetro de una cara lateral valga 30 cm:

    2x + 2y = 30 y = 15 x.

    Luego, V = x2(15 x) V = 15x2 x3

    Para mximo: V = 0; V < 0

    V = 30x 3x2 = 0 x = 0 o x = 10

    V = 30 6x V(0) = 30; V(10) = 30.

    El mximo de V se da para x = 10 e y = 5.

    A.4

    La grfica de f se da en la figura adjunta.

    3

    0)( dxxf = +

    3

    12

    1

    0

    1 dxx

    dx = 3

    1

    10

    1

    +

    xx =

    35

    El nmero 35

    designa el rea de la regin rayada en la figura.

  • Ejercicios resueltos de selectividad

    Matemticas II

    Universidad de Extremadura

    2000-2006

    Vicente Gonzlez Valle

    I.E.S. Zurbarn (Badajoz)Abril 2007

  • ii

  • Prlogo

    Este libro se ha hecho para uso y disfrute de los alumnos de segundo de bachillerato de la

    opcin cientco-tecnolgica. Se trata de la segunda versin, por lo que espero tengis la bondad

    de perdonar los errores que he cometido al hacerlo. Tambin agradezco de corazn la colaboracin

    de algunos compaeros y compaeras que tuvieron conocimiento de la primera versin gracias a la

    Sociedad Extremea de Educacin Matemtica Ventura Reyes Prsper, la cual no slo comunic

    la primera edicin, sino que adems me permiti obtener los enunciados de todos los aos y as

    ayudarme a clasicarlos.

    Si quieres hacer algn comentario, comunicar algn error o decir algo que se te ocurra, puedes

    ponerte en contacto conmigo en [email protected].

    Este libro se ir actualizando con los exmenes que cada ao vaya poniendo la universidad,

    pudiendo obtenerse la versin actualizada en la pgina:

    http://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.html.

    Este trabajo se ha hecho utilizando LATEXy su frontend para linux Kile. Para los grcos se ha

    usado el software de Geogebra. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y los

    han compartido gratuitamente con los dems.

    He hecho una clasicacin de los ejercicios por temas, esperando que la clasicacin realizada

    sea del agrado de todos.

    Se trata de un trabajo que ofrezco a la comunidad educativa, pero es conveniente saber que se

    emite bajo una licencia Creative Commons en la que tienes que tener presente que:

    Tu eres libre de:

    copiar, distribuir, comunicar y ejecutar pblicamente la obra.

    hacer obras derivadas.

    Bajo la siguientes condiciones:

    Atribucin Debes reconocer y citar la obra de la forma especicada por el autor o el licenciante.

    No Comercial No puedes utilizar esta obra para nes comerciales.

    Licenciar Igual Si alteras o transformas esta obra, o generas una obra derivada, slo puedes

    distribuir la obra generada bajo una licencia idntica a sta.

    Al reutilizar o distribuir la obra, tienes que dejar bien claro los trminos de la licencia de esta

    obra.

    Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los

    derechos de autor.

    iii

    mailto:[email protected]://www.telefonica.net/web2/vicentegonza/examenes.html
  • iv

  • v

    A mi mujer Ma Teresa,

    y a mis hijos Ana Ma, Isabel y Vicente.

    A los tios Manolo, Chencho, Pepi, Gonzalo y Modesto,

    y, como no, al abuelo Paco,

    los ltimos que nos dejaron siendo testigos del amor.

    Gracias a todos.

  • vi

  • ndice general

    1. Anlisis 1

    1.1. Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.2. Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.3. Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.4. Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.5. Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2. Derivada y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1. Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.2. Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.3. Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.4. Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.5. Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.6. Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.7. Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.8. Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.9. Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.10. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.11. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2.12. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.13. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.14. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2.15. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2.16. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.17. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.2.18. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.2.19. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.2.20. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.21. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.22. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.2.23. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.2.24. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.2.25. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3. Integral. Clculo de reas y volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.3.1. Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.3.2. Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.3.3. Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.3.4. Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    vii

  • viii NDICE GENERAL

    1.3.5. Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.3.6. Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.3.7. Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1.3.8. Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.3.9. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.3.10. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.3.11. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.3.12. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.3.13. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.3.14. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.3.15. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.3.16. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.3.17. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.3.18. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.3.19. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.3.20. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    1.3.21. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    1.3.22. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1.3.23. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.3.24. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.3.25. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.3.26. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.3.27. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    1.3.28. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2. lgebra 39

    2.1. Matrices y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.2. Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.1.3. Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.1.4. Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.1.5. Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.1.6. Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.1.7. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.1.8. Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.1.9. Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.1.10. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.1.11. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.1.12. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.2. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.2.1. Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.2.2. Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.2.3. Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.2.4. Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.2.5. Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.2.6. Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.2.7. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.2.8. Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.2.9. Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  • NDICE GENERAL ix

    2.2.10. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.2.11. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.2.12. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.2.13. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.2.14. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.2.15. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3. Geometra 57

    3.1. Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.1.1. Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.1.2. Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.1.3. Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.1.4. Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.1.5. Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.1.6. Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.1.7. Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.1.8. Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.1.9. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3.1.10. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.1.11. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3.1.12. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.1.13. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.1.14. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.1.15. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.1.16. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.1.17. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.2. Problemas mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2.1. Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2.2. Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2.3. Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2.4. Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.2.5. Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3.2.6. Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3.2.7. Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.2.8. Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.2.9. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.2.10. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  • x NDICE GENERAL

  • Captulo 1

    Anlisis

    1.1. Funciones y continuidad

    1.1.1. Representar grcamente la funcin

    f(x) = 2x3 x2

    2 x + 5

    27

    Cuntas races reales positivas tiene este polinomio?

    (Septiembre 00)

    - Solucin:

    Para poder representarla vamos a estudiar su derivada. Tenemos que

    f (x) = 6x2 x 1

    Igualando a cero resulta:

    6x2 x 1 = 0 = x = 1

    1 + 2412

    =1 512

    =

    612

    =12

    412

    = 13

    Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer as donde crece y donde

    decrece y sus mximos y mnimos. (,1

    3

    ) (1

    3,12

    ) (12,+

    )6x2 x 1 + +

    En consecuencia:

    - Crece (,1

    3

    )(

    12,+

    )- Decrece

    (1

    3,12

    )- Mximo

    (1

    3,

    718

    )- Mnimo

    (12, 41

    216

    )1

  • 2 1. Anlisis

    Tambin es obvio que lmx

    f(x) = y que lmx+

    f(x) = +Podemos hacer una tabla de valores para anar la representacin, pero aqu no la pondremos.

    La grca resultante podemos verla en la gura 1.1

    Figura 1.1: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x3 x2

    2 x + 5

    27

    Para ver la ltima parte del ejercicio usaremos el Teorema de Bolzano. Sabemos que como mucho

    tendr tres raices reales (pues es un polinomio de grado 3) y por los datos recabados con anterioridad

    y mirando la grca las raices estarn en los intervalos

    (,1

    3

    ),

    (1

    3,12

    )y

    (12,+

    ). Es

    evidente que hay una positiva garantizada (la contenida en el ltimo intervalo) y otra negativa

    (en el primero). Veamos que ocurre con la otra. Nos basaremos en el teorema de Bolzano para ir

    tanteando y comprobando donde est.

    Tenemos que f(0) =527

    > 0 y f(

    12

    )= 41

    216< 0. Por tanto la tercera raiz se encuentra en el

    intervalo

    (0,

    12

    )y es positiva.

    1.1.2. Representa la grca del polinomio

    f(x) = 2x3 + 3x2 02

    Cuntas races reales negativas tiene este polinomio? y cuntas positivas?

    (Junio 01)

    - Solucin:

    Vamos a hacer un breve estudio del polinomio para su representacin:

    - Domf = R Como en todos los polinomios.

    - Simetra No tiene.

    - Continuidad Continua en todo R.

    - Asntotas No tiene, como le ocurre a todos los polinomios.

    - Corte con los ejes:

    Eje X: Al ser un polinomio de grado 3 puede cortar al Eje X en un mximo de trespuntos. Vamos a orientarnos donde estarn usando el teorema de Bolzano.

    f(2) = 16 + 12 02 < 0

    f(1) = 2 + 3 02 > 0

  • 1.1. Funciones y continuidad 3

    f(0) = 02 < 0 f(1) = 2 + 3 02 > 0

    Por tanto corta en un punto entre (2,1), en otro entre (1, 0) y en otro entre (0, 1).

    Eje Y: (0,02)

    - Vamos a estudiar la derivada:

    f (x) = 6x2 + 6x

    Esta derivada se anula en x = 0 y en x = 1. Por tanto:

    (,1) (1, 0) (0,+)6x2 + 6x + +

    De aqu deducimos que:

    Crece (,1) (0,+)

    Decrece (1, 0)

    Mximo (1, 08)

    Mnimo (0,02)

    Su representacin grca podemos verla en la gura 1.2

    Figura 1.2: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x3 + 3x2 02

    La respuesta a las preguntas nales ya la hemos hecho cuando realizamos el estudio del corte

    con el Eje X, es decir, hay dos raices negativas y una positiva.

    1.1.3. Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una dci-ma, una raz positiva del polinomio x3 + x 1

    (Septiembre 01)

    - Solucin:

    La parte de teora podemos encontrarla en cualquier libro.

    Para buscar la raiz positiva que nos piden vamos a tantear utilizando el teorema de Bolzano.

    Nuestra funcin es f(x) = x3 +x 1 y es fcil observar que la funcin es continua en todo R, y portanto, lo es en cualquier intervalo que cojamos. Tambin se cumple que:

    f(0) = 1 y f(1) = 1

    Vamos a comenzar a tantear para acorralar la raiz.

  • 4 1. Anlisis

    f(05) = 0375 < 0 = La raiz est en el intervalo (05, 1).

    f(07) = 0043 > 0 = La raiz est en el intervalo (05, 07).

    f(06) = 0184 < 0 = La raiz est en el intervalo (06, 07).

    La raiz, con un error menor que 01 est contenida en el intervalo (06, 07). Valdra cualquiera,pero parece que por el valor que toma la funcin en l podamos tomar 07.

    1.1.4. Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4 4x2 1 tienealguna raiz real negativa.

    (Junio 03)

    - Solucin:

    El teorema podemos encontrarlo en cualquier libro.

    Vamos a aplicar el mismo para comprobar que la funcin tiene, al menos, una raiz negativa.

    Este hecho es evidente, pues basta con comprobar que la funcin toma valores de distinto signo

    en 5 y 0.

    - f(5) = 625 100 1 > 0.

    - f(0) = 1 < 0.

    Luego, segn el teorema de Bolzano, como f es continua en [5, 0] y toma valores de signocontrario en 5 y 0, entonces existe un c (5, 0) en el que f(c) = 0.

    1.1.5. Enunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuacin x = cosxtiene solucin positiva.

    (Septiembre 04)

    - Solucin:

    El teorema de Bolzano puede encontrarse en cualquier libro.

    Pasamos a la segunda parte.

    Consideramos la funcin f(x) = cosx x. Evidentemente su dominio es todo R y es tambincontinua en todo su dominio. Adems:

    f(0) = 1 0 = 1 > 0

    f(1) = cos1 1 = 0999847 1 < 0

    Por tanto, esta funcin cumple las hiptesis del teorema de Bolzano, y segn el mismo, tiene

    que tener una raiz en el intervalo (0, 1), y por tanto positiva.Si no queremos apurar tanto podemos tomar x = 2, 3, en lugar de x = 1, pues como el coseno

    est comprendido entre 1 y 1, al restarle la x elegida dar negativo.

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 5

    1.2. Derivada y sus aplicaciones

    1.2.1. Determinar el dominio de denicin de la funcin f(x) = x ln(x2 1

    )y re-

    presentar su grca, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos

    (mximos y mnimos relativos).

    (Junio 00)

    - Solucin:

    La funcin no existir en los puntos en los que x2 1 0. Vamos a ver donde ocurre. Para ellovamos a hacer una tabla con los puntos de corte.

    x2 1 = 0 = x = 1

    La tabla queda:(,1) (1, 1) (1,+)

    x2 1 + +

    Luego el dominio de la funcin es Domf = (,1)

    (1,+).Vamos a estudiar su derivada:

    f (x) = 1 2xx2 1

    =x2 1 2x

    x2 1=

    x2 2x 1x2 1

    Vamos a estudiar su signo. Para ello vamos a igualar la derivada a cero y tendremos en cuenta

    el dominio antes calculado y construiremos una tabla.

    x2 2x 1x2 1

    = 0 = x = 2

    4 + 42

    =2

    8

    2= 1

    2

    La tabla quedara:

    (,1) (1, 1)(1, 1 +

    2) (

    1 +

    2,+)

    x2 2x 1x2 1

    + No existe +

    Figura 1.3: Representacin grca de la funcin f(x) = x ln(x2 1

    )Luego la funcin:

    - Crece (,1)(

    1 +

    2,+)

    - Decrece (1, 1 +

    2)

  • 6 1. Anlisis

    Hay un mnimo en(1 +

    2, 0.84

    ). Para aproximar ms es bueno hacer una tabla de valores, que

    aqu no haremos. Tambin es evidente que en x = 1 y en x = 1 hay asntotas verticales, pues lastiene el logaritmo.

    - x = 1 lmx1+

    f(x) = + (Por la izquierda no existe).

    - x = 1 lmx1

    f(x) = + (Por la derecha no existe).

    La representacin grca podemos verla en la gura 1.3.

    1.2.2. Denir el concepto de derivada de una funcin f(x) en un punto x = a, yexplicar su relacin con los mximos relativos de la funcin.

    (Junio 00)

    - Solucin:

    La solucin de este ejercicio puede verse en cualquier libro.

    1.2.3. Calcular la derivada en el punto x = 1 de la funcin f(x) = x1/2lnx.

    (Septiembre 00)

    - Solucin:

    Vamos a calcular la derivada y despus sustituiremos x = 1 en la funcin obtenida.

    f (x) = 12x3/2lnx + x1/2

    1x

    Sustituyendo obtenemos:

    f (1) = 12 13/2ln1 + 11/2 1 = 1

    1.2.4. Dadas las funciones f(x) = x2 + y g(x) = senx + cosx, calcula la derivada enx = 0 de las funciones f(g(x)) y g(f(x)).

    (Junio 01)

    - Solucin:

    Tenemos dos formas de resolver este ejercicio. La primera consiste en calcular las composiciones

    requeridas y posteriormente derivar, y la segunda en derivar aplicando la regla de la cadena. Veamos

    la primera en ambas funciones:

    f(g(x)) = (senx + cosx)2 + = sen2x + cos2x 1

    +2senxcosx + = sen2x + + 1

    Si derivamos esta expresin tendremos:

    [(fog)] (x) = [f(g(x))] = 2cos2x

    Sustituyendo en x = 0 resulta:[(fog)] (0) = 2

    Por otro lado, la otra composicin nos dara:

    g(f(x)) = sen(x2 + ) + cos(x2 + )

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 7

    Derivando obtenemos:

    [(gof)] (x) = 2xcos(x2 + ) 2xsen(x2 + )

    Subtituyendo en x = 0 el resultado obtenido es:

    [(gof)] (0) = 0

    Veamos ahora el otro mtodo para la resolucin del ejercicio. Lo haremos a modo de ejemplo

    slo en el primer caso. Segn la regla de la cadena

    [(fog)] (x) = f (g(x)) g(x) = 2(senx + cosx)(cosx senx)

    Si sustituimos en x = 0 nos quedara:

    (fog)] (0) = 2(sen0 + cos0)(cos0 sen0) = 2

    Obtenemos, obviamente, el mismo resultado.

    1.2.5. Entre todos los rectngulos de rea dada cul es el de permetro mnimo?

    (Septiembre 01)

    - Solucin:

    Vamos a buscar una funcin a minimizar (que depender en un principio de dos variables) y

    una igualdad que ligue las variables. En nuestro caso son:

    P (x, y) = 2x + 2yA = x y

    ]= P (x) = 2x + 2A

    x=

    2x2 + 2Ax

    = y = Ax

    (1)

    Vamos a derivar la funcin obtenida:

    P (x) =4x x (2x2 + 2A)

    x2=

    4x2 2x2 2Ax2

    =2x2 2A

    x2

    Igualando la derivada a cero obtenemos:

    2x2 2Ax2

    = 0 = 2x2 2A = 0 = x2 = A = x =

    A

    De las dos obtenidas slo vale la positiva. Vamos a calcular la segunda derivada para ver que

    hay un mnimo.

    P (x) =4x x2 2x(2x2 2A)

    x4=

    4x3 4x3 + 4Axx4

    =4Axx4

    Sustituyendo el valor de x obtenido tenemos:

    P (

    A)

    =4A

    A

    A2> 0

    luego hay un mnimo. Sustituyendo x =

    A en (1) podemos calcular y.

    x =

    A = y = AA

    =

    A

  • 8 1. Anlisis

    Se trata por tanto de un cuadrado de lado

    A.

    1.2.6. Denir el concepto de derivada de una funcin f(x) en un punto x = a yexplicar su relacin con el crecimiento de la funcin.

    (Junio 02)

    - Solucin:

    La respuesta puede encontrarse en cualquier libro.

    1.2.7. Representar la grca de la funcin f(x) = 2x + (2x)1, determinando los in-tervalos donde es creciente.

    (Junio 02)

    - Solucin:

    Nuestra funcin podemos ponerla f(x) = 2x + (2x)1 = 2x +12x

    =4x2 + 1

    2x.

    Vamos a buscar algunos datos para poder representarla.

    Es evidente que el dominio de la funcin es Domf = R {0}. Tambin es obvio que tiene unaasntota vertical en x = 0, que no corta al eje X, ni al eje Y .

    Vamos a estudiar la derivada.

    f (x) =8x 2x 2 (4x2 + 1)

    4x2=

    16x2 8x2 24x2

    =8x2 2

    4x2

    Igualando a cero tenemos:

    8x2 24x2

    = 0 = 8x2 2 = 0 = x2 = 14

    = x = 12

    Vamos a estudiar el signo de la derivada para especicar donde crece y donde decrece, as como

    los mximos y mnimos, si los tiene.

    (,1/2) (1/2, 0) (0, 1/2) (1/2,+)8x2 2

    4x2+ +

    Para anar la representacin puede hacerse una pequea tabla de valores, viendo la representa-

    cin en la gura 1.4.

    Figura 1.4: Representacin grca de la funcin f(x) = 2x + (2x)1

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 9

    En cuanto al crecimiento y decrecimiento, as como del estudio de la derivada, concluimos:

    - Crece (,1/2) (1/2,+).

    - Decrece (1/2, 0) (0, 1/2).

    - Mximo (1/2,2).

    - Mnimo (1/2, 2).

    1.2.8. Representar la grca de la funcin f(x) = x3+x3, determinando sus extremos(mximos y mnimos relativos).

    (Septiembre 02)

    - Solucin:

    Nuestra funcin escrita en forma de fraccin es:

    f(x) = x3 + x3 = x3 +1x3

    =x6 + 1

    x3

    Es evidente que su dominio es Domf = R {0}. Adems la funcin es impar, pues:

    f(x) = (x)6 + 1

    (x)3=

    x6 + 1x3

    = x6 + 1x3

    = f(x)

    Vamos a ver los puntos de corte con los ejes:

    - Eje X Hacemos y = 0.

    x6 + 1x3

    = 0 = x6 + 1 = 0 = No corta.

    - Eje Y Hacemos x = 0. En este caso no corta, pues x = 0 no pertenece al dominio.

    Vamos a calcular la primera derivada para hallar los mximos y los mnimos.

    y =6x5.x3 3x2

    (x6 + 1

    )x6

    =6x8 3x8 3x2

    x6=

    3x8 3x2

    x6

    Si igualamos a cero resulta

    3x8 3x2

    x6= 0 = 3x8 3x2 = 0 = 3x2

    (x6 1

    )= 0 =

    =

    {x = 0 = No pertenece al dominio.x6 1 = 0 = x6 = 1 = x = 1

    Vamos a estudiar el signo de la derivada y as podemos decidir los mximos y mnimos.

    (,1) (1, 0) (0, 1) (1,)3x8 3x2

    x6+ +

    De aqu deducimos que la funcin tiene:

    - Un mximo en el punto (1,2).

    - Un mnimo en el punto (1, 2).

  • 10 1. Anlisis

    Es fcil observar que la funcin tiene una asntota vertical en la recta x = 0 y que no tieneasntotas ni horizontales, ni oblicuas.

    Puede hacerse una tabla de valores para anar ms la representacin grca, pero no la haremos

    aqu. La representacin grca pedida podemos verla en la gura 1.5.

    Figura 1.5: Representacin grca de la funcin f(x) = x3 + x3

    1.2.9. Enuncia la regla de L'Hpital y calcula el lmite

    lmx1

    1 cos(2x)(x 1)2

    (Septiembre 02)

    - Solucin:

    La parte terica de la pregunta puede verse en cualquier libro. Vamos a resolver el lmite.

    lmx1

    1 cos(2x)(x 1)2

    =[00

    ]= lm

    x12sen(2x)

    2(x 1)=[00

    ]= lm

    x1

    22cos(2x)1

    = 22

    1.2.10. Representar grcamente la funcin f(x) = ex ex, determinando sus extre-mos relativos (mximos y mnimos relativos). Existe algn valor de x en

    que f(x) sea negativo?

    (Junio 03)

    - Solucin:

    Vamos a empezar, como siempre, por ver su dominio.

    - Es evidente que el Domf = R.

    - Veamos ahora los cortes con los ejes:

    Eje X. Hacemos y = 0.ex ex = 0 = ex = ex = x = 1

    Eje Y. Hacemos x = 0.f(0) = 1

    - Vamos a realizar la derivada, la igualaremos a cero y la estudiaremos la misma.

    f (x) = ex e = 0 = ex = e = x = 1

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 11

    (, 1) (1,)ex e +

    Tambin se puede observar de forma sencilla que no va a tener asntotas.

    Para anar la representacin vamos a hacer una tabla de valores:

    x 1 0 1 2 3y 3.09 1 0 1.95 11.93

    La representacin grca podemos verla en la gura 1.6.

    Figura 1.6: Representacin grca de la funcin f(x) = ex ex

    En cuanto al interrogante que nos hacen la respuesta es evidente viendo la grca, pero tambin

    puede razonarse si tenemos en cuenta que tiene un mnimo en el punto (1, 0). La respuesta obviaes no.

    1.2.11. Determinar una recta tangente a la parbola y = 2 x2 que sea paralela a larecta de ecuacin 2x + y = 4.

    (Junio 03)

    - Solucin:

    Como es paralela a la recta 2x + y = 4 la ecuacin de la recta que buscamos tiene que ser de laforma 2x + y = k y de aqu deducimos que su pendiente tiene que ser m = 2.

    Vamos a ver donde tiene la funcin y = 2 x2 una recta tangente con pendiente m = 2.

    mtg = f (x) = 2x = 2 = x = 1

    Luego el punto en el que se produce la tangente es f(1) = 2 1 = 1 = (1, 1).

    Por tanto, para calcular k basta con sustituir el punto en la ecuacin de la recta 2x + y = k.

    2x + y = k en (1, 1) = 2 + 1 = k = k = 3.

    Luego la recta buscada es

    2x + y = 3

  • 12 1. Anlisis

    1.2.12. Con un alambre de dos metros se desea formar un cuadrado y un crculo.Determinar el lado del cuadrado y el radio del crculo para que la suma de

    sus reas sea mnima.

    (Septiembre 03)

    - Solucin:

    Para plantear el problema buscamos una funcin a minimizar (que estar en funcin de dos

    variables) y una ecuacun que ligue las variables. Estas ecuaciones son:

    A(l, r) = l2 + r2 = Ecuacin a minimizar.4l + 2r = 2 = 2l + r = 1 = Ecuacin que liga las variables.

    Vamos a despejar l en la ltima ecuacin, resultando:

    l =1 r

    2(1.1)

    Sustituyendo en la primera tenemos:

    A(r) =(

    1 r2

    )2+ r2 =

    1 + 2r2 2r4

    + r2 =1 + 2r2 2r + 4r2

    4=

    =(2 + 4)r2 2r + 1

    4

    Derivando la expresin obtenemos:

    A(r) =1

    42

    [2(2 + 4)r 2

    ]=

    (2 + 4)r 2

    Igualando a cero resulta:

    (2 + 4)r 2

    = 0 = (2 + 4)r = 0 = (2 + 4)r = =

    = ( + 4)r = 1 = r = 1 + 4

    u.

    Si hacemos la segunda derivada resulta:

    A(r) =2 + 4

    2> 0 para cualquier valor de r.

    En consecuencia para el valor de r que nosotros hemos calculado la funcin tiene un mnimo.

    Vamos a calcular l sustituyendo en la igualdad (1.1).

    l =1 1+4

    2=

    1 +42

    = + 42 + 8

    =4

    2 + 8=

    2 + 4

    u.

    1.2.13. Determinar en qu puntos es negativa la derivada de la funcin f(x) = exx2.

    (Septiembre 03)

    - Solucin:

    Nuestra funcin es f(x) =ex

    x2. Su derivada por tanto ser:

    f (x) =exx2 2xex

    x4=

    xex(x 2)x4

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 13

    Vamos a estudiar su signo. Calculamos para ello las raices del numerador y del denominador.

    - Raices del numerador:

    xex(x 2) = 0 =

    x = 0.ex = 0 = No tiene solucin.x 2 = 0 = x = 2.

    - Raices del denominador:

    x4 = 0 = x = 0.

    Con los valores obtenidos construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada.

    (, 0) (0, 2) (2,+)xex(x 2)

    x4+ +

    Por tanto es negativa en el intervalo (0, 2).

    1.2.14. Determinar el mayor rea que puede encerrar un tringulo rectngulo cuyolado mayor mida 1 metro.

    (Junio 04)

    - Solucin:

    La gura 1.7 nos muestra la idea.

    Figura 1.7: Visin grca del problema

    Nosotros iremos moviendo la hipotenusa (lado mayor) haciendo variar x e y.

    Necesitamos pues una funcin a maximizar (el rea) y otra que ligue las dos variables. Dichas

    ecuaciones son:

    A(x, y) =x.y

    2(Funcin a maximizar)

    x2 + y2 = 1 y =

    1 x2 (Ecuacin que liga las variables)

    Por tanto, si sustituimos la y en la primera funcin obtenemos:

    A(x) =x

    1 x22

    =12 x

    1 x2

    Vamos a derivar para ver los puntos que anulan dicha derivada. Entre estos valores se encuentran

  • 14 1. Anlisis

    los mximos y los mnimos.

    A(x) =12

    [1 x2 + x (2x)

    2

    1 x2

    ]=

    12

    [1 x2 x2

    1 x2

    ]=

    1 2x2

    2

    1 x2

    Igualando esta expresin a cero tenemos:

    1 2x2

    2

    1 x2= 0 = 2x2 + 1 = 0 = 2x2 = 1 = x2 = 1

    2= x =

    2

    2

    Para ver que tenemos en ese punto un mximo vamos a estudiar el signo de la derivada a ambos

    lados del nmero.

    Tenemos que A(0) =12

    > 0 y A(08) =02812

    < 0 y por tanto hay un mximo.

    En conclusin tenemos que:

    x =

    22

    y =

    1(12

    )2=

    1 1

    2=

    12

    =

    22

    .

    1.2.15. Si la grca de una funcin f(x) es:

    representar aproximadamente la grca de la derivada f (x).

    (Junio 04)

    - Solucin:

    Observando la grca tenemos que la funcin tiene las siguientes caractersticas:

    - Crece en (,1) (1,+) Luego ah f (x) > 0.

    - Decrece en (1, 1) Luego ah f (x) < 0.

    - Tiene un mximo en (1, 1) = f (1) = 0.

    - Tiene un mnimo en (1,1) = f (1) = 0.

    - Es convexa en (, 0) = f (x) < 0 = f es decreciente en (, 0).

    - Es cncava en (0,+) = f (x) > 0 = f es creciente en (0,+).

    - Hay un punto de inexin en x = 0 como conclusin de los puntos anteriores, por tanto tieneun mnimo en x = 0.

    Con todos estos datos tenemos que la grca podra ser la que vemos en la gura 1.8.

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 15

    Figura 1.8: Representacin aproximada de la funcin buscada

    1.2.16. Se desea construir un paraleleppedo rectangular de 9 litros de volumen ytal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes

    de sus lados para que el rea total de sus 6 caras sea mnima.

    (Septiembre 04)

    - Solucin:

    Queremos minimizar el rea total. Dicho rea es la suma de las reas de las seis caras. En el

    gura 1.9 podemos ver que este rea es:

    Figura 1.9: Visin grca del ejercicio

    A(x, h) = 2.(2x.h) + 2.(h.x) + 2.(2x.x) = 4xh + 2xh + 4x2 = 4x2 + 6xh

    Para ligar las variables tenemos el volumen que cumple

    V = Ab h = 2x.x.h = 2x2.h = 9 = h =9

    2x2

    Por tanto la funcin rea queda:

    A(x) = 4x2 +3

    6x9

    2x2= 4x2 +

    27x

    =4x3 + 27

    x

  • 16 1. Anlisis

    Si derivamos tendremos:

    A(x) =12x2.x (4x3 + 27)

    x2=

    12x3 4x3 27x2

    =8x3 27

    x2= 0

    Por tanto, la derivada se anula cuando 8x3 27 = 0. De aqu deducimos que:

    8x3 27 = 0 = 8x3 = 27 = x3 = 278

    = x = 3

    278

    =32

    dm.

    Si estudiamos el comportamiento de la derivada en puntos prximos al obtenido vemos que se

    trata de un mnimo.

    A(1) =191

    < 0 y A(2) =374

    > 0

    En conclusin tenemos que x =32

    = h = 9

    2.94

    =3618

    = 2 dm.

    Y estos eran los valores buscados.

    1.2.17. Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente esperpendicular a la recta y + 6x = 0.

    (Septiembre 04)

    - Solucin:

    La curva de la que hablamos tiene ecuacin y3 = 2x = y = 3

    2x = (2x)13 . Por otro lado

    tenemos que la recta es y + 6x = 0 = y = 6x = m = 6.De aqu deducimos que la perpendicular tiene por pendiente mtg =

    1m

    =16.

    Vamos a ver en que puntos tiene la curva pendiente16. Para ello derivamos la funcin y la

    igualamos a16.

    y =13(2x)2/3.2 =

    23 3

    4x2= mtg

    23 3

    4x2=

    16

    = 3 3

    4x2 = 12 = 3

    4x2 = 4 = 4x2 = 64 = x2 = 16 = x = 4

    Por tanto, los puntos buscados son P1(4, 2);P2(4,2).

    1.2.18. Hallar la derivada en x = 0 de la funcin f(f(x)), donde f(x) = (1 + x)1.

    (Junio 05)

    - Solucin:

    Tenemos que f(x) = (1 + x)1 =1

    1 + x= f (x) = 1

    (1 + x)2.

    Es obvio que f(0) = 1, que f (0) = 1 y que f (1) = 14.

    Aplicamos la regla de la cadena:

    [f(f(0))] = f (f(0)) .f (0) = f (1).(1) = 14

    .(1) = 14

    1.2.19. Representar grcamente la funcin f(x) = x2senx en el intervalo < x < ,determinando sus extremos (mximos y mnimos relativos).

    (Junio 05)

    - Solucin:

    Tenemos la funcin f(x) = x 2senx en el intervalo < x <

  • 1.2. Derivada y sus aplicaciones 17

    Es obvio que el dominio de esta funcin es todo R. Tambin es evidente que no hay asntotas.Vamos a estudiar la derivada:

    f (x) = 1 2cosx = 0 = 2cosx = 1 = cosx = 12

    = x = 3y x =

    3(,

    3

    ) (

    3,

    3

    ) (3

    , )

    1 2cosx + +

    De este estudio deducimos que hay un mximo en x = 3y un mnimo en x =

    3Para representarla tendramos que hacer una tabla de valores:

    x 0 2 2 3 3 /3 /3y 0 018 018 271 271 068 068

    Su representacin grca sera:

    1.2.20. Enunciar el Teorema del Valor Medio del Clculo Diferencial. Usarlo pa-ra demostrar que para cualesquiera nmeros reales x < y se verica que

    cosy cosx y x.

    (Septiembre 05)

    - Solucin:

    El enunciado del teorema puede encontrarse en cualquier libro.

    Vamos a considerar la funcin f(x) = cosx que es obviamente continua y derivable en todo R,y por lo tanto lo ser en cualquier intervalo [x, y]. En consecuencia:

    c (x, y) f (c) = cosy cosxy x

    Ahora bien, f (x) = senx = f (c) = senc = f (c) 1.De aqu deducimos lo que queramos:

    cosy cosxy x

    1 = cosy cosx y x

    1.2.21. Hallar la derivada en el punto x = 0 de la funcin f(f(x)), donde f(x) = senx.

    (Septiembre 05)

  • 18 1. Anlisis

    - Solucin:

    Vamos a realizar la derivada por la regla de la cadena:

    [(fof)] (0) = f (f(0)) f (0) = cos(sen(0)) cos0 = cos0 cos0 = 1 1 = 1

    1.2.22. Calculalmx0

    1 + x ex

    sen2x

    (Junio 06)

    - Solucin:

    Vamos a resolver el lmite por la regla de L'Hpital.

    lmx0

    1 + x ex

    sen2x=[00

    ]= lm

    x0

    1 ex

    2 senx cosx= lm

    x0

    1 ex

    sen2x=[00

    ]= lm

    x0

    ex

    2cos2x=12

    1.2.23. Dene el concepto de mximo relativo de una funcin f(x) y enuncia surelacin con las deriv