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s assuntos importantes da Matematica - de 5? a 8? serie - sao desenvolvidos nos \ivros da serie A descoberta da
Matematica, uma proposta inovadora de ensino, nascida de uma \onga experiencia em sala
de aula. Atraves de hist6rias \eves e
agradaveis, os conteudos matematicos vao sendo abordados de forma concreta, com explicaG6es \6gicas e claras, que respei~am o nivel do a\uno e procuram atender as necessidades do professor.
0 prazer da leitura, somado ao rigor dos conceitos vistos, taz de cada texto desta serie um va\ioso complemento ao \ivro didatico.
I ISBN 85 08 o289o 3}
Luzia Faraco Ramos '!
•·. 11~11 . . ~ ~ ~ -~ - - ~ - ~ -~--~-
Luzia Faraco Ramos Professora de Matematica e Assessora para
o en sino de Mate matico no pre-escola e no 1? grau
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Q) -f/l a:s<l> oO CDo ..... t<V .~ <> -m ..a·-0 coo
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TEXTO
editor: Fernando Paixao
assistente editorial: Carmen Lucia Campos
preparac;:ao de originais: Jose Roberto Miney:
suplemento de avaliac;:ao: · Luzia Faraco Ramos
ARTE
projeto grafico e edic;:ao de arte:
Pau lo Cesar Pere ira ilustrac;:oes infernos:
C laudson Rocha diagramac;:ao e
arte-final: Pau lo Cesar Pereira
manuscritos: PVM
A elaborac;:ao desta serie ter ia sido impossfvel sem um verdadeiro espfri to de equipe.
Alem da dedicac;:ao da Autora, Luzia Faraco Ramos, este p rojeto contou com o inestimavel traba lho
do escritor Luiz Ga ld ino. Tiveram ainda partic ipac;:ao importa nte nesse volume, atraves de leituras crfticas e
sugestoes, os segu intes professores de Matematica:
Marcia Anaf Milton Anton io Muniz
Rosano Aparecida Fioretto Marotti Vincenzo Bong iovann i
ISBN 85 08 028 90 3
1988
Todos os direitos reservados pela Editora Atica S.A. R. Barlio de lguape, 110- Tel.: PABX 278-9322
C. Postal 8656 - End. Telegnifico "Bomli~r6" - S. Paulo
~
7 1 Volta as aulas I 00
pesar de inuito cedo, o sol prometia urn dia de veriio. A margem da estrada, o casal de jovens divertia-se, a:tirando pedras nas aguas baixas do a<;:ude.
- Alice ... Voce ja reparou como o nivel do a<;:ude esta baixo?
A jovem nissei parou urn instante com as pedras, observou sem pressa, e comentou:
- Meu pai esta com medo que nao chova. E se. nao tiver como irrigar as planta<;:6es, vai perder tudo.
- Por falar em perder ... Se o Beto e a Tais demora-rem muito, acabarao perdendo a carona ...
- Ainda e cedo, Lino. N6s e que chegamos adiantados. 0 garoto ouviu a explica<;:ao e propos com ar matreiro: - Ganha urn doce 1 se adivinhar por que eles ainda nao
desceram ... Alice riu com tanta descontra<;:ao, que seus olhinhos
amendoados se fecharam. Antes, porem, que pudesse dizer algo, os dois irmaos apontaram entre as arvores que circundavam a bela casa da colina.
- La _vern eles _:_ apontou Alice. -Ate que enfim! A garota observou o olhar quase aflito de Lino e cen
surou em tom de brincadeira: - Sosseg,a, Lino! Logo a Tais estara aqui. Ele desviou o olhar por urn segundo apenas e tornou
ao caminho, por onde a Tais e o Beto se aproximavam. - Oi, Alice ... Oi, Lino ... Tudo em ordem?- cumpri
mentou Beto. - Tudo bern, Beto? E voce, Tais - respondeu Alice. Lino respondera com urn gesto de mao, os olhos pre
sos na garota que ficara para tras. Sem pressa nenhuma, Tais tratava de ajeitar o material escolar na mochila.
- E ai, Lino ... Parece que esta fora de sintonia .... -cobrou Beto.
- Ah, tudo bern. Acho que ainda nao acordei direito. E Alice juntou, num tom que deixava margem a dupla
interpreta<;:ao: - Ele esta sintonizado em outra faixa ... Alias, estava
muito preocupado com o atraso de voces. - Posso imaginar -:- piscou Beto, com cumplicidade
- Adivinhe quem foi a causa? - Nao corriece! - rebeloo.-se a irma, encaixando 'a mo-
chila no ombro. - Eu, hoje, nao estou muito pra papo, nao!
< J\ntevendo o mau humor da amiga, Lino tentou a di-
plo tnacia: - Nota dez pra voce, Tais ... - Nota dez por que? - indagou ela. Encabulado, ele se atrapalhou urn pouco, mas conse-
guiu dizer: -Ora ... Sei l<i ... Voce esta demais, hoje ... - Ah ... - reagiu ela com afetac;ao. - Obrigada. Beto ignorou o dialogo; levantou a vista para o ceu e
comentou: - Nota dez para a Tais e nota zero para esse sol ... - Essa nao! - discordou a irma. - 0 que e que voce
tern contra o sol, hein? -Bern .. . Ate que gosto de urn solzinho, mas esse tem
po esta exagerando. Se nao chover logo, os plantadores terao problemas ...
- E verdade . Meus pais estao preocupados - apoiou Alice.
- M·uito bern . .. Que tal a gente comec;ar uma danc;a da chuva? - ironizou Tais.
Antes que alguem acrescentasse a lgo, Beto desculpouse pela irma :
- Nao reparem. A Tais deve ter se levantado com o pe esquerdo.
- E o Samuel? Sera que ele deixou a gente na mao? - interrogou ela, sem dar ouvido ao que o irmao dizia.
- Nao e possfvel- interveio Lino. - N6s estamos aqui ha quase meia hora .
. Mal terminara de falar, quando Alice apontou para a estrada.
- Salvo engano, aquele e o superfusca do Samuel. - E ele mesmo- confirmou Beto. - Nao ha nada pa-
recido pelas redondezas. Assim que o veiculo parou, Samuel desceu, distribuin
do risos, beijos e abrac;os. - Tudo em cima? Prontos para a volta as aulas? - Tudo em cima, Samuel! Pelo jeito, andou pegando
.uma bela praia, hein? ... - comentou Tais. - Puxa, estava demais! Mas pelo que estou vendo, sol
e 0 que nao faltou por aqui. .. Lino chamou a atenc;ao do professor para o a<;ude: - Olha l<i, Samuel... 0 a<;ude, que tern cinqiienta me
tros de profundidade, esta com agua na marca dos dez. - E ... A situac;ao parece grave - concordou ele . -
E entao? Vamos?
T
·----- -8 Assim que ele abriu a porta do carro, Alice percebeu
varios cartoes coloridos e algumas pe<;as de encaixe dentro de uma sacola.
- 0 que e isso, Samuel? E para mandar bilhetinhos coloridos aos pais dos alunos?
- E eu sou de mandar bilhetinho, Alice? - brincou ele. -Esse material nos ajudara a fazer importantes descobertas.
- Descobertas? Ja estou morrendo de curiosidade! - Curiosidade nao mata; pelo contrario, ensina! -
acrescentou o professor, com ar divertido. - E vamos embora, ou chegaremos atrasados.
Co01 quantas &a~Oest____..,.---se faz 001 inteiro
inicio da aula foi urn tanto conturbado. Muitos queriam ouvir as aventuras de Samuel durante as ferias e, tambem, relatar as pr6prias. Mas, enfim, o professor conseguiu. 0 Fazendo algum suspense, Samuel retirou algumas pe<;as da sacola que Alice vira no carro e
comec;ou a encaixa-las umas nas outras, formando uma barra de quatro pe<;as, das quais tres eram .listadas .
- 0 que e que eu tenho nas maos? - perguntou, finalmente, diante da classe muito curiosa.
- Uma barra formada de quatro pe<;as - identificou 1 uliana. - E tres dessas pec;as sao listadas .
- 6timo - concordou Samuel, repetindo: - Temos uma barra composta de quatro pec;as, das quais tres sao listadas. E estas pe<;as, sao todas iguais?
- Sao - confirmou Guilherme. - Eu tenho urn jogo de montar igualzinho a esse .
- Muito bern .. . E Samuel se p6s a preparar uma nova barra, que mos
trou em seguida a classe, interrogando:
- E agora? Quantas partes eu tenho nesta barra e quantas sao listadas?
- Cinco partes, sendo duas listadas - respondeu Tais. - Muito bern. A partir desses dois exemplos, eu posso
considerar cada uma das barras coRlo algo inteiro? -Claro que pode! - afirmou Lino. - Sao como OS
chocolates que trouxe de lanche: uma barra maior e outra menor, no entanto, as duas estao inteiras.
- E a barra maior e para a Tais! - gritou alguem no ·t:undo da sala.
. Lino virou-se, ten tan do localizar o engra<;adinho, mas Samuel nao deu tempo para discuss6es.
- Excelente exemplo, Lino! Com isso, estamos pron-tos para iniciar nossos estudos sobre fra<;6es .
- Fra<;6es? - Que sao fra<;6es? - interrogou Marcelao. Tais virou-se criticando: - Poxa, Marcelao . .. E isso que Samuel vai explicar. 0 professor esperou pelo siH!ncio e prosseguiu: - Observando os exemplos que eu dei, voces devem ter
notado que os inteiros considerados sao diferentes, mas apresentam uma caracteristica co mum ...
. -.Nos dois exemplos ha partes listadas - observou Beto. - E isso, Samuel? , ·
- Exatamente! Vejamos, agora, como e possivel representa-las ...
Propos e escreveu na lousa:
tre~ tni 1uatro ~aD li1.taiiM
cllUAI\.. em cinco M£>h~~
-.,.. E o que is so tern a ver com a Matematica? - perguntou · J.uliana.
- E que existe - explicou Samuel - uma forma matematica para n!presentar essas partes consideradas do inteiro. No primeiro exemplo temos tres partes listadas em quatro, mas tambem podemos dizer que tres quartos sao lista-
r o I
dos, e, no segundo exemplo, as duas partes listadas em cinco podem ser representadas por dais quintos.
E foi substituindo pela nova forma: -
~D t~€4 qw.trto~ MO lL1tado1-
1~1111 doih- qu.itt~ ~do li~tado~
- Quer dizer, em linguagem matematica, frariio e essa forma de representar as partes consideradas de cada urn dos inteiros. Eta c escrita utilizando urn par de numeros: urn deles, o denominador, vai indicar em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o outro, o numerador, ira indicar a quantidade dessas partes a serem consideradas. E o denominador e o numcrador sao os termos de fra<;:ao .
1~[- 1 tr~ qwu-i~
OtL 3 -numerador 4- denominador
I- 11-1 ~ ~IA.iKt01t
OtA,
2 ---- numerador 5- cienomLttad.or
0 professor se preparava para dar seqi.H!ncia a aula, quando Guilherme interrompeu:
- Se n6s tivessemos apenas uma parte listada, no primeiro exemplo, como a representariamos?
Samuel foi ao quadro e colocou a proposta do aluno:
E imediatamente Alice concluiu: - Temos uma parte listada em quatro, ou sqa, 11111
quarto. - Muito bern - concordou Samuel, que rcgistrou:
• 1''11 ..__. ~ t lem,m,: l.(.m ~a.rto
Ft:ar;ao e todo par de . . . a
numeros natura1sb,
on de: - b, chamado deno
minador, indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido;
- a, chamado numerador, indica 0 numero de pdrtes consideradas desse inteiro.
Observa<;:iio importan-1te: Como niio existe divisiio por zero, niio existe frar;iio 'com denominador zero.
Assim que ele escreveli, Juliana perguntou: - E no outro exemplo ... Se tivessemos apenas uma par
te listada, como ficaria? Enquanto Samuel registrava na lousa a proposta de Ju
liana, Beto respondeu: - Se a barra' tern cinco partes e s6 uma e listada, te
mos urn quinto da barra listada. Nao e isso, Samuel? - Correto - afirmou ele e completou:
• 1 luI I I --..--'
~ e lemm: um. qt.A..U1-to
Lino, que apenas acompanhava, propos, em tom de conclusao:
- Quer dizer que podemos formar barras com qualquer numero de pe~as iguais e considerar as suas fra~c)es?
- Exatamente! A ideia de inteiro pode variar de forma, tamanho, quantidade de partes e assim por clianlc.
E desenhou para·exemplificar:
60 I I - 0 que caracteriza a fra~ao e que o inteiro considera
do, de qualquer tamanho ou forma, seja dividido em partes iguais . Por exemplo ...
Falou e dividiu as figuras em partes iguais:
Mffi I I I I E, logo em seguida, pintou algumas partes das figuras,
escreveu a fra~ao correspondente as partes riscadas em cada urn dos inteiros, registrando tambem a maneira de le-los:
~ . .J:i
•, ·'!:'"'""' ' -;,
.!f:FJ-.·. , :(!" •7.' .""' ~ r:. ..
-tre1- clo(A, 1~rt<n t.ft.Ulrt.M-
Oll ~ OtL ~
1rfh·te..r~
0\lw~
q.~.tairo 'ftAi.n.-to1,_, 00.,4
b Como todos houvessem entendido, Samuel continuou
a aula: - Lino, Icmbra-se de que voce me chamou a aten~ao
para o nivel da agua Ia no a~ude? - Lcmbro. Eu comentci que a a ltura normal da agua,
que e de 50 metros, estava rcduzida a 10, por causa da seca. Lino ainda nao tcrminara de falar e Samuel ja se pos
a desenhar: 50
""" ..:to-30 -20-fO -f 1
- Vamos imaginar que este eo a~ude; ele tem 50 metros de profundiclade, mas esta reduzido a marca dos I 0. Como as marcas sao de 10 em 10 metros, podemos considera-lo como se fosse formado por 5 partes iguais de 10 metros cada uma, em que apenas uma das partes contem agua ...
Em seguida, Samuel fez urn novo esbo~o da situa~ao, mais apropriado a analise sob 0 ponto de vista das fra~6es:
1---------- -- --
±Mm~I.Ul 5 o.~Ltde cheio 01! _§_
5 ~··~} ~ co~ &q~.t~
- Quer dizer que apenas urn quinto do a~ude tern agua? - interrogou Lino.
- Isso mesmo - confirmou Samuel. - Temos qua-tro quintos sem agua.Caso o a~ude estivesse cheio, teriamos cinco quintos de agua, que e a sua capacidade total.
9 \
~ ~. ----------------------~----------------------------------~
- Que legal - comentou Tais. Nesse instante, Marcelao fez uma pergunta: - Pra que existem as fra~oes? - Elas servem para representar partes iguais de intei-
ros ou partes iguais de quantidades - esclareceu Samuel. -Voce poderia dar urn exemplo? Samuel pensou um pouco e propos: - Imagine que a sua mae fez uma daquelas deliciosas
tortas de chocolate ... - Humm . .. fez Lino com agua na boca. - Ela poderia dividir a torta assim, supondo que a fa-
milia tcnha cinco pessoas ...
([ill) - Se eu ficasse com a parte menor, reclamaria! - brin
cou Beto. - Tenho certeza que sim - tornou o professor. - Dai
surge a necessidade de dividi-la em cinco partes iguais, nao e mesmo?
Todos concordaram e Samuel procedeu a nova divisao:
- Agora sim - aplaudiu Beto. Como cada urn vai ganhar urn quinto da torta, todos vao comer peda~os iguais.
_:__ Ja deu para perceber a importi'mcia das fra~oes? -quis saber Samuel.
Como todos tivessem entendido o exemplo, Samuel deu continuidade a aula, passando a comentar como as fra~oes devem ser lid as .
-Bern pessoal, voces Ja perceberam como se leem algumas fra~oes. S6 para recordar, vou escrever algumas fra<;oes na lousa para voces lerem:
3 a.) 2 b)}
-No exemplo a, devemos ler tres meios - disse Juliana.
- E no b, Iemos dois ter~os - completou Guilherme. - Esta correto - confirmou Samuel. - S6 para con-
firmar: nas fra~()es, devemos ler o numerador e depois odenominador. Os denominadores 2 e 3 sao lidos meios e ten;os, respectivamente.
- Tambem ja sabemos ler as fra<;6es com denominadores quatro e cinco - lembrou Beto.
- E verdade, mas vamos deixar bern claro como devemos ler as fra<;6es que tenham denominadores de quatro ate nove; primeiramente, Iemos o numerador e, em seguida, Iemos o denominador como urn numeral ordinal.
-Numeral ordinal? Como assim?- perguntou Tais. - Numerais ordinais a partir de quatro ate nove sao:
quarto, quinto, sexto, setimo, oitavo e nono, ou entao no plural, dependendo do numero de partes. Assim, observem - e escreveu algumas fra~6es registrando por extenso a forma de le-las:
~ trM. oi:ta. voi-~ tr~ C,JUartOi.
~ 41u.alro ~exto1-
5 . ~ CLnCO l'\.0~
; Jo~ qu.ittt~ i lAW\- 1ih~o
- Agora- prosseguiu Samuel-, as fra~6es que tern denominadores dez, cern, mil, dez mil sao chamadas fra~6es decimais. Lemos o numerador e, em seguida, os denominadores : decimo, centesimo, milesimo ... , ou no plural, dependendo do numero de partes.
Propos alguns exercfcios para os alunos e eles escreveram como as fra~6es deveriam ser lidas:
~ qtA.atro clecimDlt 1~0 cirtco cevt:t6~ 1~ -1ete- mili1-tm~
A classe achou facil, mas Alice ainda nao estava satisfeita:
- E as outras fra<;6es, como Iemos? - Nas fra~6es que tern denominador acima de nove,
e que nao sao decimais, Iemos o numerador e a seguir o denominador, acrescido da palavra avos, por exemplo:
3 t A • 15 r~ '-f-14.Lvt:z.e avoi-J4 00\le tri~tct e qwnro ~vo-it
E para verificar se todos estavam compreendendo, Samuel propos urn exercicio, explicando antes o seguinte:
- Em cada urn dos inteiros, voces devem considerar qual fra~ao deles esta riscada. Em seguida, escrevam matematicamente e por extenso como se le cada uma das fra<;6es encontradas .
Depois de certo tempo, Samuel escreveu na lousa as respastas que os alunos davam:
~ ~
1 2.
!Am rne1.0
5 • 6 ~~A
ClvtCO ~exu.r.l-
7 12
-1ei:e. dOze avoo.,
g s
oclo oi:tav~
- Excelente, pessoal!- comentou ele ao constatar que a maioria tinha acertado. - Por hoje e s6, que ja vai bater o sinal.
- Mas n6s nao vamos usar aqueles cart6es da caixa? - perguntou Al ice, a descobridora deles.
- Vamos usar sim, mas nas pr6ximas aulas- disse Sa-muel, enquanto a turma se desped ia.
casa 01isteriosa lice encontrou Beto e Tais confortavelmente instalados na varanda da bela casa. Por toda volta, s6 se via o laranjal e, por cima das copas, urn Iindo ceu azul, sem nuvens.
Por causa do calor, Tais estava muito a vontade numa rede, vestindo apenas short e
camiseta. Alice procurou Iugar junto a Beto. - Que calor, hein? - comentou ela. - Eu acho 6timo! - disse Tais entusiasmada. - 0 que voces acharam da aula do Samuel?
1 0 ; 15
I,
Alice perguntou -no plurai, mas dirigia-se quase exclu- - E verdade, ela esta sempre fechada e ninguem co-. sivamente a Beto, ja que Tais s6parecia se preocupar com nhece os seus donas ... Mas isso nada tern de misterioso . Pro-a verao. ' vavelrnente, pertence a alguem que nao precisa dela ... -
- Eu gostei! Entendi tudo! - respondeu o garoto. considerou Beto. - Se fosse voce, nao ficaria tao empolgado ~contra- 0 amigo ouviu com aten~ao, mas nao se deu por
riou a irma. - Hoje foi refresco, mas logo vern chumbo vencido. grosso... 1 -Sabem o que acabo de ver Ia?
- E claro que vern materia nova ... Chumbo grosso, co- - 0 fan_tasma ?a c~Iina! - respon~eu ~lice no a to, mo voce diz ... Se fosse para ver materia conhecida, nao te- provocando nsos. LI~o vi~o~-se na sua_ due~ao: . ria grac;a nenhuma. - Sabe que voce esta fiCando mmto engra~admha?
Sem se importar com a explica~ao do irmao, Tais apon- - A final, o que voce viu de tao estranho? - insistiu tou para a alam~da que conduzia a casa. Beto . . . . . ,
- Olhem la ... Chegou quem faltava. - VI fuma~a samdo ~a.chamme. Beto e Alice observaram pelos vaos da mureta e reco- . - Fuma<;:a? Na chamme daquela casa? - estranhou
nheceram Lino, que vinha a toda pressa. Tais. . . . ~ Lino.:. Estamos aqui, na varanda . .. _ avisou Be- -_Ora, viva!~ aplaudm Beto. Fmalmente saberemos
to, levantando-se e agitando os bra~os. quem ~ao o~ donas. . .. 0 amigo retribuiu com urn gesto de mao e dirigiu-se a Lm? nao s_e mostrava nada empolgado com a Ideia. E
escadaria, na frente da casa. Subiu para a varanda aos sal- prossegum, hesit~nte: . . . . tos e veio ao encontro dos companheiros, na ala lateral da . - E tern mais.: . Alem de fuma~a na chamme, ouvi urn casa a mais fresca. · gmncho deyorco. · · . ~
'_ p - . . . . ---: Gumcho de parco? - estranhou Ahce. - E voce ensamos que nao vma mais .. . - comentou Tais . · · h d -1 ?
I . . . . . . nunca ouvm gumc o e parco an es.
- magme se Lmo ma nos pnvar de sua companhia... C t Cl · · · h ·t L" _ brincou Beto. - er o... aro _q~e Ja ouv1, mas ... - esi ou m~. . . . - De repente, a chamme de uma casa abandonada se poe
Os garotos nr~~· ~n~uanto Lmo procurava urn Iugar a sol tar fuma~a ... e, ainda por cima, uma porca guincha ... no banco. E .~eto msts~m. _ ? - Uma porca? - interessou-se Tais. -Voce conse-
E _dai. _Qual fm a r~zao do atraso · ,. gue identificar o sexo dos porcos pelo guincho? - Nao, s~I n~m ?se devm contar._. · . ? '· Ninguem se agiientou; riram todos com espalhafato. ~qual e, Lmo. Suspense pra c1ma da gente. - cen- Custou para Lino conseguir falar:
surou Ta1s. . . . -Voces riem porque nao estavam la! Eu fiquei ar-. Ele se a]eitou no ban~o, ao lado ~e .A:hce, de maneira repiado!
a poder ver o rosto de Ta1s na rede e miciOu: - lhhh ... Pelo vista, teremos de levar Lino ate a casa - Bern . .. Voces conhecem a casa abandonada... dele ... - insinuou Tais . --:- A gent~ conhece desde que nasceu! Quale o proble- I Quando retomaram a seriedade, Beto sugeriu:
rna, Lmo? -;- mterpelou Beto. , - Por que a gente nao vai ate Ia dar uma olhada? ... -:- Problema? Poe problema nisso! E wisteria mesmot - Boa ideia - aplaudiu Alice.
- agttou-se o garoto. - Nao contem comigo! - desistiu Tais. - Nao saio Corri ar de riso, Alice interferiu: , desta sombra por nada do mundo! . - Nao va me dizer que voce anda levando a serio as .: - Tudo bern. Podemos ir amanha a tarde - tornou
. hist6rias que os caboclos contam... Beto. - Quem topa? - Nao. Quer dizer. .. Claro que nao! Toparam todos e Alice juntou uma pitada de humoc: _; Entao, qual eo misterio? - cobrou Alice. , - Muito bern, iremos amanha a tarde ... E .. . E ... E se l:ino fez urn intervalo, aparentemente indeciso entre ' o morador for realmente urn fantasma? ... •
p,;osseguir e parar. Por fim, retomou: Ela falou rindo, e Tais embarcou: ' -Born.:. E. 16gico que nao .acredito nessas hist6rias... - Seria 6timo! Poderiamos cobrar ingressos para a vi-Mas, que aquela casa e muito esquisita, isso ela e! sitac;ao e, como dinheiro arrecadado, comprariamos os ins-
li
F"
~-------------------------------- 1 --------------------------------~
trumentos pro nosso conjunto. Puxa, ja faz urn tempao que a gente esta querendo montar urn ...
Com a tirada de Tais, retomaram o tema do dia-a-dia. -Ate que nao seria rna ideia ... - considerou Beto.
Pelo jeito, s6 conseguiremos os nossos instrumentos atraves de alguma interven<;ao sobrenatural mesmo ...
- Voce falou com o seu pai? - interessou-se Lino. - Falei - disse Beto desanimado. - E ele? - Ele diz que agora o dinheiro anda curto. Lino reagiu com desanimo: - Quer dizer que nada de instrumentos mesmo? - E voce, Lino? Conseguiu alguma coisa? - quis sa-
ber Alice. - Consegui nada- respondeu ele.- Nem tive cora
gem de tocar no assunto ... Meu pai esta s6 esperando o fim da safra pa':.a ver se nao teremos prejuizo por causa da seca.
- E ... Ainda acho que o melhor seria n6s mesmos ganharmos o dinheiro para comprar nossos instrumentos - disse Tafs.
- E ganhar onde? Como? - reclamou Lino. Ao que Tafs contrapos com humor: -Ora ... Vendendo ingressos para a visita<;ao publica
ao seu fantasma!
7 4 Fra~Oes se01 Dlisterios
I I Ill • aquela manha luminosa, mal Samuel entrou na
N sala e come<;ou a recapitular.
- Na ultima aula, tivemos as primeiras ideias sobre fra<;6es. Aprendemos o que elas representam e como devem ser lidas. No entanto, e preciso deixar claro que podemos, tambem,
calcular fra<;6es de quantidades... . - Fra<;6es de quantidades? - confundiu-se Marcelao.
- Como assim? - E simples. Para cakular fra<;6es, eu posso conside-
rar coisas inteiras, como uma figura, urn bolo, uma determinada area... E posso considerar, tam bern, urn a cei:ta quantidade como algo inteiro.
E, dizendo isso, espalhou o conteudo de urn pacote que trouxera sobre a mesa: vinte ameixas.
- Vamos supor que eu queira calcular dois quintos dessa quantidade vinte. Primeiro, terei de separa-la em cinco gru-
~
- ~1 .
[,,.
•
., ·j ·'
1::
.. :
pos, pois o denominador que indica em quantas partes o inteiro sera dividido e cinco.
Fez urn intervalo para ver se a classe acompanhava a explica<;ao.
- Sao cinco grupos de urn quinto, nao e Samuel? -perguntou Juliana.
E ele devolveu a pergunta: - Sim, e quantas ameixas vao corresponder a urn quinto
nesse caso? - Born, vamos ter que separar os grupos- disse Beto. E assim fizeram:
0 \8:;
OJ \& '(.]-"')_ '(J(J
Samuel foi ate a lousa e representou a situa<;:ao com urn desenho: ,.
1 f 1 1 1 55 55 5 ~~~iggjgg\ggjgg I
E logo Guilherme concluiu: - Ah, urn quinto de vinte ameixas corresponde a qua
tro ameixas! - E dois quintos correspondem a oito ameixas! -
acrescentou Beto. - E tres quintos sao doze ameixas! - prosseguiu Tafs. Samuel concordou com as observa<;:6es dos garotos e
continuou com a aula: - Esse exemplo deixa claro que n6s podemos calcular
tambem fra<;:6es de quantidades. Nesse caso, o inteiro considerado foi a quantidade vinte.
- Eu nunca havia pensado em partes de quantidades assim ... - interveio Juliana.
- Poderiamos, por exemplo, considerar a distancia entre duas cidades como algo inteiro. Supondo que uma cidade A fica a uma distancia de 72 quilometros da cidade B, n6s terfamos ...
Dirigiu-se a lousa e riscou:
~~======~7=2~h~m~====- 5
/----------------------------------------------------------- ~ 19
-Agora, vamos imaginar que alguem saiu da cidade A em direc;ao a cidade B, e andou dois sextos da disUincia entre elas. Como podemos calcular a distancia que essa pessoa percorreu?
Quem se manifestou foi Alice: - Primeiro, temos de dividir a distancia total de 72 qui
lometros em seis partes iguais. - Por que? - perguntou Beto. - Ele andou dois sextos da distancia total, nao foi? 0
denominador seis indica que o inteiro foi dividido em seis partes de urn sexto; nesse caso, o inteiro, ou seja, a distancia total, sera representado pela frac;ao seis sextos - explicou Samuel.
E escreveu:
£~n"'m 6
A 72 kl11
? 5
- Agora teremos que calcular dois sextos dessa distancia . . . Nao foi isso que voce propos? - lembrou Lino.
- Sim - concordou Samuel. E como faremos isso? - Precisamos achar quanta vale urn sexto- concluiu
Be to. Alice, que se mostrava pensativa, arriscou: - Samuel, eu estava me lembrando que a gente ja
aprendeu problemas mais ou menos assim: se sete lapis custam tanto, quanta custarao cinco lapis?
- E verdade ... - concordou Lino. - A gente tern que descobrir o prec;o de urn lapis e, como prec;o de urn, calcular o valor da quantidade que quiser.
- Muito bern lembrado, turma. Entao, se nos sabemos que seis sextos equivalem a 72 quilometros e precisamos calcular o valor de urn sexto ...
- E so dividir 72 por 6 - completou Tais. Alice, que ja havia feito o calculo, adiantou: - Urn sexto de 72 quilometros corresponde a 12 quilo
metros . - Muito bern - aprovou Samuel, escrevendo:
6 6~72hm
~ __.,. 72:6.::12 A I 12 I 12 I 12 I 12 I 12 I 1'2. I 5 ~
?
- Se urn sexto corresponde a 12 quilometros - continuou ele - , os dois sextos que indicam a disU'mcia percorri-
..
~ ....
L-
~~
.
~
~
da correspondem a duas vezes 12 quilometros. Ou seja, 24 quilometros.
Falou e completou:
~ ~72hm 1 72:6:::12 A 12 12 12 12 12 12 P.\~~- -----:--- - ·-___.., 6-t 't Ln<..~d Uw J:.!l
~ --. Zx12=-24 km ? \ '.~ssocla!fao Oeste_. "-~,,w----
- Muito bern- ia completando Samuel, quando foi interrompido por Marcelao:
- Po! Esse cara nao esta cansado! Andar tudo isso ape! - Bern, ja que ele andou tanto, nos podemos trabalhar
mais urn pouco - observou o professor. - Agora, final mente, vamos comec;ar a trabalhar com esses cartoes.
Dizendo isso, foi distribuindo quatro cartoes para cada aluno, sendo urn marrom, urn cinza, urn rosa e urn preto, e passou as explicayoes:
- Nos ja temos algumas ideias claras sabre frac;oes ... Daqui para frente, para facilitar o nosso trabalho, vamos utilizar urn material que nos mesmos vamos preparar.
Em seguida, Samuel propos a classe: - Comparando esses cartoes, o que voces podem
perceber? - Sao de cores diferentes - observou Tais. - Mas todos tern o mesmo tamanho - percebeu
Juliana. - E isso mesmo- confirmou Samuel, que continuou
suas explicac;oes. - Quando preparamos urn material de frac;oes como este, e preciso que os inteiros sejam do mesmo tamanho, a fim de que possamos comparar as frac;oes que viermos a encontrar.
- Por que os cartoes sao de cores diferentes? - perguntou Juliana.
- Porque isso facilitara o nosso trabalho, quando co" meyarmos a compara-las.
- Mas os cartoes poderiam ser rnaiores . .. - interveio Marcelao.
- 0 tamanho e a forma poderiam ser outros ... 0 importante e que os cartoes usados tenham o mesmo tamanho e a mesma forma entre si.
Em seguida, Samuel pegou o cartao preto eo mostrou para a classe.
- Nos vamos considerar este cartao preto como sendo 0 nosso inteiro padrao. lsso quer dizer que nos nao vamos corta-lo, pois ele servira para as nossas comparayoes .
"I
II··
l•11
20 ~ 21
- Agora, peguem o cartao man·om, dobrem ao mcio como este aqui ...
- Eu ja dobrei - adiantou-sc Lino. - 6timo! Estou vendo que todos dobraram seus car-
toes marrons em duas partes ... E, assim, cada parte passa a representar urn meio do nosso inteiro, correto?
Como todos concordassem, ele prosseguiu: - Agora, voces vao cortar este cartao no local da do
bra e escrever a fra<;ao correspondente a cada uma das partes ...
Depois que os alunos cortaram e escreveram, pediu: - Coloquem, agora, as partes cortadas sobre o cartao
preto e comparem. E os garotos assim fizeram.
- Legal! Cada parte marrom representa urn meio do nosso inteiro! - observou Tais.
- E as duas partes marrons juntas sao dois meios -completou Juliana.
Samuel concordou com as garotas e questionou:
~ ··
- E quando colocamos os dois meios em cima do cartao preto, que e 0 nosso inteiro, 0 que notamos?
- Que eles tern o mesmo tamanho do inteiro. E isso, Samuel? - indagou Guilherme.
- Tinha de ser! Antes de a gente cortar, eles nao tinham o mesmo tamanho? - comentou Lino.
Samuel ouviu as observa<;6es e confirmou: - E isso mesmo. Dessa forma, n6s comprovamos que
dois meios valem o mesmo que urn inteiro. Ou nao? - Valem! - concordou a classe em coro. - Hummm .. . E por que o denominador da fra<;:ao que
corresponde a cada cartao marrom e dois? - perguntou Samuel.
-Ora, porque dividimos o inteiro em duas partes! -respondeu Alice.
- Eo numerador da fra<;:ao correspondente a cada parte. marrom e urn, porque cada parte e uma parte - completou Lino.
- Conclusao brilhante! - brincou Tais, virando-se para o amigo.
- Perfeito! Suas observa<;6es estao corretas- concluiu Samuel. - Notem que o importante e saber o porque de tudo que fazemos.
A classe concordou e ele sugeriu: - Vamos registrar nos cadernos as observa<;:6es que
fizemos? E ja se voltou para a lousa, escrevendo:
a) z 1rv T -Que sinal e esse ai, Samuel?- alarmou-se Juliana. -Eo simbolo matematico para equivalencia. Ja que
dois meios valem o mesmo que urn inteiro, podemos usar esse simbolo para representar isso.
Os jovens anotaram e o professor seguiu adiante. - Cada urn de voces vai pegar, agora, urn carUio cin
za,. dobrar ao meio como o marrom e corta-lo. Deixem as partes juntas e nao escrevam nada ainda.
- Assim, Samuel? - perguntou Beto.
- Ficaram iguais as partes do cartao marrom - notou Marcelao.
- E mesmo - disse Samuel. - Entao, peguem cada parte cinza, dobrem ao meio e cortem novamente.
Samuel deu urn tempo para a prepara<;:ao e tornou: - Cortaram? 6timo! Coloquem, entao, as quatro par
tes cinza sobre o cartao preto e escrevam em cada parte a fraGilO correspondente a ela:
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~ oN!1!1 It ',, ' 1 Ill • I•.J,
- Cada parte ficou sendo urn quarto do inteiro - constatou Beto.
- E quando a gente junta tudo, fica com quatro quartos, que e o mesmo que urn inteiro - concluiu Guilherme.
Samuel concordou e considerou: - Desconfio que voces ja estao percebendo para que
servirao estes cartoes ... -Para que a gente possa comparar, nao e isso?- ten
tau Tafs. - lsso mesmo. Na lousa, ele completou:
2. 4 ct) 1 rv 2 ""-' 4 - Ja anotaram? Vamos continuar. .. Peguem, entao,
uma parte marrom e comparem com duas partes cinza. Ou seja, comparem urn meio com dois quartos e vejam o que descobrem ...
Os alunos fizeram conforme o proposto:
- Que legal! U m meio tern o mesmo tamanho de do is As trar;:aes que repre-
quartos - exclamou Beto diante da descoberta sentam am esma pa!-. te do mtelfo sao
- Observa<;:ao correta! Nesse caso, dizemos que as fra- cham adas fr a<;:oes <;:oes urn meio e dois quartos sao fra<;:oes equivalentes. Em eqwvalentes.
outras palavras, as duas representam a mesma parte do inteiro .
- Quer dizer que se eu dividir o inteiro ao meio e pegar uma parte eo mesmo que dividir o inteiro em quatro partes e pegar duas? - perguntou Marcelao.
- Exatamente a mesma coisa- observou o professor. Lino pos o indicador na testa, como se houvesse desco
berto algo e disse: - Entao, se eu comer meio bolo ou dois quartos de bo
lo, estarei comendo a mesma quantidade? -Claro que sim. Desde que os bolos tenham o mesmo
tamanho. Entendido? Coloquem a nova observaGilO no nos-so resumo.
2 4
a.) 1rv Z "'-' 4 2 b) ~ rv 4 Depois de registrar no caderno, Alice considerou: - Lino tinha de por urn bolo no meio eta questao! - Eu nao pus o bolo na questao, apenas trouxe a ma-
tematica para o clia-a-clia - clevolveu ele. 0 professor, que ouvia atento, interveio: - Entao, responda, Lino ... Voce comeria mais bolo se
comesse clois meios ou quatro quartos? Lino pensou urn pouco antes de responder: - Comeria a mesma quanticlacle, porque clois meios
equivalem a quatro quartos. As cluas fraG6es representam a mesma quanticlacle, que e urn inteiro.
- E Lino comeria mesmo!- aparteou Tafs.- Precisa ver como ele come!
A classe riu muito com o gracejo de Tafs, e logo Samuel prosseguiu:
- Vejamos, agora ... Se eu pegar tres peclaGOS cinza, que fraGilO terei?
- Se cacla cqrtao cinza representa urn quarto, tres cleles serao tres quartos - concluiu Beto.
- Perfeito- aprovou o professor. -Vamos passar, en tao, ao cartao rosa ... Dobrem-no em oito partes iguais e cortem-no nas dobras.
Samuel acompanhava o trabalho. Os alunos dobraram ao meio, obtenclo cluas partes e cortaram. Novas dobras ao meio, e novos cortes, agora quatro partes. E, novamente, cortanclo as quatro partes, conseguiram oito cartoes iguais.
Tafs terminou e constatou: - Cada uma clessas partes rosa representa urn oitavo,
pois o inteiro foi dividiclo em oito partes iguais. Sob a orienta<;:ao de Samuel, os alunos marcaram a fra
<;:ao corresponclente a cacla parte. Em seguicla, colocaram os oitavos sobre o cartao preto que representava o inteiro:
- Entao- concluiu Beto - oito oitavos eo mesmo QUe um intciro.
- Muito bern- cumprimentou Samuel que, em seguida, pegou as seguintes fra<;:6es e as comparou:
;~~ :~:.:'.'
1 2.
., ' , . ·,: .. _,,. 1 , "' 'l: ~ 'wl "' , A '· ,
(; • ~ )>' ', ';_1'1; ! 'I ' ' ;.:'" .
;, , ""l :':t~P '· - ~\";' s
..... ,,
Os alunos fizeram o mesmo em suas mesas e nao de-111oraram a perceber:
- Urn meio, dois quartos e quatro oitavos sao fra<;:6es equivalentes- disse Tais. - Todas representam metade do inteiro.
- lsso mesmo!- concordou Lino.- Repartir ao meio e pegar uma parte e o mesmo que dividir em quatro partes e pegar duas ou dividir em oito e pegar quatro partes.
- E ainda tern mais - observou Beto, mostrando as seguintes fra<;:6es:
- Da pra notar, tambem, que urn quarto e equivalente a dois oitavos.
- Muito bern, Beto. Vamos aproveitar a sua observa~ao e registni-la. Venha ate o quadro e complete o resumo.
a) 1 rv _g_ I"V ±. rv ~ 2. 4 8
b'\ ..L "-' .£ rv ± /2 4 g
c)-1 "--'~ 4 g
Como Samuel comc<;:asse a recolhcr o material, Marcelao quis satisfazcr uma curiosidadc:
- 0 material que vamos preparar c s6 esse? - Nao. Aguarde que amanha n6s continuaremos - avi-
sou Samuel.
0 fantas01a -assa pao tarde, os quatro se reuniram para realizar a sen-
A I sacional expedi<;:ao a casa abandonada. Lino foi o tiltimo a chegar.
1 - Que demora! - criticou Tais . - Pensamos que o fantasma tivesse sumido com voce!
- Desculpem ... E que aproveitei para dar uma examinada, quando vinha para ca.
- E dai? Encontrou o fantasma da colina? - brincou Be to.
Lino esperou que cessassem as brincadeiras e passou aos fatos:
- Nao descobri nada e isso eo mais estranho. Ontem, havia fuma<;:a saindo da chamine; hoje, tudo esta quieto de novo, nenhum sinal de vida.
- Bern . .. Acho que a (mica maneira de descobrir se ha alguem ou algo naquela casa e indo ate Ia averiguar ...
_c_ Beto tern razao! Vamos?- convidou Alice, que nem bern terminara de falar e ja foi se colocando a frente do grupo, seguida de perto pela Tais. Os dois garotos seguiram logo atras.
0 acesso mais facil era pela estrada, de maneira que desceram ate o a~ude e tomaram a direita, dire~ao onde mora-
vam Lino e Samuel. E transposta a grande subida, avistaram a casa abandonada no extremo de urn terreno plano.
- La esta ela - apontou Lino. - Como e que pode ~ sair fumac;:a da chamine de uma casa abandonada?
Ninguem disse nada. E como se criasse novo impasse, Alice avan<;ou mais uma vez, comandando:
- Se saiu fuma<;a, tern fogo! E se tern fogo, tern gente! Vamos p6r tudo em pratos limpos!
- E ... Se nao formos, continuaremos sem saber. .. -apoiou Beto, acompanhando a amiga.
- Por via das duvidas, e melhor nao nos afastarmos muito uns dos outros ... - sugeriu Lino.
- Ei, olhem aquilo! - apontou Alice . - Fuma<;a - constatou Beto. - Pelo visto, temos mesmo urn novo vizinho ... Vamos
torcer para que nao seja nenhum chato! - comentou Tais. Desceram a encosta que se formava entre o leito da es
trada e o plano onde se assentava a casa. Quando ja se encontravam bern pr6ximos, Beto pressentiu:
- Esse fantasma cleve preparar urn cafezinho delicioso! - Humm .. . E mesmo! Tambem senti o cheirinho! -
apoiou Alice. - Ja posso ate adivinhar - prosseguiu Beto. - Deve
ser uma daquelas velhinhas simpaticas, que tomam cafe com bolinhos a tarde. 0 0
- Tambem pode ser uma daquelas velhotas de preto, com verrugas no nariz, que preparam sopas de sapos e aranhas ... - riu Tais.
Sentindo-se o alvo da tro<;a, Lino tratou de desconversar: - E claro que se houver alguem ai sera uma familia ou
uma velhinha simpatica, como disse Beto ... Voce tern cacla uma ...
A frente da casa estava fechada, os jovens deram a volta, tentando a porta da cozinha. Pelo vao entreaberto, viram a mesa forrada com toalha muito branca. E sobre ela urn belo pao caseiro, alem de uma bandeja com urn bule de cafe e uma canequinha de esmalte em vo.lta .
- Oi de casal Bateram, chamaram, mas nao apareceu ninguem. - Ue ... Sera que nao tern ninguem?- estranhou Beto. Muito concentrado, Lino examinava o teto da cozinha,
como se o dono da casa pudesse estar dependurado na cumeeira.
- Muito esquisito - comentou ele. - 0 que e que tern de tao esquisito, Lino? A dona ou
o dono da casa deve estar dormindo! Ou saiu por ai, pelo mato!
28
Beto chamou mais uma vez: - Oi de casal Tern alguem ai? Sem resposta, Tais empurrou a portae entrou ate o pon
to que dava passagem para a sala. - Nao ha ninguem mesmo ... 56 se estiver no quarto ... Os demais entraram e se reuniram a garota. Alice nao
tinha duvidas: - 0 dono da casa acabou de coar o seu cafe e foi tirar
urn cochilo. Melhor a gente voltar outra hora. Nao fica bern invadir a casa das pessoas assim.
Alice mal tinha silenciado, quando ouviram as suas costas:
- Que moc;:ada bonita! De onde surgiram voces? Pegos de surpresa, voltaram-se para ver quem falava.
E Lino por pouco nao desmaia de susto, o que nao passou despercebido a senhora, de pe junto ao batente da porta.
-Credo, menino! Parece que viu fantasma! Cairam todos na gargalhada; Lino e que nao sabia on
de esconder o rosto. 0 fantasma tao temido chamava-se dona Rosa e nao passava de uma senhora muito simpatica.
Enquanto saboreavam o cafe com o delicioso pao caseiro, a senhora contou:
- Durante anos, meu irmao Jose economizou para comprar este sitiozinho, pensando em viver aqui, logo que se aposenta.sse ... Conseguiu comprar a propriedade, porem faleceu dois anos antes de completar os trinta e cinco de servic;:o ...
- lsso e coisa da vida ... - comentou Tais. - Po is e ... Ele mal conheceu o sitio, pois vi via muito
atarefado ... Como era solteiro, eu herdei a propriedade, mas tambem precisei esperar alguns anos ate obter minha aposentadoria. Sou enfermeira.
- Bern ... Pelo menos, a senhora tera uma vida tran-qi.iila ... Nao precisa mais trabalhar. .. - considerou Tais.
A mulher estranhou: · - Que e isso, menina! Quero ver esta terra produzir! - Eu acho que a senhora faz muito bern - interveio
Alice. -Mas pelo que nos contou, nao tern experiencia com a terra ... E tam bern nao esta facil conseguir empregados por aqm ...
- E verdade, dona Rosa - endossou Beto. - Alice fala por experiencia propria, os pais•dela vivem do cultivo da terra.
- Jamais imaginei que seria facil. A aposentadoria que recebo e as economias nao sao muito ... Nao poderia sequer pagar empregados ...
Os garotos entreolharam-se constrangidos. Por fim, Beto se manifestou:
- Nao entendemos, dona Rosa ... Se a senhora nao tern experiencia e tam bern nao tern como pagar empregados ... Nao pode fazer todo o trabalho sozinha ...
A mulher nao se perturbou. - Qual e a dificuldade, garotos? Eu dou sociedade na
produc;:ao! Ofere<;:o terra, sementes, ferramentas e cinqi.ienta por cento do que colhermos, como pagamento pelo trabalho. Eu sei que muita gente faz isso.
- 0 que a senhora quer e urn s6cio para OS Jucros e tam bern para os riscos ... E isso? - indagou Tais.
- Exatamente, menina! Quando alguem depende do que vai produzir, tenho certeza de que da mais aten<;:ao e cuidado ao que faz!
0 que parecia J6gica a mulher deixava OS garotos mudos. Mais uma vez, Alice senti u-se na obrigac;:ao de ser franca:
- Dona Rosa ... Tenho a impressao de que nao sera facil conseguir alguem nessas condic;:oes. Falta mao-de-obra na regiao ...
- Todo mundo esta indo para a cidade- apoiou Lino. - Nem todos- riu ela.- Muitos estao vindo das gran-
des cidades para o campo. Concorda? - E verdade - concordou Lino. E juntou:- De qual
quer forma, pode contar conosco . Tentaremos encontrar alguem ...
- Eu sei que posso contar com voces . Os jovens se despediram e, ao atingirem a estrada, Tais
comentou: - Bern ... Agora, sabemos que temos uma vizinha de
carne e osso .. . -E ... Pena que com aquele projeto ela nao vai muito
Ionge - lamentou Lino. Beto nao estava muito certo disso. - Depend e ... Se ela encontrar a pessoa certa, sera urn
born neg6cio para os dois lados. -Voce conhece alguem para indicar?- indagou Alice. - Eu estava pensando ... Em vez de pegar uma pessoa
com pratica, ela poderia pegar varias sem pratica ... - Eu acho que assim a dificuldade aumenta - retru-
cou a garota. - Pois eu acho que nao - devolveu Beto. Tais encurtou o passo para indagar: - Ah, nao? Quem seriam essas pessoas? - N6s quatro. - N6s? -- espantaram-se todos.
- Apesar de niio sermos lavradores, temos muito mais experiencia que ela. Sempre vivemos no campo. E pensem s6 no que poderiamos comprar com a nossa parte da sociedade ...
Tais bobeou por urn instante; em seguida, seus olhos brilharam.
- Beto! Voce e urn genio! Poderiamos comprar nossos instrumentos!
- E niio se esque~am de que Alice tern pnltica com plan-ta~oes - lembrou Beto.
Alice nao esperou mais: - Eu topo! - Sera que ela aceita a gente? - perguntou Tais. -
Dona Rosa pode niio nos levar a serio - disse Lino desanimado.- Tambem tern a escola -lembrou Alice.- S6 poderiamos ajuda-la meio periodo.
- Eu tenho a impressao de que ela topa. Niio sera facil ela conseguir alguem - reforGOU Beto.
- 0 que estamos esperando, entiio? - interrogou Tais. - Vamos voltar Ia e dizer que aceitamos a sociedade!
Beto, porem, nao tinha pressa.
- Devagar, Tais. Eu acho uma boa ideia, mas e melhor pensarmos mais sobre o assunto. Alem disso, precisamos consultar nossos pais.
- Beto tern raziio, e muita responsabilidade- concordou Alice. - Vamos pensar melhor nos pros e contras.
- Por mim ja esta pensado! Se dependesse de mim, amanhii mesmo a gente come~ava a plantar os instrumentos! - brincou Lino.
Os jovens riram muito e partiram para casa com o cora~iio tocando num ritmo forte.
No co01passo das &a~Oes
N o dia seguinte tiveram aulas normais, sendo a
ultima a do Samuel. Assim que entrou na sa
la, ele distribuiu outros cartoes coloridos, do ,
mesmo tamanho dos que havia distribuido no dia anterior, e orientou os alunos a prepararem as seguintes fra~oes:
~
1 1 1 ~ ~ q
1 1 1 9 ~ if 1 j_ 1.. ~ ~ 9
Dessa maneira, cada parte vermelha representava urn terGo; cada parte bege, urn sexto; e cada parte branca representava urn nono.
Alguns alunos logo notaram novas fraG5es equivalentes. Pegaram os cartoes correspondentes e demonstraram:
1 q 1 '3
..L g
rr I
1 ~11 I Ii i
i \!\\1
1
l
1l1
r II 11
II
~1111 1:
'II
I ill
I
~I
.
E todos perceberam que urn ten;:o e equivalente a dois sextos e a tres nonos, porque todas essas frac;6es representavarn a terc;a parte do inteiro, bern como notaram que tres sextos e equivalente a urn meio. E continuaram a completar o resumo do dia anterior em seus cadernos:
a' 1"-' ~"'"' 3 "-' 4 "-' ~ "-' ~ "V !1_ ., z 3 4 6 8 9
b'i"\J ~ "-' ± rv ~ 'lz 4 g 6
c) ..LtV 2 4 8
d) ..L "-' .£ rv 2.. 3 6 9
Nesse momento Samuel pediu que os jovens observassem atentamente as frac;6es equivalentes que haviam acabado de perceber. Em seguida, dirigiu-se a lousa e disse:
- Todos ja sabemos que urn terc;o e equivalente a dois sextos, e a tres nonos, dessa forma podemos observar o segui 11te ...
E escreveu:
1 I
3 x z 6
1 ;) 3 -=-3 -- 9
- lsso significa que podemos encontrar frac;6es equivalentes fazendo multiplicac;6es? - interessou-se Tafs.
- Exato. Podemos encontrar equivalencias como fizemos ate agora, comparando as partes; ou como acabamos de descobrir. Notem que se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma frac;ao por urn mesmo numero, desde que nao seja zero, encontraremos uma frac;ao equivalente a ela.
- E mesmo!- confirmou Lino. Se multiplicarmos os terrnos da frac;ao urn meio por quatro, encontraremos quatro oitavos.
E Samuel escreveu na lousa:
E ratificou:
1 x4 2 x4
= 4 g
- Multiplicando os termos de uma frac;ao por urn mesmo numero, diferente de zero, encontramos sempre uma frac;ao equivalente a ela.
Como estivessem todos de acordo, ele propos:
I ~----------------~~
•\$'
. ~.
~ I
- Respondam, agora ... Se eu tiver a frac;ao quatro oitavos, que operac;ao matematica deverei realizar com seus termos para voltar a urn meio?
4 ? - 1 8 ? - 2
Todos os alunos se puseram a pensar e Alice disse: - Se multiplicando o numerador e o denominador da
fra<;:ao urn meio por quatro encontramos quatro oitavos, entao ...
- Ja sei! - disse Beto. - E s6 dividir o numerador e o denominador por quatro!
Todos concordaram, pois haviam chegado a mesma conclusao. Contente com a descoberta dos jovens, Samuel completou, escrevendo na lousa:
1 ~ - 4 1 =-4 2 4 - g 8 1 2
-Com isso, percebemos a propriedade fundamental das fra<;:6cs: multiplicando ou dividindo os termos de uma fra<;:ao por urn mesmo numero, diferente de zero, obtem-se uma fra<;:ao equivalente a frac;ao dada.
- Jsso vale para qualquer fra<;ao que imaginarmos? -indagou Tais.
- Vale. E notem o seguinte: apesar de trabalharmos nesse material s6 com alguns exemplos de fra<;:6es, elas sao infinitas. Nos preparamos esse material para que voces pudessem entender bern o conceito de frac;ao, mas nem sempre trabalharemos com cart6es ... Ate porque seria impossivel preparar infinitos cart6es ... Certo? Vamos, entao, verificar nossos conhecimentos sobre as fra<;:6es, agora sem usar os cart6es.
Dizendo isso, desenhou:
~ .
. .
E perguntou: - Beto ... Que frac;ao a parte riscada da figura re-
presenta? - Humm ... A figura esta dividida em quatro partes,
das quais tres estao riscadas ... Portanto, sao tres quartos.
Propriedade lunda · mental das frar;6es: Multiplicando ou divi· dindo (quando possi vel) os termos de uma frar;ao par urn mesrno numero natural, dife· rente de zero, obtem· se uma frar;ao equiva· lente a frar;ao dada.
Samuel escreveu a fra<;:ao ao !ado da figura e, desenhan~ do novas figuras, chamou alguns alunos para colocarem as fra<;:oes correspondentes:
.
~ ~ 2 1
6 4
JA @9._·.·· ., '
"" 3 1 4 3
2. 4
5 6
1 2
Enquanto Samuel foi fazer a chamada, cada urn come<;:ou a guardar o jogo de . fra<;:oes que havia preparado. Percebendo isso, Samuel avisou:
- Nao guardem as fra<;:6es que prepararam. Coloquem aqui nesta caixa, pois de agora em diante usaremos esse material em conjunto, e logo voces saberao por que.
Em seguida, pediu que Lino pegasse cartoes que representassem a fra<;:ao cinco quartos.
- Deverei pegar cinco cartoes de urn quarto . E dizendo isso, colocou-os no paine! que Samuel in
dicara:
1 4 .
1 " 4
- Muito bern ... Verifique se com as quantidades que tern chega a formar algum inteiro . . .
- Quatro quartos ja formam urn inteiro!. .. E sob orienta<;:ao de Samuel, Lino arrumou os cartoes:
I ~
1 Dl 4
1 1 4 4
Tais adiantou-se e observou: - Da maneira como estao colocados os cart6es, pare
ce que temos urn inteiro e ainda urn quarto . - Justamente - confirmou Samuel.- As fra<;:6es que
representam quantidades maiores que o inteiro podem ser escritas em forma de numero misto por terem uma parte inteira e outra fracionaria!
- Disse c escreveu:
2... ou. 1 j_ 4 . 4
A seguir, propos varias fra<;:6es, pedindo aos componentes da classe que pegassem os cartoes e as representassem, formando os possiveis inteiros. E, depois, fixaram os exemplos no paine! e escreveram as conclusoes:
8 30Lt 2~
3
1 9 1 9 1
1 2
1 q
j_ 9 1
1 q 1 q _1
fj~ I
L~~ I _j
I ~ I I· ~ I
I~ I I~ I~ I 1 ~~~~~~----~ 13 4
q g '::}
9 Ott- 1-9
Nesse momento, a fim de dar continuidade ao estudo de fra<;6es, Samuel dividiu a classe em tres grupos e para cada urn deles propos que, usando os cartoes, representassem as fra<;6es das etiquetas que ele distribuia. Cada grupo preparou o que !he foi proposto, colocando tudo nos respectivos paineis, ficando assim:
0
1 3
0
z ~ OLt 1G
~ OIA-2.4 '1 4 .
1 ]_ ou. 3 2 2
0 3 3 Ott, 1
s 4 OLt 2
4 ott2 2
.2. ou., 3 3
Depois de tudo preparado, Samuel pediu que todos observassem atentamente os paineis e descobrissem as diferen<;as entre as fra<;6es apresentadas em cada urn deles.
- 0 grupo A tern fra<;6es que nao chegam a formar urn inteiro - constatou Alice.
- 0 grupo B chega a formar inteiros e tern mais algumas partes alem dos inteiros formados.
- E por que as fra<;6es do grupo C nao estao com as do grupo B? Elas tam bern formam inteiros? - indagou Tais .
Foi Beto quem !he respondeu: - E que as fra<;:oes do grupo C representam inteiros sem
mais nenhuma parte. Sao so inteiros mesmo. Veja, formam urn, dois, tres inteiros ...
0 professor ouviu satisfeito os resultados das observa~ <,:oes e concluiu :
- Voces observaram corretamente. So falta, agora, saber que nome recebem essas fra<,:oes ...
- Ah, elas tern nome? - estranhou Tais. - Tern . 0 paine! A apresenta fra<;oes proprias; o pai-
ne! B, fra<,:oes improprias; e o paine! C, fra<,:oes a.parentes. Foi ate a lousa e fez un1 resumo das explica<;ocs:
Fr~o P-r6P-ria t a~uela t,tue repre.~.ent~ park do er.ro. Porta.-tto t me.-tOr '-f'Ue. U+tt mtttr6.
fra~ao i.mJ:lrom:t.o. i aquell.\. G.}!te conttl;t\ "W\ o~.t mai1 ~ie~r<». POrtanto u~d.- fr~ ~ wu:uor que o ~~ro. ·
Fra{ao ~~arettte i a iMPr6pria .aue.. equivale. a udeirm. 0-numetaclor i mlllfaplo dO denominador.
. E propos, em seguida, exercicios para que o grupo determinasse a fra<;ao, bern como a sua classifica<,:ao . Para alcgria de Samuel, o grupo resolveu as questoes.
~ 7
' >
5 ( ' . ) g propra.a
~ i ( propna)
~~'?ti1] ar ... ~'C3 • ! (ap~re.nte.) ~J II ~ (impropri~)
•• fl})rf!J~ ~ (aparet1te.) ~ (improprla.)
- Muito bern. Voces estao mesmo a(iados em fra<;:ao. Adivinhem, agora, qual e 6 proximo passo?
- Nao consigo imaginar - reconheceu Beto . - Nem eu - secundou Alice. Foi a conta de falarem e bater o sinal. - 0 proximo passo e entrar naquele confort<ivel fusca
e tocar para casa, que meu est6mago esta roncando de fome! - disse Tais inspirada.
- lsso mesmo - disse Samuel, entregando-lhe as chaves. - Podem tomar seus lugares que num minuto estou Ia. E so o tempo de lavar as maos.
'!
( .
. Fra~io , .
na pratica urante a noite que sucedeu ao encontro com do-
D na Rosa e no dia seguinte, os jovens consultaram seus pais sobre a ·ideia, conversaram demorada-
. me~te com Sa_muel e, principalmente, discutiram m u tto entre Sl. '"\
·Os pais nao viam nada que pudesse repro-var o projeto dos garotos, embora alertassem para a dificuldade do trabalho e para a responsabilidade que assumiriam diantc da nova vizinha, que, afinal, estaria contando com os resultados da empreitada.
Samuel nao so se entusiasmou com a ideia, como ajudou a convencer os pais de Alice, que se mostraram um tanto relutantes de inicio. E, assim, numa tarde, logo apos a volta da cscola, rumaram em dire<;:ao a casa branca, com a decisao tomada.
A dona da casa, percebendo que os garotos mantinhamse de pe, convidou:
- Sentem-se, que eu vou cortar este bolo de mandioca . - Nao precisa se preocupar, dona Rosa. Nos viemos
porque precisamos falar com a senhora. - Ora essa, Beto ... Voce e o Beto, nao e? - Sou eu mesmo . - Sente-se e sirva-se de bolo . Podemos conversar, en-
quanta comemos . Sem dar treguas, a mulher cortou o atraente bolo, que
estava no centro da mesa, e serviu um por um. - Obrigada, dona Rosa - agradeceu Alice. - Humm ... Esta uma delicia! - elogiou Beto. - Comam a vontade! E, agora, se quiserem adiantar
o ass unto que os trouxe, estou ouvindo ... Os olhosdo grupo se voltaram para Beto, que havia si
do escolhido como o porta-voz. Meio sem jeito, ele come<;:ou: - E sobre a conversa que tivemos anteontem, quando
nos conhecemos e falamos sobre os problemas que a senhora encontraria para conseguir ajuda no trato da terra ...
- Xiii ... Esta mesmo complicado! - desabafou ela. - Ainda hoje passaram dois trabalhadores ai na porta, mas ninguem quer arriscar por causa da seca. Querem ganhar por dial
- E ... 0 pessoal esta com medo de nao colher nada - observou Alice.
- Eu sei disso. 0 probJ-ema e que realmente nao tenho como pagar; so mesmo com parte da colheita.
Os garotos entreolharam-se sem saber se ficavam tristes pelas dificuldades da senhora ou sese alegravam pela perspectiva que as circunstancias lhes ofereciam. Como Beto hesitasse, Lino cutucou-o e ele se abriu:
- Bern, dona Rosa ... N6s nao somos exatamente trabalhadores rurais, mas temos alguma pnitica .. . Principalmente a Alice, que ajuda os pais dela ...
- Esperem ai. . . Deixem-me verse eu estou entendendo direito ... Voces estao se oferecendo para trabalhar comigo? E isso?
Antes que Beto abrisse a boca, Lino descarregou: - E isso mesmo, dona Rosa! A senhora aceita? A mulher ficou sacudindo a cabe<;a, como se nao acre
ditasse. Em seguida, questionou: - Voces entenderam bern a proposta que eu fiz? - Entendemos - respondeu Tafs. - Dinheiro s6 na
colheita, se houver colheita! - E consultaram os seus pais? - Sim, n6s falamos com cles- tranquilizou Lino . -
Nao ha problema! - Voces sabem melhor que eu: trabalho no campo nao
e facil. .. E assim mesmo estao dispostos? - tornou ela, comovida com a iniciativa dos garotos.
- Por mim come<;ava agora mesmo!- respondeu Lino entusiasmado.
Os olhos deJa brilhavam; por pouco nao se encheram de lagrimas. Beto percebeu e juntou:
- Verdade que s6 poderemos dar nossa contribui<;ao no perfodo da tarde ... Alem de que, algumas vezes, teremos trabalhos escolares ou precisaremos estudar . ..
Sem palavras, dona Rosa levantou-se, contornou a mesa e abra<;ou-se a Beto. Depois, voltando-se para os demais, disse o que todos esperavam com ansiedade:
- Voces estao empregados! Ou melhor, sao meus s6-cios no que produzirmos!
Alegrifl maior, impassive!. Abra<;aram-se todos e, em seguida, selaram o compromisso com urn delicioso cafe coado na hora.
No entanto, a alegria maior era da mulher. - N6s conseguiremos ... S6 precisamos confiar em nos
mesmos ... - Claro que conseguiremos - endossou Alice. - Meu
pai disse que a terra daqui e muito boa!
~ ~ , .•
' J•
.,
----------------~
- Dona Rosa .. . A senhora ja pensou no que plantar? - indagou Beto, objetivo.
E!a nao titubeou: - Come<;aremos com as coisas mais simples ... Verdu
ras e legumes . Produzem mais depressa e garantirao pelo menos a sobrevivencia. Que acham?
- Esse tipo de plantio precisa de muita agua- preveniu Alice.
- A agua existe, h<i varias nascentes Ia em cima. S6 pr~ cisamos puxa-la para baixo.
- Uma mangueira- sugeriu Lino. - Exatamente - aprovou ela. - Vamos canalizar a
agua. Depois da eu foria, Be to passou a pratica: - Precisamos conhecer os Iimites do terreno ... A mulher saiu a portae mostrou: - Notem que o terreno e quadrado. Tem cem metros
de !ado, e gostaria que a metade dele ficassc para a casa e para o espa<;o livre.
- Entao- disse Beto -, vamos plantar na outra mctade, a que beira a cstrada.
Nesse momento, Tafs pegou um bloco de papel da bolsa e desenhou apcnas a parte do tcrreno destinada ao plantio, dividida em quatro partes iguais:
[]]]J 100m
- E is so af - concordaram os demais. - Agora e s6 calcular que parte do terreno correspondente a planta<;ao cabera a cada um de n6s.
- Se o terreno para plantio tern cern metros de comprimento ... - propos Alice - dividindo por quatro ...
- A cada urn de n6s correspondera uma parte equivaJente a 25 metros - concluiu Lino.
E indicou no desenho que Beto havia riscado:
Z5m 25m 25m 25m __.._, _..._ _...._ _..._
IJilGJll ~
. foom
r ~~~~
1
111
I
I
Ill
1111
Ill
I I' .I
~---------------
3 1 - =-6 2
Entao, questionou: - Qual dessas frac;:oes parece a mais simples? -Urn meio - tornou ela sem hesitar. - Certo. Eu posso considerar urn meio como a simpli-
ficac;:ao de tres sextos- concordou e interrogou: - Voces estaci lembrados da propriedade fundamental das fra<;:oes?
7
~~ ·
- ! f I I
I·
Ap6s urn curto silencio, Beto falou: - E aquela que diz que podemos multiplicar ou divi
dir os termos de uma frac;:ao por urn mesmo numero .. . Nao e isso?
- E como resultado, encontraremos uma frac;:ao equivalente - completou Juliana.
- Estou vendo que voces ainda se recordam ... Agora, pensem nessa propriedade e me digam que calculo temos de fazer para simplificar tres sextos em urn meio?
- Ora, Samuel. .. E s6 dividir os termos da frac;:ao por tres - respondeu Lino. ·
Samuel foi a lousa e indicou:
E concluiu:
3 · 6 ·
1 -2
- Pprtanto, para simplificar frac;:oes, dcvcmos dividir os scus termos por urn mesmo numero, que seja divisor do numerador e do denominador ao mesmo tempo.
E voltou a escrever:
4 12.
Ap6s o que, questionou: - Como faremos para simplificar a frac;:ao quatro do
ze avos? - Podemos dividir ambos os termos por dois- suge
riu Tais.
4 :2 12. :2
=2: 6
Quando Samuel terminava de escrever, Alice sugeriu: - Ainda da pra dividir por dois de novo! Ele gostou da intervenc;:ao e completou:
4 :z Q :z 1 --= =-12:2 6 : '2 3
- Espere ai, Samuel. .. - pediu Beto. -A gente nao poderia simpli ficar de uma vez s6, dividindo por quatro?
45
\
- Era isso mesmo que eu queria que voces percebessem. E registrou conforme o proposto:
4 :4 12:4
;j_ 3
- As duas maneiras de simplificar estao corretas, mas o Beto percebeu que quatro e o maior numero possivel pelo qual os termos da fra<;ao poderiam ser divididos. De qual-· quer forma, 0 importante e chegar a uma fra<;ao irredutivel. ..
- lrredutivel? - interrogou Marcelao. - Uma fra<;ao que nao possa mais ser simplificada. E propos varias fra<;6es para serem simplificadas: - Se voces perceberem qual e o maior divisor dos ter
mos, a simplifica<;ao tera urn numero de passagens inenor e sera mais rapida.
4 :2. Q 6 :2 3 =- =-
6 :2 3 10:2 5
5 :5 1 30 :10 3 -- =--100:5 20 160 :10 16
Para simplificar uma frar;:§o, deve-se dividir seus termos por um mesmo numero natural, diferente de zero, obtendo-se dessa for · ma uma frar;:ao equivalente 8 frar;:iio dada.
As frar;:6es que niio podem ser simplifica · das s§o chamadas ir redutlveis. Exemplo: 1 4 11 14
Como a turma dominasse o assunto com facilidade, ele l£'o' T.'1' 75"· I deu prosseguimento a aula para que OS alunos conhecessem outros aspectos das fra<;6es.
- Agora, vamos ver como somar ou subtrair fra<;6es como mesmo denominador. Para isso, voltaremos a usar os cart6es.
Deslizou o indicador no ar e apontou para urn aluno: - Guilherme ... Va ate a caixa e pegue tres oitavos. 0 jovem pegou tres cart6es rosa:
Entao, ele chamou: -Alice ... Voce vai pegar quatro oitavos.
~ ... -. -
Ela mostrou quatro cart6es rosa, ap6s o que Samuel quis saber:
- Se n6s reunirmos estes tres oitavos aos quatro oitavos, que fra<;ao teremos?
- Sete oitavos. Isto e, sete partes de urn oitavo - respondeu Alice prontamente.
Samuel aprovou e escreveu:
3 4 7 -+ -==-8 8 8
Em seguida, o professor chamou Tais: - Pegue, vamos ver. .. Sete quartos.
..1. 4
:~~~ /o:e~'m:rde~~~ mmador, somam-se os numeradores e 'ponserva-se o d.enominador.
[£1 ~.. I .... --~ -------. . . I ln IJ: CU \v ",,J
A garota pegou sete cart6es de urn quarto, dos qu~s; socla~ao Oeste Samuel retirou seis quartos. E dirigiu-se a classe: --~
- Com que fra<;ao Tais ficou? - Urn quarto! - acertaram todos. Ele confirmou com urn gesto e escreveu:
7 6 1 4-4=4
- Muito bern ... 0 que voces perceberam sobre a forma de realizar essas opera<;6es?
- Nos nao mexernos no denominador. Fizemos as con-tas, usando apenas os numeradores - percebeu Alice.
- E verdade - concordou Beto. - Mas por que, Samuel? - indagou Lino. E Samuel passou a explana<;ao: - Notem o seguinte: o denomin-ador indica em quan
tas partes o inteiro foi dividido; portanto, define o tamanho de cada parte. Como n6s estamos lidando com partes do mesmo tamanho, e s6 somar ou subtrair a quantidade das partes.
Nao satisfeito, pegou urn cartao e prosseguiu: - Por isso, usamos uma cor para cada denominador
e os cart6es da mesma cor sao do mesmo tamanhp. Por exemplo, tres cart6es bege com mais dois cart6es bege somam cinco
Para subtrair frar;:6es como mesmo deno minador, subtraem-se os numeradores e conserva-se o deno-1minador.
·<3>-------------------------· cart6es bege, da mesma forma que tres sextos com dois sextos resultam cinco sextos.
Desenhou os cart6es na lousa e escreveu matematica-mente a questao, antes de continuar:
DDD 'DD 2.+~==__§_ 6 6 6
- Dessa forma, fica clara que samar ou subtrair fra <;6es com o mesmo denominador e como contar partes do mesmo tamanho .
Alice preferiu ilustrar com urn novo exemplo: - Entao, se eu tiver tres cart6es vermelhos e pegar mai s
quatro, ficarei com sete cart6es vermelhos. Ou seja·, tres ter-c;os mais quatro ter<;os resultam sete terc;os. E isso? ·
- lsso mesmo - confirmou Samuel, registrando o exemplo da jovem na lousa.
ODD DODD ~+ 4 ==:I_ 3 3 3
Todos compreenderam e alguem pediu um exemplo com subtrac;ao. 0 professor atendeu:
- Se eu tiver dez cart6es cinza e Lino me tirar quatro cart6es, ficarei com seis cart6es cinza. Isto e: se eu tiver dez quartos e me forem retirados quatro quartos, ficarei com seis quartos.
E registrou na lousa, como fizera antes com o exemplo de Alice:
DDDDD D 0 0 1Z H:Z
10 4 6 4-4:::. 4
r ..
Em seguida, voltou-se para a classe e disse: - Observem se ainda existe alga que podemos fazer ... - Claro! Podemos simplificar o resultado! - Isso, Tafs! Quer vir a lousa? E ela explicou diante da classe: . - 0 maior numero que e divisor do seis e do quatro
ao mesmo tempo eo doi s ... Ai e s6 dividir para simplificar:
10 --4
4 4
6 .. 3 4 .<J = z
- Obrigado, Tais. Foi uma excelehte apresentac;ao. Como a classe se pusesse a murmurar pelo ]eito con
vencido da Tais, Samuel passou ao resumo da materia: - Nao sc csque<;am ... Para samar ou subtrair fra<;6es
com o mcsmo dcnominador, conservamos o dcnominador c somamos ou subtrafmos os numeradores.
E passou uma serie de exercicios para que os alunos resolvcsscm nos cadernos, lembrando que deveriam simplificar os resultados scmprc que passive!.
....7_ + j_ + _9_ :::. 11_ 5 5 5 5
1·0 +.£= g 8
16 :8 2 8 ·s -= T
2 1 -+-= '3 g
15 9 6-6=
3 :3 - 1 9 :3 - 3
6 6 1 6 :6 =- T
17+_1 =18:2 =2._ 16 16 16 :2 8
1 11
11:11
II ',
II~'
II ' '
~
/ 9 Ao trabalho /
ISl amuel andava muito curiosa de conhecer dona Rosa, pois os garotos s6 falavam dela. E dona Rosa, de conhece-lo, porque notava bern o carinho com que os jovens se referiam ao professor.
A oportunidade surgiu com a necessidade das compras. 0 grupo precisava ir a cidade
adquirir os quatrocentos e tantos metros de mangueira, algumas ferramentas e sementes. Mais que depressa, Samuel colocou 0 fusquinha a disposi<;:ao.
No sabado, foram as compras, a bordo do veiculo superlotado. E, como esperavam, o primeiro encontro entre o amigo e a mulher foi cereado da maior alegria.
Tambem seu Luis e dona Ofelia, pais de Beto e Tais, prestaram sua eolabora<;:ao, despachando um dos empregados para o sitio vizinho, a fim de consertar uns peda<;:os de cerca, trocar as telhas quebradas da casa e instalar a manguetra.
Na segunda-feira, finalmente, logo ap6s a volta da escola, OS jovens puseram maOS a obra.
- Onde e que eu cavo? - adiantou-se Lino, disposto . - A divisao ja foi feita ... E s6 pegar a sua quarta par-
te - respondeu Tais. - E ... Mas assim, sem uma divisao real, fica dificil sa
ber onde come<;ar e onde parar: - Humm .. . Pela disposi<;ao, Lino vai fazer toda a parte
dele hoje ... - ironizou Alice. - Espera ai, Alice ... Lino tern razao! A primeira coisa
que temos a fazer e delimitar a area a ser cultivada ... Precisamos de uma marca<;ao concreta.
- Como faremos essas marca<;oes?- quis saber Lino. Os componentes do grupo puserarh-se a procurar em
volta por algo que pudesse servir, mas Alice tinha a solu<;:ao. - Vamos precisar de barbante. - 6tima icteia - aplaudiu Beto. E Tais lembrou-se: - Dona Rosa tern urn rolo de barbante guardado la na
gaveta da mesa. Eu a vi cortar urn peda<;o, outro dia. De fato, a mulher dispunha do material necessaria, urn
novelo inteiro, que comprara na intui<;ao de que ainda serviria para alguma coisa.
-- Usem a vontade! Daqui a pouco, eu OS chama para o cafe com broa de milho!
- Oba! Broa de milho? - Que alegria e essa, Lino? N6s viemos aqui para co-
mer ou para trabalhar? - censurou Tais. Dirigidos por Alice, Beto e Lino fincaram estacas de ma
deira e esticaram os fios, delimitando os varios canteiros. - Pronto ... Os canteiros ja estao demarcados ... - mos
trou Lino. - E .. . Acho que chegou a hora de cavar. .. - falou
Be to. - Tambem desconfio que as cenouras nao vao se en
fiar pelo chao sozinhas ... - brincou Tais. - Poxa ... Esse chao esta mesmo seco ... - observou
Lino, tentando com a enxada. Beto pisoteava o solo com o calcanhar da bota e pare
cia concordar com o amigo, que brincou: - Continue batendo, Beto... Quem sa be a terra
amolcce? - Nao precisa pisotear ... - contrariou Alice. - E s6
jogar agua! - Que agua? - indagou Lino, procurando a sua volta. Alice olhou-o e perguntou: - Para que voce acha que n6s compramos a manguei
ra, hein, Lino? - Ora, para molhar as plantas! Falou e imediatamente percebeu a tolice que dissera. An
tes que o assunto se prolongasse, convidou Beto e foram buscar o equipamento.
- Puxa, Alice ... Voce sabe mesmo das coisas ... - cumprimentou Tais.
- Eu tenho de saber; sempre ajudei os meus pais no plantio... ·
-E ... N6s nunca passamos perto de uma enxada ... -reconheceu Tais, meio encabulada.
A nissei percebeu e justificou, rindo: - Ora, isso e natural, Tais ... Os pais de voces tern ne
g6cios na cidade. Nao vivem como n6s, exclusivamente da terra.
- Ainda bern, Alice, ainda bern! - Nao fosse a sua experiencia, nao sei se valeria a pena ... - comentou Beta, de passagem.
Mal ele falou e chegou dona Rosa animada: - N6s conseguiremos, garoto, ponha isso na sua ca
be<;a! E com os conheeimentos da Alice sera, sem duvida, mais facil!
51
r-
- Claro que conseguiremos - confirmou Tais. - A senhora pode contar comigo, dona Rosa! Eu vou
ate o fim! - prometeu Lino. - N6s chegaremos Ia, juntos! Voces verao! Antes de
tocar o projeto pra frente, que tal tomar urn cafe com broa? Nao foi preciso urn novo convite. Desceram todos atras
eta mulher, em dire<;:ao a cozinha.
Deno10inadores diferentes
om dia, turma. Preparem-se todos, que hoje tern novidade.
A classe cessou o burburinho c clirigiu a at.cn-<;:ao para Samuel. '
- N6s ja aprendemos a somar c a subt.rair fra<;:6es como mesmo denominador. Hojc, vamos
descobrir como proccder com dcnominadores clif'ercnte~. Enquanto falava, ja pegou clois cart6es c, moslrando
para a classe, interrogou:
B ~· t "r-; t.' ' . . . 1' .. l')
' ~,) • ' ,'f ~ ~; f, .,,, ;,.._,... . • • •
~h·'!;l;4 ,,(:;,; \'k ,J'F.f«/~;, • n I ,l'< ~,, /fJi.§LIIJ'l':.Ji\' ' lt rr-t ,
- Que fra~ao resulta dessa soma entre urn meio e urn quarto?
A classe fez silencio e demorou para que alguem ar-riscasse.
- E urn sexto? - tentou Guilherme. Samuel pegou urn sexto e colocou no paine!, ao !ado
etas frq<;:6es que queria somar. - 0 que voces acham? A soma de urn meio e um quarto
resulta um sexto?
- Claroque nao! Urn sexto e ate menor que urn quarto! - interveio Beto com seguran~a.
- Entao, deve ser dois sextos - retrucou Marcelao. E Samuel comparou novamente:
- Bem ... Voces dcvcm estar notanda que a ideia de somar os dcnominadores csla errada ...
- 0 problema c que n6s s6 aprendcmos a somar fra<;:6cs com o mesmo clenominador! - falou Tais.
- E, Samuel. .. N6s s6 aprendemos a so mar partes do mcsmo Lamanho! - acrcsccntou Alice.
Samuel riu com a perplcxiclade etas garotas c concorclou: - E vcrclacle, voces tem razao ... No cntanto, podemos
fazcr Lrocas por fra<;:6cs cquivalentcs. Por que voces nao procuram na ca ixa de cart6cs alguma possibiliclacle?
Os a lunos aceitaram a sugcstao c logo pcrccberam qual era a saicla.
- N6s poclemos trocar um marrom por do is cinza ... Ou seja, trocar a fra<;:ao urn meio pela fra<;:ao dois quartos - dcscobriu Bcto. - Nao e isso, Samuel?
- Sim. Dcssa forma, poderemos somar com o outro um quarto, pois ai teremos fra<;:6es com o mesmo denominador, ou seja, todas as partes terao o mesmo tamanho -cone I uiu Samuel.
E dizcnclo isso, foi ate o paine!, onde fixou os cart6es e escreveu o seguinte:
E continuou:
1 2
l I' .01 • ' I~ •; l~f ' . f .· ~ ; { ·· . .... :· .. . ::4·"\·• ·: . ' ' tr •'-' t•
- Depois de efetuada a troca de um meio por sua equivalente dois quartos, temos o seguinte:
1 . 4
53
' 'r 1111
,II
ljll
I
-_,._ ..
>---------------------------------------------------------~--------------------------------------------------~
E todos gostaram muito de como tudo foi feito. E logo a seguir Samuel propos outra questao:
-- Vamos somar dois nonos com urn ten;o ... -- Quer que eu pegue os cartoes referentes a essas fra-
r;:oes? -- ofereceu-se Alice. -- Sim, claro, e ponha-os no paine!, por favor. ..
tE ~+..!__= 9 3
Ass im que a garota colocou no paine!, Tais manifestou-se:
-- Essa esta facil ! E s6 trocar urn terr;:o por trcs nonos e ja poderemos somar!
Alice procedeu a substituir;:ao e ao calculo:
tE .!.. t3
_!.._ 9 1 9
2 3 5 -+-=-g 9 g
-- Muito bem-- elogiou Samuel. -- Pode voltar ao seu Iugar. ..
E falou, entao, para a classe: -- Voces notaram que bastou trocar uma das fra<;:oes
por outra equivalente, para que ambas ficassem com o mesmo denominador e passassem a representar partes do mesmo tamanho. Dessa forma, podemos entao somar os numeradores ... Entretanto, nem sempre e tao simples assim ...
E dizendo isso, propos nova atividade, pegando as seguintes fra<;:oes:
-- Como podemos somar essas duas fra<;:oes? -- Vai ser dific il -- reclamou Tais. -- Acho que nao
da para trocar meios por terr;:os ou te rr;:os por meios?! -- Voce tern razao-- concordou Samuel. --Para so
mar essas frar;:oes nao basta transformar somente uma delas. Na verdade, teremos de encontrar urn novo denominador para as duas frar;:oes ... Peguem os cartoes e ten tern descobrir o caminho.
Varios alunos correram aos cartoes e, depois de algum tempo, Lino mostrou:
-- Sera que e isso? Se eu trocar tudo por cartoes bege, acho que da certo. Estarei trocando tudo por sextos e mostrou:
• • -- Muito bern, Lino! Registre sua descoberta na lousa:
1 1 -+-= 2 3
3 2 5 -+-=--6 6 6 Depois ·que o garoto resolveu, Samuel confirmou: -- Perfeito. Efetuando as trocas pelas fra<;:oes equiva
lentes, com denominadores iguais, encontramos cinco sextos. Juliana nao se mostrava muito convencida. -- Se estou entendendo, a gente vai ter de adivinhar,
cada vez que quiser calcular. ..
- Nao, Juliana, nao tern nada aver com adivinha~ao. Os exemplos que nos trabalhamos podem nos dar as pistas ...
- Pistas? Mostre ao menos uma, que eu nao estou ven-do absolutamente nada.
Samuel riu e pos-se a recapitular: - Nos trabalhamos com tres exemplos ... Certo? - Certo. - No primeiro, entre os denominadores dois e quatro,
nos escolhemos o quatro. E notem que ele e multiplo de dois e dele mesmo . No segundo exemplo, entre o tres e o nove, escolhemos o nove, que e multiplo de tres e dele mesmo. E no terceiro, entre dois e tres, escolhemos o seis, que e multiplo do dois e do tres, simultaneamente. Certo?
- Ate af estou acompanhando - concordou Juliana. - E daf?
- Como vimos - continuou Samuel com a explica~;ao -, em cada caso, o novo denominador foi sempre m(iltiplo dos denominadores das fra~6es que queriamos so mar ...
- Quer dizer que a chave e descobrir urn multiplo dos denominadores? - tentou Tafs.
- Quase isso, Tafs. Se voces notarem bern, nos escolhemos sempre o menor multiplo comum. Em seguida, so precisaremos encontrar os numeradores dessas fra<;6es equivalentes as anteriores ... Vamos ao exemplo . . .
2. 4 -+-= 3 5
- Como as fra~6es tern denominadores diferentes, precisamos encontrar urn novo denominador, igual para as duas fra<;6es - observou Beto.
- Correto - concordou Samuel. - E qual eo menor multiplo comum de tres e cinco?
- E quinze - respondeu a classe. Samuel gostou do desempenho e prosseguiu: - 0 proximo paSSO e descobrir OS numeradores de ca
da uma das fra~6es equivalentes as anteFiores, cujo denominador seja o quinze ...
Falou e escreveu:
2 4 3+-s=
15 +15=
Todo numero natural possui um conjunto infinito de multiplos, que resulta da multiplica<;:fio desse nume· ro pel a sequencia dos numeros naturais. Exemplos:
Ml31 = ! 0, 3, 6, 9, 12 .. I
Ml101 = 10. 10, 20, 30, 40 .. l
Ml211 = JO, 21, 42, 63, 84 .. l
Dessa forma, pode-se dizer que a e multip/o de b, se a for divisive/ por b.
- E agora voltamos a adivinha~ao? - indagou Lino. - Adivinhar seria mais dificil. Se o novo denomina-
dor e multiplo do denominador anterior, isso significa que o tres foi multiplicado por algum numero a fim de resultar quinze. Estou certo?
A classe inteira concordou e ele passou a escrever:
3x®= 15 Ott
15:3=®
- s: entao? Qual e 0 numero? -Eo cinco! - Portanto, e so dividir o novo denominador pelo
antigo ... - Dividir o novo denominador pelo antigo? - estra
nhou algucm. E Samuel tornou a explica~ao: - Voces se lembram da propriedade fundamental das
fra~6es? - Se multiplicarmos os termos de uma fra<;ao pelo mes
mo numero, encontraremos uma fra<;ao equivalente- enunciou Beto.
- lsso mesmo! Entao, vamos Ia! N6s ja descobrimos que o antigo denominador tres foi multiplicado por cinco, resultando quinze, que eo novo denominador. Portanto, temos agora de multiplicar o antigo numerador dois por cinco tambem.
E assim procedeu:
_g_ + _4_ == 3 \ 5
10 ) ·, 15 -t 15 =
- Notem que a fra~ao dez quinze avos e equivalente a fra~ao dois ter~os, porque dividir por tres e pegar duas partes e 0 mesmo que dividir por quinze e pegar dez partes.
E passou a comoletar a segunda fra~ao:
·"'I' I
~ ~ ) + E: ~) ('10 '( 12 .\ -15 + \ 15 -
22 15
- Ao dividirmos o quinze pelo cinco, encontramos tres, que e o mesmo que descobrir por qual numero o cinco foi multiplicado. Esse resultado, tres, foi entao multiplicado pelo numerador e dessa forma encontramos doze quinze avos, que e equivalente a fra<;ao quatro quintos.
- Dai, podemos somar as fra<;6es porque elas passaram a ter o mesmo denominador - prosseguiu Tais.
- E n6s podemos encontrar a solu<;ao, usando cart6es ou, en tao, calculando dessa forma ... - concluiu Beto.
- Correto - concordou Samuel. - E como nem sempre teremos cartoes, e importante saber calcular. Na verdade, eles serviram para nos dar as pistas para que chegassemos ate aqui.
- E sea gente fizesse urn resumo de tudo isso? - propos Juliana.
- Era isso mesmo que eu ia sugerir - disse Samuel, que foi ate a lousa e escreveu:
SOMA DE fRA(:Of5 COM OENOMJNADORE5 OlfE.RE.NTE5
1~) Encontrar o menor multtplo comw...,_ entre· 01, deno~LMdorM,.
2~) E1.crt\Jtr o mliltLplo t-nconirado ~ -1u£i o f\OVO det1omi.r\a.dor da~ fra¢~ .
3~Vividir eMe. det1omiMdor v.elo attitrior t multlplicar o re11Alta.do ~~CL divi~ao ptlo a.-tttgo nuwterador.
4~) f?epo~ ~ obttr M fracB~ tqutvalet1-tti, lM.- anterwr~ com o wu~nto deKDmiM.ador1 .6o~ar ~ V\~ wteracJ.orf..i,.
Para reduzir fracoes a um mesmo denominador e preciso: - determinar o me
nor multiplo comum aos denominadores;
- para cada frar;ijo, efetuar a divisiio do multiplo encontrado pelo denominador e multiplicar o resultado obtido pelo numerador.
·--------------------------------~
Registrado o resumo nos cadernos, Lino levantou a questao:
- 6 Samuel. .. N6s podemos so mar mais de duas fra<;6es com denominadores diferentes?
- Naturalmente. Basta transforma-las em fra<;6es equivalentes a cada uma delas que tenham o mesmo denominador. .. - e mudando de tom: - E por que mesmo as fra<;6es devem ter o mesmo denominador para efetuarmos adi<;6es ou subtra<;6es?
- Para que as fra<;6es fiquem com as partes do mes-mo tamanho - lembrou Tais.
E Samuel confirmou: - Reduzimos as fra<;6es a urn mesmo denominador
quando queremos soma-las porque s6 podemos realizar essa opera<;ao com partes iguais entre si.
Aproveitando o interesse da classe, lan<;ou urn novo desafio:
- Alguem pode me dizer como fazemos para subtrair fra<;6es que tenham denominadores diferentes?
A resposta de Alice nao demorou a surgir: - Precisamos encontrar as fra<;6es equivalentes a ca
da urn a de las com o mesmo denominador. - Precisamos encontrar o menor multiplo comum dos
denominadores - lembrou Beto. - E ... - prosseguiu Alice. - Podemos fazer da mes
ma maneira que fizemos com a soma. Dividimos o novo denominador pelo anterior e multiplicamos o resultado da divisao pelo antigo numerador.
- Excelente! - reagiu Samuel. - Entao, posso propor urn exercicio?
Enquanto falava, escreveu no quadro:
2 1 4-3==
Depois, virando-se para a classe, convidou: - Beto ... Quer vir resolver? Beto foi ate a frente e come<;ou a explicar: - Primeiro, e preciso achar o menor multiplo comum
de quatro e tres, que e doze. Dai, e s6 dividir o doze pelos denominadores e multiplicar pelos numeradores ...
2 1 4-3= 6 4 z
12 - 12 == 12
11 - Muito bern- aprovou o professor.- Alguem tern 7
algum coment<irio a fazer? • , - ·A resposta pode ser simplificada- notou Juliana. A senteadura .
- Basta dividir os termos por dois. Beto concordou e procede4 a simplificac;ao:
6 4 -,z- 12 =
2 12.
1 =6
Encerrando a aula, Samuel propos uma serie de exercicios de adic;ao e subtrac;ao de frac;6es com denominaclores diferentes, cujos resultados deveriam ser simplificados scmpre que possivel.
3 1 2 5+2 +10 =
6 5 2 13 10 + 10 + 16 = 10
i--t= g 1 7 4-4 7 4
7 2 -+-= 5 4
28 + 10 = 20 20
_N_j_= 21 3
3S 20
= 1q 10
19 7 21 - 21 =
12 21 . =~
Para samar au sub trair frac6es com de nomina.dores dife rentes e preciso:
reduzi-las a um mesmo denomi nador; samar au subtrair os numeradores, conservando-se o denominador encontrado; simplificar o resultado obtido, sem· pre que passive/.
pesar da dificuldade inicial, os jovens agriculto-
A res mostraram muita fon;:a de vontade e venceram a fase mais dura. Dona Rosa e Tais ajudaram pouco e Alice se esfon;ara. Na verdade, o duro maior ficara por conta de Beto e de Lino. Enfim, a area a ser semeada fora cavada e a terra en-
contrava-se revolvida a espera das sementes. - Nem acredito que n6s fizemos isso! - desabafou Li
no, derramando a vista pelos canteiros. - Ah, Lino, nao foi tao dificil assim, vai. .. -contra
pas Alice. - Voce diz isso porquc o pesado ficou para n6s. Fala
pra ela, Beto. Quem falou foi Tais: - Eu bem que tentei, mas cavar. .. Realmente, estava
alem das min has forc;as ... . Lino desmanchou-se todo: - Nao diga isso, Tais! Estava brincando, voces ajuda
ram muito! - E normal. N6s pagamos pela fait a de pratica ... Na
proxima, estaremos calejados e tudo sera mais facil. .. - considerou Beto.
- Pois eu prefiro sem calos! - retrucou a irma. - F dona Rosa, coitada! - lembrou Alice. - Quis nos
ajudar e passou dois dias sem poder andar! - Bern que eu avisei - tornou Beto. Diante d9 campo trabalhado, os jovens mostravam-se
recompensados. Nao havia duvida de que a parte mais dura fora realizada. Agora, tocava semear.
A dona da casa botou a cabec;a para fora da janela; e, pouco depois, vinha ao encontro da garotada, trazendo os saquinhos de sementes. Cenoura, rabanete, tomate, pimentao, alface, couve-flor e repolho.
- Olha que beleza ficou o seu campo, dona Rosa -brincou Lino, que nao se cansava de admirar.
- 0 nosso campo! - rebateu ela. - E aqui estao as sementes!
- Fac;o questao de plantar o primeiro tomate! - avanc,:uu Lino, levantando-se num salto.
Beto achou grac;a e tratou de refrear o animo do corripanheiro.
- Va com calma, Lino. E melhor ouvirmos Alice novamente, porque nao podemos desperdic;ar nenhuma semente!
li'
- lsso mesmo! - apoiou Tais. - Cada semente perdicta e produ~ao de menos, dinheiro de menos ...
- E instrumentos de menos! - completou Beto. Dona Rosa examinava o ceu, alheia a conversa. Quan
do desceu a terra, arriscou 0 palpite: - Estou desconfiada que ate Sao Pedro vai nos
ajudar. .. - Sera, dona Rosa? Quando estava cavando o chao du
ro, ele nao ajudou nadinha! - retrucou Lino brincalhao. - Olhem para aquelas nuvens escuras ... - apontou ela.
- Alem disso, quando me levantei, pela manha, senti uma dorzinha na junta ... E isso nao falha, e mudan<;:a de tempo!
-E ... Vamos torcer para que o santo ajude mesmo! - acrescentou Tais.
Alice, porem, pensava de forma mais pratica. - E melhor a gente se apressar ... Se tiver de chover,
e born que seja depois do campo ja semeado. -Que estamos esperando?- falou Beto, pondo-se de
pe. ---:-Vamos dividir as sementes e, em seguida, Alice explicani como procedermos.
Como ele dividisse as sementes em quatro partes, dona Rosa protestou:
- Que e isso, menino! Esta certo que nao agi.ientei cavar, mas semear eu posso!
- Para semear e preciso aba.ixar . .. A senhora vai ficar com dor nas costas ...
- Nao tern importancia; fa<;o questao de botar a mao na massa ... Is to e, na terra .
- Entao, vamos! Alice explicou pacientemente o procedimento correto
para cada tipo de semente, espa<;amento e profundidade certos e, em seguida, passaram a pratica.
- Capricha ai, Tafs! Muito cuidado com os nossos lucros! - brincava Lino.
- Eu tenho mao boa; vai nascer cada repolho maior que a sua cabe<;:a!
- Capricha voce tambem, Lino- recomendou Beto. - E daqui que sairao os nossos instrumentos!
- Deixa comigo! A tarefa foi bern mais nipida do que imaginavam. - Terminei! - avisou Tafs, pulando de alegria. - Eu tambem! - fez coro Lino. 0 ultimo a encerrar o ritual foi Alice: - Pronto! Esta tudo plantado! Mal ela terminara de falar, quando todos sentiram os
pingos grossos sobre os bra<;os queimados de sol. Dona Ro-
~/ . .
iJ" ____...,. ./
~\ I t/~ -(
~ 11 • 0
~ ~ ~ ~
sa olhou para o ceu e saiu gritando em dire<;ao a casa: h.. .........--·- .,.
\\ ....;
\
- Corram, meninos! Corram, que a chuva vern vindo! A chuva caiu sem vioH~ncia, mas espessamente. S6 quan
do a mulher chegou a porta da cozinha, se deu conta de que
Ill
corria sozinha. _Os joven_s brincavam de roda na chuva, can-tando com mmto entus1asmo . .
U I ll \
11
11 Jill Fra~Oes de 8gua
II
·,,
II
~
·----· aquela manha, Samuel cumprimentou rapidamcnte a classe e ja foi escrevendo na lousa:
N 4 2
12 4
3 3
- Que tipo de fra<;6es sao essas? - interrogou, a seguir. Beto consultou as anola<;6es do caderno e respondcu: - Sao fra<;6es aparentes, pois OS numeradorcs sao mul -
tiplos dos denominadores ... - Tambem da pra perceber que quatro meios sao qua
tro partes de um meio ... Portanto, tercmos dois intciros. - Excelente! - aprovou o professor. - No oulro
exemplo, podemos notar que doze quartos representam trcs inteiros .. .
- E tres ter<;OS representa um inteiro no ultimo exemplo - completou Lino.
Samuel concordou e pediu: - Simplifiquem, entao, essas fra<;6es. E lembrem-se:
para simplificar, devemos encontrar o maior numero pelo qual o numerador e o denominador possam ser divididos.
Deu um tempo para que os alunos se exercitassem e chamou tres deles para fazer a simplifica<;ao na lousa:
4 2
2 =T
12 4 -.
3 =-1
3 1 3=1
Quando os alunos tornaram aos seus lugares, ele prosseguiu:
- Notem agora o seguinte: dois inteiros ficou sendo representado por dois sobre um; tres inteiros ficou representado por tres sobre urn e um inteiro ficou um sobre um! Dessa forma podemos perceber o que?
- Que para representar quantidades inteiras em forma de fra<;ao, e s6 colocar sob essas quantidades o denominador um - concluiu Lino .
- Muito bern! lsso mesmo! - animou Samuel. Em seguida, ele propos que os alunos usassem os car
toes para representar outros exemplos de fra<;6es aparentes, e observassem o que haviam acabado de demonstrar, confirmando dessa forma o novo dado. Em seguida, foi representando as fra<;6es na lousa.
BBB ~ = _Q_ o«- 3 i.-ttelrD'l-2 1
[ll]ITIJDJJDJJ 1Z _ ± oM- 4 intel.ro-1. - 1
FRFR ~ = ~ ou. 2 i"-teir~ 4 -l 1
- Muito bern - tornou ele. - Ja sabemos que para escrever urn numero inteiro sob forma de fra<;ao basta colocar o denominador urn ... Pois bern, baseado nisso, posso propor ·urn exercfcio .. .
9+~= Escreveu e perguntou para Beto : - Adivinhe de onde tirei este exemplo. - De on de tirou? Nao en tendo on de voce quer chegar. .. - E voce, Lino? Tambem nao se recorda? Estou me
referindo a urn exemplo pratico . ..
~-----------------------------------------------------------~==--------------------------------------------------------~
Sem querer perder tempo, esclareceu: - Lembrei-me do que voces me contaram sobre os la-
-toes de agua ... - Que latoes de agua? - quis saber Guilherme. Antecipando-se a Samuel, Tais explicou a classe que ela
e seus amigos haviam guardado· agua da chuva para regar a planta<;ao, caso as secas continuassem. E Lino completou:
- E o mais engra<;ado e que choveu tanto que nem pre-cisamos daquela agua. .
- Pois vamos precisar, agora- explicou Samuel para a classe. - 0 nove representa os latoes que os nossos amigos conseguiram encher com agua da chuva ... E, alem dos nove, eles conseguiram encher urn quarto do outro latao ...
Juliana ouviu e adiantou-se: - Se a gente somar, encontraremos a quantidade de
agua colhida em forma de fra<;ao. Samuel concordou e chamou-a para realizar o calculo. - Primeiro- explicou ela -, colocamos o urn como
denominador do nove ...
~ 1 f+4=
- Em seguida, precisarnos escolher o novo deno-minador... -
- Que devera ser rnultiplo de urn e de quatro, que e o quatro mesmo - antecipou-se Tais.
Juliana escreveu o novo denominador e calculou, em seguida, os numeradores das fra<;oes equivalentes, dividindo o quatro pelos antigos denominadores e multiplicando esse resultado por cada urn dos numeradores.
Dessa forma, ela encontrou fra<;oes equivalentes com o mesmo denominador, o que possibilitou a soma dos numeradores.
g 1 T+4=
36 +j_- 37 4 4- 4
S6 entao Samuel interferiu: - Portanto, voces tinham guardado trinta esete quar
tos de agua, considerando como inteiro cada latao .. : Por aca-. so voces sabem quantos litros cabem em cada latao?
- Meu pai disse que cabem duzentos litros - afirmou Lino. ·
- 6timo! Entao, utilizando as fra<;oes. vamos descobrir quantos litros de agua estavam armazenados. Ja sabemos que cada latao contem duzentos litros e tam bern que ele pode ser representado pela fra<;ao quatro quartos ...
Parou de falar e passou a situa<;ao para o quadro:
4 4
_,zoot 200t
_,
- Por que vamos representar o latao inteiro por quatro quartos? - interrompeu Marcelao.
- Note o seguinte ... - atendeu o professor. - Eles tinham guardado u·inta e sete quartos, nao e isso?
-E ... - Pois bern, eo mesmo que dizer que eles tinham trin-
ta e sete partes de urn quarto com agua do latao .. Assim, o certo sera considerar o inteiro, atraves da fra<;ao quatro quartos .
Marcelao conseguiu .se localizar e Tais prosseguiu: - Para saberrnos quantos litros equivalem a trinta e sete
quartos, precisamos calcular, primeiro, quantos litros equivalem a urn quarto do latao. Estou certa?
- Absolutamente certa! - animou-a Samuel. E passo1u a pratica: - Se quatro quartos equivalem a duzentos litros, para
saberrnos quanto equivale a urn quarto, basta dividir duzentos por quatro.
E completou no quadro:
4 4 ~2oot
1 4~zoo:4=50
E._~? 4 .
-- ....._,
50
_50 1-------------i
50
50
zoo.e
- Sabemos, portanto, que em urn quarto cabem cinqiienta litros. Como sabe,remos quantos litros cabem em trinta e sete quartos? - perguntou Samuel.
- Ora, e s6 multiplicar a quantidade correspondente a urn quarto por trinta e sete - concluiu Lino.
37 ~ 37 x 50= 1 850 LiirOl.-4
I
I
j I ~
i
il
I
I
~ J: I
- Perfeito! - exclamou Samuel.- Voces tinham armazenado urn mil, oitocentos e cinqiienta litros de agua de chuva.
- Puxa! Acho que nem Sao Pedro tern urn estoque desse- comentou Tais, despertando. o riso dos companheiros.
I 13 Que &a~io I I o boi co01eu? I • conteceu justamente numa tarde em que Samuel
decidira acompanhar os jovens. Quando se preparavam para regar os canteiros, descobriram que a metade de urn deles havia sido destruida. A - Vejam o que aconteceu com o meu can
_, teiro! - sob;essaltou-se Lino. - Algum boi deve ter varado a cerca - disse Beto con
trariado. Ainda observavam o estrago, quando chegou a dona da
casa com uma jarra de limonada. - Voces viram o que o danado do boi fez? Se nao ti
vesse visto, ele acabari~ com a planta<;ao! 0 grupo procurou a sombra de uma arvore para sabo
rear o refresco, mas continuavam todos chateados como estrago. Samuel percebeu e tratou de inventar algo para reanima-los.
- Bern, nao adianta chorar sobre o Ieite derramado ... E se nos aproveitassemos essa situa<;ao para fazer uma nova descoberta sobre fra<;oes?
Lan<;ado o desafio, os jovens come<;aram a se interessar. - Que parte voces terao de replantar? - perguntou
Samuel. - A metade da parte que cabia ao Lino. E Samuel prosseguiu: - Muito bern. E que fra<;ao do plantio a parte do Lino
representa? - Urn quarto - respondeu Alice. - 6timo! Entao, teremos de replantar urn meio de urn
quarto. Certo? Apos a constata<;ao, perguntou se alguem tinha urn blo
co de papel.
-
- - --- ~
~----------------------------------------------------~~
- Eu tenho. So urn minutinho ... - falou Tais, revirando o conteudo de sua mochila.
Samuel desenhou, entao, urn esbo<;o da situa<;ao, parecida .com aquela que os jovens haviam feito quando dividiram o terreno para o plantio.
1 1 j t '- -2de4 ~~~f.l
T 4
- Notem que eu risquei a metade de urn quarto ... Agora, eu pergunto: que fra<;ao da area total representa esta parte?
- Como e que vamos saber? - perguntou Tais confusa.
Na dtivida, Lino arriscou: - E se nos dividirmos todas as partes ao meio? - Acho que Lino esta certo- comentou Beto. - Se
fizermos isso, teremos todas as partes do mesmo tamanho! - Teremos oito partes - calculou Alice. E procederam conforme o proposto:
~de~ {~ ITITI T 4
Samuel concordou e esclareceu: - Certo. E cada uma vale urn oitavo da area, pois o
inteiro fqi dividido em oito partes iguais. - E verdade - concordou Lino. -Urn meio de urn
quarto e urn oitavo. Portanto, vamos ter de replantar urn oitavo da area.
Alice, porem, nao compartilhava do entusiasmo dos companheiros . Samuel percebeu e indagou:
- Que foi, Alice? Nao concorda? - Claro que concordo! Mas, nos so descobrimos isso
por causa do desenho ... E se nao tivessemos o desenho? - E onde eu queria chegar. . . Como calcular matema
ticamente essa situa<;ao - respondeu Samuel. Sob o olhar atento de todos, ele prosseguiu: - Digam-me .... Como representamos em linguagem ma
lematica.a seguinte frase: tres pacotes de dez doces? - E facil! Escrevemos tres vezes dez:
3x10
1~ 1
ill
Ele escreveu e tornou a perguntar: - Como representamos cinco grupos de oito pessoas? - Da mesma forma, ora!
5x8 Depois de registrar no papel, Samuel comentou: - Notem o seguinte: nesses exemplos, a preposi9ao de
sempre substitui a ideia de multiplicayao. E o mesmo acontece com as fra96es: urn meio de urn quarto eo mesmo que meia vez urn quarto . Ou seja ...
.1. de _1 i inu.aL lL_L 2 4 "J g
aLL j_Xj_=j_ 2 4 8
- E mesmo! - confirmaram os jovens. - Ja sabemos- prosseguiu Samuel- que urn meio
de urn quarto resulta urn oitavo. E sabemos, tambem, que essa situa9ao indica uma multiplicayao . .. Tendo em vista o resultado, sera que voces conseguem perceber como encontralo matematicamente?
Os jovens observaram e Tais tentou: - Bern ... Eu notei que duas vezes quatro resultou oi
to ... E uma vez urn resultou urn mesmo. - Exatamente!- aprovou ele.- Para multiplicarmos
frayoes, multiplicamos os numeradores e os denominadores entre si! N6s ja sabiamos o resultado; agora, descobrimos como chegar a ele matematicamente.
- Puxa, que facil! - gostou Lino. - Vejamos outra situayao ... - propos Samuel.- Con-
sideremos a frayao urn teryo .. . Disse e desenhou no bloco:
0-----r----l
I I I I I I
------ _j__ -- - _ j
_!_ 3
- Agora, vamos representar tres quartos de urn teryo. - Ja ~ei- animou-se Tais. Vamos dividir esse urn ter-
<;o em quatro partes e riscar tres partes ...
~aej_ 4 3 ~
----T----:
I I
----- _l __ - - _ _j ---_L 3
- Para percebermos que fra9ao do inteiro representa lres quartos de urn ten;:o, e preciso dividir as outras partes em quatro tambem - lembrou Beto.
- Certo! Como fizemos com o terreno! Alice concordou e dividiu:
~de-1 4 3 ~
---- -;----- - ~
- ------J-------1
------~-----~ I I
-----+-------1 I I
_____ _L_ ____ __J
_1 3
- A figura ficou dividida em doze partes iguais -constatou Lino .
- Portanto, tres quartos de urn teryo resultam tres doze avos - completou Beto.
Samuel aprovou e passou adiante . - Considerando o que acabamos de descobrir sobre
multiplica9ao de fra96es, COIJlO devemos proceder para fat.cr essa opera9ao?
Lino escreveu:
3 L 1 I • -- _/ 3 4 ae 3 ~ ~ua.L a 12
x OIL ~1~3
3 X --4 3- 12 ' -.......___.7f ~
')(
i ~I ill\
,,,ll
I'll :I
I
Dona Rosa chegou no momento em que Samuel, dandose por satisfeito, resumia a descoberta:
- Para multiplicar fra~()es , basta multiplicar seus termos entre si; numerador pelo numerador e denominador pelo denominador.
E propos alguns exercicios piua os jovens trabalharem:
..!. )( .4_ ::: 4 . 1 = _g_ 10 7 10·2 os ..lixi.= Ji
6 z 12
.Q. X _.2. _ 15 : 3 _ _2_ 9 8- 72 :3 -24
:Zx:l..= 63 7 = _.2_ g 7 56 .'7 g
A mulher manteve-se em siH~ncio, observando a desenvoltura dos jovens no calculo . So ao final comentou:
- Calcular fra~c)es e muito importante, mas eu tenho certeza de que voces preferem colher o inteiro. Aqui esUio as sementes para repor as perdas.
- Falou pouco, mas falou bern, dona Rosa! - Brincadeira, Samuel! 0 grande semeador, aqui, e
voce!
Dividindo o bolo uando Samuel ensinou a multiplica~ao de fra~c'ies na classe, os quatro ja sabiam. E os demais colegas nao tiveram grandes dificuldades para entender. Na aula seguinte, porem, ele veio com a novidade.
- Nos ja descobrimos como somar, subtrair e multiplicar fra~oes ... Hoje, vamos aprender a dividir.
Fez urn rapido suspense e perguntou: - Quem pode me dar urn exemplo de fra<;:ao que te-
nha sido dividida? Juliana remexeu-se na carteira e arriscou: - Eu acho que posso . .. - 6timo! Vamos ao exemplo ... - Bern, e o seguinte . . . Ontem, minha mae fez urn bo-
lo ... E imediatamente guardou a metade, senao a gente co-
Para mu/tiplic;ar fra· t;6es e prec;iso: - multip/lc;ar os nu
meradores entre si; - multip/ic;ar os de
nominadores entre si"
- sfmplific;ar o resultado obtido, sempre que passive/.
- ----------------------------------------------------------~
mia tudo ontem mesmo. E depois ela dividiu a outra metade entre nos ...
- Nos quem? Quantas partes? - interpelou Samuel. - Ah, nos cinco ... Meu pai, minha mae, meu irmao,
minha avo e eu. Samuel riu e perguntou: - Alguem ficou com urn peda~o maior? - r-jao! 'Minha mae dividiu em partes iguaizinhas! - Otimo! 0 exemplo de Juliana serve perfeitamente!
A mae dela dividiu meio bolo em cinco partes iguais; partanto, o resultado dessa divisao sera a fra~ao do bolo todo que cada urn comeu.
Falou e ja escreveu na lousa, desenhando a seguir a situa~ao proposta:
?{ 1 -z: 5==
pat, ma'e
i,rmao a.v6
J"li.al'la
_1_ bolo 2
--- - - - ----1 I I I
gL«trdo"' :
I _ _ _______ J
- Como a metade que nao foi guardada foi dividida em cinco partes - falou Samuel -, a situa~ao em rela~ao ao inteiro ficaria assim :
j_. 5=- ..L 2. 10
16 { pai mae.. irvt1tio avo
JuiLG\~
..i.bolo 2
----- --, I
--- - ----1 I
--------1
I ------- , I
--------, I
________ j
- Quer dizer que cada urn de nos comeu urn decimo do bolo todo? - indagou Juliana.
- Exatamente! Urn meio dividido por cinco resulta urn decimo. E como se o inteiro fosse dividido em dez partes.
Mal ele terminou, Beto lembrou-se: - Acho que tam bern tenho urn born exemplo, Samuel. .. - Vamos em frente ... - Voce sa be da nossa sociedade com dona Rosa ... Pe-
lo trato, ficou decidido que metade do lucro da produ~ao
..,.,.
,,J'
. fi I
II I
I
. ~-----------------------------------------------------------------------..
seria dela, que e a propriet<iria do terreno, e a outra metade seria repartida igualmente entre n6s quatro.
-- Certo. Portanto, cada urn de voces recebera a metade dividida por quatro ... -- falou Samuel ao mesmo tempo que escrevia:
1 2: 4= -- Agora, vamos tentar visualizar a situa<;:ao, represen
tando o possivel lucro atraves do seguinte grafico:
I
' ',
V. Rou:\.
......... _____ _ I
/ /
//
I I
I
Ap6s tra<;ar a figura e colocar os nomes, Samuel prosseguiu:
- 0 que podemos fazer para descobrir que fra<;ao do inteiro cabera a cada urn de voces quatro?
E logo veio a sugestao de dividir a outra metade que cabera a dona Rosa em quatro partes tambem iguais. E assim fizeram:
/I' // I ' I
\ / I ' I
\ // I ', / '/ I ' / ' / ' I /
' --!.--
-- Como voces pod em no tar, urn meio dividido por quatro resulta em urn oitavo do inteiro.
j_. 4::: _i_ 2. 8
- Oba! - animou-se Lino - Entao, cada urn de n6s quatro vai receber urn oitavo dos lucros!
-- Tudo bern, Lino ... Voce vai ficar rico, mas antes eu queria que voces fizessem uma descoberta . . . Deixem-me dar outro exemplo ... Se eu tiver meia pizza e quiser dividir igual-
mente entre duas pessoas, que fra<;:ao de pizza cabera a cada uma? ·
· -- Quer que eu escreva, Samuel? -- ofereceu-se Guilherme.
-- Pode vir. 0 garoto foi ate a frente e escreveu:
1 . 2 z-- = - Certo, Guilherme. Agora, vou desenhar a situa<;:ao ...
~ (__±fD I\ : //
-··-- ~--J..: ... ...,~,o-.."', _,~
'' ..... _1_ ... ""/ -~sso._cia~ao Oeste Desenhou e avisou: -- A parte pontilhada fara com que nao nos esque<;:a-
mos do inteiro. · E todos perceberam imediatamente que urn meio divi
dido por dois resulta em urn quarto do inteiro. Guilherme escreveu entao o resultado:
' _!_."=j_ z .,£.. 4 - Como eu disse ha pouco, gostaria de leva-los a uma
nova descoberta ... Para isso, vou esc rever as propostas e as solw;6es encontradas nos ultimos exemplos ...
a..'l_·s=i ') 2 . 10
E continuou:
0 i =4= ~ C., 1 . z =_!_ ;z· 4
- Lembrem-se de que todo numero inteiro tern por denominador 0 numero urn ...
Falou e colocou os numeros:
a)L· 5_j_ 2'1-10 b:\_!_.4_1
'} 2. '1-g C) 1 .Q_j_ z·T-4
-- Observem atentamente e me digam se n6s poderiamos encontrar esses resultados atraves de calculos. lsto e, sem qualquer desenho ou representa<;:ao.
0 burburinho estendeu-se por alguns instantes, ate que alguem se encorajou a falar. Era Alice:
-Born ... No primeiro exemplo, parece que aquele dois multiplicado por cinco pode ter resultado aquele dez do denominador ... E que o urn vezes urn pode ter dado o urn do numerador. .. E a unica maneirarque eu consigo imaginar. ..
-- Eu acho que e isso mesmo - concordou Beto . -No segundo exemplo; acontece a mesma coisa ... Mu1tipli-
76 ~--------------------------------------~------------~~--------------------------------------------------~
cando do is por quatro resulta o oito no denominador, e urn vezes urn resulta o numerador urn.
- Tambem no terceiro caso acontece o mesmo - constatoo Lino.
- Muito bern! - aprovou Samuel. - Voces fizeram as observac;:6es corretas ...
- Entao, e so multiplicar o numerador pelo denominador - concluiu apressadamente Guilherme.
Samuel, porem, corrigiu: - Devagar, Guilherme. Notem que ha uma posic;:ao cor
reta para cada urn dos produtos encontrados . . . Preparou o esquema e esclareceu:
_L 2.
5 T=
1 10
- 0 denominador da primeira frac;:ao multiplicado pelo numerador da segunda frac;:ao resulta no denominador do rcsultado.
E continuou:
1 z·
5-T-1 -10
- Eo numerador da primcira mu ltip licado pe lo dcnominador cia segunda frac;:ao res ulta no numerador do rcsultado.
- Credo! E mais facil fazer do que falar tuclo isso! -contrariou Tafs.
Para Guilherme a situac;:ao nao se mostrava tao clara . - Se bobear, a gente pode errar o Iugar de colocar os
resultados clas multiplicac;:6es ... Samuel concordou e disse que havia uma forma de eli-.
minuir as possibilidades de erro . - Nos podemos transformar a clivisao numa multi
p licac;:ao. - Xiii ... Ja vai complicar ... - Nao vai complicar nada. Nos conservamos a primeira
frac;:ao e multiplicamos pelo in verso cia segunda. Assim ...
1 5 2: -1-=
1 -f 1 z"s=1o
- E mesmo! Assim cia certo!- exclamaram todos entusiasmados.
- Vamos a outros exemplos para confirmar o que acabamos de descobrir.
E continuou: - Quantas vezes urn ter<;o cabe em dois inteiros? Falou e representou a situac;:ao usando os cart6es:
2 Vtttlr()'l, .J
- Facil! Cabem seis pedac;:os de urn terc;:o em dois inteiros - adiantou-se Lino.
- Corrcto. Vamos entao tentar chegar a essa mesma conclusao at raves do calculo ...
- Ora, c so conscrvar a primeira fr ac;:ao c multipli cala pelo inverso cia scguncla - lembrou Tais.
A co nvitc de Sam uel, cia foi ate a lousa c resolveu:
_g_,J_= 1 . .3
~ 3 6 -x-=-1 1 1 Da seis sobrc um, que eo mesmo que seis. Exatamente
como na Figura . - Perfeito! Confirmamos matematicamente que um
terc;:o cabe seis vezes em dois inteiros. A turma gostou e pediu urn novo exemplo. - Esta bem . Digam-me quantos urn sexto cabem em
quatro sextos ... - Essa nao precisa nem de desenho - disse Juliana.
- Em quatro sextos cabem quatro vezes urn sexto! Samuel concordou e pediu que a garota calculasse ma
tematicamente:
4 . 1 6·6= 4 6 6x1=
24 6
- Ue .. . Se urn sexto cabe quatro vezes em quatro sextos, por que nao deu o resultado que deveria dar? - estranhou ela.
i1
I•
In
IT
78 ?-----------------------------------------------------------~
- Que tal simplificar o resultado? - sugeriu Samuel. Juliana nao teve problemas para chegar ao resultado que
queria: rP-:ra dividir um'! fi81 r;:ao por outra e preciso: · A_._!__
6'6-
A-x_§_- 24 :6 _ 6 1 - 6 :6 -
- E ... Da quatro mesmo.
~=4 1
Para concluir, Samuel pediu que os alunos registrassem a regra para divisao de fra<;oes nos cadernos:
- Para dividir duas frac;:oes, devemos multiplicar a primeira frac;:ao pelo inverso da segunda, simplificando sempre que possivel o resultado.
- multip/icar os termos da primeira frar;:ao pelos termos da inversa da segunda;
- simplificar o result ado obtido, sem· pre que possfvel.
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Descobrindo I
a solldariedade 1
IU pai de Alice acertara em cheio quando falara da
···I
0 excelente qualidade das terras de dona Rosa. Com a sequencia das chuvas eo trabalho paciente dos jovens, o plantio produziu alem das expectativas.
0 terreno ha muito abandonado se transfor-.__ mara em longos tapetes de alfaces verdinhas, urn mundo de repolhos e couves-flores, mas o que despertou aten<;iio maior foi o tamanho dos tomates, cenouras e rabanetes.
Naquela manha quente de sabado, aproveitando que nao havia aulas, os jovens, em companhia de dona Rosa, se puseram a colher os primeiros produtos de sua plantac;:ao. Eram legumes e verduras como ha muito nao se via naquelas redondezas.
0 entusiasmo era geral: - Dona Rosa, acho que meu pai nunca colheu alface
desse tamanho la no sitio - comentava Alice animada. - E olha que nem usamos fertilizantes - acrescentou
a proprietaria, com indisfarc;:avel orgulho. - E, a terra aqui e boa mesmo e os agricultore~, me
lhores ainda - anunciou Beto. A colheita estava quase no fim, quando Lino, que aju
dava Beto a transportar urn caixote cheio de legumes, distraiuse e trope~ou na mangueira esticada no chao. 0 garoto desequilibrou-se e caiu.
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Assustados, todos foram socorre-lo. Ao levantar-se, Lino tinha as maos no tornozelo esquerdo e uma expressao de dor no rosto: ·
- Xii! Acho que torci o tornozelo! Dona Rosa imediatamente tentou tranquiliza-lo, pon
do em pratica a sua longa experiencia de enfermeira: - Calma, meu filho. Tenho uma pomada boa laden
tro. E s6 passa-la, fazer uma massagem e voce logo estara born.
Ajudado por seus amigos, Lino foi conduzido para dentro da casa onde poderia ser mais bern atendido.
Apesar dos cuidados de dona Rosa, Lino continuava a scntir fortes dores. Resolveram, entao, passar na casa de Lino e juntamente com os pais dele foram leva-lo para tirar uma radiografia na cidade.
No carro, o que mais incomodava Lino nao era contudo a dor:
- Puxa, turma! Logo agora que a gente estava terminando nossa primeira colheita! Eo pior e que ficou tudo Ia, debaixo desse sol quente. Acho que nao vamos conseguir ven: der had a ... Pelo jeito ... Adeus dinheiro ... Adeus instru-
·mcntos. - Que e isso, menino? - dona Rosa tentava anima
lo. - Em primeiro Iugar vern a saude, e depois a colheita ... Apesar das palavras de dona Rosa, OS garotos nao con
seguiam esconder sua frustra~ao.
Naquele dia a agitacao era grande na casa de dona Rosa. La estavam seus quatro s6cios e Samuel. Felizmente o tombo de Lino nao passara de urn grande susto sem maiores conseqi.iencias.
Todos riam e falavam muito, quando Tais lembrou: - Puxa, Samuel! Se voce nao tivesse chegado aqui na
quele dia e guardado a nossa colheita na sombra, nao sei o que aconteceria.
- E, a minha chegada foi providencial mesmo -, reconhecia Samuel em tom de goza~ao.- Quando percebi que nao havia ninguem por aqui tratei de proteger bern a colheita e garantir a compra dos instrumentos do melhor conjunto da regiao.
A gargalhada foi geral. A dona da casa era a mais feliz de todos e suas palavras eram sempre de gratidao para os jovens s6cios.
- Sabe, Samuel, esses garotos nao me ensinaram apenas a cui dar da terra ... Eles me deram uma li~ao de solidariedade!
De repente, quando ela menos esperava, os jovens puseram-se a cantar urn parabens a voce. Beto, Lino e Alice
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acompanhavam de perto Tais, que trazia o bolo com uma velinha caprichosamente encaixada numa cenoura. Ao fi nal, a homenageada foi intimada a soprar.
- Nao estou entendendo ... Hoje nao e o meu anivers:hio. E se fosse, precisariam pelo menos umas sessenta velas a mais ... - justificou-se _a senhora.
Tais ouviu e falou por todos: - Para nos, a senhora esta completando seu primeiro
aniversario ... - De certa forma, e verdade, Tafs ... De fato, me sin to
como se tivesse renascido para uma vida melhor, mais sadia ... - 6timo, dona Rosa! ·Agora corte o bolo pra gente!
- pediu Lino. Antes que eta cortasse, Alice anunciou: - Aten<;:ao, gente . .. Este bolo delicioso foi feito pela
Tafs, com as primeiras cenouras colhidas no terreno de dona Rosa .
A mulher abra<;ou-se a jovem e nao conseguiu mais fatar. Muito emocionada, avisou que ia preparar urn suco na cozinha, e saiu, assoando-se na borda do avental.
A alegria prosseguiu com todos falando ao mcsmo tempo, comentando sobre o excelente lucro obtido e rindo mui to. Faziam-se pianos para a proxima etapa. E, naturalmentc, para montar urn conjunto musical de primeira linha.
Quando a dona da casa retornou a sala, recomc<;:ou o coro:
- Corta! Corta! Corta! Com as maos tremulas de emo<;:ao, dona Rosa fez ape
nas urn corte simbolico e chamou Tais: - Ja fiz a minha parte, ja inaugurei o bolo ... Agora
voce e que vai calcular a fra<;:ao que cabera a cada urn dos presentes!
- Epa! Essa nao, dona Rosa! - retrucou a garota, pcga de surpresa.
Samuel, sempre por perto, cobrou: - 0 que e isso, Tais? Nao diga que voce nao sabe cal
cular, que eu vou ficar com a cara no chao! Entao, ela explicou: - Claro que eu sei calcular, Samuel. .. 0 problema e
que vai ser muita fra<;ao para urn inteiro tao pequeno .
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