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7/24/2019 Semana 09 An
1/96
Solucin sistemas lineales
Mtodos iterativos no estacionarios
Catalina Domnguez,Universidad del Norte
Doctorado en Ingeniera
Semestre II de 2015
Semana 09
Pgina 1 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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function [x,res,iter] = FOM(A,b,x0,m,tol)
r0 = b-A*x0;
res = norm(r0);
n=size(A,1);
if res ~=0
while res > tol && m
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3/96
function [x,res,iter] = FOM(A,b,x0,m,tol)
r0 = b-A*x0;
res = norm(r0);
n=size(A,1);
if res ~=0
while res > tol && m
7/24/2019 Semana 09 An
4/96
Resolvamos el sistemaAx= b. Tenemos
xk =x0+k1j=0
jrj rk =k
j=1
(I j1A)r0=pk(A)r0
Mtodos de Krylov
Dado un r0, se selecciona xk de manera que satisfaga un criterio de
mnima distancia dex.
1 Calcular xk Wk forzandork Kk(A; r0), es decir,
vTrk =vT(b Axk) =0 vKk(A; r0)
Mtodo de Arnoldi para sistemas lineales - FOM
2 Calcular xk Wk minimizando la norma euclidiana del residuo,es decir,
rk2 = minvWk
b Av2 GMRES
Pgina 4 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Resolvamos el sistemaAx= b.Dador0tenemos
xk =x0+k1j=0
jrj rk =k
j=1
(I j1A)r0=pk(A)r0
Asumiendo una base ortonormal deKm(A; r0)ha sido calculada yalmacenada enVk ,xk se puede escribir como
xk =x0+Vkzk
donde zk se selecciona de acuerdo a un criterio fijo.
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Mtodo de Arnoldi (FOM)full orthogonalization method
SeaVk una base ortonormal deKk(A, r0). Se requiere
rk Kk(A; r0) es decir VT
k
rk =0
VTk rk = 0
VTk rk =VTk (b Axk)
VTk rk =VTk (b Ax0 AVkzk)
=VTk (b Ax0) VTk AVkzk)
=VTk r0 VTk AVkzk = 0
VTk AVkzk =VTk r0
Hkzk =VTk r0=r0e1
Hkzk =r0e1
e1 RK
Al calcular zk, se puede calcular xk
Usando aritmtica exacta el mtodo de Arnoldi obtiene la solucin, a
lo ms, despus den iteraciones.
Pgina 6 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir,
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
rk =r0 AVkzk
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
d d l li d i i id l
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
rk =r0 AVkzk
rk =Vk+1
r0e1
Hkzk
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
M d d K l GMRES G li d i i id l
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
rk =r0 AVkzk
rk =Vk+1
r0e1
Hkzk
Se escoge zk de tal manera que
minimice
r0e1
Hkzk ,
Hk R
k+1k
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Mt d d K l GMRES G li d i i id l
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
rk =r0 AVkzk
rk =Vk+1
r0e1
Hkzk
Se escoge zk de tal manera que
minimice
r0e1
Hkzk ,
Hk R
k+1k
Hkzk =r0e1
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Mt d d K l GMRES G li d i i id l
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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual
Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma
euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que
rk2 = minvWk
b Av2
rk =r0 AVkzk
rk =Vk+1
r0e1
Hkzk
Se escoge zk de tal manera que
minimice
r0e1
Hkzk ,
Hk R
k+1k
Hkzk =r0e1 HTkHkzk =r0HTke1
Pgina 7 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
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15/96
Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r0
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
7/24/2019 Semana 09 An
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e1
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r0
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
7 de lo contrario, (sik =m) (opcional)
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1
v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b m= m+ 1
Pgina 8 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
7/24/2019 Semana 09 An
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Algoritmo GMRES
DadoA,b,x0,m, tol,
1 v1 =
r0/
r0
2 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)
3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz
5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)
return
7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b m= m+ 1 se continua en el paso??
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http://-/?-http://-/?-7/24/2019 Semana 09 An
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function [x, iter,res]=GMRES(A, b,x0,m,tol)
r0 = b - A*x0;
res = norm(r0);
n=size(A,1);
if res ~=0
while res > tol && m
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Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=
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Criterios de parada basados en el residual
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Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
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Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
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31/96
Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Si consiste en rk
b , observe
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
7/24/2019 Semana 09 An
32/96
Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Si consiste en rk
b , observe
x xk
x
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
7/24/2019 Semana 09 An
33/96
Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Si consiste en rk
b , observe
x xk
x
A1rk
x
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
7/24/2019 Semana 09 An
34/96
Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Si consiste en rk
b , observe
x xk
x
A1rk
x
K(A) rk
Ax
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el residual
7/24/2019 Semana 09 An
35/96
Si nuestro criterio consiste en rk , observe que
x xk=A1b xk=A
1rk A1
Si consiste en rk
b , observe
x xk
x
A1rk
x
K(A) rk
Ax
K(A) rk
b K(A)
Pgina 10 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el incremento
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36/96
Tenemos que
ek+1 Bek
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Criterios de parada basados en el incremento
7/24/2019 Semana 09 An
37/96
Tenemos que
ek+1 Bek
Pgina 11 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el incremento
7/24/2019 Semana 09 An
38/96
Tenemos queek+1 Bek
Usando desigualdad triangular
ek+1 Bek+1 + xk+1 xk
Pgina 11 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Criterios de parada basados en el incremento
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39/96
Tenemos queek+1 Bek
Usando desigualdad triangular
ek+1 Bek+1 + xk+1 xkpor tanto
x xk+1 B
1 Bxk+1 xk
Pgina 11 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Aproximacin de valores y vectores propios
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Pgina 12 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Aproximacin de valores y vectores propios
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Problema clsico
Determinar frecuenciasnaturalesopropiasde un sistema (mecnico,
estructural o elctrico).
Pgina 12 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Aproximacin de valores y vectores propios
7/24/2019 Semana 09 An
42/96
Problema clsico
Determinar frecuenciasnaturalesopropiasde un sistema (mecnico,
estructural o elctrico).Generalmente, resulta un problema de valores propios de un sistema lineal.
Pgina 12 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Vibraciones Mecnicas
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43/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Pgina 13 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Vibraciones Mecnicas
7/24/2019 Semana 09 An
44/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Pgina 13 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Vibraciones Mecnicas
7/24/2019 Semana 09 An
45/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Mx(t) =Bx(t) Kx(t)
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Vibraciones Mecnicas
7/24/2019 Semana 09 An
46/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Mx(t) =Bx(t) Kx(t)
y(t) =Ay(t) =SS1y(t)
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Vibraciones Mecnicas
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47/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Mx(t) =Bx(t) Kx(t)
y(t) =Ay(t) =SS1y(t)
S1y(t) = S1y(t)
Pgina 13 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Vibraciones Mecnicas
7/24/2019 Semana 09 An
48/96
M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Mx(t) =Bx(t) Kx(t)
y(t) =Ay(t) =SS1y(t)
S1y(t) = S1y(t)
z(t) = z(t) =izi(t)
Pgina 13 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Vibraciones Mecnicas
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M1 M2 M3k1 k2
k3
x1 x2 x3
Segunda ley de Newtonma = F
mixi (t) = fuerza ejercida del resortei
+fuerza ejercida del resortei+ 1
fuerza ejercida por el amortiguadori
Mx(t) =Bx(t) Kx(t)
y(t) =Ay(t) =SS1y(t)
S1y(t) = S1y(t)
z(t) = z(t) =izi(t)
mtodo utilizar para determinar o aproximar los valores y vectores
propios de una matriz ?
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vibraciones de una cuerda
2 1 2
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50/96
2w
x2 =
1
c22w
t2
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vibraciones de una cuerda
2 1 2
7/24/2019 Semana 09 An
51/96
2w
x2 =
1
c22w
t2
wdenota la desplazamiento vertical
Pgina 14 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
vibraciones de una cuerda
2w 1 2w
7/24/2019 Semana 09 An
52/96
2w
x2 =
1
c22w
t2
wdenota la desplazamiento vertical
cvelocidad del sonido en la cuerda
Pgina 14 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
vibraciones de una cuerda
2w 1 2w
7/24/2019 Semana 09 An
53/96
2w
x2 =
1
c22w
t2
wdenota la desplazamiento vertical
cvelocidad del sonido en la cuerda
Si la cuerda esta sujeta enx = 0yx= 1, i.e,
w(0, t) =w(1, t) = 0
Pgina 14 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
vibraciones de una cuerda
2w 1 2w
7/24/2019 Semana 09 An
54/96
w
x2 =
1
c2 w
t2
wdenota la desplazamiento vertical
cvelocidad del sonido en la cuerda
Si la cuerda esta sujeta enx = 0yx= 1, i.e,
w(0, t) =w(1, t) = 0
Asumiendo movimiento armnicow(x, t) =v(x)eiwt
v
=
2
c2v, v(0) =v(1) = 0
Pgina 14 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
vibraciones de una cuerda
2w 1 2w
7/24/2019 Semana 09 An
55/96
w
x2 =
1
c2 w
t2
wdenota la desplazamiento vertical
cvelocidad del sonido en la cuerda
Si la cuerda esta sujeta enx = 0yx= 1, i.e,
w(0, t) =w(1, t) = 0
Asumiendo movimiento armnicow(x, t) =v(x)eiwt
v
=
2
c2v, v(0) =v(1) = 0
Aplicando diferencias finitas se obtiene un problema de valores propios
Au=u
Pgina 14 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
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y q
Ax=x
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
57/96
y q
Ax=x
Estrategia:
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
58/96
Ax=x
Estrategia:
Resolver
Ax x=0con x =0
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
59/96
Ax=x
Estrategia:
Resolver
Ax x=0con x =0
es decir, se debe garantizar para un sistema homogneo, la existencia de
una solucin no-trivial,
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
60/96
Ax=x
Estrategia:
Resolver
Ax x=0con x =0
es decir, se debe garantizar para un sistema homogneo, la existencia de
una solucin no-trivial,
det(A I) = 0 =pa()
Mtodos
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
61/96
Ax=x
Estrategia:
Resolver
Ax x=0con x =0
es decir, se debe garantizar para un sistema homogneo, la existencia de
una solucin no-trivial,
det(A I) = 0 =pa()
Mtodos
Parcialesaproximan valores propios extremos deA.
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Valores y vectores propios
ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que
7/24/2019 Semana 09 An
62/96
Ax=x
Estrategia:
Resolver
Ax x=0con x =0
es decir, se debe garantizar para un sistema homogneo, la existencia de
una solucin no-trivial,
det(A I) = 0 =pa()
Mtodos
Parcialesaproximan valores propios extremos deA.
Globalesaproximan todo el espectro.
Pgina 15 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
7/24/2019 Semana 09 An
63/96
Pgina 16 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
7/24/2019 Semana 09 An
64/96
Teorema de los crculos Gershgorin
SeaA Cnn entonces
Pgina 16 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
7/24/2019 Semana 09 An
65/96
Teorema de los crculos Gershgorin
SeaA Cnn entonces
1
(A) SR
=n
i=1 Ri Ri={z C :|z aii| n
j=1,j=i |aij |}
Pgina 16 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
7/24/2019 Semana 09 An
66/96
Teorema de los crculos Gershgorin
SeaA Cnn entonces
1
(A) SR
=n
i=1 Ri Ri={z C :|z aii| n
j=1,j=i |aij |}
2
(A) SC =ni=1
Ci Ci={z C :|z ajj| n
i=1,i=j
|aij |}
Pgina 16 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
67/96
A=
10 2 31 2 1
0 1 3
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
68/96
A=
10 2 31 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
69/96
A=
10 2 31 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
R1
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
70/96
A=
10 2 31 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
R2={z C :|z 2| 2}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
R1
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
71/96
A=
1 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
R2={z C :|z 2| 2}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
R1
R2
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
72/96
A=
1 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
R2={z C :|z 2| 2}R3={z C :|z 3| 1}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
R1
R2
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
7/24/2019 Semana 09 An
73/96
A=
1 2 1
0 1 3
R1={z C :|z 10| 5}
R2={z C :|z 2| 2}R3={z C :|z 3| 1}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
R1
R2
R3
Pgina 17 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
7/24/2019 Semana 09 An
74/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
7/24/2019 Semana 09 An
75/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
7/24/2019 Semana 09 An
76/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
C1
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
7/24/2019 Semana 09 An
77/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
C2={z C :|z 2| 3}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
C1
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
7/24/2019 Semana 09 An
78/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
C2={z C :|z 2| 3}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
C1C2
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
{ | | }
7/24/2019 Semana 09 An
79/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
C2={z C :|z 2| 3}C3={z C :|z 3| 4}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
C1C2
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Ejemplo
10 2 3
C { C | 1 | 1}
7/24/2019 Semana 09 An
80/96
A=
10 2 3
1 2 10 1 3
C1={z C :|z 10| 1}
C2={z C :|z 2| 3}C3={z C :|z 3| 4}
1
2
3
4
5
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
C1C2
C3
Pgina 18 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
Primer Teorema de Gershgorin
Sea A Rnn entonces
7/24/2019 Semana 09 An
81/96
SeaA Rn n entonces
(A), SR SC
Pgina 19 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
Primer Teorema de Gershgorin
Sea A Rnn entonces
7/24/2019 Semana 09 An
82/96
SeaA R entonces
(A), SR SC
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
Pgina 19 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
Segundo Teorema de Gershgorin
Sea
7/24/2019 Semana 09 An
83/96
Sea
S1=
m
i=1
Ri, S2 =
m
i=m+1
Ri
Pgina 20 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
Segundo Teorema de Gershgorin
Sea
7/24/2019 Semana 09 An
84/96
Sea
S1=
m
i=1
Ri, S2 =
m
i=m+1
Ri
Si S1 S2, entonces S1contiene exactamentem valores propios deA,teniendo en cuenta la multiplicidad de cada uno, el resto de valores propios
estn en S2.
Pgina 20 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Localizacin geomtrica de valores propios
Segundo Teorema de Gershgorin
Sea
7/24/2019 Semana 09 An
85/96
S1=
m
i=1 R
i, S2 =
m
i=m+1 R
i
Si S1 S2, entonces S1contiene exactamentem valores propios deA,teniendo en cuenta la multiplicidad de cada uno, el resto de valores propios
estn en S2.
1
2
3
4
5
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151
S2
S1
Pgina 20 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Mtodo de las potencias
7/24/2019 Semana 09 An
86/96
Es adecuado para aproximar el valor propio extremo (en modulo) de unamatriz, junto con su vector propio asociado.
Pgina 21 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Mtodo de las potencias
7/24/2019 Semana 09 An
87/96
Es adecuado para aproximar el valor propio extremo (en modulo) de unamatriz, junto con su vector propio asociado.
SeaA Rnn una matriz diagonalizable yXla matriz de los vectores
propios (derecha). Supongamos
|1| >|2| |3| |n|
donde1tiene multiplicidad1.
Pgina 21 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
Mtodo de potencias
Seax0 Rn (cualquier vector), entoncesx0=c1v1+c2v2+ +cnvn
donde {v1,v2, . . . ,vn} es un conjunto de n vectores propios l.i.
7/24/2019 Semana 09 An
88/96
donde {v1,v2, . . . ,vn} es un conjunto denvectores propios l.i.
entonces
Ax0 =c1Av1+c2Av2+ +cnAvn
=c11v1+c22v2+ +cnnvn
AAx0 =c121v1+c222v2+ +cn2nvn
...=...
Amx0 =c1m
1 v1+c2m
2 v2+ +cnm
nvn
Dividiendo entrem
1
Amx0m1
=c1v1+c2m2m1
v2+ +cnmn
m1
vn
Cuandom
21
m0, . . . ,
n1
m0
puesto que|2/1|< 1, . . . , |n/1|
7/24/2019 Semana 09 An
89/96
Sea y R cualquier vector con y=0. Tenemos
Am+1
x0m
1
yc1v1 y, Am
x0m
1
yc1v1 y
entonces
Am+1x0
m+11
yAmx0
m1
y1=m+1
1
m1
=Am+1x0 y
Am
x0 y
Tomando y=Amx0
1=Am+1x0 y
Am
x0 y=
Am+1x0 Amx0
Am
x0 Am
x0
=A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0
v1Amx0,1
AAmx0Amx0Amx0Amx0
Cociente de Rayleigh
Six es un vector propio, sucorrespondiente valor propio es
=Ax x
x x
Pgina 23 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
90/96
Si garantizamos ||qm||= 1es decirA
mx0 A
mx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
Pgina 24 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
91/96
Si garantizamos ||qm||= 1es decirA
mx0 A
mx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
Pgina 24 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
92/96
Si garantizamos||qm||
= 1es decirAmx0
Amx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
Pgina 24 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
93/96
Si garantizamos ||qm
||= 1es decirAmx0 Amx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
1 zk =Aqk1
Pgina 24 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
94/96
Si garantizamos ||qm
||= 1es decirAmx0 Amx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
1 zk =Aqk1
2 qk = zk
zk(Normalizacin)
Pgina 24 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez
As
1A Amx0 A
mx0
Amx0 Amx0v1A
mx0=qm
7/24/2019 Semana 09 An
95/96
Si garantizamos ||qm
||= 1es decirAmx0 Amx0= 1entonces
1AAmx0 A
mx0, v1 Amx0||Amx0||
Algoritmo
Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular
1 zk =Aqk1
2 qk = zk
zk(Normalizacin)
3 k =qTk Aqk = (Aqk) qk
Pgina 24 Semana 9
01 de Octubre de 2015 Domnguez
function [lambda,q,iter,res] = PowerSimple(A,z0,tol, nmax)
% Calcula el vector propio y valor propio mayor (en modulo) de la
% matriz A
7/24/2019 Semana 09 An
96/96
% matriz A
q = z0/norm(z0);
res = tol +1;
iter = 0;
while res>tol && iter