ANUALIDADES

Es una serie de flujos de efectivos iguales que se depositan o se pagan periódicamente a lo lardo de un plazo establecido. Los pagos se realizan con el objeto de cancelar una deuda, mientras que los depósitos tienen por objetivo formar un monto al final de un tiempo determinado.

Elementos:

S: Monto de capital final, valor futuro, stock final P: Deuda, préstamo, valor actual, valor presenteR: Flujo o rentai: Tasa de interés efectivon: Número de periodos de pago o depósitosK: Periodo diferido o periodos de gracias

Clases de AnualidadesExisten al menos 5 tipos de anualidades, estos se diferencian por la forma de pago o depósitos. La anualidad más utilizada es el pago de deudas.a) Anualidad Vencida u OrdinalLas rentas o flujos se inician al final de cada periodo, este tipo de anualidad es el mas común, y se utilizada para amortizar deudas.

b) Anualidad Anticipada o AdelantadaLas rentas o flujos se inician al comienzo de cada periodo. Este tipo de anualidad es mas utilizada en ahorros.

c) Anualidades DiferidasLas rentas o flujos se inician después de haber transcurrido un determinado número de periodos, esto puede ser uno o más periodos. Pueden ser vencidas o anticipadas.Diferida Vencida (2 periodos)

Diferida Anticipada (2 periodos)

d) Anualidad PerpetuaUna perpetuidad es una anualidad en la que el numero de rentas o flujos no tiene un fin determinado, pueden ser vencidas, anticipadas y/o diferidas.

d) Anualidad con GradienteExisten dos tipos de anualidades con gradiente donde las rentas o flujos se incrementan periódicamente, estas pueden ser aritméticas o geométricas.• Gradiente Aritmética

G: gradiente geométrica, cantidad fija adicional en cada periodo

Gradiente Geométricag=1+kg: gradiente geométricaK:Tasa adicional que se pagará en cada periodo

Factores usados en anualidades vencidasa) Factor de actualización de la serie (FAS)Actualiza una serie de rentas vencidas, transformándolas en un valor presente.

Ejemplo 1:El día de hoy la Compañía Beta S.A. decide cancelar las últimas 4 cuotas fijas de una deuda contraído con una entidad financiera, ascendente a S/.500 c/u; las mismas que vencerán dentro de 30, 60, 90 y 120 días respectivamente ¿Qué importe deberá cancelar hoy si sabe que el banco cobra una TEM DE 5%?

EJERCICIO

• ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar ahora para obtener US$ 600 garantizados cada año durante 9 años , comenzando el próximo año, con una taza de retorno de 16% capitalizado semestralmente?

EJERCICIO

• ¿Cuánto de dinero puede desembolsar ahora Haydon Rheosystems, Inc., para un sistema de administración de energía, si el software ahorraría a la empresa US$ 21300 anuales durante los siguientes cinco años? Use una taza de interés anual de 10%.

b) Factor de Capitalización de la Serie (FCS)Capitaliza una serie de rentas vencidas, transformándolos en un monto o capital final.

Ejemplo 2:¿Qué monto se acumulará en una cuenta de ahorros, si durante cuatro meses consecutivos se deposita S/.100 cada fin de mes, y por los cuales se percibe una TNA 24% capitalizable mensualmente?

EJERCICIOS

• El presidente de Ford Motor Company quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de US$ 1 millón cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de la Ford gana una taza de 14 % anual

c) Factor de recuperación de capital (FRC)Capitaliza una deuda o valor transformándolo en una serie de rentas que ya incluyen interés, si se trata de una deuda se calcula la cuota a pagar.

EJERCICIO• Considere de nuevo el caso de HAC, en el que una inversión

proyectada de US$ 200 millones genera ingresos de US$ 50 millones por año durante 5 años, comenzando en el año 1 después del arranque. Ya se utilizo una tasa del 10% como valor en el tiempo para determinar los valores de P, S, R. Al presidente ahora le gustaría responder un par de preguntas más acerca de los ingresos anuales estimados:– ¿ Cuál es el valor futuro equivalente de los ingresos

estimados después de 5 años con 10% anual?– Suponga que, debido a la depresión económica, el

presidente pronostica que la corporación soló obtendrá 4.5% anual por su dinero en lugar del 10% calculado antes. ¿Cuál es la cantidad requerida de la serie de ingresos anuales durante el periodo de 5 años para que sea equivalente en lo económico a la cantidad calculada en la pregunta anterior?

Ejemplo 3:¿Cuál será la cuota constante a pagar por un préstamo bancario de S/.8000, que será cancelado en 4 cuotas cada fin de mes? El banco cobra una TNA 36 % con capitalización bimestral

d) Factor de depósito a fondo de amortización (FDFA)Actualiza el valor futuro en una serie de rentas vencidas. Se utiliza para determinar los aportes periódicos que se realizarán a fin de acumular un monto final.

FDPA = i / [(1+i)n-1] R = S(FDFA n,i)

Ejemplo 4:¿Una Compañía ha decidido adquirir dentro de 4 meses un grupo electrógeno cuyo precio estima en S/.5000. ¿Qué importe constante cada fin de mes debe ahorrar esta empresa en un banco, a fin de disponer ese monto al vencimiento de dicho plazo, conociendo que dicha entidad paga una TEM 3%?

Anualidad Anticipada o Adelantada• Anualidad Vencida

• Anualidad Anticipada

*Convertir un anualidad adelanta en una vencidaR=Ra(1+i)

a) Valor futuro de una Anualidad Adelantada (S)Sabemos:

Monto de una Anualidad Anticipada:

Ejemplo 1¿Qué monto se acumulará al termino del 4º mes, si a partir de hoy y durante 3 meses consecutivos se depositan S/.100 en una cuenta de ahorros percibiendo una TEM 2%?

b) Valor Presente de una Anualidad Anticipada (P)

Sabemos:

Valor presente de una Anualidad Anticipada

Ejemplo 2:Un local comercial está alquilado por 4 meses con pagos anticipados de S/.500 ¿Cuál será el valor actual del arriendo aplicado a una TEM 3%?

c) Valor de la Renta Anticipada conociendo el Valor Presente (Ra)Sabemos

Renta de una anualidad anticipada

Ejemplo 3:¿Cuál será la cuota mensual constante a pagar por un préstamo bancario de S/.10,000 reembolsable en 4 cuotas anticipadas aplicando una TEM 3%?. Calcule además el préstamo neto.

Préstamo Neto=10,000 – 2,611.91 = S/.7,388.09

d. Valor de la Renta Anticipada conociendo el valor futuroSabemos:

Anualidad Anticipada

Ejemplo 4:Calcular el importe de una la mensual que al cabo de 4 meses permita acumular S/.5000 ganando una TEM del 3 %. Los pagos se hacen al inicio de cada mes.

Anualidad Perpetua

a. Valor Presente de una Anualidad Vencida PerpetuaSabemos:

Luego, podemos descomponer:

Aplicando Límites: n oo

Finalmente, el valor presente de una anualidad perpetua vencida:

Valor de la renta perpetua vencida:

Ejemplo 5:Acogiéndose a un programa de incentivos por retiro voluntario, un trabajador ha reunido un determinado capital, el mismo monto que lo piensa colocar en una institución financiera que paga una TEM 3%. Qué importe deberá colocar hoy en el banco para disponer cada fin de mes una renta de S/.300 en forma indefinida.

b. Valor Presente de una Anualidad Anticipada Perpetua:Sabemos:

R = Ra(1+i)

Finalmente, el valor presente de una anualidad perpetua adelantada:

Valor de la renta perpetua anticipada

Ejemplo 6:Una fundación ofrece una donación a perpetuidad el importe de S/.5000 a ser entregados a inicios de cada año. Calcule el valor presente de esta donación utilizando un TNS 10% capitalizable cuatrimestralmente.

Calculo del valor presente de una perpetuidad creciente

• Por definición, las perpetuidades pagan una cantidad paródica constante para siempre. Sin embargo, pocos aspectos de la vida moderna son constantes, y la mayor de los flujos de efectivo que nos interesan tienen tendencia a crecer con el paso del tiempo. Esto es válido para ingresos como sueldo y salarios, pagos de dividendos de las corporaciones y pagos de seguridad de los gobiernos. La inflación es sólo un factor que produce flujos de efectivo crecientes

•P = R1/(i-g)

•Rt = R1x(1+g) n-1

Calculo del valor presente de una perpetuidad creciente

EJEMPLO

• La UNI desea dotar a la FIM de recursos suficientes para financiar la investigación continua. La FIM solicita una donación suficiente para cubrir sus gastos de US$ 10 millones el próximo año y luego crecerán 3% anual a perpetuidad a partir de entonces. Suponga que la FIM puede ganar un rendimiento de 11% sobre la aportación de la UNI. ¿ Cuanto debe aportar la UNI para financiar los gastos de la FIM a perpetuidad?

• P = $10,000/( 0.11-0.03) = $ 125,000.00

Anualidades con Gradientes

a. Anualidad con gradiente Aritmética (G)

i) Factor de actualización de una anualidad con gradiente aritmética o gradiente uniforme. Este factor actualiza solo las gradientes uniformes (solo G), transformándolos en un valor presente.

• Valor presente de las gradientes aritméticas:

• Valor presente de la anualidad con gradientes aritméticas

EJEMPLO

• Se aplica para los mantenimientos de maquinarias, es decir que tenemos que considerar monto adicionales por periodo para el mantenimiento de los equipos.

Ejemplo 1:La empresa Norsur ha introducido un nuevo producto al mercado, cuyas ventas mensuales se proyectan en S/.10,000 para el primer mes y por el crecimiento de mercado, se espera que cada mes aumente en S/.500 hasta el sexto mes. Calcule en valor presente del incremento de las ventas (gradientes) y el valor de la ventas hasta el final del sexto mes considerando una TEM del 5%.

ii) Factor de capitalización de una anualidad con gradiente aritmética o gradiente uniformeEste factor capitaliza solo los gradientes aritméticas (solo G), transformándolos en un valor futuro o monto final.

• Valor futuro de las gradientes aritméticas:

• Valor futuro total de la anualidad con gradientes uniformes

Ejemplo2:Cuál es el monto que se acumulará dentro de un año en un banco, ahorrando cada fin de mes S/.200, si estos se incrementan en S/.50 cada mes, el banco paga una TEM de 3%

b. Anualidad con gradientes Geométricas (g)

G=1 + k ; k i

i) Valor presente de una anualidad con gradientes geométricas.Calcula el valor presente total de las rentas con gradientes geométricas. Esta fórmula permite hace el cálculo en una sola operación.

Ejemplo 3Una empresa tiene proyectado su venta para el primer año S/.200,000 y a partir del segundo año dichas ventas se incrementarán en 7% anual. Cual será el valor actual de las ventas de los 5 primeros años, considerando una TEA del 9%.

ii) Valor Futuro de una anualidad con gradientes geométricasCalcula el valor futuro total de las rentas con gradientes geométricas. Esta fórmula permite hacer el cálculo en una sola operación

Ejemplo 4:¿Cuál será el monto que se acumulará en una cuenta de ahorros al cabo de un año, se deposita cada fin de mes S/.1500 y este depósito se incrementa en 6% cada mes, además se sabe que el banco tiene una tasa

Si: TEM=6%S = 12(1,500)(1.06¹¹) = S/.34,169.37

EJERCICIO

• En una planta carboeléctrica se instaló una válvula para controlar las emisiones. La modificación cuesta soló US$ 8 000 y se espera que dure seis años , con un valor de rescate de US$ 200. Se espera que el costo de mantenimiento sea de US$ 1 700 el primer año y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento. La tasa de interés es de 8% anual

EJEMPLOS

• Una de las primeras perpetuidades, y sin duda la más famosa en la historia moderna, fue la emisión masiva de bonos “ consol ” ( abreviatura de “consolidados”) que vendió el gobierno Británico después de que las Guerras Napoleónicas concluyeron en 1815 . Esta emisión de bonos debe su nombre al hecho de que consolidaba todas las deudas de guerra del gobierno Inglés en una emisión que pagaba una cantidad de Interés anual constante a perpetuidad. La emisión no tenia vencimiento , lo que significaba que el principal nunca se pagaría.

• Acciones preferentes emitidas por las corporaciones. Las acciones preferentes ofrecen a los inversionistas un pago de dividendos anual ( o trimestral) constante para siempre.

Factor de gradiente aritmético de una serie uniforme

•Rg= G[1/i-n/((1+i)n-1)]

EJERCICIO

• Una universidad local inicio un programa de franquicia del logotipo de la empresa de ropa Holister,Inc. Espera obtener derechos (Ingresos) de US$ 80 000.00 por derechos el primer año con aumentos uniformes hasta obtener un total de US$ 200 000.00 en nueve años. Determinar el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo en el que se identifiquen la cantidad base y la serie del gradiente.

EJERCICIO• Tres condados adyacentes en Louisiana acordaron

emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes que mantiene el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año , se depositará un total de US$ 500 000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán US$ 100 000 por año durante nueve años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses con una tasa de 5% anual.

9.- Valor presente de una anualidad vencida perpetua

10.- Valor de la renta perpetua vencida

R = P * i

11.- Valor presente de la anualidad con gradientes aritméticas

12.- Valor futuro total de la anualidad con gradientes aritméticas

13.- Valor presente de una anualidad con gradientes geométricas

14.- Valor Futuro de una anualidad con gradientes geométricas

EJERCICIOS• Los ingenieros químicos de una planta de Coleman

Industries en el medio Oeste determinaron que una pequeña cantidad de un aditivo químico recién adquirido aumenta 20% la repelencia del agua de las tiendas de campaña Coleman. El gerente de la planta negoció la compra del aditivo en un contrato de cinco años a US$ 7 000 anuales, a partir del año siguiente ; espera que el precio anual aumente 12% por año desde entonces y durante los siguientes ocho. Además, se realiza ahora una inversión inicial de US$ 35 000 para preparar un sitio adecuado en donde el proveedor entregue el aditivo. Use i=15% para determinar el valor presente total equivalente de todos estos flujos de efectivo.