IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ ABRIL-JULIO 20161ARITMÉTICA

SEMANA Nº 05MCM – MCD

COORDINADOR: ING. JOSE FRANCISCO ALVARADO JUAREZ RESPONSABLE: LIC. EN MAT. NESTOR JAVIER FARIAS MORCILLO

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor ( MCD ) de dos o más

números se define como el mayor de los divisores comunes a ambos números que se están estudiando.Por ejemplo.

Si los números fueran “12” y “15”, se tendría que:

(12) 1,2,3,4,6,12Divisores

(15) 1,3,5,15Divisores

Como usted puede apreciar en la descripción de los divisores anteriores, “12” y “15” tienen dos divisores comunes los cuales son “1” y “3” , pero por la definición dada anteriormente el máximo común divisor será “3”, pues se escoge al mayor.

2. MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL M.C.D

2.1. Por descomposición individual en sus factores primos

Se descomponen CANONICAMENTE a ambos números que se esta estudiando; luego el M.C.D es igual al producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Por ejemplo.

3 22520 = 2 3 5 7

2 3 22700 = 2 3 5

Luego:

2 2. . (2520, 2700) 2 3 5M C D

2.2. Por divisiones sucesivas (algoritmo de Euclides)

Se divide el número mayor entre el menor; si la división es inexacta, se divide el menor entre el resto de la primera división y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta; entonces el último divisor será el M.C.D buscado. Se recomienda que los cálculos anteriores se dispongan en un esquema de la siguiente forma

Ejemplo: Hallar M.C.D. de 2363 y 2057.

M.C.M. (2363, 2057) = 17

2.3. Por descomposición simultánea

Trabajemos con un ejemplo concreto para su mejor comprensión

Ejemplo. Obtener el M.C.D de los números 180, 240, 144

MC.D (180, 240, 144) = 22 x 3 = 12

No olvide que ya no se sigue sacando factores porque 15, 20 y 12 no tienen factor común.

2.4. Propiedades

1) El M.C.D de dos números primos absolutos es la unidad.

2) El M.C.D de dos o más números primos entre sí es la unidad.

3) De dos números diferentes, estando uno de ellos contenido en el otro, el M.C.D de ellos es el menor.

4) Si se dividen 2 números por su máximo común divisor, los cocientes que resultan son dos números primos relativos o primos entre sí. Por ejemplo:

M.C.D (36, 48) = 12. Luego:

36/12 = 3 y 48/12 = 4. Así pues 3 y 4 son cocientes primos relativos

5) Si dos o más números se multiplican o se dividen por otro número entonces el MC.D. queda multiplicado o dividido respectivamente por el mismo número. Por ejemplo.

(36, 48) 12MCD . Luego:

(36 5, 48 5) 12 5MCD

En general si:

( , )

( , )

Si MCD A B d

MCD Ak Bk dk

( , )

( , )

Si MCD A B d

A B dMCD

k k k

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3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

Se denomina mínimo común múltiplo de dos o más números, al menor de los múltiplos comunes a ambos números en estudio. Por ejemplo.

Si se tiene los números “12” y “15”, entonces:

(12) 12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,Mult

(15) 15,30,45,60,75,90,105,120,Mult

Como usted vera aquí no es difícil ver que habrá infinitos múltiplos comunes a “12” y “15” pero por la definición se escogerá al menor de ellos; es decir “60”.

4. MÉTODOS DEL CÁLCULO DEL M.C.M.

Por descomposición individual en sus factores primos

Se descomponen CANONICAMENTE a ambos números que se esta estudiando; luego el mínimo común múltiplo de ellos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes. Por ejemplo.Hallar el M.C.M de los números siguientes: 180, 528, 936

2 2

4

3 2

180 = 2 3 5

528 = 2 3 11

936 = 2 3 13

Luego según la regla antes mencionada se tiene que

4 2(180, 528, 936) 2 3 5 11 13

102 960

MCM

Por descomposición simultánea

Veámoslo en forma práctica:Obtener, por ejemplo el M.C.M. de los siguientes números 528; 132; 234

528 132 234 2264 66 117 2132 33 117 266 33 117 2

33 33 117 311 11 39 311 11 13 111 1 13 131 1 1

4 2(528; 132; 234) 2 3 11 13

26592

MCM

PROPIEDADES

1. El M.C.M de dos o más números primos absolutos, es igual al producto de ellos.

2. El M.C.M de dos números de los cuales uno contiene al otro es el mayor de ellos.

3. Si dos o más números se multiplican o dividen por otro, el M.C.M queda multiplicado o dividido por dicho número.

4. Si se divide el M.C.M de varios números entre cada uno de ellos, los cocientes que resultan son primos entre si.

5. El producto de dos números es igual al producto M.C.D y el M.C.M de ellos.

6. Dentro de los problemas dados en el tema de MCD y MCM se debe tener en cuenta las siguientes propiedades.

Si se tiene los números A y B tales que:

( , )MCD A B dEntonces:

1. 1

2

A dk

B dk

Donde 1 2k y k son PESI

PESI: Primos Entre Si

2. . .AB MCD MCM

3. 1 2( , ) . .MCM A B k k d

Tigre se le recuerda que las tres propiedades dadas anteriormente deben estar en su mente si o si pues son cruciales en el desarrollo de los problemas.Recuerde que si se están estudiando masnúmeros lo que tiene que hacer es simplemente

aumentar los parámetros tales como 1 2, ,k k