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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012- I 1
CURSO :MATEMTICA I
Tema :
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIN RACIONAL:Una funcin racional f es un cociente de dos
polinomios:
)(
)()(
xq
xpxf =
donde p y q son polinomios. El dominio de una funcin es el
conjunto de todos los
nmeros realesxtal que 0)( xq .
Dominio:
Un ejemplo simple de una funcin racional es la funcin
xxf /1)( = , cuyo dominio es);0()0;(}0{}0/{)( +=== RxxfDom ;
su
grafica se muestra a continuacin
Ejemplos:
1.
La funcin47
32)(
2
+
=
x
xxf es una funcin con
dominio
La grfica de la funcin se muestra en la figura (a).
2. La funcin6
364)(
2
32
+=
xx
xxxf tiene por dominio
Funciones elementales: racional, definida por trozos y valor
absoluto
}0)(/{
}0)(/{)(
==
=
xqxR
xqRxfDom
}7/4{}7/4{
}047/{}0)(/{)(
===
=+=
==
RxR
xxRxqxRfDom
}06/{
}0)(/{)(
2==
==
xxxR
xqxRfDom
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}3,2{}0)2)(3{()( ==+= RxxRfDom
3. Determine el dominio de5
1)(
=
xxf
Solucin:
Debemos excluir al 5 del dominio porque requerira una divisin
entre cero. As el
dominio sera
}5{)( =RfDom
4.
Dada la funcin 155
1
)( =
xxf hallar el dominio y rango defSolucin
Como la funcin es racional, entonces }3{}0155{)( === RxRfDom
.
Para hallar el rango escribimos la funcin dada en la forma )(yfx
= luego
155
1
=
xy 1)155( =xy 1155 = yxy
y
yx
5
151+=
}0{}05{)( === RyRfRang
FUNCIN DEFINIDA POR PARTES:En algunas situaciones, no siempre es
posible que nica regla de correspondencia defina
con claridad una funcin. Por ejemplo, algunas compaas telefnicas
ofrecen un precio por
llamada si se realizan menos de nllamadas, y una reduccin en el
precio por llamada si el
nmero es superior. En este caso es conveniente utilizar un tipo
de funcin, que llamaremosdefinida por partes, para describir la
situacin, y cuya definicin presentamos a
continuacin.
Definicin:Una funcin definida por parteses una funcin que tiene
la forma
=
nn Dxsixf
Dxsixf
Dxsixf
xf
)(
)(
)(
)(22
11
MMM
con = ji DD para i, j= 1, 2, , ne ji . El dominio y el rango
def(x) se determina
por:
nf DDDD = K21
nf RRRR = K21
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Ejemplo:1. Una funcin se define por
>
=
1
11)(
2 xsix
xsixxf
Evalef(0),f(1) yf(2).
Solucin:
Para esta funcin en particular, primero se considera el valor de
la entrada de x. Si sucede
que 1x ,entonces el valor de )(xf es x1 . Por otra parte, si
1>x , entonces el valor de
)(xf es 2x .
Como 10
, tenemos .101)0( ==
f Como 11 , tenemos .011)1( ==f
Como 12 > , tenemos 42)2( 2 ==f .
2. La funcin
>
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Ejemplo:1. Determinar el dominio y rango de la funcin 1)( +=
xxxf
Solucin:
Por definicin de valor absoluto se tiene
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EJERCICIOS PROPUESTOS1. Hallar el domino de las siguientes
funciones.
a)32
94)(
2
+
+=
x
xxf
b)
1
23)(
+=
x
xxf
c)
)9)(5(
6)(
=
xx
xxf
d) 2
4)( 2
2
+=
xxxxxf
e)
xxx
xxf
23
1)(
23++
=
f)
1)(
=
x
xxf
g)
1
1)(
+=
xxxf
h)
41
53)(
+
++=
x
xxxf
2. Hallar el rango de las siguientes funciones.
a)
2)( = xxxf
b)
82
44)(
2
2
+
+=
x
xxf
c)
>+++
+= ,4[,
21
31)( xsi
x
xxf
d) ]10,1[,
1)(
2
2
+
= xsix
xxf
e) 5,
2
5)( >
+= xsi
x
xxf
3. Determinar el rango y graficar la funcin 4)( 2 = xxf .
4. Hallar el domino, rango y grafica de la funcin:
a) 1
1)(
23
+
+++=
x
xxxxf
b) 1)( 2 ++= xxxxf
5. Hallar el rango y graficar la funcin xxxf = 12)( .
6. Hallar el dominio, rango, grfica de las funciones
a)64,
44-,23)(
+
=
1,2
1,4)(
2
2
xx
xxxf
c) 11)( ++= xxxf
