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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-I

Semana 6CURSO : CLCULO I

Tema :

LMITES DE UNA FUNCIN

El concepto de limite es la idea central que distingue el clculo del algebra y trigonometra.

Es fundamental para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.

Empezaremos con la idea intuitiva de lmite, estudiando el comportamiento de una funcin

)(xfy = para valores prximos a un punto, no necesariamente en su dominio. Por

ejemplo, sea la funcin

1

)1)(12(

1

12)(

2

+=

=

x

xx

x

xxxf

Es claro que }1{)( =RfDom . Estudiaremos una funcin en valores dexque estn cerca

de 1. Para todo )(fDomx tenemos que 12)( += xxf . Vamos a construir una tabla de

valores dexcercanos a 1, por la izquierda y por la derecha y los valores correspondientes

de )(xf son:

x 0.8 0.9 0.99 0.999 1.0009 1.009 1.09 1.2

)(xf 2.6 2.8 2.98 2.998 3.0018 3.018 3.18 3.4

Observando la tabla, podemos verificar que: a medida que xse aproxima a 1, los valores

de )(xf se aproximan a 3. Utilizando la notacin de lmite, se escribe

3)(lim1

=

xfx

Definicin formal de Lmite.Si f es una funcin definida sobre un intervalo abierto alrededor del punto 0x , entonces

expresamos que

Lxflmxx

=

)(0

si para todo 0> existe un nmero 0> tal que

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Propiedades de los lmitesEl lmite de )(xf cuando x tiende a 0x no depende del valor de f en 0xx = . Puede

ocurrir, no obstante, que este lmite sea )( 0xf . En estos casos se puede evaluar el lmitepor sustitucin directa. Esto es,

)()( 00

xfxflmxx

=

.

TeoremaSean rn, enteros positivo, kuna constante,f y g funciones que tengan lmites en 0x .

Entonces

1. kklmxx

= 0

2.

)()(.00

xflmkxfklmxxxx

=

3. [ ] )()()()(

000

xglmxflmxgxflmxxxxxx

=

4. [ ]

=

)(.)()().(000

xglmxflmxgxflmxxxxxx

5.)(

)(

)(

)(

0

0

0 xglm

xflm

xg

xflm

xx

xx

xx

= , siempre que 0)(0

xglmxx

6. [ ]

rn

xx

rn

xxxflmxflm

//

)()(00

=

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Ejemplo:1.

Use las propiedades de lmites para encontrar

a) ( )34 23 +

xxlmcx

b)

5

12

24

+

+

x

xxlm

cx

c) 342

2

xlmx

Solucin

a) ( ) 343434 232323 +=+=+

cclmxlmxlmxxlmcxcxcxcx

b)

( )

( ) 51

5

1

5

1

5

12

24

2

24

2

24

2

24

+

+

=+

+

=+

+

=+

+

c

cc

lmxlm

lmxlmxlm

xlm

xxlm

x

xx

lmcxcx

cxcxcx

cx

cx

cx

c) ( ) ( ) 13324343434 22

2

2

2

2

2

2====

xxxxlmxlmxlmxlm

Eliminacin algebraica de denominadores iguales a ceroSi el denominador es cero, cancelamos factores comunes en el numerador y denominador

para reducir a una fraccin en donde el denominador no sea cero en 0x . Luego se puede

encontrar el lmite por sustitucin en la fraccin simplificada.

Ejemplo:

2.

Evaluarxx

xxlmx

+

2

2

1

2

Solucin

Al evaluarx= 1 en el denominador se obtiene por resultado 0. Luego de factorizar se

reduce la fraccin

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2+

=

+=

+

Usando la fraccin simplificada

31

2122

12

2

1=

+=

+=

+

x

xlm

xx

xxlm

xx

3. Evaluar2

2

0

10100

x

xlmx

+

Solucin

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Al reemplazarx

= 0 en la funcin se obtiene la forma indeterminada 0/0 y no hay algnfactor comn para simplificar. Se debe multiplicar al numerador y denominador por la

expresin 101002

++x (obtenido por cambiar el signo despus de la raz cuadrada).

( )

( )

10100

1

10100

10100

100100

10100

10100.

1010010100

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

++

=

++

=

++

+=

++

+++=

+

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

Por tanto

20

1

101000

1

10100

110100

2202

2

0=

++

=

++

=+

xlm

x

xlm

xx

4. Encuentre3

62

3

x

xxlmx

.

Solucin

Observe que3

62

x

xxno est definida en 3=x , pero todo esta bien. Para tener una idea

de lo que esta sucediendo cuando x se aproxima a 3, podramos emplear una calculadora

para evaluar la expresin dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor

utilizar un poco de lgebra para simplificar el problema.

523)2(3

)2)(3(

3

6

33

2

3=+=+=

+=

xlmx

xxlm

x

xxlm

xxx

La cancelacin de 3x en el segundo paso es vlida ya que la definicin de lmite ignora

el comportamiento en 3=x . Recuerde, 13

3=

x

xsiempre que x no sea igual a 3.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si 12

5)(

4=

x

xflmx

, encuentre )(4

xflmx

2. Si 1)(

22=

x

xflmx

, encuentre

a) )(2

xflmx

b)

x

xflmx

)(

2

3.

Encuentre los siguientes limites

1. ( )527

+

xlmx

2. ( )2522

+

xxlmx

3. ( )( )758

6

xxlmx

4.x

xlmx 5

2

5

5.

( )

3/4

3 5 xlm

x

6.113

3

0 ++ xlmx

7.

25

525

x

xlmx

8.5

1032

5 +

+

x

xxlmx

9.

232 2

42

xx

xlmx +

10.24

23

0 163

85

xx

xxlmx

+

11.

1

13

4

1

x

xlmx

12.16

84

3

2

x

xlmx

13.

x

xlmx

113

0

+

14.9

3

9

x

xlmx

15.

x

xxlmx

2

4 2

4

16.

2

232

2

1

++

xx

xx

lmx

17.

34

323 ++

+

xx

xlmx

18.

x

xlmx

245

0

+

19.

23

1

1 +

x

xlmx

20. 1

382

1 +

+

x

xlmx

21.35

2

22+

+

x

xlmx

22.3

52 2

3 +

x

xlmx

23.

95

4

24+

x

xlmx

24.33

2 )1(

ax

axaxlm

ax

++

25.( ) ( )22

2

1 1

1

xaax

xlmx ++

26.

5

1434

5

x

xxlmx

27.ax

abxblm

ax

22

28.21

662

3 +

+

x

xxlmx

29. x

xlmx

1

25

1

30.2215

12

1 +

xx

xxlmx

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4.

Debido a su conexin con las lneas secantes, tangentes y las tasas instantneas, los lmitesde la forma

h

xfhxflmh

)()(

0

+

Ocurren con frecuencia en el clculo. En los siguientes ejercicios, evalu los lmites paralos valores dexy la funcin f dada

1. 2)( xxf = , 1=x

2. 43)( = xxf , 2=x

3. ,)( xxf = 7=x

4. xxf /1)( = , 2=x

5.

Calcular los limites trigonomtricos, si es necesario, utilizar la frmula 10 =

sen

lm

1.

( )x

xsenlmx 4

3

0

2.

)4cot(

)5cot()3(

0 xx

xxsenlmx

3.( )

)5cos(

2csc

0 x

xxlmx

4.

x

xlmx tan

2

0

5.

( )( )xxxlmx

2csccot6 20

6.xsenx

xxxlmx cos.

cos

0

+

7.x

senxxxlmx 2

2

0

+

8.( )

x

xsenlmx cos1

cos1

0

9.x

xsenxlm

x tan1

cos

4/

10.

( )

( )3

3

2/ 2cos1

1

x

senxlm

x +

11.

xxsenlmx cos1

1220

12.

xsenx

xxlmx

2coscos

0

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LIMITES LATERALESAhora extenderemos el concepto de lmite a lmites laterales, que son lmites cuando xse

aproxima al nmero 0x por la izquierda (cuando 0xx < ) o por la derecha (cuando 0xx > ).

Tener un lmite L cuando x se aproxima a 0x , la funcin f debe ser definida en ambos

lados de0x y los valores de )(xf se aproximan aLcuandoxtiende a 0x por ambos lados.

Si f no tiene un lmite en 0x , puede tener limite si el enfoque es solo desde un lado. Si el

enfoque es desde la derecha, el lmite es un lmite por la derecha y desde la izquierda, es un

lmite por la izquierda.

La funcin xxxf /)( = tiene lmite 1 cuando xse aproxima a 0 por la derecha, y tiene

lmite -1 cuando x se aproxima a 0 por la izquierda. Puesto que estos valores lmites

laterales no son lo mismo, no hay un nmero nico al que )(xf se aproxima cuando x

tiende a 0. Por lo tanto )(xf no tiene lmite en 0.

Intuitivamente, si )(xf es definida en un intervalo ( )bc, donde bc < , y se aproximaarbitrariamente a L cuando x tiende a c desde el interior del intervalo, entonces f tiene

lmite por la derechaLen c. Escribimos

Lxflmcx

=+

)(

El smbolo +cx significa que se consideran slo los valores dexmayores que c.

Similarmente, si )(xf es definida en un intervalo ( )ca, donde ca < , y se aproximaarbitrariamente a M cuando x tiende a c en el interior del intervalo, entonces f tiene lmite

por la izquierda M en c. Escribimos

Mxflmcx

=

)(

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El smbolo

cx significa que se consideran slo los valores dexmenores que c.

(a) Limite por la derecha cuando xtiende a c

(b) Limite por la izquierda cuandoxtiende a c

Para la funcin xxxf /)( = se tiene

1)(0

=+

xflmx

y 1)(0

=

xflmx

TEOREMAEl )(

0

xflmxx

existe y es igual a L si y solo si Lxflmxx

=

)(0

y Lxflmxx

=+

)(0

existen

y son iguales a L .

Ejemplo

1. Sea

existe un correspondiente nmero 0> tal que para todox

+ tal que para todox

00 xxx

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3.xxxxlm

x 573

0

+

4.x

xxlmx

5542

0

++

+

5.x

xxlmx

611562

0

++

6.1

)1(2

1

x

xxlmx

5. Si

>

+

+

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