SEMANA9-2016-1 CINETICA DE CUERPO RIGIDO EN EL PLANO-U.pdf

7/26/2019 SEMANA9-2016-1 CINETICA DE CUERPO RIGIDO EN EL PLANO-U.pdf

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Dinmica 2016-1

Semana 09

T

ema: Cintica de Cuerpo Rgido en el Plano

ANALISIS PARA DETERMINAR PARAMETROS EN UN SOLO ESTADODINAMICO DE LOS CUERPOS RIGIDOS

ES DECIR PARA UN TIEMPO t ESPECIFICO


2/33

IntroduccinMomentos de Inercia de Masas de figuras regularesconocidas.

Propiedades y Ecuaciones fundamentales.

Cintica de cuerpos rgidos en 2D.

Tipos de movimiento.

Ecuaciones de fuerzas y aceleraciones.

Aplicaciones en 2D.

TEMARIO


3/33

Una bailarina tendr mayor

momento de inercia si

extiende los brazos, girando

ms rpido, que si los

contrae.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/CF46618267_109996904033.gif


4/33

El Momento de Inercia(smbolo I) es una medida de laInerciarotacional de un cuerpo.

El momento de inercia slo depende de la geometra delcuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no dependede las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia mide la resistencia de un cuerpoa la aceleracin angular(M=I) del mismo modo que lamasa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleracin(F=ma).


5/33

Para un cuerpo de masa continua (Medio Continuo),

se generaliza como:

22

.I

r dm r dV

2

i iI m r

Para un cuerpo de masa distribuida (Medio Discreto),se generaliza como:


6/33

Con respecto a que eje 1 o 2:Cul de estos giros resulta ms difcil?El momento de inercia de un cuerpo indica suresistencia a adquirir una aceleracin angular.

2

12II


7/33

2mDII GZ

Teorema de Steiner en 2D

Gm


8/33

RADIO DE GIRO K

2

ZZ mKI

2. GG KmI

2mDII GZ Del Teorema de Steiner:

2 2 2

Z GK K D Obtenemos una relacin entre los radios de giro

respecto de un eje cualesquiera Z y el eje

centroidal G a travs de la distancia entre ejes D:

2 2 2 Z GmK mK mD

De vez en cuando, el Momento de Inercia de un cuerpo respecto de un eje especifico,

se reporta en Manuales por medio del radio de giro, k:

Z

Z

IK

m

GGI

Km


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21

12Y ZI I mL

2 21 ( )12

XI m b h

0X

I

VALORES DE MOMENTOS DE INERCIA PARA FIGURAS

REGULARES CONOCIDAS

VARILLA

PLACA RECTANGULAR DELGADA

2

2

1

12

1

12

Y

Z

I mb

I mh


10/33

21

2XI mR

21

4Y ZI I mR

DISCO DELGADO El espesor t es muy delgado


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Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, segn su naturaleza, en:

1.- Traslacin Pura. Tiene dos casos, traslacin pura rectilnea y curvilnea.2.- Rotacin en torno a un eje fijo.

3.- Movimiento plano cualquiera. Traslacin + rotacinLos dos primeros, son casos particulares del Movimiento plano cualquiera.

Traslacin Pura Rectilnea

Traslacin Pura Curvilnea

Rotacin Pura

Traslacin + Rotacin

TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO


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Ecuaciones en Traslacindel Movimiento Planocualquiera de un Cuerpo Rgido

GamF

Causas dinmicas Efectos dinmicos

en traslacin

Causas dinmicas

Efectos dinmicos

En Traslacin

Se obtienen del D.C.L.



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G GM I

Ecuaciones en Rotaciondel Movimiento Planocualquiera de un Cuerpo Rgido

Causas dinmicas

en rotacin

Efectos dinmicos

en Rotacin

Causas dinmicas

Efectos dinmicos

en Rotacin

Con respecto al centro

de masa G




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Ecuaciones para Traslacin Pura Rectilinea yCurvilnea

Durante la Traslacin, no hay movimiento angular (= = 0); por tanto, todas laspartes del cuerpo tienen la misma velocidady la misma aceleracin lineal encualquier punto del cuerpo en estudio.

G

x XF m a

pto ptoCausas Efectos

M M

G

y YF m a

0Gz

M

Causas dinmicas

en rotacin

Efectos dinmicos

en Rotacin

A0

yF


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Ecuaciones para Rotacin en torno a un eje fijoEste tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpodescriben trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.

x GxF ma mx

En la figura de la derecha: aG= 0; por lo tanto, las ecuacionespara un movimiento plano cualquiera se reducen a

0

0

Gx

Gy

a

a

0yF

Gz Gz M I

0xF

y GyF ma my

Gz Gz M I

Para los centros de la polea y para el

engranaje se cumplen estas ultimasecuaciones

G

En Coordenadas

rectangulares

En Componentes

intrnsecas

En Coordenadas

polares

t

t GF ma mv 2( )

r

r GF ma mr r

2

n

n G

vF ma m

( 2 )

GF ma m r r

Casos singulares:


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Ecuaciones del Movimiento plano cualquieraTraslacion + Rotacin: Caso general

GamF

G GM I

pto ptoCausas Efectos

M M x Gx

y Gy

F m a

F m a

GG

G

G


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El Tambor tiene una masa de 60 kg. Una cuerda de masa despreciable, se enrolla

alrededor de la periferia del tambor y esta sujeta a un bloque de 20 kg de masa. Si

este se suelta desde el punto de reposo, determine:

a.- La aceleracin angular del tambor.(m/s2)

b.- la fuerza de tensin del cable.(N)

c.- La fuerza de reaccin horizontal en O.(N)

d.- La fuerza de reaccin vertical en O.(N)

e.- La aceleracin angular del disco.(rad/s2)

f) La aceleracin lineal del bloque.(m/s2)


18/33

SOLUCION:

T

bm g

bm a

=

1.- Anlisis del bloque: (Traslacin pura rectilnea)

Y

GYF ma

196 20

20 196........(1)

Tj j aj

T a

20(9,8) 196b

m g N60(9,8) 588T

m g N

2.- Anlisis del Tambor: (Rotacin pura)

OX

OY

T Tm g

Nota: El centro de masa no tienen movimiento

=

Causas Efectos

Causas

OI

. (0) 0GXX

F m a m

0X

O

. (0) 0G

YYF m a m

........(25 8 0 )8Y

O T

O OM I

0,4O

Tk I k

2 2 21

0,5(60)(0,4) 4,8 .2OI mr kg m .0 .,4 ..4, ..8 0 ..(3)T

Efectos


19/33

3.- Cinematicamente en la periferia del tambor:.........( )0,4 4

a r

a

...2 .0 ....(1 1)96T a

........(25 8 0 )8Y

O T

.0 .,4 ..4, ..8 0 ..(3)T

Reemplazando (4) en (1):

20(0,4 ) 196

8 196

T

T

2

117,6

9,8 /

T N

rad s

Finalmente reemplazando en(2):

Luego trabajando con la ecuacin (3):

588 117,6 0Y

O705,6YO N


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Responder:

( a ) La barra delgada uniforme de 40 kg se apoya en la camioneta en su

extremo A y en B, que se apoya sin friccin en la parte superior de la cabina.

Si la camioneta parte del reposo con una aceleracin a = 15 m/s2

.

a.- Determine la fuerza de contacto en B. (En N)

b.- Determine la fuerza de reaccin en el apoyo A sobre la barra. (En N)

EJERCICIOS


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) A Acausas efectosa M M

(3) (2,5 ) (0,833)

2 23 40(9,8).(2,5( )) 40(15)(0,833)

3141,3842

B

B

B

R mg Cos ma

R

R N

) Xb F ma

( ) . 600

1141, 3842( ) 600

3

X B

X

A R Sen m a N

A

) 0Yc F ( ) 0

2 2141, 3842( ) 392 0

3

Y B

Y

A R Cos mg

A

0,833m

Causas dinmicas Efectos dinmicos

2.5Cos

2.5Sen=0,833m

647,128xA N 258,7016YA N


22/33

El tronco delgado y uniforme de dimetro 1600 mm y masa 200 kg esta

articulado con el Camin de 2 toneladas de traccin posterior, con centro de

masa en G, que se mueve con una aceleracin de 10 m/s2hacia la derecha. Se

sabe que la friccin en la rueda B es despreciable y utilice S = 0.5. Lasdimensiones estn en mm. Determine:

a.- La fuerza de reaccin horizontal C sobre el tronco.(N)

b.- La aceleracin angular del tronco.(rad/s2)

c.- La fuerza de reaccin en B.(N)

d.- La fuerza de reaccin en A.(N)

Lo primero que tenemos

que hacer es el D.C.L.

tanto en las CAUSAS como

En los EFECTOS


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0,75m

0,8m

CY

CX

mCg=1960 NT

=

1.- Hacemos el DCL del tronco:

200a

IG=64

2 2 21 1(200)(0,8) 64 .

2 2GI mr kg m

) CCa M I

) 0

1960 0

1960

Y

Y

Y

b F

C

C N

0,75 64 0............(1

(0,75) 64(

)

)T k

T

k

2000............(

.

200

2)

)

X

G

X X

X

c F m a

C

C T

T a


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=

CX

2000a

mg=19600 N

2.- Hacemos el DCL del camin:

NANB

fA

21560........

) 0

19600 1960 0

.....(3)B

A

A

Y

B

N

a F

N N

N

0, 5 20000............

) 20

.

00

20 0

(4)

0

A

X

X

X

A

b F a

f C

N

a

C

CY=1960N

) A Acausas efectosc M M

(2, 4) 1960(0,75) 19600(1,8) (3,6) 20002,4 3,6 12750..........

(10)(...

1, 2)(5)X B

X B

CC N

N

) 0

(1,8) 1960(1,05) (1, 2) 0

1, 2 1, 2 1,8 2058........

, 5 (1, 2

......(5)

) (1,8) 0

G

B X A A

X A B

c M

N C N N

C N N

Otra opcin: alternativa a (5)


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TABLA DE RESULTADOS

Incgnitas CX T NA NB Ctes

1 2 3 4 5

1 0 0,75 -64 0 0 0

2 1 -1 0 0 0 2000

3 0 0 0 1 1 21560

4 -1 0 0 0,5 0 20000

5 2,4 0 0 0 3,6 12750

Resultados -16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5


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TABLA DE RESULTADOSIncgnitas CX T NA NB Ctes

1 2 3 4 5

1 0 0,75 -64 0 0 0

2 1 -1 0 0 0 2000

3 0 0 0 1 1 21560

4

-1 0 0 0,5 0 200005 1,2 0 0 -1,2 1,8 -2058

Resultados -16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5

-16486,25 -18,486,25 -216,6358 7027,5 14532,5

RESULTADOS PROBLEMA 2

Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION (no llenar)

a CX 16486,25 N

b 216,6358 rad/s2

c RB 14532,5 N

d RA 7856,9838 N

Con la ecuacin alterna (5) en verde los resultados tambin se visualizan en color verde:


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El cilindro de 2 kg cuelga deldisco de 20kg y 0.2m de radio, si el

cilindro pequeo desciende en eseinstante con 2 m/s, calcule:

La aceleracin angular del disco.

La magnitud de la fuerza detensin en la cuerda (N)

La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje X(N)

La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje Y(N)

a.- 8,1666 rad/s2

b.- 16,3333 N

c.- 0

d.- 212,3333 N

TALLER


28/33


29/33


30/33

El cilindro de 2 kg cuelga deldisco de 20kg y 0.2m de radio, si el

cilindro pequeo desciende en eseinstante con 2 m/s, calcule:

La aceleracin angular del disco.

La magnitud de la fuerza detensin en la cuerda (N)

La magnitud de la fuerza dereaccin en A, relativo al eje X(N)

La magnitud de la fuerza de

reaccin en A, relativo al eje Y(N)

a.- 8,1666 rad/s2

b.- 16,3333 N

c.- 0

d.- 212,3333 N


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PROBLEMA

La barra uniforme AB de 25 kg empieza a moverse

del reposo en la posicin indicada bajo la accin de

su peso y del Par aplicado. Las guas son lisas y

estn en el mismo plano vertical. Para ese instantedetermine:

a.- La magnitud de la aceleracin angular de la

barra.(rad/s2)

b.- La magnitud de la fuerza de reaccin en el apoyo

B.(N)

c.- La magnitud de la fuerza de reaccin en el apoyoA.(N)

d.- La magnitud de la aceleracin lineal del centro de

masa de la barra AB .(m/s2)

1GRUPO en entregar correctamente: + 3 ptos en la 3PC




32/33

RESULTADOS PROBLEMA

VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES

a AB 1,4724 rad/s2

b aGX 1,1476 m/s2

c aAGY 0,6626 m/s2

d AX 28,6913 N

b NB 261,5654 N

c aA 1,3252 m/s2

d aB 2,2953 m/s2


33/33

THE END!

Higher Education

Lets make it all that it can be and needs to be

Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Profesor: M.Sc Tito Vilchez

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