Semantičko i sintaktičko karakteriziranje logike

Pojam o istini

Plan

Deduktivni sustavi.Odnos prirodne dedukcije prema ostalim deduktivnim sustavima.

Dva načina karakterizacije logike.Semantika.

Dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti.Istinitost u strukturi.

Odnos sintakse i semantike.Dva poželjna svojstva neke logike: pouzdanost i potpunost.

Teorija i posljedicePojam teorije.

Skup rečenica A i odnos posljedice Cn.Tkogod predlaže A obvezuje se na Cn(A).

Neki autori razlikuju: Fundirajuću (utemeljujuću) teoriju.Fundiranu (utemeljenu) teoriju.

Logika je fundirajuća teorija.

T 〈A, Cns ∈ CnA → s ∈ A

VježbaKonstrukcija teorije.

Pokušajmo naslutiti pravilnosti.Skup rečenica o pravilnostima neka je štedljiv.

VježbaPredložen je sljedeći skup pravilnosti.Ispunjava li on zahtjev štedljivosti?Ako da, nijedna rečenica ne može se izvesti iz preostalih. Takav skup rečenica možemo nazvati neovisnim.

∀xKockax∧Kockay → VeceOdx,y,∃xKockax∧Malenox,∃x Kockax,∃xKockax

Možda je ovaj primjer zanimljiviji?

∀xGospodarx∧Gospodary → Nadredenx,y,∃xGospodarx∧Robx,∃x Gospodarx,∃xGospodarx

Dokažimo ovisnost

Zahtjevi u konstrukciji teorije“Elegancija”: skup hipoteza o pravilnosti ne smije biti redundantan.“Suvislost”: skup hipoteza ne smije biti inkonzistentan.“Snaga”: skup hipoteza mora za svoju posljedicu znatan broj činjenica.

H je skup hipotezaC je skup relevantnih činjenicaR ∈ H H − R RH R ∈ C H R

Vježba iz metateorijskogzaključivanja

Zaključimo iz postojanja jednog dokaza na postojanje drugog dokaza.Ispitajte tvrdnju na desnoj strani.

Ona vrijedi samo u jednom smjeru. U kojem? Dokažite to!

H − R RakkoH R

Klasična ideja: logika kao aksiomatski sustav

David HilbertAksiomi, postulati, teoremi, korolariji, leme i propozicije.Važni povijesni prethodnici aksiomatske gradnje znanja (“konstrukcije značenja”).

Euklid (Stari vijek).Spinoza (Novi vijek)

Logika bez aksioma

Prirodna karakterizacija logike.Logički račun.

Semantička karakterizacija logike

Logika proučava odnose značenja.Ne kako ljudi doživljavaju odnose značenja; ne kako se ljude može uvjeriti ili nagovoriti na nešto. Već?

Istina glavni semantički pojam.

Razina propozicijske logike: funkcija dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti

h : Atomi ,

h∗P

hRakojePatomarnarecenica,akojePrecenicaQteh∗Q ,akojePrecenicaQ∧R teh∗Q i h∗R ,akojePrecenicaQ∨R teh∗Q ili h∗R ,akojePrecenicaQ→R teh∗Q ili h∗R ,akojePrecenicaQ↔R teh∗Q h∗R

O semantici propozicijske logike

Objašnjava jedno od temeljnih načela, načelo kompozicionalnosti.

Ali (!) samo do razine jednostavne rečenice.

Istina (i neistina) je nedefinirani, primitivni pojam.

Vrijednost (izlaz) funkcije DIV. Argumenti (ulaz) rečenice iz jezika popozicijske logike.

Definirani logičko-semantički pojmovi

Zadovoljivost (ispunjivost):Rečenice: postoji DIV t.d. je ta rečenica istinita pod tim DIV.Skupa rečenica: postoji DIV t.d. itd.

Tautološka posljedica:Svaki DIV koji čini istinitima sve premise čini istinitim i konkluziju.

Kontingentna rečenica, kontradikcija, tautologija (valjana rečenica PL).

TautConS,Takkoza svako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti htakvo da za svaku recenicu R ∈ T, hR vrijedi hS

Zašto su nezadovoljive teorije bezvrijedne?

Obrazložite svoj odgovor.Caveat Emptor (latinski, “neka kupac bude oprezan”), načelo iz ranog građanskog prava po kojemu kupac nevaljane robe ne može prodavača držati pravno odgovornim.Caveat: nezadovoljiveteorije javljaju se u povijesti ideja i individualnim biografijama.

Korak naprijed

Logika prvog reda, tj. logika IstFunveznika + logika identiteta + logika A/E kvantifikatora.Pogled unutar rečenice.

Potrebni sastojci

Intuitivna ideja “istine” (isto, korespondencija, adekvacija, slaganje,...).Naivna teorija skupova.

Jedini primitivni terminTS: ∈Neki definirani termini:[odnos inkluzije] a ⊆ b ↔ ∀xx ∈ a → x ∈ b[operacija presjeka] a∩ b x ∣ x ∈ a∧ x ∈ b[operacija unije] a b x ∣ x ∈ a∨ x ∈ b[operacija produkta] a1 . . .an 〈x1, . . . ,xn ∣ x1 ∈ a1 ∧. . .∧xn ∈ an

Prvi korak: tumačenje sintaktičkih kategorija

Jezik logike prvog reda:Kvantifikatori.Individualne konstante.Predikati.Varijable.

Razmišljajmo u širem kontekstu!

Značenje nije fizička pojava. Značenje je rezultat tumačenja. Formalna osnova teorije tumačenja (hermeneutika, kvalitativna metodologija).

Struktura prvog reda

Jednostavna ideja: tumačenje je preslikavanje sa sintaktičkih objekata na objekte teorije skupova.

InterpretacijaInterpretacija je funkcija t.d.

Za kvantifikatoreispostavlja područje rasprave, neprazanskup D.Za imena ispostavlja elemente domene D.Za predikate ispostavlja podskupoveodgovarajući broj puta izvedenog produkta skupa D sa samim sobom, tj. skupove nizova, tj. uređenih n-torki elemenata iz D.

D ≠ ∅M∀ DMk ∈ DMPn ⊆

n

D . . .D

“Spakirajmo” svijet u apstraktni objekt (funkciju)

M(Svi)={o1,o2,o3,o4}M(b)=o2M(Tetraedar)={o1,o4}M(VećiOd)={,,,,}

Nesporazum

Prividno slaganje

Za razmišljanjeŠto je informativnije? Koji nam podatak kazuje više?

A i B se slažu u pogledu istinitosnevrijednosti rečenice P.A i B se ne slažu u pogledu istinitosnevrijednosti rečenice P.