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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
DIRETORIA ACADÊMICA
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Carmen Teresa Kaiber 1
Introdução
No que segue, vamos estudar um pouco mais a semelhança de triângulos. O
estudo da semelhança de triângulos se revela interessante e importante sob dois
aspectos: matematicamente, devido a rigidez de um triângulo, é possível garantir a
semelhança de dois triângulos a partir de apenas uma das condições estabelecidas
para a semelhança de polígonos; em termos práticos a semelhança é usada para o
cálculo de distâncias inacessíveis como, historicamente é relatado, o fez Tales de
Mileto (624 – 547 a. C), ao calcular a altura da pirâmide de Quéops, no Egito (BOYER,
1996). Tales, partindo do pressuposto que os raios do Sol são paralelos quando
atingem a Terra, em razão da distância que separa o sol e a Terra, teria comparado o
comprimento da sombra da pirâmide com o comprimento da sombra de uma estaca
vertical (de altura conhecida) fincada na areia, considerando uma mesma posição em
relação ao sol (Figura 1). Assim, partindo da ideia que era possível medir a sombra
da pirâmide e a sombra da estaca, por semelhança de triângulos, teria conseguido
descobrir a altura da pirâmide.
Figura 1 - Esquema da medição da altura da pirâmide por Tales
1 Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca/ES e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da ULBRA.
1 Semelhança de Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando é possível associar os
seus vértices de modo que pares de ângulos correspondentes sejam congruentes e
os lados correspondentes sejam proporcionais.
Notação: ΔABC ~ ΔA’B’C’
Vamos, agora, observar a Figura 2, que apresenta dois triângulos semelhantes.
Figura 2 - Triângulos semelhantes
Considerando os triângulos ABC e A’B’C’, é possível perceber que seus
ângulos têm a mesma medida e que os lados correspondentes são proporcionais, ou
seja:
𝟒, 𝟖
𝟗, 𝟔=𝟑. 𝟕𝟗
𝟕, 𝟓𝟖=𝟐, 𝟓
𝟓=𝟏
𝟐
No exemplo, temos que a razão de semelhança é 1
2.
De modo geral, como já apresentado, podemos representar a razão entre lados
correspondentes por k
A′C′
AC=B′C′
BC=A′B′
AB= k
sendo que esse número k é chamado razão de semelhança dos triângulos.
Particularmente se k=1, os triângulos são congruentes.
2 Casos de Semelhança de Triângulos
Dados dois triângulos ABC e A’B’C’ se os ângulos  e Â’, 'B̂eB̂ são
congruentes, então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.
• Se em dois triângulos ABC e A’B’C’ tem-se:
'C'A
AC
'B'A
AB,'ÂÂ =
então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.
• Se em dois triângulos ABC e A’B’C’ tem-se:
'''''' CA
AC
CB
BC
BA
AB==
então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.
Analisando os casos de semelhança destacados podemos observar que não é
possível ter lados proporcionais e ângulos correspondentes diferentes, como também
não é possível ter ângulos correspondentes congruentes sem que os lados sejam
proporcionais.
No que segue vamos estudar aspectos algébricos da razão de proporção,
estabelecendo, também, aspectos da proporcionalidade e suas propriedades e, em
seguida, enunciar o Teorema de Tales. Vamos, assim, resolver problemas envolvendo
semelhança, proporcionalidade e o Teorema de Tales.
3 Razão e Proporção
Sejam a e b números reais, com b não nulo. O quociente de a por b é chamado
de razão de a por b.
Ex.: ...,1,2
1,
3
2 (lê-se 2 está para 3, 1 está para 2,..)
Sejam a, b, c números reais e p, q, r números reais diferentes de zero, se,
r
c
q
b
p
a==
dizemos que estes números são proporcionais. O valor da divisão chamamos de razão
de proporção.
Ex.: 4, 6, 8, 10 e 2, 3, 4, 5 são proporcionais, pois:
25
10
4
8
3
6
2
4==== (2 é a razão de proporção)
2
1
10
5
8
4
6
3
4
2==== (
2
1 é a razão de proporção)
Na proporção:
𝒂
𝑏=𝑐
𝒅
a e d são denominados extremos, b e c denominados meios.
Propriedades:
• Na proporção 𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅 , a.d=b.c.
• Na proporção 𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅 podemos trocar os extremos ou os meios ou seja:
𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅⟹
𝒅
𝑏=
𝑐
𝒂 e
𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅⟹
𝒂
𝑐=
𝑏
𝒅
• Na proporção 𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅 podemos inverter as duas razões ou seja:
𝒂
𝑏=𝑐
𝒅⟹
𝒄
𝒂=𝑑
𝑏
• Na proporção 𝒂
𝑏=
𝑐
𝒅 podemos trocar a posição das duas razões ou seja:
𝒂
𝑏=𝑐
𝒅⟹
𝒄
𝒅=𝒂
𝑏
A partir dessas propriedades podemos chegar a duas importantes relações
entre razões:
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⟹
𝑎+𝑐
𝑑+𝑏=
𝑎
𝑏 ou
𝑎+𝑐
𝑑+𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⟹
𝑎−𝑐
𝑑−𝑏=
𝑎
𝑏 ou
𝑎−𝑐
𝑑−𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⟹
𝑎+𝑏
𝑏=
𝑐+𝑑
𝑑
Teorema Fundamental da Proporcionalidade - Se uma reta paralela a um
dos lados de um triângulo corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma
razão.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 1: Dado o triângulo ABC da figura, temos que as retas r e s são
paralelas. Queremos determinar o valor de x.
Solução: Usando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade temos que:
30
12=
𝑥
10⟹ 12𝑥 = 300 ⟹ 𝑥 = 25
Teorema de Tales - Se duas retas são transversais a um conjunto de retas
paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer de uma
delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes da
outra.
Exemplo 2: Nas figuras os ângulos α e β são congruentes. Determine, em cada
caso, os valores de x e y.
a)
b)
Solução:
a) Como os ângulos 𝛼 e 𝛽 são congruentes e os ângulos BEC e DEA
também são congruentes pois são opostos pelo vértice temos que ∆𝐴𝐷𝐸~∆𝐵𝐶𝐸 pelo
caso ângulo-ângulo. Assim podemos escrever que:
8
𝑦=
6
8=
𝑥
12
Tomando-se:
8
𝑦=
6
8⟹ 6𝑦 = 64 ⟹ 𝑦 =
32
3
Tomando-se:
𝑥
12 =6
8⟹ 8𝑥 = 72 ⟹ 𝑥 = 9
Como os ângulos α e β são congruentes e o ângulo EBD é comum aos dois
triângulos que ∆ACB~∆DEB pelo caso ângulo-ângulo(correspondência entre os
vértices A-D, E-C, B-B). Assim podemos escrever que:
8
2+𝑦=
𝑦
𝑥+8=
4
6
Tomando-se:
8
2+𝑦=
4
6⟹ 8+ 4𝑦 = 48 ⟹ 𝑦 = 10
Tomando-se:
𝑦
𝑥+8=
4
6⟹ 6𝑦 = 4𝑥 + 32 ⟹ 60 = 4𝑥 + 32 ⟹ 𝑥 = 7
Exemplo 3: A sombra de um prédio, em um terreno plano, a uma determinada
hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um
poste de 5 m de altura mede 3 m. Queremos determinar a altura do prédio.
Solução: A situação apresentada pode ser esquematizada na representação
que segue.
Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que a altura x do prédio
é dada por:
x
5=
15
3⟹ 3x = 15.5 ⟹ x = 25
Logo a altura do prédio é de 25 m.
Exemplo 4: Aplicação do Teorema de Tales – Divisão de um segmento em
partes iguais.
Dado um segmento AB, queremos dividi-lo, por exemplo, em cinco partes
iguais. Para tal vamos proceder da seguinte maneira:
• por uma das extremidades do segmento AB, por exemplo, do ponto A, vamos
traçar uma semirreta auxiliar AC (de medida qualquer);
• com o compasso, marcamos sobre a semirreta, a partir de A, cinco
segmentos de um mesmo comprimento qualquer;
• traçamos um segmento ligando a outra extremidade do segmento AB dado,
o ponto B, com a extremidade B’ do último dos cinco segmentos congruentes
marcados sobre a semirreta;
• traçamos paralelas a esse segmento BB’, passando pelos extremos dos
segmentos marcados na semirreta, até o primeiro segmento marcado.
Observe a figura que representa a construção realizada. Nela, o segmento AB
ficou dividido em cinco partes iguais, ou seja, as medidas dos segmentos AP, PQ, RS,
SB são iguais.
4 O Triângulo 3, 4 e 5
Muito provavelmente, os babilônios, mais de dois mil anos antes dos
pitagóricos, já tinham conhecimento que, em um triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. Registros
em tábuas de argila apresentavam sequencias de números correspondentes às,
posteriormente, denominadas ternas pitagóricas (Boyer, 1996). A Figura 2 destaca
uma conhecida forma figural de apresentar a relação apontada.
Figura 2 - Representação figural da relação a2=b2+c2
Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente
espaçados, de modo a determinar um ângulo reto ou uma perpendicular, a partir da
superposição do primeiro e do décimo terceiro nós, o que pode ser visto representado
na Figura 3. A utilização da corda de treze dá indícios que os egípcios também sabiam
que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90o. No entanto, de acordo
com Boyer (1996), é possível que a primeira demonstração geral desta relação foi
dada por Pitágoras, ou por um dos seus discípulos, no século VI a.C.
Figura 3 - Corda de treze nós
5 O triângulo Retângulo – Relações Métricas
Dado o triângulo ABC retângulo em A (Figura 4) e conduzindo por A, AD̅̅ ̅̅ ,
perpendicular a BC̅̅̅̅ , com D em BC̅̅̅̅ , vamos identificar elementos pertinentes a esse
triângulo.
Figura 4 - Triângulo retângulo ABC
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑎 ⟶ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏 ⟶ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑐 ⟶ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑚 ⟶ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛 ⟶ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑏 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = ℎ ⟶ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 à ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Importante observar que estamos, aqui, tomando um segmento referindo-se a
sua medida. Assim, quando dizemos que a é a hipotenusa estamos referindo que a é
a medida da hipotenusa.
Ao conduzirmos a altura AD̅̅ ̅̅ relativa a hipotenusa do triângulo retângulo ABC,
obtivemos dois triângulos retângulos DBA e DAC semelhantes ao triângulo ABC, pois
o ângulo B, complementar do ângulo C, é congruente a α e o ângulo C, complementar
do ângulo B, é congruente a β, como ilustrado na Figura 5.
Figura 5 - Triângulos retângulos ABC, DBA e DAC
Assim, temos que:
Como podemos observar todos os três triângulos têm dois ângulos
congruentes, logo:
∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐵𝐴 ~ ∆𝐷𝐴𝐶
A partir da semelhança verificadas entre os triângulos e com os elementos já
caracterizados, podemos estabelecer as seguintes relações:
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴 ⟹
{
𝑎
𝑐=𝑏
ℎ⟹ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ
𝑎
𝑐=𝑐
𝑚⟹ 𝑐2 = 𝑎𝑚
𝑏
ℎ=𝑐
𝑚⟹ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐴𝐶 ⟹
{
𝑎
𝑏=𝑏
𝑛⟹ 𝑏2 = 𝑎𝑛
𝑎
𝑏=𝑐
ℎ⟹ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ
𝑏
𝑛=𝑐
ℎ⟹ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛
∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶 ⟹
{
𝑐
𝑏=ℎ
𝑛⟹ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛
𝑐
𝑏=𝑚
ℎ⟹ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚
ℎ
𝑛=𝑚
ℎ⟹ ℎ2 = 𝑚𝑛
Com base nas relações estabelecidas podemos enunciar que, em qualquer
triângulo retângulo:
• Cada cateto é a média proporcional (ou média geométrica) entre sua
projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa.
𝑏2 = 𝑎. 𝑛 𝑐2 = 𝑎.𝑚
• A altura relativa à hipotenusa é a média proporcional (ou média
geométrica) entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa.
ℎ2𝑚. 𝑛
• O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura
relativa a ela.
𝑏. 𝑐 = 𝑎. ℎ
• O produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao
produto do outro cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa.
𝑏. ℎ = 𝑐. 𝑛 𝑐. ℎ = 𝑏.𝑚
Teorema de Pitágoras - Em um triângulo retângulo o quadrado da medida da
hipotenusa é igual a soma das medidas dos quadrados dos catetos.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
Para provar esta relação vamos somar membro a membro as seguintes
relações já estabelecidas:
Observações:
• A recíproca do Teorema de Pitágoras também é verdadeira, ou seja, se
em um triângulo o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois, então o triângulo é retângulo.
• As relações métricas 𝑏2 = 𝑎. 𝑛, 𝑐2 = 𝑎.𝑚, ℎ2 = 𝑚.𝑛 são as principais,
uma vez que delas decorrem as demais.
Exemplo 5: Considerando os triângulos da figura, determine o valor de x.
Solução: Considerando o triângulo de catetos de medidas 4 e 8 e considerando
y sua hipotenusa, temos que:
𝑦2 = 82 + 42 ⟹ 𝑦2 = 80 ⟹ 𝑦 = √80 ⟹ 𝑦 = 4√5
Assim, podemos estabelecer que:
𝑥2 = 62 + (4√5)2⟹ 𝑥2 = 36 + 80 ⟹ 𝑥 = √116 ⟹ 𝑥 = 2√29
Exemplo 6: Determinar a altitude do balão, na figura abaixo, para que sua
distância ao topo do prédio seja de 10 km.
Solução: Vamos considerar o triângulo retângulo formado pelos catetos x
(altitude do balão a partir do topo do prédio), 8 km (distância ao prédio da projeção do
balão no solo) e 10 km distância do balão ao topo do prédio.
Usando o Teorema de Pitágoras temos:
102 = 82 + 𝑥2⟹ 100 − 64 = 𝑥2 ⟹ 𝑥 = √36 = 6 𝑘𝑚
Como queremos a altitude do balão até o solo, e considerando que 6 km
correspondem a 6000 m, temos que:
𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 6000 𝑚 + 200 𝑚 = 6200 𝑚 𝑜𝑢 6,2 𝑘𝑚
Referências Bibliográficas
REZENDE, Eliane Quelho Frota e QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria
Euclidiana Plana e construções geométricas. 2. Ed. São Paulo: Unicamp, 2011.
UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL. Geometria I. Canoas/RS: ULBRA, 2014.