Seminar 10users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I (BE... · 2020-05-12 · 9.93 3.57 , A 0.37 1.19 , A Ij Ij ... Le transcriem apoi ca mărimi sinusoidale (vezi Pr. 2 Seminar

Conf.dr.ing.ec. Claudia Pacurar 1

BE-ETTI 2019-2020

Seminar 10

METODA CURENȚILOR CICLICI

Curs 9 – slide 25-30

Problema 1

Să se determine curenții din circuit folosind metoda curenților ciclici, știind că:

( ) 220 2 sin314 , V;e t t= 1 2

20, Ω;R R= = 1 2

5, mH;L L= = 2.5, mH.M =

Calculăm valoarea complexă a tensiunii sinusoidale, e(t):

220 2220, V

220 0 , V2

0e

EE

= =

= =

Prin identificare din expresia tensiunii sinusoidale e(t), pulsația este: 314,rad/s =

Analizăm topologic circuitul: n=2;

l=3;

b=l-n+1

b=3-2+1

b=2 bucle independente.

Introducem curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese (I1, I2 și I3).

Introducem curenții fictivi cu sensuri arbitrar alese prin cele două bucle

independente (I1’, I2’), trasând sensurile pentru acestea arbitrar în fiecare buclă.

Scriem sistemul de ecuații specific MCC de forma:

1

2

' '

11 1 12 2

' '

21 1 22 2

kk b

kk b

Z I Z I E

Z I Z I E

+ =

+ =

Explicităm termenii din sistemul de ecuații:


11 1 1 2

3 3 3

11

11

2

20 314 5 10 314 5 10 2 314 2.5 10

20 1.57 1.57 1.57

Z R j L j L j M

Z j j j

Z j j j

− − −

= + + +

= + + +

= + + +

1120 4.71 , ΩZ j+=

22 2 2

22

3

2220 314

Ω

0

20 1.57 ,

5 1

Z

Z L

j

R j

Z j

−

= +

=

=

+

+

12 21 2

3 3

12 21

12

2

2

1 21

1

314 5 10 314 2.

Ω

5 10

1.57 0.78

5

5

2.3 5 ,

Z Z j L j M

Z Z j j

Z

Z

j

Z j

Z j

− −

= = +

= = +

= = +

= =

1

2

220;

0

kk b

kk b

E E

E

= =

=

Înlocuim aceste valori în sistemul specific metodei curenților ciclici și rezolvăm

sistemul:

( )

( )

' '

1 2

' '

1 2

20 4.71 2.355 220

2.355 20 1.57 0

j j

j j

I I

I I

+ =

+ =

+

+

Din a doua ecuație îl scoatem pe I2’ în funcție de I1’:

( )

( )

' '

1 2

' '

' 1 1

2

'

' 1

2

' '

2 1A

2.355 20 1.57 0

2.35

(

5 2.355 (20 1.57 )

20 1.57 400

0.00918 0.1

3

17 ) ,

2.46

47.1 .697

402.46

j I j I

j I j j II

j

j II

I j I

+ + =

− − − = =

+ +

−

+

−=

= −

Înlocuim expresia obținută pentru I2’ în prima ecuație din sistemul specific MCC:

( )

( )

( ) ( )

'

1

'

1

'

1

'

1

'

1

20 4.71 2.355 220

20 4.71 220 0.0216 0.27

219.73 0.0216

20 4.71

219.73 0.0216 20 4.71

400 22.18

4394.6 1034.92 0.432 0.1017

422.18

( 0.00918 0.117 )j I j

j I j

jI

j

j j

j

j

I

jI

+ + =

+ = + −

+ =

+

+ −=

+

−

−

+=

−

+


'

1

'

1

A

4394.7 1034.48

422

.

.1

10 3 2.38

8

, I

I

j

j

=

−=

−

Calculăm și valoarea curentului I2’:

'

2

'

'

2

2

( 0.00914

A

0.116 )

0. 1

(10.3 2

0

094 0.021 1. 9 0

.38 )

.37 1.19 ,

.276

I j

I

j

j

j j

I

−= − −

= − + −

= − −

−

Am determinat astfel curenții fictivi de buclă: '

110.3 2.38 , AI j= −

'

20.37 1.19 , AI j= − −

Acum putem calcula curenții reali din laturile circuitului ca sume algebrice ale

curenților fictivi de buclă, care parcurg imaginar latura prin care calculăm curentul:

1 1

1

'

10.3 2.38 , A

I I

I j−

=

=

'

2

2

'

1 2

2

10

A

.3 2.38 0

9.93 .

.37 1.

3 5

19

7 ,

j

I

I

I

I I

j

j=

= −

+

− −

=

−

'

3

3

2

0.37 1.19 , A

I

I j

I

= +

= −

Curenții reali din laturile circuitului sunt:

1

2

3

10.3 2.38 , A

9.93 3.57 , A

0.37 1.19 , A

I j

I j

I j

= −

= −

= +

Verificare: (aplicăm TKI într-un nod)

1 2 3

10.3 2.38 9.93 3.57 0.37 1.19

10.3 2.38 10.3 2.38 ”A”

I I I

j j j

j j

= +

− = − + +

− = −

Le transcriem apoi ca mărimi sinusoidale (vezi Pr. 1-Seminar 9):

1( ) 10.57 2 sin(314 13 ), Ai t t= −

2( ) 10.55 2 sin(314 19 45'), Ai t t= −

3( ) 1.24 2 sin(314 72 45'), Ai t t= +


Problema 2

Să se calculeze curenții din circuit folosind metoda curenților ciclici, știind că:

( ) 100 2 sin , V;e t t= 5, Ω;R M= = 1 2

10, Ω.L L = =

Calculăm valoarea complexă a tensiunii sinusoidale, e(t):

100 2100, V

100 0 , V2

0e

EE

= =

= =


s=2;

l=2;

b=l-n+s

b=2-2+2


Introducem curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese (I1 și I2).

Introducem curenții fictivi cu sensuri arbitrar alese prin cele două bucle

independente (I1’, I2’), trasând sensurile pentru acestea arbitrar în fiecare buclă.


1

2

' '

11 1 12 2

' '

21 1 22 2

kk b

kk b

Z I Z I E

Z I Z I E

+ =

+ =


11

11 1

10 , ΩZ

Z j L

j

=

=

2

22 2

22

2

5 1

5 10 ,

0

Ω

Z R

j

Z j

j L

Z

= +

= +

= +

2

12 2

1 2

1

15 , Ω

Z

Z

M

Z

Z j

j

= =

==


1

2

100;

0

kk b

kk b

E E

E

= =

=


sistemul:

( )

' '

1 2

' '

1 2

10 5 100

5 5 10 0

j I I

I

j

j Ij

+ =

+ = +

Din a prima ecuație îl scoatem pe I2’ funcție de I1’: ' '

1 2

' '

1 2

'

' '

1

'

2

2

1

1

2

0 5 100 5

2 20

20

2

2

0

j I j I

j I j I

I

j II

j

I j

+ =

+ =

=

= − −

−

Înlocuim expresia obținută pentru I2’ în a doua ecuație din sistemul specific MCC:

( )

( ) ( )

' '

1 2

'

1

'

1

5 5 10 0 : 5

1 2 020 2I j

j I j I

j Ij

+ + =

+ − −+ =

' ' '

1 1 120 2 40 4 0j I j I j I− − + − =

( ) ( )

' '

1 1

'

1

'

1

'

1

'

1

'

11.538 12.307 , A

2 3 40 20

40 20

2 3

40 20 2 3

4 9

80 120 40 60

13

20 160

13

I j I j

jI

j

j jI

j jI

jI

I j

+ = −

−=

+

− −=

+

− − −

−

−=

=

=

Calculăm și valoarea curentului I2’:

( )

'

'

2

2

'

2

3.07

20 2 1.538

A

12.307

20 3.

4

076 2 6

.6

4.

1

1

,

I

j

I

j

I j

j

j

= − +

= − − −

= − − +

Am determinat astfel curenții fictivi de buclă: '

11.538 12.307 , AI j= −

'

23.07 4.61 , AI j= − +



curenților fictivi de buclă, care parcurg imaginar latura prin care calculăm curentul:

1

1

'

1

1.538 12.307 , A

I I

I j= −

=

2

2

'

2

3.07 4.61 , A

I I

I j− +

=

=

Curenții reali din laturile circuitului sunt:

1

2

1.538 12.307 , A

3.07 4.61 , A

I j

I j

= −

= − +

Le transcriem apoi ca mărimi sinusoidale (vezi Pr. 2 Seminar 9)

1( ) 12.4 2 sin( 82 55'), Ai t t= −

2( ) 5.55 2 sin( 123 42'), Ai t t= +

Problema 3

Se dă circuitul din figură cu următoarele date numerice:

12, Ω;R =

22, Ω;L =

32, Ω;L =

3

11, Ω;

C=

41, Ω;R =

51, Ω;L =

61, Ω;R =

71, Ω;R =

351, Ω;L =

g20 10 , AI j= − și

720 10 , VE j= + .

Să se determine curenții din circuit folosind metoda curenților ciclici și să se verifice

bilanțul (conservarea) puterilor.



s=1;

l=8;

b=l-n+1

b=8-4+1


Introducem curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese (I1, I2, I3, I4 și I5).

Introducem curenții fictivi cu sensuri arbitrar alese prin cele cinci bucle

independente (I1’, I2’, I3’, I4’ și I5’), trasând sensurile pentru acestea arbitrar în fiecare

buclă.


1

2

3

' ' ' ' '

11 1 12 2 13 3 14 4 15 5

' ' ' ' '

21 1 22 2 23 3 24 4 25 5

' ' ' ' '

31 1 32 2 33 3 34 4 35 5

' ' ' ' '

41 1 42 2 43 3 44 4 45 5

kk b

kk b

kk b

Z I Z I Z I Z I Z I E



Z I Z I Z I Z I Z I

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + +

4

5

' ' ' ' '

51 1 52 2 53 3 54 4 55 5

kk b

kk b

E


=

+ + + + =

Avem sursa ideală de curent în circuit, care impune restricții în rezolvare, astfel

ecuația corespunzătoare buclei independente care conține sursa ideală de curent se

înlocuiește în sistem cu: valoarea curentului fictiv de buclă egal cu valoarea sursei

ideale de curent.

1

2

3

' ' ' ' '

11 1 12 2 13 3 14 4 15 5

' ' ' ' '

21 1 22 2 23 3 24 4 25 5

' ' ' ' '

31 1 32 2 33 3 34 4 35 5

' ' ' ' '

41 1 42 2 43 3 44 4 45 5

kk b

kk b

kk b




Z I Z I Z I Z I Z I

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + +

4

'

5 20 10 , A

kk b

gI I j

E

=

= − =


( )

11 1 2

11

112

Ω

2

2 1 ,

Z R

j

j L

Z j

Z

= +

=

= +

+

22 1 7 3 5 35

3

12Z R R j L j L j L

j C

= + + + + −


2

22

2

2 1 2 2

3, Ω

Z j j j j

Z

= + − + + −

=

3

33 6 5

31 , Ω

Z R j L

Z j

= +

= +

44 4 3

3

44

441 , Ω

1

1 2

Z R j Lj

Z j

C

Z j j

= + +

=

= +

+ −

2

12 21 1

1 212, Ω

Z

Z Z

Z R

= =

= = −

−

13 310, ΩZ Z= =

14 410, ΩZ Z= =

15 510, ΩZ Z= =

5

23 3

23 32 5 3

23

2

32

0, Ω

Z

Z

Z j L j L

Z

Z

Z j j

−

= =

= = − +

= = +

3

24

24 42 3 5

3

24

4

42

20, Ω

1

2

Z Z j L j Lj C

Z Z j j

Z

j

Z

= = + −

= =

=

−

=

−

25 520, ΩZ Z= =

34 43 3

3

5

4 43, Ω

Z

Z

Z

Z j

j L= =

= =

35 530, ΩZ Z= =

5

45 54 4

4 541, Ω

Z

Z Z

Z R

= =

= = −

−

1

2

3

4

7

0;

20 10 ;

0;

0.

kk b

kk b

kk b

kk b

E

E E j

E

E

=

= = +

=

=


sistemul:


( )

( )

( ) ( )

' '

1 2

' '

1 2

' '

3 4

' ' ' ' '

3 4 5 3 4

'

5

2 1 2 0

2 3 20 10

1 0

1 0 1 20 10

20 10 , Ag

j I I

I I j

j I j I

j I j I I j I j I j

I I j

+ − =− + = +

+ + =

+ + − = + + = −

= = −

( )

( )

( )

' '

1 2

' '

1 2

' '

1 2

' '

1 2

' '

1 1

3

2

2

2 1 2 0

2 3 20 10

6 1 6 0

4 6 40 0

6 1 4 40 20

j I I

I I j

j I I

I I j

j I I j

+ − =− + = +

+ − =− + = +

=

+ − +

( )

( ) ( )

( )

' ' '

1 1 1

' ' '

1 1 1

'

1

'

1

'

1

'

1

'

1

'

'

1

2

'

2

6 6 4 40 20 : 2

3 3 2 20 10

1 3 20 10

20 10

1 3

20 10 1 3

1 9

20 60 10 30

10

50 50

10

2 0

5 5 , A

5 3 20 1

10 1 0

5

0 3 2 10

3

I

I

I j I I j

I j I I j

j I j

jI

j

j jI

j jI

jI

I

j

j

j

I

j

j

+ − = +

+ − = +

+ = +

+=

+

=

=

+ −=

+

− + +=

−=

− + +

= +

−

− +

−

+

'

2

'

2

'

2

10, A

20 10 10 10

3 30

I

I

j j+

=

= + −

=

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

' '

3 4

'

'

'

3 4

'

' 3

'

4

' '

4

4 3

3

1 0

1 20 10

1

1

1

j

j

I j I

I j I

j I j I

j II

j

I j j I

+ + =

+

−

−

+ = −

+=

= − − +

=


( ) ( )

( ) ( )

' '

3 3

' '

3 3

'

3

'

3

'

3

'

3

'

3

1 1 20 10

2 20 10

20 10

2

20 10 2

1

A

4

40 20 20 10

5

50

10,

5

j I j j I j

j I I j

jI

j

j jI

j jI

I

I

+ + − = −

− = −

−=

− +

− − −=

+

− − + −=

= −

−=

( )

( ) ( )

' '

4 3

'

4

'

410 10 , A

1

1 10

I

j

I

I

j

j

I

= −

= −

= − −

Am determinat curenții fictivi de buclă: '

15 5 , AI j= −

'

210, AI =

'

310, AI = −

'

410 10 , AI j= −

'

520 10 , AI j= −


curenților fictivi de buclă care parcurg imaginar latura prin care calculăm curentul.

' '

2

1

1

1

1

10 5 5

5 5 , A

I I

I j

I j

I

=

= −

= +

− +

2

2

'

1

5 5 , A

II

I j= −

=

' '

2

3

3

3

4

1

A

0

20

1

10 ,

0 0

1

I I

I

I

j

I

j

−

= − +

−

= − +

= −

4

4

' '

5

4

4

20

A

10 10 1

10

0

,

I

I j j

I

I I

=

=

=

−

−

− +

'

25 3

5

'

10 10

I

I

I I

= − −

= −


520, AI = −

6

'

3 6

10, A

I

I

I

=

= −

'

7

7

2

10, A

I

I

I

= −

= −

5 8

8

'

20 10 , A

I I

I j= −

=

Conservarea puterilor

Puterea debitată de surse este:

* *

7 7 gg IgS UE I I= − +

Trebuie să calculăm tensiunea la bornele sursei ideale de curent:

4 4

1 10

10, V

g

g

g

I

I

I

U R I

U

U

=

=

=

( ) ( ) ( )20 10 20 10 20 10 10

200 100 200 100

400 200 , VA

g

g

g

S j j j

S j j

S j

= − + +

= +

+

+ +

+ +

=

400, W

Q 200, VAr

g

g g g

g

PS P jQ

== +

=

Puterea activă generată, Pg, se consumă pe rezistențele din circuit: 2 2 2 2

1 1 7 7 6 6 4 4

2 50 1 100 1 100 1 1

W400,

00

R

R

RP R I R I R I R I

P

P

= + + +

=

=

+ + +

400, Wg R

P P= =

Puterea reactivă generată, Qg, se regăsește pe elementele reactive (bobinele

consumă reactiv, iar condensatoarele cedează reactiv):

( )

( )

2 2

1 1

2 2 2 2

2 2 3 3 5 5 3 35 3 5 3 5

3

2 (sau ) cos ,

12 cos ,

k k

l l

X L k C k kj kj k k j k jk k

X

Q X I X I L M I I I I

Q L I L I L I I L I I I IC

= =

= + +

= + + − −

Aflăm unghiul dintre cei doi curenți:

3

3

20 10 , A

1026.565 26 56'

20

I j

arctg

= − +

= = =

−


5

5

20, A

0

I

= −

=

( ) 3 5 3 5, 26 56' 0 26 56'I I = − = − =

( )2 50 2 500 1 400 1 500 2 1 500 20cos 26,565

100 1000

r

400 500 2 22.36067 9

200

0

,

0

V

0

A

9 20 0.8 4427

1 0 8 0

X

X

X

X

Q

Q

Q

Q

= + + − −

= + + − −

=

= −

200, VArg X

Q Q= =

TEMĂ

Problema 1

Să se calculeze curenții din circuit folosind metoda curenților ciclici, știind că:

1, ΩR L M = = = și ( ) 8 2 sin , V.4

e t t

= +

R:

1.64 0.98 , AI j= − − ;

1 0.46 0.72 , AI j= − − ;

2 3.8 0.4 , AI j= − .

Problema 2

Să se determine curenții din circuit folosind metoda teoremele lui Kirchhoff și

metoda curenților ciclici. Date numerice: 1e (t) 200 2 sin(100 t 0 ),V;= +

1 3 4R R R 2, ;= = = 1 2 3 4L L L L 4, ; = = = = 14 23L L 2, = = și

2 3

1 12, .

C C= =


R:

1 14.63 31.7 , AI j= − ;

2 14.63 31.7 , AI j= − ;

3 0, AI = ;

4 12.19 9.75 , AI j= − .

Problema 3


metoda curenților ciclici. Date numerice: 1E 20(1 j), V;= + 2E 40(1 j), V;= +

1 2R R 20, ;= = 3R 10, ;= 1 2 12L L L 10, = = = și 2

140, .

C=

R:

1 1, AI = ;

2 , AI j= ;

3 1 , AI j= + .


Problema 4


metoda curenților ciclici. Date numerice: 1e (t) 20sin t ,V4

= −

;

2e (t) 60sin t ,V4

= +

; 1 3

1

1L R 10,

C = = =

; 12 3L L 5, = = ;

2L 25, = și 2

120, Ω

C=

.

R:

1 1.6 1.2 , AI j= − + ;

2 3.2 1.4 , AI j= − ;

3 1.6 0.2 , AI j= − .

Problema 5


metoda curenților ciclici. Date numerice: 1E 100, V;= 23

1

1R L 5,

C= = =

și

1 2 3L L L 10, = = = .

R:

1 0.58 7.64 , AI j= − ;

2 1.76 2.94 , AI j= − .

Documents

Seminar 10users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I (BE... · 2020-05-12 · 9.93 3.57 , A 0.37 1.19 , A Ij Ij ... Le transcriem apoi ca mărimi sinusoidale (vezi Pr. 2 Seminar