Seminar in Auctions & Mechanism Design

Presentation by Ofir YakovianSupervised by Amos Fiat

הסמינר של הראשון הפרק על חזרהפומביות. 1 מכירות סוגי

2 .Characterization of Equilibrium 3 .Revenue Equivalence

סימטריות לא פומביות מכירותעוגיות

:היום

.1English or Ascending Auction

. , יחיד פריט למכירה מועמד זה מסוג פומבית במכירה

, נסמנו נמוך התחלתי מחיר קובע המכירה שני. pמנהל יש עוד כלהמחיר את לשלם שמוכנים את, pמשתתפים מעלה . pהוא במעט

, ואז המחיר את לשלם שמוכן אחד אדם רק שנותר עד ממשיך הזה התהליך. האחרון המחיר את ומשלם בפריט זוכה אדם אותו

פומביות מכירות סוגי

הגדרה:

דומיננטית התועלת, אסטרטגיה את שממקסמת אסטרטגיה הנה. ינהגו המשתתפים שאר כיצד משנה לא במכירה משתתף כל של

Dominant Strategy

בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה

מסוג AscendingפומביתAuction?

2 .Sealed-Bid First-Price Auction

. , יחיד פריט למכירה מועמד שוב זה מסוג פומבית במכירה

את סגורות במעטפות המכירה למנהל נותנים המשתתפים. הפריט על לשלם מעוניינים הם אותו הסכום

, כסף הרבה הכי ששם לסוכן הפריט את מעניק המכירה מנהל. ששם הסכום את משלם והוא

פומביות מכירות סוגי

בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה

מסוג First-PriceפומביתAuction?

3 .Sealed-Bid Second-Price Auction

“- ג גם מוכר זה מסוג ” .Vickrey Auctionמכרז

- ב כמו בדיוק מנוהל שוב, First-Price Auction המכרז כלומרסגורות מעטפות , יש הרבה הכי לשלם שהסכים לזה הולך והפריט

. ביותר הגבוהה השנייה ההצעה את ישלם הוא כעת אמנם

פומביות מכירות סוגי

בעבור דומיננטית אסטרטגיה מהימכירה

מסוג Second-PriceפומביתAuction?

הגדרה:

הגון סוכן, מכרז לכל שבה פומבית מכירה ערכים , iהנו של סט ולכל - , ה הסוכן של התועלת המשתתפים שאר למקסימום iשל מגיעה

לפריט שלו האמיתי הערך .viבהימור

מסקנה:

,Second-Price Auctionמכרז הגון מכרז הנו. האמת את לומר היא בו דומיננטית ואסטרטגיה

Truthful Auction

•Allocation probabilities:

•Expected payments:

• ]

•Expected utility :- ה ) ערך iלסוכן משלם viבעל כשהוא (bלפריט

Definitions

. בהמשך תובהר הללו לסימונים המוטיבציה

סימונים

הגדרה:

נמצאות האסטרטגיה שפונקציות משקל- נאמר בשיווי

Bayes – Nash לכל מתקיים, viולכל iאם

אסטרטגיית, את להחליף משתלם לא אחד שלאף היא המשמעות אינטואיטיבית. , שלו התועלת את ימקסם פיה על הימור ולמעשה שלו ההימור

Bayes-Nash Equilibrium

משפט: -Aתהי , ה המשתתף של ערכו כאשר אחד מוצר של פומבית בלתי Viהמסומן iמכירה באופן נלקח

התפלגות מתוך האחרים במשתתפים -Fi תלוי ש. מניחים - Fiאנחנו ב ורציפה ממש עולה מונוטוניתוכן אזי, .כאשר

- אם א. משקל בשיווי סוכן , Bayes-Nashנמצאות לכל :iאז

.i- ב עולה מונוטונית הזכייה הסתברות.ii , כאשר של קמורה פונקציה היא התועלת

.iii , " כאשר הזכייה הסתברויות י ע נקבע המצופה התשלום

אם, ב. תנאים ) להפך מתקיימים שבעבורן אסטרטגיה פונקציות -)iהן תנאים( iiו( לחילופין או(i(- סוכן(, iiiו( לכל .v,wוערכים iאזי - , : משקל שיווי יש כלומר מתקיים

Characterization of Equilibrium

- - שכן משקל בשיווי מתעניינים כך כל אנחנו מדוע מסביר למעשה הזה המשפטהמון נותן הזכייה כוח הוא .להסתברויות

פי ) (, . על נקבעות התועלת שגם ומכאן ש הזה במובן כוח נותן הוא

, , " , שיווי יש ממש עולה מונוטונית וכן י ע נקבע ואכן במידה ההפוך בכיוון ' " בערך - ממוקסמת התועלת המשפט של ב חלק י עפ שכן משקל

מפונקציית , אחרת לפעול אחד לאף משתלם לא ולכן האמיתי. שלו האסטרטגיה

:1מסקנה

. אחד פריט של פומביות מכירות שתי הן כי נניח , זכייה כלל אותו את להן יש משקל שיווי במצב כי נניח

(Allocation Rule. ,)מתקיים כלומרשווה אזי, המכירה מנהל של הרווח .תוחלת

הסבר:

משתתף מתקיים ,iלכל וערך , התשלום שתוחלת נובע בפרט ומהמשפט מהנתון משקל שיווי יש שכן

( " המכירות בשתי זהה שהוא הזכייה כלל י עפ (.נקבעת

Corollary 1 - Revenue Equivalence

:2מסקנה

, - אותה מתוך באחרים תלוי בלתי באופן נלקח סוכן כל של שערכו נניחעולה . מונוטונית התפלגות

עם בודד פריט של כלשהי במכירה , nנתבונן הפריט כאשר משתתפים. ביותר הגבוהה ההצעה בעל למשתתף הולך

הינה כי , .BNEנניח בקטע עולה מונוטונית ובנוסף סימטריתאזי,

1 .2 .3 .

Corollary 2 – Symmetric Equilibrium

:3מסקנה

במכרז שאנו ממש, First Price Auctionנניח עולה מונוטונית כי ונניח, . אזי , סימטרי משקל שיווי ומגדירה בקטע

הסבר:

שהיא פומבית , First Price Auctionבמכירה התשלום תוחלת זה מסוגהנה שחקן כל ' של מס, .2וממסקנה הדרוש נובע

Corollary 3 – BNE in First Price Auction

... לא עוד

Asymmetric Bidding

. " - , ההתפלגות מאותה ת ב באופן ונלקח סימטרי היה עליו שדיברנו משקל שיווי כל כה עד? , המצב תמיד זהו האם לשאול טבעי

- " משקל, שיווי הנו ההתפלגות ומאותה ת ב מערכים שנלקח משקל שיווי כל האם כלומרסימטרי?

. , הפומבית המכירה בסוג תלויה התשובה מיד שנראה כפי

- ב, נתבונן נתון : Sotheby’s style English Auctionלמשל רגע בכל שבה פומבית מכירה זוהילהיות ) שמאותחל מחיר . 0יש כאשר(, נגמרת המכירה מעליו להעלות לבחור יכול סוכן וכל

, את שתבע מי במכירה מנצח זה ובמקרה יותר המחיר את להעלות מוכן לא אחד אף . , , הפריט את ולוקח אותו משלם ביותר הגבוה המחיר

Example

, תלוי בלתי באופן לקוחים שערכיהם הפומבית במכירה משתתפים שני שישנם נניחממש עולה ומונוטונית רציפה התפלגות .Fומאותה

משקל שיווי כעת , Bayes-Nashנראה . אסטרטגיות, שתי נראה כלומר סימטרי שאיננו:2ולשחקן 1לשחקן שונות שלהם, התועלת את שימקסמו

שחקן : 1אסטרטגיית

שחקן -1מבחינת . ב, המוצר את מעריך שהוא יודע הרי הוא זמן לבזבז מעוניין לא והוא הוא , . , . מבחינתו הנוכחי המחיר של ונשנות חוזרות בהעלאות טעם אין לכן יותר עליו ישלם לא

, שחקן יגיד במה תלות ללא בשבילו האופטימלי הערך את זה להגיד שעליו כלומר – 2כלמכירת זאת .First Price Auctionמבחינתו דבר לכל

, שחקן קודם שראינו :1ממה יציע

Example, Cont.

שחקן : 2אסטרטגיית

- 1שחקן . , עולה מונוטונית ש מכיוון עבורו האופטימלית ההצעה שהיא הצעתו את אמר. הופכית, פונקציה לה קיימת ממש

שחקן, שחקן 2לכן הצעת את לקחת ההופכית , 1יכול הפונקציה את עליה להפעיל שהיאמהו, . להסיק ובכך

, שחקן, שכן נגמרה הפומבית המכירה שחקן 2כעת בכמה !1יודע המוצר את מעריך

, : שחקן מבין אם הבא באופן יפעל , 2הוא לו אין ושמראש הפריט את בפחות מעריך שהוא . , שחקן זה במקרה לכן יזכה לא מקרה בכל הוא שכן להציע מה , 2בשביל ושחקן 1פורש

במחיר . מנצחשחקן, , אזי אם , 2אולם עליו זאת לעשות כדי אך הפומבית במכירה ינצח שהוא מבין

הפחות . לכל להציע

, ש ומכאן שלהם התועלת את שממקסמות אסטרטגיות שאיננו הראנו משקל שיווי מצאנו.סימטרי

Example, Cont.

משפט:

מסוג פומבית במכירה משתתפים לקוחים, First-Price Auctionיהיו שערכיהם " סופי תומך בעלת עולה ומונוטונית רציפה התפלגות פונקציית מאותה ת ב באופן

.

משקל אין אזי, . Bayes-Nashשיווי סימטרי שאיננואסטרטגיה, פונקציית קיימת לא - כלומר ב ורציפה עולה שאיננה מונוטונית

סימטרית.

Symmetry in First-Price Auction

הוכחה:

ורציפה ממש עולה מונטונית אסטרטגיה פונקצית קיימת שאכן בשלילה נניח , . . לסתירה יוביל כמובן זה להתקיים שחייב להראות כעת נשאף סימטריה שאיננה

לכל ובו למצב אותנו יוביל לכל דומה תהליך - iשכן משקל, , שיווי יש אכן כלומר . בסתירה סימטרי

נסמן:

שחקנים של המבט -1מנקודת של Rהקבוע, 2ו המקסימלית ההצעה את מייצג. , מלבדם גבוה הכי הסכום את כלומר המתמודדים שאר כל

שחקנים, -1לכן לפחות 2ו להציע שעליהם .Rיודעים הפומבית במכירה לזכות כדי

Proof

למה:הוכחה:

" , , ובפרט ע חח שהיא ומכאן ממש עולה מונוטונית פונקציה הנה ההנחה מן , בנוסף . מהנתון הופכית פונקציה לה .קיימת

ונקבל : האגפים שני על נפעיל

ונקבל : האגפים שני על נפעיל

: " קיבלנו, כ בסה ולכן

Lemma 1

- ו, כיוון , כעת מאותה לקוחים המשתתפים כל שערכי וכיוון ממש עולה מונוטונית: מתקיים, ההתפלגות

>

- ( , סימון" קיבלנו כ (:*ובסה

- ש, שמכיוון נבחין -מ , כעת ש , מכיוון ולכן מונוטונית Pתקיים והיא הסתברות מידת הנה

- ( , סימון נקבל מאורעות של להכלה (:**ביחס

- ב, שאנחנו מכיוון " First-Price Auctionלבסוף ת, ב באופן לקוחים השחקנים שערכי ומכיווןהתפלגות אותה ,Fמתוך

=

. להוכיח שרצינו כפי

למה:הוכחה:

בלמה כמו שיקולים - 1מאותם ש, מהנתון :נובע ומכאן,

. להוכיח שרצינו כפי

Lemma 2

. להוכחה נחזור. , , כלומר סימטרי שאיננו משקל שיווי יש אכן השלילה מהנחת

: מתקיים, שעבורו קיים הכלליות הגבלת בלי .לפיכךנגדיר:

( ) - פונקציות של שמאל מצד ל ביותר הקרובה החיתוך נקודת וזוהיהאסטרטגיה.

. , ומתקיים רציפות הן שכן הזה המקסימום קיים בהכרח

... אפשריים מקרים לשני כעת נפרק

' מס - :1מקרה ש לכל .מתקיים

, מלמה כזה - 1במקרה ש נובע .לכל בהכרח,2מלמה . - , - לכן, ש מתקיים בהכרח ש מכיוון

. - ש, לבסוף מתקבל כלומרשחקן, אם במקום 2אולם יציע , יהמר תמיד הוא מונוטונית שכן ) 1משחקן יותראז

. ,) בהסתברות כן גם שינצח ומכאן ממש עולה! - - ל מ שלו התועלת את מעלה כמובן זה

שחקן, שלפיה שאיננה אסטרטגיה מצאנו , 2לפיכך ב וזאת שלו התועלת את סתירהמגדיל. משקל שיווי שיש לכך

Case 1

' מס - : 2מקרה ש כך קיים

בקטע, מעל תמיד נמצאת לא .כלומרנגדיר:

- ל ביותר הקרובה החיתוך נקודת .וזוהי ( האסטרטגיה( פונקציות של ימין מצד- , 2מלמה , - ו ש ומכיוון

. - , - ו ש מתקיים בהכרח

, - - ובנוסף , ממש עולות מונוטוניות פונקציות הן וכן ול ל חיתוך נקודות יותר אין שבקטע נבחין כעתמלמה , , , ומכאן מתקיים שבקטע ומכאן מתקיים שמתקיים .1בעבור

, מתקיים, שבקטע למעשה נובע כעת -

" ! סתירהב ל. מש

Case 2

סוף !