SEMINAR MATEMATIKA
MENGHITUNG LUAS DENGAN KOORDINATOleh : RiskowatiMahasiswa
Program Studi Pendidikan Matematika
FKIP Universitas PGRI PalembangEmail : [email protected].
PENDAHULUAN
Tiga buah titik atau lebih dapat dibentuk sebuah bidang atau
area. Bidang yang terbentuk dapat berupa bidang yang sembarang dan
bidang yang beraturan.
Bidang beraturan dapat berupa segitiga beraturan (segitiga sama
sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga siku-siku), persegi, persegi
panjang, segilima beraturan, dan segienam beraturan. Sedangkan
bidang yang sebarang dapat berupa segitiga sebarang, segiempat,
segilima dan lain-lain.
(Gambar 1). Segitiga beraturan
(Gambar 2). Segitiga tidak beraturanMenghitung luas daerah atau
bidang yang beraturan seperti diatas (gambar1) tidaklah sulit.
Sedangkan untuk bidang yang tidak beraturan (gambar2), diperlukan
perhitungan untuk mencari panjang sisi-sisinya sehingga dapat
dihitung luasnya.
Pada makalah ini akan dibahas cara menghitung luas daerah baik
yang beraturan maupun sembarang tanpa melakukan perhitungan panjang
sisi-sisi bidang yang terbentuk pada sistem koordinat
kartesius.
Selain itu, pendidikan matematika di sekolah sering memerlukan
materi pengayaan bagi siswa cepat tuntas menguasai materi.
Menghitung luas dengan koordinat ini juga dapat menjadi alternatif
bagi guru dalam memberikan materi pengayaan pembelajaran matematika
disekolah-sekolah menegah.
II. MATERI PENUNJANG
2.1. Koordinat Cartesius
Koordinat terdiri atas absis dan ordinat. Absis diwkili oleh
titik-titik pada sumbu x dan ordinat diwakili oleh titik-titik di
sumbu y. Dalam bidang koordinat, sumbu x dan y disebut sumbu-sumbu
cartesius. Koordinatnya disebut Koordinat Cartesius. Carteius
berasal dari nama ahli filsafat prancis yang bernama Rene Descartes
yang telah menemukan sistem koordanat tersebut.
Setiap titik pada bidang cartesius dapat dinyatakan dengan
P(x,y), dimana x = absis dan y = ordinat titik P. Misalkan x = 1
dan y = 2 maka didapat titik P(1,2).
(Gambar 3). Bidang Kartesius2.2. Luas Bidang Datar
a. Luas Trapesium
(Gambar 4). TrapesiumAtau
L = (jumlah sisi sejajar x tinggi)
b. Luas Segitiga
(Gambar 5). Segitiga
Atau
L = (alas x tinggi)
2.3. Determinan Matrik
Jika suatu matrik berorde 2x2, misalkan A =
Maka determinannya adalah ad bc atau biasanya dinotasikan = ad
bcIII. PEMBAHASAN
Misalkan pada sistem koordina kartesius titik-titik A(XA,YA),
B(XB,YB), C(XC,YC), dan D(XD,YD) membentuk bidang seperti gambar
dibawah ini :
(Gambar 5). Bidang ABCD Luas daerah ABCD dapat dihitung dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
Luas ABCD = Luas BBCC + Luas CCDD Luas BBA Luas ADD
= L1 + L2 L3 L4Luas BBCC adalah
L1 = Luas Trapesium BBCC
= (BB + CC) x (BC)
= {( XB - XB ) + (XC - XC)} x (YB - YC)
Karena XB = XC = XA , YB = YB dan YC = YC, maka
L1 = {( XB - XA) + (XC - XA)} x (YB - YC)
= (XB + XC - 2 XA) x (YB - YC)
= (XBYB XBYC + XCYB XCYC 2XAYB + 2XAYC)
Luas CCDD
L2 = Luas Trapesium CCDD
= (CC + DD) x (DC)
= {(XC XC) + (XD XD)} X (YCYD)
Karena XC = XD = XA, YD = YD dan YC = YC, maka
L2 = {(XC XA ) + (XD XA)} x (YC YD)
= (XC + XD 2XA) x (YC YD)
= (XCYC XCYD + XDYC XDYD 2XAYC + 2XAYD)
Luas BBA adalah
L3 = Luas segitiga BBA
= (BB) x (BA)
= (XB XB) x (YB YA)
Karena XB = XA dan YB = YB maka
L3 = ((XB XA) x (YB YA)
= (XBYB XBYA XAYB + XAYA)
Luas ADD adalah
L4 = luas segitiga ADD
= (DD) x (AD)
= (XD XD) dan (YA YD)
Karena XD = XA dan YD = YD maka
L4 = (XD XA) X (YA YD)
= (XDYA XDYD XAYA + XAYD)Luas ABCD = (L1 + L2) (L3 + L4)
= { (XBYB XBYC + XCYB XCYC 2XAYB + 2XAYC) + (XCYC XCYD + XDYC -
XDYD 2XAYC + 2XAYD) } { (XBYB XBYA XAYB + XAYA) + (XDYA XDYD XAYA +
XAYD) } = {(-2XAYB XBYC XCYD - XDYD + YBXC + YBXB + YCXD + 2YDXA)
(-XAYB + XBYB XBYA + XDYA - XDYD + XAYD)= (-XAYB XBYC XCYD XDYA +
YAXB + YBXC + YCXD + YDXA)Karena ini adalah perhitungan luas maka
nilainya adalah nilai mutlak.Luas ABCD = |(-XAYB XBYC XCYD XDYA +
YAXB + YBXC + YCXD + YDXA)|
= | -( XAYB + XBYC +XCYD + XDYA) +( YAXB + YBXC + YCXD +
XDYA)|
= | ( XAYB + XBYC +XCYD + XDYA) - ( YAXB + YBXC + YCXD + YDXA)
|
=
Jadi luas daerah yang terbentuk oleh titik-titik koordinat
merupakan setengah dari nilai mutlak determinan matrik yang
dibentuk dari titik-titik kordinat tersebut.
Contoh soal :
1. Berapakah Luas daerah yang dibentuk oleh titik-titik A(1,2),
B(4,6), C(5,8)?Penyelesaian
L =
=
=
=
= 1 satuan luas2. Berapakah luas trapesium yang dibentuk oleh
titik-titik A(1,1), B(7,1), C(6,4), D(2,4)?Penyelesaian
Luas ABCD =
=
=
=
= 15 satuan luas
IV. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa: Jika di
bidang kartesius diketahui titik-titik koordinat A(XA,YA),
B(XB,YB), C(XC,YC), dan D(XD,YD) maka Luas ABCD = .
Daftar Pustaka Harahap, B dan S.T. Nugroho. 1998. Ensiklopedia
Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia.Loedji, W.A.S. 2008.
Matematika Bilingual Untuk SMA kelas X. Bandung: Yrama
Widya.Noname. AreaCalculation.
www.surv.ufl.edu/courses/wwwusers/sur2101fall04/ Lecture-area.ppt..
Diakses 4 maret 2008.
Rawuh, R. Dkk. 1972. Ilmu Ukur Analitis. Bandung : Terate
Bandung.L = (AB +CD) x t
L = a x t
A(3,5)
C(5,1))
B(3,1)
Y
X
X
Y
F(3,5)
D(1,1)
E(5,2)
P(1,2)
Y
X
A
B
D
C
t
a
a
t
t
C
B
A
D
D
C
B
X
Y
PAGE 2
_1272130734.unknown
_1273973268.unknown
_1273973393.unknown
_1273973688.unknown
_1273973741.unknown
_1273973577.unknown
_1273973378.unknown
_1273963844.unknown
_1273971471.unknown
_1272137365.unknown
_1272130698.unknown
