Seminar Ski Rad - PDJ

UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIKIH NAUKA NOVI SAD Graevinarstvo / Konstrukcije

PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAINE U TEORIJI PLOA seminarski rad

Mentor rada: prof. dr Neboja Ralevi

Kandidat: Igor Dolev

Novi Sad, avgust 2010.

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa

Sadraj

Uvod ................................................................................................................................................ 3

Povrinski elementi optereeni na savijanje ................................................................................... 5 Zavisnost izmeu napadnih momenata i ugiba pri istom savijanju ploa .................................... 7 Parcijalna diferencijalna jednaina elastine povrine ................................................................. 13 Konturni uslovi .............................................................................................................................. 16

Slobodno oslonjene pravougaone ploe optereene po sinusnoj povrini .................................. 18 Navier-ovo reenje za slobodno oslonjenu pravougaonu plou................................................... 21 Maurice Lvy-evo reenje za slobodno oslonjenu pravougaonu plou optereenu jednakopodeljenim optereenjem ................................................................................................ 24

Osnovni principi metode konanih elemenata u teoriji konstrukcija ........................................... 27

Analiza analitikog (Navier i M. Lvy) i numerikog (MKE) reenja zadatka................................. 29

Literatura ....................................................................................................................................... 35

2


Uvod

Osnovni elementi povrinskih nosaa su ploe i ljuske, koji se mogu definisati kao tela kod kojih je jedna dimenzija (debljina) znatno manja u odnosu na preostale dve. Povr, koja polovi debljine tog tela, naziva se srednja povr, i ako je ona ravna re je o ploama, a ako je to prostorna povr, onda je re o ljuskama. U ravne povrinske nosae spadaju ploe optereene u svojoj ravni ploasti nosai. i ploe optereene upravno na svoju ravan, tj. optereene na savijanje ploe. U ovom seminarskom radu obraeni su slobodno oslonjeni, ravni povrinski nosai pravougaonog oblika optereeni na savijanje (ploe). Prikazane su neke analitike metode za analizu i proraun ploa, kao i jedna numerika metoda za reavanje problema. Dato je izvoenje parcijalne diferencijalne jednaine ploe i pokazana su dva analitika reenja za specijalne sluajeve oslanjanja i optereenja. Opte reenje ove parcijalne diferencijalne jednaine ne postoji, te se partikularni integrali trae zavisno od graninih uslova po konturi ploe. Samo se mali broj reenja moe dobiti u konanom (zatvorenom) obliku koji bi bio prihvatljiv za primenu. Algoritam primene analitikih metoda moe da se prikae sledeim koracima: definisanje zavisnosti izmeu geometrijskih i fizikih veliina na elementu diferencijalno malih dimenzija, proirenje zavisnosti prosenih vrednosti tih veliina na ceo domen, ime se dobijaju obine ili parcijalne diferencijalne jednaine, integralne ili integro-diferencijalne jednaine, definisanje konturnih i/ili graninih uslova, reavanje ovako definisane jednaine - dobijanje reenja u obliku neprekidne funkcije koja zadovoljava navedene uslove. [4] Osnovna prednost takvog koncepta je dobijanje reenja u obliku funkcije koja vai za itavu klasu problema. Tanost reenja zavisi samo od tanosti polaznih pretpostavki, odnosno od nivoa idealizacije. Takve metode znaajne su zbog injenice da reenja dobijena njihovom primenom mogu da budu dobra polazna osnova za formulisanje odgovarajuih numerikih modela. Meutim, osnovni nedostatak tog koncepta su tekoe u obezbeenju reenja u tzv. zatvorenom obliku. Naime, samo za mali broj najjednostavnijih problema moe da se nae 3


reenje u obliku funkcije koja eksplicitno definie vezu izmeu geometrijskih i fizikih veliina problema. Drugi bitan nedostatak je konzervativnost reenja. Male promene u topologiji problema, konturnim uslovima ili konfiguraciji dejstva, zahtevaju ponavljanje svih navedenih koraka postupka reavanja analitikom metodom. Iz tog razloga razvila se potreba za pojavom i razvojem numerikih metoda, kao to je metoda konanih elemenata (MKE). MKE je metoda numerike analize zasnovana na fizikoj diskretizaciji, umesto na matematikoj aproksimaciji jednaina problema. Umesto elemenata diferencijalno malih dimenzija, osnova svih razmatranja je element konanih dimenzija. Jendaine za definisanje stanja neke statike ili kinematike veliine u okviru konanog elementa, a time i problema u celini, nisu diferencijalne ili integralne, ve algebarske, ije se reavanje moe lako sprovesti od strane elektronskih raunara.

4


Povrinski elementi optereeni na savijanje

Ako su ploe optereene samo transverzalnim optereenjem, tj. optereenjem upravnim na ravan ploe, u presecima postoje sledee unutranje sile: transverzalne sile (upravne na ravan ploe) - Qx i Qy momenti savijanja - Mx i My momenti torzije - Mxy = Myx Srednja ravan se deformie i prelazi u elastinu povr ploe. Za ovako optereene ploe, kao to je napomenuto, kae se da su izloene transverzalnom optereenju ili da su izloene savijanju, i za njih je uobiajen naziv (samo) ploe. Ugibi i naponi u ploi optereenoj na savijanje zavise uglavnom od odnosa njene debljine prema ostalim dimenzijama. Na taj nain, razlikujemo tri vrste ploa: 1. Tanke ploe sa malim ugibima 2. Tanke ploe sa velikim ugibima 3. Debele ploe Tanke ploe sa malim ugibima. Ako su ugibi w ploe mali u odnosu na njenu debljinu h, moe se izvesti zadovoljavajua priblina teorija savijanja ploe poprenim optereenjem polazei od sledeih pretpostavki: U srednjoj ravni ploe nema deformacija. Ta ravan ostaje neutralna pri savijanju. Take ploe koje su prvobitno bile na normali na tu srednju ravan, ostaju i nakon deformacije na normali na srednju povrinu savijene ploe. Normalni naponi u presecima paralelnim srednjoj ravni plo;e su mali u odnosu na ostale komponentalne napone i mogu da se zanemare. Uz ove pretpostavke svi komponentalni naponi mogu da se izraze pomou ugiba w ploe, koji je funkcija dveju koordinata u ravni ploe. Ova funkcija mora da zadovolji izvesnu parcijalnu diferencijalnu jednainu, koja uz konturne uslove potpuno odreuje w, ime se dobijaju svi potrebni podaci za izraunavanje napona u nekoj taki ploe. Druga pretpostavka znai zanemarivanje uticaja smiuih sila na ugib ploe. Ova pretpostavka je obino opravdana, ali u nekim sluajevima (npr. u sluaju otvora u ploi) uticaj smicanja postaje znaajan, pa se u teoriju tankih ploa moraju uvesti izvesne ispravke. Ako sem poprenog optereenja deluju i spoljanje sile u srednjoj ravni ploe, prva od pretpostavki ne vai, pa se mora uzeti u obzir uticaj napona u srednjoj ravni ploe na njeno 5


savijanje. Ovo se moe postii uvoenjem izvesnih naknadnih lanova u gore spomenutu diferencijalnu jednainu ploa. Tanke ploe sa velikim ugibima. Prva od pretpostavki je potpuno zadovoljena samo u sluaju kad se ploa savija u razvojnu povrinu. U drugim sluajevima, savijanje ploe je praeno naponima u srednjoj ravni, ali raun potvruje da se ti naponi mogu zanemariti dok ugibi ploe ostaju mali u poreenju sa njenom debljinom. Ako ugibi nisu mali, pri izvoenju diferencijalne jednaine naknadni naponi moraju da se uzmu u obzir. Tada se dobijaju nelinearne jednaine i reenje problema postaje znatno sloenije. U sluaju velikih ugiba takoe moramo razlikovati nepokretnu konturu od konture pomerljive u ravni ploe, to moe znatno uticati na veliinu ugiba i napona u ploi. Zbog krivine deformisane srednje ravni ploe, uticaj naknadnih napona zatezanja suprotan je uticaju zadatog poprenog optereenja. Tada se uticaji prenose delom otpornou ploe na savijanje, a delom naprezanjem ploe kao membrane. Debele ploe. Gorepomenute pribline teorije tankih ploa postaju nesigurne u sluaju ploa znatne debljine, naroito kod jako koncentrisanih tereta. U tom sluaju, mora da se koristi teorija debelih ploa. Ova teorija posmatra problem ploa kao trodimenzionalni problem elastinosti. Samim tim, analiza napona postaje sloenija. U daljem tekstu razmatrae se tanke ploe sa malim ugibima.

6


Zavisnost izmeu napadnih momenata i ugiba pri istom savijanju ploa

Pri prouavanju istog savijanja prizmatinih tapova dobija se tano reenje za raspodelu napona iz pretpostavke da popreni preseci tapa pri savijanju ostaju ravni i upravni na elastinu liniju. Kombinacija takvih savijanja za dva uzajamno upravna pravca dovodi do istog savijanja ploa. Pretpostavimo da je My pravougaona ploa optereena jednakopodeljenim momentima du strana te x ploe, kao to je prikazano na slici 1. Usvojimo Mx za xy-ravan srednju ravan ploe pre njenog savijanja, a x i y-ose du njenih strana. Pozitivan smer z-ose, koja je u tom sluaju upravna na srednju ravan, neka bude usmeren na dole. Sa Mx oznaimo napadni moment po jedinici y z Slika 1 duine na stranama paralelnim y-osi, a sa My moment po jedinici duine na stranama paralelnim x-osi. Momenti su pozitivni ukoliko zateu donju ivicu ploe. Debljinu ploe obeleavamo sa h i smatramo je malom u poreenju sa ostalim dimenzijama.dx

Posmatrajmo element iseen iz ploe sa dy dva para ravni paralelnih xz i yz-ravnima, kao to h/2 je prikazano na slici 2. Kako je sluaj prikazan na slici 1 kombinacija dvaju istih savijanja, naponsko n stanje je isto u svakom elementu, kao to je n n prikazano na slici 2, i imamo isto savijanje ploe. h/2 z Pretpostavimo da prilikom savijanja ploe poprene strane elementa ostaju ravne i okreu dz se oko neutralnih osa nn tako da ostanu upravne na srednju povrinu savijene ploe. Na taj nain Slika 2 moe se zakljuiti da u srednjoj ravni ploe nema dilatacija pri savijanju. Oznaimo sa 1/rx i 1/ry krivine neutralne povrine u presecima paralelnim xz odnosno yz-ravni. Tada se dilatacija 7

elementarnog sloja abcd (slika 2) u x i y-pravcima na odstojanju z od neutralne povrine, odreuje slino kao kod grede; .


(1)

Prema Hooke-ovom zakonu, izmeu dilatacija x i y i normalnih napona x i y postoji zavisnost;

(2)

gde je E modul elastinosti materijala, a Poisson-ov koeficijent. Reavanjem sistema jednaina (2) po x i y, dobijamo1 ; 1 . (3)

Uvrtavanjem (1) u (3), odgovarajui naponi u sloju abcd su1 1 1 1 , (4) .

1 1

Ovi naponi su proporcionalni odstojanju z sloja abcd od neutralne povrine i zavise od veliina krivina savijene ploe. Pri prouavanju malih ugiba ploe, njena srednja ravan uzima se za xy-ravan. Usled savijanja ploe, take te ravni dobijaju mala pomeranja w upravna na nju i stvaraju srednju povrinu ploe. U daljem izlaganju ova pomeranja ploe zovemo ugibima ploe. Uzimajui normalan presek ploe paralelan xz-ravni, vidimo da je nagib srenje povrine u x-pravcu / . Na isti nain, nagib u y-pravcu je / . Uzimajui neki pravac an u xy-ravni koji formira ugao sa x-osom, nalazimo da je razlika ugiba dveju susednih taaka a i a1 na pravcu an(5)

a odgovarajui nagibcos sin .

(6)

Pri odreivanju krivine srednje povrine ploe uzimamo u obzir da su njeni ugibi vrlo mali. Tada se nagib povrine u nekom pravcu moe smatrati jednakim uglu koji tangenta na povrinu u tom pravcu zaklapa sa xy-ravni, a kvadrat nagiba moe da se zanemari prema jedinici. Krivina povrine u ravni paralelnoj xz-ravni je brojno jednaka 8

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa 1 .

(7)

Krivinu smatramo pozitivnom ako je konveksna strana usmerena nadole. Negativan predznak u jednaini (7) uzet je zato to je drugi izvod negativan kad je konveksna strana ugiba usmerena nadole. Na isti nain nalazimo krivinu u ravni paralelnoj yz-ravni1 . (8)

Ovi izrazi su slini onima koji se koriste pri prouavanju krivine savijene grede. Normalni naponi rasporeeni po poprenim stranama elementa na slici 2 svode se na spregove iji momenti za jedinicu duine moraju biti jednaki spoljnim momentima Mx i My. Na taj nain dobijamo jednaine

, (9) .

Kad uvrstimo izraze (7) i (8) u izraz (4), a zatim sve to u (9), dobijamo

1 1

, (10) ,

gde je12 1 (11)

krutost ploe na savijanje, a w ugib ploe u pravcu z-ose. Posmatrajmo napone u preseku sloja abcd paralelnom z-osi, a nagnutom prema x i yosama. Ako je acd deo tog sloja, kao na slici 3, onda napon na strani ac moemo nai iz jednaina ravnotee. Razloimo li ovaj napon na normalni napon n i smiui nt, veliine tih komponenata nalazimo projektujui sile koje napadaju element acd, na pravce n odnosno t, odakle dobijamo jednaine

9

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa cos sin sin 2 , ,

gde je ugao normale n sa x-osom, odnosno pravca t sa y-osom. Ugao se smatra pozitivnim u smeru kazaljke na satu.

1 2

(12)

Slika 3

Ako uzmemo sve slojeve, kao to su acd na slici 3, po debljini ploe, normalni naponi n u njima dae napadni moment u preseku ac ploe, ija je veliina po jedinici duine

cos

sin

.

(13)

duine

Smiui napon nt stvara u preseku ac ploe torzioni moment, ija je veliina po jedinici

1 sin 2 2

.

(14)

Znaci kod Mn i Mnt uzeti su tako da su pozitivne vrednosti tih momenata predstavljene vektorima u pozitivnim pravcima n odnosno t, ako se uzme desni sistem. Za 0 ili , 2 ili jednaina (13) daje . Za 3 2, imamo . Za ove vrednosti momenti postaju nula. Kad u jednainu (13) uvrstimo izraze iz (10), nakon sreivanja, dobijamo(13)

gde je

dato izrazom (6), a analogno tome jesin cos . (14)

10

Za odreivanje izraza za torzioni moment Mnt, posmatramo deformaciju sloja abcd sa stranama ab i ad paralelnim pravcima n i t na odstojanju z od sredine ravni, slika 4.


Slika 4

Prilikom savijanja ploe, take a, b, c i d dobijaju mala pomeranja. Obeleimo pomeranja take a u pravcima n i t sa u, odnosno v. Tada je pomeranje susedne take d u pravcu n, , a pomeranje b u pravcu t je . Pomou ovih pomeranja nalazimo klizanje(15)

i odgovarajui smiui napon. (16)

Iz slike 4 desno, koja prikazuje presek srednje povrine i normalne ravni kroz n-osu, vidi se da je ugao skretanja u smislu suprotnom od kazaljke na satu elementa pq, koji je u poetku . Usled tog skretanja, bio upravan na xy-ravan, oko ose upravne na nz-ravan jednak taka elementa na odstojanju z od neutralne povrine dobie pomeranje u n-pravcu. (17)

Posmatrajui normalni presek kroz t osu, moe se pokazati da ista taka dobija pomeranje u t-pravcu.

(18)

Kad ove vrednosti uvrstimo u (16), bie2 ,

(19)

a jednaina (14) za torzioni moment postaje

11


6

1

,

(20)

s obzirom da je2 1 . (21)

12


Parcijalna diferencijalna jednaina elastine povrine

Pretpostavimo da je optereenje upravno na povrinu ploe i da su ugibi mali u poreenju sa njenom debljinom. Pretpostavimo, takoe, da kontura ploe moe slobodno da se pomera u svojoj ravni. Tada su sile otpora na konturi upravne na plou. inei ove pretpostavke moemo zanemariti komponentne deformacije u srednjoj ravni ploe pri savijanju. Uzmimo koordinatne ose x i y u srednjoj ravni ploe, a z-osu upravno na nju, i posmatrajmo element iseen iz ploe sa dva para ravni paralelnih xz i yz-ravnima, kao to je prikazano na slici 5.

Slika 5

Sem napadnih momenata Mx i My i torzionih momenata Mxy, ovde se javljaju jo i vertikalne transverzalne sile na stranama tog elementa. Veliina ovih transverzalnih sila po jedinici duine paralelno y odnosno x-osi beleimo sa Qx i Qy, tako da je

Kako su momenti i transverzalne sile funkcije koordinata x i y, moramo, posmatrajui uslove ravnotee elementa, uzeti male promene njihovih veliina kada koordinate x i y dobiju male prirataje dx i dy. 13

,

.

(22)


Takoe moramo uzeti u obzir optereenje rasporeeno na gornjoj povrini ploe. Intenzitet ovog optereenja beleimo sa q, tako da je ukupno optereenje koje deluje na element jednako . Ako na z-osu projektujemo sve sile koje deluju na element, dobijamo sledeu jednainu ravnotee0, (23)

iz koje je0. (24)

Kada uzmemo momente svih sila koje napadaju element u pravcu x-ose, dobijamo jednainu ravnotee0.

(25)

Moment optereenja q i moment koji stvara promena sile Qy zanemareni su u ovoj jednaini kao male veliine vieg reda. Posle skraenja, jednaina (25) daje0. (26)

Na isti nain, uzimajui momente koji deluju u pravcu y-ose, dobijamo0. (27)

Kako nema sila u pravcu x i y-ose i momenata u pravcu z-ose, tri jednaine (24), (26) i (27) daju sve uslove ravnotee elementa. Iz jednaina (26) i (27) eliminiemo transverzalne sile i stavimo ih u jednainu (24). Onda nalazimo.

(28)

Kako je obliku

(jer je

), jednainu ravnotee dobijamo u sledeem

2

.

(29)

U dobijenu diferencijalnu jednainu, veliine momenata savijanja i torzionih momenata, predstaviemo preko ugiba w ploe iz prethodnog poglavlja. Uzimajui Mx i My iz (10) i pravce x i y umesto n i t koji ulaze u jednainu (20), i uvrtavajui ih u (29), dobijamo

14

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa 2 .

(30)

Poslednja jednaina se moe napisati u simbolikom obliku ,

(31)

gde je uvedena oznaka . (32)

Problem savijanja ploa poprenim teretom svodi se na integraljenje jednaine (30). Kada je za neki dati sluaj naeno ono reenje jednaine koje zadovoljava konturne uslove, momenti savijanja i torzije mogu da se izraunaju iz jednaina (10) i (20). Transverzalne sile Qx i Qy mogu se dalje odrediti iz jednaina (26) i (27), (33) .

15


Konturni uslovi

Posmatraemo konturne uslove u sluaju pravougaonih ploa optereenuh upravno na srednju ravan i pretpostaviemo da su x i y-osa paralelne sa stranama ploe. Ukljetena ivica. Ako je ploa ukljetena du svoje ivice, onda je u tim takama ugib jednak nuli, a tangencijalna ravan na elastinu povrinu u tim takama poklapa se sa prvobitnim poloajem srednje ravni ploe. Ako je, na primer, ukljetena strana , onda su konturni uslovi na toj strani0, 0. (34)

Slobodno oslonjena ivica. Ako je ivica ploe slobodno oslonjena, ugib w u takama te ivice mora biti jednak nuli. Sa druge strane, kontura moe slobodno da se rotira oko te ivice, tj. nema napadnih momenata Mx u takama konture. Analitiki izrazi za konturne uslove u ovom sluaju su0, 0. (35)

Uzimajui u obzir da mora biti nula u takama prave , viidmo da se drugi od uslova (35) moe napisati u kraem obliku u kojem ne uestvuje Poisson-ov koeficijent , pri emu se konano dobija0, 0. (36)

Slobodna ivica. Ako je ivica ploe, recimo, , potpuno slobodna, du te ivice prirodno je pretpostaviti da se nee javiti ni napadni ni torzioni momenti, kao ni vertikalne sliue sile, tj. da je0, 0, 0. (37)

16


U ovom obliku je konturne uslove za slobodnu ivicu izrazio Poisson. Kasnije je, meutim, Kirchhoff dokazao da nisu potrebna tri konturna uslova, ve da su dva uslova dovoljna za potpuno odreivanje ugiba w koji bi zadovoljio jednainu (30). Pokazao je da se dva Poissonova uslova koji se odnose na torzioni moment Mxy i na transverzalnu silu Qx moraju zameniti jednim konturnim uslovom. Fiziki smisao ovog smanjenja konturnih uslova objasnili su Kelvin i Tait. Ovi autori su ukazali da se savijanje ploe nee promeniti ako horizontalne sile koje stvaraju torzioni momenti Mxy na elementu duine dy ivice zamenimo sa dve vertikalne sile veliine Mxy na razmaku dy. Ovakva zamena ne menja veliinu torzionih momenata i stvara samo lokalne promene u raspodeli napona u neposrednoj blizini ivice ploe, dok u ostalom delu ploe naponi ostaju nepromenjeni. Zamenjujui torzione spregove du ivice ploe i posmatrajui dva susedna elementa ivice, vidimo da je raspodela torzionih momenata statiki ekvivalentna raspodeli transverzalnih sila intenziteta.

(38)

Na taj nain, uslovi koji se odnose na torzioni moment Mxy i transverzalnu silu Qx du slobodne ivice se svode na uslov0.

(39)

Posle zamene Qx i Mxy, konano dobijamo uslovna slobodnoj ivici2 0. (40)

Uslov da na slobodnoj ivici nema napadnih momanata glasi0.

(41)

Jednaine (40) i (41) su dva neophodna konturna uslova du slobodne ivice ploe.

17


Slobodno oslonjene pravougaone ploe optereene po sinusnoj povrini

Usvajajui koordinatne ose kao to je prikazano na slici 6, pretpostavimo da se optereenje koje deluje na ploi menja po zakonusin sin , (42)

a x b

gde je qo intenzitet optereenja u sreditu ploe. U tom sluaju diferencijalna jednaina (30) elastine povrine ploe glasi2 sin sin .

ySlika 6

(43)

Konturni uslovi za slobodno oslonjene ivice glase0, 0 0i ; .

Koristei izraz (10) za napadne momente i uzimajui u obzir da je 0 du svih ivica, a 0i 0 du ivica paralelnih x odnosno y-osi, moemo napisati konturne uslove u sledeem obliku1 3 0, 0, 2 4 0 0 0i 0i ; .

0,

0

0i

(44)

(45)

Konturni uslovi bie oigledno zadovoljeni ako za ugib uzmemo izraz 18

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa sin sin , (46)

gde konstantu C treba izabrati tako da bude zadovoljena jednaina (43). Kada izraz (46) uvrstimo u jednainu (43), nalazimo1 1 . (47)

Prema tome, elastina povrina koja zadovoljava jednainu (43) i konturne uslove (45) data je jednainomsin sin .

1

1

(48)

Iz ovog izraza i jednaina (10) i (20) (umesto n i t su ose x i y), imamo1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin cos . , ,

(49)

cos

Najvei ugibi i najvei napadni momenti javljaju se u sreditu ploe. Kad stavimo 2, 2, u jednaine (48) i (49), dobijamo1 1 1 1 , (50)

1 1

1 1

, (51) .

U specijanom sluaju kvadratne ploe4 ,

, ovi obrasci postaju1 4 . (52)

Preko jednaine (33) odreujemo transverzalne sile

19

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa 1 1 1 1 cos sin sin cos , . (53)

Ako je optereenje rasporeeno po zakonusin sin ,

(54)

gde su m i n celi brojevi, postupamo kao i ranije i dobijamo za elastinu povrinu sledei izrazsin sin .

1

1

(55)

odakle se diferenciranjem lako mogu dobiti izrazi za napadne i torzione momente.

20


Navier1-ovo reenje za slobodno oslonjenu pravougaonu plou

Problem reenja ploe napregnute na savijanje svodi se na reavanje parcijalne diferencijalne jednaine etvrtog reda uz zadovoljavanje odgovarajuih graninih uslova. Reenje prethodnog lana moe se koristiti za izraunavanje ugiba u slobodno oslonjenoj pravougaonoj ploi optereenoj proizvoljnim optereenjem, . (56)

U tom cilju, razvijemo funkciju,

,

u dvostruki trigonometrijski redsin sin .

(57)

Radi odreivanja pojedinih koeficijenata amn ovog reda, mnoimo obe strane jednaine (57) sa sin i integralimo od 0 do b. Uzimajui u obzir da jesin sin sin sin 0, , kada je (58) 2 kada je ,

dobijamo, sin 2 sin . (59)

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier

21


Ako pomnoimo obe strane jednaine (59) sa sin dobiemo

i integralimo od 0 do a,

,

sin

sin

4

,

(60)

odakle je4

,

sin

sin

.

(61)

Kada izvrimo integralenje za zadato optereenje, za zadato , dobiemo iz izraza (61) koeficijente reda (57) i na taj nain zadato optereenje kao zbir tereta rasporeenih po sinusnoj povrini. Ukupan ugib se dobija sabiranjem lanova datih jednainom (55), odnosno1 sin sin .

(62)

Primer. Uzmimo, kao primer primene opteg reenja (62), sluaj jednakopodeljenog optereenja po ukupnoj povrini ploe. U tom sluaju je, , (63)

gde je qo intenzitet jednakopodeljenog optereenja. Iz obrasca (61) imamo4 sin sin 16 ,

(64)

gde su m i n neparni celi brojevi. Ako su m ili n ili oba ova broja parni, onda je uvrstimo ovaj izraz u jednainu (62), dobiemo16 sin sin

0. Kad

,

(65)

gde je

1,3,5, i

1,3,5, 16 1

Najvei ugib je u sreditu ploe i dobija se za

2,.

2 u obrascu (65)(66)

22


Ovaj red konvergira vrlo brzo i zadovoljavajua aproksimacija se dobija i ako zadrimo samo prvi lan reda. Iz izraza (65) vidi se da ugibi dveju ploa iste debljine i odnosa a/b rastu proporcionalno etvrtom stepenu duine strana. Izraze za napadne i torzione momente moemo dobiti iz opteg reenja (65). Redovi koje dobijamo na taj nain ne konvergiraju tako brzo kao red (65). Kako se momenti izraavaju pomou drugih izvoda reda (65), njihove najvee vrednosti pri istim vrednostima q0 i D proporcionalne su kvadratu linearnih dimenzija.

23


Maurice Lvy2-evo reenje za slobodno oslonjenu pravougaonu plou optereenu jednakopodeljenim optereenjem

Navier-ovo reenje, i pored svoje jednostavnosti, ima nedostataka koji ograniavaju njegovu primenu. Kao prvo, ovo reenje se moe koristiti samo za pravougaone ploe koje su slobodno oslonjene po celoj konturi. Osim toga, reenje je dato redovima koji nemaju uvek dobru (brzu) konvergenciju. Oba navedena nedostatka ublaena su reenjem koje je dao M. Lvy i koje se moe primeniti kod svih pravougaonih ploa koje su du dve paralelne strane slobodno oslonjene, dok na drugim dvema stranama granini uslovi mogu biti proizvoljni. Predloeno reenje za prouavanje savijanja pravougaonih ploa sa parom paralelnih slobodno oslonjenih ivica, u obliku beskonanog reda dato je u oblikusin , (67)

gde je Ym funkcija samo od y. Pretpostavimo da su ivice 0i slobodno oslonjene. Svaki lan reda (67) odgovara uslovu da su 0i 0 du tih ivica. Ym odreujemo 2 i jednaina elastine iz uslova da se zadovolje konturni uslovi na preostale dve ivice povrine2 .

(68)

Prilikom primene ove metode na slobodno oslonjenu pravougaonu plou optereenu jednakopodeljenim optereenjem, reenje se moe pojednostaviti ukoliko se pretpostavi kao kombinacija homogenog i partikularnog dela,2

(69)

http://en.wikipedia.org/wiki/Maurice_L%C3%A9vy

24


gde je2 ,

tj. wp je ugib trake ploe optereene jednakopodeljenim optereenjem, paralelne sa x-osom. Ovo zadovoljava jednainu (68) i konturne uslove na stranama 0i . Izraz wh oigledno mora da zadovolji jednainu2 0 (71)

24

(70)

i mora se izabrati tako da zbir (69) zadovolji sve konturne uslove ploe. Uzimajui wh u obliku reda (67), gde je zbog simetrije 1,3,5, uvrstimo ga u jednainu (71) i dobijamo2 sin 0. (72)

Ova jednaine bie zadovoljena za svako x samo onda ako je izraz u zagradi jednak nula, odnosno2 0. (73)

Opti integral ove jednaine moe se uzeti u oblikucosh sinh cosh . sinh

(74)

Kako je elastina povrina simetrina u odnosu na x-osu (slika 62), zadravamo u izrazu (74) samo parne funkcije od y i zakljuujemo da su integracione konstante 0. Tada je elastina povrina (69) predstavljena izrazom24 2 sinh sin , (75)

cosh

koji zadovoljava i jednainu (68) i konturne uslove du ivica 0i . Ostaje jo da se odrede i integracione konstante i tako da se zadovolje konturni uslovi0, 0,

(76)

na ivicama

2. Izraz (70) razvijamo u trigonometrijski red 25

Parcijalne diferencijalne jednaine u teoriji ploa 2 4 1

24

sin

,

(70)

gde je

1,3,5, Jednaina elastine povrine tada ima oblik4 cosh sinh sin ,

(75)

gde je oznaku

1,3,5, Kad uvrstimo ovaj izraz u konturne uslove i radi kraeg zapisa koristimo2 , (76)

dobiemo za odreivanje konstanti4 2

icosh cosh tanh cosh

sledee jednainesinh sinh 2 0, 0, 2 cosh

(77)

iz kojih je2 , . (78)

Kada ove vrednosti konstanata vratimo u izraz (75), nalazimo jednainu elastine povrine koja zadovoljava jednainu (68) i konturne uslove u sledeem obliku4, , ,

1 2 sinh

1 2

tanh 2 cosh sin ,

2

cosh

2 (79)

2 cosh

iz koje se moe izraunati ugib u nekoj taki. Najvei ugib je u sredini ploe4, , ,

2 ,1

0 i iznosi1 tanh 2 cosh 2 . (80)

Beskonani red konvergira vrlo brzo i dovoljno taan rezultat dobija se i ako zadrimo samo prvi lan.

26


Osnovni principi metode konanih elemenata u teoriji konstrukcija

Metod konanih elemenata (MKE) nastao je kao potreba za analizu sloenih konstruktivnih sistema, za koje ne moe da se nae jednostavno reenje. Kod primene ovog metoda, konstruktivni sistem se deli na elemente konanih dimenzija, tj. konane elemente. Za takav jedan mali element nalazi se priblino reenje, a zatim se sabiranjem svih elemenata u celom sistemu dolazi do sistema obinih, algebarskih jednaina. Reenje tih jednaina dovodi do priblinog reenja celog sistema. [3] Fizika diskretizacija u cilju pronalaenja priblinog reenja nekih problema odavno se primenjuje. Meutim, tek sa razvojem raunarske tehnologije i mogunostima brzog reavanja velikog broja jednaina poinje njena sveobuhvatna upotreba. Greke diskretizacije nastaju zbog razlike izmeu topologije i geometrije konstrukcije i topologije i geometrije sistema konanih elemenata (KE), najee zbog primene KE neodgovarajueg oblika i/ili zbog nedovoljnog broja KE u diskretizaciji domena. Oblik KE zavisi od broja, rasporeda i povezanosti vorova i od geometrijskih karakteristika, a tip od izabranih stepena slobode (nezavisnih generalisanih pomeranja vorova) i fiziko-mehanikih karakteristika. vorne take ili vorovi KE imaju trostruku ulogu - u odreivanju geometrije KE, povezivanju KE u sistem KE i definisanju stepeni slobode KE. [4] Stepeni slobode vorova KE su veliine koje odreuju stanje KE. Ako se MKE formulie preko krutosti, re je o kinematikim veliinama, tj. vrednostima polja pomeranja i/ili, u mnogim sluajevima, izvoda pomeranja. Izbor stepena slobode KE zavisi od vie parametara, ali je dominantna potreba da se numeriki modeliraju veliine relevantne za opisivanje stanja realnog sistema ili matematikog modela. Prilikom modeliranja povrinskih nosaa, trebalo bi da se u diskretizaciji koriste povrinski KE. Preporuke su da to budu elementi sa odnosom najvee i najmanje strane manjim od 3, a da se izbegavaju KE kod kojih je taj odnos od 3 do 10. Primena KE van ovih okvira ne mora nuno da bude uzrok greaka aproksimacije, ali moe da bude uzrok problema sa MKE reenjem. Isto tako, ako postoji mogunost, povoljnije reenje je primena etvorougaonih povrinskih KE u odnosu na trougaone, iako su trougaoni pogodniji za opisivanje geometrije domena. [4]

27


Sutina MKE sadrana je, ne samo u fizikoj diskretizaciji konstrukcije mreom KE, ve i u numerikoj interpolaciji polja (obino pomeranja) u okviru pojedinanog KE, tj. aproksimaciji ponaanja KE. Interpolacija se sprovodi u odnosu na vorove KE usvajanjem razliitih funkcija (obino polinoma) koje definiu raspodelu, tj. polje pomeranja unutar jednog KE. KE su meusobno povezani samo u vorovima, gde moe da postoji kompatibilnost, tj. kontinuitet funkcije polja i odgovarajuih izvoda funkcije polja pomeranja. Taj, u osnovi, numeriki prelaz sa jednog kontinualnog domena, na sistem diskretno, u vorovima, povezanih poddomena - konane elemente, bitno je obeleje MKE. Za modeliranje povrinskih konstrukcijskih elemenata ploa koje su optereene na savijanje normalno na sopstvenu ravan, koriste se trougaoni ili etvorougaoni KE. Algoritam reavanja metodom konanih elemenata sastoji se u sledeem: Prvo se vri dekompozicija modela realnog sistema. To je zapravo rastavljanje konstrukcijskog sistema na komponente (konstrukcijski elementi, veze, oslonci, itd.) koje se modeliraju na osnovu identifikacije oblika i tipa potencijalno primenjenog KE. Sledea faza algoritma primene MKE u analizi konstrukcija je faza formiranja sistema KE. U toj fazi moda najvie dolazi do izraaja bitna osobenost MKE: primena matrine analize, tj. sprovoenje raunskih operacija u matrinom obliku. Dimenzija matrice krutosti za ploa KE etvorougaonog oblika (koji e se koristiti), zavisi od broja stepeni slobode vorova KE, i broja vorova u KE. Za povrinski KE optereen na savijanje, svaki vor ima 3 stepena slobode (1 translatorni i 2 rotaciona stepena slobode). Elementi matrica su generalisane sile koje odgovaraju generalisanim stepenima slobode u tzv. lokalnom koordinatnom sistemu KE. Lokalni koordinatni sistem je pravougaoni koordinatni sistem ije su ose obino u pravcu neke od karakteristinih osa KE. Kod povrinskih KE, z-osa lokalnog sistema usmerena je u pravcu normale na srednju povr KE, a ostale ose su usmerene prema pravilu desne ruke. Veza generalisanih sila i generalisanih pomeranja u lokalnom sistemu data je preko odgovarajue matrice. Ako je u pitanju statika analiza, re je samo o matricama krutosti. Zatim sledi transformacija matrica prema poloaju KE, odnosno njegovog lokalnog koordinatnog sistema u odnosu na tzv. globalni koordinatni sistem sistema KE. Ta transformacija koordinata potrebna je da bi se razmatranja svela na zajedniku osnovu. Veza izmeu generalisanih pomeranja i generalisanih sila u vorovima KE u lokalnom koordinatnom sistemu i odgovarajuih veliina u globalnom koordinatnom sistemu uspostavlja se preko tzv. matrice transformacije. Nakon toga sledi kompozicija matrica sistema KE od matrica KE koje su prethodno transformisane u globalni koordinatni sistem. Sistem linearnih algebarskih jednaina MKE ine matrica krutosti sistema KE, vektor nepoznatih generalisanih pomeranja vorova sistema KE i vektor optereenja vorova sistema KE. Elementi matrice krutosti i vektora optereenja sistema su unutranje i spoljanje generalisane sile koje odgovaraju stepenima slobode pomeranja sistema KE. Vrednost generalisanih pomeranja u vorovima sistema KE, tj. vektor generalisanih pomeranja dobija se reavanjem sistema linearnih algebarskih jednaina. Veze izmeu pomeranja vorova KE i pomeranja u okviru KE uspostavljaju se preko interpolacionih funkcija, koje su kod povrinskih konanih elemenata, polinomi etvrtog stepena. Osnovna prednost MKE je to sistem trigonometrijskih funkcija, svodi na reavanje sistema algebarskih jednaina, koje su sa aspekta programiranja i reavanja, mnogo jednostavnije za realizaciju od strane raunara.

28


Analiza analitikog (Navier i M. Lvy) i numerikog (MKE) reenja zadatka

Primer. Odrediti vrednost ugiba kvadratne slobodno oslonjene ploe u sredini raspona na svakih 1m i uporediti vrednosti reenja dobijenih analitikim i numerikom postupkom. Podaci: 6 30.5 1,3 10 0.2 2,3 1 / 3,3 Analitika reenja Navier Vrednost ugiba ploe optereene jednakopodeljenim optereenjem data je izrazom (65)16 sin sin ,

gde je

1,3,5, i

1,3,5, 6 , a da je prema (11)30.5 10 0.1 12 1 0.2 2647.5694

Uzimajui u obzir da je12 1

vrednost ugiba predstaviemo u Tabeli 1Tabela 1 I 1.018330 1.763799 2.036659 II 1.029114 1.740281 1.985142 III 1.031824 1.740575 1.989153

gde su:

I - vrednosti ugiba sa prvim lanom reda, odnosno za II - vrednosti ugiba sa etiri lana reda, odnosno za 29

1i 1,3 i

1 1,3


III - vrednosti ugiba sa devet lanova reda, odnosno za

1,3,5 i

1,3,5.

Dvostruki red kojim je dat izraz za ugib ploe vrlo brzo konvergira i zadovoljavajua aproksimacija se dobija i ako zadrimo samo prvi lan reda. Greka koja se pri tome javlja (u odnosu na reenja koja uzimaju u obzir i vie lanove reda) je izmeu 1% i 2,5%. Ukoliko elimo da izbegnemo i ovakvu greku, uzimajui u obzir prva etiri lana reda, dobija se reenje ija je greka ispod 3, to se sa inenjerske take gledita, moe smatrati apsolutno tanim. M. Lvy Prema izrazu (79), jednaina ugiba predstavljena je u sledeem obliku4, , ,

1 2 sinh

1 2

tanh 2 cosh sin ,

2

cosh

2

2 cosh

gde je 2 . 0),

Za take koje se nalaze na sredini ploe, trei izraz u zagradi jednak je nuli (jer je pri emu se dobija neto jednostavnija jednaina u obliku4, , ,

1

1

tanh 2 cosh

2

cosh

2

sin

.

Koristei ovu jednainu, odrediemo vrednosti ugiba i prikazati ih u Tabeli 2Tabela 2 I 1.005774 1.742052 2.011548 II 1.030517 1.742052 1.986805 III 1.031537 1.740285 1.988845

gde su:

I - vrednosti ugiba sa prvim lanom reda, odnosno za 1 II - vrednosti ugiba sa dva lana reda, odnosno za 1,3 III - vrednosti ugiba sa tri lana reda, odnosno za 1,3,5.

Kao i kod Navier-ovog reenja, red veoma brzo konvergira i inenjerski gledano, zadovoljavajua reenja se dobijaju i uzimanjem samo prvog lana reda. Uzimajui u obzir prva dva lana reda, reenje koje dobijamo bie sa grekom ispod 1. Za razliku od Navier-ovog reenja, prednost bi u ovom sluaju ipak bila na strani M. Lvy-ja, zbog korienja jednostrukog, umesto dvostrukog reda. Ovo naroito moe biti izraeno ukoliko elimo tanije reenje, ije izraunavanje postaje sloenije upotrebom viih lanova reda. Ukoliko koristimo samo prvi lan reda, za slobodno oslonjenu plou optereenu jednakopodeljenim optereenjem, Navier-ova jednaina ugiba omoguava nam jednostavnije

30


izraunavanje zbog jednostavnijih podfunkcija. Naravno, ovo vai u sluaju da se koristimo samo jednostavnim sredstvom za raunanje, kao to je kalkulator. Meutim, u dananje vreme, upotreba raunara postala je svakodnevna. Napredak u tehnologiji omoguava nam da probleme za koje nam je ranije bilo potrebno neuporedivo mnogo vremena, danas reavamo u nekoliko koraka, za par sekundi. Analitika reenja zamenjujemo numerikim, priblinim postupcima, koji e, uz optimalnu kompleksnost aproksimacija i zadovoljavajuu tanost, omoguiti veliku utedu u vremenu reavanja zadataka. Koristei softver za analizu konstrukcija koji koristi kao numeriki metod koristi konanih elemenata, prikazaemo reenje ovog zadatka. Numerika reenja AxisVM Slobodno oslonjenu pravougaonu plou optereenu jednakopodeljenim optereenjem na savijanje modeliraemo upotrebom trougaonih i etvorougaonih ploa konanih elemenata. Za proraun ugiba u odgovarajuim vorovima KE, koristiemo softver za analizu konstrukcija zasnovan na MKE, AxisVM. Softver koristi konane elemente formulisane prema Mindlin-Reissnerovoj teoriji, koja za razliku od Kirchoffove teorije, uzima u obzir i uticaje smicanja.3 [6] Meutim, ploe su obino relativno tanke sa zanemarljivim smiuim deformacijama, tako da dobri Reissner-Mindlin ploa elementi tee da daju iste rezultate kao Kirchoffovi ploa elementi, sa moguim izuzecima u graninim zonama.4 [5] AxisVM koristi trougaone elemente sa 6 vorova, odnosno etvorougaone Heterosis konane elemente sa osam/devet vorova (4 vora u uglovima, 4 vora na sredinama strana i 1 vor u teitu KE). Konani elementi korieni u analizi postavljani su tako da se karakteristine take u kojima raunamo ugib nalaze u vorovima KE, ime se izbegava linearna interpolacija reenja izmeu dva vora i eliminie greka koja bi pritom nastala.

Slika 7. Raspored trougaonih KE (levo) i etvorougaonih KE (desno)

3 4

http://www.axisvm.co.uk/up-demo-docs/English/Documents/manual10.pdf, pp. 153 F. Hartmann, C. Katz: Structural Analysis with Finite Elements, Springer-Verlag, Berlin, 2007, pp. 415-416

31


Trougaoni elementiDuina KE 6m 0.176 0.353 0.529 3m 0.347 0.607 0.778 2m 0.642 1.071 1.257 1m 0.952 1.610 1.841 0.5m 1.036 1.748 1.996 Numeriko reenje 1.032 1.740 1.989

Tabela 3. Vrednosti ugiba ploe sastavljene od trougaonih konanih elemenata u zavisnosti od veliine stranice KE

Duina KE

6m 17.054 20.287 26.596

3m 33.624 34.885 39.115

2m 62.209 61.552 63.198

1m 92.248 92.529 92.559

0.5m 100.388 100.460 100.352

Tabela 4. Tanost reenja numerikog modela u zavisnosti od veliine trougaonih konanih elemenata u odnosu na analitiko reenje, izraena u procentima (%)

etvorougaoni elementiDuina KE 3m 1.129 1.862 2.198 2m 1.096 1.863 2.108 1m 1.057 1.779 2.031 0.5m 1.053 1.773 2.024 0.33m 1.053 1.773 2.024 Numeriko reenje 1.032 1.740 1.989

Tabela 5. Vrednosti ugiba ploe sastavljene od etvorougaonih konanih elemenata u zavisnosti od veliine stranice KE

Duina KE

3m 109.399 107.011 110.508

2m 106.202 107.069 105.983

1m 102.422 102.241 102.112

0.5m 102.035 101.897 101.760

0.33m 102.035 101.897 101.760

Tabela 6. Tanost reenja numerikog modela u zavisnosti od veliine etvorougaonih konanih elemenata u odnosu na analitiko reenje, izraena u procentima (%)

Na sledeim dijagramima prikazana je konvergencija reenja u zavisnosti od vrste i broja konanih elemenata numerikog reenja, odnosto od broja lanova reda analitikih reenja. Dijagrami su prikazani za svaku karakteristinu taku u kojoj je raunat ugib.

32


Slika 8. Konvergencija reenja prema vrsti i broju KE i prema broju lanova reda za taku 1 .



33


Sa poveanjem broja konanih elemenata, tanost reenja raste. Kod trougaonih KE ta zavisnost je veoma izraena i broj KE, kao i njihova veliina, u velikoj meri mogu uticati na tanost reenja. Konvergencija se odvija sa strane nesigurnosti, pri emu se dobijaju rezultati manji od stvarnih. etvorougaoni KE daju rezultate koji (u zavisnosti od broja KE) bre konvergiraju tanom reenju, i to sa gornje strane, odnosno, sa strane sigurnosti. Ovo je, sa inenjerske take gledita, sigurniji rezultat za dalju analizu, ukoliko nismo sigurni u kvalitet tanosti reenja. Analitika reenja ve sa jednim lanom reda daju zadovoljavajue rezultate, a sa uzimajui u obzir i vie lanove, redovi veoma brzo konvergiraju. Analiza sa jo veim brojem konanih elemenata (odnosno sa elementima manje veliine), nije mogla da se sprovede zbog ogranienja studentske verzije softvera na maksimalno 400 povrinskih konanih elemenata. Vei broj konanih elemenata bolje aproksimira stvarne trigonometrijske funkcije elastine povrine ploe (sa veim brojem vorova), ime se javljaju manja odstupanja od tanog reenja. Greka numerikog reenja sa dovoljno velikim brojem KE u sluaju trougaonih KE manja je od 0,5%, a kod etvorougaonih KE je priblino 2%. Sa inenjerske take gledita, oba tipa KE daju zadovoljavajue tana reenja i opravdavaju upotrebu MKE pri analizi konstrukcija, naroito ako se uzme u obzir da analitika reenja postoje samo za mali broj specijalnih sluajeva oblika ploa, uslova oslanjanja i tipova optereenja.

34


Literatura

1. V. Vraari: Teorija povrinskih nosaa, Fakultet tehnikih nauka, OOUR Naunoobrazovni institut za industrijsku gradnju, Novi Sad, 1985. 2. S. Timoenko, S. Vojnovski-Kriger: Teorija ploa i ljuski, Graevinska knjiga, Beograd, 1962. 3. A. Poceski: Meoviti metod konanih elemenata, DIP Graevinska knjiga, Beograd, 1990. 4. D. Kovaevi: MKE modeliranje u analizi konstrukcija, Graevinska knjiga, Beograd, 2006. 5. F. Hartmann, C. Katz: Structural Analysis with Finite Elements, Springer-Verlag, Berlin, 2007. 6. Users Manual: AxisVM Finite Element Analysis & Design Program, Version 10, 2010. http://www.axisvm.co.uk/up-demo-docs/English/Documents/manual10.pdf

35