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Seminararbeit – Sph¨ arische Dreiecke Jennifer Dachauer (01636363), Katja List (01541004) Annika Proy (01628728) 5. Juli 2018 Lehrveranstaltung: KO Mathematik macht Freu(n)de Lehrveranstaltungsleiter: Univ.-Prof. Dr. Michael Eichmair Mentor: Mag. Dr. Stefan Haller Semester: Wintersemester 2017/2018

Seminararbeit – Sph¨arische Dreiecke · 1 Vorwort Die vorliegende Arbeit ” Sph¨arische Dreiecke“ wurde im Rahmen des Semi-nars ” Mathematik macht Freu(n)de“ geschrieben

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Seminararbeit – Spharische Dreiecke

Jennifer Dachauer (01636363), Katja List (01541004)Annika Proy (01628728)

5. Juli 2018

Lehrveranstaltung: KO Mathematik macht Freu(n)deLehrveranstaltungsleiter: Univ.-Prof. Dr. Michael EichmairMentor: Mag. Dr. Stefan HallerSemester: Wintersemester 2017/2018

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Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 4

2 Die Kugel 5

3 Großkreise und Kleinkreise 73.1 Schnittwinkel von Großkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Kugelgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Spharische Dreiecke und Zweiecke 104.1 Kugelzweiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Kugeldreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Euler’scher Polyeder Satz 11

6 Seitenkosinussatz und seine Anwendung 146.1 Seitenkosinussatz (SKS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Orthodrome und Kurswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.2.1 Orthodrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2.2 Kurswinkel und Richtungsangabe . . . . . . . . . . . . 186.2.3 Beispiel angelehnt an [4, S.79 f] . . . . . . . . . . . . . 19

7 Praktische Umsetzung unter didaktischen Gesichtspunkten 217.1 Einfuhrung in die spharische Trigonometrie . . . . . . . . . . 217.2 Arbeit in Kleingruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Gruppe 2: Eulerscher Polyedersatz . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.3.1 Phase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.3.2 Phase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3.3 Phase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3.4 Phase 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.3.5 Phase 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3.6 Ergebnissicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.4 Gruppe 3: Seitenkosinussatz und Google Maps . . . . . . . . 287.4.1 Arbeitsaufteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4.2 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4.3 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.4.4 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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7.4.5 Portfolio und Plakat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.5 Ergebnissicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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1 Vorwort

Die vorliegende Arbeit ”Spharische Dreiecke“ wurde im Rahmen des Semi-nars ”Mathematik macht Freu(n)de“ geschrieben. Wir sollten uns auf Grunddieser Arbeit mit der dazugehorigen Theorie beschaftigen und diese didak-tisch auch aufarbeiten.

Besonders mochten wir uns bei unserem Mentor Mag. Dr. Stefan Haller be-danken, der uns uber die ganze Zeit mit inhaltlichen aber auch formellenRatschlagen geholfen hat.

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2 Die Kugel

In der ebenen Geometrie wird ein Kreis als die Menge aller Punkte definiert,die von einem Mittelpunkt M im selben Abstand, namlich dem Radius r,entfernt liegen. Im Unterschied dazu gehoren zu einer Kreisscheibe auch diePunkte innerhalb eines Kreises, d.h. alle Punkte P fur welche gilt |PM | ≤ r.

Im dreidimensionalen Raum liefert die Definition der Kugel ein passen-des Analogon zur Kreisscheibe. Eine Kugel ist jene Menge K, welche denMittelpunkt M sowie alle Punkte enthalt, deren Abstand zum Mittelpunktkleiner oder gleich dem Radius r ist, siehe [1, S.2] [4, S.15]. Es gilt

K = {P : |PM | ≤ r}.

Jene Teilmenge S, welche nur die Punkte der Kugeloberflache enthalt,wird als Sphare bezeichnet. Alle Punkte P ∈ S haben denselben Abstandzum Mittelpunkt M , namlich den Radius r. Eine Sphare kann laut Filler [1,S.2] und Todhunter [5, S.1] durch folgende Menge beschrieben werden

S = {P : |PM | = r}.

Fur einen Punkt P im Raum gibt es also drei Moglichkeiten:

• Ist der euklidische Abstand |PM | < r , so liegt der Punkt P im Innerender Kugel.

• Ist der Abstand |PM | großer als der Radius r, so befindet sich derPunkt P außerhalb der Kugel.

• Im Fall |PM | = r ist der Punkt P Element der Sphare.

Fur weitere Informationen siehe [1, S.2] [4, S.15].

Jede Gerade durch den Mittelpunkt M schneidet die Sphare in genau 2Punkten. Diese beiden Punkte P und P werden Gegenpunkte oder Antipo-den genannt. Sie haben denselben Abstand zum Mittelpunkt:

|PM | = r = |PM |.

Die Strecke |PP | wird als Durchmesser bezeichnet.

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Die Lange dieses Durchmessers lasst sich wie folgt berechnen:

d =| PM | + | PM |= r + r = 2 · r.

Die Eigenschaft zweier Punkte, auf demselben Durchmesser zu liegen,wird als diametral bezeichnet. In der Natur ist dieses Phanomen beispielswei-se bei der Lage von Nordpol und Sudpol zueinander zu beobachten. NahereInformationen dazu sind bei Filler [1, S.6], Schuppar [4, S.16] oder Todhunter[5, S.1] nachzulesen.

Die Oberflache O einer Kugel mit Radius r wird durch die Formel

O = 4 · π · r2 (1)

berechnet. Die FormelV = 4 · π · r3

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gibt das Volumen V einer Kugel an, siehe [4, S.15].

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3 Großkreise und Kleinkreise

Fur den Schnitt einer Ebene ε mit der Sphare S gibt es folgende moglicheSchnittmengen

• Die Menge ε∩S = ∅ beschreibt eine leere Menge. Das heißt, die Ebeneund die Sphare besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

• Enthalt die Menge ε∩S = {P} genau einen gemeinsamen SchnittpunktP , so beruht die Ebene ε die Sphare S in genau diesem Punkt P .

• Enthalt die Schnittmenge der Ebene ε und der Sphare S mehr alseinen Punkt, so ist die entstehende Schnittfigur ein Kreis.

Im Folgenden wird nun geklart, warum es sich bei der gebildeten Schnitt-figur um einen Kreis handelt.

Zunachste schneide man eine Ebene mit der Sphare. Es wird ein Lotvom Kugelmittelpunkt auf die Ebene gelegt, wodurch ein Punkt M1 erhal-ten wird. Dieser lotrechte Abstand a = |MM1| ist kleiner oder gleich demKugelradius r, da die Schnittfigur Element der Sphare ist. Wird nun ein be-liebiger Punkt der Schnittfigur gewahlt und mit dem Kugelmittelpunkt Msowie dem Punkt M1 verbunden, so ergibt sich ein Dreieck. Alle Punkte Pder Schnittfigur haben denselben Abstand zum Kugelmittelpunkt, namlichden Kugelradius r. Unabhangig davon, welcher Punkt P gewahlt wird, erge-ben sich stets kongruente rechtwinklige Dreiecke, da a normal auf die Ebenesteht und |a| und |r| konstant sind. Folglich muss auch |M1P | konstant sein.Daraus folgt, dass alle beliebig gewahlen Punkte P der Schnittfigur densel-ben konstanten Abstand |M1P | = r1 vom Punkt M1 haben.

Der Satz des Pythagoras liefert folgende Aussage

ε ∩ S = {P ∈ ε | r2 = a2 + |PM1|2}.

Haben die Sphare und die Ebene eine gemeinsame Schnittmenge, so ist,wie bereits erwahnt, der Radius r großer oder gleich dem Abstand a.

Es gilt ε∩S 6= ∅ ⇒ r ≥ a. Nun gilt es, drei mogliche Falle zu unterschei-den.

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Ist der Radius r gleich dem Abstand a, so besteht die Schnittmengelediglich aus dem Punkt M1. Es gilt r = a⇒ ε ∩ S = {M1}.

Gilt die Bedingung r > a > 0, so erhalt man als Schnittmenge der Ebenemit der Sphare einen Kreis. Im Falle, dass gilt a = 0, ist die Schnittfigur dergroßtmogliche Kreis mit r1 = r. Um den Radius r1 des Kreises zu berechnen,findet der pythagoraische Lehrsatz Anwendung

r1 =»|MP 2| − |MM1

2| =√r2 − a2 ≤ r.

Abbildung 1: Kleinkreisradius

Daruber hinaus kann der Radius r1 ebenfalls mithilfe der Winkelfunk-tionen ermittelt werden

r1 = r · sin (]PMM1).

Nun gilt es eine Unterscheidung in der Bezeichnung zu treffen. Ist derKreismittelpunkt M1 verschieden zum Kugelmittelpunkt M , also r > r1 >

a > 0, so spricht man von einem Kleinkreis. Stimmen die MittelpunkteM und M1 uberein, so handelt es sich um einen Großkreis. In diesem Fallgilt a = 0, also r1 = r. Ein Großkreis hat also den großtmoglichen Radiusbeim Schnitt einer Ebene mit der Sphare. Da die beiden Mittelpunkte identsind und die Elemente des Kreises gleichzeitig Elemente der Sphare sind, sindauch Radius sowie Durchmesser gleich lange. Folglich haben auch Großkreisediametrale Punkte, also Gegenpunkte, welche auf demselben Durchmesserliegen.

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Abbildung 2: Klein- und Großkreis

Beispielsweise finden Kleinkreise in der Geografie ihre Anwendung alsBreitenkreise. Die einzige Ausnahme stellt dabei jener Breitenkreis dar, des-sen Mittelpunkt dem Erdmittelpunkt entspricht. Im Gegensatz zu Breiten-kreisen ist bei Langenkreisen der Mittelpunkt stets ident zum Erdmittel-punkt.

Legt man ein Lot durch den Mittelpunkt eines Großkreises, so erhaltman genau zwei Punkte P und P , welche die Schnittpunkte dieser Geradenmit der Sphare darstellen. Diese beiden Punkte werden Pole genannt.

Drei verschiedene Punkte der Kugel, wovon einer der Mittelpunkt ist,bestimmen einen eindeutigen Großkreis. Dies lasst sich dadurch begrunden,dass drei unterschiedliche Punkte eindeutig eine Ebene aufspannen.

Werden zwei Ebenen, in welchen Großkreise liegen, im Mittelpunkt ge-schnitten, so gibt es zwei mogliche Schnittmengen:

• Sind die Ebenen parallel und ident, so ergibt sich wieder der Großkreis.

• Werden zwei verschiedene Großkreise geschnitten, so erhalt man eineGerade durch den Mittelpunkt M und ein Paar von Antipoden.

Folglich ist es nicht moglich, zwei zueinander parallele Großkreise zufinden, außer sie sind ident. Weitere Informationen sind bei Filler [1, S.5 ff],Schuppar [4, S.16 ff] und Todhunter [5, S.1 ff] nachzulesen.

3.1 Schnittwinkel von Großkreisen

Der von zwei Großkreisen eingeschlossene Winkel α wird als Schnittwin-kel bezeichnet. Es gibt zwei unterschiedliche Herangehensweisen, um diesenSchnittwinkel zu definieren.

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Zum einen gilt, dass sich zwei verschiedene Großkreise in genau zweiantipodalen Punkten schneiden, denn ihre Tragerebenen schneiden sich ineiner Gerade durch den Kugelmittelpunkt. Anknupfend an die bisherige Ar-gumentationsweise, kann der Schnittwinkel α also als Raumwinkel zwischenden Tragerebenen der beiden Großkreise aufgefasst werden.

Zum anderen ist es moglich, mithilfe zweier Tangenten einen Schnittwin-kel α zu bestimmen. α ist der Winkel zwischen den Tangenten an die beidenGroßkreise im Schnittpunkt. Da die Tangenten normal auf die Schnittge-rade der beiden Ebenen stehen, erhalt man uber beide Herangehensweisendenselben Schnittwinkel, siehe Schuppar [4, S.16 ff]. Im Verlauf der weiterenArbeit wird mit der zuletzt genannten Definition gearbeitet.

3.2 Kugelgeraden

Großkreise auf der Sphare werden als Kugelgeraden bezeichnet. Diese Ku-gelgeraden bieten uns ein gedankliches Analogon zur ebenen Geometrie, inwelcher eine gerade Strecke die kurzeste Verbindung zweier Punkte darstellt.In der spharischen Geometrie ist die Kugelgerade die kurzeste Verbindungzwischen zwei Punkten.

Die beiden Punkte P1 und P2 unterteilen die Kugelgeraden in zwei Groß-kreisbogen, die durch die Winkel ϕ1 und ϕ2 bestimmt sind. Diese Win-kel werden durch die Punkte P1, M , und P2 aufgespannt. Es gilt alsoϕ = ∠P1MP2.

Sind die Punkte P1 und P2 nicht diametral gelegen, so gibt es stetseinen Winkel ϕ1 < 180◦ und einen Winkel ϕ2 > 180◦. Jener Bogen, welcherdurch den kleineren Winkel beschrieben wird, wird als Großkreisbogen P1P2

bezeichnet. Die Lange eines Großkreisbogens wird von Filler [1, S.6 ff] undSchuppar [4, S.17 f] als Winkel ]P1MP2 im Gradmaß angegeben.

4 Spharische Dreiecke und Zweiecke

4.1 Kugelzweiecke

Ein Kugelzweieck ist die Flache, die von zwei halben Großkreisen einge-schlossen wird. Der Flacheninhalt des Zweieckes ist proportional zum Winkelzwischen den beiden Großkreisen. Nachdem die Halbkugel ein ausgeartetesKugelzweieck beschreibt, mit dem Winkel π und die Flache dieser 2πr2 be-

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tragt, lasst sich daraus die Flacheninhaltsformel fur Kugelzweiecke folgern.Der Flacheninhalt Fα eines Kugelzweiecks mit Offnungswinkel α durch fol-gende Formel gegeben [4, S.21]:

Fα = 2r2π · α

180◦

Abbildung 3: Kugelzweieck

4.2 Kugeldreiecke

Ein Kugeldreieck wird von drei Großkreisbogen begrenzt. Man hat also dreiEckpunkte A,B,C die an der Oberflache der Kugel liegen und keine Gegen-punkte voneinander sind. Je zwei Punkte beschreiben einen Großkreisbogenund somit die Seiten des Dreiecks. Die Winkel des Kugeldreiecks sind dieWinkel zwischen den Großkreisenbogen. [4, S.22]

Abbildung 4: Kugeldreieck

5 Euler’scher Polyeder Satz

Satz 1 (Flachenformel von Harriot und Girard). Die Flache eines spharischenDreiecks mit Winkel α,β,γ ist durch

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A = α+ β + γ − π (3)

gegeben, wobei α,β,γ im Bogenmaß gegeben sind. [2, S.90]

Wir wahlen V Punkte auf einer Kugel und verbinden diese so mit EGroßkreisbogen, dass die Kugeloberflache in F spharische Dreiecke zerfallt.Die daraus entstehenden spharischen Dreiecke haben nicht nur die Eigen-schaft, dass sie die gesamte Kugeloberflache abdecken, sondern uberlappenzudem an keiner Stelle. [2, S.94ff]

Satz 2. Unter diesen Voraussetzungen gilt der den Euler’sche Polyedersatz.

V − E + F = 2

Beweis. Allgemein bekannt ist die Flachenformel einer Kugel 4r2π. Furden Beweis dieses Satzes sei o.B.d.A. r = 1 woraus folgt A = 4π. DerFlacheninhalt der Kugel lasst sich zudem auch als die Summe der Flacheninhalteder F spharischen Dreiecke beschreiben. Dieser Zusammenhang ist der ersteSchritt des Beweis.

4π =F∑i=1

Ai (4)

Dabei bezeichnetAi den Flacheninhalt des i-ten Dreieck. Fur den nachstenSchritt greifen wir auf die Formel fur die Berechnung der Dreiecksflachen vonHarriot und Girard zuruck, die bereits in der Arbeit erwahnt wurde. erwahntwurden.

Ai = αi + βi + γi − π (5)

Dabei beschreiben αi, βi und γi, die Winkel des i-Dreiecks i. Summationuber alle Dreiecke liefert:

F∑i=1

Ai =F∑i=1

(αi + βi + γi)− Fπ (6)

An jeder der V Ecken der spharischen Dreiecke bilden alle Winkel die

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dort aufeinander treffen insgesamt eine Winkelsumme von 2π. Daher gilt:

F∑i=1

(αi + βi + γi) = 2πV. (7)

Aus der Kombination von (4),(6) und (7) folgt:

4π = 2πV − πF. (8)

Zu guter Letzt machen wir von dem Verhaltnis 3F = 2E gebraucht, das imnachsten Lemma bewiesen wird und erhalten:

2πV − 2πE + 2πF = 4π. (9)

Durch Kurzen mit 2π erhalten wir die Euler’sche Polyederformel.

Lemma 1. Es gilt: 3F = 2E.

Beweis. Im wesentlichen folgt dieser Satz daraus, dass jedes Dreieck vongenau drei Seiten eingeschlossen wird und jede Kante genau zwei Dreieckeberuhrt.Beginnen wir zum besseren Verstandnis mit einem Beispiel. Wir haben einallgemeines Tetraeder gegeben, mit 4 Dreiecken und 6 Kanten. Diese be-schriften wir wie in Abbildung 1 ersichtlich. Wir stellen anschließend denZusammenhang zwischen Dreiecken und Kanten in Form eines Raster dar.Jedes dunkle Feld bedeutet, dass die Kante, die der Zeile entspricht, eineSeite des Dreiecks, die den Spalten entspricht, ist.

Abbildung 5: Tetraeder

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Abbildung 6: Verhaltnis 3F = 2E mit F = 4 und 6 = E

Wir erkennen nun aus der Abbildung: Die erste Zeile zeigt: Die Kante 1beruhrt genau Dreieck b und d. Die erste Spalte zeigt: Das Dreieck a wirdgenau von den Kanten 3,4 und 5 eingeschlossen. Da jedes Dreieck von dreiKanten begrenzt wird, enthalt jede Spalte genau drei schwarze Kastchen.Da jede Kante von zwei Seiten beruhrt wird, enthalt jede Zeile genau zweischwarze Kastchen. Man kann nun die Anzahl der schwarzen Kastchen aufzwei unterschiedliche Arten berechnen. einerseits als 3 mal die Anzahl derSpalten oder 2 mal die Anzahl der Zeilen. Somit muss 3F = 2E gelten.Die lasst sich naturlich auch auf viel großere Figuren anwenden. Dadurchwurde sich die Anzahl der Spalten und Zeilen um ein Vielfaches vergroßern.Was sich jedoch nicht andern wurde ware, dass in jeder Zeile zwei dunkleFelder und in jeder Spalte drei existiere. Ein Dreieck wird immer von 3Kanten begrenzt und eine Kante beruhrt auch stets genau zwei Dreiecke.

6 Seitenkosinussatz und seine Anwendung

6.1 Seitenkosinussatz (SKS)

Der Seitenkosinussatz weißt Ahnlichkeiten mit dem Kosinussatz aus der eu-klidischen Geometrie auf. In folgenden Situationen kann der Seitenkosinus-satz verwendet werden, um weitere Großen eines Dreiecks zu bestimmen:

• SWS: zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind ge-geben und die dritte Seite ist gesucht

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• SSS: alle drei Seiten sind gegeben und ein Winkel ist gesucht

Satz 3 (Seitenkosinussatz nach [4, S.63]). In einem Kugeldreick mit denSeiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ gilt der Seitenkosinussatz:

cos a = cos b · cos c+ sin b · sin c · cosα (10)

cos b = cos c · cos a+ sin c · sin a · cosβ (11)

cos c = cos a · cos b+ sin a · sin b · cos γ (12)

Wobei die Seitenlangen in Grad angegeben sind.Der Beweis wird fur cos c = cos a · cos b+ sin a · sin b · cos γ gezeigt. Er kannanalog fur die anderen beiden Satzen durchgefuhrt werden und folgt durchUmbenennung der Seiten und Winkel.

Beweis nach [4, S.63 ff]. Der Grundgedanke des Beweises ist es, das Ku-geldreieck zu strecken und aufzuschneiden, so dass man letztendlich Dreieckein der Ebene erhalt und mit dem Kosinussatz rechnen kann. Dafur verbin-det man die Eckpunkte des Kugeldreiecks A,B,C mit dem Mittelpunkt Mund bildet die Ebene, die durch den Punkt C verlauft und normal auf denStrahl MC ist. Diese Ebene wird auch Tangentialebene in C an die Kugelgenannt und schneidet die Strahlen MA,MB in zwei neuen Punkten, diejedoch auch A,B genannt werden.

Abbildung 7: Beweis SKS

Der so erhaltene Polyeder besteht aus ebenen Dreiecken. Wenn mandiesen nun an den Kanten MC,AC,BC aufschneidet und aufklappt, erhalt

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man folgende Figur:

Abbildung 8: Beweisfigur in der Ebene

Da man jetzt in der euklidischen Ebene ist, kann die Strecke AB anHand der Dreiecke M MAB und M ABC mit Hilfe des Kosinussatzes aufzwei Arten berechnet werden:

AB2 = MA

2 +MB2 − 2 ·MA ·MB · cos c

AB2 = AC

2 +BC2 − 2 ·AC ·BC · cos γ

Durch Subtrahieren der zwei Gleichungen von einander kommt man auf:

0 = (MA2−AC2) + (MB

2−BC2)− 2 ·MA ·MB · cos c+ 2 ·AC ·BC · cos γ

Laut Satz des Pythagoras gilt: MA2 − AC2 = MC

2 und MB2 − BC2 =

MC2, daher folgt:

2 ·MA ·MB · cos c = 2 ·MC2 + 2 ·AC ·BC · cos γ

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Durch Umformung ergibt sich:

cos c = MCMA· MCMB

+ ACMA· BCMB· cos γ

Aus der Abbildung 9 kann man ablesen:

MCMA

= cos b, MCMB

= cos a, ACMA

= sin b, BCMB

= sin a

Setzt man dies nun ein, ergibt sich die Behauptung:

cos c = cos a · cos b+ sin a · sin b · cos γ

6.2 Orthodrome und Kurswinkel

6.2.1 Orthodrome

Das Wort Orthodrome stammt aus dem Griechischen und bedeutet ”gera-der Weg”. Die Orthodrome wird auch als spharische Strecke zwischen denPunkten A und B auf der Erdoberflache bezeichnet und ist der kurzeste Wegvon A nach B - Großkreisbogen. Die Lange dieser Strecke wird orthodromeEntfernung genannt und mit lort bezeichnet.Fur die Berechnung einer orthodromen Entfernung bildet man mit den Or-ten A = (λA, ϕA), B = (λB, ϕB) zuerst eines der beiden Poldreiecke M NAB

(N bezeichnet den Nordpol) oder M SAB (S bezeichnet den Sudpol). WobeiλX immer die Breitengrade und ϕX immer die Langengrade angibt.

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Abbildung 9: M NAB

Danach konnen an Hand der Koordinaten die Poldistanzen 90◦−ϕA; 90◦−ϕB und die Langendifferenz M λ = |λB − λA| berechnet werden. Nun kanndurch Einsetzen in den Seitenkosinussatz die spharische Strecke zwischen Aund B in Grad berechnet werden. Um die Entfernung in km angeben zukonnen, ist zu beachten, dass 180◦ = 20000 km gilt. [1, S.33] [4, S. 79 ff]

6.2.2 Kurswinkel und Richtungsangabe

Es gibt zwei verschiedene Arten von Winkel Kurswinkel

• Anfangskurswinkel/Abfahrtswinkel α,

• Endkurswinkel/Ankunftswinkel β,

Sie sind die Winkel der Orthodromen zu den betrachteten Orten auf derErdoberflache und geben auch die Richtung bei den Orten A und B an.

wichtige Kursrichtungen:

• 0◦ =Nordrichtung

• 90◦ =Ostrichtung

• 180◦ =Sudrichtung

• 270◦ =Westrichtung

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Anhand der Kurswinkel wird nun die Richtung abgelesen und angeben.Kennt man den Abfahrstwinkel α, dann kann man mit Hilfe der wichtigenKurswinkel die Richtung bestimmen.

Beispiel: Der Anfahrtswinkel α betragt 80◦ und Ort A liegt westlich vonOrt B.

Da 90◦ Ostrichtung ware, kann man daraus nun schließen, dass es sichvon Ort A zu Ort B um eine Ostnordostrichtung handelt.Kennt man aber den Ankunftswinkel β, muss man zuerst 360◦−β berechnen.Den neuen Winkel nimmt man zur Bestimmung der Richtung.

Beispiel: Der Ankunftswinkel β betragt 95◦ und Ort A liegt westlich vonOrt B.

Zuerst den neuen Winkel berechnen: 360◦ − 95◦ = 265◦

Aus den wichtigen Kurswinkel kann man nun ablesen, dass es sich vonOrt B zu Ort A um eine Westsudwestrichtung handelt. [1, S.34] [4, S.79 ff]

6.2.3 Beispiel angelehnt an [4, S.79 f]

A = Munchen, ϕA = 48,1◦, λA = 11,6◦; B = Hongkong, ϕB = 22,4◦,λB = 114,1◦

Abbildung 10: Poldreick

Aus Abbildung 10 wissen wir:

• die Lange der Seiten NA und NB sind gleich den Poldistanzen von A

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und B:

NA = 90◦ − ϕA = 41,9◦; NB = 90◦ − ϕB = 67,6◦

• der Winkel bei N ist gleich der Langendifferenz M λ:

M λ =| λB − λA |= 102,5◦

Nun kann man die Lange AB mit dem Seitenkosinussatz berechnen:

cos AB = cos NA · cos NB + sin NA · sin NB · cosM λ

= cos 41,9◦ · cos 67,6◦ + sin 41,9◦ · sin 67,6◦ · cos 102,5◦

= 0.1499...

Also ergibt sich:AB = 81,37◦ = 9041 km

Durch Auflosen des Seitenkosinussatzen nach den Winkeln berechnet mandie Abfahrts- und Ankunftswinkel α und β:

cosα = cos NB−cos NA·cos ABsin NA·sin AB

= cos 67,6◦−cos 41,9◦·cos 81,37◦

sin 41,9◦·sin 81,37◦ = 0, 407...

Also ergibt sich:α = 65, 92◦

. Analog dazu erhalt man:β = 41, 26◦

.Mit diesen Winkel konnen nun die Richtungen bestimmt werden.α = 65, 92◦

Das heißt, dass man von Munchen nach Hongkong Richtung Ostnordostfahrt.

β = 47, 02◦; 360◦ − 47, 02◦ = 312, 98◦

Das heißt, dass man von Hongkong nach Munchen Richtung Westnord-west fahrt.

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7 Praktische Umsetzung unter didaktischen Ge-sichtspunkten

Die Thematik der spharischen Trigonometrie wird innerhalb einer viertagigenProjektwoche zum Themenschwerpunkt der Mathematik behandelt. Der ers-te Tag dient dazu, sich im Plenum in das Thema einzufinden und Gemein-samkeiten sowie Unterschiede zur euklidischen Trigonometrie zu finden. Anden beiden darauffolgenden Tagen beschaftigen sich die Schulerinnen undSchuler selbststandig mit einem frei gewahlten Bereich der spharischen Geo-metrie, um im Anschluss daran Ergebnisse auszutauschen. Der vierte Tagdient der Ergebnissicherung sowie der gemeinsamen Reflexion.

7.1 Einfuhrung in die spharische Trigonometrie

Der erste Tag des Projekts wird nach folgender Tagesplanung gestaltet.

Uhrzeit Sozialform Materialien Konkrete Durchfuhrung

8:00 - 8:10 Plenum Plakat(Ablauf)

Ablauf und Regeln der

kommenden Tage

besprechen

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8:10 - 8:30 Kleingruppe(3

Personen)

Smartphone,Beamer,

PC(Programm

Quizlet)

Wiederholung der

euklidischen

Trigonometrie :Die Schulerinnen undSchulern werden perZufallsgenerator in

Kleingruppen eingeteilt. Siemussen nun gemeinsamFragen zur euklidischen

Trigonometrie beantworten,welche auf ihren Smartphones

erscheinen. Jene Gruppe,welche zuerst alle Fragenkorrekt beantwortet hat,gewinnt. Allerdings ist

Vorsicht geboten. Sobald eineFrage als falsch beantwortetwurde, fallt der Punktestand

wieder auf null.8:30 - 8:50 Plenum Tafel,

Kreide,Hefte,Stifte

Anfertigen einer Tabelle :Nun wird im Plenum eine

Tabelle angefertigt, welche inder linken SpalteEigenschaften der

euklidischen Trigonometrieenthalt.

Pause9:00 - 9:10 Plenum Tafel,

KreideBrainstorming zur Kugel

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9:10 - 9:40 Partner-arbeit

Styropor-kugeln,

Pins, Gum-miringerl

Exploration :Die Schulerinnen und Schuler

versuchen, ihr Wissen dereuklidischen Trigonometrie

auf die Kugel umzulegen. Sieexperimentieren mit Hilfe der

vorgegebenen Materialienund schreiben ihre

Erkenntnisse nieder.9:40 - 9:50 Kleingruppe

(jeweils 2Teams)

Styropor-kugeln,

Pins, Gum-miringerl,Notizen

Austausch mit einer

anderen Gruppe :Im Gesprach sollen die

Schulerinnen und Schulerihre Erkenntnisse mit einemanderen Team austauschen

und gegebenenfalls erweiternbzw. uberdenken.

Pause10:00 -10:30

Plenum Tafel,Kreide,Hefte,Stifte

Einfuhrung der

spharischen Trigonometrie :Den Schulerinnen und

Schulern wird nun der Begriffder ”spharischenTrigonometrie“

nahergebracht. Gemeinsamsoll nun die rechte Seite der

Tabelle gefullt werden, indemdie Eigenschaften der

euklidischen Trigonometrieden neu entdecktenEigenschaften der

spharischen Geometriegegenubergestellt werden.

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10:30 -10:50

Einzel-bzw. Grup-penarbeit

Papier,Stifte

Mathe− Panini :Da das Verstandnis derBegriffe der spharischen

Trigonometrie wesentlich furdie weiteren Arbeitstage ist,

wird ein Mathe-Paninidurchgefuhrt. Jede Schulerinbzw. jeder Schuler unterteilt

ein Blatt Papier in zehnKastchen und fullt drei davonmit Begriffen, die sie bzw. er

gut erklaren kann. Nuntauschen sich die Lernenden

in der Klasse aus underklaren sich die gewahltenBegriffe gegenseitig. Hat der

bzw. die Gegenuber denBegriff verstanden, so darf erin ein leeres Kastchen gefullt

werden, bis dasPanini-Album gefullt ist.

Pause11:00 -11:30

Plenum Prasentation(Prezi)

Uberblick uber zu

bearbeitende Themen :Den Schulerinnen und

Schulern werden in einerPrezi-Prasentation die

Themen fur die kommendenTage uberblicksmaßig

prasentiert. Eine Prezi eignetsich hierfur besonders gut,

weil der Zusammenhang dereinzelnen Themenbereichegut sichtbar gemacht wird.

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11:30 -11:40

Plenum Gruppeneinteilung :Jedes Thema wird einem

Platz im Raum zugeordnet,jede Schulerin bzw. Schuler

soll zu dem praferiertenThema gehen. Dabei soll

darauf geachtet werden, dassjedes Thema ausreichendbesetzt ist. Innerhalb der

Themenbereiche werden nunjeweils drei Gruppen durch

Losung ermittelt.11:40 -11:50

Kleingruppe Kurze Besprechung zum

folgenden Tag :Die Schulerinnen und Schuler

sollen sich in Bezug aufArbeitsweise undArbeitseinteilung

selbststandig organisieren.

7.2 Arbeit in Kleingruppen

Bei der Arbeit in Kleingruppen wird darauf geachtet, dass es den Schulerinnenund Schulern freisteht, sich in ein Thema ihrer Wahl zu vertiefen und dazuein Portfolio zu gestalten. Dazu stehen zwei Bereiche zur Wahl, welche imfolgenden Abschnitt naher erlautert werden.

Gearbeitet wird nach dem Prinzip des Gruppenpuzzles - auch unter demNamen Jigsaw-Methode - bekannt. Die Schulerinnen und Schulern findensich zur jeweiligen Thematik in einer Gruppe A zusammen und sind nachder Erarbeitung auf diesem Gebiet Expertinnen und Experten. Im Anschlussan die Erarbeitungsphase werden neue Gruppen B gebildet, welche zu jedemThemenbereich Expertinnen bzw. Experten enthalten. Nahere Informatio-nen zu dieser Methode sind bei Preska [6, S.27] nachzulesen.

In den neu gebildeten Gruppen B erfolgt nun ein Austausch der je-

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weils gewonnenen Informationen. Ziel ist es, dass alle Schulerinnen undSchuler sich zwar in einen Bereich vertieft haben, aber dennoch einen Ge-samtuberblick sowie Verstandnis zur Thematik entwickeln. Zur Wissens-festigung werden zu den einzelnen Bereichen gemeinsam Plakate gestaltet.Hierbei durfen die Schulerinnen und Schuler ihrer Kreativitat freien Lauflassen. Beispielsweise konnen die Plakate als Mindmaps oder Conceptmapsgestaltet werden, aber auch Moglichkeiten sind denkbar.

7.3 Gruppe 2: Eulerscher Polyedersatz

Diese Gruppe eignet sich vor allem fur Schuler und Schulerinnen, die sichauf eine sehr analytische und theoretische Weise dem Thema der spharischenGeometrie nahern mochten. Im Mittelpunkt steht die Herleitung des Euler-schen Polyedersatz mit Hilfe der Flachenformel von Harriot und Girard. DieArt und Weise wie der Euler’sche Polyedersatz bewiesen werden soll, rich-tet sich nach der Beweisdurchfuhrung in Kapitel 4.Der Gruppe werden vie-le Materialien zur Verfugung gestellt, die den Arbeitsprozess unterstutzenund erleichtern sollen. Die Beweisdurchfuhrung erfolgt unterteilt in meh-rere Phasen, um sich langsam an die spharische Geometrie heran tastenzu konnen und die Arbeitsschritte vertiefend zu verstehen. Nachdem dieSchuler und Schulerinnen den Beweis durchgefuhrt und verinnerlicht haben,ist ihre Aufgabe diesen fur alle weiteren MitschulerInnen verstandlich nie-derzuschreiben. Ziel dieser Gruppenarbeit ist somit ihre Arbeit als Portfoliozu dokumentieren.

7.3.1 Phase 1

Vorrangig gilt es zu verstehen, wie sich im Allgemeinen eine Kugel in ein FKugeldreieck unterteilen lasst. Um dies fur alle SchulerInnen greifbar zu ma-chen, ist es eine große Hilfe mit Styroporkugel zu arbeiten, die zur Verfugunggestellt werden. Die V Punkte lassen sich mit V Pinnadeln abstecken, die EGroßkreisbogen durch E Gummibander darstellen, sodass daraus im End-effekt F Dreiecke auf der Kugeloberflache entstehen. Auf dieser Darstellungbasieren alle weiteren Schritte, weshalb es von großer Wichtigkeit ist, dasser von allen SchulerInnen verstanden wird. Man kann durch diese Art derVerbildlichung auch den haptischen und visuellen Lerntypus ansprechen, umsicherzustellen, dass auf Differenzierung im unterricht geachtet wird.

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7.3.2 Phase 2

Fur den nachsten Schritt wird mit einer Karteikarte gearbeitet. Auf derVorderseite stehen Tipps und Anhaltspunkte, auf der Ruckseite die Losung.Erster Hinweis ist, dass die SchulerInnen sich an die Flachenformel einerKugel erinnern sollen und diese durch Festlegung von r = 1 vereinfachen.Darunter ist die Flacheninhaltsformel von Harriot und Girard notiert. ImPrinzip besteht hierbei die Aufgabe lediglich darin, diese beiden Formeln zuverbinden. Es schafft die Grundlage fur die weitere Beweisdurchfuhrung. Umihre Schritte zu prufen konnen die SchulerInnen die Karte einfach wenden.

7.3.3 Phase 3

Auf der Vorderseite ist als Anhaltspunkt vermerkt, dass man eine andereArt suchen soll, die Winkelsumme der Kugeloberflache zu berechnen. Tipp:Fokus auf die Ecken. Die Ruckseite enthalt folgende Erklarung: Wir greifennun fur Phase 3 auf eine andere Perspektive zur Berechnung der Winkel-summen zuruck. Betrachtet man namlich die V Punkte, erkennt man, dasssich jeweils darum eine Winkelsumme von 360 Grad summiert. Multipliziertman die Anzahl der Ecken mit 360 Grad, so erhalt man die Winkelsummeder Kugeloberflache.Naturlich haben die SchulerInnen laufend ihr Kugelmodell in der Hand, wo-durch der Denkprozess erleichtert werden soll. Bevor die SchulerInnen zumnachsten Schritt gehen, ist die genau Nomenklatur auf der Ruckseite vor-handen, damit rein formell alle am selben Stand sind. Denn wichtig ware esjetzt noch korrekt umzuformen, um die Arbeit fur Phase 4 zu erleichtern.

7.3.4 Phase 4

In der nachsten Phase machen wir von dem Verhaltnis 3F = 2E Gebrauch.Die Angabe lautet wie folgt: Zum besseren Verstandnis beginnen wir miteinem Beispiel. Wir haben ein allgemeines Tetraeder gegeben, mit 4 Drei-ecken und 6 Kanten. Diese beschriften wir mit den Kanten 1-6 und denDreiecksflachen a-d. Wir stellen anschließend den Zusammenhang zwischenDreiecken und Kanten in Form eines Raster dar. Jedes dunkle Feld bedeu-tet, dass das Dreieck von dieser Kante eingeschlossen wird. Dies sollen dieSchulerInnen selbst mithilfe eines Rasters ausprobieren. Falls es nach demBeispiel noch nicht klar ist, kann das Verhaltnis auch mit anderen Zahlen

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verbildlicht werden.

7.3.5 Phase 5

Zum Abschluss wollen in die folgende Formel das Verhaltnis 3F = 2E ein-setzen.

4π = 2πV − πF

Wodurch sich durch Kurzen auf den Eulerschen Polyedersatz schließen lasst.

2πV − 2πE + 2πF = 4π

V − E + F = 2

7.3.6 Ergebnissicherung

Was genau im Portfolio stehen soll, wird zum Großteil der Gruppe nichtvorgegeben. Es sollte den SchulerInnen verdeutlicht werden, dass bevor siebeginnen das Portfolio zu erstellen, es von großer Wichtigkeit ist, den Ablaufdes Beweises genau zu verstehen und verinnerlichen. Das Ziel der Aufarbei-tung im Portfolio ist, die Thematik so auszuarbeiten, dass sie auch fur dieMitschulerInnen verstandlich ist, die sich nicht mit dem Beweis beschaftigthaben. Spannend ist dabei vor allem, dass sich die SchulerInnen untereinan-der, die Themen oft ganz anders erklaren als LehrerInnen, da sie von einemanderen Ausgangspunkt aus argumentieren. Zusatzlich ist die Aufgabe derGruppenarbeit, dass ein Plakat angefertigt wird, das die Thematik kurz auf-zeigt. Dieses wird spater fur die Methode des Museumsrundgang benotigt.

7.4 Gruppe 3: Seitenkosinussatz und Google Maps

Diese Gruppe ist fur Schuler und Schulerinnen geeignet, die gerne Anwen-dungsbeispiele, die einen gewissen Realitatsbezug haben, berechnen. Unteranderem sollten sie auch bereit sein Begrundungen und Uberlegungen furgewisse Theorieteile aufzustellen. Außerdem mussen sie fahig sein, sich Stoffselbst anzueignen. Zu Bearbeitung der Beispiele sind Laptops, Tablets, Han-dys oder ahnliches notwendig. Am Ende der Projekttage sollten sie in derLage sein, den Seitenkosinussatz mit all seinen Eigenschaften und Begriffenzu erklaren.

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7.4.1 Arbeitsaufteilung

Zu Beginn mussen sich die Schuler und Schulerinnen nochmal selbst in dieTheorie des Seitenkosinussatzes einlesen. Die Materialien werden dafur vonden Lehrpersonen zur Verfugung gestellt. Danach mussen sie zwei, von denLehrpersonen gestellten Aufgaben, berechnen und beantworten. Außerdemsollen sie sich selbst ein Beispiel, das den gestellten ahnlich ist, uberlegen.Am Ende der Tage mussen sie auch ein Portfolio und ein Plakat erstellthaben.

7.4.2 Aufgabe 1

Ihr wollt gemeinsam von Wien nach Kairo reisen und den kurzesten Wegberechnen.

a) Finde die richtigen Langen- und Breitengrade fur Wien und Kairo undgib diese an!

b) Gib alle Werte an, die du zur Berechnung des kurzesten Weges brauchstund die von dir verwendete Form des Seitenkosinussatzes!

c) Berechne den kurzesten Weg und finde heraus wie lange der Weg ist,den Google Maps fur das Auto angibt! Warum sind diese nicht gleichgroß?

d) Recherchiere online, wie die Berechnung eines Weges mit Google Mapsfunktioniert? Wird auch hier der Seitenkosinussatz verwendet?

e) Gib die Richtungen von Wien nach Kairo und von Kairo nach Wienan!

7.4.3 Aufgabe 2

Nun wollt ihr von Paris nach Moskau kommen!

a) Finde die richtigen Langen- und Breitengrade fur Paris und Moskauund gib diese an!

b) Gib alle Werte an, die du zur Berechnung des kurzesten Weges brauchstund die von dir verwendete Form des Seitenkosinussatzes!

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c) Berechne den kurzesten Weg und finde heraus wie lange der Weg ist,den Google Maps fur das Auto angibt! Warum sind diese nicht gleichgroß?

d) Vergleiche die kurzesten Wege und die Wege von Google Maps fur dasAuto der beiden Aufgaben. Was fallt euch auf? Gibt es Unterschiede?Wenn ja, kannst du sie begrunden?

e) Gib die Richtungen von Paris nach Moskau und von Moskau nachParis an! Erklare deine Vorgehensweise und Rechenschritte.

7.4.4 Aufgabe 3

Uberlegt euch selber ein Beispie wie in Aufgabe 1 und 2. Dieses Beispielmuss mindestens funf Fragen haben und auf jeden Fall beinhalten:

• die Berechung des kurzesten Weges mit Rechenweg

• die Richtungsangabe in beide Richtungen

Dieses Beispiel kann sowohl dazu passende Internetrecherchen als auch lo-gische Begrundungen beinhalten.Die Schuler und Schulerinnen sollen bei diesem Punkt kreativ werden.

7.4.5 Portfolio und Plakat

Am Ende der Projekttage mussen die Schuler und Schulerinnen ein Portfoliouber den Seitenkosinussatz und seine Anwendung fur die Teilnehmer undTeilnehmerinnen der anderen Gruppen erstellt haben. Es soll sowohl dieTheorie als auch die Aufgaben beinhalten.

Bei der Theorie ist es ihnen großteils selbst uberlassen, was und wiegenau sie es ins Portfolio schreiben. Es muss aber die Definition des Seiten-kosinussatzes, der Kurswinkel und die Richtungsangabe vorhanden sein.

Es mussen alle Aufgaben mit Rechenwegen und Begrundungen im Port-folio stehen. Bei Angaben aus dem Internet mussen die Schuler und Schulerinnenihre Quellen dazu schreiben.

Die anderen Schuler und Schulerinnen mussen im Stande sein an Handdieses Portfolios sich das Thema zu erarbeiten. Deshalb ist es wichtig, dasssich die Schuler und Schulerinnen genau uberlegen, was sie ins Portfolio

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schreiben. Teilweise ist es gut mehr zu schreiben, damit es die anderen bes-ser verstehen.Auf dem Plakat wird das Thema Seitenkosinussatz und seine Anwendungnur kurz dargestellt. Es soll die wesentlichen und wichtigsten Inhalte ent-halten. Die Gestaltung des Plakates ist ganz den Schulern und Schulerinnenuberlassen. Sie konnen ihrer Kreativitat freien Lauf lassen.

7.5 Ergebnissicherung

Am Abschlusstag werden die gestalten Plakate in der Klasse verteilt auf-gehangt. Die Klasse wird zu einer Galerie bzw. Ausstellung umfunktioniert.Bei der Methode des Museumsrundgangs bewegen sich die Schulerinnen undSchuler durch die Galerie und besprechen gemeinsam die Themen der Pla-kate. Laut Klippert-Medien [7] wird dadurch das Wissen der Schulerinnenund Schuler erweitert.

Nun ist es den Schulerinnen und Schulern moglich, sich andere Ergeb-nisse anzusehen, nachzufragen und ihr Wissen zu erweitern. Im Anschlusswird eine Quizshow fur die Schulerinnen und Schuler erstellt, in welcher sieihr neu erworbenes Wissen unter Beweis stellen konnen. Hierbei treten dieGruppen B gegeneinander an. Die Quizshow ermoglicht Lehrkraften eineErgebnissicherung und hilft dabei zu erkennen, bei welchen Themen nochErklarungsbedarf besteht. Des Weiteren entsteht durch diese Methode auchfur die Schulerinnen und Schuler ein Spaßfaktor. Abgerundet wird der Tagmit einer Abschlussreflexion. Hierbei sollen die Schulerinnen und Schuler ler-nen, ihren personlichen Lernweg sowie die Arbeit im Team zu reflektieren.Diese Reflexion bietet wesentliche Aspekte fur weiterfuhrende bzw. folgendeProjekte.

Der zeitliche Ablauf dieses Unterrichtstags ist in der nachfolgenden Ta-gesplanung aufgelistet.

Uhrzeit Sozialform Materialien Konkrete Durchfuhrung8:00 - 8:10 Plenum Plakat

(Ablauf)Begrußung und Erklarung

des Tagesablaufs

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8:10 - 8:30 Kleingruppe GestaltetePlakate,Schere,Tixo,Papier

Umgestaltung der Klasse

als Galerie :Zu jedem Plakat wird ein

extra Blatt Papier geklebt,um Fragen, Anregungen oder

Erganzungen notieren zukonnen.

8:30 - 8:50 Kleingruppe Galerie Museumsrundgang

Pause9:00 - 9:20 Kleingruppe Galerie Museumsrundgang

9:20 - 9:50 Plenum Galerie Wissenssicherung :Nun werden etwaige Fragen,

Anregungen oderErganzungen besprochen.Auch die Lehrkraft stellt

Fragen zu einzelnenThemenbereichen und fordert

den Austausch im Plenum.Pause10:00 -10:30

Einzelarbeitbzw. Klein-

gruppe

Portfolio Uberarbeitung des

Portfolios :Die Schulerinnen und Schuler

bekommen nun, nach demAustausch sowie dem

Museumsrundgang, nocheinmal die Moglichkeiten,

Kleinigkeiten in ihremPortfolio zu ihremThemenbereich zu

uberarbeiten.

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10:30 -10:40

Plenum Portfolio,Galerie,Sessel,

Tische, PC,Beamer

Raumumgestaltung :Nun werden die Portfolios

abgegeben, die Galerie wirdabgehangt und ebenfalls derLehrkraft abgegeben. Sesselund Tische werden fur diejeweiligen Gruppen fur das

nachfolgende Quiz aufgebaut.Auch die Technik dazu wird

gestartet.Pause10:50 -11:20

Kleingruppeim Plenum

PC,Beamer,

Programmmit

Quizfragen,Troten,Sessel,Tische,

Punktetafel

Quizshow :Die Kleingruppen B treten

gegeneinander an.Gruppenweise sitzen die

Teilnehmerinnen undTeilnehmer an Tischenzusammen. Die Fragen

werden uber den Beamereingeblendet und von der

Lehrkraft vorgelesen. Sobaldeine Gruppe die Antwort auf

die Frage weiß bzw. einrichtiges Ergebnis berechnethat, so darf die Gruppe dieTrote verwenden und das

Ergebnis laut sagen. Ist dasErgebnis richtig, so erhalt dieGruppe einen Punkt auf diePunktetafel. Bei falschem

Ergebnis geht allerdings einPunkt verloren.

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11:20 -11:25

Plenum Hausubungs-gutschein

pro Personim Gewin-nerteam

Siegerehrung

11:25 -11:30

Plenum Tische,Sessel

Zuruckstellen der T isch−und Sesselordnung

11:30 -11:50

Plenumbzw. Ein-zelarbeit

Reflexions-bogen,Stifte,kleine

Zettel, Box

Abschlussreflexion :Die Schulerinnen und Schuler

sollen ihren personlichenLernprozess sowie

Organisation und Teamarbeitstill fur sich reflektieren.Dazu erhalten sie einen

Reflexionsbogen, welcher demSchema eines Briefes ahnelt.

Die Lernenden schreibendemnach einen Brief an sich

selbst, daruber was siebereits konnen und was sienoch lernen mussen. Diesen

Brief durfen sie sich behalten.Zusatzlich werden kleine

Zettel verteilt, auf welche siepositive oder

verbesserungswurdigeBereiche bzw. Situationen

der Projektwoche schreibendurfen. Diese Zettel werdenanonym in eine Box gegebenund dienen der Lehrkraft zurRuckmeldung. Abschließendwird die Projektwoche noch

mundlich reflektiert.

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Literatur

[1] Filler Andreas, Euklidische und nichteuklidische Geometrie. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1993.

[2] David S. Richeson, Euler’s Gem.Princeton Univerity Press, 2008.

[3] Rosenberg Karl, Methodisch geordnete Sammlung von Aufgaben ausder Arithmetik und Geometrie., Holder-Pichler-Tempsky, 1965.

[4] Schuppar Berthold, Geometrie auf der Kugel: Alltagliche Phanomenerund um Erde und Himmel. Springer Spektrum, 2017.

[5] Todhunter I., Spherical Trigonometry: For the use of colleges andschools. Macmillian and Co, 2006.

[6] Preska A., Bedingungen fur den Erfolg kooperativer Lernformen. For-schungsstand, Lernwirksamkeit und die Methode des Gruppenpuzzles.Diplomica Verlag, 2015.

[7] Klippert-Medien. Methoden-Kartei fur die Sekundar-stufe. 48 Lernkarten mit Kurzbeschreibung und Bildzu jeder Methode. Online: https : //www.klippert −medien.de/media/ntx/klippert/sample/09248Musterseite.pdf [22.05.2018],o.J.

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