Click here to load reader

Seminarski Istorijski Razvoj Teorije Elasticnosti

  • View
    45

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Istorija teorije elastičnosti

Text of Seminarski Istorijski Razvoj Teorije Elasticnosti

  • SEMINARSKI RAD

    Predmet: Istorijski razvoj fizike

    Tema: Istorijski razvoj teorije elastinosti

    Univerzitet u Novom Sadu

    Prirodno-matematiki fakultet

    Departman za fiziku

    Studenti:

    Dejan Ajdai (115/09)

    Miroljub Arbutina

    Luka Gartner (155/09)

    Igor Marinkovi (52/09)

    Dragana Mogu (188/09)

    Jovan Odavi (481/09)

    Tatjana Pukarov (508/09)

    Profesor:

    prof. dr. Darko Kapor

  • 2

  • SadrajSadraj ............................................................................................................................ 3

    1 Uvod ............................................................................................................................ 5

    2 Otpornost materijala u 17. veku .................................................................................. 6 2.1 Galilej (Galileo Galilei) (1564-1642) ............................................................................. 6 2.2 Huk (Robert Hooke) (1635-1703) .................................................................................. 8 2.3 Mariot (Edme Mariotte) (1620-1684) ............................................................................. 9

    3 Elastine krive ........................................................................................................... 10 3.1 Bernuli (Jacob i Daniel Bernoulli) ................................................................................ 10 3.2 Ojler (Leonard Euler) (1707-1783) ............................................................................... 11 3.3 Lagran (Joseph Louis Lagrange) (1736-1813) ............................................................ 14

    4 Otpornost materijala u osamnaestom veku ............................................................... 16 4.1 Paran (Antoine Parent) (1666-1716) ............................................................................. 16 4.2 Kulon ( Charles Augustin de Coulomb ) (1736-1806) .................................................. 17

    5 Otpornost materijala izmeu 1800. i 1833. godine ................................................... 22 5.1 Navije (Claude-Louis Navier) (1785-1836) .................................................................. 22 5.2 Eksperimentalni rad francuskih ininjera izmeu 1800. i 1830. godine ........................ 28 5.3 Ponsele (Jean-Victor Poncelet) (1788-1867) ................................................................ 29 5.4 Jang (Thomas Young) (1773-1829) .............................................................................. 31 5.5 Otpornost materijala u Engleskoj izmeu 1800. i 1833. ............................................... 34 5.5 Ostali znaajni doprinosi evropskih naunika nauci o otpornosti materijala ................. 35

    6 Poeci matematike teorije elastinosti ..................................................................... 36 6.1 Jednaine ravnotee u teoriji elastinosti ...................................................................... 36 6.2 Koi (Augustin-Louis Cauchy) (1789-1857) ................................................................ 38 Poason (Simon Denis Poisson) (1781-1840) ................................................................... 40

    7 Matematika teorija elastinosti izmeu 1833. i 1867. ............................................. 42 7.1 Fizika elastinost i spor o elastinoj konstanti ............................................................ 42 7.2 Rani radovi u oblasti elastinosti na Kembridu ........................................................... 45 7.3 Stouks (George Gabriel Stokes) (1819-190.) ................................................................ 46 7.4 Bare de Sen-Venan (Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant) (1797-1886) ........ 47 7.5 Franc Nojman (Franz Neumann) (17981895) ............................................................. 50 7.6 Kirhof (Gustav Robert Kirchhoff) (18241887) ........................................................... 52 7.7 Lord Kelvin (William Tomson) (1824 1907) ............................................................. 55

    8 Zakljuak ................................................................................................................... 57

    Reference ...................................................................................................................... 58

    3

  • 4

  • 1 Uvod

    Jo od najranijih vremena, kada su ljudi tek poinjali da grade, shvatili su da treba da znaju vie o otpornosti graevinskih materijala, kako bi mogla da se ustanove pravila za odreivanje sigurnosnih dimenzija pojedinih konstruktivnih elemenata. Jo Egipani su bez sumnje imali neka empirijska pravila te vrste, jer bi bez njih bilo nemogue sagraditi onakve ogromne spomenike, hramove, piramide i obeliske, od kojih neki jo i danas postoje. Stari Grci su dalje unapredili vetinu graenja. Oni su razvili statiku, koja predstavlja podlogu mehanike materijala. Arhimed (287-212 p.n.e.), pri konstruisanju raznih sprava za dizanje tereta, je koristio svoje teorije. On je i ocrtao metodu za iznalaenje teita krutih tela.

    Rimljani su bili veliki graditelji. Iz njihovih vremena dotrajali su do naih dana ne samo spomenici i hramovi, ve i putevi, mostovi i utvrenja. Mi znamo neto o njihovim metodama graenja preko Vitruvijeve knjige, iji je autor bio uveni rimski arhitekt i inenjer za vreme imperatora Avgusta. Ta knjiga opisuje tadanje rimske graevinske materijale i vrste konstrukcija. Rimljani su esto primenjivali lukove i svodove u svojim graevinama. Poreenje dimenzija rimskih lukova sa savremenim lukovima pokazuje da su dananje konstrukcije znatno lake. Rimljanji nisu imali tu pogodnost da se mogu koristiti analizom napona. Oni nisu znali kako da izaberu odgovarajui oblik, pa su obino uzimali polukruni luk relativno malog raspona.

    Najvei deo znanja od strane Grka i Rimljana u pogledu graevinskog inenjerstva, izgubljen je u Srednjem Veku, tako da je to znanje obnovljeno tek sa Renesansom. Za vreme Renesanse oivelo je i zanimanje za nauke i vetine, pa su se pojavili istaknuti vetaci u arhitekturi i inenjerstvu.

    Leonardo da Vini (1452-1519) bio je najistaknutiji ovek svoga vremena. On je bio ne samo vodei umetnik tog perioda, ve je bio i veliki naunik i inenjer. Leonardo da Vini veoma se zanimao za mehaniku; u jednoj od svojih beleaka, on kae: Mehanika je raj matematike nauke, jer tek ovde mi ubiramo plodove matematike. On primenjuje pojam principa virtuelnih pomeranja da bi analizirao razne sisteme koturaa i poluga, primenjenih u dizalicana. Leonardo da Vini je prouavao otpornost materijala putem eksperimenata. Razmatrao je i otpornost greda, pa je ustanovio sledei opti princip: Kod svakog elementa, koji je oslonjen, ali je slobodan da se savija, ima podjednaki popreni presek i od istorodnog je materijala, najudaljeniji deo oslonca e se najvie poviti. Leonardo da Vini je vrio izvesna

    5

    Slika 1.1 Pont du Gard, rimski akvadukt sagraen oko 19. godine p.n.e.

  • istraivanja i u oblasti nosivosti stubova. On konstantuje da nosivost stuba opada sa njegovom duinom, a da raste u izvesnom odnosu sa njegovim poprenim presekom.

    Prvi pokuaji da se nau pouzdane dimenzije graevinskih elemenataputem matematike analize nainjeni su tek u XVII veku. Galilejeva uvena knjiga Due nuove scienze (Dve nove nauke) pokazuje jasno njegove napore da pronae metodu pomou koje bi se mogla izvriti analiza napona u logikom redosledu. To predstavlja poetak nauke o otpornosti materijala.

    2 Otpornost materijala u 17. veku2.1 Galilej (Galileo Galilei) (1564-1642)

    Galileo Galilej je roen u Pizi, a bio je potomak jedne plemiske firentinske porodice. Osnovno obrazovanje na latinskom i grkom jeziku je dobio u jednom manastiru blizu Firence. Godine 1581. poinje da studira medicinu na Univerzitetu u Pizi. Meutim, njega privlae predavanja iz matematike i posveuje se prouavanju Euklidovih i Arhimedovih dela. Godine 1585. je morao da napusti Univerzitet zbog oskudice u novcu i vratio se kui u Firenci. Tamo je Galilej nastavio svoj rad u nauci. Godine 1586. napravio je hidrostatiku vagu za merenje gustine raznih supstanca, a bavio se i problemom poloaja teita vrstih tela. Sredinom 1589. godine poinje da radi kao profesor matematike na Univerzitetu u Pizi.

    Godine 1594. Galilej je napisao svoje uveno delo o mehanici Della Scienza Mechanica. U tom radu razmatrani su razni problemi iz statike, uz primenu principa virtuelnih pomeranja. U isto to vreme, u vezi sa nekim problemima iz oblasti brodogradnje, Galilej se zainteresovao za otpornost materijala. Uskoro je astronomija privukla Galilejevu panju. U periodu kada je svojih poslednjih osam godina proveo u svojoj vili, u strogoj izolaciji, usled osude Inkvizicije, napisao je svoju slavnu knjigu Duo nuove scienze u kojoj je rekapitulisao rezultate svog dotadanjeg rada u raznim podrujima mehanike. Knjiga je izdata 1638. kod Elzevira u Lajdenu. Onaj deo knjige, koji se odnosi na mehanike osobine graevinskih materijala i na otprornost greda, prestavlja prvu publikaciju na polju otpornosti materijala, tako da istorija mehanike elastinih tela poinje sa tom knjigom.

    itav Galilejev rad na mehanici materijala sadran je u prva dva dijaloga njegove knjige Dve nove nauke. On poinje sa nekoliko zapaanja koja je nainio za vreme svojih poseta jednom venecijanskom arsenalu, te diskutuje o geometrijski slinim konstrukcijama. On kae: Jedan mali obelisk ili stub ili drugo koje slino telo moe se postaviti ili uspraviti bez opasnosti da e se slomiti, dok e se vrlo veliki obelisk raspasti i zbog najmanjeg uzroka, i to samo zbog svoje sopstvene teine.

    Da bi to i dokazao, on poinje sa posmatranjem otpornosti materijala pod istim zatezanjem pa ustanovljava da je jaina jednog tapa srazmerna povrini njegovog

    6

    Slika 2.1.1 Galilej

  • poprenog preseka, a da ne zavisi od duine. Tu jainu tapa Galilej naziva apsolutnom otpornou na kidanje, pa daje i neke brojke koje se odnose na vstou na kidanje bakra.

    Poznajui apsolutnu otpornost tapa, Galilej istrauje otpornost na slom istog tapa ako se on upotrebi kao konzola, optereena na svom kraju. On kae: Jasno je da e se greda slomiti u taki gde ivica leita deluje kao oslonac poluge, na koju deluje sila; debljina grede je drugi krak poluge, du koga se vri otpor. Taj otpor se suprotstavlja odvajanju dela koji lei van zida od dela koji je uzidan. Iz prethodnog izlaganja proistie da se veliina sile koja deluje odnosi prema velini otpora, koji se sadri u debljini prizme, tj. u povezanosti baze sa uzidanim delom u istoj srazmeri kao polovina debljine duine tapa prema duini poprenog preseka.

    Iz ovoga se vidi da Galilej uzima da je u trenutku sloma otpornost ravnomerno raspodeljena po poprenom preseku. Uzevi da tap ima pravougaoni presek i da se materijal pokorava Hukovom zakonu sve do sloma, mi ustvari dobijamo dijagram raspodele napona.

    Na osnovu svoje teorije, Galilej izvlai nekoliko znaajnih zakljuaka. Posmatrajui gredu pravougaonog poprenog preseka, on postavlja pitanje: Kada i u kojoj srazmeri jedan tap ili prizma, ija je irina vea od njene debljine, prua vei otpor slomu ako sila deluje u pravcu irine, nego kada sila deluje u pravcu debljine?. Koristei se svojom pretpostavkom on daje pravilan zakljuak: Ma koji dati lenjir ili prizma, ija je irina vea od njene debljine, pruie vei otpor slomu ako lei na svojoj ivici nego ako lei pljotimice i to u srazmeri irine prema debljini.

    Razmatrajui dalje problem grede-konzole i zadravajui uvek isti popreni presek, Galilej zakljuuje da momenat savijanja, koji potie od sopstvene teine grede, raste srazmerno kvadratu duine. Posmatrajui geometrijski sline grede-konzole pod dejstvom njihove sopstvene teine, Galilej zakljuuje da momenat savijanja na mestu njihovog ukljetenja raste sa etvrtim stepenom duine, dok je otporni momenat srazmeran kubu linearnih dimenzija. To ukazuje na injenicu da geometrijski sline grede nisu podjednako otporne. Grede postaju utoliko slabije, ukoliko njihove dimenzije rastu , tako da napokon, kada postanu veoma velike, one se mogu slomiti pod samom svojom sopstvenom teinom. On zapaa da , ako se eli odrati ista jaina greda, njihove poprene dimenzije moraju rasti relativno bre nego duina grede.

    Imajui ova razmatranja na umu, Galilej daje sledee znaajno opte zapaenje: Moe se lako zapaziti nemogunost poveavanja veliine graevina do vrlo velikih dimenzija po vrsti ili prirodi, kao i nemogunost graenja brodova, dvoraca ili hramova ogromnih veliina i to tako da se njihova vesla, jarboli, grede, gvozdeni

    7

    Slika 2.1.2 Ilustracija konzole iz Dve nove nauke, demonstrira Galilejevo otkrie da se sila potrebna za pucanje grede poveava sa kvadratom njene duine

  • klinovi i ukratko svi njihovi delovi dre skupa; ni priroda ne moe proizvesti drva prekomerne veliine, jer bi se njihove grane polomile pod svojom sopstvenom teinom. Isto tako bilo bi nemogue napraviti kotanu konstrukciju ljudi, konja ili drugih kakvih ivotinja tako da se sve to dri skupa i vri svoje normalne funkcije kada bi to bilo ogromno poveano u visinu. Takvo poveanje u visinu bilo bi mogue samo uz primenu nekog vreg i tvreg materijala nego to je uobiajen, ili uz poveanje dimenzija kostiju, menjajui tako oblik i izgled ivotinja sve dok ivotinje ne bi postale sline udovitima Ako se veliina nekog tela smanjuje, jaina tog tela se ne smanjuje u istoj srazmeri; u stvari, to manje telo, u toliko je njegova relativna jaina vea. Tako jedan pas moe da nosi na svojim leima dva do tri psa iste veliine, dok ja verujem da jedan konj ne bi moda mogao poneti ni jednog konja svoje veliine.

    2.2 Huk (Robert Hooke) (1635-1703)

    Robert Huk je roen kao sin parohijskog svetenika koji je iveo na Ostrvu Uajt. Sa svojih trinaest godina upisan je u Vestminstersku kolu gde je uio latinski, grki i neto hebrejskog jezika i upoznao se sa osnovama Euklidove geometrije i sa drugim matematikim pojmovima. Na koledu u Oksfordu je doao u dodir sa nekoliko naunika, pa poto je bio vet mehaniar, on im je pomagao pri njihovim eksperimentima.

    Godine 1662. na preporuku Roberta Bojla, Huk je postavljen za staratelja nad eksperimentima Kraljevskog Drutva, tako da su njegovo poznavanje mehanike i njegova inventivna sposobnost doli do izraaja u korist Drutva.

    Tokom 1663-1664. godine Robert Huk se zainteresovao za mikroskopiju, pa je naredne 1665. godine izala njegova knjiga Mikrografija. U njoj ne nalazimo samo obavetenja o Hukovom mikroskopu, ve i opise njegovih znaajnih otkria.

    Posle velikog poara u Londonu, septembra 1666. godine, Huk je nainio model koji je sadrao njegov predlog za obnovu grada, pa ga je gradska uprava odredila za nadziratelja gradnje. On se pokazao kao veoma aktivan na poslu obnove grada, pa je i projektovao nekoliko graevina.

    Godine 1678. objavljen je njegov rad De Potentia Restituiva ili O Opruzi. Knjiga sadri rezultate Hukovih eksperimenata sa elastinim telima. To je prvi objavljeni rad u kom se raspravlja o elastinim osobinama materijala. U pogledu eksperimenata on kae: Uzmite jednu strunu ice, pa njen gornji kraj privrstite za esker, a za donji kraj priveite terazijski tas u koji ete stavljati tegove. Tada izmerite udaljenost dna tasa od zemlje ili od poda i pribeleite veliinu tog rastojanja. Potom stavite tegove u pomenuti tas pa merite razna izduenja pomenute strune i pribeleite ih. Tada uporedite razna izduenja pomenute strune ice, pa ete nai da ona stoje u istoj srazmeri kao i tegovi, koji su ih prouzrokovali.

    8

    Slika 2.2.1 Huk

  • Huk opisuje i eksperimente sa helikoidalnim oprugama, sa asovnikim oprugama, savijenim u spiralu i sa komadom suvog drveta, koji e se saviti i vratiti natrag , ako njegov jedan kraj ukljetimo u horizontalan poloaj, a o drugi kraj obesimo terete pod kojima e se drvo poviti nadole. On ne samo to diskutuje o ugibanju te drvene konzole, ve razmatra i deformacije podunih vlakana, pa dolazi do znaajnog zakljuka da su vlakna na gornjoj, konveksnoj strani zategnuta, a da su vlakna na konkavnoj strani pritisnuta. Iz svih tih eksperimenata Huk izvlai sledei zakljuak:

    Vrlo je oigledno da je Zakon za svako telo slino opruzi da je sila ili snaga njegova, koja ga vraa u njegov prvobitni prirodni poloaj uvek srazmerna udaljenosti ili prostoru za koliko je ono odmaknuto od prirodnog svog poloaja, pa bilo da je to postignuto razmicanjem njegovih krajeva jednog od drugog, ili pribliavanjem krajeva. To se zapaa ne samo u tim i takvim telima, ve u svim bilo kakvim elastinim telima, bio to metal, drvo, kamenje, peena zemlja, vlasi, rogovi, svila, kosti, strune, staklo i slino

    Kao to vidimo, Robert Huk je ne samo uspostavio odnose izmeu veliina sila i deformacija koje one proizvode, ve je takoe i sugerisao neke eksperimente u kojima se ti odnosi mogu iskoristiti za reavanje nekih vrlo vanih problema. Taj linearni odnos sile i deformacije poznat je pod imenom Hukov zakon, koji je kasnije posluio kao osnova na kojoj je izgraen dalji razvoj mehanike elastinih tela.

    2.3 Mariot (Edme Mariotte) (1620-1684)

    Proveo je najvei deo svog ivota u Dionu, gde je bio nastojatelj manastira. On je postao (1666) jedan od prvih lanova Francuske Akademije Nauka, i mnogo je doprineo uvoenju eksperimentalnih metoda u francusku nauku. Njegovi eksperimenti sa vazduhom doveli su do poznatog Bojl- Mariotovog zakona, prema kome je, pri datoj masi nekog gasa i pri konstantnoj temperature, proizvod zapremine i pritiska gasa konstantan. Mariotova istraivanja u oblasti elektriciteta nalaze se u njegovom radu o kretanju fluida. Eksperimentiui sa staklenim i drvenim tapovima, on je naao da je Galilejeva teorija davala preuveliane vrednosti za optereenja pri kojima dolazi do sloma, pa je stoga razradio svoju sopstvenu teoriju savijanja, u kojoj su elastina svojstva materijala uzeta u obzir.

    Mariot je znatno doprineo unapreenju teorije u oblasti mehanike elastinih tela. Uvodei posmatranje elastinih deformacija, on je poboljao teoriju savijanja greda, a potom je primenio eksperimentalnu metodu da proveri svoju hipotezu. Isto tako, on je eksperimentalno proveravao neke Galilejeve zakljuke u pogledu naina menjanja jaine grede sa promenom raspona. On je prouavao i uticaj ukljetenja oslonaca na porast jaine grede, a dao je i obrazac za krajnju vrstou cevi, izloenih unutranjem pritisku.

    9

  • 3 Elastine krive3.1 Bernuli (Jacob i Daniel Bernoulli)

    Zapoet na kontinentu od strane Lajbnica, infinitezimalni raun se dalje razvijao pre svega zahvaljujui radu Jakoba i Johana Bernulija. Jedan od primera kojim je Jakob Bernuli (1654-1705) proirio polje primene infinitezimalnog rauna odnosio se na oblik krive ugibanja elastinog tapa. U odnosu na Galileja i Mariota, Bernuli je imao vie matematiki pristup problemu, to jest nije ulazio u fizike osobine materijala.

    Posmatrajui gredu pravugaonog preseka, iji je jedan kraj

    ukljeten, a drugi optereen silom P (Slika 3.1.1), Bernuli pokuava da nae vezu izmeu momenta sile i radijusa krivine. Sledei Mariota, uzima tangentu na ivicu poprenog preseka konkavne strane za neutralnu osu. Analizirajui ovaj sluaj Bernuli dobija da je krivina linije ugiba u svakoj taki srazmerna momentu savijanja u toj taki:

    PxrC

    =

    Koristei ovu vezu nalazi jednaine koje opisuju oblik krive u sluaju kada su tangente na krajevima optereenog tapa pod pravim uglom (Slika 3.1.2)

    2

    2

    1 xdxxdy

    = , 21 xdxds

    = , 10 x

    Hajgens kritikuje Bernulijev rad, jer nije pokazao nekoliko drugih oblika koje moe elastina kriva imati (Slika 3.1.3). Bernuli prihvata njegovu kritiku i ukratko opisuje kako bi njegova teorija mogla da se proiri i na druge sluajeve.

    10

    Slika 3.1.2 Pravougaona elastina linijaSlika 3.1.1 Savijanje ukljetene grede

  • Sledei Bernuli koji je doprineo razvoju teorije o elastinim krivama bio je Danijel Bernuli (1700-1782). Tokom svog izuavanja elastinosti bio je u stalnoj prepisci sa Ojlerom, koji e mu kasnije pripisivati velike zasluge u svojim radovima. U svom pismu Ojleru oktobra 1742, Bernuli diskutuje opti problem elastinih krivih, ali ne uspeva da ga rei. Za opti problem elastinih krivih podrazumeva traenje oblika elastinog tapa date duine sa fiksiranim krajevima u kojima su poznate tangente na krivu. Dalje opisuje svoj bezuspeni pokuaj da izoperimetrikom metodom (varijacionim raunom) nae reenje.

    Godinu dana kasnije sugerisao je Ojleru da treba da primeni varijacioni raun pri izvoenju elastinih krivih: Poto niko nije takav potpuni majstor u izoperimetikoj metodi kao to ste Vi, to ete Vi vrlo lako reiti sledei problem u kome se zahteva da

    2rds bude minimum.Taj integral, kao to je danas poznato, predstavlja naponsku energiju savijenog

    tapa.

    Danijel Bernuli je prvi uspeo da izvede diferencijalne jednaine o poprenim vibracijama prizmatinih tapova. Ojler je te jednaine reio, a Bernuli je izveo i mnotvo eksperimenata radi provere. O tome on pie Ojleru: Te oscilacije nastaju slobodno, a ja sam izveo mnotvo divnih eksperimenata radi utvrivanja poloaja vornih taaka i visine tona; i svi se oni divno slau sa teorijom. Odatle vidimo da Danijel Bernuli nije bio samo matematiar, ve i eksperimentator.

    3.2 Ojler (Leonard Euler) (1707-1783)

    Ojler prouava oblike koje e tanak elastian tap, zanemarljive mase zauzeti u ravnotei pod razliitim uslovima optereenja, koja deluju na krajeve tapa. Ojler izlae svoje rezultate u apendiksu knjige Methodus inveniendi lineas curvas..., u kojoj obrauje varijacioni raun.

    Po preporuci Danijela Bernulija on prilazi problemu koristei varijacioni raun. Na poetku svog rada Ojler zapaa: Poto je ustrojstvo svemira potpuno savreno jer je delo najmudrijeg Tvorca, to nema ni jedne pojave na svetu kod koje se ne bi javio odnos maksimuma i minimuma. Iz toga je apsolutno nesumnjivo da se svaka

    11

    Slika 3.1.3 Hajgensov crte elastinih linija

  • posledica u vasioni moe zadovoljavajue rastumaiti krajnjim posledicama, pommou maksimuma i minimuma, kao to moe biti objanjena i samim stvarnim uzrocima... Prema tome dve metode stoje pred nama pri prouavanju pojava Prirode: jedna pomou stvarnih uzroka, koju obino zovemo direktnom metodom, i druga, pomou krajnjih posledica... ovek mora da se posebno napregne da bi video da oba puta pristupa reavanju problema lee otvorena; jer ne samo to jedno reenje biva uveliko pojaano drugim, nego i vie od toga, iz slaganja jednog reenja sa drugim poluujemo najvie zadovoljenje.

    Kao ilustraciju ove dve metode Ojler navodi problem lananice (Slika 3.2.1). Diferencijalnu jednainu lananice moemo nai iz jednaine ravnotee sila, i to bi bila primena direktne metode. Po metodi krajnjih posledica, od svih geometrijski moguih krivih reenje e biti ona kriva kod koje je potencijalna energija u minimumu. Problem dakle svodimo na traenje maksimuma integrala kada je duina krive s data, a w predstavlja linijsku teinu lanca.

    Primenjujui varijacioni raun Ojler nalazi minimum 2rds i dobija diferencijalni sistem:

    ( ) 4222 )(

    axx

    dxxxdy+++

    ++=

    ( ) 4222

    axx

    dxady+++

    =

    gde su 2a

    , a

    i parametri zadati silom, osobinama materijala, duinom tapa.

    Ojler prihvata teoriju Jakoba Bernulija da je krivina ugiba u svakoj taki srazmerna momentu savijanja na tom mestu i direktnom metodom dolazi do diferencijalnih jednaina. Time potvruje validnost metode krajnjih posledica.

    Vrlo je verovatno da je Ojler imao uvid u Acta Eruditorum, u kome su se pojavila prva istraivanja Jakoba Bernulija. Hajgensova kritika Bernilijevog rada koja je izala u istom asopisu verovatno je imala uticaj na Ojlerove radove. Ojlerov doprinos bio je

    12

    Slika 3.2.1. Problem lananice

  • sistematsko predstavljanje analize jednaine koja povezuje krivinu ugiba i moment savijanja, to ustvari predstavlja odgovor na Hajgensovu kritiku.

    Posmatrajui razliite sluajeve savijanja, Ojler klasifikuje elastine linije u devet

    kategorija (Slika 3.2.2). Jedna od njih je i pravougaona kriva Jakoba Bernulija.

    Kada je ugao izmeu sila koje deluju na krajeve tapa mali, imamo sluaj izvijanja. Ojler pokazuje da je sila pri kojoj dolazi do izvijanja:

    2

    2

    4lCP pi=

    gde je l duina tapa, a C naziva apsolutnom elastinou, ne diskutujui njen fiziki smisao. Za ovu jednainu kae: Prema tome, ako sila P koju stub nosi nije vea od

    2

    2

    4lCpi , nema apsolutno nikakve opasnosti od izvijanja, pak s druge strane, ako je sila

    P vea, stub se nee moi odupreti izvijanju. Ako elastinost stuba i njegova debljina ostanu napromanjeni onda e sila P koju stub moe da primi bez opasnosti izvijanja, biti obratno proporcionalna kvadratu njegove visine; stub dvostruke visine moi e da nosi samo jednu etvrtinu tereta. Odavde vidimo da j Ojler jo pre dvesta pedeset godina naao obrazac za izvijanje stubova koji se i danas iroko primenjuje.

    Kasnije e u svom radu ,,Sur la force des colonnes dati prostu derivaciju obrasca za kritino optereenje primenjujui uproenu diferencijalnu jednainu:

    13

    Slika 3.2.2 Elastine linije koje je ispitivao Ojler

  • Pydx

    ydC =22

    Ojler takoe prouava bone vibracije tapa. Posmatrajui kretanje beskonano malog dela mn vertikalnog tapa AB (Slika 3.2.3), linijske teine w, zapaa da je takvo kretanje ekvivalent kretanju matematikog klatna. Zapisuje diferencijalnu jednainu takvog kretanja:

    lwy

    dxydC =4

    4

    pa zakljuuje Prema tome, ovom jednainom je izraena priroda krivih AmnB, a iz ovoga, ako bi se to primenilo na posmatrani sluaj, mogla bi se odrediti duina l, odnosno ekvivalent klatna. Kada to saznamo, onda e nam i oscilatorno kretanje biti poznato.

    Ojler se ne ograniava samo na sluaj konzole ve razmatra i poprena kretanja tapova: sa oba kraja prosto oslonjena, oba kraja kruto ukljetena, oba kraja potpuno slobodna. Za sva tri sluaja dobija izraz za frekvenciju f:

    wlCgmf

    4pi=

    gde je m broj koji zavisi od uslova na krajevima tapa i od naina vibriranja.

    Ojler proiruje svoju analizu i na stub ije je aksijalno optereene raspodeljeno po visini, ali ne dolazi do ispravnog reenja

    3.3 Lagran (Joseph Louis Lagrange) (1736-1813)

    Veliki deo Lagranovog rada bio je pod uticajem Ojlera. Njegovo najpoznatije delo jeste Mecanique Aalytique. Najznaajniji Lagranov doprinos elastinosti jeste njegov rad Sur la figure des colonnes. Analiziraui sluaj prizmatinog tapa, sa zglobovima na oba kraja (Slika 3.3.1), pod dejstvom aksijalne sile P, dobija

    14

    Slika 3.2.3

  • Pydx

    ydC =22

    to je Ojler ve pokazao. Lagran pokazuje da je reenje te jednaine

    xCPfy sin=

    Kako ne bi dolo do izvijanja, treba biti zadovoljen uslov

    pimlCP

    =

    gde je m ceo broj. Odatle se dobija da je sila pod kojom se javlja izvijanje stuba data jednainom:

    2

    22

    lCmP pi= .

    Prema tome moe postojati beskonano mnogo modova izvijanja (Slika 3.3.1).

    15

    Slika 3.3.1 Modovi izvijanja tapa koje je prouavao Lagran

  • 4 Otpornost materijala u osamnaestom veku

    Tokom sedamnaestog veka, nauna istraivanja su se razvijala uglavnom u rukama ljudi, koji su radili po razliitim akademijama nauka. Malo se ko zanimao za mehaniku elastinih tela, pa premda su Galilej, Huk i Mariot razmatrali neka pitanja iz oblasti elastinosti i otpornosti materijala koja su poticala iz praktinih problema, ipak je osnovni motiv njihovog rada bila nauna radoznalost.

    U osamnaestom veku situacija se menja: nauni rezultati prethodnog veka nalaze praktinu primenu, a naune metode se postepeno uvode u razliite oblasti inenjerstva. Novi razvoj u vojnom i graevinskom inenjerstvu zahteva ne samo iskustvo i praktina znanja, ve i sposobnost da se novi problemi racionalno analiziraju. Osnivaju se prve ininjerske kole, a prve knjige o graevinskom inenjerstvu se publikuju. U to doba Francuska je bila u tom razvoju ispred svih ostalih zemalja, tako da je prouavanje mehanike elastinih tela napredovalo u osamnaestom veku uglavnom zahvaljujui naunoj aktivnosti u toj zemlji.

    Godine 1720. francuska vlada je ustanovila Ininjerijski korpus za puteve i saobraaj, a 1747. osnovana je i uvena kola cole des Ponts et Chausses u Parizu za obuku ininjera u graenju puteva, kanala i mostova. Ta kola je odigrala vrlo znaajnu ulogu u razvoju nae nauke.

    Pred kraj osamnaestog veka objavljena je (1798) prva knjiga o otpornosti materijala od irarda (Trait analytique de la rsistance des solides, de P.S. Girard). Istorijski uvod u tu knjigu je od velikog znaaja, jer on sadri diskusiju o glavnim istraivanjima u oblasti mehanike elastinih tela, izvrenih tokom sedamnaestog i osamnaestog veka. Pri izuavanju savijanja greda, irar razmatra Galilejeve i Mariotove metode analize iz njegovog izlaganja bi se moglo zakljuiti da su u to vreme obe metode bile u upotrebi.

    4.1 Paran (Antoine Parent) (1666-1716)

    Bio je jedan od pionira u oblasti istraivanja raspodele napona u materijalima i fizikog aspekta savijanja greda. Roen u Parizu i iveo je od 1666. do 1716. god. Roditelji su mu bili namenili karijeru pravnika, ali se on zanimao vie za matematiku i za fizike nauke. Iako je, po elji roditelja, diplomirao na pravima, on se njima nikad nije bavio kao pozivom. Najvei deo svog vremena on posveivao prouavanju matematike, a iveo je od davanja asova matematike. Godine 1699. izabran je Des Billettes za lana Akademije Nauka, pa je tom prilikom doveo sa sobom i Parana kao svog asistenta. Taj poloaj u Akademiji omoguio je Paranu da doe u dodir sa istaknutim francuskim naunicima i da uestvuje na sastancima Akademije. Tamo mu se pruila prilika da pokae svoje veliko znanje u raznim oblastim nauke, kao i da publikuje vie svojih naunih radova u sveskama akademijinih publikacija. Meutim, neki od tih njegovih radova nisu bili prihvaeni za objavljivanje od strane Akademije, pa je tako Paran 1705. godine pokrenuo svoj sopstveni asopis u kom je tampao svoje radove, a prikazivao je i radove ostalih matematiara. Ti njegovi radovi bili su ponovo izdati 1713. godine u tri sveske pod zajednikim nazivom Recherche de Mathematique et de Physique.

    16

  • U svojim radovima o savijanju greda, Paran se dri Mariotovih postavki pomou kojih uspeva da pronae raznolike forme greda iste jaine. On isto tako razmatra jedan interesantan problem: kako jednu gredu pravougaonog preseka treba izrezati iz drvenog trupca okruglog preseka da bi se postigla maksimalna jaina, pa dokazuje kako e pri datom preniku d (Slika 3.1.1), proizvod 2ab imati maksimalnu vrednost. To se pak postie tako, to se prenik deli na tri jednaka dela, pa se dignu upravne cf i eg, kao to se vidi na slici.

    Paran je objavio 1713. god. dva svoja memoara o savijanju greda koji predstavljaju stvarne korake unapred. On pravilno izvodi jednainu za krune cevi i grede punog krunog preseka kao i potpuno reava statiki problem savijanja greda gde pokazuje da sile otpora moraju da predstavljaju takav sistem sila koji potpuno uravnoteuje spoljanju silu. Paran poto nije raspolagao eksperimentalnim podacima o mehanikim svojstvima materijala nije mogao da razvije dalje u osnovi vrlo tane ideje o ovim problemima.

    Iz njegovih radova se moe videti da je on imao znatno jasnije predstave o raspodeli napona u gredama od svojih predhodnika. Meutim, njegovi radovi su ostali nezapaeni, tako da je veina ininjera tokom celog osamnaestog veka i dalje primenjivala Mariotove obrazce. Uzrok ovoj pojavi lei moda u tome, to Paranovi glavni rezultati nisu objavljivani u saoptenjima Akademije, nego su se pojavljivali u sveskama njegovih sabranih radova, koje su bile ravo opremljne i sadrale su mnotvo tamparskih greaka. Osim toga, Paranova izlaganja nisu bila uvek dovoljno jasna, tako da jo i danas nije ba lako pratiti njegovo izvoenje. Najzad, on se u svojim radovima vrlo kritiki odnostio prema radovima drugih istraivaa, pa stoga svakako nije bio ba naroito omiljen meu svojim savremenicima-naunicima.

    ezdeset godina je moralo proi od pojave Paranovih radova dok se nije pojavio ovek koji e doneti sobom znatan napredak u mehanici elastinih tela. To je bio Kulon sa svojim novim idejama i istaknutim radovima.

    4.2 Kulon ( Charles Augustin de Coulomb ) (1736-1806)

    Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) roen je u Anglemu. Poto je u Parizu dobio svoje osnovno obrazovanje, Kulon je stupio u Vojni Ininjerski korpus. Po zavretku te kole, on je upuen na Martinik, gde je tokom devet godina rukovodio raznim graevinskim radovima, to ga je navelo da pone prouavati mehanike osobine materijala i razne druge probleme konstruktorske ininjerije. Jo dok je boravio na Martiniku, Kulon je objavio svoj uveni rad Sur une Application des Rgles de maximis & minimis quelques problmes de statique, relatifs l'architecture (O primeni pravila maksimuma i minimuma ne neke statike probleme u vezi sa arhitekturom).

    17

    Slika 4.1.1 Paranovo reenje

  • Ovaj rad je bio prikazan u Francuskoj akademiji nauka (1773). U predgovoru tom svom radu, Kulon kae: Ovaj rad je napisan jo pre nekoliko godina, i prvobitno je bio namenjen za moje individualne potrebe u vezi sa mojim profesionalnim radom kojim sam se tada bavio. To, to se ja sada usuujem da rad podnesem Akademiji, to je zato to znam da ona i najslabije pokuaje prima sa ljubaznom dobrodolicom, samo ako su oni usmereni nekom korisnom cilju. Osim toga, nauke su spomenik, posveen javnom dobru. Svaki graanin treba da doprinese njihovom razvoju prema svojoj sposobnosti. A veliki ljudi e imati svoje mesto na vrhu te graevine na kojoj e se oni isticati i moi e da

    izgrade najvie spratove, dok e obine zanatlije biti rastureni po niim spratovima ili e biti skriveni u tami temelja, nastojei da usavre ono to su vetije ruke ve nainile.

    Po svom povratku u Francusku, Kulon je radio kao ininjer u La Roelu i erburu. Godine 1779. dobio je, zajedno sa Van Svindenom nagradu koju je raspisala Akademija za najbolju konstrukciju kompasa, a dve godine kasnije on dobija Akademijinu nagradu za svoj rad Thorie des machines simples, u kome on prikazuje rezultate svojih opita o trenju razliitih tela koja klize jedna po drugima (suva ili podmazana raznim supstancijama). Posle 1781. Kulon se nastanjuje stalno u Parizu, gde je izabran za rednovnog lana Akademije i gde mu se pruaju mnogo povoljniji uslovi za njegov nauni rad. Sada se on posveuje istraivanjima u oblasti elektriciteta i magnetizma. U cilju merenja vrlo malih elektrinih i magnetskih sila, Kulon stvara vrlo osetljivu torzionu vagu, a u vezi s tim on istrauje otpornost ice na torziju.

    Po izbijanju francuske revolucije, Kulon se povlai 1789. na svoje malo poljsko dobro u okolini Bloa. 1793. godine Akademija biva zatvorena, ali se posle dve godine ponovo uspostavlja, sada pod novim nazivom Institut National des Sciences et des Artes. Kulona biraju meu prvim lanovima ove nove institucije, a njegovi poslednju radovi o viskoznosti tenosti i o magnetizmu bili su objavljeni u Memoires de l`Institut (1801,1806). Kulon biva imenovan kao jedan od generalnih inspektora studija (1802); tome zadatku Kulon posveuje veliki deo svoje energije u cilju poboljanja javnog obrazovanja, u ono vreme veoma tegobna, to je bilo suvie naporno za njegove poodmakle godine i slabo zdravlje, tako da je on umro 1806. godine. Ali, njegovo delo ivi, i mi se jo i danas koristimo njegovom teorijom trenja, otpornosti graevinskih materijala i torzije.

    Ni jedan drugi naunik osamnaestog veka nije toliko doprineo nauci o mehanici elastinih tela kao Kulon. Glavni njegovi doprinosi nalaze se u njegovom radu od 1773. godine. Taj rad poinje izlaganjem o nizu eksperimenata u cilju kvatifikovanja otpornosti raznih materijala na smicanje, kidanje i savijanje. Reenja mnogobrojnijh

    18

    Slika 4.2.1 - Kulon

  • ininjersko-graevinskih problema data su uz detaljna objanjenja i precizne eksperimentalne rezultate.

    Godine 1784. godine Kulon je objavio svoj memoar o torziji koji emo sada prikazati u njegovim osnovnim crtama. Kulon iznalazi torzionu otpornost ice, posmatrajui torzione oscilacije jednog metalnog valjka, obeenog o tu icu (Slika 4.2.2).

    Instrument se sastoji od jedne ice i oscilujueg tela. ica je jednim krajem privrena za nepokretan oslonac. Na drugi kraj ove ice privreno je telo koje moe da se (delovanjem momenta sprega sila Fd=M izvede iz ravnotenog poloaja na ugaone oscilacije). Ako se telo, koje je kruto vezano za icu, zaokrene za neki ugao 0 , delovanje spoljnjeg momenta sprega sila M , doi e do pojave unutranjeg torzionog momenta sila tM (suprotnog smera unutra ice), kao posledica elastine deformacije uvijanja. U momentu prestanka spoljanjeg uvijanja, telo miruje u napregnutom stanju ice i tada postoji jednakost spoljnjeg momenta M i unutranjeg torionog momenta tM nastalog zbog elastinih osobina ice:

    tM=M

    U momentu prestanka dejstva spoljanjeg momenta sila, telo se zbog delovanja unutranjeg momenta vraa u prvobitni poloaj, prolazi ga zbog inercije i uvre icu na suprotnu stranu do vrednosti ugla 0 , odakle se opet vraa u ravnoteni poloaj i tako ponovo, odnosno poinje da osciluje oko ravnotenog poloaja. Ugao 0 se naziva amplituda oscilatornog kretanja, a bilo koji ugao uvrtanja se naziva elongacija. Jednaina kretanja klatna pod dejstvom unutranjeg momenta tM se moe napisati u vidu relacije: c=M t , odnosno koristei vezu momenta sile krutog tela koje rotira sa ugaonim ubrzanjem : I=M .

    Dobijamo jednainu kretanja oblika: c=I , gde se ugaono ubrzanje moe

    prema definiciji ugaonog ubrzanja napisati kao: 22

    dtd= .

    Dobijena diferencijalna jednaina kretanja torzionog klatna:

    19

    Slika 4.2.2 Kulonov instrument za testiranje torzije (skica preuzera iz Kulonovih memoara)

  • 022

    =Ic+

    dtd ,

    potpuno je analogna jednaini kretanja za harmonijski oscilator. Reenje jednaine se moe napisati u obliku:

    +tT= 2sin0 ,

    gde je T period oscilovanja torzionog klatna i po analogiji sa harmonijskim oscilatorom, period oscilovanja je jednak:

    0

    2

    pi=T ,

    gde je 0 sopstvena kruna frekvencija torzionog klatna i iznosi:

    Ic=2 .

    Zamenom izraza za sopstvenu frekvenciju, dobijamo izraz za period oscilovanja torzionog klatna:

    cI=T 2 . (4.2.3)

    Pomou eksperimenata, Kulon dolazi do toga da je period nezavistan od ugla uvijanja (pod uslovom da taj ugao nije suvie velik) te zakljuuje da je pretpostavka o srazmernosti momenta uvijanja i ugla uvrtanja ispravna. Potom, Kulon nastavlja svoje eksperimente, uzimajui ice od istog materijala, ali razliitih duina i debljina. Na taj nain on ustanovljava sledei obrazac za moment uvijanja:

    l

    d=M4

    (4.2.4),

    priem je l duina ice, d je njen prenik, dok je konstatna materijala. Poredei

    eline i bakarne ice, Kulon nalazi da je odnos njihovih konstanti 1:3 31 , pa iz toga izvlai zakljuak da tamo gde je potrebna velika vrstina, kao kod noseih stubova, treba primeniti elik.

    Poto je doao do svoje fundamentalne jednaine (4.2.3), Kulon nastavlja svoja istraivanja u oblasti mehanikih osobina materijala, od kojih su ice nainjene. On za svaku vrstu ice nalazi torzionu granicu elastinosti, preko koje ostaje neka trajna deformacija. Pored toga, on ustanovljava da ako se ica u poetku uvrne daleko preko svoje elastine granice, onda ona postaje tvra, a njena granica elastinosti se poveava, dok veliina u jednaini (4.2.4) ostaje nepromenjena. S druge strane,

    20

  • sporim hlaenjem posle zagrevanja uspeva da poniti tvrdou, postignutu plastinom deformacijom.

    Zasnivajui se na tim svojim eksperimentima, Kulon ustanovljava da je za definisanje mehanikih karakteristika nekog materijala potrebno poznavati dve veliine, naime koje odreuju elastine osobine materijala i granicu elastinosti koje zavisi od veliine sile kohezije. Kaljenjem metala mi moemo pojaati te sile kohezije, podiui mu na taj nain granicu elastinosti, ali ne moemo promeniti elastine osobine materijala, odreene konstanom .

    Da bi pokazao da taj zakljuak vai i za sve druge vrste deformacija, Kulon vri opite sa savijanjem elinih tapova, koji se meu sobom razlikuju samo po nainu svoje termike obrade, pa dokazuje da svi tapovi pokazuju iste ugibe pod malim teretima (nezavisno od svog termikog tretmana), dok su granice elastinosti kod otputenih tapova daleko nie nego kod kaljenih tapova. Stoga se kod otputenih tapova, a pod veim teretim, javljaju znatne trajne deformacije, dok termiki tretirani metal pokazuje i dalje savrenu elastinost, tj. termika obrada menja granicu elastinosti, ali ne utie na elastine osobine materijala, koje ostaju nepromenjene.

    Kulon ocrtava hipotezu da svaki elastini materijal ima neki svoj katakteristian molekularni sklop, koji se ne remeti pod dejstvom malih elastinih deformacija. Kada se pak pree granica elastinosti, onda dolazi do nekog trajnog sklizavanja molekula, to rezultira u poveanju sila kohezije, premda elastine osobine materijala ostaju nepromenjene.

    Kulon prouava i gaenje torzionih oscilacija, pa dokazuje eksperimentalno da njihov glavni uzrok nije otpor vazduha, nego neka nesavrenost materijala samih ica. On ustanovljava da je kod malih oscilacija stepen smanjivanja amplitude po jednom ciklusu priblino proporcionalan veliini amplitude. Meutim, kada je zamah vei (kod ica ija je granica elastinosti poveana hladnom obradom), efekat gaenja raste bre nego amplituda, a rezultati ispitivanja pokazuju vee rasipanje.

    Kulon zahvaljujui svojim otkriima na polju elastinosti usavrava torzionu vagu, instrument koji mu omoguava da pouzdano meri slabe elektrostatike sile. 1785. godine primenjuje torzionu vagu (Slika 4.2.5) na merenje sile izmeu priblino takastih naelektrisanja. Zakoni izvedeni iz rezultata ovog eksperimenta su uspeno opisali delovanje meu naelektrisanjanim telima.

    21

    Slika 4.2.5 Torziona vaga

  • 5 Otpornost materijala izmeu 1800. i 1833. godine5.1 Navije (Claude-Louis Navier) (1785-1836)

    Roen je u Dionu, u porodici imunog advokata. U svojoj etrnaestoj godini ostaje bez oca, pa ga je usvojio njegov ujak, uveni francuski inenjer Gotej, koji veliku panju posveuje deakovom obrazovanju. Navije je poloio prijemni ispit u Politehnikoj koli 1802. godine, a 1804. poto je zavrio tu kolu, upisao se u kolu za mostove i puteve, u kojoj je njegov ujak takoe uio a kasnije i predavao matematiku.

    Posle smrti njegovog ujaka Goteja, Navije nastavlja rad na njegovoj knjizi o mostovima i kanalima u tri toma. On rukopise svoga ujaka dovrava, sreuje i dodaje svoje urednike napomene. Te napomene imaju veliki istorijski znaaj jer one pokazuju stanje mehanike elastinih tela na poetku devetnaestog veka. Poredei te napomene sa kasnijim Navijeovim radovima vidi se napredak koji je uinjen u toj nauci prvenstveno zahvaljujui ba Navijeovom radu.

    Svoje pogrene ideje i greke u radovima brzo ispravlja, i godine 1819. poinje sa svojim predavanjima u koli mostova i puteva iz otpornosti materijala. On je 1820. god. podneo Akademiji nauka svoj memoar o savijanju ploa, a idue godine (1821) objavio je svoj uveni rad u kom on iznosi fundamentalne jednaine svoje matematike teorije elastinosti.

    Premda veoma zauzet radom na teoriji, kao i poslovima oko ponovnog izdavanja knjiga, Navije je ipak nalazio vremena i za praktiki inenjerski rad, veinom u vezu sa mostovima. Francuska vlada alje Navijea u Englesku da izui vetinu graenja viseih mostova. Posle dve posete Navije je podneo svoj izvetaj (1923), koji ne sadri samo istorijski pregled, ve i opis najvanijih postojeih mostova, kao i teorijske metode za raunanje takvih konstrukcija. Taj izvetaj je u narednih pedeset godina predstavljao najznaajniju knjigu o projektovanju viseih mostova, a zadrao je sve do danas izvestan znaaj.

    Godine 1824. Navije je izabran za lana Akademije, a 1830. je postao profesor vie matematike i mehanike na Politehnikoj koli. Njegova predavanja tih predmeta bila su objavljena i tokom dugih godina bila su visoko cenjena i traena meu francuskim inenjerima.

    Godine 1826. izlazi prvo tampano izdanje Navijeove knjige o otpornosti materijala u kojoj se nalaze sve one stvari od velikog znaaja do kojih je Navije doao.

    22

    Slika 5.1.1 - Navije

  • Navije jo od samog poetka govori o vanosti granice do koje se konstrukcija ponaa potpuno elastino i nema trajnih deformacija. U tom podruju moe se uzeti da je deformacija srazmerna sili pa se mogu postaviti relativno prosti obrasci za izraunavanje tih veliina. Iznad te granice elastinosti, odnosi izmeu sila i deformacija postaju znatno komplikovaniji. Navije predlae da se obrasci izvedeni za elastino podruje primene na postojee konstrukcije, koje su se pokazale dovoljno jake, tako da se iz toga mogu nai dozvoljeni napone za razliite materijale, koji su u granicama dovoljne sigurnosti, i koji e moi kasnije da se koriste za pronalaenje odgovarajuih dimenzija novih konstrukcija.

    U prva dva poglavlja svoje knjige on razmatra prosti pritisak i prosto zatezanje prizmatinih tapova, gde ukazuje da nije dovoljno navesti samo krajnju otpornost nekog materijala, da bi se dala njegova karakteristika, ve i njegov modul elastinosti E kojeg definie kao odnos jedininog optereenja poprenog preseka prema jedininom izduenju, prouzrokovanom tim optereenjem.

    U treem poglavlju Navije govori o savijanju prizmatinih tapova i uzima jo na samom poetku da se savijenje vri u istoj ravni u kojoj deluju spoljanje sile, tako da njegovo razmatranje vai samo za grede koje imaju podunu ravan simetrije i koje su optereene silama u toj ravni.

    Uzimajui da popreni presek ostaje ravan tokom savijanja, primenjuje tri osnovne statike jednaine ravnotee i zakljuuje da neutralna osa prolazi kroz teite poprenog preseka, a da je krivina data jednainom:

    MEI =

    gde I oznaava moment inercije poprenog preseka u odnosu na neutralnu osu.

    Uzevi u obzir injenicu da su ugibi mali i da je x-osa u pravcu podune ose grede Navije dobija sledei izraz:

    Mdx

    ydEI =22

    Jo za vreme Ojlera ova jednaina se koristila za izraunavanje ugiba konzola i simetrino optereenih prostih greda. Navije je koristi za bilo koji sluaj poprenog optereenja proste grede, s tim da je kriva ugiba predstavljena raznim jednainam za razliite delove grede.

    Ova metoda prikazana je na gredi koja je optereena u ma

    kojoj taki C, kao na slici 5.1.2.

    23

    Slika 5.1.2

  • Oznaivi sa ugao koji tangenta u C zaklapa sa horizontalom, on dobija sledee izraze za ugibe u A i B u odnosu na x-osu. Iz jednakosti tih ugiba jednakosti tih ugiba on dobija ugao :

    tan3

    3

    bEIb

    lPafb += tan3

    3

    aEIa

    lPbf a +=

    ( )EIl

    baPab3

    tan =

    Znajui ugao , te koristei se ve poznatom krivom ugiba konzole, sada se mogu napisati jednaine ugiba za oba dela grede AB.

    Navije je prvi razradio optu metodu analiziranja statiki neodreenih problema u mehanici materijala. On tvrdi da su ti problemi neodreeni samo donde, dok tela posmatramo kao apsolutno kruta, ali im uzmemo elastinost u razmatranje, mi uvek moemo jednainama statike dodati izvestan broj jednaina koje odraavaju uslove deformisanja, tako da emo uvek imati dovoljan broj jednaina za iznalaenje vrednosti svih nepoznatih veliina.

    Istraujui statiki neodreene probleme savijanja, Navije poinje od sluaja jedne grede, koja je jednim svojim krajem kruto ukljetena, a drugim slobodno oslonjena kao na slici 2. Oznaavajui statiki neodreenu reakciju u B sa Q, on dobija sledee jednaine

    )()(22

    xlQxaPdx

    ydEI =

    za deo AC i

    )(22

    xlQdx

    ydEI =

    za deo CB grede.

    Integriui te jednaine, te imajui u vidu da dva dela linije ugiba imaju u taki C zajedniku tangentu, a istu ordinatu, on dobija

    24

    Slika 5.1.3

  • =

    22

    22 xlxQPadxdyEI

    =

    6262

    3232 xlxQaxaPEIy

    Poto ugib isezava pri lx = , on zapaa da je iz poslenje jednaine:

    ( )3

    32

    23

    lalaPQ =

    Dobivi tako tu reakciju, problem je reen, tako da se jednaine za oba dela krivih ugiba vrlo lako dobijaju.

    Navije prouava i problem kada se savijanje prizmatinog tapa obavlja pod kombinovanim dejstvom poprenih sila i aksijalne sile. Nakon razmatranja izvijanja stuba pod dejstvom aksijalne sile pritiska, on uzima u razmatranje i sluaj ekscentrinog pritiska i zatezanja, kao i sluaj kada sila deluje na vrhu stuba, ali i pod izvesnim uglom prema osi stuba. Ovde su njegovi obrasci za izraunavanje maksimalnih momenata savijanja i maksimalnih izvijanja znatno komplikovaniji nego pri istom savijanju pod dejstvom poprenih sila, tako da je verovatno da su oni bili primenjivani od strane njegovih savremenika. Kasnije, meutim, sa sve veom primenom vitkih tapova u konstrukcijama, ovi obrasci dobili su svoju veliku vanost, pa su nainjene mnoge tablice kako bi se njihova primena uprostila.

    Navije je u toj svojoj knjizi znatno doprineo i razvoju teorije savijanja krivih tapova. Ojler je ve ranije nainio pretpostavku da je kod tapova, krivih ve od ranije, momenat savijanja srazmeran promeni zakrivljenosti.

    Navije uzima obrazac:

    MEI =

    0

    11

    Pomou njega

    izraunava savijanje ve krivog tapa AB kao na slici 5.1.4, ukljetenog svojim krajem A. Uzimajui u posmatranje elemenat ds u taki C, on zakljuuje iz gornje

    25

    Slika 5.1.4

  • jednaine da se ugao izmeu 2 susedna poprena preseka menja, usled savijanja presek C zaokree se za vreme savijanja za ugao:

    = s EIMds0Usled te rotacije, poetne projekcije dx i dy elementa ds se menjaju i postaju dx1 i

    dy1, pa je

    == s EIMdsdydsdxdx 01 sin

    == s EIMdsdxdsdydy 01 cos Integriui ove obrasce, on dobija komponente pomeranja ma koje take C za

    vreme savijanja u sledeem obliku:

    = ss EIMdsdyxx 001

    = ss EIMdsdxyy 001Ako posmatramo, kao sa slike 5.1.5, simetrini luk na dva zgloba, optereen u

    temenu koncentrinom silom, onda se pojavljuje statiki neodreeni potisak H, iju veliinu moemo nai iz uslova da horizontalno pomeranje zgloba B mora biti jednako nuli. Prema tome je

    000

    = ss EIMdsdyIz ove jednaine Navije izraunava potisak H za parabolini i za kruni luk. On

    pravi sline proraune za sluaj ravnomerno podeljenih optereenja po celom otvoru.

    26

    Slika 5.1.5 Slika 5.1.6

  • Sve te analize izvrene su uz pretpostavku da duine elemenata, kao to je ds, ostaju nepromenjene. Meutim Navije na kraju daje i nain kako da se uzme u obzir zbijanje luka, proizvedeno pritiskom aksijalne sile.

    Poslednja glava knjige posveena je problemima ljuski. On poinje od razmatranja ravnotenog oblika jednog savrenog savitljivog i nerastegljivog konopca AB, izloenog normalnom pritisku u ravni krivine, kao na Slici 6, pa zakljuuje (iz uslova ravnotee elementa mn) da je:

    constS = i pS

    =

    pri emu je S zatezanje u konopcu, a je radijus krivine. Dakle, krivina u ma kojoj taki mora biti srazmerna pritisku na tom mestu.

    Uzimajui jedan oluk neodreene duine (Slika 5.1.7 (a)), koji u sebi sadri tenosti, a koji se odrava ravnomerno rasporeenim silama S, on trai pod kojim uslovima nee biti savijanja u ljusci i dokazuje da e to biti tada, kad krivina u ma kojoj taki m bude srazmerna dubini y. Kriva, koja zadovoljava taj uslov, dobija se tako, to se jedan prvobitno ravni, tanki i vitki list AB savije silama F prema slici 5.1.7 (b), poto su momenat savijanja pa dakle i zakrivljenost elastine linije (krive) u ma kojoj taki m oigledno srazmeran dubini y.

    Posmatrajui tanku ljusku, izloenu ravnomernom zatezanju S i normalnom pritisku p, Navije dobija jednainu

    pS =

    +1

    11

    iz uslova ravnotee. Pomou nje, on nalazi izraz za napon zatezanja u sferinoj ljusci debljine h, koji glasi

    hp

    hS

    2

    ==

    Navije je vrio eksperimente sa sferinim gvozdenim ljuskama prenika 30 cm, debljine 2,5 mm. Izlaui ih unutarnjim pritiscima, dovoljno velikim da izazove slom,

    27

    Slika 5.1.7

  • on je naao da je granina jaina materijala u ovom sluaju priblino ista onolika, kao kad se ispitivanje obavlja na uobiajeni nain, zatezanjem uzoraka.

    5.2 Eksperimentalni rad francuskih ininjera izmeu 1800. i 1830. godine

    Tokom osamnaestog veka ininjeri su se uglavnom zanimali za ispitivanje granine sile nosivosti kada je re o materijalima. Iz ovog perioda se moe zakljuiti da su ininjeri, pored praktinog, bili zainteresovani i za nauni interes svojih eksperimenata. Tu su se najvie isticali uenici Politehnike kole.

    Prvi od njih bio je F.P.C. Dupin (1784-1873). Njegov prvi rad je bio iz geometrije, mada imao je talenta i za matematiku. Francuska vlada ga je 1805. godine poslala na Krf kao ininjera mornarice i tamo je izvrio znaajna istraivanja sa savijanjem drvenih greda. Iz tih eksperimenata dolazi do vie zakljuaka u pogledu otpornosti i ugiba brodskih trupova, koji su se tada pravili od drveta. Ti rezultati su dobijeni pre Navijeove knjige o otpornosti materijala. Neki od zakljuaka su:

    Ispitujui savijanje drvene grede, slobodno oslonjene na oba svoja kraja, on ustanovljava da su do neke granice ugibi proporcionalni optereenju. Kada se prekorai ta granica, ugibi rastu bre. Iz toga se odnos tereta prema ugibima moe predstaviti parabolinom krivom. Poto je vrio eksperimente sa razliitim vrstama drveta, doao je do toga da otpornost na savijanje raste sa porastom zapreminske teine pojedinih vrsta.

    Poredei to sa ugibom, pruzrokovanim delovanjem tereta u sredini raspona grede sa ugibom, nastalim usled ravnomernog optereenja, iste veliine kao koncentrisana sila, zakljuuje da je ugib u drugom sluaju manji. Odnos ugiba iz prvog i drugog sluaja je 19:30. Ovaj eksperimentalni odnos je veoma blizu vrednosti od 5/8, koja je dobijena teorijski.

    Posmatrajui geometrijski sline grede od istog materijala, on zakljuuje da je zakrivljenost , koju izaziva njihova sopstvena teina u sredini raspona, uvek ista, a da su njihovi ugibi proporcionalni sa kvadratima njihovih linearnih dimenzija.

    Oblik krivih ugibanja, prouzrokovanih koncentrisanim teretom u sredini raspona, iskazuje krivom koja se moe predstaviti jednom hiperbolom.

    Jo jedan uenik iste kole, A. Dilo, je izvrio brojna sistematska ispitivanja gvoa i gvozdenih konstrukcija. On odreuje neutralnu osu pri savijanju, i pogreno uzima da je moment sile zatezanja oko te ose jednak momentu sile pritiska. Njegovi rezultati su valjani samo za grede pravougaonih preseka i tapove okruglog preseka.

    Posmatra beskonano dug tap i zakljuuje da ukljetenje krajeva grede smanjuje ugib u sredini raspona svega za jednu etvrtinu od odnosne vrednosti kod prosto oslonjene grede istog napona.

    Bavio se ispitivanjem prizmatinih gvozdenih tapova sa aksijalnim pritiskom. Tu koristi vrlo tanke tapove i imao je potekoe sa odreivanjem centralnog poloaja optereenja. Ovi eksperimenti su uspeli jer su se smatrali da su u skladu sa Ojlerovom teorijom.

    28

  • Takoe je vrio eksperimente sa tankim gvozdenim lukovima sa dva zgloba i one koji su se odnosili na torziju prizmatinih gvozdenih tapova. Tu razrauje obrazac za ugao uvrtanja koji se poklapa sa Kulonovim obrascem.

    Diloovi eksperimenti su vreni uvek u granicama elastinosti i njegovi materijali su se ponaali shodno Hukovom zakonu, a on je je sve to uvek nastojao da eksperimentalno proveri.

    U to vreme je bilo opte prihvaeno da su torzioni naponi proporcionalni udaljenosti posmatranog elementa od ose tapa. Diloovi eksperimenti su pokazali da to nije tako, a kasnije emo videti da e Koi unaprediti tu teoriju, a da e problem najzad reiti Sen-Venan.

    Moramo pomenuti jo par interesantnih rezultata do kojih su doli Seken, Lame i Vika u to doba. Prvi od njih je objavio rezultate svojih ispitivanja ice koju je upotrebljavao pri izgradnji prvog francuskog viseeg mosta. Lameova istraivanja su se odnosila na mehanike osobine ruskog gvoa. Vika je prouavao otpornost razliitih metala na smicanje i doao do zakljuka de je kod kratkih greda uticaj smiuih sila na otpornost vrlo znaajan. Interesantno je da je on koristio materijale kao to su kamen i opeka, koji se ne pokorevaju Hukovom zakonu, pa je imao dosta potekoa. Zato je njegov rad bio od neznatnog teorijskog znaaja, ali je privukao veliku panju.

    5.3 Ponsele (Jean-Victor Poncelet) (1788-1867)

    an-Viktor Ponsele (1788-1867) roen je u Mecu, u siromanoj porodici. Posle osnovne kole je dobio stipendiju koja mu je omoguila da nastavi kolovanje u liceju u svom rodnom mestu. Godien 1807. polae konkursni ispit i ulazi u Politehniku kolu, gde postaje Monov uenik. Posle toga, 1810. godine upisuje Vojnu akademiju u Mecu, i po zavretku se pridruuje Napoleonovoj armiji. On biva zarobljen i ostaje u zarobljenitvu dve duge godine. U gradu na Volgi, u Saratovu, te dve godine iskoriava za nauno razmiljanje te razvija osnovne ideje svoje nove, projektivne geometrije. Nakon potpisivanje mira, Ponsele se vraa u Francusku gde rukovodi arsenalom u Mecu. Ovde takoe ima mnogo slobodnog vremena i nastavlja svoja nauna istraivanja. Tako je i izdata njegova knjiga Trait des proprits projectives des figures, 1882. godine. Poto su se francuski matematiari u to vreme najvie interesovali za primenu matematike analize pri reavanju fizikih problema, Ponseleov rad je proao neprimeeno. Zbog toga se posvetio reavanju problema ininjerske mehanike.

    Godine 1825. je imenovan za profesora ininjerske mehanike na Vojnoj akademiji u Mecu.

    29

    Slika 5.3.1 Ponsele

  • Godine 1826. izlazi njegova knjiga Cours de mcanique applique aux machines, a 1829. izlazi i druga njegova knjiga Introduction la mcanique industrielle.

    Ponseleov rad na mehanici je ubrzo dobio i zasluno priznanje i izabran je za lana Akademije nauka 1834. godine. Jedno vreme e predavati mehaniku u Parizu.

    Tokom godina 1848-1850 on je upravnik Politehnike kole, meutim 1852. godine se povlai u penziju kako bi priredio nova izdanja svojih knjiga iz geometrije i primenjene mehanike.

    Ponsele je najvie doprineo geometriji i dinamici, ali isto tako je dao veliki doprinos mehanici materijala koji je objavljen u njegovoj knjizi Mcanique industrielle. On, pored toga to daje rezultate dobijene mehanikim ispitivanjima, detaljno diskutuje o praktinim posledicama tih rezultata.

    Uvodi dijagrame ispitivanje na zatezanje pri poreenju razliitih vrsta gvoa i elika, i pokazuje kako se pomou tih dijagrama najbolje bira radni, doputeni napon odnosnog materijala. On je vrlo konzervativan pa retko kad preporuuje vee vrednosti od polovine granice elastinosti posmatranog materijala.

    Veliki znaaj dinamikog efekta tereta je prvi pokazao Tomas Jang, ali Ponsele se uputa u produbljivanje studija tih dinamikih uticaja. Dokazuje da gvozdena ipka, sve do svoje granice elastinosti moe da apsorbuje samo mali deo kinetike energije, a da uslovi udara mogu lako prouzrokovati trajnu deformaciju.

    Dalje, on istrauje longitudinalni udar i njegov uticaj na tap, kao i longitudinalne vibracije, prouzrokovane takvim udarcem. Pokazuje da kada neka pulsirajua sila deluje na jedan tap, da amplituda prinudne vibracije moe zapasti u uslove rezonancije, pa time objanjava zato marovanje jedne ete vojnika moe dovesti do sloma mosta.

    U svojoj Industrijskoj mehanici kae da se i najbolja opruga moe dovesti do sloma pod dejstvom naizmeninih napona pritiska i zatezanja.

    Iz mnogih neobjavljenih njegovih materijala saznajemo da Ponseleu treba pripisati zaslugu za uvoenje uticaja smiue sile u obrasce za ugib greda. On daje obrazac za ugib konzole pravougaonog poprenog preseka, duine l, irine b i visine h, optereene po celoj svojoj duini ravnomerno podeljenim optereenjem q koji glasi:

    += 4

    2

    3

    4

    891

    23

    lh

    Ebhqlf

    Odnosi se na maksimalan ugib, a smiua sila na ugib ima znaaj samo ako se radi o relativno kratkoj gredi.

    Ponsele se priklonio teoriji maksimalnih relativnih deformacija i tvrdi da slom nastupa onda kada deformacija dostigne odreenu granicu, a da kod materijala kao to

    30

  • su kamen ili liveno gvoe to zavisi od bonog irenja pod pritiskom. Kasnije je to primenjivao i Sen-Venan, ali i mnogi irom Evrope.

    5.4 Jang (Thomas Young) (1773-1829)

    Tomas Jang (1773-1829) roen je u jednoj kvekerskoj porodici u Milvertonu. Jo od malih nogu je pokazao izuzetnu sposobnost za uenje, naroito jezika i matematike. Sa 14 godina je pored ivih jezika znao i latinski, starogrki, hebrejski, persijski i arapski.

    U periodu od 1787. do 1792. je bio vaspita u jednoj bogatoj porodici i pored toga je imao dosta vremena da izuava filozofiju i matematiku. Posle toga poeo da studira medicinu u Londonu, kasnije u Edinburgu, da bi studije zavrio u Nemakoj, u Getingenu, 1796. godine.

    Godine 1797. se upisuje na Emanuel koled u Kembridu.

    Pogledi i ciljevi matematiara u ono vreme bili su sasvim drugaiji nego to su sada, a Jang je bio ispred svih i zapaao je njihove nedostatke. On se zaista bavio svojom naukom i nije se druio ni sa jednim od filozofa. Nikada nije govorio o moralu, metafizici ili religiji.

    Jang je otpoeo svoj nauni rad vrlo rano. Sa dvadeset godina podnosi Kraljevskom drutvu svoj rad o teoriji vida, a za vreme boravka u Kembridu se zanima za oblast akustike.

    Godine 1801. je nainio svoje uveno otkrie interferencije svetlosti, a sledee godine je izabran za redovnog lana Kraljevskog drutva i za profesora prirodne filozofije od Kraljevske institucije.

    Kao nastavnik na Kraljevskoj instituciji se nije ba proslavio-naprotiv. Predavanja su mu bla suvie saeta i njegova izlaganja bilo je jako teko pratiti. Zbog toga je podneo ostavku 1803. godine i poeo je da priprema svoja predavanja da bi ih publikovao.

    Prilikom razmatranja zatezanja i pritiska, Jang tu prvi put uvodi pojam modula elastinosti. Definicija te veliine razlikuje se od od onoga to mi danas podrazumevamo pod Jangovim modulom elastinosti. On kae: ,,Modul elastinosti ma kog materijala jeste stub od iste supstance, sposoban da proizvede pritisak na svoju osnovu koji se odnosi prema teretu to prouzrokuje neki stepen zbijanja kao to se odnosi duina te supstance prema smanjenju njene duine.

    31

    Slika 5.4.1 Jang

  • Primeuje da je visina modula nekog materijala nezavisna od poprenog preseka, a teina modula je jednaka proizvodu onoga to mi danas nazivamo Jangovim modulom elastinosti i povrine poprenog preseka tapa.

    Opisujui svoje eksperimente o pritisku i zatezanju tapova, Jang iznosi injenicu da podune deformacije uvek prati i izvesna promena u poprenim dimenzijama. Objanjavajui Hukov zakon napominje da on vai samo do neke izvesne granice, preko koje je jedan deo deformacije neelastian, pa predstavlja trajnu deformaciju.

    Za odnos izmeu smiuih sila i deformacija koje one proizvode kae da se iz osobina uvrnutih supstanci moe zakljuiti da se sila menja u prostoj srazmeri sa udaljenou delia od njihovog prvobitnog, prirodnog poloaja. Isto tako, ona mora biti i prosto srazmerna veliini povrine na koju deluje.

    Kod uvijanja osovina, krunog poprenog preseka zapazio je da postoji i jedan dopunski otpor, srazmeran kubu ugla uvrtanja, a koji potie od longitudinalnih napona vlakana koja bivaju uvrnuta u obliku heliksa.

    Pri svom razmatranju savijanja konzola i prostih greda, on dolazi do osnovnih rezultata u pogledu ugiba i otpornosti bez pomoi izvoda.

    Kad prouava neelastine deformacije, Jang daje sledei veoma znaajni sud. Trajne deformacije oblika ograniavaju jainu materijala u praktinom poglrdu skoro u istoj meri kao i pojava sloma. Do ovoga zakljuka je ranije doao i Navije. Daje veoma zanimljiv zakljuak za slom elastinog tela udarom. Smatra da u tom sluaju nije odluujua teina tela koje udara, ve samo koliina kinetike energije.

    Konstatuje da je elastina deformacija kod prizmatinog tapa, izloenom longitudinalnom udaru, srazmerna njegovoj duini poto e slina deformacija kod dueg tapa biti i srazmerno vea.

    Obeleavajui brzinu, kojom se talas kompresije kree du nekog tapa sa V, a brzinu udarajueg tela sa v, on zakljuuje da je jedinino zbijanje, prouzrokovano na kraju tapa u trenutku udara jednako v/V, a da se granina vrednost za v dobija izjednaavanjem odnosa v/V sa graninom vrednou zbijanja.

    Prouavajui efekat udara na prizmatinu gredu pravougaonog preseka, zakljuuje da je za neki dati maksimalni napon na savijanje, prouzrokovan udarom, koliina akumulisane energije u gredi srazmerna njenoj zapremini. Daje izraze za P maksimalnu silu prozrokovana na gredi udarnim telom, i ugib u taki udara:

    lbhkP

    2

    = , 33

    1 bhlPk=

    gde je b irina, h visina, l duina grede, k i k1 su konstante koje zavise od modula materijala i od veliine maksimalnog napona.

    Izraz za naponsku energiju U je:

    32

  • 22 12 bhlkkPU ==

    Vidimo da je Jang mnogo doprineo otpornosti materijala uvoenjem pojma modula pritiska i zatezanja i dao je metodu za izraunavanje udara kod savreno elastinih materijala.

    U drugoj svesci svoje Prirodne filozofije, u glavi o ravnotei i otpornosti elastinih tela, Jang razrauje neke komplikovanije probleme u vezi sa izvijanjem tapova. Njegova knjiga je teka za itanje, ali otkriva mnoga znaajna reenja problema koji jo nisu ni naeti u to vreme.

    Prvo prouava problem ekscentrinog zatezanja ili pritiska pravougaonog tapa. Dijagram raspodele napona predstavlja sa dva trogla i trai poloaj neutralne ose vodei se time da rezultanta tih napona mora prolaziti kroz taku O koja je napadna taka spoljne sile. Dobija:

    eha

    12

    2

    =

    e ekscentricitet sile, kada je 6/he = , onda je 2/ha =

    Tu je maksimalni napon dvostruko vei nego kada ista sila deluje centrino.

    Kao svoj drugi problem, Jang uzima izvijanje jednog prizmatinog, pritisnutog stuba, koji je pre toga malo zakrivljen. Prvobitna zakrivljenost je predstavljena kao polutalas jedne sinusoide )/sin(0 lxpi . Primenom pritiskajue sile P dobijamo:

    2

    20

    1pi

    ElPl

    =

    Izvijanje e biti beskonano, ma kolika bila veliina 0 , jer e sila nadvladati stub, ili e bar pruzrokovati tako veliko izvijanje, koje e potpuno poremetiti dejstvo angaovanih sila.

    Ukazuje da Ojlerovi obrasci za iznalaenje dimenzija poprenog preseka stuba vae samo za vitke stubove.

    Izvodi obrazac za povijanje vrha stuba pod dejstvom ekscentrino dejstvujue sile P, u sluaju kada je neki vitki stub ukljeten svojim donjim krajem, a slobodan svojim vrhom.

    plpxey

    cos)cos1(

    =

    U ovom sluaju Jang je ispred Navijea.

    33

  • Reavanje mnogih problema koji su bili novi za ono vreme nije privuklo mnogo panje, meutim biograf Rejli 1892. godine je prouio Jangova predavanja i naiao na mnoge interesantne stvari.

    Jedna od najimpresivnijih stvari jeste Jangova procena veliine molekula. On je procenio molekularni prenik da e se kretati negde izmeu dvo-milijarditog i deseto-milijarditog dela jednog palca tj. oko 25mm, to je udesno predvianje dananjag, savremenog znanja.

    Pokazao je svoju izvanrednu sposobnost ne samo pri reavanju isto naunih problema, ve isto tako pri savlaivanju praktinih inenjerskih potekoa. Zato se moemo sloiti sa ocenom lorda Rejlija koji je rekao za njega: Poloaji, koje je on ve bio zauzeo, bili su mnogo puta ponovo osvajani od njegovih sledbenika, i to po cenu velikog utroka intelektualne energije.

    5.5 Otpornost materijala u Engleskoj izmeu 1800. i 1833.

    U ovom periodu Engleska nije imala kola koje bi bile istog ranga kao to su Politehnika kola ili kola za mostove i puteve u Francuskoj. Nivo engleskih knjiga iz otpornosti materijala daleko je zaostajao za francuskim knjigama tog doba. Uprkos tome engleski inenjeri su morali da reavaju mnoge vrlo znaajne inenjerske probleme, morali su da istrauju i da se upoznaju s mehanikim osobinama tih materijala. Stoga je u Engleskoj objavljen veliki eksperimentalni rad, iji su rezultati bili primenjivani i u drugim zemljama.

    Godine 1817. pojavila se u Engleskoj jedna knjiga od Pitera Barlou pod nazivom Ogled o otpornosti drveta. Ova knjiga je postala vrlo popularna i ubrzo je doivela svoja ponovna izdanja. Na poetku te svoje knjige Barlou daje istorijski pregled otpornosti materijala. Takoe nalazi da su Ojlerovi instrumenti analize suvie delikatni da bi mogli biti sa uspehom primenjeni na takve probleme.

    Raspravljajui o teoriji savijanja Barlou ini istu greku kao i Dilo pa uzima da neutralna osa deli povrinu poprenog preseka grede tako da je moment svih napona zatezanja u odnosu na tu liniju jednak momentu svih napona pritiska. Ta greka je bila ispravljena u jednom od kasnijih izdanja.

    Pripisuje Hodikinsonu pronalaenje tanog poloaja neutralne ose. Nije znao da je Kulon izvrio tu ispravku pedeset godina pre.

    Istina je da knjiga Barloua ne donosi nita novo u teoriji otpornosti materijala, ali je tano i to da sadri opise mnogih eksperimenata izvrenih u prvoj polovini veka, a koji predstavljaju istorijski interes. Tu se pominju znaajna ispitivanja Ferberna na zamoru limenih nosaa, kao i izvetaj o dinamikom dejstvu tereta u pokretu na gredu koja je izvrio Vilisov.

    Drugi engleski inenjer koji je pisao knjige u prvoj polovini devetnaestog veka je Tomas Tredgold. Prva knjiga koju je izdao ne govori nita novo to ve nismo videli u Jangovim predavanjima. U drugoj knjizi se odnosi na praktini ogled otpornosti livenog gvoa. Tu je on prvi uveo obrazac za nalaenje dovoljnog napona kod stubova.

    34

  • 5.5 Ostali znaajni doprinosi evropskih naunika nauci o otpornosti materijala

    Rad na polju otpornosti materijala u Nemakoj je zapoet tek poetkom devetnaestog veka, a prvi znaajni doprinos od strane nemakih naunika dao je Franc Jozef Gerstner koji je diplomirao na prakom Univerzitetu i posle nekoliko godina postao asistent. Godine 1789. je izabran za profesora matematike, ali se istovremeno interesovao i za praktinu primenu nauke u inenjerstvu. Godine 1806. je otvoren eki tehniki institut u tom gradu, a Gerstner je bio veoma aktivan sve do svoje smrti, kao profesor mehanike i direktor tog instituta.

    Glavni njegov rad na mehanici je sadran u tri toma njegove knjige Prirunik iz mehanike. Tu on daje svoja istraivanja sa zatezanjem klavirskih ica. Takoe dokazuje da kada se neka ica rastegne tako da zaostane izvesna trajna deformacija razvlaenja, pa se onda uzorak rastereti, a potom se ponovo tereti, da e ona potom slediti Hukov zakon sve do tereta koji je izazvao prvobitno stalno razvlaenje.

    Drugi jedan nemaki inenjer koji je doprineo boljem poznavanju inenjerske mehanike poetkom devetnaestog veka zvao se Johan Albert Ajtelvajn. U svom slobodnom vremenu, on je studirao matematiku i inenjerske nauke tako da se osposobio i poloio 1790. godine diplomski ispit za zvanje inenjera arhitekte. Prva kjniga mu je Zadaci iz matematike, veinom primenjene. Organizovao je sa jo par nemakih inenjera zavod i postao direktor tog zavoda, kao i profesor inenjerske mehanike. Napisao je jo i knjige Prirunik iz mehanike vrstih tela i Prirunik iz statistike vrstih tela, ali nita posebno originalno nisu sadrale.

    Godine 1815. osnovan je Politehniki institut u Beu, a zatim i u mnogim gradovima Nemake.

    Engleski, nemaki i francuski napredak na polju otpornosti materijala povukao je napredak i u drugim zemljama, npr. u vedskoj. Poto je elina industrija bila od velikog znaaja za tu zemlju, nije ni udno to su se prva ispitivanja u vedskoj vrila sa elikom. Predvodnik ove aktivnosti bio je vedski fiziar P. Lagerhjelm.

    Njegova istraivanja su pokazala da je modul elastinosti pri zatezanju skoro isti za sve vrste gvoa, te da ne zavisi od valjanja, kovanja i ostalih termikih obrada, ali da mogu da utiu na granicu elastinosti ili graninu vrstou. Ustanovio je da se gustina gvoa na mestu sloma unekoliko smanji i da je konana vrstoa gvoa u veini sluajeva srazmerna njegovoj granici elastinosti. Mnogi kasniji vedski naunici se pozivaju na njegove radove.

    35

  • 6 Poeci matematike teorije elastinosti6.1 Jednaine ravnotee u teoriji elastinosti

    Sva dosadanja teorija otpornosti materijala, koja je do 19. veka razmatrana, uzimala je za pretpostavku da popreni preseci greda ostaju ravni i tokom deformisanja, ka i da se materijal pokorava Hukovom zakonu.

    Poetkom devetnaestog veka javljaju se nastojanja da se u mehanici elastinih tela stvori jedna temeljnija osnova. elja da se elastina svojsta objasne putem sila privlaenja i odbijanja najsitnijih delia, potiu jo od Njutnovog doba. Njih je razraivao Ruer Bokovi, koji je uzimao da izmeu svaka 2 najsitnija delia, po liniji koja ih spaja, deluju sile, i to privlane pri izvesnim razdaljinama, i odbojne pri drugim odstojanjima.

    Bokovieve teorije pri prouavanju deformacija elastinih tela prvi je primenio Poason pri svom izuavanju savijanja ploa. On posmatra plou kao sistem estica, ravnomerno rasporeenih po srednjoj ravni ploe. Meutim, takav jedan sistem se moe suprostaviti zatezanju, ali ne i savijanju, pa stoga moe predstavljati idealno fleksibilnu membranu, ali ne i plou.

    Dalji napredak u molekularnoj teoriju elastinih tela nainio je Navije. On uzima da postoji dva sistema sila F i 1F koje deluju na estice jednog elastinog tela. Sile se meusobno uravnoteuju i predstavljaju molekularne sile koje deluju kada spoljnih sila nema. Sile 1F uravnoteuju spoljanje sile, kao npr. gravitacione sile. Uzima se da su one srazmerne promenama )( 1 rr udaljenosti izmeu estica i da deluju na pravcima koji spajaju sile.

    Ako su u, v i w komponente pomeranja estice ),,( zyxP , i ako su uu + , vv + , ww + odgovarajua pomeranja susednih delia

    ),,( zzyyxxP +++ , onda je promena udaljenosti izmeu ta dva susedna delia data izrazom:

    wvurr ++= 1pri emu , , oznaavaju kosinuse uglova, koje pravci r zaklapaju sa koordinatnim osama x, y, z..

    Odgovarajua sila F1 je dalje

    ))((1 wvurfF ++=

    gde je f(r) faktor, koji naglo opada sa porastom razdaljine r.

    Sada Navije razvija u , v , w u redove tipa

    ...21 2

    2

    2

    +

    +

    +

    +

    +

    = yxyx

    uxxuz

    zuy

    yux

    xuu

    36

  • i ograniava se na izraze drugog reda. Potom, uvodei te izraze u prethodnu jednainu i stavljajui:

    rx = , ry = , rz =

    on dobija sledee izraze za x za komponentu sile F1:

    ++

    +

    +

    +

    +

    +

    = 2

    2323

    2

    24223

    1 2...

    2)(...)(

    zw

    yxu

    xurfr

    xv

    yu

    xurrfF

    Da bi izraunala celokupna sila koja deluje u pravcu x na pomereni deli ),,( zyxP , mora se obaviti sumiranje izraza slinih gornjem ( 1F ) za sve delie u

    sferi delovanja delia P. inei to, i uzimajui da su molekularne sile nezavisne od pravca r, to jeste da je telo izotropno, Navije zapaa da svi lanovi koji sadre kosinuse, stepenovane na neparne eksponente, iezavaju. i tako svi integrali iz prvog reda izraza 1F isezavaju. Odreivanje vrednosti onih integrala iz drugog reda, koji ne nestaju, svodi se na izraunavanje samo jednog integrala:

    = 0 4 )(152 drrfrC pi

    Uzevi da je vrednost tog integrala poznata, projekcija na x osu rezultante sile, delujui na esticu P postaje:

    +

    +

    +

    +

    = zxw

    yxv

    zu

    yu

    xuCF

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1223

    Na slian nain dobijamo i ostale dve projekcije.

    Ako uvedemo sledee notacije , jednaine ravnotee estice P mogu se oigledno izraziti pri emu su X, Y, Z komponente spoljnih sila, koje deluju na esticu

    ),,( zyxP .

    zw

    yv

    xu

    +

    +

    = , 22

    2

    2

    2

    2

    zyx

    +

    +

    =

    02 =+

    + Xx

    uC

    02 =+

    + Yy

    vC

    02 =+

    + Zz

    wC

    Ove relacije su Navijeove diferencijalne jednaine ravnotee za izotropna elastina tela.

    37

  • Kao to se vidi, uz ove pretpostavke, koje Navije ini, dovoljna je samo jedna konstanta C za odreivanje elastinih osobina nekog tela. Dodajui inercijalne sile estice spoljnim silama X, Y, Z Navije dobija i opte jednaine kretanja nekog elastinog tela.

    Osim tri gornje jednaine koje moraju biti zadovoljene u svakoj taki unutar posmatranog tela, potrebno je takoe ustanoviti i zahteve u pogledu delia na povrini tela, gde molekularne sile moraju biti u ravnotei sa spoljnim

    silama, raspodeljenim po granici.

    Oznaavajui tri komponente te sile sa nX , nY , nZ po jedinici povrine, u taki sa spoljnom normalom n, te primenjujui princip virtuelnih pomeranja, Navije dolazi do zahtevanih graninih uslova u sledeem obliku:

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    = coscoscos3xw

    zu

    xv

    yu

    zw

    yv

    xuCX n

    Koi je kasnije razjasnio znaaj izraza u zagradi u gornjoj jednaini, pa je pokazao da su komponente nX , nY , nZ povrinske sile linearne funkcije est komponenata deformacija:

    +

    +

    +

    yw

    zv

    xw

    zu

    xv

    yu

    zw

    yv

    xu ,,,,,

    Dalji znaajni doprinosi u razvoju teorije elastinosti vezani su za Koijeve radove. On naputa izuavanje molekularnih sila izmeu susednih delia (estica) tela, pa namesto njih uvodi pojmove deformacija i napona, te tako izvanredno uproava izvoenje fundamentalnih jednaina.

    6.2 Koi (Augustin-Louis Cauchy) (1789-1857)

    Roen je u Parizu gde odrasta okruen najistaknutijim pariskim naunicima u atmosferi uenih razgovora i rasprava. Godine 1805. upisuje Politehniku kolu, a 2 godine potom i kolu za Mostove i Puteve koju zavrava 1810. Kao istaknuti matematiar biva izabran, godine 1816. za lana Akademije u svojoj 27-oj godini. Posle to Navije objavio svoj prvi rad iz oblasti teorije elastinosti, Koi se zainteresovao pa i sam poeo da radi na teoriji elastinosti.

    Za razliku od Navijea Koi ide drugim putem, pa uvodi pojam pritiska na povrinu (ova koncepcija mu je bila bliska iz hidrodinamike), pa uzima da pritisak nije vie upravan na povrinu, na koju deluje u elastinom telu. Na taj nain uvodi u teoriju elastinosti uveden pojam napona. Ukupni napon na beskonano mali deli ravni, posmatran u deformisanom elastinom telu definie se kao rezultanta dejstava

    38

    Slika 6.2.1 Koi

  • svih molekula, koji se nalaze sa jedne strane, na moleku s druge strane te ravni, a iji se pravci (dejstava) seku u posmatranom deliu. Delei ukupan napon povrinom elementa, dobija se veliina napona.

    Posmatrajui elementarni tetraedar Koi pokazuje da se tri komponente napona nnn ZYX ,, na nekoj kosoj ravni abc dobijaju iz tri jednaine ravnotee:

    nmlX zxyxxn ++=

    nmlY zyyxyn ++=

    nmlZ zyzxzn ++=

    gde su l, m, n kosinusi uglova, koje spoljnja normala na ravan abc zaklapa sa koordinatnim osama, a ,..., yxx su normalna i tangencijalna komponenta napona koji deluje u O, u koordinatnim ravnima yz, xz i yx. On isto tako dokazuje da je

    xyyx = xzzx = yzzy =

    Iz ega proistie da napon koji deluje na ma koju ravan kao to je abc, moe biti odreen sa est naponskih komponenti kao to su yzxzxyzyx ,,,,, . Rastavljajui komponente nnn ZYX ,, u pravac normale na ravan abc, mi dobijamo normalni napon n koji deluje na tu ravan.

    Koi pokazuje da ako povuemo vektor r, duine nr /1= u svakom pravcu n iz koordinatnog poetka O, onda e krajevi svih tih vektora leati u ravni drugog reda. Koi naziva pravce glavnih osa te ravni glavnim pravcima, a odgovarajue napone glavnim naponima.

    Koi izvodi diferencijalne jednaine ravnotee za elementarni pravougaoni paralelopiped

    0=+

    +

    + X

    zyx zxyxx

    0=+

    +

    + Y

    zyx zyyxy

    0=+

    +

    + Z

    zyx zyzxz

    gde X, Y i Z oznaavaju tri komponente telesne sile po jedinici zapremine u taki O. Ako se radi o vibraciji, ovim telesnim silama se dodaju jo i inercijalne sile.

    Francuski matematiar isto tako prouava mogue deformacije nekog elastinog tela oko take O pa dokazuje da, kada je deformacija mala, jedinino izduenje u bilo kom pravcu i promena pravog ugla izmeu ma koja dva prvobitno upravna pravca, mogu biti izraeni preko est komponenata relativnih deformacija:

    39

    Slika 6.2.2

  • zu

    xw

    yw

    zv

    xv

    yu

    zw

    yv

    xu

    xzyzxyzyx

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    =

    =

    = ,,,,,

    Ovi odnosi daju tri pomeranja du koordinatnih osa i deformacije uglova izmeu tih osa.

    Ako za svaku osu iz take O povuemo po jedan vektor, duine rr /1= , pri emu je r relativna deformacija u pravcu r, krajevi tih vektora e leati na jednoj povrini drugog reda. Glavne ose te povrine daju glavne pravce deformacija a odgovarajua pomeranja su glavna pomeranja.

    Koi isto tako daje odnose izmeu est komponenata napona i est komponenata relativnih deformacija za neko izotropno telo. Uzimajui da se glavni pravci deformacija podudaraju sa pravcima glavnih napona, a da su komponente napona linearne funkcije komponenata deformacija, on pie sledee jednaine

    Kk xx += , Kk yy += Kk zz +=

    gde su k i K dve elastine konstante, kao i

    zyx ++=

    gde je jedinica zapreminske promene.

    Za bilo koji pravac koordinatne ose, on tada dobija

    Kk xx += , Kk yy += Kk zz +=

    xyxyk 2

    = , xzxzk 2

    = , yzyzk 2

    =

    Sve ove relacije koje je Koi dobio predstavljaju ustvari jedan dovren, potpun sistem jednaina za reavanje problema elastinosti izotropnih tela. I on sam ih primenjuje pri svojim izuavanjima deformacija pravougaonih tapova. On se bavi problemima torzije pravougaonih tapova gde dokazuje da popreni presek nekog uvrnutog tapa po pravilu ne ostaje ravan, ve se vitoperi tokom uvrtanja.

    Poason (Simon Denis Poisson) (1781-1840)

    Glavni rezultati njegovog rada na teoriji elastinosti su objavljeni u dva njegova memoara, objavljena 1829. i 1831. godine, kao i u njegovom udbeniku iz mehanike.

    Polazei u svojim razmatranjima od sistema estica, izmeu kojih deluju molekularne sile, on dolazi do tri jednaine ravnotee i do tri granina uslova. Ovi su veoma slini sa onima, koje nalazimo kod Navijea i Koia u njihovim ranijim radovima. On dokazuje da su te jednaine ne samo potrebne, ve i dovoljne da obezbede ravnoteu ma koga dela elastinog tela. On uspeva da integrie jednaine kretanja, pa dokazuje ako se proizvede izvestan poremeaj u nekom malom delu tela, onda dolazi do pojave dve vrste talasa. Kod talasa vee brzine kretanja, kretanje svake

    40

  • estice je upravno na talasni front i to kretanje je propraeno promenom zapremine (ili irenjem); dok kod drugog talasa je kretanje svake estice tangencijalno na front talasa, i tu se javlja deformacija, ali bez zapreminske promene za vreme kretanja.

    Primenjujui njegove opte jednaine na izotropna tela, Poason nalazi da kod prostog zatezanja prizmatinog tapa aksijalno izduenje mora biti propraeno bonom kontrakcijom veliine , gde je =1/4 . Promena zapremine bie tada:

    21)21( = .

    Iako Poason nije dao toliko fundamentalnih ideja teoriji elastinosti nao Navije i Koi, on je reio mnoge probleme od praktinog znaaja, pa se stoga njegovi rezultati koriste jo i danas.

    41

  • 7 Matematika teorija elastinosti izmeu 1833. i 1867.7.1 Fizika elastinost i spor o elastinoj konstanti

    Pri izvoenju fundamentalnih jednaina svoje teorije elastinosti, Navije se sluio pretpostavkom da se idealno elastino telo sastoji od molekula izmeu kojih se, pri deformacijama, javljaju sile. Ove sile su srazmerne promenama razdaljina izmeu molekula i deluju na pravcima koji spajaju molekule. Na ovaj nain, Navije je uz primenu