ELEMENTI LINEARNOG PROGRAMIRANJASEMINARSKI RAD

Predmet: Kvantitativne metode u ekonomiji

POVIJEST LINEARNOG PROGRAMIRANJA[footnoteRef:2] [2: Andriji, S., Matematiki modeli i metode programiranja u gospodarskom drutvu , tree izdanje, Synopsis, Zagreb Sarajevo, 2002]

Linearno programiranje je grana matematike koja se bavi optimizacijom dijela sistema ili cijelog sistema u okvirima zadanih uvjeta. U povijesti razvoja linearnog programiranja posebna uloga se pripisuje nekolicini poznatih svjetskih matematiara. Ruski matematiar Leonid Kantorovich je 1939. godine prvi put uveo pojam linearnog programiranja za rjeavanje problema optimalne potronje resursa. Njegov rad Matematiki metodi organizacije i planiranja proizvodnje smatra se poetkom ubrzanog razvoja ovog modela, ali i ekonomsko-matematikih modela openito. U SAD-u je linearno programiranje razvijeno tijekom Drugog svjetskog rata, prvenstveno za probleme vojne logistike kao to je optimiziranje prijevoza vojske i opreme vojnim konvojima, kao i rjeavanje problema rasporeivanja ogranienih koliina vojnog materijala i ljudi za odreene vojne operacije na to djelotvorniji nain. George Dantzing, Marshall Wood i suradnici pri odjelu amerikih zrakoplovnih snaga su 1947. godine u projektu pod nazivom SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs), dali matematiku osnovu i razvili metodu (simplex metoda ili Dantzingov algoritam) za rjeavanje problema linearnog programiranja s velikim brojem varijabli. Iste godine J. Von Neumann, povezujui teoriju linearnog programiranja i teoriju matrinih igara, razvija teoriju dualnosti koja u linearnom programiranju omoguava i postoptimalnu analizu i parametarsko linearno programiranje. Nakon rata postalo je jasno da se linearno programiranje moe primijeniti i na mnoga druga podruja kao to su ekonomija, zrakoplovstvo, tehnike znanosti, industrija itd. Neizostavan je i doprinos ekonomiste i matematiara Tjallinga Koopmansa koji je s Kantorovichem 1975. godine podijelio Nobelovu nagradu iz podruja ekonomije za svoj pionirski rad u linearnom programiranju. Koopmans je dobio nagradu za svoj doprinos u teoriji optimalne alokacije resursa.

DEFINICIJA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Linearno programiranje predstavlja metodu odreivanja optimalnog rjeenja problema odluivanja kod kojih su relacije izmeu promjenljivih u funkciju cilja i skupu ogranienja linearne. Optimalno rjeenje je najbolje rjeenje iz skupa dopustivih rjeenja u skladu sa usvojenim kriterijem za koje funkcija cilja dostie ekstremnu vrijednost- maksimum ili minimum.[footnoteRef:3] [3: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 15]

Matematika formulacija zadatka linearnog programiranja sastoji se u tome da je potrebno pronai takav skup vrijednosti promjenljivih x1,x2,...,xn iz domena moguih ili dopustivih rjeenja D, koji je odreen sistemom linearnih nejednaina/jednaina, za koji funkcija cilja dostie maksimalnu/minimalnu vrijednost. Pod prethodno definisanim uslovima, za pronaeni skup vrijednosti promjenljivih kaemo da predstavljaju optimalno rjeenje.[footnoteRef:4] [4: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 15]

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA I NJEGOVA SADRINA

Jedna od najvie primjenljivih oblasti operacionih istraivanja je linearno programiranje. Mnogi problemi u ekonomiji, proizvodnji, tehnikim disciplinama su tog karaktera da treba odrediti optimalno rjeenje tog problema, pri odgovarajuim ogranienjima. To optimalno rjeenje zovemo funkcija cilja. To je linearna funkcija vie nepoznatih. Ogranienja problema dati su sistemom linearnih jednaina ili nejednaina.[footnoteRef:5] [5: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 39]

Ako veliine, koje se pojavljuju u posmatranom problemu, oznaavamo sa: xj-nepoznate (varijable);cj-parametri u funkciji cilja;fx-funkcija cilja;aij-parametri ogranienja;bi-slobodni lanovi jednaina/nejednaina ogranienja;(i=1,...,m; j=1,...,k),

tad posmatranom problemu odgovara model linearnog programiranja definisan ovako:Treba odrediti vrijednosti varijabli x1,...,xk, tako da funkcija cilja f(x)=c1x1+...ckxk= uzme ekstremnu vrijednost pri ogranienjima:[footnoteRef:6] [6: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 40]

a11x1+a12x2+...+a1kxk=b1a21x1+a22x2+...+a2kxk=b2................................................. xj0 (j=1,2,...,k)am1x1+am2x2+...+amkxk=bm

Pod metodom linearnog programiranja podrazumijevamo nain rjeavanja modela linearnog programiranja. Rijeiti model linearnog programiranja znai iz skupa svih moguih rjeenja odrediti ono koje je optimalno. Takva rjeenja. Zbog nenegativnosti komponenti, zovemo i bazina dopustiva rjeenja, a one varijable bazinog rjeenja, koje su pozitivna zovemo bazine varijable. Ostale varijable, koje su jednake nuli, zovemo slobodne ili nebazine varijable.[footnoteRef:7] [7: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 42]

Problemi poslovnog odluivanja koji se rjeavaju metodama linearnog programiranja moraju biti kvantificirani kroz slijedee komponente:- alternativne aktivnosti;- kriterij i cilj;- ogranienja.

Na taj nain minimalna matematika reprezentacija problema linearnog programiranja definie se:-skupom promjenljivih;-funkcijom cilja;-skupom ogranienja.S obzirom na svoj znaaj u rjeavanju problema poslovnog odluivanja metodama linearnog programiranja, svaka od ovih komponenti zahtijeva posebno objanjenje s ekonomsko-matematikog aspekta.[footnoteRef:8] [8: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 17]

Funkcija cilja

Funkcija cilja moe biti izraena u naturalnim, finansijskim ili drugim veliinama zavisno od problema poslovnog odluivanja. Na osnovu usvojenog kriterija, jendoznano i logino proizilazi i definisanje cilja modela. Mogua su dva sluaja:

1. Ako je kriterij profit, dobit, zarada, efikasnost investicija, koliina proizvodnje, kapacitet, pouzdanost, prinos, uinak i sl., onda je cilj maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija dobiti itd.2. U sluaju da je kriteri trokovi proizvodnje, trokovi transporta, vrijeme transporta, utroci, gubitak, kart, vrijeme realizacije i sl., onda je cilj minimizacija ukupnih trokova, minimizacija ukupnog vremena transporta itd.[footnoteRef:9] [9: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 18]

Skup ogranienja modela

Skup ogranienja definie se n-dimenzionalnom prostoru R domen ili skup dopustivih rjeenja D.U n-dimenzionalnom prostoru R, poseban sluaj linearne zavisnosti predstavlja hiperravan datu jednainom:

Ova hiperravan dijeli prostor R na poluprostore:

Domen dopustivih rjeenja D u linearnom modelu udovoljava osobinama konveksnog skupa taaka, U konveksnom skupu razlikuju se dvije vrste taaka: ekstremne i neekstremne. Ekstremne take se nalaze u tjemenima konveksnog poliedra i za razliku od neekstremnih, ne mogu se izraziti kao konveksna kombinacija drugih taaka skupa. Na slici 1. ekstremne take K, L, M, N, O. Razlikovanje ekstremnih taaka u odnosu na druge take konveksnog skupa vano je to ekstremne take predstavljaju take moguih rjeenja problema linearnog programiranja.Konveksni skup se naziva konveksnim poliedrom ako je ogranien i ako mu je broj ekstremnih taaka konaan. Meutim, domen dopustivih rjeenja ne daje odgovor na to pitanje izbora optimalnog rjeenja, ve ga daje funkcija cilja koja ekstremnu vrijednost dostie u ekstremnoj taki konveksnog poliedra.[footnoteRef:11] [11: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 20]

CABMNOKLK

Slika 1. Konveksni skupOgraniavajui uslovi izraeni u obliku linearnih nejednaina oblika odnose se najee na:-ograniene proizvodne kapacitete;-ograniene koliine sirovina i repromaterijala;-raspoloivu radnu snagu;-ograniene mogunosti plasmana proizvoda;-ograniena finansijska sredstva i sl.

Ogranienja matematiki izraena kao linearne nejednaine oblika odnose se na odreene minimalne zahtjeve kao to su:-minimalna proizvodnja;-minimalna prodaja;-minimalno ulaganje;-minimalne zalihe;-minimalno koritenje resursa.

Ogranienja izraena u obliku linearnih jednaina prozilaze iz specifinih zahtjeva, kao to su:-potpuna iskoritenost sredstava;-struktura proizvodnog asortimana koja iznosi 100% ili 1;-struktura investicionog portfolija;-struktura smjese;-proizvodnja vezanih proizvoda;-zavisnost promjenljivih i sl.[footnoteRef:12] [12: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 21]

METODE ZA RJEAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Postoje dvije osnovne grupe metoda pomou kojih se mogu rjeavati problemi linearnog programiranja:

Simplex metoda- opta metoda pomou koje se mogu rjeavati svi problemi linearnog programiranja;Metode prilagoene rjeavanju specijalnih vrsta problema kao to su transportni problem, rasporeivanje i sl.[footnoteRef:13] [13: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 44]

Meutim pored ovoga imamo i drugu podjelu koja kae da se metode linearnog programiranja dijele na: Grafiku metodu; Simplex metodu; Transportnu metodu; Metodu rasporeivanja.[footnoteRef:14] [14: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 42]

Grafika metoda

Ova metoda se koristi za modele sa dvije ili tri varijable, ako koristimo odgovarajue znanje iz nacrtne geometrije. Na osnovu uslova dobijemo konveksan poligon ili poliedar, ili se dobije neogranien dio ravni. Zatim se rjeenja trae u tjemenima dobiojene dopustive oblasti, ili na duima koje ih spajaju.Ako je f(x)= funkcija cilja, tad se geometrijski smisao problema linearnog programiranja sastoji u tome da se pronae ona taka x dopustive oblasti, koja najvie ili najmanje odstupa od hiperravni =0.[footnoteRef:15] [15: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 43]

Primjer 1.[footnoteRef:16] [16: S.Zahirovi, S.Kozarevi, J.Okii. Kvantitativne metode u odluivanju I , Tuzla, 2008, str 21]

Preduzeu za proizvodnju treba sirovina koja sadri najmanje 8 jedinica sastojka A, 25 jedinica sastojka B i 3 jedinice sastojka C. Dobavlja D1 nam moe ponuditi sirovinu iji 1kg kota 2 NJ i sadri 1 jedinicu sastojka A, 2 jedinice sastojka B i 1 jedinicu sastojka C. Dobavlja D2 nam moe ponuditi sirovinu iji 1 kg kota 2 NJ i sadri 1 jedinicu sastojka A i 5 jedinica sastojka B. Koje koliine sirovina e se mjeseno nabavljati od pojedinih dobavljaa ako hocemo da napravimo optimalnu mjeavinu?

Sastav sirovine (jed/kg) D1 D2 Minimalne potrebe (jed)

ABC 1 1 2 5 1 -8253

Nabavna cijena (NJ/kg) 2 2

x1, x2- mjesena koliina sirovine nabavljene od dobavljaa D1 i D2 (kg)z=2x1 + 2x2min(1) x1 + x2 8(2) 2x1 + 5x2 25(3) x1 3 x1, x2 0x1+x2 8 2x1 + 5x2 25 x1 3x2 8 x1 x2 5 - 2/5x1x2 = 8 x1 x2 5 - 2/5x1

x1 0 8 x1 0 25/2 x1 3x2 8 0 x2 5 0 x2 0

x2

( 0, 8 )

D

A

( 0, 5 )

B

z'

( 25/2, 0 )( 8, 0 )( 3, 0 )x1

( 2 )( 1 )z0

( 3 )

Sa grafikog prikaza vidimo da se pravac z' poklapa sa dui AB, to znai da optimalno rjeenje predstavljaju take na ovoj dui. Koordinate take A su ( 3, 5 ), a take B ( 5, 3 ). Vrijednost funkcije cilja u ovim takama je 16. Tako je prvo optimalno rjeenje:

x1=3x2=5z=16

Drugo optimalno rjeenje:

x1=5x2=3z=16

Ostala optimalna rjeenja raunamo pomou konveksne kombinacijeC= a+ (1 )B 0 1,gdje je taka A prvo, taka B drugo optimalno rjeenje, a taka C novo optimalno rjeenje. Tako za = 0,5 koordinate take C e biti:x1=0,5 x 3+ (1 0,5) 5 = 4x2=0,5 x 5 + (1 0,5) 3 = 4z=16

Simplex metoda

Simplex metoda je univerzalna metoda linearnog programiranja, jer se svaki model linearnog programiranja koji ima rjeenje, moe rijeiti primjenom simplex algoritma.[footnoteRef:17] [17: R.Vugdali, S.Rei, Operaciona istraivanja, Tuzla, 2011, str. 49]

Do sada se nije nalo analitiko rjeenje opeg problema linearnog programiranja. Ta nealternativa nalaenja analitikog rjeenja dovela je do usavravanja velikog broja numerikih metoda, od kojih niti jedna ne rjeava problem u jednom koraku. Sve su te metode iterativne, tj. polaze od nekog mogueg rjeenja da bi ga u nizu koraka poboljavale dok se ne doe do optimalnog rjeenja ili se utvrdi da takvo rjeenje ne postoji. Utvreno je da je za poetno rjeenje najzgodnije uzeti ono, u kojem su bazini vektori jedinini vektori, tj. da je baza ortonormalna baza. Najvie primjenjivana opa metoda rjeavanja problema linearnog programiranja, a koja ima i niz varijacija, sigurno je simpleks metoda. Ta metoda se primjenjuje (uz niz modifikacija) u svim tipovima problema linearnog programiranja, s time da je prethodno potrebno, ako to ve nije, problem svesti u kanonsku formu. Simpleks metoda predstavlja neku vrst kompromisa izmeu dviju krajnosti: a) potrebe da se optimalno rjeenje nae u jednom koraku i b) potrebe da se ispitaju sva bazina rjeenja (da bismo bili sigurni da je naeno optimalno rjeenje stvarno optimalno).[footnoteRef:18] [18: 104-0c270ecace6b21799c18d1ff7aba9572.pdf, Igor, kreirano 27.02.2009, pristup 15.mart.2015]

Broj bazinih rjeenja, a time i broj potrebnih izaunavanja kod primjene simpleks metode, redovito je manji od ukupnog broja moguih bazinih rjeenja. Ta metoda se mora primijeniti ako problem sadri vie od dvije varijable, a moe se primijeniti i ako problem ima dvije varijable.Jedna od osnovnih znaajki simpleks metode je iterativnost. To znai da se proces rjeavanja sastoji od (konanog4) niza koraka. Pritom se u svakom koraku dobiva neko bazino rjeenje koje za problem maksimuma osigurava da je trenutna vrijednost funkcije cilja najmanje jednaka ili vea od vrijednosti u prethodnom koraku, dok je za problem minimuma obrnuto. Ideja simpleks metode sadri tri bitna elementa:1. alternativa odreivanja bar jednog mogueg rjeenja, 2. alternativa provjere je li odreeno mogue rjeenje optimalno ili nije, 3. alternativa da se u sluaju izbora mogueg rjeenja koji nije optimalan odredi novi plan koji je blii optimalnom. U sluaju da postoje sve tri mogunosti, moe se u okviru konanog broja koraka7 dobiti optimalno rjeenje koje predstavlja rjeenje formuliranog zadatka. Prema tome, simpleks metoda se zasniva na sukcesijskom poboljanju mogueg plana, sve dok se ne dobije optimalno rjeenje.[footnoteRef:19] [19: 104-0c270ecace6b21799c18d1ff7aba9572.pdf, Igor, kreirano 27.02.2009, pristup 15.mart.2015]

Simplex metoda i standardni problem maximuma

Da bi se simpleks metoda mogla primijeniti prethodno treba problem svesti na kanonsku formu. To se radi na nain koji proizlazi iz teorije linearnog programiranja. Ukoliko je originalni problem standardni problem maksimuma, tada se on mora transformirati u kanonski problem dodavanjem dodatnih varijabli u ogranienjima i funkciji cilja, s time da su svi koeficijenti uz dodatne varijable u funkciji cilja jednaki nuli.

Polazei od reenog cijeli se problem moe prikazati tabelarno na sljedei nain:

Tabela 1. Poetna simpleks tabela za standardni problem maksimuma[footnoteRef:20] [20: Za ostale vidjeti npr. Vadnal, A., Primjena matematikih metoda u ekonomiji , Informator, Zagreb, 1980]

cjC1C2...cn00...0

cibazaA1A2...AnU1U2...UmBB/a'ij

0U1a11a21...a1n10...0b1b1/a1j

0U2a12a22...a2n01...0b2b2/a'2j

....................................

0Umam1am2...amn00...1bmbm/a'mj

zjz1z2...znzn+1un+2...zn+m

zj-cjz1-c1z2-c2...zn-cnzn-1-0zn-2-0...zn-m-0

Ova tabela zapravo predstavlja poetno rjeenje za standardni problem maksimuma. Iz tabele proizlazi: 1.u bazi se nalazi m vektora-stupaca, i to svi vektori Ui , koji predstavljaju jedinine vektore-stupce iz mdimenzionalnog vektorskog prostora Em,

2. mogu se oitavati mogua rjeenja standardnog problema maksimuma, i to polazei od toga da pojedinim vektorima odgovaraju istovrsne varijable i to: a) vektorima iz baze odgovaraju U1 u1, U2u2,..., Umumb) vektorima koji nisu u bazi A1x1, A2x2,..., Anxn Tada se vrijednosti vektora koji su u bazi (tj. bazinih vektora), odnosno odgovarajuih varijabli, oitavaju na homolognom mjestu u vektoru-stupcu B. U poetnom rjeenju imamo da su samo dodatne varijable u bazi pa je: u1=b1, u2=b2,...,um=bmZa vektore koji nisu u bazi (nebazine vektore), tj. za odgovarajue nebazine varijable, imamo da su njihove vrijednosti jednake nula. U poetnom rjeenju u bazi nema niti jedne strukturne varijable pa je za strukturne varijable x1=0, x2=0,..., xn=0 3. ukoliko oitane vrijednosti za strukturne i dodatne varijable uvrstimo u funkciju cilja Z=c1x1+c2x2+...+cnxn+0u1+0u2+...+0um dobijemo Z=c10+c20+...+cn0+0b1+0b2+...+0bm=0. Vrijednost nula se nalazi kao vrijednost funkcije cilja za poetna bazina rjeenja u samoj tabeli, i to na mjestu zadnje vrijednosti u retku , tj. u koloni vektora-stupca zj B. Na istom mjestu se i u svim ostalim iteracijama takoer nalazi vrijednost funkcije cilja za dobiveno mogue bazino rjeenje, tj. za dobivene bazine varijable, ukljuujui naravno i samo optimalno rjeenje. 4. Vrijednosti dualnih varijabli se nalaze u retku zj-cj stupcima koji se odnose na dodatne vektore Ui.[footnoteRef:21] [21: 104-0c270ecace6b21799c18d1ff7aba9572.pdf, Igor, kreirano 27.02.2009, pristup 15.mart.2015]

Simplex metoda i standardni problem minimuma

Kao i kod standardnog problema maksimuma da bi se simpleks metoda mogla primijeniti na standardni problem minimuma, prethodno treba problem svesti na kanonsku formu. To se radi na nain koji takoer proizlazi iz teorije linearnog programiranja. Znai ukoliko je originalni problem standardni problem minimuma, tada se on mora transformirati u kanonski problem oduzimanjem dodatnih varijabli u ogranienjima i funkciji cilja. No, da bi se mogla primijeniti osnovna ideja simpleks metode u tabelarnom obliku potrebno je jo u ogranienjima dodati umjetne (artificijelne) varijable. Time se dobiva novi model, tzv. kanonsko-simpleks22 model. Razlog je to u poetnom rjeenju (1. bazino rjeenje) u bazi moramo imati jedinine vektore. Svi e koeficijenti uz dodatne varijable Vi u funkciji cilja biti jednaki nula, dok e koeficijent uz umjetne varijable Wi , u sluaju bilo kakvog problema minimuma i i 23 biti +M, a u sluaju mjeovitog problema maksimuma -M. U oba sluaja je vrijednost od = M 24. Ovaj pristup se naziva Charnesova M procedura 25. Vrijednosti dualnih varijabli se nalaze u retku zj-cj u stupcima koji se odnose na dodatne vektore Vi , s time da se uzimaju suprotni predznaci od onih u tabeli u retku zj-cj. Redoslijed itanja dualnog rjeenja je isti kakav i redoslijed oduzimanja dodatnih varijabli, a koji prati slijed pisanja pojedinih ogranienja.[footnoteRef:22] [22: 104-0c270ecace6b21799c18d1ff7aba9572.pdf, Igor, kreirano 27.02.2009, pristup 15.mart.2015]

Polazei od opisanog, slino kao i kod standardnog problema maksimuma, i kod standardnog problema minimuma problem se moe prikazati tabelarno na sljedei nain:

Tabela 2. Poetna simpleks tabela za standardni problem minimuma u saetoj formi

cjCjM0

cibazaA1WiViBB/a'ij

MW1a1j00b1b1/a1j

MW2a2j00b2b2/a'2j

.....................

MWiaij1-1biBi/a'2j

.....................

MWmamj00bmbm/a'mj

zjzjzj+izj+2iz=

zj-cjzj-cjZj+i-M=-Mzj+2i-0= zj+2i

Ova tabela zapravo predstavlja poetno rjeenje za standardni problem minimuma. Iz tabele proizlazi:1. u bazi se nalazi m vektora-stupaca W i , ija je jedina uloga da, zbog tvorbe poetnog rjeenja u Simpleks tabeli, u bazi budu jedinini vektori;2. mogu se oitavati mogua rjeenja standardnog problema minimuma, polazei od toga da pojedinim vektorima odgovaraju istovrsne varijable i to: a) vektorima iz baze odgovaraju W1 w1,W2w2,..., Wm wm b) vektorima koji nisu u bazi A1x1, A2 x2, ..., Anxn V1v1, V2 v2,..., Vm vm Tada se isto kao i kod Standardnog problema maksimuma vrijednosti vektora koji su u bazi (tj. bazinih vektora), odnosno odgovarajuih varijabli, oitavaju na homolognom mjestu u vektoru-stupcu B. U poetnom rjeenju imamo da su samo umjetne varijable u bazi pa je: w1=b1,w2=b2 ,... ,wm=bm. Za vektore koji nisu u bazi (nebazine vektore), tj. za odgovarajue nebazine varijable, imamo da su njihove vrijednosti jednake nula. U poetnom rjeenju u bazi nema niti jedne strukturne varijable pa je za strukturne varijable x1=0 ,x2=0 ,... ,xn=0 , dok je za dodatne varijable v1=0,v2=0,...,vm=0 . Ukoliko oitane vrijednosti za strukturne, umjetne i dodatne varijable uvrstimo u funkciju cilja dobijemo proirenu funkciju cilja Z=c1x1+c2x2+...+cnxnMw1 Mw2 ...MwmO v1 0 v2 ... 0 vm.

Simplex metoda za rjeavanje mjeovitog, opeg i kanonskog problema

Simples procedura za mjeoviti odnosno opi problem je kombinacija prethodnih pravila, tj. za svaki tip ogranienja se primjenjuje odreeno pravilo iz standardnog odnosno kanonskog problema kod formiranja kanonsko-simpleks forme, odnosno kod kreiranja nove funkcije cilja. Ta e se pravila pokazati na konkretnim primjerima. Znaajke simpleks metode za kanonski model su sljedee: 1. Pretvorba u kanonsko-simpleks formu se izvodi tako da se svim ogranienjima dodaju umjetni vektori Wi , dok se u funkciji cilja uz te vektore stavlja +M ako je kanonski problem minimuma, a M ako je kanonski problem maksimuma. 2. Za nalaenje dualnog rjeenja kod svake jednadbe treba dodati jednu umjetnu varijablu wi i oduzeti jednu dodatnu varijablu ti , pri emu dodatna varijabla ti treba osigurati dobivanje cjelovitog dualnog rjeenja.

ZAKLJUAK

LITERATURA

6