Kompleksni brojevi

Kompleksni brojevi

UNIVERZITET U SARAJEVU

EKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU

KOMPLEKSAN BROJ.TRIGONOMETRIJSKI I EULEROV OBLIK KOMPLEKSNOG BROJA. OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA. STEPENOVANJE I KORJENOVANJE KOMPLEKSNOG BROJA.SEMINARSKI RAD

Predmet: Matematika za ekonomisteMentor: Doc. dr. Lejla Smajlovi

Studenti: Alma Herak Index br. 71654 Elma Korjeni Index br. 71 666 Studij: Ekonomija

Smjer : Ekonomija i menadment SARAJEVO, DECEMBAR 2014.SADRAJ1. Uvod. 32. Kompleksni brojevi.......... 32.1 Kompleksna ravnina.... 43. Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva . 54. Apsolutna vrijednost komplesnog broja i kompleksno konugiranje75. Mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. 96. Trigonometrisjki prikaz kompleksnih brojeva117. Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva. 148. Eulerova formula.................... 169. Zato su uvedeni komleskni brojevi... 1710. Formula za rjeenje kubne jednaine 1911. Literatura... 261. UVOD

Imaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. stoljeu vezano za problem rjeavanja kubne jednadbe. Njihova upotreba rairila se tokom 19. stoljea, kad su se pojavile i prve primjene.

Najpoznatije primjene vezane su za teoriju elektriciteta i magnetizma (koju bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju.

Kao motivacija za uvoenje imaginarnih brojeva obino se uzimaju kvadratne jednadbe s realnim koefcijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b2 - 4ac kvadratne jednadbe ax2+bx+c = 0 negativna, ta jednadba nema realnih rjeenja. Osnovni primjer takve jednadbe je

x2 + 1 = 0:

Po dogovoru, ta jednadba (iako nema realnih rjeenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rjeenja u kompleksnim brojevima. To su i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rjeenja kvadratne jednadbe x2 +1 = 0 (kao to su 1 i -1 rjeenja kvadratne jednadbe x2-1 = 0). Broj i zove se imaginarna jedinica. Dakle, defnicija imaginarne jedinice je da je to jedan od dva mogua broja koji kvadrirani daju 1:

i2 = -1:

Isto svojstvo ima i -i: (-i)2 = (-i)(-i) = (-1)2i2 = 1 f (-1) = -1.2. KOMPLEKSNI BROJEVI

Kompleksni brojevi se defniraju kao sve linearne kombinacije (s realnim koefcijentima)

brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika:z = x + yis x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva oznaavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x moemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo isto imaginarnima.Napomena 1. Za one koji znaju defniciju dimenzije vektorskog prostora: Po defniciji C je dvodimenzionalni vektorski prostor (nad realnim brojevima). Kako mu bazu ine 1 te i, moemo ga interpretirati kao i svaki drugi realni dvodimenzionalni vektorski prostor: pomou koordinatnog sustava u ravnini.2.1 Kompleksna ravnina

Poetkom 19. stoljea Argand i Gauss uveli su nain vizualizacije kompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z = x + yi moemo poistovjetiti s tokom (x; y) u koordinatnoj ravnini (I obrnuto: svakoj toki odgovara kompleksan broj), uz uobiajeni Cartesiusov koordinatni sustav.

Pritom uzimamo da apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se koordinatne osi u ovom sluaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi realni brojevi (oni kojima je imaginarni dio 0), a na imaginarnoj svi isto imaginarni (oni kojima je realni dio 0). Prikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici 1.

Slika 1. Kompleksna ravnina.3. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE KOMPLEKSNIH BROJEVADva kompleksna broja zbrajamo (oduzimamo) tako da im zbrojimo (oduzmemo) realne odnosno imaginarne dijelove:

Primjer 1.(3 + i) + (2i - 1) = 2 + 3i:

Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobiajena svojstva (komutativnost, asocijativnost, broj nula kao neutralni element, . . . ) tih operacija. U kompleksnoj ravnini zbroj odnosno razlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij-vektora koji se dobije zbrajanjem odnosno oduzimanjem radij-vektora koji pripadaju z i z0: zbrajanje i oduzimanje geometrijski se interpretiraju kao zbrajanje i oduzimanje radij-vektora u kompleksnoj ravnini. Pribrajanje istog broja svim kompleksnim brojevima moemo shvatiti kao translaciju ravnine

(vidi sliku 3).

Suprotni broj od x+yi je -x-yi. Odreivanje suprotnog broja u tom je kontekstu centralna simetrija (inverzija) obzirom na ishodite (vidi sliku 4).

Slika 2. Zbrajanje kompleksnih brojeva.

Slika 3. Pribrajanje kompleksnog broja kao translacija ravnine.

Slika 4. Suprotni broj kao centralna simetrija.4. APSOLUTNA VRIJEDNOST KOMPLEKSNOG BROJA I KOMPLEKSNO KONJUGIRANJEApsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy defnira se kao:

(biramo pozitivni kvadratni korijen). Geometrijski gledano, to je udaljenost toke koja predstavlja z do ishodita (slika 5).

Slika 5. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja.Primjer 2 Ako je z = 3 + 4i, onda je

Kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 nalaze se na jedininoj krunici oko ishodita.

Preciznije, u kompleksnoj ravnini jedinina krunica oko ishodita ima jednadbu Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi tzv. nejednakost trokuta: Nju se lako dokae pomou slike 6. Svakom kompleksnom broju

pridruen je njegov kompleksno konjugirani broj

(promijeni se predznak imaginarnog dijela).

Slika 6. Nejednakost trokuta.Primjer 3 Ako je z = 5 - 9i, onda je z = 5 + 9i.

U kompleksnoj ravnini kompleksno konjugirani broj od z je njegova zrcalnosimetrina slika obzirom na realnu os (vidi sliku 7). Vrijedi z = z:

5. MNOENJE I DIJELJENJE KOMPLEKSNIH BROJEVAMnoenje dva kompleksna broja

defnirano je formom

Primjer 4

Vrijedi sljedea korisna jednakost:

Dokaimo ju. Ako je

onda je

Primjer 5 Kako je -1 = i2, dijeljenjem s -i dobivamo

Reciproni broj broja z je broj

Toka koja predstavlja 1/z nalazi se na spojnici ishodita i z, kako je vidljivo na slici 7.

Slika 7. Kompleksno konjugiranje i reciproni brojevi.Primjer 6 Za z = 3 - 4i imamo

Dijeljenje je defnirano kao mnoenje recipronim brojem:

Primjer 7

6. TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJAArgument kompleksnog broja z je kut takav da je tg = y/x , radi se o kutu koji radij-vektor od z zatvara s realnom osi.

Primjer 8 Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog isto imaginarnog broja s pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je Kako je svaka toka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz: Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Trigonometrijski prikaz bitno olakava mnoenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Koritenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za

Slika 8. Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.

Slika 9. Mnoenje kompleksnih brojeva. Iz posljednje formule se vidi da je argument recipronog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao to je i argument od z. To je objanjenje ve prikazane slike 7.

Primjer 10

Sad se vidi da se mnoenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i mnoenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti mnoenih brojeva. Specijalno, mnoenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.

Slika 10. Mnoenje s i je rotacija za pravi kut.

7. POTENCIRANJE I KORJENOVANJE

KOMPLEKSNIH BROJEVAPromotrimo prvo potencije broja i. Imamo:

Dakle, potenciranje broja i na viekratnik od 4 daje 1 i potencije se cikliki ponavljaju nakon svakog viekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jedininoj krunici kao vrhovi kvadrata. Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula

Primjer 11

Slika 12: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1).Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument poveavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, to je ilustrirano slikom 12.

Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na krunici radijusa npjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog znaenja u realnim brojevima) kojoj je sredite u ishoditu, s tim da prvi od njih ima argument f

Svi n-ti korijeni dobiju se kao Primjer 12 etvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu imaargument Svaki sljedei ima argument vei za te su trei korijeni od i redom 1; i;-1;-i.Primjer 13 Trei korijeni iz i imaju apsolutnu vrijednost , a prvi po redu ima argument Svaki sljedei ima argument vei za te su etvrti korijeni od i redom

8. EULEROVA FORMULAEulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva:

Stoga je: Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proirena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede.

Specijalno, imamo:

Iz Eulerove formule dobiju se jo preglednija pravila rauna s kompleksnim brojevima:

Zbrojimo li i oduzmemo dobit emo i idue dvije vane formule:

Primjer 14

Tj ii je realan broj! 9. ZATO SU UVEDENI KOMPLEKSNI BROJEVIUobiajeno je miljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadba imala rjeenje (na primjer, jednadba x2 + 1 = 0 nema realnih rjeenja, a nakon uvoenja kompleksnih brojeva ima dva rjeenja: i i -i). To se kasnije podupire jo jaim argumentom da svaka algebarska jednadba stupnja n ima tono n rjeenja (ukljuujui kratnost). Na primjer, jednadba

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = 0

ima tono etiri rjeenja: dvostruko rjeenje 1 i jednostruka rjeenja i, -i. To se obrazlae rastavom na faktore:

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x2 + 1)

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom

x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 (x - i) (x + i).

Ponekad se uvoenje kompleksnih brojeva obrazlae Bzoutovim poukom:

Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u tono mn toaka (raunajui kratnosti i toke u beskonanosti).

Takav pouak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u tono dvjema tokama i openito krivulju reda n u n toaka. Na primjer, pravac s jednadbom y = x + 2 ne sijee krunicu s jednadbom x2 + y2 = 1 (ako se razmatraju samo realne toke), meutim, sijee je u tokama

(-1 - 2 / 2 i, 1 - 2 / 2 i) i (-1 + 2 / 2 i, 1 + 2 / 2 i).

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematiarima su dobar povod za uvoenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Meutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nuni.

U vrijeme uvoenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeu) kvadratna je jednadba bila poznata vie od 3000 godina. Stari su je matematiari ve rjeavali i znali su da moe imati dva, jedno ili nijedno rjeenje i to im je bilo dovoljno. Takoer se nasluivalo da algebarska jednadba stupnja n ima najvie n rjeenja (tu se misli samo na jednadbu s realnim koeficijentima i samo na realna rjeenja jer za druge nisu ni znali).

Razlogom za uvoenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematiki problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobii, a takav se problem pojavio pri rjeavanju kubne jednadbe. O emu je rije ukratko emo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadba ekvivalentna jednadbi oblika

x3 + ax2 + bx + c = 0

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadbama matematiari imali potekoa vie od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljea nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadbi lako rijeiti; primjerice jednadba x3 - x = 0 ima rjeenja 0, 1, -1. Slino je za svaku kubnu jednadbu s racionalnim koeficijentima (tj. jednadbu za koju je a, b, c

INCLUDEPICTURE "http://e.math.hr/symbols/bbq.gif" \* MERGEFORMATINET ), koja ima bar jedno racionalno rjeenje. Naime, kod takvih jednadbi u pravilu je lako nai racionalno rjeenje r = p / q; p,q

INCLUDEPICTURE "http://e.math.hr/symbols/bbz.gif" \* MERGEFORMATINET . Nakon to jednadbu pomnoimo sa zajednikim viekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodei koeficijent jednadbe. Kako ima konano takvih mogunosti, naelno moemo doi i do one povoljne. Kad znademo racionalno rjeenje r, onda dijeljenjem moemo doi do rastava:

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa se preostala rjeenja poetne kubne jednadbe dobiju rjeavanjem kvadratne jednadbe x2 + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadbe esto pojavljuju u srednjokolskim zadatcima, a i na sveuilitu. Meutim, to je s jednadbom

x3 - 6x + 2 = 0 ?

Pokuajte je rijeiti! O toj emo jednadbi vie rei poslije, a sada se posluimo slinim argumentima kao i za kubne jednadbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rjeenjem kako bismo zakljuili da svaka kubna jednadba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rjeenje (ukupno 3 kompleksna rjeenja, ukljuujui kratnosti). Izraz x3 + ax2 + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zakljuujemo da jednadba x3 + ax2 + bx + c = 0 ima bar jedno realno rjeenje r. Sada je

x3 + ax2 + bx + c = (x - r) (x2 + a'x + b')

pa mogu nastupiti sljedee mogunosti:

(i) jednadba ima 3 realna razliita rjeenja,

(ii) jednadba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rjeenje,

(iii) jednadba ima 1 realno trostruko rjeenje,

(iv) jednadba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rjeenja.

U doba otkrivanja formula za rjeenje kubne jednadbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondanji matematiari shvatili kao

(iv)' jednadba ima 1 rjeenje. 10. FORMULA ZA RJEENJE KUBNE JEDNAINEDovoljno je razmatrati jednadbu x3 + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se dobije zamjenom x - a/3 x). Ako napiemo x = u + v, uz uvjet uv = -p/3, dolazimo do sustava

u3 + v3 = -q, u3 v3 = -p3/27,

odakle je

x = 3 -q/2 + (q2/4 + p3/27) + 3 -q/2 - (q2/4 + p3/27)

(to je prikaz rjeenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematiaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae).

Pogledajmo kako su se matematiari u poetku koristili tom formulom.

Primjer 1: x3 + 3x + 2 = 0, p = 3, q = 2.

x = 3 -1 + 2 + 3 -1 - 2 = 3 -1 + 2 - 3 1 + 2.

Tada su matematiari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema:

u = 3 -1 + 2, v = - 3 1 + 2, uv = 3 -1 + 2 (- 3 -1 + 2 ) = - 3-1 = -1

(naime, 3 je za njih jednoznana neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rjeenje poetne jednadbe. To se moe i provjeriti. Ta jednadba ima i dva kompleksno-konjugirana rjeenja, meutim, matematiari 16. st. o tome na poetku nisu vodili rauna, niti im je, u ovom sluaju, to bilo potrebno.

Primjer 2: x3 - 3x = 0. Za tu jednadbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rjeenja x1 = 0, x2,3 = 3. Pokuajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je x = 3-1 + 3--1. (*)

Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom sluaju, dovodi do tekih problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematiare 16. st. da se pozabave i takvim matematikim objektima. Ako su ovakav sluaj mogli i zanemariti (jer ve znaju rjeenja: 0, 3, -3), neke su im jednadbe stvarale jo vee potekoe.

Primjer 3: x3 - 6x + 2 = 0.

Lako se vidi da ta jednadba nema racionalnih rjeenja. Cardanova formula daje sljedei izraz:

x = 3 -1 + -7 + 3 -1 - -7. (**)

Sljedea tablica govori nam da bi ta jednadba trebala imati tri realna rjeenja:

x-3-2-10123

x3-6x+2-7672-3-211

Zakljuujemo da je -3 < x1 < -2; 0 < x2 < 1; 2 < x3 < 3.

Za razliku od prethodnog primjera, matematiari 16. st. u poetku nisu uspjeli doi do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedea pitanja:

1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rjeenja jednadbe?

2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli raunati uvjet uv = -p/3 ?

3. Mogu li se u (**) i slinim izrazima rjeenja pripadajue kubne jednadbe zapisati bez korijena iz negativnih brojeva?

Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematiara Raffaela Bombellia. Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumaiti tako da daju rjeenje kubne jednadbe. Kao to znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a + bi, a,b

INCLUDEPICTURE "http://e.math.hr/symbols/bbr.gif" \* MERGEFORMATINET , dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i2 = i i = -1, tj. da bude rjeenje jednadbe x2 = -1. Tada se izraz (*) moe zapisati kao

x = 3i + 3-i. (*)' Dakle, umjesto -1 moemo staviti i. Budui da je -i takoer rjeenje jednadbe x2 = -1, umjesto -1 mogli smo staviti -i. U (*) nita se ne bi promijenilo (3i preao bi u 3-i, a 3-i u 3i; zbroj bi ostao isti).

Izraz 3i ima tri vrijednosti: z1 = 3/2 + 1/2 i, z2 = - 3/2 + 1/2 i, z3 = -i. Naime, ta su tri broja rjeenja kubne jednadbe z3 = i (provjerite).

Slino tome, izraz 3-i ima tri vrijednosti: w1 = i, w2 = - 3/2 - 1/2 i, w3 = 3/2 - 1/2 i.

Od 9 moguih izbora zi, wi; i = 1,2,3 dobije se 9 moguih vrijednosti izraza (*)'. Treba odabrati one za koje je uv = -p/3 = 1, tj. 3i 3-i = 1.

Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne moe proiriti relacija ureaja s (tako da vrijede aksiomi ureenog polja), vana je razlika i u formulama ab = a b; 3ab = 3a 3b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na primjer, kad bi bilo (-1)(-1) = -1 -1, bilo bi 1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusi, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrjeava tako da bude 1 = {-1, 1}, -1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, nije jednoznana funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajui injenicu da je 0 = 0). Tada e zaista biti (-1)(-1) = -1 -1 (na desnoj strani rije je o umnoku skupova). Slino je 3z za z 0 trolan skup itd.

Vratimo se skupovima 3i i 3-i i uoimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 1 (a da su ostali meusobni umnoci razliiti od 1). Zato izraz x = 3i + 3-i, uz uvjet 3i 3-i = 1, ima tri vrijednosti: x1 = z1 + w3 = 3; x2 = z2 + w2 = - 3; x3 = z3 + w1 = 0. Upravo su to rjeenja poetne kubne jednadbe x3 -3x = 0. Dakle, uz pravilno uvoenje kompleksnih korijena, formula x = 3i + 3-i moe se protumaiti kao formula koja daje rjeenja kubne jednadbe x3 - 3x = 0.

Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvoenje kompleksnih brojeva jer ve znamo rjeenje te jednadbe. Razmotrimo zato jednadbu x3 - 6x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = 3 -1 + -7 + 3 -1 - -7. Taj izraz moemo pisati kao

x = 3 -1 + i 7 + 3 -1 - i 7, (**)'

gdje je umnoak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedee:

(i) 7 je u (**)' obian realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj iji je kvadrat jednak 7.

(ii) 3 u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali emo za svaku odabranu vrijednost 3 -1 + i 7 imati tono jednu vrijednost od 3 -1 - i 7 za koju e umnoak pribrojnika biti jednak 2.

Da bi to pokazali, matematiari 16. st. posluili su se neim to danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + 7 i; w = -1 -7 i. Tada je z = 22 (cos + i sin ), gdje je argument broja z.

Sada je 3 -1 + i 7 = {z1, z2, z3}, z1 = 2 (cos (/3) + i sin (/3)), z2 = 2 (cos (/3 + 120o) + i sin (/3 + 120o)), z3 = 2 (cos (/3 + 240o) + i sin (/3 + 240o)).

Slino je 3 -1 + i 7 = {w1, w2, w3}, w1 = 2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)), w2 = 2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)), w3 = 2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)).

Vidimo da je z1w3 = z2w2 = z3w1 = 2. Naime,

360o - (/3 + 120o) = 240o - /3, 360o - (/3 + 240o) = 120o - /3.

Zato su rjeenja jednadbe x3 -6x + 2 = 0 realni brojevi: x1 = z1 + w3 = 22 cos (/3); x2 = z2 + w2 = 22 cos (/3 + 120o); x3 = z3 + w1 = 22 cos (/3 + 240o).

To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemogue doi do tih rjeenja. U tim rjeenjima pojavljuje se kut koji se moe eliminirati ovako: = 180o - arctg(7) (naime, tg(180o - ) = 7). Sada je

x1 = 22 cos (/3) = 22 cos (60o - arctg(7) / 3) = 22 (1/2 cos (arctg(7) / 3) + 3/2 sin (arctg(7) / 3)), itd.

Slino bi se dobilo za svaku kubnu jednadbu x3 + px + q = 0, koja ima tri razliita realna rjeenja (odnosno za koju je D = q2 / 4 + p3 /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + D i, r = |z|, = arg(z) dobili bismo da je

x1 = 3r cos (/3); x2 = 3r cos (/3 + 120o); x3 = 3r cos (/3 + 240o).

Eliminacijom kuta ( = arctg(2D/(-q)) za q < 0, = arctg(2D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je

x1 = 2 3r cos (arctg(2D/(-q)) / 3), itd. Vidimo da se rjeenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadbe, meutim u rjeenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rjeenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su ve realna)? Na primjer, mogu li se rjeenja jednadbe x3 - 6x + 2 = 0 zapisati samo pomou korijena iz pozitivnih brojeva? Taj sluaj kubne jednadbe, koji je najvie muio matematiare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim sluajem kubne jednadbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora:

Neka je x3 + px + q = 0; p,q

INCLUDEPICTURE "http://e.math.hr/symbols/bbq.gif" \* MERGEFORMATINET kubna jednadba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rjeenja. Tada se rjeenja te jednadbe ne mogu zapisati pomou realnih radikala (drugih, treih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva).

11. LITERATURA1. S. Mintakovi, F. uri: Osnove matematike, Zagreb 1978.godine2. S. Kurepa: Uvod u matematiku, Zagreb 1979.godine3. B. Pavkovi, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Zagreb 2003.godine4. M. M. Radi: Algebra 1-dio, Zagreb 1989.godineDodatni izvori:

www.wikipedia.org www.holo.hr www.math.hr/mathe/

Oznaka i za imaginarnu jedinicu potjee iz 18. stoljea, kad ju je uveo vicarski matematiar L. Euler.

Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + , gdje su f; f; skalari, a x; y; vektori

Slike ovog poglavlja preuzete su s web-stranice http://www.clarku.edu/fdjoyce/complex/

2 26