Semmiből egy új, más világot:

a geometria axiómái

Vincze Csaba

Kutatók éjszakája 2017

Debreceni Egyetem

2017. szeptember 27.

Babits Mihály: Bolyai

Isten elménket bezárta a térbe. Én, boldogolván, azt a madarat,

Szegény elménk e térben rab maradt: ki kalitjából legalább kilátott,

a kapzsi villámölyv, a gondolat, a semmiből alkottam új világot,

gyémántkorlátját még csak el sem érte. mint pókhálóból sző kötélt a rab.

Új törvényekkel, túl a szűk egen, kirabolván kincsét a képtelennek

új végtelent nyitottam én eszemnek: nevetlek, mint Istennel osztozó,

király gyanánt, túl minden képzeten vén Euklides, rab törvényhozó.

1

Alexandriai Eukleidész (i.e. 300), görög matematikus

Elemek (Sztoikheia)

2

[Euklidész] ...gondolkodása átjárta a filozófiát és a matematika

természetét egészen a XIX. századig meghatározta (L. Mlodinov,

Euklidész ablaka, Akkord Kiadó, 2003). Az Elemek tizenhárom

könyve összefoglalja korának matematikai, tehát nem csak geo-

metriai ismereteit. A legfontosabb tényezője az ún. axiomatikus

módszer. Euklidész posztulátumai (axiómái):

I. Minden pontból minden további ponthoz húzható egyenes

II. Minden egyenes korlátlanul hosszabb́ıtható

III. Bármely pontból bármely sugárral vonható kör

IV. A derékszögek egymással egyenlőek.

3

Az V. posztulátum (más számozás szerint: XI. posztulátum):

α+ β < π ⇒→AC ∩

→BD 6= ∅.

4

A nem euklideszi geometriák az V. posztulátum vizsgálatábólnőttek ki, mely a matematika történetének legtöbbet tanulmá-nyozott axiómája. A kutatások arra irányultak, hogy az V. posz-tulátumot bebizonýıtsák az euklideszi geometria többi axiómájá-ra támaszkodva. Ennek során számos egyenértékű átfogalmazásszületett:

Adott egyeneshez egy rajta ḱıvül fekvő ponton át egy és csakegy párhuzamos vonható (Ptolemaiosz, Proklosz, Playfair).

Egy śık bármely három nem egy egyenesre eső pontjára illeszke-dik egy és csak egy kör (Bolyai Farkas, Legendre).

Valamely (s ı́gy bármely) háromszög belső szögeinek összegeegyenlő két derékszög összegével (Sacchieri, Lambert és Le-gendre).

5

Kultúrpalota (Marosvásárhely) Babes-Bolyai Tud. Egy. (Kolozsvár)

Bolyai János (1802-1860)

Appendix. A tér abszolút igaz tudománya...

6

Egyetlen, nyomtatásban megjelent műve az Appendix. A tér

abszolút igaz tudománya..., mely az apa (Bolyai Farkas) Ten-

tamen ćımmel idézett műve első kötetének függeléke. Terje-

delme (a szövegrészekre szoŕıtkozva) huszonnégy oldal: a gon-

dolkodás történetének legkiemelkedőbb huszonnégy oldala - ı́rja

G. B. Halsted, első angol ford́ıtója.

Érdemei:

1. Megold egy kétezer éves geometriai problémát. Megmutatja,

hogy - mai szóhasználattal élve - az V. posztulátum független a

többitől, azaz seǵıtségükkel se nem igazolható, se nem cáfolható.

2. Megalkotja az abszolút geometriát, az euklideszi geometria

V. posztulátumtól függetlenül igaz álĺıtásainak összességét.

7

3. Megalkotja a hiperbolikus geometriát, mely az V. posztulátumlogikai tagadását tekinti érvényes axiómának (Lobacsevszkij)

4. Megmutatja, hogy a geometria nem természettudomány, ha-nem önálló logikai konstrukció, a valóságtól függetleńıteni lehet.

Ilyen értelemben a semmiből egy új, más világ semmije a tapasz-talat-mentességre vonatkozik. Az utolsó lépések:

Georg Friedrich Bernhard Riemann: Hipotéziseket, amelyek ageometria alapjául szolgálnak (habilitációs ea., 1854, Göttingen)

Az első modell és a hiperbolikus geometria relativ ellentmondás-mentessége: Eugenio Beltrami, 1868.

A geometria axiomatikus megalapozásának lezárása: D. Hilbert,Die Grundlagen der Geometrie, 1899.

8

9

Reflexiók: 1869 nyarán Baldassare Boncompagni a Római Aka-

démia matematika osztályának elnöke ı́r levelet Eötvös Józsefnek

(magyar kultuszminiszter) és felh́ıvja figyelmét a Bolyai-hagyaték

tudománytörténeti jelentőségére. A levélről Eötvös Józsefnek

fiához, Eötvös Lórándhoz ı́rt leveléből tudunk: Bolyai Jánosnak

a paralellák teóriájáról ı́rt kisebb munkája /.../a római tudósnak

nézete szerint a legnagyobb mi a matematika körében e század

alatt történt/.../ három év óta mind ő, mind a bordeauxi és

párizsi akadémiák t́ızszer ı́rtak a marosvásárhelyi kollégiumhoz,

de még választ sem kaphattak, s most - meg lévén győződve,

hogy ily lángész irományai közt sok becses jegyzet lesz - azért for-

dulnak hozzám, hogy az irományokra kezemet tegyem, s érdemes

részét vagy az akadémiánál adjam ki, vagy nekik engedjem át

kiadás végett...

10

A XIX. század matematikájának három legjellemzőbb, mara-dandó eredménye a nemeuklideszi geometriák megteremtése, akomplex szám s változó aritmetikai megvalóśıtása és a csoport-elmélet messzeágazó rendező hatása. (Dávid Lajos, Bolyai-geo-metria az Appendix alapján, Kolozsvár, 1944.)

Az Appendix-nek a Magyar Tudományos Akadémia KönyvtáraKézirattárában lévő eredeti példányát 2009-ben az UNESCO(United Nations Educational, Scientific and Cultural Organiza-tion) felvette a Világemlékezet Listájára.

1882: A természetes számok axiómái (Peano)

1908: A halmazelmélet axiómarendszere (Zermelo, Fraenkel)

1933: A valósźınűségszáḿıtás axiomatikus megalapozása (Kol-mogorov)

11

A Kant-féle a priori szemléleti formák közül a tér fogalmánakrelativizálása (euklideszi és nem euklideszi terek) előrevet́ıti azidő fogalmának újraértelmezését a modern fizikában.

1905: Speciális relativitáselmélet (Einstein)

Források:

Abraham A. Ungar, A hiperbolikus geometria alkalmazása a re-lativisztikus fizikában, Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó, 2004.

Böröczky Károly, A hiperbolikus geometria (és kapcsolata a disz-krét geometriával), Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó, 2004.

Prékopa András, Bolyai János felfedezésének előzményei és utó-hatása, Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó, 2004.

12

Az euklideszi geometria metrikus megalapozása

Hilbert-féle illeszkedési tér

Nemdefiniált fogalmak: pont, egyenes és śık. Ezeknek nem a

meghatározására fogunk koncentrálni, hanem a közöttük lévő

ún. illeszkedési kapcsolat szabályait fogalmazzuk meg, mint

axiómákat:

I1. Bármely két pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes

I2. Bármely egyenesre illeszkedik legalább két pont

I3. Van három nem egy egyenesre illeszkedő pont

13

I4. Bármely három nem egy egyenesre illeszkedő pontra illesz-kedik egy és csak egy śık

I5. Egyetlen śık sem az üreshalmaz

I6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy śıkra, akkor azegyenes is illeszkedik a śıkra

I7. Ha két śıknak van közös pontja, akkor további közös pontjukis van

I8. Van négy nem egy śıkra illeszkedő pont

Az elmélet kifejtése két szálon fut: egyrészt az axiómákból, il-letve a már bizonýıtott álĺıtásokból levezethető álĺıtások megfo-galmazása,

14

másrészt pedig a fogalmak körének széleśıtése a nemdefiniált

fogalmak, illetve a már definiált fogalmak felhasználásával.

Példa (álĺıtás): Két nem diszjunkt śık metszete egyenes.

bizonýıtás:

I7. Ha két śıknak van közös pontja, akkor további közös pontjuk

is van

I1. Bármely két pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes

I6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy śıkra, akkor az

egyenes is illeszkedik a śıkra

15

I4. Bármely három nem egy egyenesre illeszkedő pontra illesz-

kedik egy és csak egy śık

Az álĺıtás megfogalmazásánál halmazelméleti terminológiát hasz-

náltunk.

Bár nem szükségszerű, hogy az egyenesek és a śıkok pontokból

álló részhalmazok legyenek, a szemléletnek tett engedmény meg-

könnýıti a fogalmazást.

Példa (defińıció): térelemek kölcsönös helyzete

M:=metsző egyenespár (van közös ponjuk és nem esnek egybe)

16

K:=kitérő egyenespár (nincsenek egy śıkban)

P:= ¬(M ∨ K)=párhuzamos egyenespár (egy śıkban vannak ésnincs közös pontjuk, vagy egybeesnek)

Példa (modell): a minimális modell

metsző egyenespár:↔AB és

↔BC, kitérő egyenespár:

↔AB és

↔CD

17

Hilbert-féle illeszkedési tér→ a geometria metrikus megalapozása(vonalzó-, félśık-, szögmérő- és kongruencia axióma: abszolút

geometria)

↓ ↓

euklideszi geometria hiperbolikus geometria

↓

vektoralgebra (koordinátageometria)

Hilbert-féle illeszkedési tér → affin párhuzamossági axióma (affingeometria)

Hilbert-féle illeszkedési tér → a párhuzamosság elvetése (pro-jekt́ıv geometria)

18

A Birkhoff-féle vonalzó axióma (a vonalzó absztrakt matematikai

léırása). Nemdefiniált fogalom: d(A,B) – az A és B pontok

távolsága.

Bármely l egyenes esetén megadható egy f : l → R kölcsönösenegyértelmű leképezés úgy, hogy

|f(A)− f(B)| = d(A,B) (A,B ∈ l).

A távolság értelmezésére nincs szükség, ha megállapodtunk ab-

ban, hogy minden egyenes izometrikusan (távolságtartóan) leké-

pezhető a számegyenesre, bármit is jelentsen a távolság az egye-

nes két pontja között.

Mindazonáltal beemeltük a rendszerbe a valós számok axiómáit

- R az egyenes protot́ıpusa.19

A vonalzó-transzformáció tétele: Legyen

f1: l→ R és f2: l→ R

adott. Mivel izometrikusan képezzük az egyenest a számegyenes-

re, ezért az

h:R→ R, h(x) := f2 ◦ f−11 (x)

leképezés a valós számegyenes távolságtartó transzformációja:

|h(x)− h(y)| = |x− y|

Feladat: Igazoljuk, hogy ha h:R→ R távolságtartó, azaz

|h(x)− h(y)| = |x− y| (x, y ∈ R),

akkor h(x) = εx+ x0, ahol ε = ±1 és x0 ∈ R konstans.

20

Innen következik, hogy

f2(X) = εf1(X) + x0,

azaz a szakasz (és pl. a félegyenes) fogalma bevezethető a tér

egyenesein, mint a valós számegyenes intervallumainak inverz

képe (a vonalzó választásától függetlenül):

ĀB = {X ∈↔AB | f(X) az f(A) és f(B) között van} ∪ {A,B}.

Példa (álĺıtás): Egy szakasz bármely pontból, bármely irányban

(azaz bármely félegyenes mentén) felmérhető.

Példa (defińıció): polygon, szögvonal (közös kezdőpontú félegye-

nesek uniója), konvexitás

21

A következő, kissé technikai jellegű axióma a szögmérés beve-

zetését késźıti elő.

Félśık-axióma (Pasch) Egy S śıkot bármely l ⊂ S egyenese kétnemüres, konvex diszjunkt H1 és H2 halmazra bont úgy, hogy

PSP1: S \ l = H1 ∪H2

PSP2: Ha A ∈ H1 és B ∈ H2, akkor ĀB ∩ l 6= ∅

H1, H2: l határegyenesű, nýılt félśıkok

Példa (álĺıtás): Ha egy egyenes egy háromszög śıkjában nem il-

leszkedik egyik csúcsra sem, de metsz egy oldalt, akkor pontosan

egy további oldalt is metsz.

22

bizonýıtás: A C csúcs az A és B közül pontosan az egyikkel van

ellentétes félśıkban.

Példa (defińıció): konvex szögtartomány (a szögmérő-axióma

előkésźıtése), lemezek.

23

Szögmérő axióma (a szögmérő absztrakt, matematikai léırása):adott egy a tér szögvonalainak halmazát a [0, π] zárt interval-lumra képező

m:AOB∠→ m(AOB∠) ∈ [0, π]függvény úgy, hogy

addit́ıv: m(AOP∠) +m(POB∠) = m(AOB∠)

24

és teljesül a szögszerkesztési posztulátum:

megadva egy zárt H félśıkot, s annak határegyenesén egy→OA

félegyenest, bármely α ∈ [0, π] valós szám esetén egyértelműenlétezik

→OB⊂ H félegyenes úgy, hogy m(AOB∠) = α.

25

Defińıció: Két háromszöget egybevágónak mondunk, ha létezika csúcsaik között olyan megfeleltetés, hogy az egymásnak meg-felelő oldalak és szögek egybevágók.

A háromszög mozgatása: a szakaszfelmérés tétele és a szögszer-kesztési posztulátum.

26

Mit tudunk a nem közvetlen méréssel kapott oldalról és szögek-ről?

Kongruencia-axióma: Ha két háromszög csúcsai között létezikolyan megfeleltetés, melynél két oldal és a közbezárt szög egy-bevágó a megfelelő két oldallal és közbezárt szöggel, akkor aháromszögek egybevágók.

Ezzel az abszolút geometria axiómarendszere teljes:

Nemdefiniált fogalmak:

E (pontok), L (egyenesek), P (śıkok), d (távolság), m (szög)

Axiómák:

illeszkedési axiómák, vonalzó-, félśık-, szögmérő- és kongruenciaaxióma

27

Abszolút külső szög tétel: Egy háromszög bármely külső szöge

nagyobb, mint a nem mellette fekvő belső szögek bármelyike.

bizonýıtás: szakaszfelmérés tétele, szögmérő- és kongruencia-

axióma.28

Merőleges egyenesek az abszolút śıkon:

Egzisztencia: szögszerkesztési posztulátum, szakaszfelmérés té-

tele, kongruencia-axi óma. Unicitás: abszolút külső szög tétel.

29

A párhuzamosság elegendő feltételei az abszolút śıkon:

Ha két egyenes közös transzverzálissal való metszésekor kelet-keznek egybevágó belső váltószögek, akkor a két egyenes párhu-zamos.

bizonýıtás: abszolút külső szög tétel.

30

Egy speciális eset: α = π/2.

bizonýıtás: szögszerkesztési posztulátum, abszolút külső szög

tétel31

Az abszolút geometriában tehát léteznek párhuzamos egyenesek.

Két egymást kizáró eset lehetséges:

EPP: Megadva egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot

legfeljebb egy olyan egyenes van, mely illeszkedik az adott pontra

és párhuzamos az adott egyenessel (euklideszi párhuzamossági

axióma).

HPP: Megadva egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot

legalább két olyan egyenes van, mely illeszkedik az adott pontra

és párhuzamos az adott egyenessel (hiperbolikus párhuzamossági

axióma).

HPP=¬ EPP

32

Az Appendix világa: elpattanó egyenesek

vonalzóaxióma −→ αd(x) = m(ACX∠), ahol X(x) ∈→AB.

a szögmérés additivitása −→ αd(x) szigorúan monoton nő.

a szögszerkesztési posztulátum −→ αd(x) folytonos.33

Mindezek alapján képezhető a d ún. párhuzamossági távolsághoztartozó párhuzamossági/elpattanási szög:

αd = supx≥0

αd(x);

továbbá azt mondjuk, hogy→AB párhuzamos a

→CK ún. elpattanó

félegyenessel.

A párhuzamosságnak ez a finomabb értelmezése abszolút és két,egymást kizáró esetet foglal magába:

αd = π/2 (euklideszi geometria, vagy Σ-rendszer: Bolyai-féleelnevezés),

αd < π/2 (hiperbolikus geometria, vagy S-rendszer: Bolyai-féleelnevezés).

34

Mindkét esetben csupán egy-egy félegyenest mondunk párhuza-

mosnak. A második esetben fellépő nem metsző félegyenesek az

ún. ultraparallel (párhuzamoson túli) félegyenesek:→CD, illetve

a KCD∠ konvex szögtartomány belsejében futó félegyenesek.

Bolyai János az Appendixben hol szétválasztja a két esetet (Σ-

, illetve S-rendszer), hol pedig közös tételeket emel ki: ezek

alkotják az abszolút geometriát.

35

Kidolgozza az S rendszer trigonometriáját, ahol a sin és cos

függvények szerepét a valós hiperbolikus függvények veszik át:

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2A leglényegesebb azonban, hogy az euklideszi geometriát a hi-

perbolikus geometria határgeometriájaként tárgyalja és fogja fel.

Ez több és jóval általánosabb, mint egy, az euklideszivel szemben

kifejtett nem-euklideszi rendszer.

Ebben a tekintetben pedig valamennyi kortársát és előfutárát

(beleértve Lobacsevszkijt is) felülmúlja.

36

A határgeometria illusztrációjaképpen vizsgáljuk meg a párhuza-

mossági távolság (d) és a párhuzamossági szög (αd) kapcsolatát.

Vegyük észre, hogy αd′ = A′C′K∠. Indirekte okoskodva: a C′-

ből induló új félegyenes szeparálja a C-ből induló új félegyenest→AB-től, eltekintve a metszéspontig terjedő véges darabjától. Ele-

gendően kicsiny szögváltozás már ellentmondást eredményez.

37

Egy további észrevételünk szerint d′ ≤ d. Ellenkező esetben akövetkező ún. Sacchieri négyszög konstruálható:

ACF∠ ∼= A′FC∠ (tengelyes szimmetria)38

Sacchieri három hipotézise:

Tompaszögű hipotézis: a közös mérték tompaszög. Ezt Sac-

chieri - helyesen - kizárja a lényegében általa is igazolt, de Le-

gendre első szögtételeként ismertté vált eredményre hivatkozva:

a háromszögek belső szögeinek összege kisebb, vagy egyenlő,

mint két derékszög,

Derékszögű hipotézis: a közös mérték derékszög - ez ekvivalens

az V. posztulátummal (euklideszi geometria)

39

Hegyesszögű hipotézis: a közös mérték hegyesszög (hiperboli-kus geometria). Ekkor a CFC′∠ mellékszög tompaszög lenneés az abszolút külső szög tétel miatt αd′ ugyancsak tompaszög.Ez ellentmond annak, hogy az elpattanási szöget π/2 felülrőlkorlátozza.

40

Az euklideszi geometriában tehát: d = d′ és αd = αd′ = π/2(derékszögű hipotézis)

A hiperbolikus geometriában viszont d′ < d.

Ez azt is jelenti, hogy az elpattanó félegyenes pontjainak az→AB

félegyenestől való távolsága csökkenhet, valójában tetszőlegesen

kicsi lehet anélkül, hogy metszéspont lépne föl (ld. a hiperbola

és aszimptotái).

Sacchieri éppen ezen az alapon veti el a hegyesszögű hipotézist:

”Ha ez a feltétel teljesülne, akkor [az aszimptotikus] egyenesek-

nek a végtelenben lenne közös merőlegesük, ami ellentmond az

egyenes természetének.”

41

A párhuzamossági távolság és az elpattanási szög kapcsolatát az

ún. felső félśık modellben vezetjük le. Pontok: A koordinátaśık

y > 0 felső félśıkjának pontjai. Egyenesek: a v́ızszintes ten-

gelyre merőleges euklideszi félegyenesek és olyan félkörök, me-

lyek középpontja a v́ızszintes tengelyen van.

42

A félegyenesek vonalzója: f(A) := k log |PA|, ahol k > 0 a hi-perbolikus śık paramétere és |PA| a pontok euklideszi távolsága.Szögmérés: euklideszi (érintők szöge).

43

A párhuzamossági szög és a párhuzamossági távolság:

tan(α/2) =R

R+AC=|PA||PC|

⇒

44

k log tan(α/2) = f(A)− f(C) = −|f(A)− f(C)| = −d ⇒

tan(α/2) = e−dk .

Ha k → ∞, akkor tan(α/2) = 1 ⇒ α = π/2, azaz az euklideszigeometria a hiperbolikus geometria határgeometriája.

Ha Euklidészt történetesen Hiperbolidésznek h́ıvják, akkor ezt a

fáradságos kétezer évet megspórolhattuk volna, lévén a hiper-

bolikus geometriából könnyebben származtatható az euklideszi

geometria, mint ford́ıtva.

45