27
SEM NALE de BANDĂ LIM ITATĂ Spectrulde frecvențe = o resursă finită ! O cuparea spectruluide frecvențe Sem nale de BA N D Ă LIM ITATĂ Sem nalulanalitic Transform area H ilbert R eprezentarea sem nalelor m odulate cu ajutorulsem naluluianalitic C oncluziipractice

Semnale de Banda Limitata.ppt

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Semnale de Banda Limitata.ppt

SEMNALE de BANDĂ LIMITATĂ Spectrul de frecvențe = o resursă finită !

Ocuparea spectrului de frecvențe

Semnale de BANDĂ LIMITATĂ

Semnalul analitic

Transformarea Hilbert

Reprezentarea semnalelor modulate cu ajutorul semnalului analitic

Concluzii practice

Page 2: Semnale de Banda Limitata.ppt
Page 3: Semnale de Banda Limitata.ppt
Page 4: Semnale de Banda Limitata.ppt

SEMNALE de BANDĂ LIMITATĂ Un semnal este de bandă limitată daca: finit ( )ăB

În acest caz, spectrul semnalului x(t) este:

( )

, pentrucu :

( ) 0, pentru

0

( )

( )

X TF

X

x t

B

X B

Page 5: Semnale de Banda Limitata.ppt

De exemplu, semnalul ideal de JF ocupă o banda finită (în joasă frecvență)

( )X

M M

M 0

Atunci:

(

sinc(

2

)

1( ) )

M

M

j

M

t

M

e

t

Xx t d

Page 6: Semnale de Banda Limitata.ppt

Însă, semnalul x(t) are o variație nelimitată în timp!

Page 7: Semnale de Banda Limitata.ppt

Un semnal cosinusoidal, real, poate fi reprezentat prin:

0 0j

0

jecos e2 2

t tA tA A .

Transformata Fourier a semnalului cosinusoidal (real) este:

0 0 0

cosTF A t A A .

0cosX A t F

A

00 0

Page 8: Semnale de Banda Limitata.ppt

Să calculăm transformata Fourier a unui semnal exponenţial complex, definit de:

0je tAx t .

Rezultă:

0

0

je 2tF A AX T

Spectrul X unui semnal exponenţial

complex este definit doar pentru 0

şi nu are componente şi în domeniul frecvenţelor negative !

2 A

0

0je tX A F

02 A

0

Page 9: Semnale de Banda Limitata.ppt

În general, pentru un semnal real x t ,

rezultă că:

j

j0

j

0

1e d

21

e d2

1e d

2t t

tx t X

XX

Să notăm cu xz t funcţia semnal

analitic ataşată semnalului real x t şi care

este definită de:

j

0

1e dt

xz t X j

.

Page 10: Semnale de Banda Limitata.ppt

Cu substituţia , prima integrală devine:

0 0j j

j

0

1 1e d e d

2 21

e d1

22

t t

t

x

X j X j

X j z t

Astfel că:

1

2Re

xx xx t z t z t z t

.

Page 11: Semnale de Banda Limitata.ppt

Exemplu: 0 M

( )BLX

În acest caz:

0

(

1 1( ) 1 1

)( )

MM

j tj t

xz t e d e

j

x

t

t j x t

Page 12: Semnale de Banda Limitata.ppt
Page 13: Semnale de Banda Limitata.ppt

FUNCŢIA DENSITATE SPECTRALĂ

a unui SEMNAL ANALITIC Funcţia densitate spectrală x

Z a

semnalului analitic xz t este definită de

relaţia:

j1e d

2 xx

tZz t

.

Dar, conform relaţiei de definiţie a semnalului analitic, rezultă că:

j j

0 0

1 1e d e2 d

2t t

xXz t X

Relaţiile de mai sus conduc la:

,,

0

0 0

2x

ZX

Page 14: Semnale de Banda Limitata.ppt

Interpretarea grafică a legăturii dintre spectrele semnalelor ˆ,x t x t şi x

z t , este

dată în figura :

X

ˆjXZ X

M M0

M

1

1

2

M

1

1

M

0

0

ˆjX

Page 15: Semnale de Banda Limitata.ppt

Dacă notăm cu X̂ funcţia densitate

spectrală a semnalului conjugat x t ,

rezultă că:

ˆjx

TF z t TF x t TF x t ,

adică: j ˆ

xt XXZ .

Relaţiile conduc la:

, 0

sgn 0, ˆ 0

, 0

j

X

XX

X

j , 0

jsgn 0, 0

j , 0

ˆ X

X

X

X

Page 16: Semnale de Banda Limitata.ppt

Relaţia de legătură dintre funcţiile spectrale X̂ şi X , poate fi rescrisă

sub forma:

ˆ jsgn

j , 0

0, 0

j , 0

X X X

X

H

X

unde s-a notat cu H funcţia:

, 0

, 0

,

j

0

j 0

TH h tF

Page 17: Semnale de Banda Limitata.ppt

Funcţia de transfer H , corespunde

unui filtru trece tot, cu proprietăţile:

1, 0

0, 0

1 0

H

/ 2, 0

0, 0

/ 2

arg

, 0

H

Page 18: Semnale de Banda Limitata.ppt

Interpretarea legăturii dintre partea reală şi cea imaginară a semnalului analitic cu ajutorul produsului de convoluţie:

1 1dˆ h t

t

xx t x t x t

t

,

unde:

1 1TF H

th t

.

Semnalul x̂ t rezultă ca răspuns al unui

sistem caracterizat de funcţia pondere h t

sau de funcţia de transfer H s , la intrarea

căruia s-a aplicat semnalul x t , ca în figura

x t 1

h tt

x̂ t x t h t

Page 19: Semnale de Banda Limitata.ppt

(Câteva) CONCLUZII PRACTICE Dacă x(t) este un semnal cauzal:

având spectrul (complex):

( ) (( ) ( ) )TF x t u t X Xj

atunci: ( ) ( )TH

X X

( ) ( )x t u t

t

De exemplu:

dacă: 1( ) ( )TF u t

j

atunci: 1

( )TH

Page 20: Semnale de Banda Limitata.ppt

Dacă spectrul unui semnal este cauzal:

iar: 1 ( ) ( ) ( ) ( )xX uT tjt xF

atunci: ( ) ( )TH

x t x t

0M

( ) ( )X u

De exemplu:

0 0 0

1 cos si( n2 )TF tjt

iar: 0 0

cos sinTH

t t

Page 21: Semnale de Banda Limitata.ppt

FUNCŢIA ÎNFĂŞURĂTOARE, FAZĂ INSTANTANEE

și FRECVENŢĂ INSTANTANEE ale unui SEMNAL ANALITIC

Semnalul analitic este:

jˆj e t

x xz t x t x t U t

Page 22: Semnale de Banda Limitata.ppt

Se definesc: - funcţia înfăşurătoare (sau anvelopă) a

unui semnal analitic:

2 2ˆD

x xU t z t x t x t ;

- funcţia fază instantanee:

ˆarg arctg

D

x x

x tt z t

x t ;

- funcţia frecvenţă instantanee:

ˆd darctg

d dx x

x tt t

t t x t

.

Page 23: Semnale de Banda Limitata.ppt

Reprezentarea SEMNALELOR MODULATE folosind SEMNALELE ANALITICE Fie:

0( ) ( )cos ( )

Mx t A t t t

sau:

0

0

0

( )

( )

(

( ) Re ( )

Re

Re

)

( )

j

j t t

M

j t

t

t

j

C

x t A t e

e

e

A t e

a t

Dar: 0( )( ) t

M C

ja t ez t este semnalul analitic atașat semnalului ( )

Mx t

Page 24: Semnale de Banda Limitata.ppt

Dar:

0

0 0

( )

( )cos(

(

) ( )sin( )

) j t

M

C C

Cz t e

a t t ja t t

a t

Fie: ( ) ( )

C CA TF a t

și:

0

0

( ) ( ) ( )

( )

j t

M M C

C

Z TF z t TF a t e

A

( )C

A

( )M

Z

M M

0 0M M

Page 25: Semnale de Banda Limitata.ppt

SEMNALE MODULATE reprezentate cu ajutorul

SEMNALELOR ANALITICE

Semnale MA 0

0( ) cos( )) ((( ) ) j t

MAMAm t mx t t z t et

Semalul demodulat în banda de bază este: ( ) ( )

BBm t m t

Page 26: Semnale de Banda Limitata.ppt

Semnale MF

0

0

( )( )( ) cos ( ) j tm

M

t

MFFm tx t t z t e

Semalul demodulat în banda de bază este: ( )( ) j tt

BB

mm t e

Semnale MP

( )

0( ) c ( )os ( ) j

MP

m

M

t

Pm tx t t z t e

Semalul demodulat în banda de bază este: ( )( ) m tj

BBm t e

Page 27: Semnale de Banda Limitata.ppt