Embed Size (px)
Citation preview
SEMNALE, CIRCUl ŞI SISTEM~
Culegere de probleme VOLUMUL 1
:Arof. dr. ing. ŞDRBAN·ESOU A·IJEm.t\N~BU q,t. ihg. ANTON LUOI:AN
Opt. ling. AJLEXANDlfESOU GELU OpL tng. lONIElSOU IiiV!U
•
SEMNALE, CIRCUITE ŞI SISTEME Cal~ere· de probleme
VOLUMUL 1
1111
- 3 -
Prefată '
bordarea şi mai ales rezolvarea (individuală, independen -t ) a problemelor propuse presupune flexibilitate în ut·lizarea o-iunilor fundamentale de semnal, circuit ş· sistem, precum şi a
conceptelor de prelucrare a semnalelo·r în vederea realizării unor
funcţii specifice în electronic~. Soluţionarea acestor probleme presupune (şi) cunoaşterea metodologiilor (generale şi specifice) de anal . ză, proiectare şi sinteză, dar mai ales a ceea ce se
nKno -how" în utilizarea lor. Acest lucru se dobîndeşte mai numeşte
ales prin angajarea activă în rezolvarea unor asemenea probleme, dar şi în
identificarea (şi rezolvarea) unor probleme similare ridicate la alte
cursuri şi/sau proiecte. Iată citeva din noţiunile şi con~eptele ge
neral folosite:
• Ele~tronica fu~cţional~ se refer~ la dispozitive, circuite şi sisteme care îndeplinesc anumite funcţiuni specifice, realizabile
tehnologic, în procesul de prelucrare şi transmitere a semnalelor.
• Semnal - o m[rime electrică sau electromagnetic~ m~surabi-
1~, variabil~ tn timp şi care are capacitatea de a se propaga într-un mediu dat.
e Circuit ~ o mulţime de componente electrice şi electronice
interconectate in vederea prelucrArii sau transmiterii informa~iei
conţinute de semnale.
eS&stem- o mulţime de circuite interconectate astfel ·încît •• pot identifica perechi de borne numite porţi de intrare şi/sau de
1 ire pentru semnale.
Sie\!!ul 4• coaun1cttie realizeazA prelucrarea semnalelor la intrarea ea ti/sau generate in interior printr-un ansam-~aat) de operaţiuni (sau funcţiuni) de ba·zl ca: amplifi -
, tranaforalri nel1n1are, modulare, detecţie, esti~~are
...... prelllorl.r11 eate un (alt) semnal.
- 4-
l~oblemele redactate in aoeaată lucrare sint aot1vitAţii desfăşurate de autori pe parcursul anilor in reaultatQJ disciplinei SEMNALE, CIRCUITE şi SISTEME. Oferim aceste oadrul stud ntilor de la facultatea de Electronică şi Informattol proble-. cadrul Academiei Tehnioe Militare din Bucureşti cu inte +t dtu
nv a de spri jin1 in pregAtirea lor profesionalA, pentru tnţele.g , ... ,
erea unor ţiuni şi concepte fundamentale, pentru a-şi dezvolta abilitl Ro-
ţile ele abordare şi de rezolvare a unor probleme de analiz~ şi sintezl semnalelor, oiroui te lor şi/ sau sis teme lor. Reoomandb oi tit a
Ortlor al încerce rezolvarea problemelor f~rA a face apel la lucrare B
• eaolvtrile şi r~punsurile publicate stnt doar o solutie posibili B
• ••olvarea individual~ a oi ti torului poate aduce satisfactia unor
11 1 O IO• luţii şi discuţii pentru alte probleme. .
Dorim să multumim şi pe aceast~ cale studenţilor anului II din anul universitar 1992-1993, care urm~rind rezolvlirile propuse
111 contribuit cu mlllte observaţii utile la imbun~t~ţirea oalit!ţii q.
terialului.
Orice sugestie sau observaţie eri tică ou privire la conţi
nutul lucr~ii va fi oonsideratâ cu atenţie de c~tre autori ln vede· rea imbunlt~ţirii ediţi.ilor viitoare.
- 5 -
CAPITOLUL 1
Semnale deterministe in timp continuu
Breviar teoretic Modelul matematic al unui semnal electric
timp poate fi definit ca orice aplicaţie:
x : 'fr ...... x, t ---x< t>
în domeniul
care asociază fienArui moment te: 7 un element it) din X, .unde '3 este mulţimea momentelor (de timp), iar Jr este o mulţime de valori asociate semnalului.
Semnalele analogice sau "in timp continuu" sint reprezentate de funcţii de timp care au ca domeniu de defini ţie It c lR • Uneori
acest suport continuu este local limitat in timp: t 1 < t <t2• Domeniul X al valorilor funcţiei semnal x( t) poate fi: Xc Z sau 7 c 1R pen
tru semnale reale sau ~ct pentru semnale( cu •alori) complexe.
• O funcţie semnal x( t): IR --t aparţine claeei 11 daci ee te
măsurabilă şi este de modul integrabilA: +()()
Jx( t)l dt ~ M < oo cu M 4i IR
-oo • O funcţie semnal x( t) : IR ....... , apartine clasetL
2 daci este
mAsurabilA şi de energie finitA, adiol eate de pltrat 1Dt.,rahtll
J:0t>l 2 dt<x<oo cu,.~ Mulţi••• tuturor fuuo 11lo a~ .. ~
un spaţiu liater, Ytotor1al o~ le ( opera\ t llt 1 ( Ym, Yn ) y".
- 6-
"ulţimea funcţiilor semnal My= {y1< t) ,_,r ( t) } f ' r 2 • ··• or
mează o bază ortonormată completă (sau totală) dacă îndepll"n t eş e con-
diţiile: • + oo 1 , da că i = j
< Yi • 'Yj > ~ j Yi < t> . Y/ t) d t .. o • dâcă i _" ; '-oo t.l
e Un semnal de energie finită x(t) : IR-..lR €L2<t1 ,t2
) poate fi descompus în serie Fourier generalizată (SFG) conform relaţiilor :
00
unde: C· = 1
x( t) = L ci Yi ( t } i= 1 1 t2
< x( t) , y i ( t) > = ~ x ( t) · y i ( t) d t 1 tl
'
• Energia , i puter~a medie totalA a unui mnal x( t}: IR- IR, x(t) e L2 sint definite de rela\iil :
+00
._.x .. ~ x2(t) dt
•-oo ,+T/2
Px lim ~ ~ i(t) dt T .... oo '-T/2
Observaţia 1: Doc!i {( t) : IR C, in r 1 t111 pe X ( t) OU \ X ( )\ 2 •
Dac~ x(t) t 1 rio te, put r 1 cu put r H p o p riu d •
c d t vom ui
t r
- 7 -
e Teorema lui Parceval exprimă energia unui semnal prin co -ficienţii SFG:
1t2 00
W x "' x2< t) d t .. L cf
t i=l 1
e Functia {sau Eţoduaul) de convolut1e a douA se•nale x(t)
şi h(t) este definitâ de relaţia: ,+00
y( t} not (x .. h)( t) ! ( x(b) h( t-b) db
loo In cazul semnalelor period1ce cu (aceeaşi) per1oadA T,fun~
ţia de convoluţie yT(t) este periodic~ şi ~e defineşte prin:
yT( t) ~ ( :x (i!) b) 'r( t) ~ f ~ x(b) h( t-"~) db
'T Funcţia de convoluţie ar urm toarele proprietlţi:
- comutativ~: x(t) M b(t) • b(t) * x(t)
-asociativ~: x(t)•[b1(t) •b ( >) .. [x() h 1 ( t >) .. h t ( t)
b1(t)]+[x(t).,. h (t)) - distribu tiv§: x( t).,. [b1 ( ) + b ( >] • [x< t)
o nlex1(t) 1 x (t} ede-
fineste prin: .. oo
rl2(6) ! i 1 ( t). J ( b) d
-00 t (yoc~ia 4 auto-
D c ~ l( ) 1 ( t) 1 t ' in
cor ' •
( ) (t) :r(t +"r;)dt
1(t) 1 t) lnt re lt i periodice de
ţ r 1 \1• <• \Uall) •• fi pertCMiicl ( )
- 8-. In acest caz, dacA x1(t) • x2(t) • xT(t), se defineşte
funcţia periodică de autooorelaţie:
rT(?;) .. ~ 1 x( t) • x( t+ '& ) d t
T Pentru 'b= o se obţine puterea semna-lului periodic xT(t):
, r(O) •Î ~ lxT<t>l 2
dt 'T
e Relatia lui Rayleigh exprimă legătura intre energia (mu-tuală) a semnalelor şi spectrele lor:
1 +oo ,+oo
"''!,2(t) ·<xl(t), Xz(t)>= } xl(t)·x2(t)dt .. ~jxl(W)·X~(Wdw •-oo '-oo
Dacă x1Ct) = x2(t) = x(t) rezult& că:
+00 ,+00
Wx =<x(t), x(t)>=5 lx<t>l 2 dt = ~~ IXCjW)I
2 dW
-oo -oo
Semnale elementare
41 Funcţia semnal treaptă unitate, notată cu u{t) sau este definitA de:
o • t <0 1 1 u(t) c ~ + 2 sgnt = 1/2 , t. O
1 ' t >o
. (j( t)
t .. Un semnal x( t) cauzal, caracterizat de: x( t) • O, llt <O
se reprezibtA cu ajutorul funcţiilor treapt~ unitate prin; ,00
x( t) "' x0
• u( t) + \ aă~2 u( t-~) db . •o
e F11nctie semnal 1.1Dpuls llni tate (Dirao) notatA ou ~(il eate definit~ de proprietA\ile:
~(t) •O. 31 t" o O(t)
b(oo)-oo 0
1
.~t) dt. I!(t) dt 1
1
- 9-
Un semnal x( t) se rellrezintA. cu ajutorul functiilor ~ ( t) prin: ,+oo
x( t) a tx:(b) • ~( t-b) db .
~ Functia semnal "delta periodic" notată cu ~TiJl eate defi-
ni tA de: 00
J1tt)
bT(t) • L'&tt-kT) 1 -- --k=- 00 ••• •••
-31 -21 -T O T 2T 31 • • •
unde : C e C l IR)
iar : Ol. , W e. 1R o o
OC:t x( t) • e o
x( t) • e J~ ,
.., Reprezentar-ea semnalelor p rb:1Jc!
• UD ee•nal real x(t) ••t• perto41a .x( t) • x( t + kt) UDCle k• Z
funda•eDtall. UD ........
-
t
t
- lo -
• Un semnal real, periodic, de perioadă fundamental~ T , care satisface condiţiile lui Dirichlet se poate dezvolta într-o . ser1e convergentă sub urm~toarele forme:
- Seria Fourier trigonometrică (SFT):
a oo x(t) = -Ţ +L:Janco~nw0 t + b
0sin n w 0 t], w
0 = 2'11/T
n=l
und : a0 = ~ ~x(t) dt
a0
= ~ I x( t) ·cos nw0
t d t , ( n = 1, 2, ••• , oo)
2 (' b
0 = T l x( t) sin nw
0 t d t , ( n = 1, 2, ••• , 00 )
'T - Seria Fourier (sub formă)
00
x( t) =L~)0cos(nw0t+ <p0
)
n.J.
(sau compactă) SFA
unde: A = a /2 o o
unde:
A0 =V a~ + ~~ , n = 1, 2, ••• oo
~n = -arctg(bn/an) , n = 1,2, ••• ,oo
- Seria Fourier (sub formă) complexă (sau exponentială)SFC
~ jnW t x(t) =~Cn e 0
nc--oo
1 (' -jnw0 t T:~ x(t) e dt
Dac~ x(t)eiR, rezult~ o[:
1 Cn- -2(an- jbn) C • a /2 o o
9_0
c arctg(b /a ) D D
j
n • 1,2, .•• oo
- 11 -
.Reprezentarea semnalelor neperiocface Pentru o funcţie semnal x(t)EL2, realA, car tndeplin t
condiţiile lui Dirichlet se definesc: - transformata Fourier directA:
X( jW) not X(W):.:1{x<t>} E r:~) e -jwt dt, .IIW GIR
•-oo
- transformata Fourier inversă: i ,+OO jlJt
x( t) .. ~ { X(w)} = -k) X(W) e dW
-oo
~ Dacă x( t)< > X(W} sînt perechi transformate
atunci sînt valabile următoarele teoreme:
T 1:
T 2:
T 3:
T 4:
X(w) este o funcţie
x~"(t)< :f"i>X~"(-W) X(t) < T !>2'ifx(-W)
continuA şi lim x(LJ)• O \WI-oo
Schimbarea scării timpului:
~ 1 ltd) x( at)<E!Eii:>lal X\ a , a e IR {o} T 5: Teorema deplasArii (în domen1ul frecvenţA):
x(t)·ejw0 t<']"'>I<c..rw>, w EIR . o o
T 6: Teorema deplasării (in domeniul timp): ':+_ -jwto
x(t-t0)~:> l(~)
T 7: Teor ma deriflr11:
nxt t) <Zv ~W)o 1 (U) dtD
T Bt feor•• tD • t
c
Four1ert
- 12 -
T 9: Teorema oonvoluţiei In (domeniul) timp:
DacA x(t)<~>I(W)şi h(t)<'7
!>H(W)
T 10:
atunci: 7 x( t) * b( t) <__:> IC w)·H( w)
Teorema convoluţiei in (domeniul) frecvenţă:
DaoA x( t)<4 X(W) şi p( t) <:! rţ> P( W)
atunci:
x(t)·p(t}<z> ~A(W).,. P(W)
~P-rezentarea semnalelor cu ajutorul transformării Loploc~
Transformata Laplace (unilaterală) se defineşte prin:
.\ (X) t X(s) notJC{x(t)J ~} x(t) e-s dt
'o
cu sE Rd c
~ t%. ,oo t x(t) ~\X(s)} • 2~j J X(s) e
8 ds
'o Regiunea de convergenţă (R d C) este domeniul din planul
variabilei s •V+ jLJ asociat transformatei X(s) în care aceasta este absolut convergentă.
Perechea de funcţii original :x( t) şi imagine X( s) legate
prin transformarea Laplace se reprezint~ prin:
x(t)<6>x<s>
Şl respect~ urmAtoarele teoreme:
T 1: Intirzierea in (domeniul) t1mp: ~ -et0
x(t-t0
)<J t>e X(e), Jl. t0
>0
T 2: Teorema deplaslr11 (in planul s):
x(t) e80t<~>I(s-s ) o
T 3: Teorema ecbimb!rii scArii timpului:
x<A·t><4>i x(-5) -iA IR"' {o}
• • -13-
T 4: Teorema derivArii (s~nalulu1):
dnx(t) <-"->sn·l(s) dt0
.
T 5: Teorema integrArii (semnalului):
fx(~) d~~> l~sl T 6: Teorema convoluţiei in domeniul tiap:
x( t) w h( t)<aC L>X(s) • H(e)
T 7: Teorema convoluţiei in domeniul frecvenţA:
x(t)·p(t)~t> ~ [X(s) • P(a)]
.. e Trecerea de la transfonaarea Laplace lx, ( ) la tnm fo
ta Fourier X(LJ) se poate realiza nuaai 4aol: - Hegiunea de convergenţl aeociatl trauefo~ tei
XL(s) conţine axa jLJa planului • Atuaot:
X(W}• ~(a)l e•jW
- Daci R d C ocio r fo tet L 1 ce 'L( ) mitotA de axa l~. 1 r ~(a) r olt et•pl lD jW. Atunci:
I(W)• 'L<•>I 1 jW
undet ( )
-: 14 -
SA se determine s pectrul de amplitudini §1 de faze pentruaeanalul periodic din figura P.l.l.l.
xtt)
E .
~ ,.... ,.....
T/2 t . -T fo t,T ir -ZT
T
Fig.P.l.l.l. Discuţie !n functie de diferite valori ale parametrilor t
0 şi t
1•
Rezolvare
Semnalul x(t) se poate dezvolta in serie Fourier complexl(ex-ponen\ială): + 00
x(t) • L Cn· ejnwo t, cu
n--oo
w • 21" o '1'
iar
T j9 1 (T -;lnw t (2-tl -Jnw t
cn. ICni .• n '"'T )" x(t) -e o dt.= + l E-e o dt
T o to Rotind t 2 • ~- t1 , integrala devine:
1 -j-nw·t t2 C -
• E o ......- ·e •- E n i- ~j · D·W
o to j. 'r. n·Wo n wo t2+nwo to -jnW' t
2E nw
0t2
- nw t -j _...;:;....,_2
_......__ - 8 o o) • o o
. sin 2 · e T·n·W o
Coa,ounta continui va fi dati. de:
-15 ..
,. ~-tl 1 c 1 ( 2 1 ,.
C0 • T Jo xltl• T Jto 1-dt • ,..-·<-r- ~ - t 0 )
Funcţia sine ae va anula pentru acele Yalor1 ale araua.ntulai ecal• cu K7.
nw0 <+ ~ t1 - t 0 )
2
K • t 1, ± 2, t 3 ••••• Faza componentelor spectrale ce apar la .ultipli de LJ0 va fl ta\• a.
n· 7-<+ - t1 + t 0 ) 9 - - __ ...;;.._......__.......,_ n '!
Spectrul de amplitudini ti fase eate represea\at tu
P.l.l.2. respectiv P.l.l.3.
1
1 1
. \ 1 •••
L
SID\atl
\ 1 1
1
/ 1
\ 1 -. -
\ --\
l1g.P.l.l.2 rt r
- 16 .. .
1 r 0o • f <2- to>
• • sine 0 2 ° 1(+ -t 0 ) 1 DW. ( 1' - t ) T 2
n·7(+ + t ) 9 -- o n- T
Funcţia sine se va anula pentru
nw • 2KTI o T t z- o
Spectrul de amplitudini şi faze ale semnalului x(t) este prezentat in figura P.l.l.5.respeotiv P.l.l.6o
Jf\
1 \
/ ~ 1 1 \ 1
1 ' \ J
' 1 - ~-- \1--(
IIC l
" 1- f(ţ-t"J
/
1 r-\
1 \ 1
1 \ 1 \ 1
\ 1 \ 1 \ 1
V-- __ , 1 ·~
-
Fig.P.l.l.5.
--
. . . . ....
Pig.P.l.l.6
;" 1 \ \ '~'
1 \ \ \ /
\ 1
--\! \ 1
~~ ... -'
w
. 1
1
re-
b) hol t 0 • O Y rezult al--" ••an ·~ peri~llo z(t) 4• f•r~a pr sentatl tu f~ P.l.l.l.
- 17 -
aX( tJ
E
1
T/2 t tl_ 1 T
F1g.P.l.l.7
Spectrul de amplitudini şi faze va fi asem!nător cu cel pre
zentat la punctul a). o) Dacă t
0 = O, t
1 a O va rezulta semnalul periodic x(t)
forma prezentatâ 1n figura P.l.l.B.
'
1 c --0 2
x(f}
E
I T 2
Fig.-.1.1.8.
IC111• +·\Bine qj T
gn • - D-T
Funoţia a1no •• 'fa anula pentru
nW0
• ..1l:'f • 2· 2",[ 1 • 2Waf• T
t
de
Speotrvl 4• upl1tll41a1 11 tue • ....Uulai (t) ute re-
preleDtat la ti P.l.1.9,
- 18 -.
Fig.P.l.l.9
-·
1 • p .1.1.10 laplitudinea fundaa ntal 1 ' f1:
Dtpluarea pe u ti ulu1 a 1 Dit, nu •o41ficl ap otr 1 4 11tudt. 1
Pro
• • 2.1.
1
w
w
-·
1 (t) u ti p
1 r 1
1 1 • t.
t
- 19 ..
(t
E ~
T , - fc, • 'f
E
Fi1.P.1.2.1. Discuţie in funcţie de diferi • • or alt par tru
Re col• Semnalul x( t) e
pon nţiall.):
K(t)
n •-
c • le 1· D
poate de&Y
D O c .•
te er • ur1er oo.plexl (ex•
u - l
-ja o' )
- D O . ' .
-.20 ..
• K'li, K = t 1, :t 2, ± 3, •••
Spectrul de amplitudini aJe semnalului· x(t) este reprezentat fn figura P.l.2.2 iar spectrul de faze în figura P.l.2.3.
w
Fig.P.l.2.2.
w
---
Fig.P.l.2.3.
Discutie: a) Dacri t = -+ t 1 1 1 ' o q ' a u~c semnau periodic x(t) va avea forma
din figura P.l.2.4.
"_
~
x(f'J "_ f r--
rr T '~
Pig.P.l.2.4
leul• +·\e1no ~~ ..
. ,.........
.
t T ~
•
- 21 -
1
Funcţia sine se va anula pentru
nw T 2 ~ z Klf de unde reEultl
nW0
= 4K ~ Spectrul de amplitudini şi de faze este reprezentat în figura
P.l.2.5 respectiv figura P.l.2.6.
b) D o t 0 • ~
f .. gur P.l.2.7.
G4, 3 (..) ""-'o .2t..Jo ~i41o
Fig.P.l.2.5.
w
.P.l.2 .• tunci mn&lul periodic Ya avea forma d
(f
- 22-.
r--
en- -n·+ C0 • + •(2· ~ - T) • O .
Functia sine se anuleazA la multipli pari de ~0 • Spectrul de amplitudini 11 de fase este reprezentat in figura P.l.2.8. respeottv ia figura P.l.2.9.
\
.
1 \ \ 1
ICnl E
1 \ 1 \
\ 1 ' 1 \ 1 ' / \ 1 ,, 1 1 ' 1 \ ,, t' \ 1 \
1 1 \ 1 1
Fig.P.l.2.8
Bn '
. 1 ~ l~
. Fig.P.l.2.9.
w
w
Deplaearea pe axa t1apulu1 a •••nalului periodic x(t) ou un ··-.., finit au aod.ifiol 1peotrul de amplitudini al aoeatula.
froblw P11.31
SI •• cl1ttraine apeotrul 41 ampll tu41n1 11 41 tue pentn ., ..
a) •11luul re4reaat IIODOal t1nanţ11 .·
~,Qljjt;f reireaat 4abll alterQiftţl. a) S..eJ.U at-.111. relreeat •uoaltenuţl are tona 4ia ft
.1.5.1. •
- 23 -
xlfJ E ------- ---
t
Fig.P.l.3.1. Dezvoltarea in serie Pourier complexl (exponen\iall) Ya fi aa-
tA de: +oo jnw0t
x(t) • L Cn·• n• -oo
jQ iT -jnW t J.T/2 C • le l·e n • + x(t)·e
0 -dt • + l·alnw0 t •
n .n o o T/2 -JD W t E r~ n+l l 2 1 j • e o dt • - TW l(-1) - lj+ D • r. ainwot •
o o -jnW t
• e o dt. T/2 E .( -jnW0 t
Dar, in ultimul termen T Jo ain W 0 t • dt • Ca u se obţine:
c • EU-l>D+1-1] n 2'T(n2-l)
Pentru n impar amplitudinile co•ponentelor spectrale atnt nule, cu excepţia cazului n - ± 1 pentru oare •• obţioe nedeter.inar.a:
o 0n ·o Pentru calculul valorii componentei apeotrale in n • !1 ata
funcţia:
cAreia ii aplicla resula lui L Beepl
a_
- 24 -
1 pul 1 ui on.o t rnan ţi e t •
ntru n s bţine:
c ar v loare negativA pentru orice n ez ou n ~ o şi n ~ + 1 - . C • 1 C f • e j Qn ·/ 2E 1· e j TI n n 2~(n2-l)
D f jul introdus de fundamental~ este nul iar celelalte componente or introduc un defa ajz
9 -1î n
Compon nt oontinul va fi datA de relaţia:
, 'r/2
C0 ·+j sin(w0 t)·dt• ~ 'O
Sp ctrul de amplitudini este reprezentat in figura P 1.3.2. iar spectrul d faze in figura P 1.3.3.
E/T
E/~'1 E!J7 F/67
-- w
• -Fig~P 1.3.2
&,
7i . --- ---.
. w - . . . ,
Fig.P 1.3.3. b) Semnalul aiuusul redresat dubli alternanţa are
figura P 1.3.4. forma elin
- 25 -
xftJ
f
Fig.P 1.3.4.
jQ (T -jnW t (T/'2. -jnW0t
C11
• IC0
1·e n .. +)o x(t).e 0
.dt • + lo x(t) e .at
deci componentele spectrale de amplitudini ale semnalului dublu redresat vor fi de două ori mai mari decit ale semnalului simplu re
dresat. Spectrul de amplitudini şi de faze este reprezentat in figura
P 1.3.5. respectiv P 1.3.6.
---11
Problema P 1.~
2E~ ??! lL
, FI
Fig.P 1.3.5
Bn fij"
Fig.P 1.3.6
SI •• tras••• .•peotrul le ·•114 nalul din fi,ara P 1.4.1.
w
--- w
Discuţie pentru cazul
ReEolvare.
- 26 -
x(fJ
6 T
Fig.P 1.4.1. T "G=z·
Derivînd semnalul x(t) de două ori, rezultă functia x"(t) Set) este impulsul Dirao. in care Deri~ările succesive sînt reprezentate i f" n 1gura P 1.4~2.a b
t •
a)
b)
x7fJ E ga----.
- ...L ~ T-~
x''l fJ
E·T ~rr- 61·ottJ
Fig.P 1.4.2
t T
T f ...
Funcţia de densitate spectral! a semnalului riodic este: · considerat ne pe-
X(jLJ) • X"(jLJ) (jW)2
l"(jW) • ~{ E·T • ~(t) _ E·'r ~ } ~ T- b ) "G( T- b ) . ( t - "G ) •
• E·T • (1 - e-jW~) "<T-t) Il
- 27-
" Wb :1 w& .,T - T e - e
2:\
(Wb 2ET Wb -j T +lr)
• 2-(sin 2 )·e b<T~~ )·W
Legătura dintre ooeficien\11 dezvoltării in serie Fourier 'aub
formA complexă a semnalului periodic şi funcţia de densitate spectra-
lA, este dat~ de relaţia:
Cn = + · X(jnw0 ), deci nW ~
E.T2 nWO b -j( 20 +rn) jQ
cn • b(T-?; )n2.ru2 • a in 2 -e ·ICJ·e n
....-
- " nw0
'b 2 ~ Funcţia sin se anuleaz~ pentru 2 • K1i deci nLJ • KH. o ~
Componenta continu~ este dat! de relaţiaz T
1 ( E·'l' 1 E co-T )o x(t)·dt • T'T. 2
Spectrul de amplitudini şi de faze este repre!entat in figura
P 1.4.3. respectiv figura P 1.4.4. ICnl
.. w
-28-
~iacut1t
Daol ~- -J- atunci aemnalu1 x(t) •n a•ea forma dia x(f)
E --
f -L--~--~----~~ v~2--~--~--~-
Fig.P.l.4.5.
le 1 ·sin • · sin n•-J-1·'1'2 1 n · 211'1' 4E 1 c-::-1 n · +·+·n2.u2 T·2·2 n2-rr2 ~ r! 7 t":':"' .,D. -DT- u
IC01• 2!!z pentru n impar şi
n · n lcnl • O pentru n par.
Spectrul de amplitudini şi faze este reprezentat in
P.l.4.6. respectiv figura ~.1.4.7.
--
ICn 1
E/2 f
Fig.P.l.4.6.
Fig.P.l.4.7.
•
w
--
-29-
Problema P.l.5 Si se traseze spectrul de a.pl1tud1n1 11 de f ... pea
nalele reprezentate in figura P 1.5.1 a,b.
;c(t}
E -----
a)
f T/2
xft)
E -- ---
b)
t
Fig.P 1.5.1 Rezolvares a) Dezvoltarea in serie Fourier ooaplexl a a..aalului z( )
din figura P 1.5.l.a estes +OO jnW t
x(t) • L Cn·• o ' wo • i;f-D• -oo
J9 (T -jnW \ cn • leul·• n • + l x(t)· • o .u •
1 (T/221 -jnWot 0
D --rla r·t·• ·cit. ~[(-1) -1] . 2a'r ·<-
DacA n • par resu1tl C0 • j· 1 · 2D'T 2T
n • iapar rtsul\1 c8 •
te l
- 3o-
Ooapoaellta coatiaul Ya fi clatl de
c0 • + !T x(t).u • + Spectrul de amplitud1n1 11 de faze pentru semnalul x(t)
representat tn figura P 1.5.2. respectiv figura P 1.5.3. ICnl
-4'1
.,4t, ~ -~ i..b 2f...b -+~ GiA.b Fig.P 1.5.2
Bn 7i z
1 (.)o 3U, 5c.t ?t.." 9(.Jn
-l~i;€4 IZG..b '*l4, 't...b &Jo
-rtg.P 1.5.3.
w
b) Spectrul de aaplitudini al semnalului x(t)
w
1.5.l.b. Ya fi de doul ori mai mare decit spectrul de amplitud1D1 ••~alului x(t) prezentat in cazul a), iar spectrul de faze va la fel ca cel preaentat tn cazul a).
Pro bleaa P. l6. -Sl a·e gbeaecl spectrul de ampli tud1n1 ti da
lului .dinte de ferlatrlu" din figura P 1.6.~. x/tJ
1 --
. 1'1a.P 1.6.1 • •
Reeolvar•· Semnalul x(t) ae poate des•olta tn aer1t Poar1.,
tricla a . 00 . •
x(t) • 2° + Ll-.ooa aw0 t + 'ba•ta aw0\] • w0 • 2Tit n.al
unde T/2 !/2 a • + ( x(t)dt • +i ..p clt • O, aeoareoe
0 lT/2 T/2 x(t) se poate scrie eub forma:
:t<t> • Şt= pentru - + <t < + Coeficien\11 an • O pentru oi s(-t) • -x(t)a
iT/2 J:/2 b .. ~ x(t) sin nw t dt • ~ t·aia '(f •D·t•tt • n ·J: T /2 ° ! T /2
2 C"::"'l • --·cos n 1 n11
b • n
-'- pentru n 1•par n7
- Jz pentru n par. n·U
1egAtura dintre coeficien\11 seriei Pourier ooaplezl 11 ooeft seriei Fourier trigonometricl eate dati de rtlaţiat
le 1 • ...L , (Y)n n n7
=- 3·~ • -j·.J...·coa n T • a7
Q • n + ~ pentru a 1.,.r
, • .J... a'T
-
--W
1 .P 1.6.2.
'11
'1 t t
i
'2(4 IGJo Wn w lJo .5t.Jo !f.J.
-.J.. z -Fig.P.1.6.3
determin d Evoltarea spectral! a semnalului periodic in figur P 1. 7.1·. definit în interiorul unei perioade de expresia1
x ( t) • A t 2 + Bt + C pentru O t ~ ! X(f}
f 1
--------~------~------~------2~7~ .! t
Fig. P.l.7.i ...
Partioularis'ri pentru diferite valori ale ooefioienţilor 411 erpr•ala •••nalului.
iezolTar • 6 . .
Dlt-.oltarea 111 aerle Fom-ier coaplexl a semnalului x(t) eate 4e relaţia:
- 33 -
Din calcule va rezulta:
C = 2A. + j. (AT + B ) n n2.w1 n·W
o o
Componenta continu~ este dată de relaţia:
1 (T AT2 BT C 0 = T Jo x ( t) · d t = ;- + 2 + C
Spectrul de amplitudini este reprezentat în figura P 1.7.2.
Cazuri particulare:
ICn\
~:_8'•c 3 2
' Fig.P.l.7.2.
a) Dacă C =O, semnalul x(t) va avea forma din figura P 1.7.3
x(f}
t --
Fig.P 1.7.3. 1 . cu cel prezentat anterior, cu excepţia compoSpectrul va fi ace aş1
nentei continue care va fi: AT2 BT co • 3 + 2
Spectrul de faze va fi acela§i cu al aemnalului dia fipra r b) Dacl C • O, B • O semnalul x(t) Ya &Yta
P.1.7.4.
.7.1.
- 34 -
ig.P 1.7.4.
4A2 A2. T2
lCnl \ n4.w4 + n2.w2 o 2 o
ll·W ·T 2 Qn "' -arctg 2 ° "' -arctg 2nfD
AT2 0o = 3
f 21-
Spectrul de amplitudini este reprezentat în figtlra p 1.7.S.
Problema P 1.8
"1, Zt.Jo 36Jo
Fig. P 1.7.5.
s~ se determine dezv lt î
w
o area n serie Fourier complexă pentru semnalul din figura p 1 8 1 . . • • • defin1t prin segmente de curbe exponen· \lale.
f -T -Tl2 T/2 T
Rezolvare Fig.P 1.8.1.
- 35 -
Vom considera: l T ] -oct - oc<t - Tl x1(t) • E2·e şi x2(t) • E1 + E2 · 1- e
dou[ funcţii cere ee suprapun peste x(t) in intervalele Lo, ~1 respectiv [+• T]. OG 'l'
'!' - 'T 2 o 12
Din x1 Cz) • E2·e • ~ rezultl O(& -r · ,t,n ~
Vom deriva de douA ori semnalul x(t) şi vom ob\ine se~nalele
x'(t) şi x"(t) din figura~ l.B.2.a respectiv figura P l.B.2.b,
a)
b)
Analitic:
' 1 •
T/2 T -Ci.ff --~~ .... -0/.Ez ·CXX1 (f)
x·rn ~~E2 ry/.x1(f") Df.{f1+f2J·~ff-f) "'2E \A. • 1
Fig. P 1.8.2.
J:i (t) • -Oi. ·E2· e- OCt .. - OC.·xl (t);
xi ( t) '"' - OC:xi ( t) • 0C. 2
• t-( t); - OC( t - 7> T
x2(t) • OC·E2·e • CX·x1 (t - -r>;
t
T 2 T ) x2 ( t) • OC· xi ( t - 2) • - (t • x1 ( t - 2 •
f
Din graficele prezeDtate ln figura P 1.8.2 ---
x"(t) • ot2·x1 (t)
.~H- +>
- 36-.
+ OC(R.. + E2> • 8 (t - +>. deci funcţia de densitat -l e speot
a semnalului x"( t) considerat neperiodio este: rlll
X"(jW) ~{- <X·x 1
( t) - CX ·(El + E2) • 8 ( t) +<X·( El + E2) ·& ( t . _ +>\. o-~·Y[x• ~t~. -~(El + E2>~1P<t>J + ·occE... + E >~O<t ~ ,1
J. 2 V L . - "!)J = - CX'{j W) ·X(jw) - CX.{~ + ~) + ()(..·(~ + E
2). e-jw+
Dar X"(jLJ) • (jLJ)2·X(jLJ), deci se poate scrie:
(jW)2·X(jW) .. - tX'{jW)·X(jW) +OC·(~ + E2He-jw+_ l),de
unde rezult!: · -jW T
ol-C~ + E2He 2_ ~) l(jW) • .
2 -W+jWOC
Legătura între funcţia de densitate spectralA X(jLJ) şi ooe
ficienţii dezvoltării în serie Fourier complex~ a semnalului periodic, este datA de relaţia:
unde
cn .. +. X(jnWO), astfel va rozulta:
' 2 Cl-(!1 + E2Xe -jnWo· 7 - 1 )
0n = - T. 2 2 T
J) ·W 0 - jnW0
·CX:
2 ~(~ + E2)·[(-l)n-1] IZ - T. .. 2..--
D· f Cnw0
- j OC)
Pentru n par va rezulta Cn O iar pentru n impar se obţine: 2 tx(~ + E2)
· 02K+l (2K + l)·'iil2K + l)w
0 - j cx.J ·
OC • + . Ln -E2 El ,.
Problema P 1.9..!
SA e determin spectrul mnalului x(t) din figur P 1.9.1. pentru OG• 106.
- 37 -
Fig.P.l.9.1. Să se determine şi banda ocupat~ de semnalul x(t) dac~ se ne
glijează componentele spectrale a c~ror amplitudine este mai mică cu
cel puţin 20 dB faţă de amplitudinea fundamentalei.
Rezolvare; Folosind dezvoltarea in serie Fourier complex~ Vl rezulta:
m )T/2. · t c = 1 x(t)· e ·dt • T e .e i
.l -jnwot 1 -Olt -JnWo .. dt -
n ~ o r_ -(l+j'lln)12
(T. -oct -jnwot .. dt 1 ~ ·~ -e - ). e , .e 2(1 + j 11 n)
Pentru determ{~~ea benzii ocupat~ de eemnalul x(t) în condiţiile din
enunţ, se calculează raportul Cl/Cn
=- -(l+j '1>12 el ~ (1 + j 11 n >{1 - 1) 2 Deci, r (1 j 1 ) n 2(1 + llU)· [1 - e- + n
de o are o Condi\1
-20 dB, re1ultl
2
CD < 0,1~, deoi \ C 1 <O O
Pentru a iapar •~ .. (·1)8
, ........ 41ol
- 38 -.
R zult~ banda cuprinsă intre (el, c9]pentru componentele impare~
Pentru n par avem (-l)n 1 iar
el 1 + j n 'TI 1 + e-l c-- = 1 - • 1 n 1 + jCU 1 - e-
K l + J11n d d ~ • e un e
1 + j'il
l Cl 1 Kvl + ~. n2 - 10 -=. 2 - ' cn 1 +Ti
1 ~2 2 +" · n ~ 20 va rezulta l + 112
V,..-19-+ -2-0 r.;--11 -:-2 '::: "'\ ~22 ,." 4 n = 2 - V ~~ = •
'1f Deci banda va fi cuprins~ între [c1, c4] pentru componentele pare.
In concluzie banda va fi cuprinsă intre [el, c9].
Problema P 1.10. Se d~ semnalul din figura P 1.10.1. Să se determine:
a) componenta de curent continuu a semnalului; b)spectrul semnalului x(t); o) banda ocupată de x(t) dacă se iau in considerare numai am
plitudinile mai mici cu 10% decît amplitudinea componentei fundamentale.
). ( f) eeif -1
Fig.Pl.lO.lC) Rezolvare
,
a). Semnalul x(t) se poate scrie sub forma:
x( t). e oc.t - 1, te [o;~] Din condiţia:
e rx;~_ 1 e - 1 r zul tl CX'b • 1
Componenta de curent continuu va fi datA d relaţia:
f 2~
~
co- -t1 x(t). a.t - ...Li\ ctt. 1). dt • e - 2 7, )o
- 39-
b) Semnalul periodic are coeficienţii seriei Fourier co~pl x
(exponenţiale): 7;
).• oct -jnWo t e 1
c = _!_ (e - l)·e •dt = - 2~ , deci n ~ 1 - jn . ...lL·~ o b
C = e - 1 iar \C l = e - 1 n 1 - j. 2n 'TI n 1/1 + 4n2. '112
Spectrul de amplitudini este reprezentat în fi6Dra P 1.10.2.
\Cn 1
e-2
w
Fig.P 1.10.2
c) Condiţia de bandă se scrie:
l Cn t 1 e - 1 .Y 1 + 4 7 2 1
\eli = 10 deci . e - 1 = --
vl + 4'TI~2 10
zul tă 41i- 2n2 = 99 + 4007"2
iar
n ~ 99 + 4~0112 ; 10 deci 4CU
banda va fi cuprins~ in intervalul [el, Clo]· Problema P 1.11
de unde re-
Să se c lculez funcţi de d n it t pectr 1 pentru semna-
lul din figura P 1.11.1.
K(f)
t r
Fi1. P 1.11.1.
D1 ouţ1 ln funoţie de Yalorllt ,., ...
r t
- o-
d n 1 t
n ul 1 (t). otr 1 ste transformata Fourier
+oo 0 ( W) ( ( t). - j Wt d t ( E- . t. e- j Wt. d t +
J .. oo )o ~ · ~T Wb
. e- j Wt. dt il ~ - j WT - j. 7' + w · e - 6 sine W~J f~ ~
m.scuti
di,
D ca 6= O semn lul (t) va avea forma din figura p 1.11•2•
x(fJ
E~----------------------
f r
Fig. P.l.ll.2. iar funcţia de densitate spectrală va fi egală cu:
X(jLJ) = j·E·(e-jLJT _ l) = E(~ip~î + j cosLJT _ j ) w w w w
IX(jw)l = ~ ·V sin2WT + (cosWT- 1)
2 :::E·T·!sinc ~!~ ( ) _ t cos WT - l WT WT 'f W - arc g = - arctg(tg T) = - · 2
sinWT
Funcţia de densitate spectrală este reprezentată în figura P 1.11.3 iar spectrul de faze în figura P 1.11.4.
E·T !X(jW)/
Fig.P 1.11.3.
. . .
~(W}
Fig.P.l.ll.4
w
- 41 -
Problema P 1.12 Fie semnalul x(t) prezentat în figura P 1.12.1.
x(tJ
,_ _ _.A
-ST -4T -T T 2T 3T -Jr -2r
-A
Să se determine: Fig.P 1.12.1.
a) expresia analitică a spectrului de amplitudine; b) expres i a analitic~ a densităţii spectrale a energiei; c) graf1cul fUncţiei de autocorelaţie.
Rezolvare. a) Derivînd semnalul x(t) rezult~ semnalul reprezentat in fi-
gura P 1.12.2. x'(t)
A A
-ST t -4T -31 -ZT -T -
-A A -A
Fig.P 1.12.2 Se poate scrie: x'{t) =A[- ~(t + 5T) + ~(t + 4T) + Oct + 2T) - ~(t) -
- O ( t - 2T) + O ( t - 3T >] , iar
1"(x' (t)) = (jW)·X(jW) = A· (ejW4T - ejW5T + jW2T - l - e-JW2'l'+
+ 9-jW3T)
de unde ) X ( j W) = A e - e + e + .:;;e2------~:.----~
j4WT j5WT j2WT_ l _ ·j2WT + 8 -j3WT
jW jW jW
WT ~tJP)\1 jWT 2A· T[sinc(WT) - sino(z)· cos( 2 ~·e
b) Conform teor mei 1~1 Pareeval rezultA ca o consecinţA: dE IX(Wll 2
dW 'T
l1x( W) • 4A~ T2 (ainc(WT) • aiao(~) ooa(+wt>]
o) Funcţia de autooorelaţ1e •• oalaultad la .....
- 42 +00
r12Cl ) 100
z(t).:dt + "& )4t
lat ,rala •• oalouleasl avlnd !n vedere graficele 418 P.l.l2.5a
lt(l) ,..... _ _.A
-51 -4p .---" -IT R 1T T
-5T
-4T
-3T ·7T -IT
-2T -IT -5T .
-r -IT -4T
.
•IT ~t 1
·IT ·'3T ·21
·IT -JT •T
T 2T JT
-A Jt(l+'&)
x(f.,!{,)
lt"+l)
Jt(f+'6)
Jt(ft,.l)
lt(/'.'6)
ll(f+ )
?,E:/-11, -'IT}
~€/-1T,·ST}
?, €/·61, -5 T}
?,f.[·IT, ·4 TI
?,€/·4~·:11}
?, €/·JT,-27/
'1 €1·2T, ·TI
1€(·1,0/
, --
f
t
t
t
t
t .
t
t
Puncţia de autooorela\ie eate re,reseatatl l
l1g.P.l.l2.4 ~roblema P 1113 SA se determine semnalul x( t) a olrui ftUJ.O\ 1 le Mll8l~IU.:'
spectralAIX(jLJ)I eate prezentati lD fisura P 1 1,.1.
Df.iWlt
-~
ResolYarec FuncţiaiX(j~)leate def1D1tl
ll<jw>l • 1 pentru IWI
O potna Wl
Semnalul z(t)
- 44 ..
"(/1}
sine
Fig.P.l.l3.2 Problema P.l.l4. SA se determine funcţia de densitate spectral~ a semnalului
x(t) din figura P 1.14.1. cu ajutorul impulsului Dirac S(t) gi al 11
reprezinte diagrama spectral!.
-~
Rezolvare:
x(tJ 1
Fig.P.l.14.1
t
lapulsul Dirac se obţine prin derivarea succesivă a funcţiei x(t). Semnalele x'(t) şi x"(t) sint reprezentate in figura P 1.14.2.a,b.
X'( f}
a} t t
·G
-i; xTtl 1 1
b} % b
f -~
·t Fig.P 1.14.2.
- 45 -Din grafic rezultls
x"<t>. -i--[O<t +b> • 2~<t> +0H ·~>] D~oareceSf{~<t>} • 1 şi aplicind proprietlţi~e da ~eplaaara la ti., obţinem: } -jwt
:f~<t - t 0) • e 0·X(jW)
7{x"<t>} • -t-[•-jw~{~<t>} -2·8jW~l0(\)} +
+ ejW~1'{~<t>}]
Deci: .1'{x"(t)} • i ·(e-jwb_2 + ejwy şi
aplicînd proprietatea de derivare tn domeniul timp
~ {x(n) (t)} • (jW)n·X(jW) rezultl1 2 1 jW~ -jWb
(jW) .X(jW) • T(e - 2 + e l,dar
? 1jWb +
1 -jWb
cos w C)• 2
X(jW). 2(cosw?;- 1) ·"·•1nc2(~b) iar -7;· w
IX(jw>l •b· sino2<~b > Funcţia de densitate spectralA este reprezentata 1s f11U~a P.l.l4.,.
IXI}'JJI 6
w
n1.P 1.14.:5 Spectrul. de fase eate dat dea
f
o oru ul !lor Dir o. Semnalele 1 ( ) ) i t 1 1.15.2 ,b.
( J
a n.~------------------~
f
b}
Fig.P 1.15.2. Analitic va reeulta:
x"(t). + tbct)- ~(t -b>) x•(jW) =~{+ · (~<t> - ~<t -'G >J}
( ) 1 -jw~ " jLJ • ~·(1 - e )
(jW)2 ·X(jW) ... i ·<1 - ~-jw~. de unde rezultă funcţia densi·
ta t spectrall: 1 Wb Wb Wb .
X(j~) • -(;)sine 2 '(sin, 2 + j cos . 2 ). Proclema P 1.16. a)_ Sl se determine funcţia spectral! a semnalului din figura
p 1.16.1. ) lXp(t
1 2 3 N ! ---~ ---
t 11 f
-~ f ,, 'P -
Fig.P 1.16.1 • .
- 47 -
b) Cu ajutorul cest 1 funa\11 e se deduol dezvoltare tn serie Fourier in oondi\111 1n care pachetele de 1m~ulaur1 11 repe\l
ou porio da Tl. o) s~ 89 reprezinta grafia spectrul de amplitudine al unul
paohet de impulsuri pentru cazul N • 2, "b • Tp/2.
Rezolvare: a) Pachetul de impulsuri poate fi scris sub forma: x (t) = x(t) + x(t - Tp) + x(t - 2Tp)+ ••• + x[t -(H - l)Tp]
p unde 6 / ~ b
U0
, dac~ KT- Ţ < t ~ KT + 2; K-= 0,1,2, •• , 1-1. x(t) •
O , in rest.
Avind in vedere teorema deplasl~ii in domeniul timp, rezultl
} -jWt
cj: {x(t- t0
) .. X(jw).e 0 şi aplicind transformata Fo~iar lui
x (t), obţinem: p -jWTp . . -j(B-l)·W·Tp.
X (jW):: X{jW) + X{jW).e + ••• + X(JW).e p
Deci: _ j. N WTt> ( j· BiT;p -j· BiTE -j · N ·W·Tp 2 e - e
XjjW) = X(jW)·~ = :-jWTp = X(jW)·e-j·iTP( j·iTp -j·~) e •\e - e
. . -j·i?P(N- 1) ~~n ~ X (jW) = X(j W)· e • ~Tp
P sin
Cum X(j W) =- Uo. ~.sine W ~ ' rezultli eli. funcţia spectrall a pache
tului de impulsuri video este: NWTp -j ~TP(H - 1)
w~ sin 2 X ( j w) .. · U · ~ • sin o 2 · · . i_ 'f!p • e
p o s1n
b) Seria Fourier complexA este de formas +oo jnWl t fi ien+ii C pentru pachete-
. x(t) • L Cn·• , unde ooe c ' n
le de impulaur~·P;~odioe atnt da\1 de relaţia: . c~ • ~1 ·lp(jn"'\), wl • -ft oore•ptmde freo•en\e1 ele repeU-
- 4 -r.
N· n~ Tp nw1
Tp 1 " • 2 . - j. 2 (N - 1)
" '""""
1 --n-:-·w~1 . ..,Tw-p-- • 8
in 1 2 . . , "
D~ V ~n ri Fourier, forma complextt, e·ste;
u · ~ nc.J1 b N.nw1 Tp ~ nw Tp ~ in 2 . •
6 j Win<t - = i - (H-1)
{t) -o · sine -T .. 2 -·I nw
1. Tp
l sin · • 2 c) entru N 2, ~ • ~ semnalul xp(t) va avea forma din fi-
ur p .1 ••
Xp (f}
J 2
--t
• (; 6/C' r; ·-z _ _ 'A ---
1--·· r,
Fig.P.l.l6.2.
Funcţia apectrall de amplitudine a unui pachet de două impulsuri, i n condi\iile problemei, va fi:
lsin 2~T~>I\ j ~ \lp(lw)\. U0·~\sinc WIE 1· . e- =
jsin w;p 1
• U0 • Tp·\ainc ~Tp H cos ~TI> 1, iar repretenterea graflcl a acesteia este prezentat~ in figura P.l. 1 .3.
\XfjCJ)\
Uo'Tp l . ~~ ,~smc-yl
cos~~~
w
- 49-
Coeficien\ii seriei Fourier complexe C0
vor fi da\1 de relaţiac
1 cn = Tl • XP(jn~)
1 1 nWlTp Il nWlTp 1 Cn = ~ · U0 • Tp sine ~ ·cos 2
Spectrul de amplitudine este prezentat in figura P 1.16.4 •
1 •
Problema P 1.17.
ICnl u ·T. .-J-
0 p '1
Fig.P.l.l6.4.
n Tp
w
s~ se determine funcţia spectralA corespunzâtoare impulsulu1
din figura P 1.17.1. x(f)
a
f
li Ol -2
Fig.P.l.l7.1 ~
t , pentru - -f- < t < -OC tl OC<t < T x(t) •
a , pentru - ri(; t' ct (a • coa<X)
Discuţie dupl parametrul ~.
~ezolvartl
Funcţ1 ape~al
X(jW) j+
x(t) •
.. 52-
1 • e Olt , pentru t < o, - cxt A·e , pentru t >O, OC>O.
Discuţie in cazul in care x(t) est~ definit n~mai pentru t> o. Rezolvare: Funcţia spectrală este datA de transformata Fourier a aem.,.,._.
lui x(t). +00 r X(jW) • ( x(t)·e-jWt.dt • A.eOlt.e-jWt·dt +
)ogo -oo .r ,. 8-oct. 8-jwt.dt. ~OlA 2• Jo OC +W
Funcţia spectralA este reprezentată in figura P 1.19.2.
P.l.l9.2. •
bn O tg f ( W) • __""__ • _....__ • O deci w ( W) • O 8n 2 el!
1
oc2.w2 Daei t >O, atunci semnalul x(t) are forma din figura P 1.19.3.
\ rtc. P.l.l9.3. Funcţia apectrall 4eT1ne&
I<lw> • 2rx 2 - j w oc +W cx2 w2
\l(jw)\ ...... ~l;::=-~2" w2
- 53 -
tg Cf < w) • - wbl tp(W) • arotg(- ~) • -&fCtg ~
Reprezentarea grafic! a funcţiei spectrale 11 a &})e.trulul a. f •
este prezentat~ în figura P 1.19.4. res~ectit P 1.19.5.
\X(j{.j)\ ..L ~
o Fig.P.l.l9.4.
Cf(W)
-- 1
F1g.P.l.l9.5 •
w
Prohlem' P.l.204 s~ e dettrmine funcţia de itate apect ali
z pentru semn lul din figura P 1.20.1.
x(t)
1 ape trul 4• f
- ·54 -
a • 2 • .. w + ja-W
IX<jw>l • V 8
twl· a2
+ J Func~ia spectrală este reprezentată in figura P 1.20.2.
o Fig.P.l.20.2.
Pentru a determina spectrul de faze putem scrie:
deci 2 w2 + a2
lf(W) .. ·arctg 3 a 2
• a .. - arctg ~ w +a .. w
Va rezulta spectrul de faze 'f ( w) c -arctg a w ,
oare eate reprezentat in figura P 1.20.3.
•
w
-F1 .P 1.20.3.
1
Se d semnalul din f1gur lJ 1. 21 •• o tat ap otral o tu1 1 n •
- 55 -
x(t} x (t) ___ 1 _L_1 ___ _
xttJ .
Fig.P 1.21.1"' Discuţie dacă semnalul x(t) se repet§ cu perio~ia T1•
Rezolvare~
t
Semnalul dat eate un impuls de inalt~ frecvent! care se obţi-ne f~cind produsul dintre funcţia x1(t) (reprezent~l punct t} şi
funcţia cosinusoidalti x2(t) • cosW· t, cu W • ~~~. O · 0 T
Deci x(t) = x1(t).x2(t) x1(t).aosW0t, unde 0
6 6 xl ( t) • 1 ' - 2 ~ t < T
O , in re t jW t -jW
0t
e o + x(t) • x1 (t) • ....__ _ _ .... 2~--
Aplicind transform ta Fourier
, (JW)
.. . l JW) •
ol
lin t , pr cum 1 d 1 -[j w -w
0) , r zult :
(j<w+wJ]}
.. . - w .at •
- 56 -
b [ b . X(j w> • Trino(W- w 0 )· 2 + sinc<w+w
0)·-l]
Funcţia epeotrall este reprezentati tn figura P 1.21.2.
21.3,
X(JwJ
~----
Fig. P 1.21.2
DacA semnalul x{t) se repetA dupA o perioad~ T1 , figura P 1. seria Fourier complexA devine:
+oo jnwit xp(t) • L Cn·e ,
n• -oo unde cceficienţii C sint daţi n
de relaţia: 291
cu w1 • T 1
ae corespunde cu frecvenţa de repetiţie a semnalului xp(t).
1 • .1. 2l. '·
Cn • -ţ · +[.1no(nw1 -w0)·+ a no(nw
1
Dez•oltarea 1n erie Four1 r in fora oompl 1, eatea
t
- 57 -
(nw1-w0)·l jnW1t
sine 2 ·• + xl(t) .. Si 21'1 n• -oo
+oo (nW1 +W0)·~ lnWit) + L sine 2 •8
n·· -oo Reprezentarea spectrului semnalului xp(t) eate prezentati ln fi,.r.
P.1.21.4.
-w. o
__ _, .... --~---
\
k:nl J' _·:r ___ .
Fig.P 1.21.4. Problema P 1.22.
Să se determine funcţia de denai att epectr 11
din figura P 1.22.1.
( )
•
•
~ 58 -
Presentarea semnalelor este dat! in flgura p 1.22•2 ~
Xf(f)
a}
b} 4---------------;---------------~· -~
C} -b
Fig. P.1.22.2
xi(t) • -t~<t +b)- 2~(t) + ~(t -b>]
lv~nd tn vedere el:
:r x(t .. t0
) • e 0 ·X(jW) ~{ } -jWt
recultl olt 4,11
2
I!'(lW) • ...L(,lwb·_ 2 + ,-jw~). 1 ·(2 cosW"t-2) • • L o ~
Dar, X{<lW) 4a1n2 ~ 2 w~ X1 (~W) • 2 deci X1(jW) • • • ~.sine 2 ..
<3w) ~·w2
Xl {3W) • ~-a1nc2 il
3W0i
Deci~ :dt) • xl (t.).ooawot xl (t).-.! ............ ...-..~ .........
l~lio1n4 tranaforaata Pour1t~t Ob\in .. a 3W t -lW t
l{3W) ·1{xl(t.)•' o ; 1 o }
X<lw> • +{~U<w-wo> ll[3(w
l(Jw> • +·~blo2(w-wo>·+ 1no2<w w ) _. o
-59-
Repreze ntarea funcţiei de densitate speotrall eate dati In f ......
P.l.22.3. . Xlj~J _____ ... ..__.__,_~
2
F1g.P.l.22.3 Problema P 1.23. Stiind că originalul corespunsltor tranaforaatei Pourier
X(jW) • l <X+jW
este exponenţiala x(t) • E. e- oct.G (t)
s~ se at~bileaeo~ expresia semnalului a clrui tranafo ••te X (jW) • ~ + iW 1 w - '- 4j.W
Rezol•are: Se descompune expresia lui 11< ~ tn frac\11 • • lez
1- jW 2 ' • -2 3 + jW 1 jW W - 3 - 4JW ormata exponen\1 1 1 da~ tn eDUD
-3t x1(t) • 2·• ·
l u
1 r cu ten l1ne ) • te
r< t ) 1
( ) -' . 1. 4. • o.
-
, uttel 11l
y r
- -( (
ioa
.. 6o ..
y(f)
1V---- -~
QS // ' t
Fig.P 1.24.2.
Besolvare: a) CoJPponenta de curent continuu a semnalului y( t) eate dati
det
i'l' ~T/2 T
c ·+ y(t)-dt·+ +·t·dt+( +·dt ·+·· 0 tO JT/2 b) Desoompunereu în serie Fourier complexA a semnalului y(t)a
+OO +jnW0
t y(t) • L C
0• e , cu W0 •
2? n• -oo
c -D
.. 61 -
- -•1
-"P-' + l· 1 , n lapar 21r2n2 4 T·n
j• ~ , n par 4 II•D
Amplitudinile _coeficienţilor seriei Pourier co•plexe Tor fia 1 , n par
\Cn\ • 47• D
1 :t / 1 + l 2 ' n iapar 2C'Qn V 4 cor. D
Spectrul de amplttudini wsemnalului y(t) este reprezentat 1D fia-ra
p 1.24.3.
11.1 T T T
1
Fig. P.l.24.3. Problema P 1.25.
f -
Fie x(t) şi y(t) doul semnale periodice, continue tn t1ap, ~
vind perioada T cu reprezentArile seriilor rouritr 4ate de& o 5: jlW-t
x(t) • ~·• 0
K • -oo +00 jiW·t
y<t>. L ~· o k • -oo
a) arlta\1 al coeficlenţii Jourier ai atns•lal
s(t) • z(t)•J(t) • 21~0,
- 62 -
b) folosiţi rezultatul punctului a) pentru a calcula cienţii seriilor Fourier ale semnalelor x1(t), x2(t), x
3(t) tq
• gurile p 1.25.1. a,b,c,;
c-os 20?;.t
t 1 2
1 ...
cos 20T-t
b) t
T a3
./ ;Jti•COS 2(fi·t
( "" 1 1
' 1 C} 1 1 2 3
1 •• 1'.1.25.1. o) 1l p IU • o o ( ). 1
fu.n \1 ele 'l ti util t 1 Paroe•al pentru • r 1 c 1
ifglYiliJ
- 63-
a) s(t) • x(t)·J(t) •
+00 + oo J < t +nx.Jo\ • L . L an· b_t· • • D• -00 l• -00
+OO +00 Jl·w0t
- L L an~-n .• K • -oo n• -oo
de unde rezultls .,..co
bJ
<:x· L n • ,.oo
1) Semnalul x1(t) se poate acr1
x1 (t) • Y(t)· ( )
w' o t(t) • co 207t- •
1. 1 t 1 1 (t) •
' t 1 2 'o O, ' w "·t
( ) . b .. o
(t -
• • o
• 1
- 64 -.
{ 1 , 1 < It 1 < 2
W2( t)= O , ltl<l ; 2~1tl< 3, To2:::3
Metodologia de calcul a coeficienţilor
punctul a1}. Cx: este analoagl cu
cea de ~
a3) Semnalul x3(t) se poate scrie sub forma:
x3(t) = v(t).W(t)
v(t) = cos 20'ift; w~ = 207, a40 = a_40 = -~ w(t) = e-ltl
1 ,( -ttl -j~~ 1 ~ = -r·). e .e · dt = 4
o To ' 0 - 'K w''·t 1 ( t J o 1 =-r).e.e .dt+ 4
WH u --~ o :;: 4 - Ţ·
),
1 ·v~ '"t - Iti -Jnwo e .e · dt =
-1
jl t -jKW~t e- ·e 0 ·dt = .• 2 .
o 4 + (KT)2'
CK =Lan·br-n = +{bK-40 + bK+40]
!7obl~ma p 1.26. n n
r ch Sa s detormin int ala d
d semncJ.e: con oluţi P ntru urml1to
x(t) • J:t -e • t (2,3)
~ • t <-oo, 2) u (:5, oo)
h(t) = t 3·e ,
o ' Bezol!Şre:
- 65 -
t e (-oo,Q)
t e (O, +OO)
Întegrala (funcţia, produsul) de convolut1e a douA semnal x(t) şi b(t) este definit~ de relaţia~00
y( t) not (x ~ y)( t) = Îoo (b)· h( t - b )dG
Conform defini ţi ei, semnalul h( t -~)exist~ numai dacfi. t -t <O
Vom analiza urm~toarele cazuri: 1. t < 2 situaţie căreia ii corespund graficele din figura P.
1. 26.1. a. 2. te: (2,3) situaţie c~rei a îi corespund graficele din figu-
ra P 1.26.l.b. ;. t > 3 situaţie căreia îi corespund graficele din figur P.
1.26.1.c.
x('~)
/,
3 2 1
1 2 3 4 h (t- ~)
3 2 1
t1 2 3 ~ 5
a)
lnt gr 1 1 d 0
r P cti
1 ( t) (
( ) . ( (t) • (
~
olu 1
h) ( )
) (
) ( )
' 3 2 1
3 2 1
x(~)
b}
Fi .P.l.26 •• u 1
(4 - ) • .
J ( o.
o
' 3 2 7
J 2 1
x(~)
t 2 3 ' h , .. ~}
t' 5 6 G
c
t o i
( - ... 2et-3)
t- ) 1 (t - 1 - e
In oonolu11e:
y(t) • ( X. h)(t) •
.. 66 ..
12·(e-t-2- 2et-3
l2·(t- 1- 2et-}),
o '
t. e: (3 1-0Q
Pro~eaa f 1.27. Fie semnalul impuls dreptunghiular x(t) din figura p 1 SI 88 determine funcţia sa de autocorelaţie şi funcţiile
densitate spectralA de amplitudine ti de energie. x(t)
•
A
t
Fig.P 1.27.1
Rezolvare: Functia de autocorelatie (funcţia de corelaţie pentru
x1Ct) • x2(t) = x(t))este definită de relaţia: +oo
r(b) u r x(t).x(t -b).dt )_00
Vom analiza urmltoarele cazuri pentru care r( ~) ~ O:
1. ~•(O,t0 ) situatie căreia îi corespund graficele din fisva f 27.2.a.
2. 6 E (-t0 ,0) situaţie cAreia !1 corespund graficele din .figura 27.2.b.
.
-~ 2
j x(t) A
K{t ·CI) A
a)
t _ _ţg_
2
t
Pig.P 1.21.2.
x(t) A
x(t·IJ
b)
-67-
Func\iile de autooorela\11 p.atru 01
vor fi respectiva 2 [ to to ] 2
r (6 > • ! · 2 - ( - 2 + • ) • A: • l . .
2 ( to . ~J 2 r2(b).• .A.. T + ""- (• z-) • ~ •
In concluzie, funcţia 4e autocerel•\i• lunghiular este s
!~(t -l&l) o ' r( b) • o ,
Pig. P.l.27 •• Funcţia de densitate apeotrall
. nalului x(t): ~ . X(jW) • J:x(t).,-jwt.lt • •J t jft)\.1\ •
a cl.rui reprezentare grafici eate 4atl Il
Puno\1 4• 4t .. 1ta • • ' fUDoţ1e1 4•
- 68-
8 o~rui reprezentare graficA este dată in figura P 1.21. 5•
Sx
(A·taJ2
f!.vi o To
Fig. P 1.27.5. ~oblema P 1.28.
Să se determine functia de autocorelaţie r( 6) a semnalulu.t periodic dreptunghiul~r definit pe o perioadă astfel:
T Â , t E (O, ~) x(t) c
T O , t € (T• T)
şi a cărui reprezentare grafic~ este dat~ in figura P 1.28.1.
x(t)
A
T/2 t T -
T
Fig.P 1.28.1.
S~ se fac~ dezvolt rea in serie Fourier a funcţiei de autooorelaţie.
Rezolvare: Funcţia de autooorelaţi a unui n 1 ~r1od1c, de p r o A t
este prin definiţie: T
rT(b) • ..L( x(t)·x(t -{;)·dt T )o
Vom aonsidera dou a uri di T 1. ~e.(o, T) a ca.rui r p z ntar
2.a,
tin o 1
• •
t tn 1 ra P
T 2. ~e:(- ~,0) a o rui r pr zento.r fi o te d t tn fi,ur 28.2.b.
... 69-
IX (t) x(f)
A L t
- 1.2
tX (t li) -. -
t .. -5 ,_,
Pig.P.l.28.2.
s-a considerat cA b variul Intre liai\e ~ -i: funcţia de autocorelaţie rT( b) eate periodiol 11 are JO!l•la
ou T. Functiile de autocorelaţie pentru cele 4oul OdUI'\ 8aftriiW
respectiv: )T -f2 r (b) ... +· x(t)·x(t-~)·4\ • ·(
lT 0
.c~ ~ r2T< ~) • +}o x(t)•x(t -~ )·4t • ·(
Se deduce: r ( (;) • _L·(l • iiJ! ) , 1•(• ....._..... ........ '--··\' T -r- !
clreia 11 corespunde graficul cUn fipn p 28., reK in aeri louri r B(jLJ) •• Ya dari uerta l•pullurilor Dirao, ~ (\) Btprtsentlrile ,rafioe a1D\ 1 ,,(IJ
aJ
C)
- .7o -
r" (;} T
2 2f.·j(t-J)
T 2 2
~.ţ(t) T
T
Fig.P 1.28.3.
Se poate scrie: - 2! 7 ( 4 -jnW .. u
(jnW0
) 2.R(jW) •+,t T rr(~).e 0 db•
•
2 . 4 2 - ·n W • '1' 2 . +·<- '' + 2~ ·e J o T)= _ !~ [1 -(-l)n] ;
O , n par
IRCj w>l • n impar
Reprezentarea graficA a spectruluţ de amplitudine a funo\ de autooorelaţie este dati 1n figura P 1.28.4.
IRfjCJJI ·
_---.A2j1f2
..._w
Fii• P.l.28.4.
PrRbl!M f 1,29, . SI •• 4etera1ne funoţia de autocorelaţie a ••mnalului perir
dio z(t) 4at 4• relaţ1aa . z(t) • 1·11D\~t + 8)
t1 al •• r•presinte ,rafio. Conolua11. ltiPl.Jm• luao\la 4• autooorela\1• a uaa1 ae.aal per1o41o 11 ---·
··~· pria llfiDi\111 ~ . r,('l) • +l z(~).z(t-'I).U
-n-
1 e in cazul problemei date:
o~re de V n .( T rT(6) =+)o A·sin(wt + 9)·1•eiu[W(t •'1)
Efectuind calculele se ob\in2'
rT(&) = ~ ·coaw~
tarea grafic~ a funcţiei de autocorela\1e eate •.a11l11ti .. Reprezen I'IC figura p 1.29.1.
Fig.P 1.29.1.
Concluzii& a. funcţia de autocorela\ie rT( b) nu depinde de fua l
a semnalului Q; b. semnalul cos W t §i sinWt au aceeq1 funcţie ch U'IOGDJ~&..-
ţie.
Problema P 1.30. S~ se calculeze şi s~ se reprezinte grafic fuaa\1a a.
ţie dintre două semnale periodice presentate !D f
tl
~. 72 -
rxy(~} • +iT x(t).;y(t -b) dt
Deoar oe r (b} este periodicA vom lua in considerare nuaat xy T '1' .
valul 6 e (- 2' T). Vom considera douA cazuri distincte:
1. ?;e (0, +> a cArui reprezentare grafic!!. este datll 1n f181U'a P.l, }0.2.a. 2. bE(- ~ , 0) a cl!.rui reprezentare graficll este dat!!. tn figura p
30.2.b.
A 7xy(?,) r'2 --,
. aJ
Fig.P.l.30.2. Functiile de corelaţie p~ntru cele douA cazuri sint respectiYI
1 ~·2 2A, Al· '2 T2 2 r 1xy< b) • -,-~ -,=-·t·A2.dt • · · 2 <4- ~ h ·
~ T T
+12"l; 2'1 . Al·~ T 2-r2xy(~) • • T ·t·A2·dt • 2 Cz +'"G) •
· o . T Beunind cele doul rezultate .ee va obţine graficul funcţiei
r 17< 6) prt&entat tn figura P.l.30.3.
1 1
CAPITOLUL 1
Semnale •18nftonate
Brev·aar teorefte, • Eşantionarea este o metodA de prelucran atit 8 •-•• .... -
i Continuu ait şi a celor in timp discret. in t mp
Complementara funcţiei de eşantionare eate fUDC\\a
tituire 8 semnalului cons oanele sale •
(in timp continuu sau discret) ata
e Teorema eşantionlrli WKS precizeazA ol a Bftllal la U.,
ti de band~ liml tati: W~WM este uni,oc 4etemtnat ( t. con nuu • titui t) din eşantioane le sale considerate la aoaate ataer.., fi recons
te de timp echidistante t • nT cun& Z, daci T<ri1~) aau, Oll
1 t dacA se alege o frecvenţA de eeantionare P • aaUtl t.-31 te cuv n e' cit F c 1/b(~/'lf) adicA Fe~2fM ou fM ·~12"T.
e .
e Sistemul cal;'e realizează un ae!pal ttant1on1\ i4et]. JMU
fi modelat ca in figura 1.
x(t)
lxprtl11 lll el OIIID1 l 14••1 el\t&
•• a
- 74 -Siate•ul oare reali1ea11 un .-......~--... ....... -.-;..:.=..._a
te fi modelat oa in figura 2.
x(t)--.... ----x(t)·p(t)
SrrtJ
Expresia in domeniul timp x (t) a semnalului en natural este:
xen(t) • x(t).p(t) • x(t>{S,t<"t>@ bf(t)] ' iar transformata Four1er a acestui semnal este:
+00 k't~~ I
8n(W)• <J'{xen( t)} • ~ L sine 2 -.I':JW- .kne> .
k·-00
• Sis temu 1 o a re re ali ze a z A un !_S ~e mD!!!!§l!l~eW!!!!!2!W.J!I!J:l.Q"l~
fi modelat oa in figura 3.
x(t) ............ x(t}d1(t) · ..--. ..,__... .................. hf (t) -----x"u (t)
1
•
Expreeia tn domeniul timp x (t) a aemnalulut 11 IU
untforll eate:
i.IU( t) • [ 1( t)·~!( t)] 8 ~( t) ilr tr&Diforaatl Pour1tr 1 IOtltUl, I .. Dil •lttl
x.\1 (c..l). T{z,u( t)} ·l•tno "+" ~ X(W-t "\) k•-00
-15
ti o an ele sale x(kT) implicl in fapt ae~1:...a .. intermediare ale semnalului iDtre 4o111. -llft1
şi kT. Sistemul de reconsti tui.re care • ., ....
lului din pasul de eşantionare illediat artlltw ·.~-•
cisli kT plecind de la valoarea aoeatut eunuaiJI
tioane anterioare este un ~xtrapolgţor dt ortllll.l• Daca valorile reconstituite atot aete~'*
(m+l) eşantioane, dintre care unele poater1oare abl.~q.;..
mul de reconstrucţie eete un interpolator ae ordJR!\ t•
e Heoonsti tui~ea unui aetmgl !11 ttn gţlul eeantionat xe( t) cu ajutorul unui F!J it\eal .. -..-a..~:, .. llll lui interpolArii ideale şi este descriai de rela\ta:
X(W) = X9(W) • HFTJ(W)
T
o
pentru IWI<WM
pentru IWI>WM
In domeniul timp, operaţia de reCOB&tit.lrt
semnalului eşantionat x6(t) printr-uD P!l t&ell
relatia:
- 76 -.
t , 8 ft 0 repetare periodiol la T•(2~T) • 2~ 1 t1mp d Jscre ]uJ.uf !n timp oontinuuJdicA:
t~f t~W-WT
Tronnformareo unui cemnal in timp continuu x(t) . cmual .rn timp d 1 sorot x[n] reprezentat în formă numertol lieat~ do oonvertorul an_!]og-numeric (CAN). ••te
-77-
Semnale în timp discret:secvente .-~
Breviar teoreti~ Modelul mate~atic al unui aeanal tlec\r\c ta t\h
definit ca orlce'cf-lioa\ie --- t1'11l poate fi - Jr x : ~ ,n--x[n]
asociazA fieclirui mooent (de t11lp) discret n• "- f:lttl- .. care X ca tJ G .. 0 valoare (a semnalului) x[n] d 1.n cu .I cz, IR aau t .l\lmo
0;..
valori le semnalului au fost cuantizate vt oodate, aeualul tn tl•p discret se numeete semnal numeric (sau cllgi. tal). Un ~ebal (BUMJ1.ca)
in timp discret este o eecventl de nu11ere (reale aau COII'Pl•se) ordo-
nate în N sau 71. •
e Semnalele in timp discret elementara etn\:
- Semnalul impuls unt tate b[D] def1n1 t de:
' ~[n] .. 1 •
pentru n.J O
pentru n• O
- Semnalul treeptA unit
u[o] ) :
o t p ntru n<O
u(c] • 1 1 p ntru n>O
x(n] • c.,<~+JOo}n • •
UDdtl C C ,
[It]
,
te u[n] (Dotat uuort
u(p]
' .J -2-1 o
' 2 '
tl
un
. •
r
'
- 78-ub form :
N-1 X~] Lc.c jk(2TI7N)n
e
c k
K.O 1 rţl· Ck n1 s r1 i se calculeaz~ cu relatia:
!J .... l 1 [ ] - j k ( 2'WN) n N 4--/x n e
uc:O
t C 1
periodic în timp discret x[n] poate fi re
transformatei Fourier in timp discret sub for-
-1 ( jOn x(n] - 2'/I}X(O)e dO
, 2crf
+OO -jQn } X(D) = L x[n] e =1;; {x (!1]
n=-OO
Pentru un semnal neperiodic dar (considerat) de durată fi-- -
, ~stfel ca: x[n]=O, .Vn>N, se numeşte Transformată rier Discretă (TFD), secvenţa în frecvenţă discretă dată de re-
1 ţia:
l N-l - jk( 2lVN )n X[k] = N L~> IP] · e · TFD { x [n]}
n=o
sst~el încît, pentru n = 0, 1, 2, ••• , N-1, rezultă:
r.~ ţ~ [] jk(21f/N)n xLnJ = X k • e
K=o · • Proprietăţile trancformatelor Fourier ale secvenţelor se
vor refer1 în continuare la: .
- Corespondenţa între funcţiile transformate Fourier . tu t'mp d1scr~t, care vor fi notate în continuare astfel:
_( . n.n ·t.;:ţ;,_ + 00 -j nn ?ii'J X(Q) eJ d.O. = x[n]<~X(O) = L x[n] e 2'i n=-oo
-Corespondenţa intre perechea de funcţii ._J;~
•
--19-
sau: a.x1[n]+ b.x2[n].]FD'> a.X1[k)+ b.X2[k)
• Translatia (deplasarea) ip tim-p
ilacil: x(n]fnc.X(Q) TFD
x (n]4->X(k] şi respectiv: , rezultă cii: a tun ci, 11n
0 E. Z
:In -jncfl x[n- nJ~ ~e X(Q)
sau: TfD -jn (211 /N)k: x [n - n
0]<W!I&>e 0 .x(k]
e Translatia (deplasarea) in frecven)l
Pe~tru perechile de funcţii transformate rourier Tn TFD
x[n]<E(>X(fi) şi respectiv x[n]<->X(k) se aratA eli: jO 0 ~D
e 0 ·x[n]~ ~X<.n sau:
• jm (27/N)n
e o
-.80-
•ele rrn1 şi b(n] slnt periodice (sau pertott "-.. c·:.tlf'.ol"c". iar cJacl seoven, c~ ' 1 +ia lor ciolioA, definitA pe o perioadl ooaua(
atunci conYo u, ' proprietate~: .~
l "' ,_, T FD -J :t _,( ] Y[n]· X[n] eb[nJPLX(m}b (n-~e>X[k_t· H k
•• o • t[k]
unde s-a notat:
i[nk~>x(k]
eConvolutia in frecventă sau modulatia secventelor
Pentru perecbtle de funcţii transformate Fourier: ~ . TFD
x(n]<~»X<n> şi x [n]<1 >~X[k] şi: ~
p[n]4 D>P<.n> şi p(n]~P[k] rezultA proprietatea:
~ , y(n] • x(n]. pfilJ<Jb.hJ XHn · P(..O -G) d9 c Y(.Q)
'2CU Dacă secvenţele i'(n]· şi p(n] sînt periodice (sau periodi.
zate), de perioadA {comună) N, iar X [k] şi 'P[k) sînt transforma· . tele lor Fourier discrete, atunci proprietatea de modulaţie - expri· mată ca o convoluţie oiolică)se enunţA astfel:
Y[n] • i'(n]-P{n]<~X(kl e P[k] • Y[k]
• Un seTOnal in tiTOp 'dispret :x[n] este oauzal daci z[n) • O pentru n <0.
' .
ePentru un semnal in timp discret transfo~ata c (un1lsterall) direoţ~: .
. . .
XCc) 22 {z[nJ} • ~ ~[n} 1•n
•alabUI !D doaen1ul D ele oone;:en~ al aerttl x[n]•-D • $[tptfOf!l\1 1 ipY!fll: ·
te curbe 1Dcbill 8 4o•entalQ1 4 . c el und•· telor s se noteasl. prtD
fotm8 z trane x[n]~(s)
eProprietAţile transformatelor
• _!.iniari tate a: ·Daci: x1(n].4 ~ (s)
gi : x2[nlJ.c>x2(s)
• atundil z a·xl[n] +b·x2f!!J<i > a•ll(&) + 'b·lzh)
e Translatia ,(intirzierea) in t1•1: -Dacii: x[n]<.J.>I(z) ou BdC
. . -no
atunci: x[n-nJ«>z .. l(s) ou
• 1
econvolu)ia in domeniul ti•pt
Daci: x[u] 4a· >l(s) ·
'. iar 'h(n] ~G )tll(.s)
atUDot&
- 82-.
Problema P 2.1.
s~ se studieze numărul de eşantioane distincte ce se pot 0~ tine de la un semnal siousoidal
s(t) ., cos(2J/ft + f) cu·-pe:(o, · ~ J dacă acest~ este eşantionat cu frecventa
N2 f=f----e N
1
1 Şl 2 fiind numere naturaleo
b) Cîte astfel de semnale pot fi definite cu acest număr de eontloone?
c) Pentru N2 = 8 să se reprezinte grafic semnalele respective considerînd f = O.
Rezolvare
a) Eşantioanele semnalului sînt definjte âe seria:
s(K) = cos(27fî K Te +f)
aar Te = -ie deci
N s(K) ., cos(2JtÎe. K + f) = cos(2J/ N~ K + f) Se observ~ că:
_,(K + N2) = cos[271;~(K + N2) +f]= cos~JT;~ K +f+ 2flN1Jc
= S (K) .
deci seria S(K) prezintfi o per1odicitute ~ 2 şi in consecinţ~ conţine ax1mum 1 2 eşant1oane distincte.
b) Conform teoremei lui Shannon emnalul e te univoc definit baz r: tioane;lor al dacn f ~ 2f d ci:
fe N2 l f r=']~ /-
1 2
In con~cc nţ~ ans 1blul valorilor 12
rez ntarea unui num~r d a mn· 1 sinusoid 1
gl a numărului N2/2. Aceste emnal vor fi:
ntio p rm1te re· l ou p rte tntrea•
-83-
s1 (k: > • cos< 2 71 -ţ K + f >
..~ae.: 0.1 • • "[ ~2 1 şi K '"' 0,1, • • •' 12-1 jp• 1 :: ' '. ' '[ .j . .
t u N = 8 rezultA 1 • 1,2,3,4o c) Pen r 2 · 51 (K) = cos (2 )1+>
s2(K) = cos (2 'ii r- ) = cos(2 71 ~ )
s3
(K) = cos(27t ÂK
) ( 2 ~ 4K S 4 ( K - cos Jl 8 • coa(2 TI+> A
Fig. P.2.1.1G
Problema P .2. 2 • Fie un semnal x(t) de band~ limitat! WM. SA se arate el e-
t~ cu aJ·utorul eşantioanelor x(K!) nergia semnalului poate fi exprima
prin relaţia
Rezolvare +-CO
x(t) • L n• -ce
Shannon 1ar energia& CD
1·
K- -CD
-: 84 -
+cx:> CX)
·[WM(t - n'I'>] sine [~(t - KT)] dt • E L x(nT) x(Kf)I • n-= -co K= -co lllC
InK reprezinti funcţia de corelaţie a functiilor eşantion .
~(t) • sine [UUM(t - nT)] respectiv
hK(t) = sine [wM(t - KT)]
calculată in punctul 79 = O
lnK -~:h0(t) hK(t)dt = ~}/ ~:H0(W) a;(W) dW
Dar hn ( t) • h0
( t - nT )· iar
hK(t) = h0
{t - KT)
unde h0(t) = sinc(uuMt)
Ca urmare,
Hn(W) = H e-jWnT. H ('"') _ H -jWkT o ' . K vv - oe şi
Ho(W) = T(u(W+WM) - u(W-WM)]
deci InK devine· ~ • (A)
1 (co ~ 2 ~ M 1nK c
27i 1 Hn(W) Bm(W) dW = T 8 -jWCn-m)T
ce . 27i -WM. . T lan = m
dW •
- O la n t.. m iar energia:
E • T · ~ 2( L x nT) · n• -o::>
d tDe 1 obaerTat el in cazul uuui semnal periodic de perioadl aaen a l HT egalitatea Beaael*Paraeval oe 1nd1 , · .
terii in cazul dezvoltlr11 1n ser1e~ou~ier o o oontervare a
~ _jcnl2 ·1j:-~t:dt>l 24t • P1
4ertne pentru o perioadl Il'!' 1
Px • f lcn 12• l 1 • .L T rţ! 2 + a. •CI) 1'1' p IT ~ x (n!) • n.O
-85-
C reprezinti ooeficien\11 SPI. unde n N'l' 27_
· 1 ('' -ln T \ Gn • NT .ţ, x(t}e 4t. • W'I'-. ... ~·--
Semnalul x(t) avînd spectrul liaita\ ae ~ parseval pentru semnale numerice
N-1 2 l!:l px = L \X(K)\ . • ...1.. 2., \x(n)\2
K=O B n-0
Problema P 2.3. -In sistemul din figura P 2.3.1, semnalul V(t) ob\ttst
multiplicarea semnalelor x1(t) gi x2Ct) 1 este egaatioDa\ de impulsuri bCt). Stiind c~ semnalele x1(t} li~(\) , 1
limitată. x1 (W), c O pt ~><A\ li
x2(W) = O pentru~>~
al se determine intervalul maxi111 de eganUoaare ! utfe sA poată fi refAcut din eşantioanele sale Fin u.tilinna -
ideal. .. P.(f J• L Stt·ntJ
n .. _..
- 86-. · f oventei maxime din spectrul ··~ de terminarea re . ._.
deci se impune lui eşantionat W(t}. ,oo
wcw> .~IIxl <t>.X2Ct)]• 2~ Jooxl <1( > ~<w- "2> d"2
X ( n ) s o pentru f7]1>W 1 deci: D~ 1 ,, W
' 1 w < w > • ...L j xl < "2 > x2 < w- ţ?) d "2
27,w - 1
Se 0 l:.serv!i c!i W ( W) ea te nul pentru jw-rtl> W2 deoarece x2
(W) ,
= o pentru~~ >vJ2 obtinîndu-ae douA cazuri:
a)W-1'), >w2 sauW>W2 +yt (-\1-)T(, E fwl'w1]
deoi W >w2
+ W1impl1că W( W) = O
b)W- 'yt < -w2 sau W < -W2 +yt (Y)1l_ EtW1,w1]
deci W< -w2-w1 implic~ w C W) c O
In consecinţa: W(W) • O pentrufW)>W1 + W2
iar intervalul de eşantionare maxim: 7i
· T·~~~ Wl+W2
Problema P 2.4
In figura P 2.4.1. pr zint un 1 t S:n o r semnalul de
t un tr n d impul uri cl (t) bipolar • . ouri r mn 1 lui intr r X (W) precu• oi
il trului, H(vJ ). tnt r z n t t in figura P. ~.4.1 •
S o r s
a) p ntru L1 <7i/2~ for t our1 r ale lui xp(t) e1 y(t).
b) pentru ~<7/2WM d t 1 t1 •t• 1 o refao• ( t) din e1an 1oanel 1 x (t).
p o) P ntru A< f"$/2V, 4 t 1 l o f • (
din y(t).
d) o e • t v o r fi reflout din xp(t)
1 1 1 4 ut o rt x(~)
(or1o r 41 el ).
- 87 -
X(W) 1
l ,,
l L ' 1
~ J7 --41 -~ 3.. Z! w ~ 4 4
x(t) H(WJ y(t)
p{t)
-
Fig. P.2.4.l. Rezolvare: a) Semnalul de şantionare p(t) poat fi scria
p(t) • - J~(t) + 4 J 2-dt)
J6(t) re r 1intl o distribuţie cl(t) per1ocl1ol ou pe
x (t) .. 1Ct) p(t} • 4 (t) J. (t) - s(t)J: ( ) p
• un4e
Xp(W) • 4~(W) •
Speo\rtlt ttanaltlor x,< ) P 2·4.2 'lDO.e •·au preaea 1 ..
Patru l'tprtl-.•:aN~
-88--.
------w
--- ---2T -2.:1
2T --24!3 1,7 --2~
· W
Y(~
7 T ..... -.1 ~
n --~ _z.! A
w Pig. P 2.4.2.
• b) Siateaul care reface eemnalul x(ţ} din •t~ii~antlt
poate fi UD l"rJ aau un FTB ideal~ Caracttr11t1oa aa 41 tr.anafer. prezentati figura P 2.4.3. . . . .
-w,
H1 (f.,J)
w, F1g.P.2.4.3. .
Condiţia neceaarl refacerii eate
.. 89 ..
o) Din y(t) ee poate realiza refaonea lui xh) lll1,a 111JIIlwllll
di e 8 unei purtAtoare armonioe t1 apoi Jrlutr-o litu n 1n amP jos cu un filtru FTJ avind o aaraoteriatlol le de tiP trece-p 2 4 3 . .
f ·gura • • • ca in
1 cven\a purt!l. toarei poate fi 1
Fre . ,_/.'A Wl a .)1 ~ B&U
w2 - 3Ji /A
Problema P.2.5. - al avînd dens1 tatea spectrall de putere 1 (!)reaa" Un semn x P
P 2 5 1 a este eşantionat cu o frecven\1 fe. figura • • tA în . d al are densitatea spectralA de putere 1._
1(f)ftpr,...,. tionat l e ...
eşan . p 2 5 1 b. SA ee determine frecYenţa de •tu\1onan 11-în f1gura • • tatl1 . ii se indiCe dacii aceasti!. alegere peralte recoutt\U tilizat~ Şl 8
1 1 Prin filtrare ideal!. H ·(l) semnalu u ) x., Nx( f
a) Hezolvare
Fig. P 2.5.1.
Densitatea spectralA de
deoi are aoelqi eupori freoTenţa muial
•• ,, '
d. ~-. ~i lui Nyquis t, pentru ".econs ti tuirea 8 Conform con l ~1~ ,.. ~ ,. elbnal
. d lă este necesari! o 1 " ....... · en ~t.! 0 C! eşantion ~' prin filtrare 1 ea a~et
fe ~ 2fN = 2"4 KHz = 8 KHz lui
Dar fe < f~min = 2fM deci nu este posl bil~ reconstituirea se.,
nalului prin filtrare ideală.
Problema I). 2 • 6.
Fie un semnal x(t) de spectru X(W). Să se analizeze dist or .. . nl'le introduse î~ Gpectrul semnalului eşantionat la eşantion s1u ,.. . . area
58 cu impulsuri drepiunghiulare av1nd coef1c1ent de umplere ~ • 0 '5, Rezolvare Fie p(t) semnalul dreptunghiular ce asigură et,;antionarea. ~'i ..
ina un impuls dreptunghiular periodic acesta poate fi dezvoltat in serie Fourier: co
p(t) = L CK exp (jKW0 t)
" K= - oc::>
1 ~Z/2 6 Cre=- exp(jKW t)dt = sinc(Kc:h6/T) \. T -7;/2 o T
una.e
Se~na]ul egru1i1onat este alcătuit dintr-o serie de cu coeficient de umplere o= O, 5 şj amplitudine variabilă lui x( t).
iar
x e ( t) = x ( t) • p ( t) = L C1< x ( t ) exp ( j W 0 K t )
KEH
Trensforma~ Fourier a·semnalului eşantionat:
Xe(W) ) L CKx(t)cxp(jW0Kt) exp(-jWt)dt •
-oo KEZ
L . C1< X(W- KW ). KE"Z
0
In cazul de faţ~:
ÎC • + sioc(K 7i ) 2
deci c2K o.
impulSUI'i ,.. 1n ri tna~l
[ 71 1 ., J- sino (2K + 1) 2 • cu C2J(.-l 2
~~e in spectrul semnalului eganttonat Ca urm~ Yor dia'P&h De
le de rang par iar cele de ordin impar -.or fi •-zile latera ponderate
, 81orile C2K+l. cu f·gur· a P.2.6.l(a) se prezint! spectrul unui al
In 1 anm •taratto-iar în figura P.2.6.l(b) spectrul distoratonat S
t ideal, • • ob-na ~ 1 cazul din figura P.2.6.l(b) cerinţele impuse r T J et'~â ca n • • • de
s t . re pot fi relaxa te, sau frecvenţa de eşantionar t 800nsti Ul e ~oa e fi
r i ~ la jum~tate din frecvenţa Byquist flrl a afecta ib redusA P n pas 1-
constituirii semnalului din eşantioanele sale li ta te a re Xe; (WJ •
a) -JW o -2W o -w o o Wo 2W0 3Wo w
Xe (("J)
/ 1
b} 1 1
-2W o -w o o n 1• P.2.6
P[2bll!l P1~1l1 Sl se atu41ese po11
llllttoanele aale t , 'tD\1 1uferlo lta\a\ la
.. 92 -
BezolYare Semnalele de tipul celui din figura P.2.7.1. au ene
centr tA intr-o bandA limitată ceea oe just~fic! denumirea 41 8 1 treoe-band~. Aoeastă concentrare spectral~ a energiei Plrtlt~
. •• 1G 0 ul w1 > (w2 -w1 ), obţinerea unui spectru f~rf! suprapunert
in cazul eşantion~rii ou o frecvent~ inferioara frecvente! NJ . qu-t
ExistA mai multe posibilităti de eşantionare .,trece-bandA" 0 ... '
• ... •at int resantă fiind cea care permite frecvenţa de eşantionare ldnt•,
Pentru frecventa de eşantionare minim~ spectrul va fi 1D ~ tal1tate ocupat cu multiplicările benzilor laterale initiale.
Dacă pentru refacere se utilizeaz~ un filtru cu banda B eate comod ca banda ocupat§ de semnal să fie considerat~ egalA cu B. .
Pentru ocuparea integralA a spectrului este necesar ca !Dtre
-W8 +W8 ~al încap! un num~ intreg de benzi spectrale ceea ce duoe la una din situaţiile prezentate in figura P.2.7.2.
· x,(wJ
B+ B-A s+ s+ s-• -w o A (k-1)A kO. W
0 .,.
~.(WJ
s- s+ s-
P1a. P.2.7.2. In oaaul din figura P.2.7.2.(a) resultls
IA • Wb KEZ
.J1..'>2<wb - w ) iar tn catul din figura p 2.7.2(b) resul ti •
..
s- ,. ...
• • • lt+1)A
- 93-
KJL • Wa KEZ
JL ~ 2(Wb-Wa)
. f cerea este posibil§. dac~ e§antionarea 18 face f Deol re a cu reo?enţe-
le Wa Wb _n. = K sau .n. • K
t
K'fiind un num~r natural astfel înoit s~ se 1ndepl1neasol Cond1\1a
.o. ~ 2B. Se observ~ că frecvenţa minimă utilizabilA pentru eşantionare
este .n. = 2B, deci dublul benzii fil trului sau cel puţin dublul ben
zii ocupate de o bandă lateral~ a semnalului 1n1 \ial. Val.oarean.poa
te fi modificata în anumite li mi te pentru un anumit K prin IIO(tfi,a.
rea lui wa sau respectiv Wb.
Refacerea semnalului ·se poate efectua cu ajutorul UDui filtru trece bandâ avind banda:
w2 -wl ~ 8ref <B
i~ in cazul din figura P 2.7.l(b) cu ajutorul unui filtru trece-!oa cu wt:
şi pentru Wa.= w1,se poate obţine semnalul modulator (!nflgurltoarea semnalulu:i) •
Problema P.2.8.
La intrarea unei instalaţii de prelucrare numerici a semnalelor de radiolocaţie se a plic~ semnalele reflectate de la \inte, tr.,..
latate şi amplificate în frecvent~ intermediarA. Ştiind oi f1Hl0ţ1a de dF.nsi ta te s '!\ t 1x
yeo ra ~ a semnalului de frecvenţA intermediari eate cea din figure p 2 8 1
• • §i că instalaţia de prelucrare numeriol poate lenora semnale d 250 M e eşantionare cu frecvenţe fixe 4e 50 Mlls, 150 11111 tr Hz, s!!. ee studieze posibilitatea etantion 1
are în ved ... ~11 erea conversie! lor numerice 11
Pe o trul e §an t ionn t •
-94-"
Wt)/
200 240
Fig. P.2.8.1. , •u&•m
rt.cYeaţa lyquist de eşantionar~ a semnalului . liattatl la fM • 240 MHZ estea
f 81 • 2fM ·• 2• 240 MHE • 480 MHz .
PrecYenţa eate prea mare pentru posibilitAtile instalatLet IP ee, dar semnalul este de bandl limitat! gi poate fi atanti~t
aa frecvente aai aicit · f 0 :!: B/2
fe • · ou K € ll a. t. fe ~ 2B I
.ade B reprezinti banda efeotivl a semnalului:
ee te
••
B • 240 MHs - 160 MHz • 80 MHz
Singura freovenţl de eşantionare ce satisface relaţia .
fe > 2B • 160 MHz
fe • 250 MB1
Banda necesari a fi impusi filtrului de gardl
B • 2K • fe _; 2f • 500 l - 400 o
B • 2f0
- ~f8 • 400 - 5001 unde K E B
Dtn prima relatie, pentru K • 1 rezultA:
B • 500 - 400 • 100 MH1 4ea1 filbul 4e prcll va trebui al aibl ban4a ele 100 Mlls, •ufiolll
• peatra trecerea aa41,tor•1onatl a ee.oalulu1.
In flcura P 2.8.2. este prezentati aohema 41•po•1t1TU1 real1•eaal etaDttoaarea iar la figura P 2.8.,. 1peotrul ae .. alul
.... tiou.t.
"
•
·500
N(fJJ
1
Problella P.2.9 •
-95-
F.G.
f8 =250NHz p(t)
-Fig. P.2.8.2 •
ISe(f Jl
-100 100 200 -Fig. P.2.8.,.
La ieşirea amplifioatorului de frecYenţl 1Dtenrei1ul
receptor de radiolocaţie, semnalul recepţioD&t da la a \1
forma din figuri. SI. se determine frecvenţele poafllile t• QllaU-.P:
re in scopul prelucrArii sale numerice otii.ncl el dllJl nalul trebuie refacut şi frecvenţa maxid ie tteati...n 18\a
tati la 50 MHz. S(t)
u -
!ezol'ar!
- 1 1
1
-t 1
b(f}•Ucosf~ » .. 1 fJt ..... ,~. •O
t
r Semnalul reprezint 1 • 30 Ha un l•ti8
.. t, rt a Il durata t ~· lltcill ~·••nta tl ln tt!v
- U\111ala4
- 96-
energia semnalului, suportul poate fi m!rginit intre 29 li 31 In figura p 2. 9. 2. (a) se prezint~ spectrul semnalului, in p
2 9 Mat,
• • 2 caracter ia ti ca de transfer a fi] trului de gard!i iar in p 2 9
"} • • • ·~<o trul pe suport m~rginit rezultant. S(t)
a)
28 29 1/MHz)
J H(f}
b) f/MHz)
f{MHz) -29 30 37 29 JO 31 Fig.P.2.9.2.
Semnalul obţinut poate fi eşantionat cu frecvenţa Nyquist:
feN == 2fM ac: 2 • 31 MHz = 62MHz > f elim = 50 MHz
C)
Fiind un semnal de tip trece band~ el poate fi eşantionat şi cu frecvente mai mici . B
fo + T 30 + + fe ·----
K a IZ 31
K K (MHz)
unde K e N astfel încît fe > 2B = 2 • 2 = 4MHz
Pentru K 1 fe 31 MHz K D 2 fe 15,5 MHz K IC 3 fe 10,33 MHz K e 4 fe 7,75 MHz K -. 5 fe • 6,2 MHz K • 6 fe • 5,16 z MHz K • 7 fa 4,428 MHz
sau f B 2
fe • o - 2 30 - 2 9 (MHz) • K K
-97--
:Pentru K • 1 =4>fe - 29 MHs K • 2 fe • 14,5 MHz K = ; fe = 9,66 MBs K • 4
J{ - 5 K • 6
K • 7
fe = 7,25 MHz fe = 5,8 MHz fe = 4,83 MHz fe : 4,14 MHz
In fi~ra p 2.9.3. este reprezentat spectrul ae•nalulut ...._ b 1 cazuri pentru K = 5. Uonat in am e e
Se(f J=î:.S(f-ffe)
'=6,2MHz
Se(f)= LS ( f-tfe)
fe =5JJMHz
J4.1 U,l
'
.Problema P,2.10. ~"ig. p. 2. 9. 3 •
SA e analiz ze posibilitatea refacerii rul r z nt t 1n figura P.2.10.1, daci el e
ll Ylnd fr OT nţa d 20 MHa 11 al • a ,&D.l'l .. 1 r 1 1111 •lanttonarea.
,
,
. .
- 98-.
•fX(f Jl
190 l2m fl NHzJ • ,, -
-Fig. P.2.10.1
RezolYare
Sellllalul este un semnal de tip trece- bandl şi poate tt •011e sub forma. j~ t
x(t) -~e{zCt>} -~e{uCt) e 0 }• a(t)cosw
0t - b(t)sinw
0t
unde E(t) reprezintA semnalul analitic asociat lui x(t) u(t) reprezintA înflşurAtoarea complex!
i(t) • componente în fazl a infAşurltorii complexa u(t) b(t) & componente tn cuadraturl a infA.şurltorii compleu u(t)
• ETident semnalele a(t)s'i b(t) ~înt semnale trece-jos avînd
11111 tat ff 1 ~ fM • T· . unde B reprezintA banda semnalului x(t).
-99-
Scl dublul bensii. J( deplşea
buie sa. tre azul concret:
In ° B • 210 - 190 • 20 MRs 1
i till refacerea semnalului eşantionat 'cu aceaatl freoste pos i
deci 8
parA inainte cele doul componente, tn fasl ti la cua-ţl dacl se se
ven î fAQur~torii. In cazul eşantionlrii directe a aemnalu-turA ale n -.
dra ' astA frecvenţl,refacerea sa nu •ai esie posibili. lui x ( t ) cu ace .
Separarea componentelor in fazl li in cuadraturl •• realisea-
d dulare sincronă, adie~ prin inmul\ire CU COl W0t, reazA prin emo
. in cA\ t şi filtrarea componentei .. de joasA frecvenţl, qa pecti v cu s -wa aratA in figura P.2.10.2. cum se
X(t)
2cosfA.bt
Fig.P.2.10.2. Conform teoremei lui Shannon semnalele a(t) şi b(t) pot fi re· In figura P.2.10.3. se prezintA o structuri care reali1eul
flcute .din eşantioane!~ sale pentru o astfel de eşantionare.
fe • 2fM • B 00
a(t) • L: a(n'l'e)sinc (2'iifM(t - nTe)] n• -oo 00
b(t) • L b(n'l'e)sinc(27rfM(t - nTe)] n• -oo
unde fe • life • 1/B.
In_ conaeoin\l:
z<t) • f . [a<+>coaw0t -. b(+)ainW
0t]lino[2'1fMU • aft)]
~-oo • . tl• Deoi prin trllll8ferarea eg&lltionlrii uupra o011poMD • t
fui 11 ln oua4raturl ale infl1urltor11 1111Dalul poate fi rei • • obiar claei ••te •oantionat cu o frecven\1 epll ou baDia ••• __ ,._
.. birt 4• prooe4eele directe otua frecYenţa aia1•1 4•
x(t)
X FTJ
2cos (271·200 ·106t)
X FTJ
ft<
~·20M• ............ ,
-loo-
Rezolvar Fi s cv nt
Secvent [n J pua t. fi x fn J cllrei tran for tll Four1 r este :XC..n),
şantionatA cu jutorul semnalului
S r [n] . ~~ - mN]
car 8igu~ pasul d eşantjonare N, prin înmulţirea:
x [n] = [c] dN [n]
Tran formata Fourier a secl·entei xN[n]este Xe(.!l)t ·
xe (..O.) = f X {jeT]. e -j.nKT. T
<::: 11r fn] " 1ar a secven tei o J\
k= -oo
Se observă deci că tran~formata Fourier a secvenţe! eşantionate cu pasul Il se obţine prin sumarea a N replici ale transformatei initiale ponderate cu-~ şi decalate între ele în frecvenţă cu ·2~/ /(NT). .
Problema P.2.12.
Să se analizeze posibilitatea refacerii semnalului x [n] din esantioanele sale xN[n].
Rez-olvare
Transformata Fourier în timp discret a secvenţe! x [n] este:
1 00
27 X(.n..) "' T L 1a<.n..- n T) n= -oo
unde Xa(Jl) reprezintă transformata Four!er a semnalulut analogic x(tl din care prin eşantionare cu pasul ~ s-a obţinut x [n] •
- lo -
in timp d cr t 'l'rsllsforlllat (Jl- n 27[ )
1 (.O.) .. + L T e nE
o n lo t
cu w
ar sp otrul X (J"l) t imi t t 1 JlM +iile !n ° r: ) p n r In condi ~ venţe1 discrete x Ln nu par upr
1 ntirii sec ( n) t fi r f cut r-~a eşan t ·o r. ] deci spectrul X .H. P0
in ur lor, semnalul X (_Il f 1 antionat prin fil tr re cu un fi tru 8peotre 1 secven .t.e eş de la spectru ) I figura P.2.12.1 sint prezentate pec-nind tica F (Jl • n
fnd caracteris , a t la ti ce de transfer a fil trului. av... 1 şi carac er trale semnale or Xai'WJ
deoi:
2el ...!, T -a
,XctJ)
A ,, 21i I(NT) N F,.. ~'""'~~
a o
................... 1
IT
w
w
- lo2-.
Semnalul poate fi refAcut prin oonvoluţia ou hf [n] nuaa1 lb
condiţiile in care "a" existi, adiel ..n.e ~ 2~ sau
adiol
-
2/i .nM ~ IT
Il < 27i Jl.MT
Jl 8 .!l.e li se alege a • 2 c
2 IT Pentru .n.M < _!L •
ll'l'
rezultindr · ~ 1v ~7in) h [n] • sin ' n ,, . • sine - .
f in/B 1
ti :.;[n] • xx[n] ®aina(ft;j •
Relaţia eate utili pentru refacerea semnalului numeric in ca· sul e§antionlr11 cu o frecvenţA prea mic§ in raport cu viteza de Ta· riaţie a fenoaenului. .. ..
Problema P.2.13. · •
Sl ae determine ooef1oienţ11 transformatei Fourier discrete d.t ordioul 16 ai annal\ll.uia ..
z(t) • 3 + 2 ooaW0 t + ainW
0 t CU W
0 • 27i /T
,
Be&ol•ve Pentru calculul nu.erio al transformate!, eeanalul trebuie
41aortt1aat ln 16 punote pe durata unei perioade. Se observi oi .... nalul are perioada '1' • 2 7/w • o
· z [n] • 5 + 2 ooa ?la+ ain 27a 16 . 16
Seo~enţa x (!1] ţ11n4 ptr1od1ol ou perioada B • 16 poate fi 4••· Yoltatl lD s.r.l.a
JC .. l x [u] • L ~ exp(l 271 t> ou O <; n--.1-1
1-0
Ooefioien\11 ~ ~or fi ooef1o1en\11 tranafor.ate1 rourter al~ orett a1 IIOYIDţti X [Il] •
1tacr11n4 z [D] prin apl1oarta foraule1 lui lulera
- lo3 -
6) exp(-j2Ttn/16) + ..L exp(j2Ttn/16) -(j21fn/l + 2j
; + eXP l ~ [n] • c:- 116) • 3 + (1 - T j) exp( j211 n/16) +
l_ exp(-j2 un
~ -Zj 1
(-j2 'iln/16) .. 3 + (l ~ +j.}exp(j27n/16)+ + (1 + Tj)exp
· 1 j )exp( j21i 15 n/16) ... (1 ... -z
t ·ficare rezult~a Prin iden l 2- j
X (O) • C o .. 3 X (1 ) = Cl = 2 X(l5) - 2+j -
2
iat restul co eficientilor sînt nuli.
Problema p. 2.14 • . . . - lculeze coeflclenţli transformatei Fourier discrete ai Sl se ca · }
._ i x ro 1 -={1 '1 '1 '1, O' O' O' O secven ~e ~ lJ
devine
Rezolvare Secvenţa are 8 eşantioane deci N = 8 şi
N .. l Kn . X[k]= ...L L. x[n]W pentru K .. 0,1, ••• N-1
H n::O
x[K) = ...L t x(n] ..,P pentru K = 0,1, ••• , 7 8 ncO
cu W • exp(-j .1!) • exp(-j L). X 4
Coeficienţii wK necesari:
o 1 ~ -fi -v2 2 27 V • 1; li • exp(-j +> . -j ; W • exp(-j -;r>•-j 3 _r:.. 2_~ 2
V • axp(-j iT> • - .J.,f - j ~; w4 • exp(-j -{!> • -1; .
v5 • _ ii22 + :J fl'; -.,6 • j; w 1 • fi+ l -{2_
2 2 2 Oalolll.ul ooefiohnţllor Fourier1
x[o] • f: x [n] WO • l + 1 + 1 + 1 • 4 D.()
X[l] •! z[n] 'ffl • l +(*- j ~)-j + ( ij
- lo4 .. .
• 1 - j (1 + -v2> 7
X[2] • E x[n]~ • 1 - j - 1 + j • O
n..O fi -.fi 1(31 • t x[n]w3n • 1 + (_ 2 - j ..!l) + j + c-:ii + j :a)
~ \ 2 2 2 2 ' o ..O
- 1 + j (1 -Vi> 7
X [4] - L X [n] v4n - 1 - 1 + 1 - 1 - o n..O ..L 5 -{2 -vi. -fi. .y;
x[5) • L x[n]W n • 1 + C- 2 + j T) - j + <2 + l -.}1. n.O
K 1 - j ( 1 - -{2)
1[6] • t x[n] w6n - 1 + j - 1 - j - o . il ..O ~ 7n . -{2 n -vi -fi.
I[J] • ~ x[n]v • 1 + Cz + j z> + j + <- 2 + j Tl • n..O
• 1 + j(l +Vi> De reaarcat cA ţoţi ooeficienţ11 s .imetricţ faţl de mijloc (e·
gal deplrta\1 de extreme) aint complex conjugaţi. ,
In cuul tuturor coefioienţ:i.lor s-a omis implrţirea la 1 • 8, deci fiecare •aloare reprezinti de 8 ori valoarea reali.. :
lualrul 1uul \1rilor c.omplexe efectuate este N2 • 64 iar al ..
dalrilor coaplexe :tl(l-1) • 56, dar ce~e 1n oare unul di~ operanli ••te sero ·a-au o•l•t .
PEOblf!a f·~·l5z , ~ 11 calculate ooef1c1enţ11 tranaformatei Fourier 411oret• P'
baaa alsorit.ului rapid peatru IICTenţaa x [n] •(l,l,l,l,O~O,O~O}
.Btul•v• .
SeC"Yent.a are 8 •tu.ţioane deci 1 • 8 • 2' ti nualrul 41 it." ţl1 •uoeea1Ye Y& f1 r • 3• . .
•
- lo5 -
Fig.P.2.15.1
Multiplioatorii implicaţi tn iteraţii:
r•l W~cl
o wl4· - -"' r. 2 W 4 • 1; - ",
r. 3 w~. 1 w~ • f/ - j "{2
; w~ • -j; w~ ·- ~-j ~ Itera}i~ 1
x1[o] • x[o] + :t[4}W2 • 1 + O·W2 • 1
X1[4] • x[o] - x[4]·~ • 1- O·~ • 1
x1[1] • x[1) + :~:(!;]·~. 1 +O·~ • 1
Xl[5) • x[1) - :t~]·~ • 1 - O·~ • l
Il [2] • x[i) - :t ~)·"2 • l + O·~ • 1
11[6] ~ ~~] - :tf6)·~ • 1 - O·~ • 1
l~l}] • x[3] + x[7].~. 1 + 0·~ • 1 11[7] • 7[3] - x[7]·~. 1- O·~ • 1 lteratit 2
x2fi>l • xl[â) + x1 (2]·~ .. 1 + 1 • 2
-lo6-
~ FJ.• x1 [O] - x1 [2].w~ "' 1 -l • O
~p.J. x1 [1] + x1 [3}W~ • 1 + 1 .. 2
~1)]. x1 [1]- x1 [3J-W4 .. 1- 1 • O
~[4]. x1 (4] + x1 [6J-w! • 1 + (-j) = 1- j
~ [6] • xli [4] - x1 [6] · w~ .. 1 + j
~[5] .. x1 [5] + x1 [7]·W~ = 1 +(-j) • 1-j
~ ['7] .. x1 [5] - x1 (7] • W~ .. ·1 + j
Iterat1a 3
x3 (o] .. x2[o] + x2[1]·W~ .. 2 + 2 = 4
x3 [1.) • 2 - 2 a O .
x3(2] • x2 [2]+ x2[3} W~ = O + O = O
%3 ~] • o - o • o .
x3[4] • x2[4] + x2[5}w~ ~ (1-j) + U-j)(f- j ii>. • (1-j)- j-{2- 1- :J(l + Yi>
x3[5] • (1-j) + jv'2 • 1-j(l --fi> x3(6] • ~[6) +·x2 (7}W~ • (1+j)+Cl+j)(- J7- j ~) •
• (l+j)-llf2. l+j(l-112) z, [7] • (l+j) + j v'2 • 1 + j (1 + v2) lnYersiunea bitilor
•
1[0] • x3[o] • 4 1[1] .• x3[4] • 1 _ ;1(1 + -{2> I(2] • x3[2] • o 1[3] • x3[6) •,1 + j(l -"fi> X[~] • x3[1] • O 1[5] • x3[5] • 1 - j(l -"fi) 1[6] • x3 [}] • 0 1
[7] • x3 [1] • 1 + H1 +Y2> Si tn aoeat caz e-a tli l etnt de a 1 •tnat tmplrUrea cu 8 dtoi ooefioieztiU XCI
or •ai •ari declt cei r ali .
- lo7 -
NumArul inmultirilor complexe Nx şi numlrul adunlrilor 1
1 • N = 4 .N+ • 4 + 4 • 8 + r ~ . x
? • N D 4 r s:: -~ • x N ID 4 + 4 c: 8
+
3. , N = 4 N = 4 + 4 • 8 r fiii • x +
N = 12 şi N+ = 24 • . In total xt
Se observ~ num~rul mult mai mic de înmulţiri şi adunlri 1 COlt-
d ît in cazul transformatei calculate direct. plexe ee -
Problema P.2.16. -SA se determine semnalele x [n] periodice cu perioada a 01 au
coeficien\11 seriei Fourier: li ~
a) ~ = cos(K T} + sin (3K +> b) oei reprezentati in figura P.2.16.1.
1 °k ' ' ~' ' , • ' ,., o ,. u • ' ~
--- .... ~ - ----9 -8 -7 -~ -5 ""' -3 -2 4 o , 2 3 ' 5 i 7 1 9 k
Fig.P.2.16.1
RezolTare
a) g1[n] • oo8 (n 1 ) 9"'- f 1 [1] • + pentru 1 • .t 1
O !n re1t Conform s1•etr1e1 eecvenţelor nu•erioea 1 ~·J + patru D • .t 1
T gl[-K] • + oo8 (1 +> .. t1[n) • O lD reat·
S1111ar1
12(n) • 11D (3K +) 4t UDde OODf
or. •1aetrle1 eeoYenţelor auaer1011 o •
•
i
-JoS -
Pe baza liniarit~ţii T. F:f·:
'\ .. glf.K]- g2[-K] fT. Sfl(n] -8 f2fn]
1 4 pentru n = ± 1 ~ fT. x[n] • 4j pentru n = -3
-4j pentru n = 3 O in rest ·
1 ~pentru k.
3
1 -2j
o pentru K -... ~ in reat
b) Fie spectrul ~ reprezentat in figura P.2.16.2.
bk .
' ~ ~ '1 t 1 , 11 ~ 1 ~
--- ---.... - ........ -- - ..... ..... ... ... -... .. - -- ,_
-9-8 .. 7-6-5 ~ -3 ~2 -1 o 1 2 J ' 5 6 7 8 9 k
Fig. P .2.16. 2.
Evident:
~. bx + \-4 Semnalele core punztnd celor doul spectre:
J e-
x [n] • .L K xp(jK + n)
.;1__ 7i '1 n • ,l_, ~ xp(jK T n)
e afl tn rel ti & .o
x[n] • r(n] ~ + 34 + n]. Y[n] [l + (-l)n] Dar, ' 37 f r.n] 1 p n tru In 1 -1 __ n_K..........,tr~ J{ }
aJ • pt. f O,t6 O P ntru l 1 1 4
.. d unâJ :
- lo9 -
-1 sin n -ţi r::-
J -l- t[KJ • 1 f (-K • o f
1 pentrulnl~l gz:_ b(n] -
o pentru ~lnl~4 8 sin ni: pentru Kţ{o,+S,-a}
~i rn1 •
t 1!~ o . . Problema P.2.17 •
pentru K~ {o,+S,-8 pentru Ke{o,+a,-e
+pentru
Ke{o.~.-a}
- (t) avînd transformata Fourier S(LJ). SA se ana-f semnalul x 1e d legere al lui T(durata ferestrei de eşantionare) şi modul e a
1ueze antionare din fereastră) astfel tncît evaluarea nume-~( umarul de eş n ED lui S(LJ} s~ se faci cu erori acceptabile in cazulc rio~ cu T a
al ~ ( t) • reot ( ~ )
b) s2 ( t) • tri ( ~ )
Bezolvare Pentru calculul S(W) cu ajutorul TFD, semnalul trebuie inlo
cuit prin numerele S{nTe) obţinute prin eşantionarea semnalului cu
pasul Te. Evident calculul numeric se poate face intr-un numAr finit
a de puncte, deci fereastra de e§antionare şi deci de analizA a semnalului va fi T • NTe. Rezultatul calculului TED va. fi un şir de B
t~ ere S[K/(NTe))]oe reprezint! TalorUe eşantioanelor obţinute din S(W) ou pa.sul de e1antionare l/ (NTe}. Ambele o iruri etn t periodice cu perioada N.
a Spectrul S[K/(MTe)] fUnd discret, ou pasul 1/(ITe) Ta co:ru-1 unll.l 181lnal periodio ou perioada w • J· w
00 o
Sp(w) • L S(W- nW ) ouw .. IIW • ~ e e o ~• n• -oo
l 1 p( t) r pr 1 t z n o~ reohe de tranafor•ate Fourier deci
Sp(t,J) • ( 1 ( ) 8-jWt dt ia Intr ' Joop
ortle nuaerioe fiind:
-Ilo-
.ID S(IW0 ) • Te 2: a(nfe)W' . ouw • exp(-~ -fi> ·
n..O .
Resoluţia spectrall a valorilor S(IW0
) calculate pentru S(W)
va depinde de w fiind ou at!t mai buni ou ctt _ W0
eate •ai 110
d o . ~
cu olt fereastra de eşantionare T este mai mare. Pentru ca etentioe,. nele S(ILJ0 ) si aproximese cît mai bine valorile S(W) este necee~ ca eroarea de suprapunere a componentelor spectrale din spectrale S(W- nW ) - eroarea de alias - si fie o!t mai miel adicla e .
_S(W) ~O pentru~>~
li LJe ~ 2 WM . . . . . t
Spectrul semnalului ~ (t) • reot(T) eate1
• ~ (W) • Z liino( ~ _)
nivelul lobilor secundari de ordin K f11Dd:
Dr.sCK) • l uo 217
~entru 1 • 1 aoeata deTine
• ----.1 ___ • 1 2 7 3,14 44,1 ,
• 1
DaQI •• aooeptl o eroare de suprapunere sub '" eate auf1o1eat · el alepa.
27 21 .. ~ LJM • 6 0 a au W • • 12 0 a au "• • ~
PeDtru o buni rezoluţi~ apectrall trebuie luat uD aDu•1t ~ •lr de •1antioane tn free•enţl din lobul pr1ncipal.aeo1 trebui• alti
W <-l- adiel T>"t. Pentru T ·Zae observA el toate ttaDUoBDtU) o T 11aU alat nule ou exoep\ia oelui din origine (de altfel 11 •••oa u p
deVine o tensiune continui).
Con.idertnd o reaolu\1• apeotrall aooeptab1lla
resul. tia
11
wo. It- Zf ' • 10'3
' . ' •
- 111 -
algoritmului tFB se alege 1 • 128 (putere a Pentru utilil&rea .
. . ...L lui 2>.. - eellinalului S2(t) • tri ( "t ) estea ,
Spectrul . 2 WO . s (W) • Zaillc <z> 2
1 1. lobilor secundari 11Ye u ULS(K) 1
• u - • 4c.-2x2 o 11
Pentru l • 1 rezultla
U~(l) • 1 • 1 < ,_ uo 4 9,6 38,1 2 7r d UDd
deci se poate ale~ ~ • T z e e We • 2 '; lllU ! 8 • 2 • In condi ţtile aoeleia11 rezoluţii spectrale: 1' • lG-Z 11 rer;ul tia
•· 1~-20 . 6
T Pentru utilizarea algoritmului TFB ae alege 1 • 32. Se obeervl posibilitatea ut111zlri1 unei tranaforaate de dt
tensiuni •ai redusa tn cel de al doile8 caz. O tranafonatl de ace
'"1 diaenai\lD.e •-81' putea utilisa oi tn prbul cu daci a-ar inlocui ftreutra dreptUDghiuliU'l utililatl anterior cu o fertutrl ele o 1111
fol'llll, oare al pondereze Talorile eoanttoanelor utfel tnoU DiYelul priaului 1 b reatr •
0 secundar al nu Ilai dtplfeuol '"· .Aatftl dt fe-e a,nt itreatrel d t
• e ip coainuaoide ou piedeatral 11 Baatag. J'iden t &OII t ti
1P•atZ'Ulut doa:r 1n P de fenatre penite o naloare oorectl . .a trltata, interiorul lobulu1 principal oeea ot tul ta ....
caaurilor ••te auficient.
Prta1a 111&11 ti 1 t1(t) .. +++o • celor 2 tipuri de fenatre .. te. t (t) ooa(T Jf-> (coainuaotcll oa. Pi ea ) 2 .. o. 54 o 6 .....1_
.4 ooa(T -w> (L•ta1Df) ~~P ·~2 ·~le~:.L
OUltae traa.to
- 112 -
x(nT) • {e. ani' p ntru n ~O lo pentru n < O
l pentru n ~O u(nT) •
pentru 1Il < O
Rezolvare; . 00 00
~ (x(n)] ,• X(z) • " x(nT)z-n = "eant z-n. " · e8 '1' n L" ~ ~ ( -)
deci:
nEZ n_n Z au n•O ·
Suma reprezintA suma unei progresii geometrice cu ra+i · aT 1 aT 1 ~ a
z = T• care converg dac~ e z <1 s~u J z J >eaT
In cazul convergenţei: 1 z
8aT • z _
8aT
1 - ----z
I(z) c:
Pentru -a -:.-o· se observA. că:
lim x(nT) = u(nT) -a-O ·
U(z) -%~(nT)) •Z[lim x(nT)] = lim z T =· z · a--0 a-0 z - ea z - 1
Problema P.2.19. 1
S~ se determine semnalul numeric avind transformata z . F(z) • z(2z-1)
(z-l)(z.t0,5)2 Rezolvare . . '
Utiliztnd •e\oda resid~ilora ,
x(n) • 'E rezid sn-1 F(z) • L}-e·zld (2z-12zn . D . · D (B-1)(z.t.0,5>2
. . ' ~
und D · · . · 1 cer e ~e~ezintl un do•eniu ce oonţine polii F(z) · din interioru eului unitar (PQate . fi oi cercul unitar).
Rez1dui tu ~ • 1
ry. Um [<a-l) . ~2&-12•11 '] • 1 • _ 4 •--1 (1-l)(S+0~5)2 . .. 1,5~ T
"'~ . Rezicluul ln s ·• -0, .5 . <Polul eate dublu)
r2 • - lia ~~. [<z + O 5)2 (21-~)1 • 1 .. . ll ]
(2-l)l s---0,5 Qi · .. ' (s-1)(1+0,5)2
... 113-
2 '
t,n-1 2(n,.I)z - n ~z-1) - 2z + z ] - (2n+l) (-0, 5 )n-
lim _.. ( z - 1) · :: z_...-0,5
4 n · )n-1 ~.
deci: x(n) • T + (-1) (2n + 1)(0,5 •
Problema P.2.20. ~ • - d t mine transformata Fourier dlscret§. a semnalului Să se e er
t t in figura p .2.20.1. prezen a
deci:
Oi
,X(k )
~ ' • 1 ~ 4 J o o t
------ - -. - - .... - - .... --..... - -- - ._ . ~
• 10•9 -B -7 -6· -s -4 -3 -2 ·1 o 1 2 3 ' s s 1 s 9 10 n 12 13 1'
Fig. P. 2.20.1~·
Rezolvare: 4 . N-1 X(K) = L x(n)WnK = E 1 exp(-j ~ nK) = 1 - 8-j~K
.. LU .Jf n::O n=O 1 - e-j ~ K
' 2 -K 'HK K
X(K) = 1 - cos 'OK + . jsin'HK 2sin Jj- + j2sin T cos Ţ 1 7r 7r ~ ---.,'5~~~;;-K----~~u~-...!::.- =
- cos ~ K + jsin ~ K 2sin ... ~ + j2 · Wr... TK .".J :; J.u s1n -m cos---ro
sin 7 K = T
sin 7i K lO
~ K'if 7] exp j (-"- - " sin 'J ~ t; '- t:. 2K 7r
r:; (K 7 tr \1 = K exp ( j 10 ) exp~ 10- zj sinY-m
K'iT lx<K>I • ~in 2
sin K 7r Io KE(0,9]
argJX(K)} • ,?K 7T ''ident l 5 s-a n 1 le f eg ijat factor 1 1/ 1 Zei atnt neim . u N in calcularea lui X(K) iar valori-nt pr J>Ortante at J 1 ' -
eeentate speot l unei cînd X(K) -= O. In figura p 2 20 2 re e de ampli t d" • • • •
u lni şi de faze corespunzătoare
.
- 11 -•
qs
o 1 2 3 4 5 6 7 8 g
-. Fig.P.2.20.2.
S dete ine x n daol X(Z) este1
X( ) • z~ . • (z - 1) (z - 2)
o eniul d existent fiind: ·
) 1 J >2 . ) lzl< 1
o) t le 1,2 \
Rezolvare ..
Vom utiliza metoda· descompunerii tn fr.acţi1 simple; \ X(z) . 1 A B · C . 1
• · . - ~ o. + +• " ~ z (z-1) (z-2) . z-2 . c-1 L (z-l)t:
Identificind rezult!: A(z-1)2 + B(z-l)(z-2) + C(z~2) • 1
, , a ci i+B•O A•l ..
-21 • 3B + C • O ==-!> B .a -1 2B-2C+A•l. c • -1 .
In con eeinţlî
X(z) • s - - ' lll 2 • ~ (z) + ~(s) + X}(l) - 2 s - 1 (z - 1) , . ·
a) In acest caz to te oei ~ semnal numerice oorespunllto~• tranaformatelor sa X1(s), ~(s) ti x
3(s) sint oausale
x1 [n] • cn?!l u [u] tiu [n] · x2[n] • Cbln Ufn] .;, u [n] . X3 [n] • Cn· ln- U[n] • n· u [n]
- 115 -
[n] • (2n - 1 - n)u [n] Deci x . , b) 1Q acest oas oale 3 tranoformate z corespund unor semnale
tioauzale • · · u r: · . an r,] ~ -·o 2n uE-n-1]• -2 u.:n~l] · · xl 1!1 , .. n . ~ ..
r.] •. -c·. ln ur-n-1]• -u[-n-1] ~2Ln . n L . . .
~.1 • -el ln-lur-n-11 • -nu[-n-JJ X3L~J ;. n l . :J .
Deci x~] •(-fJ + 1 + n)~t-~-:-1] • ~ • .. \ 1 •
. o) In acest caz x1 (z) . co.respunde unui semnal anticauzal iar
12(z) şi x}(z) corespund ~or . semnale cauzale, deci;
;r(n] ":' (-2n - _· 1 ~il)u [n] . • 't .,~~·
. Observaţie& · · . . .. . . .
Pentru calculul transformatelor z inverse s-au utilizat rela-
ţiile: - · ·· } · · . ,-l { z K~l • c! a.n-K u(~ dacllcl>a
.. (s-a)
~-~ { .;,1 t ... x} · ~ . ~c! an-KuE-n-1] dacii lzf<a
.~. (z .a) . . . . . . ~ ., .
~ro bleu P .2.22, .. · . ' .. · 'Sl se determine secventele cauzale avind transformatele z:
. . . •1 .. a) . xl ( z) . • . s s- 1. :;
' ' 2 ' . b) ~ (z) • 4s + 81
• 2
. 4•'- - 5z .+ 1 .
o) x3(z) ............ · 4..___ .. . s3<2• - 1)
!ezolvare sa ~
1 . a) Secvenţa fiind cau1all domeniul de e:ristenţl este 1•1 >l, ar z 1 . '
• Oi 1 • O stnt poli ai functiei. ta
1 Pe baza teoremei 1nttrzier11 şi a metodei re.cUDoatterii reaul-
1(&) • ~-1 • -2 -2uc > d~1 · • ~ 1 • s - 1 • • • s
x[n) • u[n-2] b) Polii
funcţiei x2(s) resultl 41DI
~.116 .. '
4a2
- 5& + 1 • o ... Z:I. •1-Şi 1:2 - + deci domeniul de oonvergenţtt este fz J>l ...
Descompunind x2(~) 1n fracţii simple rezult~· 2 • x2
(z) • 4z + 8~ = Az + B ~ gz + D (z-l)(z- 1/4) z- 1 z- 1/4-
§i identifioinds 2 . Â
(A + C)z + (D - C + B - ~)z + {-D - ! ) = 4z2 + Sz
adicA A + C = 4 . 1 D~C+B-T-=8
B . D + T =o.
Se poate alege D = O rezultînd: B = O, A = 16 şi C = -12
deci:
I 2Cz) .. 16 z - 12 _ B I z-1 z- 4
şi x2[n] "' 16 u[ril - 12 ti-)n u [n] o) Polii funcţiei xÎ(z) ss:ni z1 "' O şi z
2 + deci domeniul
de oonv rgenţii eate fz 1_>2 ,
x3(z) se poate transforma astfel incit s! se utilizeze teorc~ intirz1ar11 şi metoda recunoaeterii:
deci: x3(z) • ~~-4 2z4~1 • 2~-4 ~ • 2 ,t4z {c+>llu[nJj x3[~] • 2(+)n-4 u (n - 4]
Problema P.2.2,3!s
Fie secvenţa [n] avlnd transform t z notat S(z) 1 °' o-ia S [n] c!rei tran format! z t S(z ) cu E z• 1 Il t S •
du-s in dom niul d d f1n1ţ1 • S o r 1
a) el 8 'Xprim S [n] prin 1nt prezint grafic c l dou + c n 1 •
b) al e d t rm~ u ~ ~ Re~olv
d ul ui S o 1
a) Tr fo t o n 1 [n t 1
- 117 ..
~ s(K] S(z) = 2,_,
K= -00
-K E zED
• t secvenţei 5N(n]
transforwa a i~ 00
~.{,;) "' S(2h "' L s [K] z-NK .. ~ SN [.e] z -J.
... ~ K= - oo i -=-00 ,
- t'ficarea ooeficienţilor puterilor lui z din sumele Prin lden 1
are rezul ă: z anterie , S [K] dacă există K E 'Z a. î • NK = n, nE
SN (n] = o în rest
. p 2 23 1 sînt prezentate reprezentările lui S(n] şi In f1gura • • •
SN[n] pentru un semnal oarecare. S[nl
t n 012345678 910
11 •
r ., a 9 10 n 12 13 ,, ts 16 11 ts 19 20
ig.P.2.23.1.
lzl > core punde ecvenţei
n
_ 1 cu dom u e x etenţ z. 1
ez Ct Il 11
] { 1 dacl O lr. re•t n
[n]
- 118-.
Se obaerYI el transformata 1 a secventei u rn, 1 ~ ~ a:re 1 .. 1 tinc\1 plaaaţi pe cercul uni tate. .., 1 tt.. De aae•enea, prin inlocuirea lui z ou z1 are loc el 0 11atar
aclrii "n" aeoYeniele avind aceeqi oauzali tate pentru 1 > 0 1
'
~ali tate 11Wird pentru N < O. . Il -.
Problema P.2.24.
Sl se arate ol transformata z a secven\ei periodice de perioadl M(NE r-> definitA prin:
g(n] • O pentru n <O g(n + 1] • g(n) pentru n ~O
li 1-1 este G(z) • r' L g[n] E-n culzl<l
&-ln-0 Re~olYare
Seo"en \a f [n] defini ti prin:
f(n] ·{ol(n) O~n~l-1 1n reet
are tranaforaata 1 1-1 P(s) • L tlll•-x
(.()
Util111Dd annalul ~ [n) •• poate 1or1ea -1
I(D) • f~) u (o- ) w
l•1n4 lD Yed.tre el f 00 •• , ·1} resultl oa r•la\1 4
O 4ao ma 1 • 1 1811(0,1.•
1 1u. •• po \e re•or1••
a[n] • t u [D- (f ) (•] ·00
lll OOUIOl \la
IHs) 2{<t8 ) ~ ~} P( )2 { 1
( ) • 1
( ) ..
.. 119 -
1 N-1 S ~ -D
G(z) • R LJ g(n] s z - 1 n.O
PrQbleaa P.2.25& · ~ 1 uleze convoluţia secvenţelor SI se ca c r. 1 sl[n] • u[n) _ u(n - 3] şi s2(n] • u[n] - uln - 5J
' poi,
fi 1 ~) 8~ 88 reprezinta cele doull. semnale f1 re~ultatul convoluţi-
c) sl 88 calculeze transformata z a convolu\iei.
Rezolvare ~) Confon defini ţ~i convolu\iei numerice~
c~es2>[n] • E s1 [K] s2[n- K] • L s2 [n- K] • K• -oo K.O
2 z • E u[n-K] - ~ u {!l - K - 5]
K.O K.O
le doul IUlie ae c lculeazl separat:
{!1-x] • o pt n < o 1 pt,n • O •
[a·I-5]•
11
[•)
2 pt.o • 1
3 pt. n~2
0 pt, D < 5 1 pt, n • 5 2 pt, D 6
' pt. 7 ft D a c lor
D 0
•
eua
·~ •
o pt. D <O D+l pt, ne{o,t} 3 pt. D :)2
o pt. D > 5 pt. ne{s.6} pt ~7
resul tia
- 12o -
, s1(nl as2[n]
t ' ~ ' ~
• . . n ... ..... ... n 01231.56
2
1
- - ••• n o 123,5678910
Fig. P.2.25.1
o) Transfoz:ata z se poate calcula direct . pe baza diferenţe!
~{~ ~ S2} • . L: (Sl@S2) [n] z-n .. l + 2z-l + ~z-2 + 3z-3 + 3z-4i n-o -5 -6 + 2z + z
Se ob rv~ sim111tudi~ea rezultatelor fiind tot planul z. '
. •1 dom ni ul de oonverge.n•
Probl ma P.2.26.
S a determin 1 g!turil dintr t al 1 r
poiun a cv nt trunchi t x (p] • O~n calcul z transform t 1 1 · our r
sl [n] {l p n.tru In 1 M O in
t 1 z 1 our1 ,
ou ' o n lor•
- 121 -
(-l)n pentru Jn) ~M 3? (n] ::: o in rest ...
1 cazuri se presupune 2M < N. In ambe e .
Rezolvare . - m ·sformata z a secvenţe1 trun~hiate x[n] este: a) J.ran. N-1
z ( z) = L x [n] z -n X
n=O
T nsformata Fourier discretă a secvenţei x [n] de perioadă N
ra N-1 Fx[K] = + E X [n] w~ cu WN = exp(-j 4)
n=O
de unde rezul tii leg~ tura: 1 -K
F X (K] = T zx [ WN ] .
b) Transformata Fourier inversă a secvenţei X[K] = F.x [K]este: N-1
x [n] .. 'E .x(!c] wNKn K.O
. Transformata z a secvenţei X [K] · N-1
de unde rezul tl:
y(z) • L: X(K]rtK k-=0
,
x[n] • Y(WNn)
c) Transfo}fata z a celor douA secvente1 Z (a) " -n -M 2H) -M 1 - z2M+l • ~ ,., • ,L,_, Z • E (1 + Z + • • • + S • Z
n • -M 1 - E
• 1-M .. 1M+l 11/2(
1-M-1/2_ &M+l/2)
1 _ • • .t72c1-t72_ ,112> •
or t,
.~1/2 - .-(M+l/2) .t/2 - .-t/2
-1 ourter d1aoretl •• ob\iDI lDloouiad • •
S [K] l
- 122-.
1 sin[!,f<2M + 1~ T Re
s1n T P ntru determinarea. transformatei Fourier î t.
f c inlocuir a "' ej WT re ultînd: n llllp discret 11
z5 (z) 2
FS (CN) = sin((2M+l)WT/2] 1 sin(GJT/2)
Transformata z a celei de-a doua secvenţe: M M
" )n -n ·~ -n LJ (-1 z = LJ (-z) = n -M n= -M
- (.!+ ~ (}·! + -~) ( )M z + E
g -l l/2 -1/2 z + z
( -z) -M_ ( -z )~1+1
1 - (-z)
Transformata Fourier disoretl:
~xp·[j ~K,2f1+1)1 _ exp[-j 2rnK(2M+l>] . Fs LKJ c-uM _ R = 2 :J = N 2 _ ..
2 exp(j 1JK· ) + exp(-j ~ )
M c~s[ .Ş<2M + 1~ ( -1) . . j
. Ke-:-cos -·
iar transfo~ata Fourier in timp discreta
F (W) = (-l)M oos!(2M + l)WT/,2] 82 . cos(~T/2) .
Problema P.2.27. gen\1 ~
S se calculez transformata z gi domeniul de conver mn ului
x [n] lai< 1 rio4111t
b) P ntru a • ~ §1 1n cazul unui semnal oauzal pe . ~ disoretl. P r1oada l s determine transformata Four1er
- 123 -
. Pentru convergenţa celor 2 serii este necesar ca:
tael < 1 =>Isi< 1+1 şi 1-! -1<1 <9lt:l > lai
d meniul de convergenţA va fi deci 0
lal<lzl<\+l · i~ transformata Z.
1 + 1 • az + z • X(z) • az a
1 - az 1 - --- · 1 - az · z - a 1 1 a- a>•
z .z ----.-1 c
z --z - a a
b) Semnalul fiind oauzal se reţine doar seria pentru n O re
zulttndt
4eo1a
·~ ; \ 1 ( 1 ) • z • 2z '-'',.. · s - a ... 21 - 1
Pentru semnalul periodizat cu N • 4, T.F.D. se ob\ine prin:
. 3 D -jK 21 D
I[K] • + L <+> e • .o
. ·.
11+ . -j ~ + •jlCU + -jl ~ + • (1 + e + · e * e >
1
x [o] • .lL 32
l [1] • _.,_ - j ...1.. 16 16
I (2) • .J...... 32
--124 ..
Dac semnalul nu ar fi periodizat, transformata Pourier timp disor t oor spun~ tor ar fit
X( W) -= 4- X(z) 1 J' W'f = l Jl z•e 4
- 125-
t CAPITOLUL 3
.
Semnale modulate ..
Breviar teoretic e Modularea este o aetodl de preţuorare a seanalelor prin .
care se realiceazl o ~orespondenţl tntre para•etrti unul aeanal par-- - .
Uitor p( t) Qi un ee11nal m~dulator :~( t) oare conţine aeeajal 1Dfor-
aaţ1onal, ,
Daci, de exe~plu, eea~alol partltor (eaa •part•t~area•) ee-te a. foxwal
p(t) • A0coa(!t0t + ~0)
atuno1 expresia generali a unui seanal •odal•t ra fi• ,(t) • &(U coa[DJ + y<t>] •
·~tfel o~ tu ca~ul •o4olaţ1e1 4e ••plttadiat rezulta oore oudeaţa !0-.!(t), pentru aoaula\1 48 frtat D~l1!l0 !l(l), iar pentru Qla l1~1a de fad 4>
0 --~( t). - ·
P( t) • l {,a0
l<not+cl>olJ o oa(n.J + o> •
( -
sulll p lD traDafepltt tati ••.a•-
1
- 126 -
• ~-Dtl• 111-B:r.D (ou •bp4A latenll· tu'ltlrl
l•ol •••nalul •o4ulator x(t) eate de banal ltalt.'-, apeetrul d. II<w>l • O, •lwl >WI' iar parUtoar .. -. lllt._ p(t).
10 ~0~0), resaltl·
(t} • [1 +kiU:rCt>] oos(n0 t+<P0 > Xg-JLJ o
iar 1pectral eeualalul RA-JLD: -
ln-BLD<w> .. :f{X,U-BJ.D}• ·nJ~cw--'\>+ r,c_w+.cioil+
+ ~ [l(W-.00 ) + l(w+.n.,>]
De 1~nplu, daci aeanalul aodulator x( t .> are fona Pllitaa.
lart.: s( t) • a0ooa(w
0 t + <f> 0 ), re1ul U
lu-BLD( U • [ 1/kiu•eooa(w0 tt: <p 0~ oos( .n0 t+ 4>0 > •
"'10
[1 ... oo.Cw0tt- 1f
0)] ooa(.Q
0t+ <P
0) • A0 cos(.00+ ~0) +
+ ~ ooa[<.o0 -w0>t +4> 0 - <p0 ] + * coa[ta0+w0 >t +~o·~.] Putn 'f
0 • cp
0 • O rezal U t~atoraata Fourter 1 -tii
·-ll .
lwu-BLD(W)•'il8(i>Cw-0
0) +~(W+"\.~ + 'T~·[~(W+W0+a_) +
+ b<w+W0-.0.> + ~(w•w0t.00) +.~(w -w0-.0.)]
e Snnale llA-JLD·PS ('banii later1ll 4ultll 11 ,.
euprlaatl) resal\1 41D •o41f1oarea ••pl1iu41a11 purtlt81rti i(t) • lo·~·l(t), laol tur\lioarea are fora•ap(U.A oo•<O. aiunoi: o
~-ILD-PS·~·z(t)·p(t) • z(t).ao•'\,~
~i
- 1-27 -
•
e Staul IU-BL11
lzpreaia aeaaal•l•l 1!-ILI .. \ea
1 1 " '11-BLU(t) • } x( t). oo1 !\ ~ .; '1 i( t.)• ela a_ t. ~· i(t) eate tranaforaa\a Bilbert • ..... 1•1•1 aolala\
Î( .\) • in f~ :t 4b • x(t.)*rfr<~- jlp(W)• (W)
-00
. )
SeiDul plaa oorelpaDdl •• ... 1•1•1 ~ Werioarl, tar a1Dal ••1•1 oa 'baii l•"'r.a~
haai ~a\11 1peotrall • • 1•1
••perlllrl '''' il\& •• nl•,ta• a...ILJ(w) jz<w-.c>J
- l.28 -
5..,.1111 JU-ILB ••t• eo•paa 4111 aoul ooap•••te t. rl 11 poltl fi pa• aub fo1'8al -..._,
~~JLV ( t) • i( t). ooa(.n
0t + <p( t>)
aD4et AU) • 'o ~1 + f + • coawo t
cpCt> • •roti {[~ linW0 t) 1 [ 1 + ; ooaw0 t]} Daol a<<l resul ti:
J.( t) :::! 10
[1 + i 0011W0 t]
In acest cas:
Xu-BLU(t)= 1J1 +; oosw0 t] cos[ fl0 t + <P0 + ~ stnw0t]
adiel sevmalul MA-BLU conţine attt o modulaţie de l!mpl1 taclt.De oU
ti lllll •• fasl.
eModule~ia exponeatialA a semnalelor ..
Pentru o purtAtoare armonici de foraaa
p(t) • .locos(no•<I>o> -Yfe{toej(..O.ot+ <Po>}.Y{.{.&oej ~(t)} se defineşte faza instantanee <P< t) cu ex~res1a: q, ( t) • .n
0t + ~
1
li frec,enta instantanee: .Q( t) • d <f> ( t)/d t.
In oasul •o4ulat1e1 exponenţiale proprietlţile eeaul1l1t • dulator x(t) a1nt transferate funcţiei de fazA 1netut•••· AltfeL resul U.:
- aodul•i1! de f~eo,en~l (MFl, c1ndt
n"-n~t) • ~. n. + ru·~(t) i
- •oiulat1a.Je ftzl (MP/J! 4?}, olnaa
4><t> • fi0 t +$0 + 'k&·:~:<t>. te uaoz
·4\ll
- 129 -
• Semuale eodulate 1p freo•••tl (lrl •'•\ -= - ~ oarao\ertsa\e la e11tol ·t1•P clei ,t,
&o• ( ,; • 1. ···l n. t + tu j J:( ţ ) •'S] ,., o .
!• exeepl.!., daol z( t) • 80°••W0 t, reaaltla
'll<t>·. ,0;'co•[.!\,t + ~·aw0t]
... ~ s•l DOtat· OU ~ • ~J8o • f!J. fi ~dioole h aodala\le la fnete
1 011 !l(t) •0.., +â.nooaw
0t.· · B\1,
.,tf• Ia pDeral, expre•l• llllll•lala1 U 1D 4oaatu u., ••\t1
(t) • ,.nt( ~) ooa[cn. + kw.>t] . rar . k':::&J --uaa• J.t. (-l)k J t reprea1ntl funcţia Beaael 4t apeţa 1, Olt1aal
t oi arpent ~ • Daol ~<<1 1 pot fi reţinuţl doar prt•tl tenenl al 4tsYoltl.
rit, iar: J 0(~) :!l, J 1 (~) ~ ~/2, J -1 (~) ~ - ~/2, u\fel oi lJa aoea\
OI Il
lo~ 1~ 'MF(t} .• i 0oos.n0 t - 2 ooa~.0. 0-w1H + T oea(Q•+w0>t ,
~
iar tranefonate Pouri r eeualalat U(penU. ~) alo e1tee
lu<w> • ·'• 7(S<w~n0> + ~<w-.n0)] +
A ~1 +i [~(W+00+W )- ~(W+!l •W )- ~(U• o • •
o ..
t 1 .. 1. ~ +Vf
11tt•l , la •o••t• o 1ţtt, banaa f otlY ocupati de
Mr ••t• aatl • rel1~ie "' 2 wo ( + ~ +'\[fi)
••ti ~ <1, resoltl 1 • 1 1 eo1 ~ • 2W0
eat 1 t1ap al t oaraoţ tii te 4aa
( ) • ..... otl [ '\ t + ~o + kxr •:d t>] . lie oi :.:( t) • 11 W0 t 1 4> 0 • o resaltaa
(t) • i o (n t + ct 11DW ,\)
• •~• o\ t o 0(, • 1 bale d •o4ul~ţt l t 111 ot ..âcr• ~·. , 1tfel la cp( ) .n t +4>
0+L\q> {~w0t.
In tne:r l, p n •• 1 1 t1•p are fo '
+-00
re, ·xp:real eeualulul liP la 4o-
(t) • A0
) Jt( r:t> ooe(<o. + tw ) t] 't;:oo o
• • one1 • aal zt1oul r la re CX<<l• resal\11
'~ ~ •"\t - oo <.q,-w0)t + os(n +W1 )t
•!eoretl , t ele IIIIDillll lf per •
•• ., ... lelt
. n •na•l•l• lf) tt'
• l\11t
w • !W (1 +ot+~) ct K t al • 1 1 • t • rw,.
..
- 131 ..
e MOI>!JLA!lA lKPDl§UBlkOJ -Deol 18 oona14erl purtatoarea for.atl lUb\ r-o auooeata
1 ae tapulenrl notati Pof( \) • fonatl Prill ne Jl-r1o410 Tt»etarea l•Jilaa -
( t), .a tol& 111 p +OO
p,< t) • 2: p( \ ~ kt) 'k·-00
• H.Pdul tie 1•P.!!.l!urilor",!I1J!Pl11u..t1Dt (l!ll)
• Se~ale MIA-Iatural atDt •o4elate 4e ela\e•Ql 41 f = • tpra 1
at ao tn 4oaen1ul Uap expreaha 1
x(t)--" ....
p1
{t)
h,(t):p{t
XMIA-N(t)= x(t) p1
(t)=x(t){67(t)41)hf(t)}
Fano\11 41DI1ta~t 8peoirall 1 ltaD1lll11 111-J tl\11
b }.: k.Cl "t Jxu.1<w> • T ·-O:tac :::y.;- I( w- t.n.>
:.z:!U.l~~~;.=~u.: 1lnt aetelah 4• 1l1~••l ilD flp-
ra 2 11 au lD 4oae lal tl•p y-.r••t•• 1 x(t) ___....
ci,tv
'··~ta
-
PROBLEMA P.3.J
SI se determine expresia unui semnal MA în oare
1 t Ste format din suma a trei componente cons1nusotd1
Mila1 lat modu e or e a t
d t rmtne spectrul de ampli tudini_, puterea semnalului modul t• Il
se e e a Pre-cum şi banda ocupată de acesta, dacă se neglijează componentele ampli tudi.De msi mioă de ~ Ao. Se dau:
1111
f • 4 7 o KHg; f 1 • 1 KH z; f 2 • 1, 5 KH z; f 3 • 5 KB 1 ; o -
A0
• 1 V; m1 • o,3; m2 • o,4; m3 = o,2.
S4 se stabilească dacA are loc supermodularea semnalului,
REZOLVARE
unde a
Semnalul modulator are, in acest
x(t) .E Ukcos(Wkt + <pk) K•l
caz, expresia:
•
AfiDd in vedere expresia generalA a semnalului Ml, resul~z
l!!(t) • [A0 + ~4x<t>] oos[n0
t + 00
] •
5
• .l0 oos(n0 t + 1
0) +L ~;0-oos [<n
0 -Wk)t +
K•l
+ cq,- cp >] +t ~~URoos [<no+ W K)t + (fo•'h>] ' K•l
Pe baE ace t 1 r l tit, r zult p otr 1 • prezentat 1n f1g.P..3.l.l.
- -Ao-1Y
•
1 0,1V
Fig. P 3.1.1.
Futerea se determină prin insumarea puterilo~ ia\e r.onentă armonioă,rezultind:
oare comr . Â2 3 m2:.2
P. -f + L K4o • 572,5 •il <•m> ~1
Amplitudinea componentei cu frea.enţa t3
eate:
m3Ao 2 1 O, 1 ~ 2 • 2 •o,>g-,.1o•o,e&Y.,
deci banda de frecvenţă a semnalului este:
B • 2 r3 • lo KHz. Supramodularea semnalului Ml nu are loo daol IDYtl
ia •al ori nega ti ve.
A(t) • A0 [1 + t-rao•("(t 1
Verificarea ae faoe !n oasul oel .. 1 tD •oaent de t11Dp, oind toate oo•poneute taloare 1 •1n111z
( i )t
- 134 -
irlOBLEMA P 3.2
S~ se determine şi să se repreEinte ~afic spectrul de ~11 -udini al semnalului dublu modulat în amplitudine, descria de
81"
ex-. t:.r€sia:
:L .. u01 V .bitE
Ao•l Ao•1m2 2 Aos,•z
t . ' -
•
Fia. }1 3.2.1.
•
·a se determine epeotrul oao1lat1 1 MA dtf1Ditl 4• rt xMA(t) • Ă0 [1• x(t)] cu flot; 1
0-loo aVJ F0 1
unde: J( t)•
1/2
-1/2
1 [o,!/2] t (t/2,!] i T 1 •
• pentru
, pentru
- 135 -
semnalul x(t) este prezentat in fi~. t .;.3.1.
x(t)
1/~
T/2 T - t
'- 1/2 ---Fig • .t 3. ) .1
_./ ,\.,J,.. ~ ..,.l .... - )ezvultarea 1n s~rie Fauriul ~ ~ ~~ 1 yl _
X. t) - 1 w t t]
..~ea:nulul rno~u13t în 1 . t t.~t'.l u n
XI: ( t ) 0 {1 TE .. , 1 ( t..a. -u.=
00 -\
=: h 00 o not +L el
+f c {[n K•l
-l)W
' l1j n~u- c nfn 1 A
• < .1 • ( -l)'T
Ptotrul
t c '
- .136 -
31.8mV ~=31,8mV 1r
~- \
J0
~-------10~t,·:-mv __ 99991100oo--:tne;---~3:033--10
-·6
_"'_v-.... f [kHz]
Fig. P 3.3.2
PROBL~.A P 3. 4
Se consideră semnalul modulat în amplitudine:
unde
Xua<t> =A [1 +x(t)] cosfl0t;reprezentat in figura P3.4.l r~ To
b&2• XMA( t)
-- ..... 1
- t
Fig. P 3.4.1 Se cere să se determine şi să se reprezinte spectrul de em·
plitudini al semnalului modulat. RLZOLVJiRE
Se~nalul modulator este prezentat in fig. P 3.4.2 •
x(t} 1'
-
l
s -- o s - 1 2 2
Fig. P 3.4.2 ..
- 137 -în serie Fourier a acestui semn 1 t
1 ~·are a oo cs . vez1/0 " ?; 21; ?; KW ~ •
x(t) = T + ~ sine o = 2 cos Kw t o '
'b .! rezultă: pt. -r ::; ~ . 00
. 2~ 1 x(t) = ~ + T ~ 2K-l cos r( 2K-l)w t - 1] ~=1 ~ o 2
"1 1 modulat în awplitudine e3te:
unJ~ w a: 1' () -
semna u 00
x1u(t) = A0 {1 + ~ +tL cos [C 2K-l)w.t- "~~']} 'w K=l u 7 cos O t o
3 CX) u x (t) = -2 U cos.O t + ~ 0 {cuQr(Q r '\T
!•lA o o tr (2K-l)TI "'1: o+,a,-l)Wat-"1,
~pectrul de amplitudini .... stc prezentat în Ii0 .Y 3.4.J
1 (k 1 3 Ţuo
uo ~ Uo Tr 1T -31T
o 8 € E ooo 1
}J 1 •
~ ~
Fi~. P 3.4.3
J:ÂtOBL211~ f ~, 5
:)e dă. semnalul lUl din f .... w-..-.-sc reprezlnte grafia
uo -31T
J + Ul
b
r
t r
i . p 3.5.1.
rv 0 x t) - x ( t) co..,fl0 t. Inlocuind x( t) cu dtz. r 1 e o rier dată in problema P. ~.4. , rezultA:
( ~ 2A (; 00
KW ~ J ~.~oT + T ?=sine 2 ° cosKW0t ooo-'\t.
t=l
6 Ab00
~ T co (l t + + L Sl!lC ° K=l
KW 6 ---~- oosCn0 -KW
0)t +
Kw0 z; ] 2T + sine 2 co (Q
0+KW
0)t , unde W
0• T
eprezentarea peotrului de ampl1tud1n1 ,făcută pe baza acu· ţ11. ste prezentată în fig. P 3.5.2. .
o .i ' N
N
........
1 1
~~cf~3ll
~~ Jj~
Fig ... ,.5.2
?JiOBLEMA ? 3. 2
;a •
Se dA a mn lul p riodio xMl(t) din f1..-.,
- 139 -
t
"------T =100JlS ----t Fig.P 3.6.1
. t .,.rin mod..: larea unui semnal co:oinusoidal -p( t)•cos n,1 5 1 ob;1nU t' .. . • • CO• O t
<-amal triunt;hn: ar x(t) ho-urat cu linie punctată '"e t cu un s"' • ...... s an 1 ""llC' rrodulatorului de produs d.:.n figl!3.6.2,rezultind la i i
"t: a t~ i::1 e § re etmna 1 u 1 Y ( t) •
Se cere spectrul de amplitudin:i al semnalului y(t).
~------y(t)
cos 21f. 500 ·1tY t
Fi5 • f 3.b.2
~e obs~rvă că s mnalul
xM,.(t) •x(t)
.J•mnalul y(t)
- l4o -
sau inlocuind expresia lui X(~),obţinem:
& 2 w6 6 2 <w-2no)~ Y(W) = 2 sine 2 + 4 sine 2 +
+ ~ ahlc2
Avînd în vedere că :
(W+20o)~ 2
CK""' ~ Y ( KW0), unde W
0= 2;!'
rezultă:
C "6 . KW o~ ~ . 2
K = 2T s1nc 2 + 4T s1nc·
~ . 2
_ ( 2.0.0+ KW0)o
+ 4T SlDC 2 ..
3pectrul de ampli tudini, rc:preztntat pe baza acestei relaţh,
tste dat îr. f:g }.3.6.3.
Fi • ~ 3.6.3
r~ OHLJMA P 2·1 Sfi oe 1ctcrm1nf funcţia d dcn(it t s~uotrulu P ntru
a mn&l HA ml)1ul t in rJG•Pl Hud in , avind purt ton rea p( t )•Ao• oot!lot
1 emnalul w;dulator 1n im ulc,dot da rel ţia:
x(t) U , I cn tr u t < o - oct e 1 I n tru t >O
uX~r~ l& mnalului mouulot in ~ l1tud1Dt tit
xMn (t) 0
• (l+:x(t))• oos~}
- 141 -
Aplicînd transformata Fourier aoeetet relaţt
lrv. (W) • A0"r [~<w-.n0)+ ~(W+.o_>J + -.. .......... ,..". ....
+ X(W+W0)] , unde
X(W) ~J.+:7t)•e ·jWtdt·l~CXt ·;JWt • 8 dt .......... -oo o
Funcţia de densitate s~eotrală a semnalului ~(t) 1
Xr'IA (W) .. Ao 'T [~<w-Qo) + ~<W+!lo>] +
A + ...Q
2 [ 1
~+j(w-w ) + o
f'ROBI.p1A P ,.8 Un semnal ooanusoidal,coaW
0t, •odultlll la _,u
purtAtoare oos 00 t • Prin diminuarea purtlloaret t a ..,_,.
laterale superioare se obţine un atual BW•PI
Se oere:
a) si se arate cA semnalul •odul1tor poate cult1pl1carea semnalului modulat BLU-PS 01 o _.. ..... 1• .. cos .n t; o
b) al 1e prectsese ou• 11 ao4 PurtAtoarea locali art freOYtD 11l 8 lntre purtatoare• 1"
o) 11 •• ~11tU4t • o
t
•
-
u •
c 1
-w > • o o
-
) o
• "
-w) o
•
n> + A co <w + n)t o
(t •
r
0co <w
0 ~n).t
r 1 cos(t! t + J. r zult~: o
o (0 -w )t co tn t + > o o o
c s(w t + Q) o
F(t) c mA cos(LJ t + 9) o o f ii a purt~toa .. o r cn orice abat re în frecvent~ sau az ~
Se re~seşte integr r por cu purt~toarea suprimată, 6~
i
u
(t
recv n\~o +ia oo·
1 xpr ia lui xMA(t) se obtine rela~
-bLU( t):
0cos-'\t + 2° cos<.n
0 +W0 )t •
fii ( )
R ul t ' (t) co
( ) 1r
d und o n :
(t) • o
'9( t) ro t
f n u tn ~1
( )
•
(t)
(tl • o 2
1 __,...,_ + mcoe W t o
-.-.. uin·W t o
m:
1 n t nw t
1
a(t) cos W t ~ (1 + m2- cosw t)A
o o o
deci:
xi-'J.-BLU(t) -= Ao[ 1 + ~ cosW0t] oos~0t + ~ sinw
0t]
Problema P.3.9.
Se considera semnalul modulat în amplitudine cu • sup · t nma ~, avind expresia:
xMA-BLD-PS(t) • XMAx(t) coa!lot, Unde X( t)
este un semnal de bandă li mi tati (x( ~ ~ O w «n ~ o şi X(W) • O in rest).
Se cere:
lutx( t) a) al ee reprezinte care tndepl1net te
purt..1to re
- 1 -
b) s d t r in p ctrul u i banda de freoven~ •• ocu~
(t) ""U cosW0 t, W 0 e-(wom•WorJ• t ;
! rt1cular: c
> r i s mn lul modul tor x( t) de bt t.. ... ă li mi tată d f ' e in1 t de
r l ki : x(t) = U
0cos(W
0 t).sinc2Cw0 t/2), W 0 « .fl/2,
.... carui a
or pund func~ia spectrală: r::-
X(W) = U U (r (W+ W0
) + r (W- W >] wo o Wo Wo o '
unde funcţia r~ este definit3 de relaţia: o ,(W
0-W}/W0 , dac! O<.W~W0
r = (Wo+Wl /W0 , dacă -Wo~ W' O ~o o , în rest
heprezentarea funcţiilor x ( t) şi X ( W) este data în fig.P.3 .
• 1. a,b.
X ( t)
,.- U..Q -~ u0 sin ~( w0 t /2)
' ' ' ~~~~~~~+-~~~~~~~~_._t
al
Fig.P.3.9.1.
1Lu0r~ (tu-(A)ol cuc o
----~~~~----~~ - 2 c..oo
b)
In acest caz expresia semnalului x~.A-BLD-PS(t) devine:
( ) 2 i a reprezen·
xl·a-BLD-PS t = KMAU0cos(W
0 t)sinc (W
0 t/2)cos fl0 t av n
tarei:l din fig. P. 3 .9.Z.a.
lJacă x(t) = U cosW t, caz în care X(W) ::'iiU0 (~cw ... w,l• ~ \l o o 1 ar~rr
+ O(W-W0h atunci Xm-BLD-PS(t) = KMA U
0cosw0 t • cos.00 t 1
prezentarea în fig~3.9.3.a.
- 145 -
l{xMA-8LO PSt tl] 111tXtw .c;n
a} bl
Fig.P.3.9.2.
Considerînd doar axa frecvenţe lor pozitive se ~onstat~ c 1 r
gimea de bandă ocupată de acest semnal est~ B= 2 f 011 = 2~0
,
In cazul în care x( t) = U cos w t este mai co;noa sa se deter-o o mine componenţele spectrale ale semnalului MA-BLD-PS, în loc de d n-
si tate a spectrală: ~A.U ~A· Uo )
xMA-BLD-PS(t) = ,, 2 o .cos(.Oo -Wo)t + 2 cos<.Oo+Wc t
Spectrul acestui semnal este reprezentat în fig.P.3.9.3.b.
XMA -BLD-PS ( t)
t
1
t
-o.
r io sp ctrul de r
fr o n
1 o pli udin m i mici de 10~ din
~
B.mpli .. t ul t • S con ider A
0 = 4 V şi ~ * 3•
1 ' •
mn lul~1 MF în domeniul timp est : 00
NF(): ~o , ? J ( ~)cos(<.n.0 + KW0 )t] K==- oo
Am li ua.inil compon ntelor spectrale sînt date de relaţia:
entru calculul ampli tudinilor componentelor spectrale se
olosesc alorile funcţiilor Bessel, rezultind următorul tabel:
K o 1 2 3 4 5 6 7
:JK (3) -0,26 0,34 0,49 0,31 u,l3 0,04 0,01 0,003
I4JK (3 )\ 1,04 1,36 1,96 1,24 0,52 0,16 0,04 0,012
Deoarece 10 din ampl i tud:i nea purtătoarei nemodulate repre· ~ "'ncâ pa·
~~nt O,~ V, rezultă că spectrul conţine pe lîngă purtatoare 1
tru componente lateraleo
Spectrul de amplitudini este prezentat in fig.P.3.1°· 1•
l (k\
Fig.P. 3_.10 .1.
.. 147 -
Band d fr ov nt ocup tă de emn B • 2•4• f 8 f o o·
ste:
Problema P.3.ll.
Se d~ semnalul ~odulat în frecvenţ~:
xMF(t) = Aocos[.Oot + ~lsinWlt + ~2s1nW2t] '
cu ~l<<l şi ~2« 1, iar wl < w2.
Se cere sâ·se determine:
a) frecvenţa instantanee şi devia~ia maximă de frecvent!l.; b) semnalul modulator;
c) spectrul de amplitudini al semnalului.
Rezolvare aJ ~·aza instantanee a semnalului este:
0(t) = .0.0
t + ~ 1sinW1 t + ~ 2sinW2t, iar frecvenţa sa instantanee este:
.O(t) = d0~:) =0.0
+ w1 ~1cosW1t + w2 ~ 2cosw2t =
=.00
+Aw1cosw1 t +Llw2cosw2t.
Făcînd nota ţi a: W A =W2 -W1
, expresia frecvenţei instanttlnee devine:
il(t) = !1.0
+tlW(t)cos[w1
t +<p(t)] , unde
~W(t) 1fJ&w1 )2 +(~w2 )2 + ~c..l;t.,C.'-'2• cosWĂ t şi (l) (t) aw2 sinW~t T = arctg -t;,.w1+JlW 2coswAt
Devia tia .. maximă de frecventA rezultA:
Awm =~W(t) l t 1 ./:lw1 +41w2 ax f cosW • b) p t '4 are t• yedete
dePend eu ru determinarea aenalul ~ .. enţa freovente1 iutat._ • .:.la~.~ .. •
tea\\l \!ata A< t
Deci:
- 148 -
w1~1 w2 ~2 x(t) • R:: cosw1 t + 1r cosw t •
~1'lF ·11LF 2
e uu lcos~lt + um2cos~2t.
c) Semnalul ~F(t) poate fi exprimat prin relatiaa
lf.:F{t) -~{\w<t>)..j7~~oej.Oot + ~lsinWlt+~2s1nw2t}
Avind în vedere c~:
ej ~sinWt "' f:, JK( ~).ejKWt, K=-00
00 00
~F(t) = Ao L L JK( ~l).Jn( ~2).cos(.Oo + KWl+nW2lt K..-e&n=-oo
Deoarece ~l << 1 şi ~ 2 << 1, rezultă c~:
Jo( ~1,2) "'1; J1 (~ 1,2> = ~~~2 şi JK( 1}1,2) ""O,(lf)K >2,
In aceste condiţii expresia lui x (t) este• HF · ~lA ~ A ~(t) .. Aocos.Qot + 2 o cos(.(lo +Wl)t + ~ o cos~tW2)1·
~lAo ~2Ao - 2 cos(Q0
-W1)t - 2 cos(.Q
0-W2)t,
relaţie în care s-au neglijat componentele avind ampli tudinile proporţionale cu produsul n .n
!l"'l 1·2·
Spectrul de amplitudini este prezentat in fig.P.,.ll·1•
1
\
o 1
- 149 -
PzAo 2
p p ~ o o o
1 1
& & .... -Fig.P.3.11.1.
Problema P.3.12
~ o • e
N
Se consider~ semnalul MA-MF cu urm~toarea expresie:
xM(t) • A0
(1 + mcosW0
t)cos<.n.0
t + ~sinw0t) Se cere s~ se determine: a) spectrul de amplitudini al semnalului; b) relaţia ce trebuie să existe intre m şi ~ p9ntru ca u
plitudinea corespunzătoare frecvenţei n - KW (K fixat) al fie DU-o o u.
Rezolvare:
a) ~(t) = A0cos(~t + ~sinW0t] +~o cos(<!l0 +W0 )t +
+ ~sinw0t] +~o cos(CQ0
-W0 )t + sioW0 t] •
Avind in vedere relaţia:
~(t) • A cos(n t + AsinW t) • A ~ J.,( ~) coa[<oo-t~uo>t] o o ,_. o ol...-1 a
l--00 reau]. tl:
00 ~(t) • A "" [ a J (A)
o (..., -r 1-1 .. K-qo
Couaidertnd
Jo( ~)
u:
n um nd componentel de ac
!lo : Ao
- 15o -
a 1 frecvent~ se obtin
A n
0 .:tW0 : ~ (m + ~)
il + KLJ0
: neglljabile. o-
111Pl1 twh.-qllt
Spectrul de amplj tudini este prezentat în fig.P.3.12•1•
..
Fig.P.3.12.lc
b) Condiţia impus~ revine la:
+J-K-l(~)+J_K(~)+ ~ J-K-l(~)·O,
(-l)KJK( ~) [ 1 - ~] • O,
K O, sau (1 - m~ ) • O
In ~atul in care JK( ~) • O condiţia este îndepl1nitl i~~ t ae relatia dintr m şi ~ •
p 1 l t
1
.Ln c zul in care (1 - mK/ ~ J • O, rezull condiţia III< • ~· I.JA. ~«1, pentru K:>2,J~(K) "'O, deci cond ţia eate to4r l! 1feren ~ a r J ~1 dintre ~ 1 m, 1 r p n tru K ~ 1,
ste indepliniil d ol mK ~.
rrobl.ma.fc3,l3.
Un mnal purtltor A oo ~ t te modul t de un ••~ o o n ao1d J( t) • x_cot W
0 t, ob\in ndu-•• tmn ula
~(t) • 10ooa[.n
0t A oo1CW
0t - )
..
- 151-
tabileascA tipul modulaţiei semnalului L.(t) Si se s 11 • prect-
trii ~orespunzâtori. SA se determine spectrul ~ se parame \J.e ...
sinau- 1 semnalului ~( t) • plitudini a
Re zo 11'JJr8 • ..... Expresia semnalului cu modulatie armonici de frecven\l QKr)
t
eate: ly.tf(t) • A0cos[!l0 t + Km- i x{ ~ )d\]. 10cos~t +
Xm· ~ ] +- sinWt , w o o
iar expresia semnalului cu modula ţie armonici de fa.zl eate 1
JMp(t) • .A0coe(~t + ~(t) + <p J· • A
0cos(!\t + ~.coaW0t + <p
0]
Semnalul ~(t) poate fi scris sub forma1
~(t) ·10ooa[n
0t + Acos Qco~W0t + Ae1n Q a:lDW
0t]
t
Termenul Xcoa Qcos W 0 t core apunde aodula \iei de fui cu de
viata de fui fl0 • A cos 9, iar termenul A ain 9 ain w t aoreeo •• •odulaţ1e1 de frecvenţA cu indicile de moclula\ie ~. AI1D &.
Rezultl oi 1t(t) eate o oscilaţie MP-MP.
~tt(t) • 10coa[!'\,t + Acoa(w0t - 9)] •
• loooe[Oot + Aain(wot - g + -f)] 00
• 1o J1< X>ooe [<a - IW ) • ...... L.-oo o o
Ptoti'U). 4t lapl:t \u41DS 11 1
- 152 -.
-- __ b ., n !l ::, o o c5 c:5 o --- .... r • •
N F. 6 + P.cS O N
o J
Fig.P.3.13.1.
Problema P.3.14
Să se impliment~ze schema bloc a unui sis tem analogic oare sâ
realizeze modulaţia de frecvent~ cu ~ mic.
Rezolvare Expresia semnalului (MF) es\e:
XHF(t) = Aocos[not + ~F 1 xOpasJ ..
= A0
cos n0t.cos (~:. fx(~)d;)
- A0sin.0 0t•sin(~F (t ~(~) d~} · )o t
Deoarece ~este mic, rezult~ c~ t
~~F j x(~ )d~j o
cos[~~ x(~ )d~] 2! l şi 6(t ). t
sin[~F ) x( ~ )d't;] :oc KM:r' x( ţ )d'S 'O o
Rezul t~: . t
'1-l.F(t) A0cos !l
0t - [KMr'} x(~ )d ]A0 in.Cl0 t
o Schema bloc cor punz t pr z nt t n fi
~F·Xl t}
s~ d2;
Fi .P.;.l4 .•
este mic,
- 153 -
Daci ~ ,.;;; 0,2 aproximaţiile sint fAcuta cu erori muime sub
Problema P.3.12 . .
· al cosinusoidal modulat in faz~ cu o oscilaţie de frecUn semn
~ între 30 Hz şi 15 KRz, are deviaţia maximA de fazl Am... ţl cuprins ~
,en 1
Sl se determine deviaţia maximA de frecvenţA, daci aea-1 radian • - ivit ca modulat in frecvenţA?
nalul este pr
Rezolvare. ~presia semnalului modulat in fazA este:
'MP(t) • A0cos~0t + 00 +~«pcoa W 0 t)
Pulsaţia instantanee este datA de relaţia:
.Q(t) • d~it> . • n0
- W0 ~cp sin W0·t = ..0
0+W0 .4,coa(w
0t+cpJ
Dacl se considerA semnalul ca fiind modulat in frecYen\1, a-
tunci: !l.(t) • !l
0 + ~.!1.coa(W 0t + cp
0)
Comparind cele douA frecvente instantanee, rezultl
~!l-w 0 6!f Devia\ ia maximA de frecven\l este:
â~ w 4, 6rM ------ • 0
• 47,12 o.. 27 27
Probleaa P.3.16.
"Se consider! un semnal oosinuaoidal ou 110dulaţie dt fasl, cu
'1
\l Acp. '1. Semnalul modul tor eate periodic de perioadl T 11 ••• Prt
&entat ln f1g.P.3 16.1.
x(t)
_,,,.
- ·154 -
Se cere sA se calculeze spectrul semnalului mod · . lUat,
Rezolvare Semnalul cu modulatie de fază are expresia:
~IP(t) = A0 cos (.!\ t + Â<p .x(t) + l/l0).
Avînd în vedere forwh semnalului x(t), se poate 8 Crie: A
0cos (!10 t + (ll0 ), pentru t E (nT + ~ , nT + -f.l
-A0
cos ( !10
t + 00 ), pentru t e: (nT - ~ , nT + +), sau: x~1P(t) = A
0x1 (t)cosl0.0 t + 00 ), unde x1 (t} este prezentat in
fig.P.3.16 . 2.
t+1
-T/1. •T/4 - t
-1
Fig.P.3.16.2
Fuu~ţia x1 ( t) s.e poate descompune în serie Fourier sub f
00 Zi x1(t) = +x
0 +L Xn cos(nW
0t +<p
0), unde W0 •,-
n=l
lJeci: [ }( 00 ] e ) xMP(t) = Ao Ţ + L Xn cos(nWot + <fn~. cos(!).ot + o
Rezultă: n=l . 00
~p(t) = + A0X
0 cos(.Qt + 0
0) + L + A0~ cos[C!le
n•l 00 )t ,.(, .,
+ (0o + lfln>] + L + AoXn cos [<no - nWo o n•l
expresie ce d~ componenta spectral~ a semnalului xMP(t).
- 155 -
Problema P.3.17,
1 din Fig.P.3.17.1. x sistemu Se se~
z (t)
o ... t T
,.
Fi p 3.17 .1. g. • t un semnal de band~ limitată,
are x( t) es e rnc t lâ reprezentatâ in fig.P.3.17.2,
Fig.P.17.2.
avind funcţia de deniar p(t) este un pur-
itate spec ra 8 lsuri ou ~a: 25 u s şi T = 100 }1 s • tAtor in impu . ,-~
·se cere: a) sA se determine funcţia de densitate spectrală a· semnalu-
lui y(t), prec~zindu-se oare este valoarea maximă W M pentru care semnalul x(t) poate fi extras din semnalul modulat;
. b) al se dete.rm.ine Wt şi A pentru ca semnalul z(t) să aib~
aceeaşi funcţie de densitate spectrală ca şi x(t). . . .
Rezolvare .
~imilul y(t) fiind rt!zul ta.tul unei modulaţii in amplitudine a impul-
aurilor naturali, funcţia sa de densitate spectrală este ' dat~ de rela\ia:
Y(w) • t . ~ mo" T L sine 2 X(W- K~), unde ~ "' .1.1-
K• ·oo
Bepruentalea acestei funcţii eate dati in f1g.P.}.l7.3• y(~) . .
-t-e~~
•
- 156 -. Pentru ca functiile I(W- KQo) si nu ae supra,_._,...,:~
cesar si se indeplineascA relaţias .!lo- WM ~ WM sau .Qo ~ 2WM
rezultînd el:
WM ..,; ~deciWM <:
.
21.104 • 5'T.io3 r~,
) Filtrul trece jos trebuie sA aibA A • 4 11 ~ ·~ c 3 d/ ~
respectiv tJt s 5~.10 ra s.
Problema P.3.18 . •
Fie un sistem pentru modulare şi demodulare in amplitutat utilizind 0 purtAtoare cosinusoidal~ ca in fig.P.3.18.lt
x(t) y( t)
Fig.P.3.18.1
Se cere: a) pentru cazul (cel mai) arbitrar al fazei 10 , 11 •• arat.
el •emnalul v( t) in aistemul demodulator ee poate aorit IUb 101'111
v(t) • -t- x(t) + ~ x(t)ooe(2!10 t + f 0 )•
b) dacl x(t) eate de apeotru limitat (I(W) • O (V.)Ic.-ll al •• deten1ne relatiile de leglturl dintre Wt ( Sreo•nP 41 1tre a PTJ ideal) -"lg (frecnnţa purtatoare) ti W M' utftl 1et1rea PTJ 11 fie propor\1onall ou x(t).
liezol -.are
a) Semnalul w(t) ar exprtaiaa v(t) • J(t)ooa(Cl
0t + t 0 },
unele J(t) • (t)oo•(!l0t + 10 ) 4eo
v(t) • x(t)oo•2<o0
t. + t~0 ) • + x(U + ( ) _..,... ..
-157-
b) Funcţia de denai tate spectrall a ae11balulut ~.,... ...
lui este: ~4 filtru 1 < ~~ +
W(W) .. + X(W) + 4 X W- 20.o).e o + l(W+ ~)e 1fo
vacA s(t) are o funcţie de densitate apeotral.l X(W) fig p 3.1s.2.a, atunci reprezentarea func+i 1 ut
lei din • • ' e .,w) ce
1 1 din fig.P.3.18.2.b. punde ce e
)((Ul}
a)
Hl<.Jl X(r.L))~
1 1 1 1
-20.0 • r.DM ·IOt-<D M C<1Uit 2De--.. 1Do 2Ao.
b) -
Fig.P.3.18.2.
Condiţia est ca frecv nta de tliere filtrului 1 rela\1at
10
WM < Wt < 2fio - W M
Pr.9bl••1 r.,,u
~ 1
1 1 1
p(t) 1
-- ~58 -
a)
1
-o
1
1
b) c)
Fig.P.3.19.1.
Se cere: a) s~ se determine şi sA. se dimens"ioneze părţile reale şi i·
maginare pentru Z(LJ), .p(LJ) Qi Y(LJ);
b) a§ e determine şi s! se dimeneioneze filtrul H(W) aet· f 1 incît ţ{t) x(t).
Rezolvare a) Z(W) ${x(t) . co -'\,t} • +(XCW-.0
0) + X(W+.O.ol]
Partea r al~ ei imaginar~ a c t 1 funcţii e te prezentati in fig.P.3.i9.2. 1m{Zlf.O)J
- 159 -
00
P<w> • 27 L Se ~<w- K.Q) K= -oo 0
unde ).'1'!2 -KO t
. -1- · p(t) e 0 dt = j ~ sinc.2 K7 ·. 2 Cr\ c: '!" t:. 2 = J - -.;T/2 '"' . (2n+l)T 00 OOJ-wn )
P(W) = 3·~ L .o 2n + l n= .. oo
Şe observ! c!i.Jt ~Cw>} = o.-': ~(m1 eate prezentat 1n fig.
P.3.19.3·
...
-4/5 4/3
Fig.P.3.19.3.
I(W) = l Z(W)®P(W) 27
+ )f(W+ m!lo)) •
Bezul tl oAt
~{Y(w>}.- 1 f:; 1 {J: (x<w- mn0
> +~[x<w+lllfl >]} e1 -oo 2m+ 1
~ {Y(w>} -:} ţ oo2~ 1 [~{xcw- 00~.~~<w+ m001]
Cel dou funcţii e nt prezentate ln f1gl5.19t.4 a.b.
J.(YCw~
- +6o ..
o) Filtrul tre uie s~ fie de tipul trece-jos, ·avînd
ri tioa d frecventli. din figl5.19 5, 1ar frecvenţa sa de t~: caracte. lere t
buie 8~ satisfacă relaţia: re .. WM~ Wt ~ !lo - WM
H{oo) 1T
-~ o
-Fig.~.3.19.5.
ProBl~ma P.~.20.
1
--(&)
Se d sistemul din figt;. 20.1. la care x ( t) este un semnal
d ba.nd§. limitatA (X(W) 0( Jf IWJ>W M).
v(t} tH(tAl) o A- O. t--_,..y{1) o Cot)
Fig.P.3.20.1. Se cere l se det rmin para.me.trii fil trului trece-bandl (A,
i W ), astfel înoit semnalul y(t) a! fie: y(t) x(t)cos!lot. n
ap cific car sint oondi ţiile necesare p ntru .!l0 şi wM.
Rezolvar Semnalul (t) est dat d r latia;
2 2 w( tl • x (t) + 2 (t)oo ""'t + cos !l0t
lt o A -~entru a put a trag mnalul x(t).co !l0 t r zu u 1
l/2. In oondi\lile in car funo.1 d d it t ctr y(w)
t a. orm c 1 i pr ntat in fic;P. 20.2. , ro 1 t 1 t~ n fi;E3.20.2b.P n u. limit 1 n i 0 r
1 p
- 161 -
Y( w)
1
b}
Fig.P.3.20.2.
S lul x2(t) ocupă aceeaşi bandă ca şi x(t), adică emna 2 W ]. semnalul cos !l0 t are transformata Fourier: (-WM' M
:f{co/00t}:: ~ [j~ +7~(w)] + 1 [&<w-20
0) +
. . + '&<w+ 2!10)].
Pentru ca spectrele celor două semnale parazite să nu intre
in banda FTB este necesar să se îndeplinească inegali ta ţil~:
WM < Wt
2D. >w o n
Probleu:a P.3.2l.
Se dă sistemul din fig.P.3.21.1.
tHre {w) o-- u 1--z_u_, .-..(
- - 1 1 •W -sno-~ o 3no s.no
Fig.P.3.2l.l 1ntrar lui se 1 ap ică semnalul x(t) cu funcţia Sfectral
nt t în fi • '1. 2. - s~ se determlne form fu ctl i c-mn ului y ( t).
11 it functia X(~). astfel tnc!t un \1& 4e d n n ului z(t) va avea fora&
ula~i e1 d • Produe re1ul\l
- .162 -
X(W) 2h.o)
11!--.... 112 --- ...
-7~ -s.oo
Fig.P.3.21.2 Fig.P.3.21 .. 3 .
spectralll. Qatll. in fig.P.3.2l.4. FTJ va selecta din acest spectru f~~~~t-ţia de densitate spectrală corespunzătoare lui y( t) (desenati ha;u.
rat in fig.P.3.21.4). ·
W(oo)
1/4 - ------
-aa.o -6Co -31lQ-2.00 o 2llo 30o 60.0 8~
Fig.P.3.21.4.
•
- 163 -
CAPITOLUL 4
Semnale . de bandă limitată şi semnale ~ bandă largi
Breviar teoretic
e Un semnal ideal de loasl frec,entl are funcţia densitate
sJ)eoirall reali ti 11•1 tatl 1D frecYen\1 ca 1n flpra 1.
X(W}
X o o W<-WM
X(W)• X o -w,.,~w ~ wM
- o W>WM -WH o +W,_, w
Modelul •ateaatio al l/JkJlu1u1 oa apectral (de aaplt\adlDt) iil fipra 1 eate&
IW x(\) • 0 " ·•inc w ~ 7 •
iar representarea p-af1ol • lui z( t) ••t• aatl la ftpn 2. naar-otlda·•• ol ••n•lal ou apeotrul 11•1 t1\ are o tarl•ll• ooatlad, OI
' 1••flt•rar• taflat \1 la tlap. . •
•
- 164 -
• Qu ltaDal ideal de joael frtOf8Dtl OD aodaltl 4tDI1 tatt eptotrall oonetant Intr-o bandl 11•1 tati 4e f f .. G\ttt
re,,,,,, fasl 11Diarl in aceaatl bancll, oaraoterisat tn fipra 3• tt
b(W) IXfjWJI
...... ..... ..... ..... ..... .... ...... ..... ..... .....
XyWJ•IXfjWJI·e·JWto
w -w 'M
are expreeia:!n doaenial tiapa
· 1 WJ! x( t) • ;. sine '1( t - t
0),
a cArei reprecentare este dati 1n figura 4.
e Un aetmal ideal •de bandA" al cl.rui spectru ~cupl o bandl
fln1tl In jurul unei freoYenţe LJ0
ca 1n figura 5:
2
eate oaraoterlcat ln aoaen1ol ttap 4• rele\11& 210~w x(t) • 'i [atac.(~w·t>]· oo1W0\
11 eate repreaentat 1a f1,ara 6.
w
coeentariil -
- 165 -
2Xo~c..J X t 'if " , ~smc(LltJ·f)
11
' cos GJ0 t
/
" -/
' r -l-I ~(.J
Fig.6
eUnoi spectru limitat in frecvenţA 11 corespunde o ,8rtaţ1e ~a 8 semnalului tn tiap.
Delit1 ta" • Funcţia densitate . speotrall 1( jW) a unui ee1lDal real
t O mAri•• complexă. Modulul şi arguaentul funcţiei clena1\a-1(t) es e
t .lA sint definite şi pentru freoYenţe posit1ve t11legat1te. te spec r ·
ese nuaeete semnal analitic atqat aeealului real x(t) ou
fanoţia densitate speotrall 1( W), funcţia coaplexl de \lap:
('00
jWt
tara
OI
•x<t> • t _,xcw>e aw •o
Besaltl oll
x( t) ·9h{•x< t)} • tL•x< t) + s: ( t>]
&z(t) • z(t) + j i(t)
i(t) .5'm{•z(t)}
Z (LJ)·a •eaaalulat s
lllll1t1a
fw>O
- ·166-
!l!!~:,s..~::.:::-...:.1-.ne-.t_a_p:""'t ... n ..... e,... • 11D~ 1 elllla 1 ana li t to
'fx(t). ar {c~(t)} • arotg !{~~
1 tlcti freoYent! lnst n\ane!. a unui .sellllal analttto
w <t> • Ay <t> • ft~ rotg !~~] · x·r -.fi % a.~ & X + z
es DDm se transfor ate Bilbert directA Qi inYeral l re 1\h·
1 tntegrale de legi tur intre componentele x( t) 01 i( t} , 1, '""
lulul litic x(t), definite det . +00 ,
i<t> Wl{x<t>} R .Ju: ~ ~~\> a0 '-oo
-1 ,-+00
x(t) ~j{-l~(t)} -J.:} ii~L db -oo
e Transfoi"a.atele Bilbert au urmAto rele propr1etlţia
- ran formar Bilbert este liniar~. De exemplat
:Ttt ~.;1(t) + bs:2<t>}= ta1t\x1(t>} +b~{s.2<t>) -Tren for at Rilb rt i(t) unui emnal x(t) este 0
b • DacA x( t) este o oonetac· ncţi i par , in f r punct lui
• tuno1
Jl{.oon t.} • ~\ 0\~l db • O , - Energ1 u at re · mn 1 lor
t i( ) ni 1 , dic 00 ,+00
J x2< t) t =2< t) t -oo -oo
- P r c il u c\11 tr lnt rt ------1
r n format• Bil'ber\ s{l
t , t s( t) 1 1
- 167 -
_ fransforeat Bilbert a produsnlut a aoul f ( )
UD0\1.1 I( t) i 1r0r spectre I W şi P(w ) nu se suprapun 1 '
( t) ale c 1 •• anca a P f eovenţelor, are proprietatea: e scara r , }
pe jl (:r< t)• p( t) • :a:< t) • j( i)
co11en tarii -_UD semnal real şi cauzal x(t).u(t) are funo~i d '
4 ~ a enai\a-
tralA l(jW) • l(W) + j A:(W, adiel plr\1le reali a" 1 m
te 8pec ~L •ar, 4 -
l funcţiei densitate spectralA sint perechi tran f cari a e a onate
Rilbtrt. _Unei fuDoţii densitate epeotrall oaozall definiti de
Z(W) • l( w). u( w) , 11 corespunde 1n doaentul iiap un eeanal ooa _
plex: CD{ } cr{ } 11
( t) • Jle el:( t) + j cJrn s~( t) • x( t) + l i< t)
pentru care pArtile reale z( t) şi i'maginarll. i( t) atnt Ptrechi
\ransforaate lilbert.
e §eprezentarea semnalelor modulate utilizind conceptul de
aewmal ana li tio
Fie axpreaia generalA unui. se.nal aodulat&
~( t) • A( t) ·cos(p.0
t + <f( t)]
care poate fi xpri ati ub fo a:
;Ct> •Oie{t< t)· •j <f' ( t) • jUot} ~ ... ( t) 4• ( t) te IUl lol 11 ic ou nY lop co plu 11< t)•.l( ) ~'f\,
&\attt 1 al lai odul t ( ) • Re1ul 1
< ) • i.,Jn.
pl t •• ·I:L , 1D oare aeaalal ao4ala er ••\•
1 ••t •• t, ,, poatt • pr prta rele\taa
( ) • 1
- 168-
e Se~alul CRIRP eate un semnal aodulat 1 a •Plltt~•·frecYenţl. Bepre&entarea sa 1n domeniul t1ap eate clatl la ~ 1 eate oaraoteri&at de aoclelul aate11at1c.
1iar.11 U
0ooa(n0 t + ~)-lt2) ltl
y( \) • ( ~V /2 o l t l > ~'112
t -~ /21
V 1
ranoţia aensi tate spectrall 8 semnalului CllliP ••te V(jW) • \V(jw)l exp{j ~ <w>}
unde: funcţie aodnl densitate spectralA este:
lvow>l· ~o{Jf: [ccx1> + ccx2>] 2 +[scx1> + s<t2>]2
cu: ( 'Tf '5.2
C( x) • ), cos 2 d ~ o
( 'il"'!;'"" S( x) • ), ~n T a~
o iart
~p.bv+ <w-q,> ~- t
1{1i~ funcţia de f el ( )
2.
•nalulul CBliP rt 40 1
te ln caa4ratarla ( -!1 )2
q>l(W) • - 2~
P atru •••n•l•l BP le lo ti reap o 1' B • oo ID ftcur• ata •o4ul t'l fali o UDd\oar• fuo\111
- 169 -4
IVI <1>,
IB•10]
w
"-~ .!lo ~~ :uo 2 2
_ Functia de autocorelatie a aeanalalui CBI!P eate itfiattl
Qraftoal funoţ1e1 a. autooorela\11 ··~·"
Jto(b) • R CBIBP('6) 1 ,R CBIBP (0) eate '•' la flcan 9.
. Rc(6} ,
1(
- l7o -
Seanelul b(t), oare conduce le taprt1ttere aalulut tnforaaţtonal trebuie al fte deteraiatat
11
8 'P••~l•ta~ • tor dt ,..,
teb.Dio 11 eate ele dorit •1 fie period 1o. Ia vartaau. "'t ~'~•ltltt u lllrl
fel ele anaal peaacloalaator ( abrntat 1D oODt.tnuare 01
Pl : .. "t. l.englezl •paea4oDota4? poate fi represantat 08 0 •aal dia ( periodicl de faaoţii ele•entare f( t): 11lfbatta
+00
•<t> • L .. ·fCt - Dtl) nc-00
oa • • a 1 Il 11+
O per1ea41 a aoe1tet frmoţti de autooorela\1e eate repr111 ..
t•tl la f1pra loz
1 -------- --------------~~ ......
-t, tiN
Fig.lO • le eznpla, tzpreata ltllllalalat ca apeotru ctlatrt\att 01
••••••\1 •tre•tl eatet
l><t> • ACt) -~t) ooa w.t
1 • 12,
o _,
- 1n-A(t)
f·
In figura 13 etnt prezentate •peotrele 4e freoYeD\1 alt ••ulalat oa 1peatn 4t•tr1ba1 t peatn 4oal a•sari 41•t1Detea
f (f)
-172 -
d un a mnal (t) a o~ui funcţ~e de densitate
nt t 1n f1g.4.1.1.
Fig.P.4.1.1.
IX(jWJI
1
O· w
Stiind 0~ l.:l, • 2'1 • lo3 rad/s şi t 0• 1 s ee cere
e determ1ne forma de varia tie in timp a semnalului ai sl 88 .
presinte gr f1o.
RezolTare .
eate
re·
(Wo -jwt0
·
x(t) -~1 ~(jw)}• -k J. · J:e •
"'Wt e ~ aw •
. -Wo
• . De ai. z:( t ), • ·
. t c\atl J.D Bepreaentar a graficl a a..ualulu1 •• •
P.4.1.2.
- 173 -
x(t)
/ . ' /
........ -- --
Fig.P.4.1.2
Problema P,4.2.
Sl se arate o~ dac~ x(t) este un semnal de bandl limitat!!., adie~ X(W) O, dacl:l. lwl > Wt, atunci x( t) ~ ~i;.~t . .. x ( t)
pentru a > wt •
Rezolvare
Conform propriet~ţilor transformate! Fourier avem:
Fie semnalul h(t) reprezentat in f1g.P.4.2.1., a tranafonnatA Fouri r te
• ~JnJ!tJ · 7w
ob'u1
88U
Con o t or . 1
.... 174 -
• •
7{H<t>} 27 h(-W) 1
~>-{! , Jwl < a , in rest
Betultl el daol a> tJt are loo relaţia:
x( t) ® sin.;: • x( t) ·
Problema P 4,3.
S! se determine semnalul x( t) a c§.rui funcţie de densita
te X(LJ) este prezentat in figP~.3.1.
jxw . . . X. ... o
1 1
' 1 1 1 J 1 f 1 ' -w0 -Lsw -c.Jo -GJo+4:1w o GJo-.OGJ. GJO Wo+.1GJ w
Fig.P.4.3.1.
4 d/ ai ~w- 27 • 5 rad/s incareX=l,W =27 .lo ras". o o
inverse:.
Rezolvare t 1 rourief Semnalul x{t) se obţine ou ajutorul transforma e
cr-1 { } 1 J+oo jWt dW x(t) •v I (W) • 27 l(W) • e
-~ t
J.W0+1J.W 2· X /).W . <A~)ooM
X0 o s1DC . x(t)• li cosWt•dt• 'T w0 -6w
- 175 -
Deoi:
x(t) • 2o sine (lo TIt) • cos 27 • lo4 • t
S ·--,ul este prezentat 1n f1gl4.3~2. em~ ~ '.
x(t)
20 ,. ...... sine 107f
1 cos 2T·to't
1
Fig.P.4.3.2. ~ .
Problema P .4.4. ·
Se dl un semnal x( t) de bandl limi tati: X(w) • O, daci
!wl>wt • Semnalul se aplic!l. la intrarea unui sistem cu funcţia de transfer H{W), la ieşirea cArui a se obţine semnalul g(t). Si se
arate cA semnalul x( t) poate fi exprimat in funcţie de eşantioanele g( nT) ale semnalului de ieşire sub forma:
+00
x(t) • L g( ·nT) y{t - nT), n==-oo
unde J( t) & 1 (wt e j w·t 2 w t ) IHwJ • dw •
-Wt !ezolvare: - . Dezvoltînd funcţia ej wt
( Il tn serie Fourier, pe 1ntenalul • w t•WJ • rezultA: (W)
jWt .. jD
1 tw J •
- 176-
Pr1 urma:r :
j wt +oo • B(W) L y(t - nT) 8 lnwT
•-oo
Conform definiţiei transformate1 FoUrier 1nve , rse şi t d r oii s mnalul x( t ) es t e de bandli limitaU, rezultl!.: av lld 1n
+00
• L y ( t - nT) n •-oo
Deoarece G(W) • X(w) • H (w) Şi X(W) este. de bandA
l imi t atri, rezultA el şi G(W) este de bandli limitat~ ( G(W) • O,
t'tl 'wl > Wt).
deci:
Bezult~ el:
1 ~(t) • 2 T
(Wt ) G(w) ejWtdW gi .
-wt
Jwt; G(W) ejW nT dW ,
-wt
+00 x(t) • L y(t - nT)· g(nT)
n• -oo
Problema P.4.5. -
- 177 -
. . In !igP.4.5.1. este prezentat an sistem de modula\ie
1 banda laterall superioar§( B.la.S.)
.. ,.e ret ne . 0Cio" .
" cos.n.0t
Yt {t)
t(f) . y(t)
y2(t)
sinnot
Fig.P.4.5.1.
BUJ,
.. Considerind semnalul x(t) de bandl 11m1tatl (figP4.5.2)se
cere sA se calculeze funcţiile de densitate spectrall y (W)
Y2(w) şi Y(w) şi el se demonstreze cil numai BLS este !.ttnutli. '
. Pig.P .4. 5.2. .
!taol,.m u.:
- .178 -
Y2Cw) • * (ICW) • BCw>) ®
8(-j 'i) [~<w-D.0) - ~(W+.00>] • -~ [l'(w-n.,> ..
- I'(W+!l0~ •-+ [l~(W-.00) + l~ (W+ Q0)),
y (LJ) • Yl(LJ) + y2~LJ),
Reprezentarea grafici a funcţiilor l'(w) , I~(W), l~ (W), Y1(w), Y2(W) t1 Y{W) este dati 1n f1g.P.4.5.3.
-w M
o
o
-1
r, (w)
7/2
112
Y(CJ)
1
~ 1
- 179-
S. obaervl cA sistemul transmite doar banda late 11 ~ ra eupe-rtosrl· ~oblga P.4.6.
• In f1gf4.6.1. sint prezentate doul Mtode a. •••rare •
_..,., tu-BLU. Pentru s1steaul din f1gE4.6.l.a .. re••ae B L 1 aaut ••~ .... • •• ,
lat pea tru cel din f1gP4.6.1. b. •• re\1ae B.L.s. •
x(fJ
~(t)
l1g~.6.1.
~aupunind oi x(t) eate de bandl 11a1tatl, aYla4 faaa\la a. 4tnaitatt epeotrall preaentatl tn ftBP4.6.2.,
•• ' 2.
1
·- .18o -
b) s s arat eri dao!l. Wt •.Q la ie§ir d modulat' rezultA semnalul mod11lator.
0 ea Bche11elor
41
s)
b)
Rezolvar :
a) S(W) • + ( I(W-.Q0 ) + l(W+ q,>) • lf.o.<WJ
S(W) este ~n semnal MA - BLI (f1gt:4.6.3, a),
R(w) 2 [x<w-.Qo) + X(W+.Qo)] • Brs<w),
R(LJ) este un semnal MA-BLS ( figP.4.6.3.b.)
-.Q. o
FigP4.6.3.
R(G.J)
112
o
b) s1<w> S(w)®"i(~<~Da>+ ~(w+n0>]·
. ! [x<w--'\>+ x<w+fi0 )] • H(w ~la w .n.0
+
+ + [X<w- n 0 > + .X<w+n0 >] • B<w> 1 !la w--..Clo
Funoţi ste prezentat! in f1gF4.6.4. •
- 181 -
o
-Ao
11g.P.4.6.·4.
a)
b)
1 1 1
' '
fi nA 6 4 b. este prezentat! funcţia spectrall a semnalului 1ar in g ... .,. • • dupA filtru, respectiv X(W).
1 4 H(w)l. +
· · la w-n o
+ ! [x<w-.Q0 ) + X(w+n0 >]. H<w>]la .~ W• -.0
0 . . Funcţia este prezentatl 1n f1g.P.4.6.5.a,
~tWI
r--------- -----·---<'{l,J) 1 V' 1 1 1 1 1 ' 1
1
X(WI a) ~
1
. ' •
f1 ~.6 5 ""' t ltgf4. 6. 5. • • •• 1114. Prtaeutat reslll. tat\ll fil tr1r11.
·.
o
r t >, t i t,
M tl z 1 pn 1 U 0• 1 V,
o
u ~ · (t) III
J • o , n re t
1 r Z (w) • 2 X(W) , ~ W o
o ' "" w o - f(y.J..I..I) ~ (t~.
f j ~ ~.b ~t • 1
-o n ut V o<
xcw>
Inlocuind obţinem:
x1
.(W-9o)
12 • (llo - W) • renp cti v
(W-100)2 ii
2 ~ 2 ,3 ~ x dx •
r -j { l(J!.J) • + e 2 [ccw- 9o) + CUlo - wij
t J [3(w~ 9o) + S( lo -wij} , re aţi 1n o re .x
C(X) •1 ooa ·1 x2 d 1 S(X) ·1 X 1n ..f 2u in tor<rul o] l Fr a · esncl, · r W r pr zint coordonat · 6 ourent a pule t 1 e prim ti !D lo rad/1.
'
+
reprezinti
,
- 184 -.
ul d F.F.I. al unui radio+ocator preetntl 0
p bunft. tn dom niul 9995 t looo5 M.Hz. S~ se determine Pro ..
rii 1 pulsului CHmP oe poate fi emis in mod optia de cllt Parame. re ra
diolooator, daoA durata impulsului este 6 • lo ~ 8 • ..
Re~olvare
Pentru trans~isia optim~ şi utilizarea eficienti a t ra· ului de F.F.I. este necesar ca. banda efeotivl a semnalului em1a
~ oou toat~ banda traseului de F.F.I. In oazul t1nui . impuls MLF banda semnalului eate egall ou
aţia total~ de frecvenţll pe durata 1mpulsului:
B x(t) fM - f m • BFFI'
fM fo+2r+ fJ+D~
fm -. fo ... 2ţ ( .. 1-> fo - r b
Be1ultl o )
J.goo~ : Po95 • o,5(M Hz 1 p. s).
loop5 ~ 9995 • lo G B& • M . 2
'
- 185 -
PI:oblema P.4.9, -~ emnalul din fig.P.4.9.1.
Se a~ 8
x(t} (,4tb.W W +2f::lW Wo (t) '
o
Uo ..---r -~ " ~
1 r
1 J
--- .-. ... - ..... -1~
-o l ~\ ~\J-~-- ~ l
-Uo 2l (N-1 )71 l 1 1
Fig.P.4.9.1.
Se cere: a) a~ se determine funcţia de densitate spectral~ a sem-
nalului; b) pentru f 2oo MHz ar = 1 MHz ş
reprezinta grafic modulul funcţiei spectrale ~1 d emnalului.
Bezol are
E pres ia analitic A a semnalului este: ~-1
= 5 se cere s~ se
~ ee determine ban-
l(t) • s(t- K 1) cos [Cw0+ wHt -KT1>]
a(t) t o
1 t.
{ T w '1'1
) u e -j ... 2 l 1nc • 3
t tt (t) n lul ..
- 186-
( t) .. ( t- r:T 1) o os · < w 0 + ki\w)( t _ kT >]
w-<wo + illw> -F k'l' 1 W-<w '-A
... 1nc 2 ~ l + ~tJ1 •
+
W + (W o +k&.J) W+(W
~---- a1nc · 2 T1• e 2 .._ T 1
u
" N-1 ( t) xk(t)
'--' K o
d oi:
N-1 UoTl L {sin~ [w-(~0+kl\w) Tl]. (jW) •
2 K o
r W- (W + K6w) -j LWKTl + --"""!!2......-.o ___ _
j(wk'l'l+ W+(~~+k~W Tl]}
TlJ rW+(W +k~W} l =sin o 0 T 2 1 1 •
l
b) Pentru reprezentarea modulului functiei spectrale
-a olosi t programul "SPECTRU", obţinîndu-se graficul din fig.
p. • 9.2. \Xfj2~fJI
- 187 -
Banda semnalului este de
B • 2o4,5 - 199,5 5 MHz. adio~ satisface ~elaţia:
B • N~f 1 în oare Tl .. 1/Â f,
},n 0azu _.i
Problema P,4,lo
se d~ semnalul din figPA.lo.l:
t(O Wo
~s(t) Uo
- ' Tt o
-Uo \j
Fig.P.lo.l.
Se cere:
a) s~ se determine funcţia de densitate spectral~ semnalului;
a
b) pentru f0 2oo MHz, Il f • 1 M Hz şi N • 5 se cere
s! se reprezinta grafic modulul functiei spectr le ei si! se determine banda semnalului.
Rezolvare:
Analitic semn lul (t) se poat scrie ub forma:
und ( t) r 0 ia 1 x 1 o în problewaP.4.9 •
1 x ( t) - ( t r - kT2) ooe L(W 0
+ kt\w)(t-k'1'2ij
(3w> T-~lt<t>} + • ·jkWTz {s[w .. ( ((..),. (wo + i&..l>J} •
(.1 W)
-j
•
+ inc
D
U T o 1 2
W'1'2 +
W +(W0
+
2
(jW)
N-1
- 168 -
• N-1
{sine w-<w
0+ lrL\w)
2 = Tl.
W-(W0 + k8w) J 2 Tl +
kLlw) [ w +(W + kÂw) J} -j kWT + o 2 2 - T
T1e 1
b) Reprezentarea graficli a modulului func+1ei pro " ~ ou ajutorul
amului,Speotru. eate prezentat~ in fig.P.4.lo.2.
• .. Ca şi in oazul problemei anterioare, banda semnalului ea·
B. N~ • 5 M.Hz.
Fi .P.4.lo.2.
- 169 -
CAPITOLUL , S
Semnale aleatoare
sreviar teoretic ~ 1 aleator (sau sioohaatic) - notai cu X , eate
1 On semna - desfAooarl ~n tiap şi este gu•ernat, cel puţin tn
roce• care se dD P legi probabtlistice. arte, de .
P t Modelral aateaat1c al unai semnal aleator poate fi oonaide-
licaţie X :V' -?f astfel ol fiecArui aoaent t1-. tJ' 1 at ortce ap r eia 0 Yariabill aleatoare xk<t1>a 88 poate aso
.. daci 7c tR , semnalul aleator este (definit 1n tiap) oon-
1 ate lua Yalori continue sau discrete; tiDUU ~ pO
... dac! Ţcz, seanalol aleator se aai nuae1te §1 serie (•u
t.tt.) aleatoare, put1nd avea valori oontinue aau discrete • seo,en -~ -Un eemnal aleator eate caracterizat fie prin msaablul
realizlr1lor temporale notate prin x(k; t) sau xk( t), fie pr111 lalorlle aale statietice considerate (de exeaplu) la a011ental t • t 1 pe
anaamblulrealtzArilor, notate prin x(i:; t1> aau xk<;_>.
Probabilitatea ca un semnal aleator 1 al fie aai aia cle
ott o Yaloare {deterministA) x1
este notati oua
P{X<;_} • P{xk(t1) < x1} ti •e~e eohhalentl cu probabllitatea ca la aoaentul t • t
1, ulorl
h •latiaUoe pe anaa11blul real1slrilor procesului aleator xt <t1
) 11 ha 111 al ct 4aolt xl •
. \.~1 •l!anoUa (saa legea) d d1drtbut1e (aau reparU\ie) wt tutu n t t• ,
• 0
• ou l(x; t 1> eate def1attl 4• J(xa i.> • P{xt< tl)< z}
•
- l o -
~~~~~~~~~~~~~~~~~ :.\l.ttatu
01 nloril• 1t U. U.o ale • ablul'ai re ..
IGla\hr•t• le aoaentel a. ttap tl' t2 • • • • tn al t\1 \ 6eot\ o t~r\e a. nlorl (aeteraint. t ) 1' x2' • • • • la 141·
•••• t) ~ D
• • • 1 xk( \D) < :lD }
r.ttl' 12' .... s.; tp "2'
~ P\~t i,)<.'ll\ 1i:{ \2) <. x2'
t !IDIO 1. de dene\tate de robab\U tate (de ordinul onu 11 ..
\a\l cu ftt\ t1), \It uneori eul "l ( x; t 1> sau p1 { x) eate def1utU
,,,
_ f(t;\)_)· dt! p \ x<ti:( ;_>< x + c1x) • fUJic\ia ae aenai tate de probabilitate de ordinul 1!• nota·
\l 1111 t t ) \ar 1111 \ 1 U ht 'Il • eor cu: vn( ) sau pn( ) etc., este aefi11
• 4
• Dhperaif ( ••a t~rtetl) care eate a011ental oentrat 4e or-_\aul clolJ - -
U !< tl> • l' tl>-•1 (;, >] 2 ·1[~< tl)-al<tl>] 2 .fl(xl; tl)a~ p . -oo
\ltle liD entru 4oui a011tnte 41 ttap cl1ferUe t1 1- t 2, Ua oltaern -
•t ••.a•l aleator •• pot ••ftata
•fapq\il A• go[!lttMi••• aatooerelaţ\e) •.<;,.ta> • ztUl> zt<t,> •f·J~ f2bl •• ,.tl.yala2
-oo -•
h,t .. , Patn faao\b •• aatooorelaţte .. tel• i 1
'-l• l •• cll•tt.a«t •• ..t-. . .., oare leftat\1 •••
1 Iz
10"' -- " ....
{ t t ) • xk( tl) . XJ 1' 2
-toO +00
k(t2) ·J Jxk kf2(xl ,y2;tl.t2)dxld72 -oo -oo
• Fuacţla de oof rlstie (sau oovsrlantl):
x~i., t2> = [x,< tl) - 1 ( \ >) [xk( t2) ... 111 ( t2>] •
~~+~ ~ ·f f(xk< ;,>-al(;_>] [xk( t2)-ml( t2)J. f2(xl ,x2; tl' t2) dxldx2
' ' -oo-oO
e Fuac$1B de covaria$1e mutualt a doul semnale aleatoare 1
VAIDRILE MEDII TEMPORALE sint defini te pe o realizare par·
ttcolară xk( t) a procesului aleator 1 mott v pentru care aceaetl rea·
lizare este notatâ cu x(t).
e Valoarea medie temporalA:
;Ţt} not ~! 11• + ~x(t) at T---co •T
Medierea temporalA. se noteazA uneori prin < x( t) > • Valoarea aedie temporal!!. nu depinde de originea ttapuloi to
§l nici de 11odul de calcul al integralei pe durata T. Astfel:
~ ~ f
x(t0+t) • x(t) = 1111 ~{ x(t +t) dt
T -.acxY). 0
T • Valoarea medie pAtraticA:
~ ~ ~· :J. (t0+t) • x (t) .. 1111 ~ x2(t) dt
T-oo 'T • Valoarea 11edie temporall d.e ordinul !!.Z
~ • -;n(t} • U11 + ~ x0
( t) dt T_..... oo 'T bJer'' 41Jl o
Pentru doul momente de t illp t ti t 2 • tl • 0
' 1 •1•• " 1 1 proo• ţiile pe o (singuri) reali&are (semnif1oat1vl) 8 unu toT ae pot defini:
- 193 -
) ( t. t) ( 811 oralla
R (tl,t2 -X 1+ ·X t.2+t) • ~(t') % ·l(t'+b) •
• 11• j l x( t' ) x<t 1 + ~) el t 1 • R ( b ) 'f--00 fT X
Pentru funcţia de autoooreleţie tempo 11 ra ae foloae,te
t ~18 1 ( b) pentru a o distinge de functia a 1\ ll& a~ 11 - e corelatie tu
In uap defini tA prlnl 11
•U 1 ~· B (tl,t2) • x(tl+t)-y(t2+t) • li•• x(t..+t)·y't+t)4t 1 ( 11 T .... oo-r -l ' 2 • " b )
'T -~
Functia de ooYariatie (sau oovariall\l) tnporall 11te iefi •
titl priDI
Cx(b) • (x(t)- i<T>][x(t '+6)- ~>]
• Semnalele aleatoare stationare eint aeualele ale clror
proprietl\1 statistice sint invariante la sohiabarea ariitrarl a ori
ginii U11pulul de obsernţie. Ia acest oas, peatn ~ -IR 1
fB(xl'x2, • .. xn; tl' t2' • • • 'tn) • fn (:t.l'x2' • •. lxn; t{~ 1 t2+~ , ••• , t/&l
aatfel ola lb e IR:
1art
• • • • • • • • • • •n<tl) • •n<tl+ b)
O"x(tl) • 6x<t,_+'b)
1x(tl,t2) • 1x(b) • •.. ~- ~-~
- 194 -
• • • • • • • • •
01r ot r1& te prinz
-•
f 1 t 1 a
) -- 1)( )
- 195 -
• te 1,2, ••• -am lal re lis rllor
rgod1c obt nut prin fUt 1
d r re ( u t
realizArile x ( \) rn c r J t ' aatfel t•el\:
t t 1 ~ 'f/2 :1 ( t) t
~(t) o t 1\1 > !/2
e Pentru o r lizar particulari 1 •eualulat altaiar
1crial 4e fUDotia xkT e poate defini tranafonata Povten
f +T/2 -j Wt f+oo ~ (jW) •' Xk.,(t) dt • ~ (t) ,-jWt •t
f • ' ~ -T/2 -oo
...
• Pater ed i eanalolui aleator traabla\ (JIIn
· !/2 < t <'l/2) t et 4 rela\111
CR +T/2 +00
6X, • 2 f 2 plt. r. t J [x <t>] dt. ~ [~<t>] u •
-·r12 - 00
J-Jil ~w>l 2 l( (k)
c ~ W • '2:} (W) •
' ...
( ~ >1'
--
(W) di cu
lol t 1 ora Î (jw>lz
Un ori, d D it
o Sx(W) o <f>x< w) 1
l tic .
11 · (k)(W) T---00
t r
' p
x<w) ae aat not "' • e, ..
our" peo\n 4e pu ..
t r •.
fi o a n it t
ut r unui
peotrall a. . gi rgo41o ee te trea·
le d ooor 1 ţi , d!ola (+00 ). li ( b) -jW~ ~ -00 .
i r:
ALIA'l'OABI . lU.SP SUL SIS'f
D el 1 1 tr unui tate 11 i r 1 afar1aut - oarao-ril t prin foncţi po d r · b( t) o fanoti ae transfer S(~wl
pllo o r lb r ::( t) nnai p 00 i. or, tunel lt ietl •
1 i t ului o tia tot e u. (p rttoal rl) JU) • 111111
l tor. 1 o i fi o r t t t 1 io priD'
........ -...;:::,;-..=..-=:;::Ji~ 1 tor J( ţ) ae l• ttltr••
1 t aul 1 liniar 11 tu ri a t r 1 ţi ' •oo
. i{il • iTU ( t)· t
• ) •• 1•
1 1 1 le1t r 7(\
1 ir 1 ti '
(A 2- Al) b( Al)· '>.. 2) "2 :Al
.. ,Jul•' r
d e- Dot t u R (~) fuuoţi o or 1 \1 • •• ~
tor J:( ). ...
-197 -
e zunctia de autooorelatie R <.il la ieşirea sis temu lui este calcula~li a ll&lllnalulut a leat
de Cf po ou relaţia a or J( t)
R C~ ) .{ ~ · Rx ( :>.. 2- :>.. 1-~ ) h( A 1). b( A ) dA d . 1 .~ •o 2 2 A 1
e Functia densitate spectralA de t - pu ere q ( w ) ' leator de la iesirea sistemului liniar ~i 1 y----.
8 setnalulut a ~ DTariant se
ou relaţia: calculeasl 2 -1
q1<w) • qx<w>·IB(jW)I • IH<jw>l 2·7 {R
1(b)}
- 198 -
Problema P.5.l·
id rx procesul aleator X(t) cu realizări de Se cons e o. tipul
[ t e(k}] unde A şi W 0 sint mărimi constante 1 x ( t) = A sin W 0 + ' . • ar ( ) t 0 mărime aleatoare, care are funcţia de densitat
faza a :: e k es e e de probabilitate de forma:
...L ' dacă o ~ e ~ 2lf
f(9} = 2~
O , in rest
Se cere: a) 8~ se gAse~ sc~ funcţia de densitate de probabilitate şi
funcţie de distribuţie a probabilită-ţii pentru mârimea xk(t);
b) 8~ se determine funcţie covarianţă k:r( 6) a semnalului a·
lea tor.
Rezolvare:
a) Pentru un moment de timp oarecare t fixat semnalul srmo
nic aleator este de forma:
rezulta:
for • lli
Avind in v dere c~ f(x)
dx
d9 •
f{I)
cos(w t + 9) • o o
1
'D-{;2 _ x2
o uooţ1o d di tr1 uţi
2 f ( 9) . de , uod e d:x
, 1 xl <
' 1 X 1 pro bil1t ţi o r un
t ar ,r
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
·A
- 199 ...
J X< - A
1 TI f(; )d~ = -;:;:- (- + ercsin-!_ ) a
2 1 ,a<x<A
1 ,x>
Graficele celor douA funcţii sînt prezentate in f1g.P.5.1.1~
f( X) 1 1
. i l 1 F(x) 1 l 1 1 1
1 1 1 1 1
1 • 1 X o A -A o A
a) b)
Fig.P.5.1.1.
b) Pentru un moment de timp fixat t pute• scrie:
Ik( t) c A sin [ w0
t + ~(k)] • :r1 (&) şi
xk{ t +6) sin [ w 0
( t + '6 ) + 9(k)] • x2(9)
[ l(t)
edere cA aloa ea 27
2r-
edi e te nul
1o(W + )d o • o].
X
r 1 1 tl c 1
J' (t) • ..L 5 o
2'i • xk ( ) • ( + ~ ) • __: ( llD ( w. t + t) •
k 2'1 ) o ( ~)
• n [w0(t .~) + &)eli•-;- ... ""'
Cl 2 ( C ) • - COl W ~ •
2 •
cţ l de OOYIJ'liD\1 H
- 2oo-.
o
F1g.P.5.1.2.
Problema P. 5. 2.
Se dA semnalul x( t) c A sin(W0 t + ~) la care J. este o mAri·
me aleatoare, iar wo şi & sînt constante. Considerînd cA YSriabila
aleatoare A ere distribuţie un1fo mli !n intervalul [-U, U] se cere
sA se calculeze• Yalosree medie, ~aloarea medie p~traticA şi funcţia
de autocoreleţie corespunz!toare semnalului x(t).
BezolYare:
1 , pentru 1' 1 ~ D f(x1,t1) • f(A) \ ~~. unde f(!) • 2U
d:rl O, ln rest .
Result! c!:
1 , P ntru tx11 U ls1'D\Wotl + &>1
2U 1a1u(w0t + 9) \
t(x1,t1) •
o , tu r at
- 2ol -
Pentru determinarea funcţiei de autocorela~i » 8 eate uceaarl
cunoaşterea funcţiei de densitate de probabilitate de ordinul 2• S.
1ue el:
. Valoarea semnalului la momentul t1 cleter.lnl ta -.4 .t
'aloarea la momentul t 2, adicA x2 ia cu probabili t1te1 1 nlolr•c
x1 sin(~0t2 + &) %2 • ......_ __ ___";-..,;;;;;.__
11D(W0
t 1 + &)
O, ID reat
B( tl• t2) • z( tl) • z(t2)
ufetaCw1~ >J •
J'l '
- 2o2 •
Problema P.5. 2· Se consideri1 un proces aleator X( t) a ci1rui funcţie de den·
sitate de probabilitate este dati1 de relaţia:
x2 .e 2 O(,t - 2 .e + oct f(x, t) •
1
-{n SA. se determine Taloarea medie şi dispersia procesului alea·
tor. SA. se reprezinta grafic domeniul de nlori posibile sle procesu
lui aleato-r X( t), considerind cA. limitele acestui domeniu sint ~el x'
Sl se reprezinte, de asemenea, modificarea funcţiei de densitate 4' . ai
probabilitate pentru trei momente de timp ot.t1 • O, ctt2 • 1
·
. ~t; • 2.
Resolvare: . 1•' sub Funcţia de densitate de probabilitate poate fi rescr
. foraa:
f(x, t) "' 1 . e- 2 1 e- OCto 12 -fii 8 -oct
rezultind el m1
{ t) • O ti {) ( t) • e -ot.t. % 1'8111· Pentru un moment de tt.ap t dat, t<x. t) est.•
001 ,..,-.11•
In fig.P.5.}.1. eate presentet doaeotul de .alorl t.l~~ ale procesului l(t); tn ttap acest 4o•en1~•• reetrlo,.
1
- 2o3 •
tre va 10 a re a medie • In f ig. P. 5 • 3 • 2 • 8 e Î
fi p 5 3 aratA. modifi f(l, t)' i ar n g. • • .3. sînt reunit carea e ambele grafi ce.
ft X ) ; OCt : 0
funcţiei
X{ t) 1 3 .
\
__.....,._.1 NilT
-~~~X o 1 f(x); rtt=1
.--.-::-- 2,72 ri2Tr 2 ',, ....... 1 ...... .... _ -----\---+_..,..____..._-+--____ ~- cx,t
1 2 ' l.. .---4___ \: -1 """,..,.,
. ", .",
1 / ! /
-3 ~~~~~~~~~x
1 -J
Fig.P.5.3.1. Fig.P .5.3.2. ·
X(t}
-- t ---- ()C, --------..,
- F1R.P,5·'·'· troblema P.5.4.4,
dtattibu Funcţia de autooorelallt 1 .ai \ie g&ueaianl, eate ati ••
~ B( ~) • A· e -D'f'll. ' '· 8 11 oc
r ~ult :
-2o4 -
a r propri t ţil
~-~ {B 2 • B(O) • p • + B
G2 • B(O) - B(oo) •
b) Stiind cA proo ul r diatribu 1 gau sieal 11 CUDOa
yalosr s medi Di dl r 1 r 1ult :
f(x) •
o) nalt t put te oonfora teor 1
o, r- tnci • • 00
q (W) • c;ţ (6} ·) ( -ocl~l B) -JW-z;ao
-.b(w
t ro lllta •
ID 1Lttt 1 ° 1
)
1
- 2o5 -
Car eterul nor 1 1 y ri bi di + • 1 d
) le c t c
... 2o6 -
astfel că:
•+00 ~ f2(xl':x2)dx2 '-co
V loarea integra lei .. r;:;; steyru, resulttnd:
- 2o7 ..
Probleme P.5.I. -Se considerA un 'factor aleator bid
1 iaenaioual
M(l x
2> definit in P an şi caracterizat d oe are ,1rt1u
1' · e funcţia d robabilitate f2(xl' x2). Se cere s!l. ee ex •- euattate de P , Pr.uue funcţ1 d
de proba bi li tate in coordona te polare. 8
e deua1 tate
Rezolvare:
Relaţiile de ~egăturâ între cele douA. 1 t s s eme de reprezenta-re sînt:
x1 • ~cos 6
x2 • ~sin &
, o ~ ~ ~ oc , o < e < 27
lacobtenul acestei transformlri este:
008 & -~sin &
D • sin & ~cos 9 • ~ In consecinţA funcţia de densitate de proball111tlt• • tirit
bile 1 al ea toa re, e:z:pr ima tA in sistemul de coordoDI te polare '"':
frob.lema P.5.8.
14 Se considerA procesul aleator
ou& pro tt,
11 °818 aleatoare steţloaert ~ .....
· &are 1 18 I"Ytnd foru 1
" - ~o -
x calcule functie de co er1eoţă K (G} in Se cere s~ e { } { ~ YY ' con .. c sel , lk(t) şi 2 (t) nu sînt independent
di ţiile 1n care pro e şi valoarea medie nulă.
Rezolvare:
K (6) =-[Y (t)- m (t~(yk(t + 6)- my(t + 6 U .. YY k y
= (alxlk (t) + a2x2k ( t)] [al lk ( t + c;) + a2x2k ( t + c; >] "'
a 2:x ( t) x { t + 6 ) + a la 2 [ xlk( t) • x 2k ( t + (; ) + :: 1 lk lk
+ x (t) :x1
k<t + 6)]+ a~x2k(t) x2k(t + 6) 2k .
K ((;) = a21 K (6) + ala2[Kx x ( G) + Kx x (7;ij+ yy xlxl 1 2 2 1
2 + 8 2 Kx x ( ~) 2 2
Problema P.5.9. t1 1 y •
ie x şi y dou!i mărimi alea toere de forma: x • cos 'P ş b i tA in inter-
== sin ~~ unde 0 este o mărime aleatoare uniform distri u
valul [o, 2CS]. 1 Aritai 1
Se cere eli se determine covsrieţie între cele dou m
şi y.
Rezol',are: rele118 ; 1 •
Intre mldmile x şi y exiBU o leg!turll detll de tW -~ ... tur& etl
= V 1- x-, deci p(x, y) ~ p(x).p(y) ceea ce eretl o le&~ tic! între cele douA mArimi aleatoare.
Covarie \ia est da tA de rele ţie; ~" O _ __. - - ..J.-. •i' C .. X•'3 - 'i·'i coa fl·sin f6 - O"oa 11•&1° fJ • 2 ry
- 2o9 -
Prin urmar , de 1 intre procese exiatl 0 1 ~:nt necorelate. agtturl atatlatlct, ele s
Problema P.5.10. -se considera. un semnal aleator x( t) ergodi ' c, cu deuaitatea spectral~ de putere q (W) = N/2(-'Q'- )W Ul aemD&lul datarainbt Olt l .>e cere sâ se calculeze funcţiile de autocorelaţ1e ale celor douA.
semnale şi s~ se interpreteze resulatele. .
Rezolva re:
Conform teoremei Wi~ner-Hiucin, pentru semnalul aleator ergo
dic ~~ t) se poate scrie:
B (~) = f-lfq (W)} • _L r: (W)·ejW&ilW• X t X 27 )_ 1
-00
+..po N B = ...L ( o . e jW'Z dW • o .Se&>
27 l 2 2
· Funcţia de aut:orela ţie a semnalului S<tl este:
B~<G > = c.;--1 {IÂ (jwll2}' unde lt\ow>l2 eate
denaitat lului ~(t). ea spectralA de energie s semna
+00
Â(jW) • ) , ~(t) e -jWt ~t • 1
aetul tl el' - eo ,+00 l
BO <G> • ...L ,. l·e JW aw • 2rr J ~
ceea Deşi oele douA aeuale It 11 farml.
\eli 1
a funcţiei de • n Prilllul. cas li • UDel
- 2lo -
Probleme P.5.ll. Se dli semnalul aleator telegrafic, oare poate lua cu aceeau
t 1 ile 1 şi - 1. Trecerile de la o valoare la alt probabil! ta e ve or . . a
d t aleatoare şi sînt caracter1zate de distrtbu+i sint indepen en e, · ~a
S,.. determine şi sA se reprezinte grafic funcţia de auto
Poissoo. o. se .. corelaţie statistic~ a semnalului.
Rezolvare: In fig.P.5.ll.l.a. este reprezentată o realizare a acestui sem·
nal. 4 '
xk(tl Bxx<~l
1"'" • 1 ..-
.. '
1 lo t
' . 1.-
~
a1 Fig.P.5.ll.l.a,b. b)
Dac!!. not!!.m cu A evenimentul el!. in interiorul 1nterY&lului n il1 ta tes e·
{t, t + "6] se efeotueaz!!. n scbimMri de semn, atunci probab
venimentului A0
eate:
P(An) .. (Albi >0.e -Albi
nt
Funcţie de corelaţie se calculeezl cu relaţia:
'k (ţ) Fiecer produs eeparet xk~t) • xk(t + ~ ) eate egal ou 1, c11ol ro'~~'
totall OI 1011t p şi xk:(t + b) au scele~i semn , probabilitatea A fie 1 fiind egall ou suma:
- 211 -
sA f 1 e -:-1 este :
P(.A1) + P(A3) + P(A5) + ••••
In consecinţA:
00
Bx/~) .= xk(t}•xk(t + ~) ·L (.l)n PUn) •
D.0
• e -~0lf: (- l)n (), 1~1 )11• 8 -2Aibl
n=O Dl •
Fuoc ţi a de autocorela tie este preseutatl !a ftc.P.5.U.l.'-
Problema P.5.12.
Se considerA o secvenţa. aleatoare 1dl1ul t.o• bol uri 1 şi - 1 de duratA T. Orice si• bol al IIC'ftD\1
ceea şi proba blli ta te valorile 1 saa - 1, 1DCltptD4tP 4t bolurilor anterioare. Sll se calculese 11 al •• ,."..-
\1& de antocorela ţie statistici 1 aeoYenţd 1( • ~ ... , ... ..-7--.w,,,.-;
!ezol va re: In fig.P .5.12.1. este preseatetlt
aeo,enţei tt. • obsenindu-se oi staDIIlal. 1
P de. tipul kT. •
... . 212 -
Functia de autocore1aţie Bx(tl' t2) este dat!!. ·de relatia: \
t2) c - (tl)• x\t~ = 1· p (t2) = x(tl>} + Bx(tl'
+ (- 1)P{x<t2> ;: x(t1>} · . ) i id S
au nu cu x(t1
) dacă numărul tranziţiilor{- 1 --..1. (t
2 co oc e . ,
1 __
1) este par sau impar. Pentru once interval t 2 - t 1 se poate
scrie: • • • • • 1l = O, 1, 2
oumârul de tranziţii fiind ti + 1, sau N dup!i cum in intervalul 9 are
loc o tren iţie, sau ou.
toritl independenţei simbolurilor secvenţei , numlrul tren· zi ţii lor din inter elul NT ere o distribuţie pol1nomiali1. Pentru fie·
care inter al T proba~ bilitatea tranziţiei este egalA cu probabilita·
tea absenţei tranziţiei, deci 1/2. Ca urmare, probabilitatea ca din tranziţii posibil 1n intervalul NT s!i e ib!i loc K tren zi \11 este:
K -K ~(N-K) K -N P ( ) • C • 2 · ·~ m C • 2 pen tl'u O ~ K ~ N •
Pentru inter lul b, probabilitatea ca acesta aii con\1°110
transi ţi ste: P~TE7; }• ~ , iar probabi11tet a ca l a i T el aibl T
loc o tranz1~1 t p (1) 1 ~ T , - • 2
Probabilitat c in int lul p (1) t probabil1t t 1ut r cţi 1 dou
, r ulttnd:
Pe(l) • P~T }-Pi (1) • '
in r al 1 9 2 nu 1 loc n1c1 o tr nsiţ
ibll loo o tr•nst\U n 1 n te i od•P'odtll•
r rob btli ut••
p (0) , ··t•'
l i
- 213 -
Pentru H • O rezultA:
B1(t
1, t 2) • P&(O) - p&(l) • T- &
T
Pentru H > O rezultA: .
t2) • [P&(O) - P&<UJ[LP.(t) - L P·(k)]. k-par t-llper
• 2·1 [P&<o> - P&<ul{E~- L ~)·
t-p1r t-s.pr
Deoarece
Bx(t1, t 2> • O
lla Funcţia de autooorela\iÎ ID • PUlul el ta.re ~1• Dlll&i de d1fertDlt t2 • t1,
Darl aualisatl ••t• IU\io---·-
Puooţ1e 4• •u*o~ell\11 11
J( 2 - 1) t \ta
l\t tprtHDU
-214-
-T t
Fig.P.5.12.2.
Probleme P.5.12· ere 8 s~ se determine funcţia de densit a te epectrelll de put
unui proces aleator care are funcţia de autooorelaţie descrisi!. de re·
le ţie:
Rezol are: -Conform teoremei Wiener-Hincin avem :
qx(W) Ţ 1 ( Z >} • J.+OO ~2 cos W 0b e -jWbd"G•
-00
2n:-• ( ~ ( W - W ) + b (W + W ) ]
2 o o
Graficul c t 1 f uno\11 este prezentat 1n tis•P.5·15·1·
qx(c.l}
in T---
- 215-
Problema P.5.14. -Semnalul aleator, telegraf le deaort
func\iB de autocare la ţie de forJDil e 11 11l Plo'bl %ponen \1all: , -. P ·5.11, "'
Bn:(b) • e -2A\~\
putere.
Se cere s! se determine f • unc -ia aa d · • dena1 tate IJICtnlla.
~(2A--4W) Joo • '--00 e J el b +
0
1 • l<2A+1W) n
• 4A w 2 + (2:X)2
Graficul acestei fuoc\11 eett presntat la f~&.l.5.lt.l. q.x(c.1J
1/A
- 216 -.
8 seovenţei pr,cum şi funcţia o resllmsre .
,sa de a utooorela ..
ţie stnt prezentate in fig.P.5.15.1. X ( t) k
",_
- t
-T o T 2T 3T 4T
Fig.P.5.15.1.
liezolvare:
Conform teoremei Wiener-Hincin avem: T
q1(W) -':f\Bx(~)}"" ( t -l'b\ e -jWbdb • ) -T T
T . 2 a 2 ) T - (; cos WDdb • T(.sin W T/
2)
T \ W T/2 o
Funcţia este prezentati în f1g.P.5.15.2. . qx(Ul)
- ~-.2!!. o 2TT 41T T T T T
1g.P.5.15.2. ,tl\ .. l rr
Se oba rT el ou ctt dur ta T ete ali alcl, cu t• 1•--1 1•' ••
pede s anul 1 funcţia d eutocor 1 \1• 1 cu 1tlt .. bul principal 1 d ne1t!\U ep ctr 1 e putere q (W).
- 217 -
problema P.5.lb • ---S! se determine funcţia de densit t
a e spectralA d
1 8 douA procese sta \iona re. Funcţia d • PGttrt 1
8ume e core la \1e 8
vede& problema P. 5. 8. ) : aceate11 eâe (e se
B ( t) = a12B ( ~) + a a rB ( '7) YY · :xlxl 1 2~ 1 x u + B (~)1 1 2 1r1 !J •
+ a~Bx x ( Z) 2 2
Rezolvare:
Avînd în vedere o~: +00
qx(W) "' J- Bxx(W) -jWZd"G '
-00
rezultA:
qyy(W) = afqx x (W) + 8182 ~1 1 (W) + qJ..J. w] + 1 1 1 2 ~.- l
+ a22q (W) x2x2
Deoarece:
h&Ql tA eA:
q1 <w> + q cw> • 2 .9t.E ....... l 2 xrl
Prlu araa~ q (W) poe 11
77(W) •12q (W) zlxl
,-
o
Fig.P.5.17.1.
Rezolvare:
.No
o
- 218 -
, pentru fWI' W 1
, pentru IWI >W 1
-
Fig.P.5.17.2.
Funcţia de corelaţie este; N
Bx((;) = 7-l{qx(w)} = r; o
cosW~ d(; •
N w1 = 0 sine w1'G. T\ ·
Funcţia eate prezentat~ în fig.P.5.17.2. Dispersia procesului este datri de re la ţie:
w B (0) c
0 l X T\
Se observi!. el!. funcţia de cor el a ţie ere o varia ţie de tiP
inc x, deci este cvasip riodicâ.
Problema P.5.18.
Un eemo 1 al etor, r odic, cu d nsit t a sp c~ 1 1 d put r q (LJ)
men1ul (- 100 Y~z, 100 KHt).
Se cer :
s< \) ''' loo re medl null, 1 4 •
10-6 .,2 /Hz, 0008taotl 11
a) s~ s d t rmiu abater a m di p tratiol 1 •..al ltlell
- 219-
b) 8~ se determine funcţia de corel + a ~ie ts { t) . 1
) 1 x(t - ~ ) sint necorelate? t ' a ce 1nter-
le %( t ş '8
) considerînd că semnalul este gaus 1 c .... s an sA. se afle ca acesta să depaşea se~ O, 45 v sau 0 9 V Proba-
~ilitatea . ' •
Rezolvare: - +00
a) (i2 = l ( q (W)dW = _L X 2'if) X 27
-00
2ca-1oS -6 10 dW • 0,2 y2
-27·105
b) Funcţia de core la ţie are expresia:
)
+ 00 6 J 27·105 1 ·wZ - ;,_,~ B ( ~ ) = ---- q { W ) • e l d W • 12...: e "a tw•
X 2~ X 2T -00 -2'i·lo5
Semnalele x{(;) şi x(t- ~)sînt oecorelate clad Bz'"()
lceast!i. condiţie conduce la ecuaţie: sin 2'1·lfY ~ • O ( 1 O)
soluţiile:
2'il-105 c;k. K7, Ica•-{o} ~ -6 k • 5·10 'k' KE~ ... {o),
d1cA 6 1 • 5 jJ- s, ~2 • 10 p. a, • •
c) lrobebili tatea oa x(t) 'O b
1litatea ca :r( t) al f1t \a:
P<xl < z <sa> P(x> 0,45 V) • f --
p 0,9 V)
- 220 -
(00) - g/..9...1)- 1 - o., 9772 - 0,0228 • \o,45
-2 2,28·10
Problema P.5.12· SA
8 calculeze funcţia de core le ţie a unui proces aleator
densitatea spectralA de putere de tip gaussian: t ţiooer ou
q (W) N exp-~W 2
X O .
Re olvarel
B (b) • ..1... f': (W)•cosW~dW • X CU )_ X
o
M o Joo R·w2 li o r ."2/ n.1 11: e -,_, ooawodw. . expl- o 4,~
T _,-;:;;;, o o 2 V ru-~ ~
oi~
Funoţ1 , de oorelaţi are tot an csracter gauss1an.
Probleaa P.5.20. 1 111otl
Sl ... calculase densitatea speotrall de putere • uoo J) 1 tor l(t) rtud func\1 de corelaţi 'B (~) • c; 2.up(-otl~'
X
•Hl.,are&
t.;onfora t ore•e1 W1 ner-H1no1n e-.eas
q:r:Cw> • ~ t~r~ >} • ~x<~ > -jW~ a o . • 2 f10
Bx( ~) ooa~"?; 4~ .. o
- 221 -
2 (00 (){,~ qx(W) 2U )o e- coaw~db • _2ocG"2
fX.2 + w"2 Funcţia de autocorelaţie este
prezentata 1 densi tates ~pectralA de putere in fi p ~ f1g.P.s. 20 1 iSt . g •• 5.20.2. • •a
Bx (r; )
--------T-0~--------~~
F1g.P.5.20.1. .
Proble a P.~. 21.
o Pig.P .5. 20. 2 •
Un emnal le ţor re funcţia ele auiocortll\1tz
-ocl~l ( • B,;<"~) • e oc'2 I"GI + i;-) Se cer e gAs aseA densitatea spectralA de putere.
+00
r
' '
- 222 -
"tr 1 d put re unui s n 1 1 to-- •( ) D tt t V ....
nt t !o fi • .5.22.1.
(W)
(b)
( ) .
qx(w l
2TT~(W) /
~qx1(Ctl} •
func 1 d cor le ţi B ( ) , ut r de e ..
ctu nt ui (t).
:r <w> + 2'iibcw > 1
l q:r(lJ)} ; ( )
b ( )
•
00
q (Wl jW'b W +
8
, : •
- 223 -
Proble a P .5. 23. -s dA fi 1 t ru 1 t r c -j 0 di f n 1 .P.S 23
apl1oâ un e nal al ator :r(t) • .1. • avtnd e lt
(W) 0 ;fwl >w o
R
)(' t }
1 • P. 5. 23 •.
c r a t r o
1 le ir filtru ui, to r 1 c uri 1
w
)
ac
( ~)'
t r c
trarea ·-B trall pen
- 224 -
1 q ( W ) e: 2 o • 1 + ( W RC) 2 '
1 la+ie est in acest caz:
1 r functie d autocar ~ N ~-lf. <w>} .. o e -1?;1 RC
By1
( '6 ) • .7' \q·l 4RC
Timpul de corelaţie este dat de relaţia: 00
J -l"b IRC d 6 . RC
6ol G
o
b) Dac~ w <<: RC se poate considera cA IB< j W)!2
.. 1 in bau· o
da zgomotului şi ca ur~are:
N -2
o
; IWI ~w o
iar functia de autocorelaţie la ieşire este:
Tipul de corelaţie este în acest caz: 00 ,
J sin W 6 r-::-
602 ° d 6 • 1 sHW> •
0
w 6 W 2W 0 o o o
S observA eli timpul de corelaţie este determinat de nuru tunel cind zgomotul are w >> 1 , sau de banda sgomotului de ta-
o RC trar d eli w
0 <.<. 1 •
B.C
Probleme P.5.24.
S dl un filtru treoe- jos definit de rela\111
-j81'0~1 Wl R ( j W) • l Ii& • --...---=------ e
1 + ~w
- 225 -
1 trsres cAruta se aplicl un proc lS o ea ll'llout
Peotrslli de put ere: c cu t~~acu. .. _
te s we a...1
j2CŢ qxcw> • (Se w- w > ( · .
. 2 o+ o<w ... w0
>]
Se cere sA se determine densitat . ea spectrala el
semnalului de ieşire • precum şi funcţia d t Pllttrt ' e autocorela\1• a a Rezolva re: aceatala.
.
Densitatea spectralA de putere 8 aeanalulul de ittln eate:
q1
Cw) • jH(JW>I 2• q lW) • ~~ [b< x 2
w- w0
) +
+ O(W + w ~ l 0 1 + (W 1)2
iar funcţia de autocorela ţie eate dati de relaţia:
B l ~) • 1 5.00 q (W) e -jW~d tJ • oo i.~(W·~vouc.sc y 2'T -00 1 2{1 + ( w l)~ ...,.
_.2 •
1 cos w 6 • 2[1 +Cw
0x>2J •
l!robleaa P.5, 25·
ltl Se coaaidirl UD filtru treot bla41 14tll •ttalt .. Ja
B(jW) • B(Wh l«fJ(W)
B(W) •
.&, ptntru Wl <fwi<W2
o, pennu !wl<w fl~2 1
'f (W) •
-<w- w0
>t0
, peatn W fiJ
-<w+ w0 >t,,
.. 226 -
wl + Wg l ln r r o rut s plic un 1 r W & •
o 2 1 ( (W) • /2) •
anal aleator
x(t) ou p ctrul Q1 o d t r in funcţi d utocor lsţie
•
filtrului, pr cum 1 d1 P rsis •
Btllt;UJlu·
lui d
lui te: ..1-
2
o
pectral d put re la 1 şi rea f11 tru-
ter funo\1 d s utooor la ţi la 1e111re este 1
unle
• Aw B 12 2T 0
~
flw. w2 - w1• ( '
l'unc\1 ate reprea nt tl in f1s.P•5.25.1.
Ryll,
rt,.P.5.25.l.
Diap reie ••t• dltl de rela\1•'
u,2 • B.,(O) • ~w 1 . A2 2'T o
-o o ossul tn oare banda 6tJ
,eaoelolui 1 1 ir ar t ' a jungtnd la li•ttl& IOidt, OOrtlaţta
A 11m B" ( ~ ) • B, (O) o o 1 w ~ . t.~W.....,O., t1 o •
Problema, P.~, 26. -Se ooneiderA un filtru adaptat cu aemulul:
..
(t) • ; Iti~..!.
2
O 1 !u reat .
Se cere s! s determine rlapunaul f1ltrulu1 auptlt J(t) 11
semnalele e( t) gi x( t), unde z( t) eate UD •••ul 1leator. •
. Bemolveret
. Avind in veder cii s(t) eete UD aellllll per, re~uUI oi t.o\ia pondere a f11 trului adaptat ae poate aor1tl
• ·h(t) • K s ( "?;,- t) • l aCt - ?;t>•
Pentru a fi satisflcutl condiţia de real111~11U•te 1111
lf1ltrulu1. (h(t) O pt. t < 0) eetl oeoe11r OI ?;f > " 2•
81 _.t•
dtrla t f • T/2 11 dec1l IA
o J !1 ,..,.
lftl FU trul adaptat fUnd UD aiat• llailre ou •n• 1 r spun urilor peaţru fltalrt
J ( t) • '1 ( ) 1 ( t) • 1• •• ~ • 1 )
'''' Uncţta d eutooorel•\lt • ... _.... cu l•\111
tâ cA:
- 228 -
6 Scnt prezentate semnalele s(t) ~1 (&
I n fig.P.5. 2 .1. ... " • •- ~). Ys ( t)
s ( t )
A
t -o T T u - -
~--~0~-l~------~-t
2
Fig.P.5.26.1. Fig.P.5.26.2.
Cele douii semnale se suprapun numai pentru O E> b ~ T. Rezul-
)
T/2 2 2
B8
( '6) • A = A ( T - (; )
-T rr z+ u .
Functia B (~) fiind pară se poate scrie: s
o , in rest.
Riispuusul filtrului adaptat la semnalul s(t) este deci:
u2.~ -\"G- ·~ 1);- ~ ~~(f , to rest.
y { t) • K· B (t - ...t.) • 8 8 2
o
Răspunsul este prezentat in f1g.P.5.26.2. RAspunsul la semnalul x(t} este det de rela\1&:
Y x ( t) • K • 'Sx ~ - ~ ) • K -). + ';( t - A ) · 1 (A · {-) 4 >. •
T -00
• 1. A ~ :rt t - A )dA •
•O ~·' Bezul tl el y J: ( t) ee te propo-rţional oo ••41• ţ .. pell
nalului x(t) pe un inter~•l cu dur1tl T.
- 229-
1
•. CAPITOLUL • Metode generale de 1 li _ . . . t 1 na za a "' .. şt s1s erJle or analogic 1. . '-" C\itelor e 1n1are
Breviar teoretic_
(SALI) poate fi aodelat aateaatic prin 1ntene41al 1 A III .,..,.,
J!J , astfel 1not t relaţia dintre intrare 11 1111n 11 liJrtll )l'la&
x( t)-J( u..Jt {x< t>}
• RAspunsul pondere b( t) eate rlapaaaal 1&1 la ••
unttat• S(t>, a•tfll caz h< t> -A{rx t>}. Cunoscind rlspouaul poDdere ll( t) •• p11tl ul1111
puna\11 J( t) al SiLI la un •• ••1 oartaar• 1( U pt•a
J( t>·Â{x< t) J • x(t) *la(\) • f 1(" )· ~u-·u ·~ !oo
, • Bbpunaul ln41o1tl d U e1te rll ULI •reaptt 1 t w-.... ~~~~-1114 1111 •t• u( \), ••Uel oii rCt)
loial r( t) 11 rupUD•al poD41rl la(\) .,,
r( t) • ( Ja( ţ ) ·~ •-oo
,_181
CllllDI01a4 J'II)»IUl .. l 1 .. 11 J( t) •1 SALI a a ae .. l ......
J( \) -J{~( t)} • z(e). rU) + 1t ... o
dio
lo r
o 1 -nta
o
e;
- 23o -,
+ j.W t d t de:
ft ( t- ~)
( t) _fi~( t>} .. h( t) te x( t) • · b( 6) •. 0
db • ... oo
( t) • ' on
t{ - "(; o ) ( z;) o d 6 •
,_ 00
ot r{ } 1ot ·~ b( t) • • . ·B(a ) ScS O o
( t) t tot un n 1 xpon nţial oompl x, pt>nderat cu , 1•
funoti 1 a . 1 t m H( ) oalculatl1 pentru B • &0 • Ci0+jW0,
e~ R 8
un. ul S.ALI la un semnal erţ od 1o rin metoa ar~~oni· z z propriet ta oA un emnal p riod ic poate fi repre ..
.f· OO jnW t rin: l(t) -~=>n ° stf 1 o : n -oo
,\ +oo jnW t 1c t> -A~ct>r L cn o · u< lnw0>
n...,..oo
"t 1 o
u .1
Il m
b •1 . ( 1) • • ( 1) 1 1
i•O l•O
l(e) ·L~ ( >} 1 r ( {7< >} 1 ( 1 al
B(e) • iti\ •
fo
- 231 -
e Daci do eni1le de OODYerltD•• .- ••ootate
1 ce I(s). !( ) şi H(a) includ li u t~r .... k._
•P 8 • Jw •• A tor transfon.siele Fourierl 1( JW) Y( • tfl f~nt ' lW) 111( lW) •
cal: H(jW) • iHi:H • IB(jw)lel<p(w)
ae IB(jWll este funcţia •odul, iar cp(w) ••t• f ţt.
• siLI.
e Panoţia a pl1f1care (sau atenuare) 1 aui w •te
dtl de:
la [o]
• Fonc\ia de fazA ( aeu def111j):
b(W) • -arg{H( jW)} • - <p(W) ~ ~
• Funcţia intirzierea fazei ~f(W) 11 •
~r<w> • b(~l b ~ ......
e runcţ1a t1•p de propagare 4t P'' (
un e~ma r1ed1e ( )
1 nut 1 c riaat •• fua t
a•f•r 1( )
).
t-
- 232 -taDtA 0 t: fR.,_ as tf 1 noi t
'· xtet o oon ') li { <•>·BC >· • O
fCf_.,.()O
ntru B ~)<o · ~11 rA pansul ym(t) al SALI se In 08 t oondiv • ~
calculează
ou r 1 i1 1
(t)j .1{ C )·HCs>} -~ _Rei:idr~( ~·Hif est] t .....ro 'l) polu 1u1 [ 1 ~ ' H(s)
B al tA c : 1 ( t+ 'l) • 1 ( t) , V: t e IR ,
bandA l ar A
Dn n 1 ( oaulat) ( t) est coD id rat de bandA l argA
1 r port cu un SAll ( 1 o tiv !n freo nţ!) daol funcţia densitate
otr 1 ( jW) . 1~( t>} a ace toi D 1 po t f1 consideratA
o t (ou fr c nţ ) ln banda d 1 ct 1 1 t t S.ALI.
• 1 B( jW) funcţia ( · 1ste ) SALI. Se nume, te functia xpre t :
( J.O.)
• 1 t t olu o 1' 1 nt d J 1 tapul•ul uni tate
~1 .t-00
hJ Ct> :j" ~ n<jn>} • 1 Î!J (jO)·
t 1 o rlapua ul . r 1 s 1 t 1
h{t) -9'le{2· J (t) sw t}
- 233 -
dt relaţiei
J(t) -.9le{71etU)~ejWot}
Relaţiile de ••1 saa eagereasl oi pentn a 4etenlu rll·
~neal tmui SiLI la un aeual de bencll tap1U apltaat 11 la\nrta 11 11 4eterainl Ilai !nt11 rlapusul 1 ( t) al 11ablal1l eohl•a • lent ! 4 111
1 Joaal freo•enţl la semDalul ( eob1 Yaltat 111 joill frtettltl)
IDfllopl iJP'( j.!l) , 4upl. oare •• oaloultad r11pa11l 7(t) Il SAJJ
foloatn4 relattaa JU) .Jie{Jt••(t)·. ,jw,t} •
!l•»un•~l s1t1 1.• ••Y•l• •1••"'" • D ( Ql 80 x( t) et oona14en11 o realllll'l fi
PJ'Ooe• 1 • eafl ....... n l(lw) J:k 1 t}ator pltoat 11 1Dtnrtl Ul& .,..
I t '" \"( t) ' atunci o reali sar• (parUotl ) J( ) 10••tut 1 .......
III)) etatea poate fi oaraowrts•tl •ta Pr1a1
-
• ,,loarea ~·ed1 : ,us • J:(t). ~b( t) u
•o
eD el s (jw) · ste funcţia densitate ~peotrall de · putere 1
1lD lolui al at!r s( t) aplioat ia intrarea ana1 SALI, atDnoi fUDo • ţi elenei tat p otrall. de putere s
1 a eemnalul~1 aleator 4t la te •
tr a 1stemul 1 eate dati de r laţia:
s1(jw) • Sx(jw){B(jW~ 2 ·1'{ax<~ >}[B<Jw~ 2
,
iar oonfo~ teoreaei V1enner-B1notD resultl 11 oi
. 1)< b > if1s7< jw>} , .
lnal1s SLI cu ejutorul grafurilor de flgentl a •••Del• · t
lii
DD 1tat • liniar 11 1DYir1&Dt (SLI) aD loato aaa aatrlo ate oaracterl1at 4t D ai te liniar ae eouaţ11 cu ooeftotenţt (h
---....... ral) o.pl oo1, ln c r Yar11b1lele pot fl aurenţi ei/sau teD•l· "' poatt tml 4 f 1\t planul au planul s. Un astfel 4• •1•••
fi re re&entet, pr1Da n
Lt13 xj • j-1
1 t. 1, 2, •••••
'A de gradul d interes pe oare 11 r~~tns" Prestntl fi ţe ndentA) in raport cu totalitatea tcare 'arta\t ll (depe Yarta'b1lel01' B -
n ( it) · ••al tia xi ·S -t xj
. 1 11 J=
1 • 1, 2, ••• , n
Se numeete graf de fluentA a semnalel or represeDtarea to-
pologicA sub forma unui graf ou laturi orientate , care ee 11001111
sistemului de ecuaţ 1 i lin iare re ordonat de ••1 aua, aatfel: - fiecArui semnal xi: 1 se asociasi un nod· -· - fiecArui coeficient tij - nua1 t oi tranaituţa, 1 11
8soo1aEA o laturi, pe .. care se stabilefte un aeDs posit1Y IMt
printr-o sAgeatA potrivit regul11: t ••
xd • tsd xs < > • • • XI J:.
Metoda de analizA ou grafuri ele flua\1 1 •-1•1• ti•
uazâ stabilirea transmi tanţei dintre 1111 Doct aurli (11) tl • ...
destinaţie x( d). Acest lucru se poatt! reali•• prt.D aplliiNI .....
siTA a anor =etode de reducere a grafulai stateaalat aoaflft lor din tabela pin! se obţine UD ,nf aolaţte 4aftatt 1d • tad I
5 sau prin aplicarea direotl 1 repllt lat 1
t•d • i"Lr~.A"' (k) ,a, 1&,
6 • 1 - L P 31 • 2: 'j2 • (j) ()) (j)
Pll • auaa taturor
l: p j2 • euaa tuturor
pereobe ••
33 • •uaa tuta trtpleţlt
't • tru t t--··-â deţe
- 236 - .
Probleme P.6.1..:.
Se dau trei sisteme liniar invariante cu râspunsuril e la ~ ..
puisul unitate ~(t) astfel:
b1(t) = u(t)
~ -2t b
2t t} .. -2 o ( t) + 5 · e • u( t)
h { t ) = 2t · e - ~ u ( t )
-
Semnalul u( t) ~este semnalul trenptă uni tate. S!1 se calculeze răspunsul sistemelor cînd la intrarea acea-
tora se aplic11 semnalu~ x(t) = cos t.
deci
d c1
d oi
n1 t
Rezolvare: Deoarece x(f)"'cos t, rezultă W=l radis. H1
tjW) -; 1H(jW)jl = 1; ~ Hl(j·lJ ~ _90o jW W=l
H2(jW) .. -2+ · 5
jW + 2
1 - 2jW • ' 2 + jW
\ H ( j W) \' • 1 ; w•l
y 2( t) cos t
li~(jW) • 2 • \B3(jW)\\ • 1; <; iix<l·l) • -1800 ~ l w + l) 2 • 1.-J ·1 ~
Y;(t) • ooa(t- 180°1.
Proble P.6,2.
Unui o1rou1 t eleotr1o 11u11r 1 1pliol UD
< t) 1 •• oouat t o epuna 1 iv.dlolll r( \)
r(t). (,. -!2 . _,t + -4\)a(~)
- 237 .. .
Sl se calculase expresia 1 r apuuaul ,
18 intrare se apUcA un 1apula Di ~1(f'llllo\lt
aec rac , Il(\). P114ert ~h" Bezol nre: '' -jplicind metoda integrali Dubaael . •• OD\1Dt:
t
b(t) • r(O) • ~(t) + ) r'("b) ~( •O t • ~ )lt Q
Dar r' ( b) • -}·e -?i + 6·e -}b _ 4.e -4~
r(O) • 2 RezultA: t b( t) • 2 • ~ ( t) + ( ( -;. e-'"G + 6 . e -~b _ ~ e -('l;) ~(
) O .,. •O \ -~)tl
• 2 ~ ( t) - 3 .. e - t + 6 . e - }t - 4 . • •4\ • fll\ri ) o.
Problema P. 6. 2. Se considerA un sistea 11u1er 1D••r1aat la \llf n ,.__.
1o frecTenţl:
B(jW)•e-jW ,t>O• l+jW
1. SI ee caloulell IB(jW)I,4 R(jW) t11Mi.-1lpulaul uni tate ~ ( t) al ace1t1l 111\ •
1 2• S ee calcul81t rlepUDial J( ) ....
1 •• epltol uu • •'0811
l urll
•
{ t) • 1 - _,. ( )
1 b • e, u( )
oul 1 1e11re• J( )
( )
-1. J H < j w> 1 ·J
- 2}8-
- jW
+jW •
Je - jWJ
ta+ jWI - 1
w ia - jWI·e -jarctg ::-- • la - jWI. e -2jarctg c;
H(jw) jacrtg 9 la + jwj •. dar
fa + j W)· e
H(jw) = IH{jW)I .aH • deci 4. H(jW) • -2arctg W
In domeniul frecvent:1 putem scrie:
~{b<t)} .'J'{~(t)}·H(jW) • l·R(jW) •
8
de unde rezultA:
h(t) .. J-l~(jw>} • c;--1(1 _ 21w ] • a+jW
• ~(t)- 2 d rrl{ 1 l]- ~(t)- 2---cl [e-a\]· dt l a + :1 wJ cit
• b ( t) + 2 a • e -a t s-au aplicat proprie~ţile transformatelor Fourier.
2. a) b ~ a.
Se poate scrie: . . J(t) .J-1{t<lw>} -7-1~(jw)·B(jw)}, unde:
· ·oo l(jW)•:1'(e-bt.u(t)] • ( e·bt.u(t)·e-jWt.at•
) -oo
. 00
• ( e -'bt .e -jWţ_dt • . . l J. b+ jW ,
De ai:
..
- !.Q .J.J -
b) b • a , atunci~
Y(jW) a-jW2 .. l - 2Hd ( a+ jW) a+ jw ( '* YvJi • de Ullde
1( t) s:: e -at + 2 ~( t .e -at) -at a~ . • e + 2 -at
~ -at 2
t -at ·• - 2at.1·at s J·e - a .e • •
3, •• 1
JH<Jw>J • 1.
le:
De faza jul introdus de aietea ( • ' W >•-2arotgW t T liltlll.ru ft~Mţ~
cos ... rz este ~ 1 • -2 arct~r -l.. 0 v3 .. -{3 ·-60
coe t eate f. 2 • -2 areta 1 •• fJJo
cos {3 t eate f 3 • -2 arctg 1[3 • -uo•
Deci:
1< t) • coa (f, -60°) + cos<t - JJ0
) + tiii8C{" • 111'J
• ain (-y} + 3(J0) + 110 t + 11D(.y;t • 'fJ
8)o
Probleaa P.6.4.
Sl se de termine 11 al ee represlalt ,nfto clrcu1tulu1 care are funcţia poacltre la( t) 411 fil·1•
6•4.
intrare 1 ae aplicA semnalul z( t) cl1D fli•P.6.4. •
• h(t)
, -- t_
a) t
.. hal l( \ C~a •• •odif1ol r&ap_.ll ) •-•r aobiiiDI •tol,...
- ?40 -
Besolvs ra!: -Dac r(t) este functia indlcielA e circul tului, rllapunaul
0
tuis 1 00 8
moal oarecare se poate calcula apliuiud aetode 1 •· nte ..
grsl 1 Dubsmel: . t
1 ( t) • r (O). x ( t) + J
0
r' < ~ ) • x( t - ~ ) d ~
Dar derivate in raport cu tiapula funcţiei indiciale r(\)
ste funcţia pondere b( t) ;(rAspunsul la deriva ta se;;.:-.alului treaptA,
diol la impulsul Dirac_ ~ (t)). r(O) • O
r'{6) • b(b)
t
y(t) • )o b(~)-(1- sin 2'TI(t -b >]db
Deosebia doul casuri:
1. t < 1 , rA-spunsul devine:
y(t) • r (1 ·- sin 2'1i(t - b ~- 1· db
o
+ .J_ COl 2'1ft 27
1 -t----+ 2T
2. t >1 , răspunsul devtnet
y(Î) • r [1- ain 2'ii(t - b >ll·db • l.-ilf·kaoe2'f·l
o hpresentaree cr Uel a rl.spuneului 7( t) al olroultol•l ••''
preaeotatl 1D fie. P.6. 4•2• y(f)
, t
P11.P.6.~.2.
- 241 -
La schimbarea reciprocA a seaualol
d re b(t) rAspunsul circuitului ea•
111t(t) 11
e •• iden t1 1 r-.\1 C QQ ctl Il 'PII rtot• Pr• ... t.t • ••tt-
froblema P.6.5.
ConsiderAm un sistea linia ( r 11 1DYir1 t
11 iapalsul unitate o ( t):
111 CII rla.-.u ~ţt)
b( t) • ain 67·ţ ,._ l·t
SA se determine ieşirea w (~) ti 1 " ptotru fie a lele de intre re x
1 ( t) din fig p 6 5 1 b Clrt lDtrt
• • • • ·• c a . . ' . .
1
x1(t)
1
_J_ 1 8 8
a)
~(t)
CJ
B•solYarea
---t
2 .,
t
1 ) Junc \lei ind 1o1•l• !a 4011t•ltal t pa
b t) llP 6T·l • 6. 1~6
~(t)
tktJ
. (,).
7·t D o•eatul .frtOY.. f-\11 1(~
una '" de traaafer • 111~..-··
od apeotr1 aau • an lului rtodlO 1( )
11 ,_
-242-
• 1 H(juJ) 1
t
w
_61( 6ft
Fig.P.6.5.2.
, d li tud ini pentru semnalul x1 ( t) este dat de Spectrul e amp
i Fourier complex~: (vezi cap. l ) , d z oltarea in ser e
1 k1f ck ~ 2 sine~ •
La ieşirea sistemului se obţine; +00
X (jW) =) 21f·Ck· ~(W- k·Wol) • 1 t='oo
= I: ~.sine k;"-~<w - k:·4'T )
i =-00
w :: ti= r. = 4'1 . ol ·r1 ~
~emnalul limHat este prezent at în f i g.P.6.5.3. şi este dat
de relatia: Y (jW) ='ii+2(~(W-4'i) + ~(W+ 47 >) • 1 .
lX1fjwJI \HfjWJI
-B1l' - 61' _,r 'li!
Fig.P.6.5.3·
In domeni ul t imp ee obţine:
y1( t ) a'i·~( t) + ctooS 4'i · t •
..
- 243-
b) Semnalul X2 ( t) s e poate scrie aub f +oo Ofta:
x2{t.) • L ~ ft - 10 k\ 1 t • ll. k•-00 \ 3/ ' .
Ampli tudinile componentelor spectrale tor ft:
1.('_ .. \ 1 . ·-l\ • .,
.
y2(t) • 3TI b (t) + ..i. (co• n t + 001 il&.· . ~ 5 5 5 5 •••• -.-...
c) x}(t) • l: t 2 ; I}(jW)~}<t?}•'I'·•~-1 ·P.6.Ze) Yj(jWJ r
-161'1 ~· --------.-.. .-.-.., _.,._ ~--.... ----
- .. .. -... l1g.P.6.5.4 •
La it tire ae obţin a:
. x,<Jw> , lwl < P 13(3~) • • .
o , twL> T
J
~ lepreseut•r•• .-.flol 1 faaoţl ·'·5·4. ··- !' ••• ...,.,
Be1u1 ta: . +00
,,<t> • .L ·5 ... '~w)· • 27 7 -oo
• __1_____ • r 1 • ~-
. -244-
Semnalul limitat:
Y4(jW) .. ~· [ t.f sin~ b<w-4~ ·k+5'if} +
+{: f sin ~ ~(w-4rn .t:sca >] .. k~ 'if( C7."
= ~ ['1· ~(W +5ru) + 2 sin 7· O(W+ D } + •
+"i· ~ <w-5'T> + 2 ~ <w-ci>] "'
, '
= ~{'i·b<w+57> +7b<w-5'T>.+ 2[b<w+ra)+~lw-'iil} Rezul U:
y 4 ( t) = ~ (cos 57 t + ~ cos 7 t) \ 1 .
Problema P. 6.6 · ts de Se considerA sistemul liniar şi invariant in timp desor
ecuaţia:
d2y(t) - ~- 2y(t) • x(t)
at2 at Fie B(s) funcţia de transfer a acestui state••
1. De terminaţi H{ s). 1 01sori1
2. Determinaţi funcţia pondere b(t) tn ura&toatt 1
a) sistem stabil; b) sistem cauzal; 1 c) sietemul nu eete nici stabil utot 0
1011 •
in funcţie de regiunea de oonvergen\1•
.. 245 -
Besol•ares -1. Aplicind traoaforaate Llpleo t •••\tet llft,~llllâ
2 a I(a) - el(•) - 21(•) • l(e)
R~s) • u:~ • 2 1 • 1 1 a -a-2 (a-2)(1+1) ••3c. .. 2)
~ --2.s) Sistemul eate stabil, deal rect• 4t ._,...
lui B(s) conţine na j W (fig.P,6.6.l.~-l<~~} < 2•
Pig.P.6.6.1.
bl(t) • l • e .2t a(•t) + -'-·• ·l. )
3 ' b) Sistemul eate cauul, deoi rtP•••
\lei de transfer este 11•1t8tl la etlJIII (f11·'·6.' 2 )
fll.l·'
b2(t) • - ..1. .• +fl. ( ) 3
- 246 -
c) Sistemul nu este nici stabil nici cauzal (f1g.6.6.~.).
_% {s} < ·l· jGJ '
1 2
Fig.P.6.6.3.
b ( t) • - ..L · e 2t · u ( t) - ..L · e -t · u ( t) • 3 3 3
Problema P.6.7. La intrarea unui amplificator de amplificare A, independenti
de frecveuţâ, se conecteazâ un circul t RC ca în fig.P .6. 7 .1. şi se
aplică la intrare o tensiune exponen)ialli x(t) = e -~ u(t). Sl sede·
termine amplificarea A, în vederea compenslirii pierderii de energie
io circuitul RC, astfel incit energia râspunsului y(t) sl fie e•ll
cu energia semnalului de intrare x(t).
2
A y(t)
2'
RezolTarea Energia seanalului de intrare eetel
~X • i(t)it • r e·2t 4t • t j
+OO 00
-oo J.
- 247 -
X(jW) • ~~(t)} • r•o;(t)·e·JWt ·' ·4\ ... 1 -00 •
runc\19 de transfer 8 oircutt 1 1
+ Jw a ai ••tea
j· 1 H(jW) • JWC
B + l 6 _6 lWC
şi deoarece R. C = lo • lo = 1 s • se obţine·
!(jW) • 1'{y<t>} • B(jw>ff{z<t)} • A (1 + jw)1
Aplicind teorema lui ParceYal 81 obţiua
+00 .
CC., • )_ 12<t>dt. +J'iiCjw>l2·aw.
00 o •
1 ~'00
2 • • J j2 7 (l. 2 2·aw •
4 t (a-a aotat W•triO
. • o + w )
Diu coud 1 Ua . ~ x • ~ 1 renUl eo• ţii 1
.1-. 1.2
cne eate · 2 4 lltiafloutl peDtra 1. • {2.
bob}pa r.6.§, La .
-· iDtreree unui dlport, oa faDO'SI Pllol ••• '-•111
11 Dllal. trlUIJibialtr 4111 fSC. a••4•.-.~
\la W ... ~11 11 4•cluol puttrH at41e 1 o • .
l rad/a.
E 2
- ?48 -
x(t) ---
T 2
E ..... - ...... --2
F1g.P.6.8.1.
Be~olYsre: -Semnalul periodic x(t) se exprimA prin seria Fourier:
00 4B x(t) • • L · - 2 2 .. cos(2k + l}t
t..P (2k + 1) -7
Faocţie de transfer se poate scrie sub forma:
3 + jDW ~ 2 2n H(jnW ) • o • < + jn ., ~. e·jarctg 2
0 1 + jnW0
1 + jn n + 1 n +3
BAspunaul c1rca1tulu1 ~~ fi:
00 . 2
y(t> ., - L 2+;(2k+l) . 4 E t(2k l) t ~ 2(2k + l)J • cos + - arc .. g =
1+(2k+l}2 (2k+l)2.T2 . . (2i+l>2+'
k•O Fa sale iniţial al componentelor se Tor obţine din expre·
si :
lf 2k+l • - arctg 2~2k + J.2 ; k • O, 1, 2, • • • • (2k + 1)2 + ~
Pentru calculul puterii se vor lua tn considerare 11
1J1'
1
primele trei componente:
(
A )2 ( 2 2 2 2 12 2 p z 1 + A3 ) •( '5 ) • .&1 + ·~ + 2. • 0,412 J
:{2 -,fi -{2 2 2 1 2 •••
( 2k+l) +9 _ pentru t•o• ' . 2 - ' (2k+l) +l
unde: A • 4E • 1 2k+l 1f2 -,2-k+_l_)2 ..
- 240 .1 -
Problema P.6.9. -LB intrarea circuitului di u fig.P 6
opets ţionale - ideale, se aplicA semnalul • • 9.1. cu &IDplif
t cu
1( t) • p~ezen ta t în fig. p. 6 9 2 periodic de pe 1 ica toare
ts • • • Se ce r oadl!. 'f 1) coeficienţi lor seriei F re determina , ua ... ourier co rea: 2) condi ţ11lor pe care tre 1 mplexe a aea 1 ou e al le tnd na ulai 1( \).
oentele Rl' R2' R3' Cl' C2 ale circuit 1 eplineaacl ' • u ui din fl COipo-cit 8~ests sA reprez in te un circuit 8 1 g. P .6. 9.1 aatf e ee ti~ forma • el tu-cascadA a unui filtru trece sus cu w t din aontar
83dB=l4 'i /T cu ea 1D jos Sf1Dd Wj 18'0 /T; un filtl'D trece
3dB
x(t)
x(t)
l
fig.P.6.9.1.
T
o uri r oomple:d 1 ee•a~lulul sU) eataa
+OO jaW t t[ z( t) • L CD. e o ' Wo • f
D•-00
y(t)
t
- 25o -.
Derlvind semnalul x(t) in raport ou timpul, fi p g •• 6.9 l •J, •••
obtia :
rt) X .
(t) ~
T 3T 5T 7T - - - - t
15 16 16 16 5T
T -
2T J,T -16 16 16
Fig.P.6.9.3.
T ) l~(t) -b(t- ;-) +
o )
T -jnW t O • J_ x' ( t)· e ,
0 • dt "'
1
0 T T o
+ ~ (t - ..!.. ) - ~ ( t - yr ) + ~ ( t - ...!.. ) - ~ ( t - ..21.) + 8 16 4 16
+ ~ (t - 3T )- ~ (t - ,......,1...._T )le -jnWo\t • 8 16 'J
r=- f1 ~
"i <"if i'~ . •411 · 1 - jn 8 - jn 4 - jn - jn ...,- • J + ·-1-e +e -e +e
8
T -ln !:j- -ln TII1 -juru
+e· ~e T • ..L.l-e ~·· T -~D s-
1 +@
. liD Dl -1 ltl • _l_ • 1.lCT •l•@
! 001 ..... ; 16
nr Id c • __.r1l._. 1 . ~in n Ţ. • -i-n-n .jnW
0 2'ia ooa n .:J!..
16
- 251 -c;r
sin n
l
e 1 • J - . ~ • l . ~ ata ~ coa q . a n 2'iin cos 16 2'ifn coaÎ! COt T ... 'l:.
1 \ nil ..". 16 • --· sine . - cos ll coa !l1'" 1
4 . 16 8 4 •
2. Funcţia de transfer 8 ansaabl 1 . u al eate&
l(s) H(s) • • H1 (a) ·B,..~(a)·H ( )
X(s) ~"~" FTJ 1
a1(s) •- 1 deci \H1<s>l • 1 , "'tw
· R3 sB C HFTS ( s) • - . - 1 • - f 1
Rl +- 1 + ~·Cl sC1
2 w~B2.c2 \HFTS(jw)\ •
32 ~ ~
1 +W·Rl· c1 La frecvenţa de tAiere are loo rtla\ia: \ HFTS < j W8~\2 • 1 resultl w1 • _ .. \._- •
2
• lleoi o condiţie de proiectare " fl ..
- l_. . 1 J.!I B·C • 1 1 l B ) !
2\-it - 1 fi B,>~.
Pent ru filtrul trece joi fuDoţia a.
s, ~,<•> • ti 1 +
- 25o -•
Dertvind se nelul x(t) in raport ou timpul, f1g,P.6,9 3 . ' .. , - 251 -
~
sin n n 2 1
1- . le • -n 2'iin
r-::-
'008 n 11
16
- 1 •
21\n
ob la :
1
~ nil ~ • _L. sine cos n ° coa nlf
4 . 16 8 4 •
2. Funcţia de transfer 8 ansaabl 1 u u1 eate1
,j X t_l
( ) y ( s) H s • X(s) • Bl(s)·HFTS(s)·HFTJ(s)
(t) il 1
'
T 3T 5T 7T t - - -- 16 16 16 ,16
2T 4T 6T T
16 16 16 • _ sB3. c1
1 + a~·Cl
Fig.P.6.9.3.
T T '(j • _L X 1 ( t )· e - jD ~O t . d t "' 1 ( f ~ ( t) -b( t - _j_) +
n T T ) l · 16 o o
+ ~ (t - _!..) - ~ ( t - ~T ) + ~ ( t - ..!.. ) - ~ ( t - .2!..) + 8 16 4 16
· ~ -jnLJ t + ~ ( t - 3T )- ~ ( t - 7T ) .e o dt •
8 16
~ 'il 7 fl 'ii ·lll 51
. 1 -jn 8 -jn 4 -jn 8 -jn ""!- e r- + ·-1-e +e -e •e
T · _jn ~Ţ . -jo 1}1 1 . l -e -jn~ • .
+ e .. ~ e J • ..-... - , .. T -3D ~
1 +e
• Deci o U condl ţie de proiectare .,. fl Utl 4t ttllll
11
-.1 . 1 B ·c-- ·-,· ====- · lfi 11 l B )2 !
2\~ -1 ii a,>~.
Pentru fi l trul trece jos funcţia 4t u•'
- 252 -
1 (jW >12 • 102 2 2 • ..!... resultl
Brr J j l + w1 ft2C2 2
1 • 187 8 doua ooodi ţie de proiectare, w • j B2·C2 T
d transfer 8 circuitului este: ;. Functia e
s~3cl
w-= 147 implicA n • 7 deci: T
- 253 -
Cu coudi ţia de proiectarea
1 1 . -======= 2~ ~ )
2
- 1
fedru casul particular B1 • B3, ob\iae•a
. (187)2 ( ')2
Deci J9 • 1 c9 jiB(j lS~ w • !§I blpliol • • 8
!
1c81 • _l_. 0,159 27
1~ 1
CII OODdi \Ule de proleotert pea'r
- 254 -•
. F (7) [~ • ( : ) a u1 t : 'a • 1 Ca II·B (~ 16;~ 1·
'
. 1
intrarea unui circuit rezonan t s er ie se aplică un semnal a . 3 . 6
U ( t) .. ?(l + p ,8 cos 4 ·lo t) cos·. l o t. Ci reu itul rezonant este
8~~~at pe frecvenţa purtătoarei. Determinaţi f8c~orul de oaiitate Q
al circuitului pentru care factor Ul de modulaţie al curentului rezul-
tat devine m18ş.:0,4. ·
priD
•
Circuitul r soDent sed este presentat 18 f1g.P.610.1.
r L
F1g.P. 6.10.1.
I ( ) • li!l • . !~ l • ~ W )~ • S U( ) (r + jWL + j~t) r ~ + jQ~ • ~ ~
to
Q • r
puna 1 c1rcu1itlor 1 1 ul• -epectr 1 11a pr1n aeto eo l 1
. .. 255 ..
lcb1Yelentul ele joael frec,euţ& .,1 111
y11
on> ·• .t.,U<w- w 0 >] • _ 1 : · r(l•J·In}··· 1 ...
W · r(l + lt .n> . 1 . o k
14tl ·
• r(l + j ®i.n) . ' ~k "'~ ·. . , 10 . D
f 2Q.!l. & • •rot, ........
w o
Din erpresia curentului l ( t) re1ult1: iet .,,,
•t.. • 2
1 ·(~) ~----====0 ::'8=:::::.:;~= • 11 1 o .... - -
( 29·4·10~\2
1 + 10' J Q2 ~. ;w~ •• ... 'l'J{ii.
64
•
to iuD le de alo le • r o rt8 priu~UD pUft tGJ"
f otorul de o•ltt•t• eobltl~ ~ •an• ului 4e iD rer• ••" •• ,!...t. • aoord 1 pltftoetorulol
•
. ..
- -n
in 1g.P.6.
- - t
t
--• •
) • D. u( ) ' ( t s mnalul treapU uni tate. Il
- o
ac eri tica d joael freoYenţl.:
~k - 2Q.e w
o
of şur oare r~spunsului este:
,...,. [ -i-] i ( t ) c - K
0o V
0 1 - e k .u(t)
p osul le ieşirea asplifioatorul~1 eate:
0• vJ~ -e- ik ]-tos w 0t) • u(tl
orett• Tiapul in care amplitudinea semnalului .de la ieltre
l a 0 ,9 din valoarea sa maximA. K0• Vn va f~~] [
rezultia Din (-K
0).Vn.o,9 • (-K
0).V0 • 1 -e
Q ~T • 2,303 .&k .. 4,6 cr • 138 Ji •· - ,..,ottt
. o raat •• ,. p Rlspunaul la ie1irea aapl1f1catorulu1 •00
·
i n fig.P.6.11.2.
-
-- -
t
- ._._ ....
l1g.P.6.11.2.
Problema P.6.12.
Defioi ţi legea de •aria ~le tn \iap 1 fr + tC,t1l 1t1 1DIUDhDII
a anoi semnal de 1eşi.re dintr-un ••pl1f1Citor acord , •• ca UD atupr etajle intrarea clruia a-s ,aplicat aeJIDalal ele teaaluae
'int(t) • V0-cos(2'U·106t + 0,1. a1D2'i·l03t)
bpl1ficatorul este acordat pe frecYeuţa purtlto•r• 1 at111lalul 4t
la intrare şi are coostaota de ţillp ~t • 10·5 eec.
liesol-.are: Faza totalA a aeanalului de le teolre eate •• 411trt f••
••~nalulu1 de la intrare:
flDt(ţ) • W0t + ~ liD.Clt
11 defaaaj 1 U introdus de caracteristiCI a•pl1f1CitOrUlli:
<ft(W) • - arctg(l1riW0)·~t 1 ~t • ~ r.cl w
iut • W 0
+ ~ .O.Ooa.nt resul ti
f ( t) ( ll.Q.'t; GOl !li) leo • w
0t + fl sio!lt - arct1,... t
w d g (t) 1e1 • - iee • w + ~ n.co•Jl t +
4t o
. + ..e. ~k· ..n 2 aill!l.t
'f 1 +(~0.7; t oee.O.t)
- 258 -.
NotAm ~ .n6k .. b<<l şi dezvolt~ in serie: {r!x "'l-x)-> Wie . ., W O + ~ .(lcosflt + bnsin.O.t - b fi sin.Qt C082 nt •
Nwaeric
= w0
+ ~ncos.Ot + .nb~ - :
2
)s1n.nt -
w = 211·106
o
n • 2 'n·lO:;
Problema P.6.13.
Un amplificator acordat are două etape acordate pe aceeav1
frecvenţă la 12 MHz. Factorul de ca li tate al circuitului acordat dia
primul etaj este 40, iar din al doilea 50. Determina\i annlopa tiapu·
lui de propagare de grup a unui semnal de bandă ingustA a clrui frec·
venţl centrală este de 12,2 MHz.
Rezol-.ere: Dacă semnalul .de intrare conţine 2 frec..enţe foarte aprop1·
ete (lw1
- .w 2l/w1<<1) pute• scrie:
· w - w wl+W2 1 2 - --t
.., int (t) • cosw1
t + cosw2t = 2 cos = t·coa 2 2
wl- w2 unde cos este factor de joesl frec~enţl. 2
Dacl sistemul este ceracterisat de:
-
Probleaa P.6.li.
•cordet :: ;ucutt resoDIDÎ dtriYI\it ca Q • 125 ti L • 6J!I ettt oQrent o • 8 MBs • Ct.rout tul tltt ooDtotat 11 o 1 Hit
• iar •••nalul el rtsonaut d . • ietire •• ooDei•trl teul .. l J1 ertYB\it SI '"'- 4e
8 • •• dttel'II1Dt deD•r• 1 ...
'1 118•• feţa 4t ••aulul cit 8 Jlll,
!tiPl-,•rta Ctroalţ 1 u reaoa.at 4tr1Yt\1• tltt pre
"'·'·' •.
- 26o-1 c-- 2 2 -66 pF
4'if ·L·f0 ·
Impedanţa de rezonantA a cir cuitului derivaţie este: L L _Q_ -{Ii, ~ ~
Ro Zd( jWo) !:! re == c·~ = c .Q "" V -e·Q c: 37,69 in 1
~ c factorul de dezacord ~c dezacord generalizat
1 Zd( jW)l 1 Ro = ~ = O ,305 , iar atenuarea semnalului: 1'1 +ţ
A = 2o Lg 0,305 • -10,51 dB
Banda este dat! de: 1
Problema P.6.15. Fie amplificatorul acordat din fig.P.6.15.1. unde f 0•28 Mhz,
Q = 95, ~=VTc = 430.0.., ktd .. t::L2
• o,6; ~ • 2o mAIV; B1·15 K!1
P.6.15.1.
- 261 -
Sâ 1 determine clgtigul la r ezonan\l 11 b IUda 11plif1 ceto-
Bezol~are : --Scbema ecbi-.alentA a amplificat 1 · '· oru ui eat
o 6 15· 2. · • prezentati 1" l!g·J. • . ..
\ (jc;J) uie.s
.___-t---1:-~1 '-v-' Zechiv
Pig.P.6.15.2.
Impedanţa la rezonantA a circui talui acor.aat ~ cu prlal eate:
2 . Bo • ttd ··~·Q • 14,7lln . '
Impedan\a ecbivalentl le resoun\1 B IB eate: . . : . . o 1
. . ta rezonanţl:
B(p• U -,tObh ) a l!J • u
.. .• . .,.,,. • ._.z • •
-. eobl•· 1 + j ~ ...... ..,..,. 1atr f•f o
• r.· 10
• 148,6. Ctşttgul tobl 'f.
A amplif1oatorulu1 11 resoaaDţl 11t12
~ • 20 !el&<~~ bl >1· ao le 148,, 10 '· •
81D41 •apllfioe~oralai 11 ~~ tiWI
." •• 214rl • a r, • ~~ ...
- ?62 -
48 obi •
d ci B;dB 0,584 MH •
Probleme P.6.16.
On circuit furnizeazA la ieşirea sa un rAspuns
y( t) • (1 - e
t t-T -- -0 ). u(t) - A(l - e 6 ). u(t - T),
cind la intrare 1 se aplicA impulsul dreptunghiular x( t) din figura
P.6.16.1. SA se deducA rAspunsul y1 (t) al aceluiaşi circuit la inA
trer e olruia se aplicA semnalul x1 ( t) • ·t ·u( t). T
•x(t) A..,.._ ____ __
t T
Fig.P.6.16.1.
Resolvare: Impulsul dreptunghiular din fig.P.6.16.1. se poate
eorit
1
ub forma: x(t) • A·u(t) - A.u(t - T)
Funcţia de transfer a o1rou1tulu1 este 4etl des
..
..
- 263 -
Problema P.6.17. -lB bornele de intrare ale circuitului di
O D ftg.P .6.17 1
splicâ la momentul t • un impuls dreptun•tul • ·•,·•• ~· ar, f1g.P.6.17 1 de duratA ~ şi amplitudine E.SA se oslouleae •1 1 • .b.,
y • ae repr 1 ~ grafic rA-spunsul obţinut la bornele de ieotre 0 id
11 1'1
ona ertnd restateaţa diode1 in cooducţ1_ e directA R..1 • lOOil !n condi"-t 1 "' ' M • D~eral B .lOOk!l, R • 2K.!l, C • lp.P, b • 0,2 •a, E •1 V. 1•
.~tJ
x(t)l R - E
t o ~ --
aJ bl
11s.P.6.11.1.
§eaolYarea
DupA aplicarea 1mpulsulu1, coucleosatorul C •• 1101rol p!DI
tu 1011eotul ~ , dupl oare, ee•D8lul fi iad aal, blntlt it lDtltrt
atut aourtc1rcu1 tate g1 ooodenaatorul •• fi 4teolroe prlD rtl1ttta-
\tlt R 01 11 oooectate tn paralel.
Pentru 1nter•alul t ..: (0, ~ ) 11 poet• 10rltl
l(e) • B(I).I(I)
B(e) • , 1
llc • 14 + 1111c 1 +
51 + ...... 1
unde
- 264-
6 1 • c . Bd • o ,1 DIS.
y(t) • ,;:e-1{Ycs>} .. /1 - e t ) --01 eu(t)
Valoarea tensiunii la sfirşitul inc~rc!rii este 1
12
• y ( ?; ) • O, 864 V.
Pentru t > 0 circuitul are forma prezentată tn fig p 6 • • .17 .2
căruia ii corespunde ecuaţie: · '
tl 1 f R·B - Htidt
1 - 1
2 + · 1 ·1Ct1> • O, unde t 1 • t - z;
C , 0
B + R1
i(~
c
F1g.P.6.17.2.
Ecuaţia opere~ionalA corespunzAtoare se poate scrie:
.ll!L- y2 + B·l(a)o.!O C
• B << B1 8· 8
unde: 62 • B· c • 2 ••·
- 265 -
Tensiunea la bornele circuitului 12(t) are expresia:
RAspunsul y2(t) este prezentat tn fi p g •• 6.17.~.
f[ms]
0,6 qB
Fig.P.6.17.3.
Problema P.6.18.
SA se determi f ţ !la Ft p 6
· ne unc ie de transfer e oircui tului dublu g. • .lS.l.' 8 tenuarea şi natura acestuia.
1
lg.P.6.18.1.
t or mi lui Ktrchboff !n nodu.th 2, 1 4 • •
2
und : y sC + G I
y 2 sC + 2G • 2Y 2
y3
• 2sC + 2G • 21
- 266 -
Graful de fluenţ! asociat sistemului de ecuaţii este pre
zentat in fig.P.6.18.2.
1
F1g.P.6.18.2.
pliclnd regula lui Mason se obţiue:
, . .
- 267 -
w2- w2 o
Tl4(jW) • -W2 - W2 + 4·4-W o J o ' unde w • __,1 o ...
'
Funcţia atenuare a circuitului eate def1n1tl de:
A(w) • 20 kiH(jw>j-l • 20 klr14
<Jw>l-l T14
(o) s 1 rezultA !(0) • O dB
T14
(joo)a 1 rezultA j (oo) • O dB
w2- w2 o o
• O resultl
!(wo) • 20 kiT14(jw)l-l • oo
Prezentarea graficA este dati tn fig.P.6.18.3.
A(GJJ=2olgl'fu OGJJr1
f 1 f 1
1 1
'
Fig.P.6.18.3.
BC
• ••• Circuitul dublu T represiotl UD filtru "'pre1tt •
l!obleaa P.6.19. Uu 1at o f•oţit •• lttbat Cirovu are, tn rega siouaoidel peruo _ .. , .. ,
•r car w 1rt ,.,. • !n jurul unei freo•eoţe 1JDIII1ul•r• 1'
..
- -d t in uno 1 de tren f r cirou1 tului eobt '•lent
d 3 r cT n si, cu ju orol ei, s~ s calculeze func~ia ,, iud1-
cial · r(t) p ntru lnf §Uf toar a s oalelor llodulate.
Ia jurul pul sa ţi ei W 1, este wle bill re la ţla:
W·Wl W·Wl W~ .w2-wr • (W- w
1HW+ Wl)% 2 W 1 (W- Wl) •
.wl ___ .........., __ 2(W-Wl)
' Func\1& de transfer se poate scrie sub for•a:
H ( j W) • __ ... 1..__ ___ • __ l_w_-__ J_W-=1~-Wl 1- 4j __ .......__
2(W - W l)
Besultl: B( e) • _., __ • _l_w ... l __ _
1 - jWl + 2Wl '
Funo\la de transfer a olrcultulnl eobl"aleot de jotll freo·
.. ••oii •• obţloe dia fuuo\1• B( e) prin lolocutr•••
•----• • 'w0
unde W 0
·nte freonoţe uocblulerl • purtltoeral.
i(a • lWo) • 1 t tAW - ' llw• w, .wl •• 2W1 • 3aCJ _... li
Sa OOUitltl oi funo\11 4t tranaftl' cbUI Dl oortl,_..e . IIDtral DDU1 o1rcu1t f111o reel111~11.
Dlol 6 W•Q.resul \la
i(a + 3Wo) • • ' • ._....-• ........ • 2Wl 1 + zw,
oua ••W raallM'bll fl lo tl oor .. pao&a upert l
..
- -
...... ,
UR P----,.,-...!\
1g.P.6.19.1.
p otru o t circuit po te scrie:
H( ) B _...........,lP--- • .___,_;a:;.,.__ B 75& a+ l
BC
uU COD 1 1 RC 1 2 2W
o
unc ie indicial r( t) pentru inf şur toar
1 b~ lt. r t se o ~in determin ind r spun sul ci reu tului le s oalul r
1 b\1Dtl
Y ( B) • H ( )· { u ( t >}
.-L. a+l W Y( ) s s + 2~J1 + j Llw
r(t) • ........... .._ f O+j
2'Uj o-j
olo ind t r r 1 uurilor pentru
1 • ' 2 • - 2Wl • l
11 :
•
- 27o -
r(t) • e -2W t
e o
. SA e determine valoarea mediei p§.trati.ce a rlspu 1 nsu u1 cir
cultului din fig.P.6.20.1. la intrarea căruia se aplicA un • 1 tor x(t) ou densitatea spectral! a puterii:
Rezolvare:
+ ..L b (w) 2
F1g.P.6.20.1.
Funcţia de transfer a circuitului este: .
B(jW) • Rl B + ---
jWC
W'l' • - l , T • R·C 1 + jW'l'
semnal
Funcţia densitate spectralA de putere S ( j W) e semnalului y
eleator de la ieşirea circuitului este datA de:
S1
(jW) • SJ:(jW)jB(jw)l2
2 2 \B(jw)\2 • w .f
1 + w 2T2
2 2 ":1. ~ s,<lw>. ' 1- Qţ!w w ·~ = •0 (w)
27. 1 +W = TQ + 2(1 + W .,Z)
Ke41e pltreticl 1 rlapanaalu1 eatea
- 271 ...
•...!. w2 2100 27 o ~ + w 2. ,"2'·~(~)4tJ•
2 00 • _!_ - T cos w 00
2
Pentru calculul _integrale! 0
00
ee considerA. integrala:
12
• (X> sinW ·dW ),.. 1 + w 2. 1'2 o
ti rezultA: .
1 ioo ioo 4w • Il + jl2 • cos w + J sin w • •
o . 1 + W 2 't'l. dW • -~-.-w ... ~ ... ~· 4W o
Calculul integralei I ,_ poate fi ficat oouldtrt .. lltacn ... a
I 5 el• 3 • 2 ~·41
~d <r> • + • • 1
• 1 + 1 tQllbcbie 1 este o •arieblll oo•pled,
din f1g.P.6.20.2.
-R R
rt1.P.6.20.2·
- 272 -
Polii funcţiei din integrala I; sint:
± js zl,2
ier reziduul în polul z1 = ja conţinut de conturul ( r ) este egal cu
e -a •
2js
Deci: -a TI e -a 13 = 2Ttj· - ·e
2ja 8
. -Y
J eJZ . lzl.e o · · f jXt, lim • .. 2 -= l1m · 2 2 \ c: , z=x+ JY, 1ar e F .. , l z l .... a 2
+ z ~ zi -oo l a + z
Se poate scrie: ~·-t-eo jz ru -a 1 -= e ·2 · dz • - · e
4 82 + z 8 '-00
' +00 f+OO J
. cos z d j sin z . dz 14 • 2 ~ z + 2 ~
+ Z e + z -00 8 '-00 +00 . r sln 1 dl • o
Cum sin t: este· funcţie imperii va rezulta ) 82 +
1'2
'-00
iar cos z funcţie parA implicA:
Deci:
-a . e
~ -+ W U,.., t
cos 2 aw •. 12 + w 2! 2
00
008 w 1 100
Il. 2 2 aw • ~ 0
l+W'l' T 0
' Iu couolusle:
2 r L T ... -! . ...1..(1-•- ) · ., <t> • - -:=2. ---- .. ~rr •1r 2T 2'1' ..
- 273 -
Problema P.6.21. -La intrarea circuitului din fig p 21 1 • • • • se aplicA ua
densitatea spectrală a puterii s (jW) • S 1&0•ot alb, cu x Q. SI se detera1
. tatea spectralâ a rlispuneului, funcţia de aut ne deosl ocorela ţie 11 0 răspunsului circuitului. P -~erea
ISyfjt.~) ~------------~--~
Fig.P.6.21.1.
Rezolve re:
Funcţia de transfer a circuitului este:
H(jW) c ---~--. ~---1-Rl + B2 + jWL 1 + jW!
unde s-a notat a -= ,_R_2 __
hr PUt
Dens! ta te a spectralA a rAspunsului eate:
2 2 •• 5o
S1 (Jw> • IB< Jw>l . sx< jw) • 2 f2 1 + w.
erea rAspunsul u1 'fa fi: 2
- + oo ,2.s • .s, 2 1 )• '5 1 4W • -7 lt) • ...._ s,<Jw)dw • T 1 .w'·".l 2'f
2lf • o ... t er -lt•ta=
runcţ1a d eutocoreleţie eete oowfon teorati
1) c -r; > • 7'-1{s1
(lw)}
) • -l.. S (JW)·•JW 4W • 'f 1 ~1r 1 o
<t J + ?; ,2.s, ioo H tnw~ - 1 ~f t lapar •atfel oi l+
~
- 274 -
F be 0 probl i P.6.2o se poate scrie:
f oo co ... w & d w 1 1 ca ___ c .... os...__w ..... 6...._.,.~ d ( W'6) • 1 + w2. T2 T 2 2 T2
t o o 1 + w .. 6 . 'G 2
00 . & ( cos w6
7) z,2 2 2
6 7 ---• --. e T
o 2 +W (; T
2T
Va ezul ta funcţia de autocorela tie:
82. s 161 82· s. 161
o 7 -,- o -,. R ("&) = ---· .e = ·------·e -~ TI 2T 2T
deoarece BY ( 6) este o funcţie pară.
Problema P.6.22.
La intrarea circuitului din fig.P.6.22.1. se aplicA uu sem
nal x(t) aleator a cârui densitate spectralA de putere este:
sul oi.
ţie:
1 s ( jW) K 2 X 1 + W
R fJ 1 J t6
~(jGJ) el I
Sy(juJ
fJ -Fig.P.6.22.1.
( t)
'
1 1 rlspVD· SA se determine puterea medie a aeanalului x
Rezol•are: Funcţia de transfer a circuitului eatez
H(jW) • -hl • ~1---R + - 1 + jW!
• ! • BC
lWC .. ttl•· t• .. u
Puncţie 4ensitate spectralA a rlspuo•ula1 ••
- 275-
2 J'+OO Rxx(O) .. x (t) • ...L S (jw).d , 2TI X w.-*-
-00 2
Puterea medie a răspunsului y ( t) este:
R (O) • y2(t) • l J +ooS,.(jW)•dW c ..!..100
dW YY 2TI J 7 -:---;~.._..._
-oo o (1 +w2)(l+w2!2)
Deoarece:
1 • 1 . 1 r2 (l+w 2Hl+wfT2) 1-T2 l+w2 -1-.f1.'1+
integrala devine:
,2(t) • 1 (00
dw _ 1' J.oo 'U-(1 - T2) )_ 1 + w 2 7·(1 - T2) 1 + w o o
• __ 1:::.-,_
2(1 + f)
froblema P.6. 23.
La intrarea circuitului diD ft1.P.6.23.1. It epltol &lea tor ( t) +4 1 caracterizat prin funcţia 4t tatooonll,.t •
008Wot • SA se determine densitate• •pectrell• r1.,..U.t
Preclll 11 media pltraticl 1 lui J(t).
- 276 -
Bezol are: -Functie densitate pectralA a puterii semnel~ ~ai este:
sx(jw) ~{Rx( c;)} .. J{cos<~o c;} li[~ (v..l-Wo) + ~(W+wo>J
Funcţie de transfer a circuitului este:
H(jW) R 1 jWT ' T "' R C R -t 1 + jWT
jWC
Densitatea spectralA a răspunsului este:
2 . '!IW ~ T2 (' \ s (jw) c !H(jw>l .s. (jw) = 2 2 o<w-w0 ) + O(W+W >]. y ~ 1 +W T o
Medie patret1cA, adie~ puterea răspunsului es t e: •+to .• 00 2 2
) , ) Tlw T ~
R (0) = y2(t) c: ..1.... s (jW) dW c ~ 2 2·o<w-w0 )dW• Y 27 Y n 1 + w • T
2 Wo,•T
• 1 + w 2 ·T2 o
'- 00 o
Probleme P.6.24. de oan·
La intrarea unui filtru trece-jos ideal, cu lA.r giJDe&
dA B "' 1 KHz şi cu uodu1u1 funcţiei de transfer H0 • 1, ee a plici an ) s SI se de-
tgomot alb, cu densitatea spectralA de putere S1 (jLJ • o' 1 " . . otului ae • term1ne functia de autocoreleţ1e şi puterea medie a sgom
ieşirea filtrului.
RezolYere:
Modulul funcţiei de trsosf r are expresia:
\B(jw)\ • H
0, pentru W
O , p ntru w
Densitatea ep ctrsll de putere le
S7
(jW) • \H(jw)j 2• S:a:ljW)
trens
- 277 -
Funcţia de autocorelaţ1e 8 rla PUUaului formata Fourier innrall: 18
detei'I1DI Jrla
• '= 1 •
' . Problema P.6.25.
Se consideri circuitul presta tit la f1c.P.6.25.l.a.ll • ee aplicA la intrarea· ea aeaaalul perlodio 4la ftc.r.6.25.l.L tru care ~ << T ti UD I&QaOt alb, 41 cltDiiU\1 1pectnll U pattrt
So. SI •• calculeae rapol'tUl dintre nloiHI .aDI 1 rlll~ltll '•loarea ltdie pAtraticA 1 ssoaotulal 4t 11 lttln. • u~euu• •lrllea oonatante1 de tlap 1 c1roultalu1, 11tfel lao! t llflrttl 11
flt uza. St preciseasl oi _, « ! - l •
~ {R ~ ] ci x(t) y (t)
I -. -a)
- 278 -
x (t) • E.u(t) - E·u{t - & ) 2
..L- ...L.e -~a 8 s
Funcţia d transfer a circuitului este:
1 aC 1
H(s) R + _..1___ • 1 + sRC
sC
____ E ___ ----~--. e - & s s(l + sRC) s(l + aRC)
RAspunsul y2
( t) se obţine calculind transformata Ia plece in·
1'ersA:
y2(t) .. ,2 ·l{y
2(s)}"' E(l - e -ni) u(t) - E(l- e -li)u(t-(;)
La o entul t ~ T se obţine:
( '1'-~ '1' )
y2 ('l'~ ·1 e- RC -e- Jm
oarece T -~ >> RC cu atit mai 11ult T>> RC de undei
!-b ! e- RC <<1, e- lm<<l cleei
T-~ ! - liC - E<< 1
e - e it ..
Y rezulta cl1 le aomeutul t • T, la care 1u eeanalol sl ( t) ~~r~O, f)
puls 1 dia perioada (T, 2T), efectul ilapul ului dio pedo• (t)"' 12ctl dieplirut dela de 1 i ira. D ci se poate consider• el 11 ) pe to•·
pentru t (0, f) vt prin periodisare ee obţine rlapuo•ul 1l(t
ti eu ti•pului.
Valoarea aextal • rlepuaeulu1 1o per1••41 lO,
'lM. '2M. '2(?;) .a(l- -ie) .
,,. f) ......
-279-
Fie , 1(t) zgomotul la intrare, pentru care a S ( j ) e cunoatte:
1 w • s 1 o·
Densi l;atea spectralA. de putere 8 1 · ·. gomotului de la 1ee1re
este: S (jW) • Sz (jW)·lH(jw)l2 • _
8o z2 1 1 + w 2. B2. c2
Puterea medie a zgomotului de la ieşire este:
)
•00 s 00
z22(t) • J.;_ S" ( j W) dW • --2. dW So
U u2 Tt 2 2 2 • • o 0 1 +W ·B • C 2·B·C
Valoarea medi.e pAtraticA a tensiunii de zgoaot este:
Raportul cerut este· un raport semnel-sgo•ot:
(+);·
~ ( -i\ 1
- e - ; • ~.-{i + 1 - e fzlt • e
2
- 28o -
1 ~· iile ~ o şi ~ 1,256 dintre cere numai ultima cond
cu so u ~ 9- 9 uce la
0 valoare finitA pentru 9 şi anume ~ O. 795 b •
UrmArind semnul derivatei, aoeast~ soluţie corespunde unui
ma 1 pentru raportul semnal-zgomot egal cu:
Probiema P.6.26.
s~ se determine funcţia de transfer a circuitului din fig.
P.6.26.1. cu ajutorul grafurilor de fluenţ! a semna l elor .
c c 6
u1\ 2 5 ~u6
Rt R2 ~ ,l, ,:x;,~c
Fig.P.6.26.1.
RezolTare:
Exprim~ relaţiile între potenţialele nodurilor!
u2. ul u3. aC u2 +
sC
13 13
u4. Gl u2 +
G2
14 ~ ~
u5. eC u, + G2
ts 5
6 j( - tl )
•
1 -
- 281 -
!3 • G3 .+ 2sC • Gl + G2 + 2aC
t4
• G1 + G2 + 2sC • t 3
!5 • ~2 + aC
Graful de fluen ţA este prezentat tn fi p 1· .6.26.2.
~ y.
1
F1g.P.6.26.2.
jplicind regula lui Mason, fubcţia ele tna•f•r t1 fl&
a· - j + 2
I4Y5
u6 . • Tl6 • .
ul Gl • G2 -J·l s2c2
y • y ·A ·1 + ! I 5
a2c2 ~ 2 2 (
aC •A + ! C ·(· A) + • -A + + • r,~ '•r,
I3I5 y3 15
lc2 + a,. '2 ..
• ,202 • 2aCif + '1 ~
...
- 282 -
Wo 2 unde: -- •
Q C·R2
•
' 1 -
Q 2 .
Problema P.6. 21. Si se determine funcţie de t ransfer a circuitului din f 1g.
P.6.27.1. cu ajutorul grafurilor de fluenţ~ a semnalelor.
6 R
2 2
. . Fig.P.6.27.1.
lutr pot o\1 i le nodurilor:
•
u2
u. G u7•+.us· 2 u7+~u5
4
- 283-
s2 • Gl + acl + G
s4 • 2G
S6 • G + aC
Graful de fluentA este P · . rezentat to fi p g •• 6.27 .2.
1 1
Fig.P. 6. 21. 2.
Funcţia de transfer o determina apllctod regula lat llaiOI:
H(s) • 02
G
2S2
ul •
ne tuuoţll 4• trtalftr 1
u pflll'llet .. Il
- 284 -
u,
Fig.P.6.28.1.
Bezolvare: Exprimllm relaţiile intre poten ţie lele . nodurilor :
. Il I2 ~~ u2 • y·• • u1 + · U-x + - • u I' .., I' 4 .
2 2 2
~ tii
Y2 a 1 + !2 + I4
I; • I 2 + t 3
Graful el flu nţ asociat sistemului ae ecuatii eett prtltll•
t t tn f1g.P.6.28.2. -..
1 Y(~ 2
1c.:P.6.28.2. l *''''
tranef r ea d tera1Dl apl1o!D4 re,ult 10
- 285 -
I I . UA _:l 2
B(e) • :! • Tl4. ~ · -yr-·A ·l ul 1 - ( 2 . t + ..:!.
12' t• . t• . ..:t.. ' . t•
2 '
-~~~~ ~·~·I~f~I2~~------I .li2 + y I + I I I 1 3 2 3 + 314 + !214(1 -A)
Deci A • 1 {AO este repetor) atunci:
Daci A ... 00 (AO este ideal)
Problema P.6. 29.
Se dl circu1tal din fig.P.6.29.l· 1. SA se glseasol expresia fUDc11•1 dt cir
raotertz ee zA rAspunsul oiroui tulu1 !u recil ltbtr.
fi(j w) 2~ Sl se exprime funcţia de circuit la frec 11 a!l ee deteraine a ( W) ti '!' ( w> peotro frt
3• Sl ee represinte crefio e(W) ti 'f(w).
e ftJ
•
- 286 -
1. Aplicind 1 il lui Kirchhoff c1rcu1tulu1 ee poet • · 8 ecriec
. Il E • I +-5
o
Ef ctuind calculele re ult!:
2. finind p B( ) D
ult s
12 • __,2~E.._ __ 2s + 2s + 2
u2 I • l . 2 1 +
B(s) • U2 E
p
( ) • • ; + 2a2 + 21 + l 2D2
B(a)\ • B(jW) • -3W' - 2w2
+ 2jW + 1 • .. ~w
• (l - 2W2) + 3W(2 - w2
)
-
e(wl
- 287 -
<f (W) • arctg W(2-w 2) 1- 2 w2
'P ( 1) • srctg( -1) .-.:I 4
3. Reprezentarea graficA f
t
8 unc\11lor a (w) da lin fig.P.6.29.2. respecti'Y p 6 29 11 ~(w) este
a(c.J)
CJ
1
F1g.P.6. 29. 2.
Problema P.6.3Q.
• • • 3.
- cpt.>) 11 "1
T --' iT 1
Fig.P .6. 29. 3.
tl S!i se a ne lizeze comportarea to frecYID\1 1 circuittl•r •
P integrator, fig.P.3Q.l. şi difereoţietor, fic.P.6.3Q.2.
1 .P.6.30.1. fll·'·'·,o ..
.........,.~~~ll!l.!II:!JlU..I
1 • r aeftr 1 olrou1 tulul ••••
h 1
.. •
- 1 .. ,..,, •
JWIC
Rezul t~:
- 288-
t
D2(t) ,. _L. ·J gl ( ~ )d~ BC 0
U2( j W); 1
Ul (jW) 1 • vl + (wRC)2
{u2<jw)J
<p(W) -= arg • - erctg WRC u1 (j w>
Reprezentarea · graficA e modulului funcţiei de t fa ei este datA de fig.P.6.30.3., 8 , b. ranafer tia
I
U2(jc.J)I
u, (j~) 1
a) 0,707 0"'7 ----1---: 1
J_ 2 RC RE
<p(GJ)
b) ~ ~ -~~~--_~,~------------~-~ ------ --- ...... ---.----====·-
Fig.P.6.3Q.}.
2. Circuitul diferentiator:
.
Funcţia de transfer se poate scrie:
• U1(e)
D2(jW)
u1 (jw)
sBC 1 + aBC
- 289 -
Rezult~:
'·
Reprezentarea grşfţcl a aodulului funcţiei de transfer Qi 8
fazei este dati tn fig.P.6.3Q.4.a, b.
a) \ Uzf~jl u, jCJ
1
0.707
a,22'-
k
'
J <p(w)
b) 1 1
rlc rt1.P.6.30.4•
Probleae P,6.3~.
SI ae analiseze ooaponente d tr-un o1rcu1t eerie BLC • regia liber • curentului tn-
presentat lu f1g.P.6.,1.1.
K R ,r---J L~)r-JY~
u(t)
- 292-
cusţis cere csraoterisesz! circuitul este:
L di + R .1 c e ( t) , t > O dt .
Begiaal liber este caracteriset de ecuaţie d1ferenţ1all:
L• di + R•i • O cere are ce soluţie i(t) • l·e at dt
at . st 0 L•K· -e + B·K-~ •
~ B 1 s -=---·- _LB
t 6 -L 6 L
Deci curentul in regim liber ~a fi:
1(t) - ~-t - _j_
K· e · • (.e ~
Constanta K se determinA din condiţiile
1 • I de unde: o
1(\)
lurltll (O)
Repre1entsrea grsf1cl •te 4ati1D fli.f '-''..2.
t
P11.P.6.,,.2.
I ~ti o
- 293-
CAPITOLUL . 1
Metode generale de an 1. V •
, . t· 1 a Iza a carcuitelor ŞI SIS eme or numerice liniare
Breviar teoretic
• Un. oircui t sau un si stea nu.erlc liDitr ti 1A'ff1Mt 11 thlp ~NLI) poate f1 •odelat •ateaatic prin lnterat4ial •1 ,,.,. •
tor v• \ }. astfel incit releU a dintre Utnrt 11 114irt 11 aprtll prin:
x(n]-J[n] .J'{x[D]}
• BA spun ul pondere b [a] e1te ri.JpGDIUl SllJ • l pa
unitate ~[n] , s11tfel el: h(n] • ~[r~Jl· Cuao1olM ,,..l,... a re b [n] e poate calcule rlepuneul 1t•J el lt
oerecar x [n] priDI
J[o = (x[n } • z(n] [a) •UJ·Ia(a
[[IJ tt
a r[ll] • r (•J '
[a]
, .. ,0 r~ ~
1 • •
•
- 294 -
RAspunsul SILI 1 un semnal expgnen~ial eompleJ
x[n] • ,n cu r; e t , e te dat de rela\iat
+00 k · T(n] = t'{x[n]} • b~] * x[n] • (=-~[k). ,n- •
00 -k D B( ) ~ nLb[k]-r: • 1 • 1
k= - 00
dic (n] este tot un emnal exponenţial complex 1n timp discret,
•al t iplioat cu valoarea funcţiei de sistea H(z) eY~luatA tn punotul
E •
•P spunsul SILI la un semnal de forma n:i[n] ·>""'!k:-!=- .. fi d f ores 1 'ro' y[n] ·L:>k·'": H(~k). In general un semnal periodic tn Uap discret
(k) N-1 j 2\ e t r prez ntat prin suma oonnrgen Uz x [nJ • ) ak:. e Df= , ut-
t;o' f 1 !noit rlspunsul unui SlfLI caracteriEat de funcţia de transfer
B(z) la seualul periodic x[n] aplicat la intrarea sa va !1 4e
f n~a:
eBlspunsul SILI ( taluat) 1n pl nul 1
transforaat Z caaţ1e1 cu difer n\e finite: N M
L i J[n-1] • L 'b r[n-1] i o i o
obţ1n1nt1c-•e:
M L•i ,-1 ·Y(&)- L bi .-1 -l(s) 1•0 )•0
una. l(s) -~~ nJ} , iar l(s) •
Se 4tf1D 1t• aatfel f noţl• (41 111\
ee ob\ 1ne apl te ind
- 295 -
M Y(z) ~ bi ,-i <•-• l
B( r;) • I{ z) • --r:::-N ....__--..._. • B = ot
L ai s-i o ( •-• ) i=O i•o 1
RAsptmeului
ti•P discret foraa:
I(z) • I(c)·H(a) 11 1[n] • x(n]Kb(n] .
ooreapun41 11
• DacA d eni ile de oonvergenţl. a1oc1ate 'Lreaferaate or I(s), Y(z) şi H(z) includ ş1 cerool uni tate din plaul 1 1
f • • • 1-nesc corespunzAtor transfonatele Fourier: ( jU •n
1 ' ) ' I( ,.- ) 11
B(ej.O.), lu care oaz:
jCl H(ej.Q) • l(e . ) • IBCejn>l ,jcpCn)
I(ejD.)
unde B( ej.n) e te periodicA ou .Q, ., couiderl ••ftal \
0<.0..<2Tt oi se obţine dl.n B(a) peatra Yalorilt 1 t • • • ••
pe nereal unit te ca Isi• 1.
Uneori H( j Cl) a •ai noa te 11 !!Dct1e de tJ]A•f•r lt!QroaA.
I
e:
l( .OJ 2o !a (D)
-l 1
( ) ) } • - ((l)
l ta [•] •
- 296-
S dA 1stemu1 discret cauzal pre t . . zen at in fi d. t rm1ne răs;.unsul siatemului y [n] cind la intr gura p 1.1.1. SI
:rl [n] ,., ~ [n] sau x2 (n] • 3n • are ae a plici
x{n] -1 z
lig.P.7.1.1.
Re&olTare: Rlspunsul pondere h (n] este rlapunsul sistemului la impulalll
unitate ~ (n] • Cunoscînd rA.spunsul pondere b (n] se poate calcula
rlspunsul Y (n] al sistemului la un semnal oarecare x [n] prin: +oo
J [n] • .x [n]., h(n]• L x(k)-b{p-k] k• -oo
Sistewl fiind causal, produsul de C9DYolu\ie aucrtt Ta fii 00 00
1~] - ·x (n] *b(n] .. L x(kl·hf!l-k] • L: h[k}x[D-~ 1 k.O t..O
Ecuatia cu diferente fini te a circul tului ee te:
J[n] • 2x [n] + 4·X (n - 1] ( t f o\1• potsd•rt' Aplicind la intrare impulaul o [n] n resul • un
b (n] • 2 ~ (u]+ 4~(a- 1] .,tl•' r. :~ t aete,.1oa ,..,...
Cunoscind functia pondere b LnJ pu ••
Jl[n] • f)b}·h(n-k] • f: b[k}~[n - t] • k.O . »-()
.. 297 ..
• f:[_zb(k] + 4~"f~- ij}·b[n -kl• 2~[n] + 4~(n- 1]
~ 00 y2(n] • L (2~[k] + 4'b(k- l))·~n-k. 2·~n.+ 4·~n-l; .Yn z.
k-0 Problema P.7.2 Sâ se determine b [:l 2ş1 B(z) daci rhpunsul sistemului dis-
cret la x(n) este y[n] • L x fk]. k•n-3
BezolTare: Funcţia pondere h[n] se obţine aplicind la intrarea sistesu-
lui impulsul ~ [n) , deci dac!: ~ · n+2
x[n] ... o[nJatuncib(nJ. L ~f1tl
RAspunsul Y [n] se poate scrie: oo lt-=n-3
y[n] • x(n] * h[n] • L xfk] · h[n-"k]
Deci: k .. -oo +oo n+2
H(z) • L h[k]·s-k • L~[kl·s-k • ~ ,n k-oo \-n-3 W
o~ ~3 tl TariantA conatl în a li
cu diferenţe fini te di p carea tranaformatei • D enun\:
ecuaţie1
re,) • x<a> . c.-3 + &-2 2 + •••• + 1 ) Dar
I(s) • 1(1) . B(l) deci
B( ) • .-3 + &-2 +2 + ••• + E
h [n] O [n-3] +O [n-21 +
Pr bl
J • • • + 8 r D+21
o p 7. '· L' J
1
1 t ul nu 1 r e dio 1m1P p 1 o- • .3.1. plici • CYen 1 [b 1
' '1 • 1 111111 1 [a •
) S ti el:
-1 z
-
1ig.P.7.3.1.
~00
Y[n]
:r[n] • x(n] • h[n] • L h [k].u(n-~ k--oo
und h [o]reprezintA funcţia pondere a siatemului. Din sistem:
B( E) - ----1--- - ---·-1 -1 1
1- ,-·• •- r h [n) • ~n i {x[n] • L$ezid {)((z).zn-l·}) •
Sisteaul f11Dd ca~al rezultl1 1
h[k] .; 4' ' k: ~ o
O , 111 reat
1, daol k ~o Deoarece u [k] •
O, ln reet
•• obţine: 1, 4aol t<:a
u[!l - .k] • o 11l nat ~'
r t 1 Deci s . n 1 - ... r 4"*1 :.. 1
. J[a] • ~ ~. -~ • ='. ~ ~ 4 L ~ ~
li) Deoareoe x(al • .,• •• ••t• ... w• ~ aJ.-.-11...,
J(•] • E ~. ,~~ . , .. ~ ~. ' ~'-;" . . w
•
12 Il rezul tls 7 [n] • 1! · 3 •
Proble•a P.7.4,
·ioua\1a reoursiTI
y(n] - +·r(n - 1] • x(n] - 2x[n - 1]
definette un aiste• oausal. a) Sl se dete~ine B(s)_ b) Si ee glaeascl 1 [n] daci x [n] • u [n] . . o) SA se realizeze sistemul folosind un au•lr •1n1• de celule
de 1ntirsiere. RezolTare:
a) Aplicind tr~aformata z ecuaţie! recuraiYe ob\1De8&
( 1 -1 ( -1 Y z) - T • · Y z) • I(s) - 2• ·l(s)
rezultl: l ·1 R(s) • Y(s)
X(s)
b) s. · ,tie el:
- , -1. - 2·• -;:=ţ-1 - ~·· • -
z{u[nJ}· • • 1•1 >1 •-1
Deci I(s) • -!... • ~ , •-1 s- T 1•1 >1
Deot
I(s) • 1 + B
• •-1 ~ s - 2 • (! + B)s- _,_ l - B
ele unde B • 3 A • -2
I(s) • ·2• + ~ • - 1 • - t- . 1•1 > 1.
Deci 1 [a] • -2u(a) + 3Cf->D·u [a]
~ a
[n
c
- 00 -
1 1
ig.P.7.4.1.
d rntrrzi r
igura P 7.4.1.
y{n}
ci r cuit di cr t din figura P.7 . 5.1. SA se
c nd x[n]
~
• ~'
K
d r cur n\ [n •
n.
T= 1 T= 1 -----'
y/n}
11 . 1". 7. 5.1.
t :
ee e atâ
deteraine
- -1
Pentru aflarea rAspunsului cauzal J~n] 11 lna .......
le in oii polii funcţiei Y(s), adiel to poluleiap
polul dublu s2 • l. . _
Probleaa P 7.6. SA se verif.ice dac! funcţiile de aai joa pot rt
\11 ~de transfer ale unor eia te•e stabile g1 causale.
1 + 1-l - 2s-2 a) H(&) •
1 - _l,}·s-1 + o ••.• -2 1
b) H(z) • (1 + 0.5·1-l) 1 + 2,5 •• -1 + .-2
RezolTare:
1 a
1 D
Un sistem cauzal fi stabil -are to~i polii s1 ei tua\1 !a 1Dte
r1orul cercului de razi uni tate 1•1 • 1.
a) Polii, daţl de ecuaţia
•2 - 1,31 + 0,4 • o •!•t
Il • 0,5 11 12 • 0,8
oare elnt ei tuaţi in interiorul cercului de rasl wsttate, cleol te•ul ••te 1 tab il •
b) Polii, daţi de ecuaţia
.1 • -0,5 li .2 • -2 lre •t 1 1 1 clar ti la Dt •1 tuaţi lD interiorul oeroulul, 1 < 0 1
llla, l•2l 1, d oi •i•teal au tdt • bil.
~bl
• il o1rogttal tn figura P.1.1.1. ) ltat •• •• 1
) t o la • ra.fer oor••~-u,..-•1
ala-
atara
- 3o2 -
+i cu dif rente finite; o) ecua~ a ~
d re h rn]~ calculind rAspunsul la o [n], siete-d) funcţia pon e ~ '
mul fiind cauzal.
Y(z)
F1g.P.7.7.1. Bezol"Var : a) Graful de semnal este repr zentat S.n figura P.7.7.2.
) Gr fu]
1 t ţ '
\1 fi o l
u plio r u S
1J oar c c il
tul rafului '• fi:
1 .P.7.7.2 -1, uel (- 1.z 1
o
·6
lor
f:l 1 - ( ... . -1) 1!!
o
o) loratoa
i dou c 1 de tr ~ 11nit 1 cor.di·
bucl u c l
t lt jl t. 1
- 3o3-
H(z) • !W I(s)
88 obţine transfol'lllata z a ecua\iei cu difereDţe finttea
Y(z) + arY(z) · s·l • b0·I(a) + ~·l(a). 1-l
din care rezul ti. ecuaţia:
y[n] + a1·y[n-l] • b0• :r[n] + br :~[Il - 1]
d) Aplicind la intrare x(n] • ~(n] •• ob\1De rel \ia riCllnht 11n1arl de ordinul I.
h [n] • b0· ~ [n] + ~·~[Il - 1] - '}·h[n- 1]
Procedind din aproape ln aproape naul tir
n < O b[a] • O n • 0 h(O) • b
0
n • 1 h [1]• - ~-~0 n • 2 b [2] • -"1 ( ~ - ~].• ~ 0 )
D • 3 b ~]• ~?.(~ • ~.) • • • • ' . . . . . . . . . . . .
(1 - 0,5
~ 1 11 r 1 fl tre • r f ,.
,s 1 l t •
\ l
•
- 3o4 -
H(z) 1 + ~-l 1
1 - O, 5 • z -l . ·-l---,-_ .... l_+..__0_,-5--z---2~
1 1 + ~-~ H(z) -= · -! · -1 -2
1- 0,5-z 1- z + 0,5-z
Grafurile de fluen\l şi schema corespunzltoare primei z ntAri a lui B(z) sînt date in figura P.7.8.1. respectiT
P. 7 .8. 2. x(n] y[n) --.1 as_ ~~z-1
-1 z
j
Fig. P. 7 • 8 .1.
Fig.P.7.8.2.
._
1 z-1
• -o.s z -1
y[n]
re prefigura
Grafur:ile de fluent~ şi schema corespunzAtoare celei de-a doua.
reprezentti.ri a lui H(z) sînt date în figura P.7.B.3. respectiv figura
P • 7 • 8. 4 • K{n] y[n] ... -
0,5
-1 z
-1 z -1 z
z-1
-as
F1g.P.,7.8.3.
-7 z
Fig.P.7.8.4
- ----
yfn}
- 3o5 -
Pentru realizarea in paralel treb 1 ' u e flcutl 0 în fraa\11 simple a funcţiei de transfer. desco•punere
-4(1 + z-1) H(z) • -1 "
(s - 2)•(z-~- 2z-l + 2) • -~1 - + ~--=~---1 - 2 .• -1 1 +
- - j + -1 .,
1 - 1 + j
Prin id·entificare se gAsesc:
Al • -6; '2 • 3 - j; !3 • 3 + j
Pentru a obţine coeficienţi reali, fracţiile corespunzAtoare
pol ilor complex conjugaţi se .grupe azi ei r-ezul tl:
H() -6 6z-1 - 4 3 -2+3·•·1 z c _lf + 2. l c:- - + ._.......,....,_._~---z J.._ 2 z ~ - 2. z- + 2 1 - o .. 5 .• -1 1 -1 -2 .. - 1 + 0,5·1
~aful de semnal ;vi o~cui tul obţinut este Te prezentat in fi
gura P. 7 .a.s. Tespecti-v figur~ P. 7.8.6.
N[n]
-os
-1
-1 z
F1g.P.7.fJ.5 •
_, z
3
-2
3
.. ;o6 •
Bibliografie,
-n ST Analiea şi sinteza circul telor electronice Edtt 1 DEME'l'ER, • • ' u-• ' ra .Academia Militad, 198.8, Bucureşti •
. ~T"n ST Filtre numerice in radiolocaţie, Editura Academia ·
2 • DMJ.J:I L.l1 ' ' • t Militar~, 1981, Bucureşti.
;. DEMETER, ~'1'., Analiza şi sinteza semnalelor de radiolocaţie,Edi~ tura Academia Tehnica Militar~, 1992, Bucureşti.
4• SERBANESCU, AL., Complementa de analiza circuitelor electrice.
' Editura Academia Militar~, 1988, Bucureşti.
5. ŞERBANESCU, Al., Complementa de sinteza circul telor electrice , ~ Editura Academia Militar~, 1985, Bucureşti.
6. SERBAIESCU, Al., Semnale, circuite şi sisteme. Lecţii, vol.I,
' Editura Academia Tehnic~ Militar~, Bucureşti, 1992.
7. MATEESCU, AD. , Semnale, circuite şi sis teme. Edituta Didactici şi Pedagogic~, 1984, Bucureşti.
8. CARTIAJfU, GB., ş.a., Semnale, circuite şi sisteme. Editura Didao·
tia~ 11 Pedagogic!, 198o, Bucureşti.
9. S'fAHIJotiR, D., STANAŞILA, o., Metode matematice 1n teoria te•• · lelor, Editura Tebnicl, l981, Bucureşti.
lo. MATEESCU,AD., f.a. - Probleme de analiza oi sinteza otrouitelot•
Editura Tebniol, 1976, Buourett1:
ll. SiVESCU, M., ,.a., Semnale, cirouite ti etateae,Bobt.••· .J.U""' Didaotiol oi Pedagog1ol, 1981, Bucuref\1
12• COISTAifll, 1. • l•••, St~malt, otroutte 11 aia\t•• rroltl • U•
~la l.P.B., 199o. • 13• COIS'rll'tll, 1. • l••• llepUDial o1roait.elor la ... ....,..
Lt\01r'f1a I.P.B. 1991.
Cap.l.
Cap.2.
Cap. 3.
-3o7-
Cuprins
Prefaţa • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Semna le deterministe în timp continuu • • • • • •
Semnale eşantionate. Semna~e in timp discret: secven•e a 1 numer1ce v • -..ena e
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3
;
Semnale modulate. • • • • • • • • • • • 111:. . . . . . '~
Cap. 4. Semnale de bandA limitatA ti semale ele bandA largA. • • • • • • • • • 16-. • • • • • • • • •• J
Cap.5. Semnale aleatoare ••••••••••••••••• 1.,
Cap.6. Metode generale de analisl a circuitelor şi sistemelor analogice liniare •••••••••• 28
Cap. 7. Metode generale de analisl 1 otrcultelor şi sistemelor nu•erice l1a1ere ••••• • • •
Bibliografie •••••• • • • • • • • • • • • •• "'
55292
- 3o8 -
Editat: ACADF>tiA DE INALTE STUDI.I MILITARE Redactor responsabil: Prof.dr.ing.SERBANESCU AL. fehnoredactor: s.c. MARGA TODERICIU
•
