Sensibilidad programacion lineal

Universidad de Managua

Al ms alto nivel

Facultad de Ciencias Econmicas y Administrativas

Unidad IV

Dualidad y Anlisis de SensibilidadEstudiantes:

F.C.E.A

Profesor:

MSc. Julio Rito

Vargas Avils.

III Cuatrimestre 2014

Ao Acadmico:

Anlisis de Sensibilidad y Dualidad

Curso de Programacin Lineal

Tema

Objetivos:Los participantes al finalizar la unidad sern capaces de:

Analizar la importancia del problema Dual y su relacin con el Primal.

Comprender el principio de solucin del Mtodo Simplex Dual.

Resolver problemas de Programacin Lineal mediante el Simplex Dual.

Efectuar Anlisis de Sensibilidad a una solucin dada de un PPL.

Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya sea que disminuyen o aumenten. Que ocurre con la funcin objetivo?

Introduccin. EL objetivo fundamental del Anlisis de Sensibilidad esidentificar los parmetros sensibles, (por ejemplo, los

parmetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie

la solucin ptima). Para ciertos parmetros que no estn

clasificados como sensibles, tambin puede resultar de gran

utilidad determinar el intervalo de valores del parmetro

para el que la solucin ptima no cambia. (Este intervalo de

valores se conoce como intervalo permisible para

permanecer ptimo).

Anlisis de sensibilidad

Anlisis de sensibilidad

Introduccin.En algunos casos, cambiar el valor de un parmetro puedeafectar la factibilidad de la solucin BF bsica factible)

ptima. Para tales parmetros, es til determinar el intervalo

de valores para el que la solucin BF ptima (con los valores

ajustados de las variables bsicas) seguir siendo factible.

(Este intervalo recibe el nombre de intervalo permisible para

permanecer factible).

El anlisis de sensibilidad concierne el estudio de posiblescambios en la solucin ptima disponible como resultado de

hacer cambios en el modelo original.

Variaciones que podemos realizar en el modelo general:

Mediante el anlisis de sensibilidad pueden existir diferentes

tipos de cambios en el modelo original como:

1. Cambios en los coeficientes de la funcin objetivo, Cij

2. Cambios en los recursos, bi

3. Cambios en los coeficientes tecnolgicos, aij

4. Adicin de una nueva variable y Xi

5. Adicin de una nueva restriccin. aij >= bi

WinQSBPOM-QM

EJEMEPLO DE APLICACIN DE ANALISIS DE SENSIBILIDADUn fabricante produce tres componentes para venderlos a

compaas de refrigeracin. Los componentes se procesan en

dos mquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos

(en minutos) requeridos por cada componente en cada

mquina se indican en la tabla.

La conformadora est disponible por 120 horas y la

ensambladora est disponible por 110 horas. No se pueden

vender ms de 200 unidades del componente 3, pero se

pueden vender hasta 1,000 unidades de los otros dos

componentes.

De hecho la fbrica tiene rdenes de venta por cumplir delcomponente 1 de 600 unidades. Las utilidades por la venta de cadacomponente 1, 2 y 3 son, respectivamente $8, $6 y $9. Con el modelolineal formulado para este problema y resuelto con POM-QM, contestelas siguientes preguntas:a. Cunto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?

b. Qu sucede si la ensambladora slo est disponible por 90 horas?

c. Si se pudieran conseguir ms horas de la mquina ensambladora,

Cunto estara dispuesto a pagar el fabricante?

d. Qu sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del

componente 1 a 800 unidades? Y si se incrementa a 1200

unidades?

e. Si se pudieran vender ms unidades del componente 3 reduciendo su

utilidad a $4, Valdra la pena hacerlo?

Solucin:1. Formularemos el problema matemtico lineal en la forma

estndar:a. Comenzamos, denominando las variables de la funcin objetivo.

X1: nmero de unidades del componente 1 producidas.X2: nmero de unidades del componente 2 producidas.X3: nmero de unidades del componente 3 producidas.

b. Ahora, como sabemos las utilidades por cada unidad de los tres componentes que producen, construimos la funcin objetivo.Max Z = 8X1+ 6X2+ 9X3c. Construimos las restricciones del problema lineal; para lo cual conocemos los tiempos en minutos que cada componente requiere en

cada una de las dos mquinas para su construccin, as como los

tiempos disponibles por cada mquina.

6X1 + 3X2 + 4X3 120x60 (minutos disponibles en la mquinaconformadora)

4X1 + 5X2 + 2X3 110x60 (minutos disponibles en la mquinaensambladora)

X1 600 (tiene rdenes de venta de 600 unidades)X1 + X2 1000 (se pueden vender hasta 1000 unidades del

componente 1 y 2)

X3 200 (no se pueden vender ms 200 unidades delcomponente 3)

X2, X3 0 (no negatividad)

d. Modelo completo en la forma estndar

Max Z = 8X1+ 6X2+ 9X3Sujeto a:

6X1 + 3X2 + 4X3 72004X1 + 5X2 + 2X3 6600X1 + X2 1000

X1 600X3 200X2, X3 0

2. Ingresamos el modelo que hemos construido en el SoftwarePOM-QM. Seleccionamos el Mdulo:Linear Programming

Responderemos las preguntas:

a. Cunto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?

En la tabla 3: El componente 2 (representado por la variable X2) como vimos los resultados comentado anteriormente, ese componente no se debe producir con la utilidad actual, por que generara prdida, por cada unidad de $2. Si vemos la ltima columna de la parte superior en la variable X2. Seala que aunque la utilidad aumente en $8 aun no es atractivo producirlo, eso significa que su utilidad debe ser superior a $8 para producirlo.

b. Qu sucede si la ensambladora slo est disponible por 90

horas?

Si la ensambladora solo contara con 90x60=5400 minutos

disponible.

Resulta que los minutos requeridos para ensamblar los 1200

componentes son 4,400 minutos

Por lo que an sobraran 1000 minutos. Es decir no habra ninguna

afectacin al modelo ptimo actual.

c. Si se pudieran conseguir ms horas de la mquina ensambladora,

Cunto estara dispuesto a pagar el fabricante?

Para la produccin de los 1200 componentes no se requieren ms

horas de ensamblaje, al contrario hay un sobrante de 2200 minutos.

Por tanto los fabricantes no estaran interesados en pagar tiempo

adicional para ensamblaje.

d. Qu sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? Y si se incrementa a 1,200 unidades?

Si se vendieran 800 componentes de tipo 1, no pasara nada, el ptimo seguira siendo el mismo, ya que del componente 1 se producen 1000. Si se incrementaran a 1200 las ventas del componente 1; cambia la solucin ptima por completo ya que X1=1200 y X2=0; X3=0 y la contribucin total sera de $9600.

e. Si se pudieran vender ms unidades del componente 3 reduciendo su utilidad a $4, Valdra la pena hacerlo?

Si es posible seguirlo produciendo, ya que el mnimo puede llegar a cero y la solucin seguir siendo la misma. Por lo tanto, si valdra la pena, solo disminuira la utilidad o contribucin total a $8000 + $800= $8800.

EJEMEPLO 2 DE APLICACIN DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD La empresa Emerson S:A: se dedica a la fabricacin de tres productos; A, B y C. El procedimiento de produccin involucra tres operaciones: formacin, acabado e inspeccin. El departamento de ingeniera industrial, ha establecido los siguientes estndares de produccin en cada operacin. El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compaa. Datos de produccin para la compaa (minutos por producto)

Se desea saber el nmero de cada tipo de producto que debern producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del da. Adicionalmente responda las siguientes preguntas: 1. Determine los rangos de variacin de las variables bsicas en donde la base actual permanece 2. Cul es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?

3. En cules de las operaciones recomendara usted contratar tiempo

extra y por qu?

4. Qu pasara si se programaran 20 minutos extras en el

departamento de inspeccin, cambiara la funcin objetivo?

5. En cunto se incrementara la utilidad ptima actual si se

programan 50 minutos en el departamento de formado?

6. Qu pasara con la solucin ptima actual si se programaran 30

minutos de mantenimiento en el departamento de acabado?

7. Si se logran reducir los costos de produccin en el producto B en un

25%, cmo se afecta la base actual y el objetivo?

8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razn de

$5/minuto, recomendara usted tiempo extra?, si lo recomienda,

en qu departamento y cunto tiempo extra puede

programarse sin cambiar la mezcla actual?

9. Qu paseara si se programara la produccin de 10 unidades

del producto A?

10. Qu pasara si por cambios en maquinara y procesos, el

producto A cambiara sus tiempos de fabricacin en: a1= (2,3,2) a

a1 = (1,2,2)

11. Por polticas de la empresa es necesario producir un nuevo

producto con las siguientes caractersticas C4=60, a4 = (2,1,3)T,

Qu recomendara?

Solucin:

Considerando la informacin, se plante el modelo de programacin

lineal, como los tiempos de procesos estn dados en minutos,

convertiremos las 8 horas de trabajo tambin en minutos.

Definimos las variables de decisin como sigue:

X1: nmero de productos tipo A.

X2: nmero de productos tipo B.

X3: nmero de productos tipo C.

Al igual que en el ejemplo 1 ingresamos los datos en el mdulo activo

(linear programming)

Tal como se muestra en la imagen siguiente. Debemos recordar que el

software POM-QM asume que las variables son no negativas.

Ahora procedemos ha resolver el problema haciendo clic en botn Solve.

Se nos mostrar la tabla siguiente:

Puedo observarse que la solucin ptima se obtiene para: X1= 0; X2=48 ; X3=96. Para un valor ptimo de Z=20*0 + 48*35 + 96*45 = 0 + 1,680 + 4320= $6,000.00 de utilidades.

Respuestas a las preguntas:

1. Determine los rangos de variacin de las variables bsicas en

donde la base actual permanece.

X2 est entre 22.5 y 135.00, X3 est entre 32.5 y 70, la variable

X1 no es bsica, es decir no se recomienda producir del

producto A.

2. Cul es el rango de los recursos en donde la base actual

permanece?

Para formacin se puede tener entre 240 y 1440 minutos.

Para inspeccin se puede tener entre 288 y M (ilimitado) minutos.

Para acabado se puede tener entre 160 y 960 minutos.

3. En cules de las operaciones recomendara usted contratar tiempo extra y por qu? En acabado, por ejemplo con 2 horas ms en acabado se produciran132 unidades del producto C, actualmente son 96. Con una nuevautilidad de 7,200 contra 6,000 que actualmente se obtienen. Elintervalo lo permite con una costo por minuto de U$10. No obstantetambin se requeriran horas de formacin, dado que no hay y sonrequeridas. La horas extras estaran orientadas para el producto Cpor ser el ms rentable.4. Qu pasara si se programaran 20 minutos extras en eldepartamento de inspeccin, cambiara la funcin objetivo? Nocambiara la funcin objetivo, la cual permanecer igual porque nose afectara la produccin. Los 20 minutos que daran comosobrantes, es decir no se aprovecharan.

5. En cunto se incrementara la utilidad ptima actual si se

programan 50 minutos en el departamento de formado? La utilidad

ptima seguira siendo la misma que la actual, no habra incremento

en la produccin, y los 50 minutos no seran utilizados.

6. Qu pasara con la solucin ptima actual si se programaran 30

minutos de mantenimiento en el departamento de acabado? Si se

programan 30 minutos de acabado solo contaramos con 450 minutos

para este proceso, lo que afectara la produccin de la siguiente

manera: se produciran 51 unidades tipo B y 87 unidades tipo C, para

una utilidad ptima de 5,700.00, tenindose una prdida de utilidad

de U$ 300 por el tiempo perdido en mantenimiento.

7. Si se logran reducir los costos de produccin en el producto B en un

25%, cmo se afecta la base actual y el objetivo? Actualmente los

costos de produccin del producto B es U$50.00 con 25% menos los

costos de produccin sern de U$ 37.50. Por lo tanto la utilidad por

unidad producida ser de (U$37.50+U$15.00=U$52.50) y es vendida

en U$100.00 por lo que la utilidad ser de U$ 47.50. Esto afectar la

funcin objetivo, la que lgicamente aumentar su ptimo a

U$6,600.00 produciendo los mismos productos.

8. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razn de

$5/minuto, recomendara usted tiempo extra?, si lo recomienda, en

qu departamento y cunto tiempo extra puede programarse sin

cambiar la mezcla actual?

El modelo recomienda de acuerdo a los intervalos que se pueden contratar minutos extras en inspeccin y acabado, siendo el acabado el de mayor costo. Si hay una disminucin de costo. Se podra aumentar al mximo recomendado de 8 horas extras o sea 480 minutos en acabado para un total de 960 minutos en acabado. Esto permitir ptimo de U$ 10,800.00 con una produccin concentrada en el producto C. que es de mayor rentabilidad.

9. Que paseara si se programara la produccin de 10 unidades del

producto A?

Si se producen 10 unidades del producto A, las utilidades se

reduciran a U$ 5,925.00 o sea se tendra una prdida de U$75.00 con

respecto a la utilidad actual.

10. Qu pasara si por cambios en maquinara y procesos el producto

A cambiara sus tiempos de fabricacin en

a1= (2,3,2) a a1 = (1,2,2)

Seguira siendo poco atractivo producir el producto A dado su poca

utilidad en comparacin con los productos B y C. de manera que se

seguira produciendo la misma cantidad de B y C y por lo tanto

obtendramos el mismo ptimo actual.

11. Por polticas de la empresa es necesario producir un nuevo

producto con las siguientes caractersticas C4=60, a4 = (2,1,3), Qu

recomendara?

Remplazar el producto A que no es rentable y producir el nuevo

producto segn el anlisis de optimilidad con los parmetros del

nuevo producto se vuelve atractivo producirlo, ya que la nueva

utilidad neta sera de U$ 9,600.00 con tiempo de procesamiento

menor. Esto implica ahorro en maquinaria y horas-hombres.

Dualidad y anlisis de sensibilidad

Teora de dualidad:

La teora de dualidad parte de que asociado a todo

problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual.

Las relaciones entre el problema dual y el problema

original o (primal) son en extremos tiles en una gran

variedad de situaciones.

Uno de los aspectos ms importantes de la teora de

dualidad es la interpretacin y realizacin del anlisis de

sensibilidad.


Esencia de la teora de dualidad:

Dada la forma estndar para el problema primal (izquierda), su

problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.

Max Min

0

:

1

1

j

i

n

j

jij

n

j

jj

x

bxa

asujeto

xcZ

0

:

1

1

i

j

n

j

iij

m

i

ii

y

cya

asujeto

ybW

El problema dual usa exactamente los mismos parmetros que el

problema primal, pero en diferentes lugares.


Esencia de la teora de dualidad:

Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y

del problema dual.

Max Min

0

:

x

bAx

asujeto

cZ x

0

:

y

cyA

asujeto

ybW

Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.


La Wyndor lass Co. Produce artculos de vidrio de alta

calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres.

Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la

planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el

vidrio y ensambla los productos.

Debido a una reduccin de las ganancias, la alta gerencia ha

decidido reorganizar la lnea de produccin de la compaa.

Se descontinuarn varios productos no rentables y se dejar

libre una parte de la capacidad de produccin para

emprender la fabricacin de dos productos nuevos que tienen

ventas potenciales grandes:


Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de

aluminio.

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4

pies x 6.

El producto 1 requiere capacidad de produccin en las plantas

1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja

en las plantas 2 y 3. La divisin de comercializacin ha

concluido que la compaa pede vender todos los productos

que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como

ambos productos competirn por la misma capacidad de

produccin en la planta 3, no se est claro cual es la mezcla de

productos que sera mas rentable.


Se conoce que el nmero de horas disponible en la

semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos

productos son las siguientes:

Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18

horas.

Cada producto se fabricar en lotes de 20 unidades

totales.

En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en

horas en cada planta para producir un lote de cada

producto.


Tiempo de produccin

por lote en hrs

Tiempo

disponible

semanal

Planta Producto 1 Producto 2 (horas)

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Ganancia x lote $3000 $5000


X1: nmero de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios)

X2: nmero de lotes del producto 2 (ventas corredizas)

Z= ganancia semanal total (miles de dlares) al producir

puertas y ventas de vidrio.

Es un problema tpico de mezcla de programacin lineal

de maximizacin.

Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.

0

0

1823

122

4

:

53

2

1

21

2

1

21

x

x

xx

x

x

asujeta

xxZMax

0

0

0

522

33

:

18124

3

2

1

32

31

321

y

y

y

yy

yy

asujeta

yyyWMin

A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y

a la derecha el problema dual en forma algebraica.

Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.

0

0

18

12

4

23

20

01

:

53

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

asujeta

x

xZMax

000

53

23

20

01

:

18

12

4

321

321

321

yyy

yyy

asujeta

yyyWMin

A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a

la derecha el problema dual en forma matricial.

Solucin del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

La solucin ptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36

Z= 0*4 + 1.5*12 + 1*18= 36

Solucin del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

La solucin ptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36

Z=2*3 + 6*5=6+30 = 36

Esto es se debe producir 40 puertas y 120 ventas para utilidad

mxima de U$36,000.

Solucin del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una

unidad para cada variable no bsica.

La columna Dficit o Supervit muestra los valores de las

variables de holgura.

La columna precio sombra: esto es, cuanto se estara dispuesto a

pagar por una unidad adicional de cada recurso.

Com

par

ando s

olu

cin d

el P

rim

al c

on e

l

Dual

Pro

ble

ma

pri

mal

Pro

ble

ma

Dual


MAX Z= 3X1 + 4X2 2X3 Variables duales

S. a: 4X1 12X2 + 3X3 < 12 Y1

2X1 + 3X2 + X3 < 6 Y2

5X1 + X2 6X3 < -40 Y3

3X1 4X2 2X3 < 10 Y4

X1 > 0, X2 < 0, X3 no restringida en signo

Min W = 12Y1 + 6Y2 40Y3 + 10Y4

S. a: 4Y1 2Y2 5Y3 + 3Y4 >= 3

12Y1 + 3Y2 + Y3 - 4Y4 >= 4

3Y1 + Y2 6Y3 2Y4 >= -2

Y1 > 0, Y2 < 0, Y3 > 0, Y4 no restringida en signo

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