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La Problemática de la Enseñanzay el Aprendizaje de las Matemáticas

en la Escuela Primaria

Curso de Actualización

Material del Participante

Alianza por la Calidad de la Educación

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO

La Problemática de la Enseñanzay el Aprendizaje de las Matemáticas

en la Escuela Primaria

Curso de Actualización

Material de Participante

El material del participante La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria fue elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad de Sonora en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública.

Coordinación

Sociedad Matemática MexicanaUniversidad de Sonora

Autores

Dr. Ramiro Ávila GodoyDr. José Luis Soto MunguíaDr. Agustín Grijalva MonteverdeM. en C. Martha Cristina Villalva GutiérrezM. en C. Ana Guadalupe del Castillo BojórquezM. en C. Jorge Ruperto Vargas Castro

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser denunciado y sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008Argentina 28, colonia Centro,06020, México, D.F.ISBN En trámite

Contenido

Contenido

Introducción al Curso

El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la 11

enseñanza de las Matemáticas

Parte 1. El papel de los problemas en la enseñanza de las Matemáticas 14

Actividad No. 1. Cálculo de áreas 14

Actividad No. 2. Las monedas defectuosas 15

Actividad No. 3. El premio de los marineros 17

Actividad No. 4. El juego de Nim 19

Actividad No. 5. Un juego con dados 21

Actividad No. 6. Determinando cantidades numéricas 23

Actividad No. 7. Ejercicios con exponentes 23

Actividad No. 8. Conceptos de distancia 24

Aritmética

Parte 1. Los agrupamientos y la lectura y escritura de los números naturales 25

Actividad No. 1. Contando en base 5 25

Actividad No. 2. Calculando en base 5

Actividad No. 3. Diversos procedimientos para sumar y restar 28

Actividad No. 4. Diversos procedimientos para multiplicar y dividir 30

Actividad No. 5. Combinando operaciones 33

Actividad No. 6. Partir y repartir 33

Actividad No. 7. Comparar y medir 34

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Geometría 36

Actividad No. 1. Doblado de papel.Trazos notables 36

Actividad No. 2. Doblado de Papel.Trazo de las mediatrices, 40

bisectrices,medianas y alturas en un triángulo

Actividad No. 3. Construcción de estructuras 42

Actividad No. 4. Construcción de cuadriláteros, dadas las medidas 43

de sus lados

Actividad No. 5. Construcción de triángulos, dadas las medidas de 45

Sus lados

Actividad No. 6. Construcción de estructuras 48

Actividad No. 7. ¿Qué significa medir? 49

Actividad No. 8. Calculando áreas 51

Predicción y Azar. Tratamiento de la Información 54

Actividad No. 1. Información General del Profesor-Alumno 54

Actividad No. 2. Antes del lanzamiento de monedas 59

Actividad No. 3. Experimentando con monedas 61

Actividad No. 4. Experimentando con monedas dobladas 63

Actividad No 5. Haciendo Pulseras 65

Actividad No. 6 Utilicemos cuentas del mismo color 66

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Contenido

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Introducción

La problemática del aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas en los diversos niveles

educativos y en especial en la escuela primaria, ha sido objeto de investigación sistemática

e institucional en los últimos cuarenta años. Dichas investigaciones han arrojado luz sobre

los diversos factores que inciden en el problema y de ello se han derivado acciones

encaminadas a tratar de resolver tal problemática.

En particular, las investigaciones sobre dicho proceso han ayudado a entender que

los niños aprenden matemáticas partiendo, por lo general, de experiencias concretas

relacionadas con objetos y/o situaciones del mundo físico o social y que al interaccionar

con tales situaciones, los niños llevan a cabo procesos de abstracción que hacen posible

que, poco a poco, puedan prescindir de los objetos físicos. Tales investigaciones también

han permitido comprender que el diálogo, la interacción y la confrontación de puntos de

vista entre los propios niños y con el profesor, son de gran ayuda para el aprendizaje y la

construcción de conocimientos matemáticos.

La comprensión de los procesos de aprendizaje de la matemáticas que viven los

niños ha dado lugar a una nueva concepción de la enseñanza, considerándola como el

proceso de conducción de la actividad de aprendizaje, lo cual a su vez, conlleva una nueva

concepción del profesor como el propiciador y conductor de dicha actividad de

aprendizaje, en contraposición con la concepción más tradicional del profesor como el

expositor y transmisor del conocimiento.

Esta concepción de la enseñanza implica la necesidad de que el profesor (a) diseñe

o seleccione actividades que promuevan la construcción de conceptos a partir de

experiencias concretas, en las que los niños puedan observar, explorar, conjeturar,

interactuar entre ellos y con el (la) profesor(a), ya que de ello depende en buena medida, el

éxito en el aprendizaje de las matemáticas.

5 Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria

Introducción

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Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria


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Primaria


La promoción, por parte de los profesores, del aprendizaje de las matemáticas a

través de actividades como las descritas en el párrafo anterior, ocasionará a su vez, que

los niños conciban a esta disciplina, como un conjunto de herramientas funcionales y

flexibles que les ayudan a entender y resolver diversos problemas.

El presente curso de actualización ha sido diseñado para ofrecer a los profesores

de este nivel escolar, la oportunidad de vivir experiencias que les permitan ampliar y

profundizar su dominio de los contenidos matemáticos que son objeto de estudio en la

escuela primaria, así como experiencias que lleven a reflexionar sobre las estrategias

didácticas que pueden favorecer los procesos de aprendizaje de los alumnos de este nivel

escolar.

Objetivo General :

Que los profesores alumnos reflexionen y analicen la problemática de la enseñanza y

el aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria, así como el papel de los

problemas, los juegos y las nuevas tecnologías (calculadora y computadora) en ambos

procesos.

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Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria


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Primaria

El Objativo General del Curso de Actualización, se derivade la expectativa de que, con una

mayor preparación en el conocimiento de las matemáticas y una mejor comprensión de los

planteamientos que sobre su aprendizaje y enseñanza aparecen en los planes y

programas de estudio de educación básica vigentes, el (la) profesor(a) mejorará

su práctica docente y, consecuentemente, habrá una elevación significativa en la

calidad de la educación que reciben los niños en la escuela.

Para el logro del objetivo general del Curso se plantean los siguientes:

Objetivos Específicos.

Que los profesores alumnos:

1. Amplíen y profundicen su conocimiento y comprensión de la problemática que se

presenta en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en la

escuela primaria.

2. Mejoren su comprensión sobre el papel de los problemas, los juegos y las nuevas

tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela

primaria.

3. Experimenten una manera grata y creativa de enseñar, estudiar y aprender

matemáticas, que los motive a procurar que sus alumnos vivan experiencias

semejantes en su aula de clases.

4. Elaboren actividades y secuencias didácticas para su salón de clases sustentadas,

tanto en su experiencia como en razonamientos reconocidos.



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Primaria


Estructura del curso

El curso consta de cuatro secciones. Se pretende que las actividades propuestas en cada

una de ellas puedan realizarse en un tiempo aproximado de diez horas de trabajo colectivo

por los profesores participantes, bajo la conducción del instructor.

El enfoque de enseñanza propuesto para la escuela primaria privilegia la

resolución de problemas como la fuente principal de generación de conocimiento

matemático. Por esta razón la sección de inicio está dedicada a la reflexión sobre el papel

que juegan los problemas en la enseñanza, y en todas las actividades se ha tratado de

mantener el planteamiento, la resolución y el diseño de problemas como el eje que articula

los contenidos.

Las actividades han sido concebidas para que los profesores participantes se

involucren en ellas como una manera de vivir experiencias de aprendizaje que les sirvan

como referencia en su trabajo diario. No están pensadas para un grado escolar específico

y de ningún modo se recomienda trasplantarlas a los salones de clase de primaria. A lo

largo de todo el curso hemos tratado de aterrizar la recomendación general:

“Para que la propuesta actual de enseñanza de las matemáticas pueda ser

llevada convenientemente a la práctica es necesario que los maestros

interioricen el enfoque actual, que sepan vivencialmente cómo es el aprendizaje

a través de problemas, que sepan manejar situaciones problemáticas para

promover el desarrollo de habilidades, respetando los procesos de los alumnos,

y que aprendan a detectar cuándo éstos han logrado un avance en la

construcción de un conocimiento.”1

1 Alatorre, Silvia, et al (1999). Propósitos y Contenidos de la Enseñanza de las Matemáticas en el Nivel de Educación Primaria en México, pp. xii, http://miayudante.upn.mx/docint/DI0007.pdf [15 de junio de 2008]

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En la primera sección titulada El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y

la computadora en la enseñanza de las matemáticas, pueden distinguirse dos partes, en una

primera se plantean situaciones problemáticas, que incluyen el uso de juegos como una vía

para plantearlas y una segunda parte en la cual se discuten aplicaciones específicas de la

calculadora y la computadora en la enseñanza.

El propósito principal de las situaciones problemáticas que se presentan es generar

y analizar estrategias de solución, verificar los resultados obtenidos e introducir variantes

a la situación como una manera de generar nuevas situaciones problemáticas. Mientras

que el uso de la calculadora y la computadora pretenden ilustrar con ejemplos, la

potencialidad que pueden tener estos recursos para enseñar matemáticas en el nivel que

nos ocupa; en el caso de la computadora se propone la utilización de un software de

geometría dinámica, para la discusión de algunos conceptos geométricos.

En la segunda sección, que hemos titulado con el nombre genérico de Aritmética,

se abordan contenidos, principalmente, del eje temático llamado Los números, sus

relaciones y sus operaciones, aunque dichos contenidos están relacionados con los de los

ejes de Medición y Procesos de cambio. Las primeras actividades de esta sección se

refieren al uso de un sistema de numeración posicional de base 5, y se pretende poner a

discusión las dificultades que un niño enfrenta cuando intenta aprender a manejar un

sistema de numeración posicional de base 10.

Encontraremos también aquí una serie de actividades que promueven el cálculo

mental como recurso para la resolución de problemas y por último, se propone un conjunto

de actividades vinculadas al concepto de fracción. Este último tópico nos parece de

primordial importancia en virtud de que las dificultades para su aprendizaje han

representado uno de los grandes retos que enfrentan los maestros en su práctica docente.

Aunque las actividades sobre fracciones no pretenden ilustrar de manera exhaustiva estas

dificultades, sí se pretende mostrar el hecho de que las dificultades del concepto están

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relacionadas con la diversidad de significaciones que tiene y con los obstáculos que

representa para un aprendiz la experiencia previa con el manejo de los números enteros.

La tercera sección, denominada Geometría, se refiere al eje temático que lleva el

mismo nombre, pero está relacionada también, con el eje de Medición. Ésta es la parte

donde se utiliza la mayor cantidad de recursos didácticos, desde simples hojas de papel

transparente, hasta la computadora para generar representaciones dinámicas de las

situaciones propuestas. En el primer grupo de actividades se emplea el doblado de papel

para plantear y resolver problemas relacionados con las líneas notables de un triángulo y

sus propiedades; la discusión está centrada aquí en el análisis de las estrategias

seleccionadas y en la argumentación sobre la efectividad de las mismas.

El segundo grupo de actividades se refieren a propiedades de triángulos y

cuadriláteros, se utiliza la construcción manual de una torre para analizar la rigidez como

propiedad exclusiva del triángulo; las actividades incluidas aquí dan lugar a diversas

situaciones en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el

enunciado de definiciones cobran especial importancia. Todos estos elementos son

componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en

particular.

En el tercer grupo de actividades se aborda el concepto de medición; la finalidad

de estas actividades es promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando

algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud y superficie. Se

utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de

las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición.

La cuarta y última sección, denominada Datos y azar, aborda tópicos que a lo

largo de la escuela primaria forman parte de los ejes temáticos denotados La predicción y

el azar y Tratamiento de la información. Esta sección inicia con una primera actividad

que consiste en responder un cuestionario sobre la actividad profesional de los profesores-

estudiantes para posteriormente procesar los datos y analizar los resultados. El propósito

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Primaria

de esta actividad es que los profesores-estudiantes expliquen el comportamiento de una

variable estadística con base en las características globales de los datos.

Luego sigue un segundo grupo de actividades relacionadas con experimentos

aleatorios de lanzamientos de monedas; se pretende aquí que, a partir de estos

experimentos, los profesores participantes analicen algunos conceptos como: experimento

aleatorio, espacio muestra, eventos, regularidad estadística, entre otros.

El tercer grupo de actividades se trata principalmente el tema de combinatoria; se

espera aquí que los participantes pongan en juego las ideas relacionadas con espacio

muestra y combinatoria, con la pretensión de generar la reflexión en torno a la orientación

que pueden tener las actividades de enseñanza con sus alumnos.

Metodología

La estrategia metodológica general para el desarrollo de las diversas actividades

diseñadas para el tratamiento de los contenidos matemáticos a abordar en el curso, será el

planteamiento de una situación problemática en la que se propondrá realizar alguna tarea

(problémica) o responder una cierta pregunta (problémica) con objeto de propiciar la

reflexión a través de la cual se construyan los conocimientos y se desarrollen las

habilidades y actitudes que se pretenden lograr con la actividad en particular y con el

curso en general.

En un primer momento, se promoverá el trabajo individual con la situación, con

objeto de que este primer momento permita a los profesores alumnos un primer nivel de

conocimiento de la situación, el cual es necesario para la realización de la actividad del

segundo momento, que se desarrollará en equipos.

En este segundo momento las actividades a realizar son de comunicación y tienen

la intención de que los participantes tengan la necesidad de verbalizar el conocimiento

adquirido en la primera etapa para poder contrastar su versión de lo aprendido con la

versión de sus compañeros de equipo, de tal forma que la contrastación de puntos de vista

y opiniones sobre las tareas realizadas, o, en su caso, las respuestas a las preguntas

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formuladas, permitan arribar a un segundo nivel de conocimiento más eficaz para la

interpretación de la situación problémica, objeto de estudio.

En un tercer momento, el trabajo será a nivel de todo el grupo, de interacción entre

equipos y la conducción del profesor, con el propósito de obtener un conocimiento todavía

más eficaz del objeto de estudio, que permita formular una versión del mismo, compartida

por todos los integrantes del grupo y avalada e institucionalizada por el profesor.

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Evaluación

La evaluación que se hará en el curso tendrá como base los siguientes lineamientos:

Asistencia regular (más de treinta y cinco horas de asistencia) y participación

activa en las sesiones del curso.

Presentación por escrito del diseño, análisis y argumentación de una actividad

didáctica para cada uno de los temas abordados.

Exposición satisfactoria, a juicio de los instructores, de una de las actividades

didácticas diseñadas.



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Sección 1: El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la

enseñanza de las matemáticas

Actividad 1

Cálculo de áreas El profesor de quinto grado, en la clase de Matemáticas, colocó en el pizarrón, una cartulina con la siguiente figura:

Nos pidió que la observáramos porque la clase consistiría en contestar diversas preguntas referentes a ella.

En realidad las primeras preguntas fueron muy fáciles, pues nos preguntó cuáles figuras observábamos. De inmediato, Manuelito, que muchas veces está distraído, pero que esta vez no lo estaba, dijo que observaba un rectángulo y tres triángulos, uno grande, uno mediano y uno chico. También dijo que el rectángulo estaba lleno de cuadritos, que el triángulo grande era verde, que el mediano era amarillo y que el chico era azul.

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La segunda pregunta fue que cuántos cuadritos había en total, en el rectángulo. Esto resultó también fácil pues hubo muchos que querían contestar, pero, finalmente, el profesor le pidió a Gustavo que él contestara y lo hizo muy bien.

Poco a poco las preguntas fueron siendo menos fáciles, aunque cada vez más interesantes, pues al menos para mi y mis compañeros de equipo, eran retos que nos motivaban a tratar de vencerlos, sobre todo porque el profesor nos decía, esta pregunta vale cinco puntos o, el que conteste esta pregunta gana diez puntos de la calificación del periodo. Yo logré contestar algunas y acumulé quince puntos.

Entre las preguntas que hizo y que nos hicieron pensar mucho, están las siguientes:

a) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo verde?b) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo azul?

c) ¿Cuántos cuadritos tiene en total el triángulo amarillo?

Por cierto que al principio nos confundimos pues creíamos que se refería sólo a cuadritos completos, pero el profesor nos aclaró que se trataba de saber cuántos eran en total, es decir, se trataba de ver cuántos se completaban contando también los que sólo tenían pintada una parte.

Contesten, cada uno de ustedes, las preguntas que formuló el profesor y luego comenten en equipo, además de la respuesta que obtuvieron, lo que hicieron para obtenerla. Vean si hay más de una manera de llegar a la respuesta y, si hay diversas maneras, pónganse de acuerdo sobre cuál o cuáles de las maneras les parecen las mejores. Además ¿Qué otras preguntas relacionadas con la figura pueden formular?

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Actividad 2

Las monedas defectuosas Juan es un estudiante muy inquieto e ingenioso que acostumbra retar a sus compañeros, y a veces también a sus maestros, con problemas diversos. El que proponemos en esta actividad, se lo planteó a varios de sus compañeros diciéndoles que estaba dispuesto a pagar cien pesos a quien ideara una estrategia, al menos tan breve como la que él había diseñado, para resolverlo. El problema es el siguiente:

Se tienen diez bolsas, todas iguales, conteniendo 10 monedas cada una. Las monedas de nueve de las bolsas son auténticas y todas iguales, mientras que una de las bolsas contiene monedas falsas. Las monedas falsas sólo se distinguen de las auténticas porque pesan un gramo menos, esto es, cada moneda auténtica pesa 10 gramos, mientras que cada moneda falsa pesa sólo 9 gramos. El problema consiste en determinar cuál es el mínimo número de pesadas que es necesario hacer para saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas.

Juan dijo a sus amigos que él ideó una manera de saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas y que es una forma en la que usa muy poquitas pesadas, pero que si alguien logra una forma de saberlo en menos pesadas que él, le dará cien pesos.

Diseñen una estrategia para saber cuál es la bolsa de las monedas falsas, procurando hacerlo en el menor número de pesadas, luego comparen sus estrategias para ver quién lo logró en menos pesadas. Si alguno lo hizo en menos pesadas que Juan, se habrá ganado cien pesos.

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Actividad 3

El premio de los marineros

En esta actividad trabajaremos con un problema adaptado de una anécdota narrada en el hermoso libro “El hombre que calculaba”2, cuya lectura recomendamos ampliamente. El problema es el siguiente:

a) El Capitán de un barco anuncia que a la mañana siguiente, al desembarcar, a tres de sus marineros les sería repartida como recompensa una cantidad de monedas de oro que colocó en una bolsa. Uno de los marineros despierta antes que los demás y decide tomar su parte de la recompensa por adelantado. Al querer distribuir en tres partes iguales las monedas se dio cuenta que la división no era exacta ya que sobraba una moneda. Para evitar problemas con sus compañeros, tiró la moneda sobrante al mar, tomó su parte y se fue a dormir de nuevo. Por la mañana, el ayudante del capitán, que desconocía la cantidad original de monedas en la bolsa, sustrajo una de ellas para él y enseguida reunió a los tres marineros a los que repartió equitativamente el resto.

Si el ayudante del capitán entregó 23 monedas a cada uno de los tres marineros, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente y cuántas le tocaron al marinero madrugador?

b) Supongamos ahora que los tres marineros se hubieran levantado por la noche (en diferentes momentos) y decidido, cada uno, tomar su parte

2 Malba, T., El hombre que calculaba. Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores. México, 2003.

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por adelantado. Supongamos también, que cada uno de los tres se hubiera encontrado con la misma situación que el marinero madrugador de arriba y hubiera procedido en la misma forma que éste, es decir, tirar una moneda de la bolsa al mar, dividido las restantes en tres partes iguales y tomar una de esas partes para él, dejando las restantes para que fueran repartidas.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto dándole a cada marinero 23 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?

c) Consideremos finalmente otra versión de la historia. En esta versión hay también un marinero madrugador que procede exactamente como se relata en la pregunta del inciso a), sólo que ahora la información que se tiene es la siguiente:

Si el ayudante del capitán reparte equitativamente las monedas que quedan en la bolsa (después de apropiarse una) y después de esta repartición al marinero madrugador le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada uno de los otros dos marineros?

d) Supongamos ahora otra vez que los tres marineros se levantaron por la noche (en diferentes momentos), se encontraron con la situación que antes describimos para el marinero madrugador y procedieron igual que éste.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto y después de esta repartición, al tercer marinero madrugador (el que se levanta más tarde)

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le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?

Actividad 4

El juego de Nim Este es un juego muy interesante y muy antiguo también, por lo que es posible que usted conozca alguna de sus versiones. En cualquier caso, el juego es para dos personas, digamos el jugador A y el jugador B. Nosotros iniciaremos jugando con la siguiente versión. Se colocan sobre la mesa dos filas o montones de piedritas, por ejemplo, una fila con 7 piedras y otra con 5:

F I L A 1 :

F I L A 2 :

Figura 1

a) El jugador A debe escoger una fila y quitar de ella una o más piedras (tantas como desee, desde una hasta la totalidad). Por ejemplo, puede retirar 2 piedras de la segunda fila quedando entonces las filas de la siguiente manera:

F I L A 1 :

F I L A 2 :

Figura 2

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b) Enseguida le toca jugar a B, quien puede también retirar tantas piedras como quiera de la fila que él escoja. Por ejemplo, puede quitar 3 piedras de la primera fila, quedando ahora las filas así:

F I L A 1 :

F I L A 2 :

Figura 3

c) Enseguida juega A de nuevo y se repiten lo pasos anteriores hasta que se acaben las piedritas de ambas filas. Gana el jugador que retira por última vez. Hay que enfatizar que las piedras se quitan de una sola fila, la que el jugador escoja en cada turno.

Ensaye ahora en su equipo varias veces con los siguientes objetivos:

d) Con las filas del ejemplo usado arriba, trate de encontrar una estrategia ganadora, es decir, una estrategia para ganar con seguridad.

e) Investigue ahora si la estrategia encontrada funciona cuando se modifica el número inicial de piedras en alguno de los montones o en ambos.

f) Cambiemos ahora las reglas del juego, primeramente restringiendo el número de piedras que pueden retirarse a un máximo de 2. ¿Existe ahora una estrategia ganadora? ¿Qué pasa si hay solamente una fila de piedras?

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Actividad 5

Un juego con dados Este juego puede llevarse a cabo entre tres, cuatro o cinco jugadores, entre los cuales uno será el cajero por acuerdo de los integrantes del equipo. A quien se elija para ser el cajero, se le entregará una caja que contiene fichas de los siguientes colores: rojas, azules y amarillas. Las fichas amarillas valen cinco pesos, las azules valen veinte pesos y las rojas valen ochenta pesos.

Se utilizan además dos dados que, por turnos, lanzarán cada uno de los jugadores con excepción del cajero. Antes de iniciar el juego, el cajero entregará a cada uno de los jugadores una ficha roja, una ficha azul y una ficha amarilla. Las reglas del juego son las siguientes:

i) Al iniciar el juego, cada jugador apostará una ficha amarilla, que entregará al cajero.ii) Luego, por turnos, cada uno de los jugadores lanza los dos dados.iii) Si la suma de los puntos que obtiene, es mayor que siete, el cajero le entregará un número de fichas amarillas igual a la diferencia entre los puntos obtenidos y siete, iv) Si el número de puntos obtenidos, es menor que siete, entonces el jugador debe pagar al cajero, tantas fichas amarillas como indique la diferencia entre siete y el número de puntos obtenidos.e) Si el número de puntos obtenidos es siete, ni se pierden ni se ganan fichas.v) Cuando los dos dados marquen el mismo número de puntos, el número de fichas que se gana o se pierde será el doble de la diferencia antes indicada. vi) Cada vez que un jugador completa cuatro fichas amarillas deberá pedirle al cajero que se las cambie por una ficha azul y cada vez que completa cuatro fichas azules deberá cambiarla por una roja.

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a) Organicen los equipos y jueguen de tal manera que cada jugador lance los dados, diez veces. Al terminar, determinen si ganaron o perdieron dando la respuesta en fichas, es decir, alguien puede decir, por ejemplo: gané una ficha roja y dos amarillas o perdí tres fichas azules y una amarilla.

b) Sin que el cajero tenga que revisar las fichas que tiene, determinen cuánto ganó o cuánto perdió dando la respuesta en fichas.

Tomando en cuenta que cuatro fichas amarillas equivalen a una ficha azul y que cuatro azules equivalen a una roja, determine, lo que, en cada caso se pide:

c) ¿Qué fichas tuvo, al final del juego, un jugador que al principio tenía 123 (una, dos, tres) fichas (donde el número de la derecha indica la cantidad de fichas amarillas, el del medio, la cantidad de fichas azules y el de la izquierda, la cantidad de fichas rojas) y ganó 33 (tres, tres) fichas. (No olvide que siempre que se completan cuatro fichas de un color se cambian por una de otro color que sea equivalente).

d) ¿Cuántas fichas ganó un jugador que al principio tenía 32 (tres, dos) fichas y al final tenía 111 (una, una, una) fichas?

e) Un tercer jugador ganó 203 (dos, cero, tres) fichas con las cuales completó 302 (tres, cero, dos) ¿Cuántas fichas tenía al principio?f) En un determinado juego, en el que participaron tres jugadores, sucedió que, al terminar, los tres tenían exactamente 123 (una, dos, tres) fichas ¿Cuántas fichas tienen entre los tres?

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g) Si se reparten 213 (dos, una, tres) fichas entre tres personas, de manera equitativa ¿Cuántas fichas le tocan a cada quien?

Actividad 6

Determinando cantidades numéricas Utilizando la calculadora, resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a) Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, pero menor que 4.31 b) Encuentreun número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24, pero menor que 3.25 c) Entre cuanto hay que dividir el número 8.375 para que el resultado sea menor que 41.9, pero mayor que 41.8 d) Determine tres números enteros consecutivos, tales que su producto sea 15600 e) Determine cinco números pares consecutivos, cuya suma sea 1800.

Actividad 7

Ejercicios con exponentes a) Si 42 = 16 y 43 = 64; ¿Cuál debe ser el exponente para que el resultado sea 32? Proponga algún número y luego use la calculadora para comprobar si el número propuesto fue el correcto o no. En caso de que no haya sido, inténtelo de nuevo.

b) Utilice la calculadora para indagar a qué potencia debe elevarse el cuatro para que el resultado sea 23.

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Actividad 8

Conceptos de distancia

1.- Con ayuda de algún software de geometría dinámica (preferentemente gratuito como el GeoGebra), marque dos puntos y determine la distancia entre ellos. __________________

2.- Determine la longitud del segmento que une a los dos puntos arriba mencionados, deslice uno de ellos y compare ambos datos. La longitud es: ______________________

3.- Con base en los resultados de 1 y 2, escriba una definición del concepto de distancia entre dos puntos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.- En el mismo ambiente de geometría dinámica, trace una línea recta y un punto fuera de ella; una vez hecho lo anterior, use los menús del software mencionado para determinar directamente la distancia entre la recta y el punto dados. __________________

5.- Con las herramientas del software, trace una perpendicular a la recta dada desde el punto dado y determine el punto de intersección de ambas rectas.

6.- Determine la longitud del segmento de recta que une al punto dado con la intersección de rectas mencionado en 5 y compárelo con la distancia obtenida en 4. La longitud es: _____________

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7.- Con base en lo analizado en 4, 5 y 6, escriba una definición del concepto de distancia entre un punto y una recta. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sección 2: Aritmética Actividad 1

Contando en base 5En una elección, al contar los votos que obtuvieron cada uno de tres candidatos,

se utilizó el conocido sistema de marcar una rayita por cada voto (V) obtenido,

agrupando las rayitas en conjuntos (C) de cinco. Los conjuntos de cinco votos, a

su vez, se anotaban formando una fila (F) de cinco conjuntos; luego se empezaba

otra fila y cuando se completaban cinco filas, se encerraban en un rectángulo y a

éste se le llamaba un paquete (P) y con cinco paquetes se formaba un bloque (B).

A continuación aparecen los registros de la votación obtenida en una de las

casillas por cada uno de los candidatos.

Casilla A

Candidato Votos

Anselmo

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Federico

Rogelio

Observe los registros y conteste cada una de las preguntas que se formulan

a continuación:

a) Sin contar las marcas, ¿puede determinar cuál de los candidatos obtuvo más votos?

Utilice las equivalencias mostradas en la tabla siguiente para responder en

términos de bloques, paquete, filas y votos sueltos, las tres preguntas planteadas

a continuación.

Equivalencia

Cinco votos Un conjunto (C)

Cinco conjuntos Una fila (F)

Cinco filas Un paquete (P)

Cinco paquetes Un bloque (B)

b) ¿Cuántos votos más necesitaba Anselmo para completar un bloque de votos?c) ¿Cuántos votos se emitieron en la casilla? d) ¿Cuántos votos de ventaja obtuvo el candidato con mayor votación sobre el candidato con menor votación?

26



2�

Primaria

Para registrar los votos de cada candidato, en las diferentes casillas de

cada sección (formada por cinco casillas), se utilizó la siguiente tabla en la cual, la

columna con la letra P, indica el número de paquetes obtenidos por casilla. En la

tabla, la primera columna de la izquierda está marcada con la letra B, para anotar

en ella el número de bloques que obtenga cada candidato, cuando se contabilicen

todas las secciones. Las tablas mostradas enseguida corresponden a la primera

de las secciones.

Anselmo Federico Rogelio

B P F C V B P F C V B P F C V

A 3 2 3 2 A 3 1 2 4 A 3 1 4 4

B 2 0 2 3 B 1 4 4 4 B 4 0 1 3

C 3 2 0 0 C 1 2 0 2 C 2 4 3 2

D 4 0 0 4 D 2 2 1 4 D 2 0 4 0

E 2 4 3 1 E 2 0 1 1 E 2 1 3 4

Total Total Total

A partir de los resultados registrados para cada candidato en cada una de

las casillas de la primera sección, determine en cada caso lo que se le pide,

escribiendo sus respuestas en términos de bloques, paquetes, filas, conjuntos y

votos sueltos.

a) ¿En cuál casilla obtuvo, cada candidato, el mayor número de votos y en cuál el menor número? b) ¿Cuál fue el mayor número de votos obtenido por un candidato en una casilla y cuál fue el menor?c) Completa los datos de la tabla anotando los que corresponden al último renglón. No se permite utilizar los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9.d) ¿Cuál fue el total de votos que se emitieron en la primera sección? e) ¿Cuál fue la diferencia de votos entre el candidato que más obtuvo y el que menos obtuvo?

27



30

Primaria


Actividad 2

Calculando en base 5En el contexto de la actividad anterior, escribir 203 (dos, cero, tres) significa dos

paquetes, 0 conjuntos y 3 votos sueltos. Considerando esto y las equivalencias

entre bloques, paquetes, filas, conjuntos y votos sueltos, efectúe las siguientes

operaciones:

3 1 2 +

2 3 1 2 0 0 1 – 2 0 3 × 1 3 2 ×

1 0 3 1 3 1 2 3 1 3 3 3 0 1 2 1 2 2 2 0 1

__ 1 3 +

3 __ 2 3 __ 2 __ – 2 __ 3 × 1 __ 3 × __ __ __

1 0 __ __ 0 __ 3 3 2 3 3 2 0 __ __

1 3 2 0 1 3 3 1 __ __ 1 __ __ 2 __ __ __

3 0 1 2 __

3 4 3 4 0

28



31

Primaria

Actividad 3

Diversos procedimientos para sumar y restar1. Resuelva mentalmente las siguientes sumas y luego conteste lo que se le pregunta en cada caso:

a) 68 + 7 =

¿Cómo hizo la operación?

¿Contó a partir del 69 hasta llegar al 75? ¿Descompuso el 7 en 2 + 5, luego sumó 68 + 2 obteniendo 70 y después sumó 5 para obtener 75? ¿Descompuso el 68 en 60 + 8, luego sumó 8 + 7 obteniendo 15, que luego descompuso en 10 + 5 y sumó 60 + 10 obteniendo 70, y al 70 le sumó 5 y obtuvo 75? ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo?

b) 40 + 36 =


¿Sumó 40 + 30 obteniendo 70 y después sumó 6? ¿Sumó 0 + 6 = 6 y 4 + 3 = 7 y con estos números formó el 76? ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo?

c) 80 + 30 =


¿Sumó 8 + 3 = 11 y al 11 le agregó el 0? ¿Sumó 0 + 0 = 0 y 8 + 3 = 11 y con estos números formó el 110? ¿Descompuso el 30 en 20 +10, luego sumó 80 +20, obteniendo 100, y al 100 le sumó 10? ¿Observó que el 30 es tres veces 10 y sabiendo esto contó de 10 en 10 a partir del 90, diciendo 90, 100, 110? ¿Lo hizo de otra manera?, ¿cómo?

d) 148 + 252 = ¿Cómo hizo la operación? Explique cómo procedió.

29



32

Primaria


2. Efectúe mentalmente las siguientes restas y explique cuál fue el

procedimiento que utilizó:

5. 78 – 9 = 6. 56 – 38 = 7. 314 – 125 = 8. 432 – 198 =

3. Formen equipos de tres personas para comentar y analizar los

procedimientos que cada uno utilizó al realizar las operaciones, tratando de dar

respuesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué eligieron el procedimiento que utilizaron, en cada caso? b) Analicen las respuestas que cada uno de los integrantes del equipo dio a la pregunta anterior y, con base en ellas, determinen, en su opinión ¿De qué depende el procedimiento que las personas eligen para efectuar operaciones mentales?c) ¿Promueven, con sus alumnos, actividades de cálculo mental? ¿Con qué propósitos lo hacen?d) ¿Consideran que las respuestas que han dado a la pregunta del inciso b), reafirman su idea de los objetivos que deben formularse al promover las actividades de cálculo mental con sus alumnos, o los induce a reformularlos? e) Si consideraron en la pregunta anterior que los objetivos del cálculo mental deben ser reformulados, escriban los que ahora creen que deben ser.

4. Reflexionen, comenten y enlisten diversos procedimientos que pueden

promover con los niños para efectuar sumas y restas mentalmente, anotando el

grado o los grados en los que creen conveniente promover cada uno, así como el

rango numérico en que consideran más apropiado utilizar dicho procedimiento.

Actividad 4

Diversos procedimientos para multiplicar y dividir 1. Intente, de manera individual, resolver los siguientes problemas sin utilizar la técnica o el algoritmo usual para multiplicar y luego comente y analice con su

equipo, los procedimientos que cada uno utilizó para realizar las operaciones.

30



33

Primaria

a) ¿Cuántas botellas hay en 125 cajas, si en cada caja se colocan 24 botellas?

b) Un ciclista dio, en la semana 598 vueltas a una pista que mide 450 metros. ¿Cuántos metros ha recorrido en total?

c) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular se necesitan 175 mosaicos a lo largo y 120 a lo ancho. ¿Cuántos mosaicos se necesitan en total?

d) Juan, que trabaja en una taquería, utiliza la siguiente lista de precios para calcular el consumo de sus clientes.

No. de

tacos

Precio

1 $ 13

2 $ 26

3 $ 39

7 $ 91

10 $ 130

¿Cómo calcularía usted, lo que debe pagarse por 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 17, 132 tacos? Juan, para calcular cuánto debe pagarse por 12 tacos, suma lo que cuestan

dos tacos con lo que cuestan 10, es decir efectúa la siguiente suma:

2 6

+ 1 3 0

1 5 6

Compare lo que hace Juan con el procedimiento usual de multiplicar 13 x 12.

31



34

Primaria


1 3 ×

1 2

2 6

1 3

1 5 6

¿En qué se parecen dichos procedimientos y en qué son diferentes?

Por analogía con el procedimiento que utiliza Juan para calcular cuánto cuestan 12 tacos, ¿cuál cree que sea el procedimiento de Juan para saber cuál es el precio de 17 tacos?

Escriba el procedimiento de Juan y compárelo con el procedimiento usual de multiplicar 13 × 17.

Ahora usted calcule cuánto cuestan 132 tacos, utilizando el procedimiento de Juan, y después compare dicho procedimiento con el usual de multiplicar 132 × 13.

2. Intente resolver los siguientes problemas sin utilizar la técnica o el algoritmo

usual para dividir y comenten y analicen, en equipo, los procedimientos que cada

uno utilizó para realizar las operaciones.

a) Se quieren empacar 768 naranjas en 48 bolsas de tal manera que haya el mismo número de naranjas en cada bolsa, ¿cómo hacerlo y cuántas deberán ponerse en cada una?

b) ¿Cuántas cajas se necesitan para acomodar 2904 botellas, si en cada caja se colocan 24 botellas?

c) Se van a preparar 35 arreglos florales, para lo cual se dispone de 665 flores. Si se quiere que cada arreglo tenga el mismo número de flores, ¿cuántas tendrá cada uno?

d) Un atleta corrió, en su práctica matutina, 7200 metros en un pista circular, si la pista mide 450 metros, ¿cuántas vueltas dio?

32



35

Primaria

e) Para recubrir con mosaico, el piso de un patio rectangular, se utilizaron 2992 mosaicos, si a lo ancho se colocaron 34 mosaicos por fila, ¿cuántos mosaicos se utilizaron a lo largo, en cada fila?

f) Un automovilista, viajando siempre a la misma velocidad, recorrió 1235 kilómetros en 13 horas. ¿cuántos kilómetros recorría cada hora?

Actividad 5

Combinando operacionesDiseñen, en cada caso, una o más estrategias para efectuar mentalmente las

siguientes operaciones. Efectúenlas y luego comente cada quien con su

compañero de al lado, las estrategias diseñadas y la razón o las razones que

tuvieron para hacerlo como lo hicieron:

a) 998 + 987b) 1407 – 508 c) 97 × 215 d) 998 × 987 e) 64 × 50 f) 72 × 25 g) 56 × 125

h)5

360

i)25675

j) 194199

Actividad 6

Partir y repartir Intente resolver cada uno de los dos siguientes problemas. Después de que los

haya resuelto (o lo haya intentado) comente con su equipo las respuestas y la

forma en que cada quien llegó a ellas, tratando de ponerse de acuerdo en la

33



36

Primaria


validez o no de lo que hicieron. Analicen y comenten, también, en qué se parecen

y en qué son diferentes los problemas.

a) Si cinco niños se reparten en forma equitativa siete chocolates, ¿Qué tanto chocolate le toca a cada niño? Intente hacer el reparto (equitativo) de más de una manera.

b) Al repartirse equitativamente, tres chocolates (del mismo tamaño) entre cuatro niños, a cada uno le tocó una porción de chocolate del siguiente tamaño:

¿De qué tamaño era cada uno de los tres chocolates?

Actividad 7

Comparar y medir Después de haber comentado y analizado los problemas anteriores, procedan de

la misma manera con los siguientes:

a) Si el área del hexágono es una unidad de área, ¿cuánto es el área de cada una de las siguientes figuras?

34



3�

Primaria

b) Divida el siguiente segmento en siete partes iguales:

c) Compare la longitud de los siguientes dos segmentos y determine cuántas veces más largo es uno que el otro.

d) Localice dos puntos, tales que ambos estén dos veces más lejos del extremo A que del extremo B, del siguiente segmento:

e) Los números colocados en la recta numérica indican la longitud del segmento que va del punto en el que se coloca el cero, al punto en el que se coloca el otro número. Por ejemplo, el segmento que va del 0 al 1, mide 1; el

segmento que va del 0 al 4, mide 4: el que va del 0 al 58 , mide

58 . De

acuerdo con esto, coloque los siguientes números en la recta numérica: 73 y

37 y determine la longitud del segmento que va del

73 al

37 .

35



3�

Primaria


f) Ahora localice el punto medio del segmento cuya longitud acaba de determinar y anote el número que le corresponde.

g) Localice los puntos que dividen en cinco partes iguales al segmento que

va del 21 al

49 y determine el número que le corresponde a cada uno.

Sección 3: Geometría

Actividad 1

Doblado de papel. Trazos notables Esta actividad se desarrolla individualmente pero comentando con su pareja de

trabajo.

Usted necesita hojas traslúcidas para doblar. Su asesor le proporcionará las

necesarias.

Es importante que tan sólo trabaje con sus manos, la hoja que esté doblando y el

lápiz con el que resaltará, en algún doblez, el trazo requerido.

¿Tiene a la mano su primera hoja para doblar? Si es así ya está usted listo(a) para

realizar algunas de las construcciones geométricas más prácticas en una gran

cantidad de ámbitos: costura, arquitectura, albañilería, deporte, ingeniería, arte,

cocina, etc.

1. Tome la hoja y trace un segmento de recta:

36



3�

Primaria

2. Ahora, ¿cómo encuentra exactamente el punto medio de ese segmento? Después de marcarlo en el segmento comente con su pareja cómo es que con toda seguridad puede afirmar que es exactamente el punto requerido. Escriba a continuación en forma breve su principal argumento para tal afirmación:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Coméntenlo con el resto del grupo.

3. Si ahora traza usted una línea perpendicular al segmento que pase por ese punto medio, obtendrá la mediatriz del segmento. La mediatriz tiene la propiedad de que cualquiera de sus puntos equidista de los extremos del segmento.

Trace la mediatriz y verifique la propiedad mencionada en el párrafo

anterior, tomando cualquier punto de ella (menos el de intersección con el

segmento).

Describa brevemente cómo dobló el

papel para obtener la mediatriz

¿Qué es lo que le permite asegurar

que la línea trazada por ese punto

medio es perpendicular al segmento?

37



40

Primaria


Comente con sus compañeros estas respuestas y discuta con ellos cómo

es que llevó a cabo la verificación sobre la propiedad de la mediatriz dada

en el primer párrafo de este punto.

4. Tome otra hoja y trace de nuevo un segmento como el anterior.

Seleccione un punto cualquiera en su hoja que esté sobre o bajo el segmento,

pero no alineado con él. Márquelo con la punta de su lápiz y ahora trace una

línea que sea perpendicular al segmento (o a su prolongación) y pase por ese

punto.

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede

asegurar que efectivamente la línea es perpendicular.

5. Ahora trace en una hoja limpia un segmento como en las anteriores y seleccione de nuevo un punto cualquiera, con las mismas restricciones que antes. Construya una paralela al segmento que pase por el punto.

Describa brevemente cómo realizó el trazo y por qué puede

asegurar que efectivamente la línea es paralela

38



41

Primaria

6. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos ambientes.

Actividad 2

Doblado de Papel. Trazo de las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas en un triánguloPara esta actividad el asesor les proporcionará al menos 12 hojas de papel

traslúcido. Para llevarla a cabo, se le invita a integrarse en un equipo de cuatro

personas.

1. En primer término tomen una hoja cada integrante del equipo. Dibujen en cada hoja, en la parte central, un triángulo diferente. Pueden ser parecidos a los siguientes (tal vez de mayor tamaño cada uno):

2. En cada triángulo tracen las mediatrices, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres mediatrices.

Cada mediatriz es una recta perpendicular que pasa por el punto medio del lado correspondiente.

Comenten brevemente cómo llevaron a cabo la construcción de cada

mediatriz y escriban sus conclusiones.

39



42

Primaria


____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

3. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno tracen las medianas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres medianas.

Cada mediana es un segmento de recta cuyos extremos son el punto medio de un lado del triángulo y el vértice opuesto a él.


mediana y escriban sus conclusiones.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

4. Tomen otra hoja y repitan el dibujo de los triángulos diferentes. En cada uno tracen las bisectrices, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres bisectrices.

Cada bisectriz es un segmento de recta que biseca (divide en dos partes iguales) cada uno de sus tres ángulos, y por lo tanto parte de un vértice hasta el lado opuesto.


bisectriz y escriban sus conclusiones.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

40



43

Primaria

____________________________________________________________

5. En cada triángulo trace las alturas, tomando en cuenta que:

Un triángulo tiene tres alturas.

Cada altura es un segmento de recta que parte desde un vértice hasta el lado opuesto -o su prolongación-, con una dirección perpendicular a ese lado opuesto.

Comente brevemente cómo llevó a cabo la construcción de cada altura.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

6. Respondan brevemente a las siguientes cuestiones y luego comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

¿En todos los triángulos se mantiene la misma dificultad? Comente

ampliamente __________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

¿Hay algunas características que usted haya observado y quiera resaltar?

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

41



44

Primaria


¿Qué particularidad tomarán esas características en un triángulo isósceles?

Coméntenlo con sus compañeros y a juicio del asesor verifique su

conjetura.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

___________________________________________________________

7. Ahora, realice las construcciones anteriores haciendo uso del software de geometría dinámica disponible. Comente con sus compañeros las diferencias y similitudes de los procesos de construcción en ambos ambientes.

8. ¿Qué ventajas tiene el uso de software de geometría dinámica para fortalecer o refutar las conjeturas formuladas en esta secuencia? ____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

Actividad 3

Construcción de estructuras

Para esta actividad se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura (u otro

tipo de material que sirva como conector). Se trabaja en equipos de 4 personas.

Su equipo tiene 20 minutos para construir la estructura más alta posible que se

pueda sostener por sí sola. Al término de los 20 minutos, mida la altura de su

estructura y conteste las siguientes preguntas.

42



45

Primaria

1. ¿Qué altura alcanzó la estructura? ____________________________

2. ¿Qué características observan en su estructura? (se mantiene rígida, se bambolea, se ladea, alcanzó poca altura, etc.) ____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

3. ¿A qué creen que se deban esas características? ____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

Sin destruir esta estructura, continúen con las siguientes actividades.

Actividad 4

Construcción de cuadriláteros, dadas las medidas de sus lados

1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir cuadriláteros con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el cuadrilátero, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados y llene la sexta columna. En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

43



46

Primaria


Lado A

(Unidades)

Lado B

(Unidades)

Lado C

(Unidades)

Lado C

(Unidades)

¿Se puede

construir el

cuadrilátero?

(Si/No)

¿Se puede

deformar el

cuadrilátero?

(Si/No)

10 10 10 10

10 7 5 4

10 5 6 4

7 6 3 4

8 6 4 4

6 4 1 2

8 3 3 2

9 2 3 3

2. ¿Se pueden construir dos cuadriláteros diferentes, dadas las medidas de sus lados? Justifique su respuesta _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

3. Escriba con sus propias palabras una regla que describa cuándo se puede construir un cuadrilátero dadas las longitudes de sus lados. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros. _______________________________________________________________

______________________________________________________________

44



4�

Primaria

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. Considere las longitudes de los lados de los cuadriláteros anteriores. ¿Podría unir los segmentos en un orden diferente para hacer un cuadrilátero diferente? Si es así, ¿en cuáles?_______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

5. En el cuadrilátero de medidas 8, 6, 4, 4, elimine uno de los lados y cierre la figura, ¿Qué observa en cuanto a la flexibilidad de la nueva figura? _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Actividad 5

Construcción de triángulos, dadas las medidas de sus lados

1. Utilice las tiras acoplables que le serán entregadas por el instructor para tratar de construir triángulos con las medidas indicadas en la tabla de abajo y llene los recuadros en blanco. Si puede construir el triángulo, trate de cambiar su forma sin cambiar la longitud de sus lados para llenar la quinta columna. En los renglones de abajo, experimente con longitudes seleccionadas por usted mismo.

45



4�

Primaria


Lado A

(Unidades)

Lado B

(Unidades)

Lado C

(Unidades)

¿Se puede

construir el

triángulo?

(Si/No)

¿Se puede

deformar el

triángulo?

(Si/No)

8 8 8

8 7 4

5 4 2

7 3 4

6 3 2

2. Si se le pide construir triángulos en los que un lado mide 8 unidades, y los otros dos se dan en la lista de abajo, ¿en qué casos cree que podría construirlo? Justifique su respuesta sin tratar de construir el triángulo.

Lado B

(Unidades)

Lado C

(Unidades)

¿Se puede

construir el

triángulo?

¿Por qué?

6 6

8 7

9 10

6 10

8 9

10 4

14 6

46



4�

Primaria

14 1

3. ¿Qué condición considera deben cumplir las longitudes de tres segmentos para poder construir un triángulo? Escriba con sus propias palabras una regla que describa la relación entre las medidas de los lados de un triángulo. _____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4. Compare la regla que escribió, con la de sus compañeros.

5. Suponga que se le pide construir un triángulo cuyos lados miden 14.5, 21.4 y 17.3 cms. ¿Cree que podrá hacerlo? Justifique su respuesta. _____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

6. ¿Se pueden construir dos triángulos diferentes, dadas las tres medidas de sus lados? Justifique su respuesta. _____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

47



50

Primaria


Actividad 6

Construcción de estructuras

Para esta actividad de nuevo su equipo utilizará la estructura construida en la

actividad 5.

Observen su estructura y contesten las siguientes preguntas.

1. ¿Qué tipo de figuras usaron en su estructura? _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

2. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más fuerte? _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

3. ¿Qué tipo de figuras la hicieron más débil? _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. Si tuvieran la oportunidad de construir la estructura otra vez, ¿qué cambiarían?

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

48



51

Primaria

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Construyan una nueva estructura en 20 minutos. El propósito es construir una

estructura más alta que la anterior.

Altura de la nueva estructura: _____________________

Actividad 7

¿Qué significa medir?

Esta actividad se desarrolla en equipos de tres personas, pero se recomienda

trabajar primero individualmente y después comentar con los compañeros de

trabajo.

Usted necesitará tres triángulos para medir, los cuales le serán proporcionados

por su asesor.

1. Utilice todos los tres triángulos para construir las siguientes figuras:

49



52

Primaria


2. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene mayor área? Justifique su respuesta.

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

3. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ¿puede decir cuál figura tiene menor perímetro? ¿Cuál tiene mayor perímetro? Justifique su respuesta.

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

50



53

Primaria

4. Sin utilizar instrumentos de medición graduados, ordene los polígonos de menor a mayor, según su perímetro. Explique como lo hace.

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5. Explique por qué utilizamos medidas estándar si podemos medir sin ellas. _______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

_____________________________________________________________

Actividad 8

Calculando áreas

1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área del rectángulo que se muestra en la retícula, tomando como unidad de área un cuadrado mínimo de ella.

2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del rectángulo.

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

51



54

Primaria


______________________________________________________________

______________________________________________________________

3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo rectángulo en una retícula:

4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo?a. Para responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:

Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b

y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el

área de un paralelogramo? ____________________________________

52



55

Primaria

b. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario. Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de modo que obtendrá dos triángulos congruentes. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma

base y la misma altura del triángulo.

c. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo? ______________________________________________________

d. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y altura h._______________________________________________________

6. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base menor b y su altura h. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo.

a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula. __________________________________________________

b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo? ___________________________________________________

c. Escriba la fórmula para el área del trapecio. ___________________________________________________

7. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2 unidades.

53



56

Primaria


a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.

______________ ________________ ______________

b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce para encontrar el área de un polígono regular?

__________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Sección 4: Datos y Azar

Actividad 1

Información General del Profesor-Alumno Conteste la siguiente encuesta indicando en cada caso lo se te pide

1. Género: Masculino Femenino

2. ¿Cuántos años de servicio tiene en primaria? _____________

3. ¿Tiene computadora en tu casa? Si No

54



5�

Primaria

4. Señale con una X, ¿qué tanto utiliza Internet? Nunca_______

A lo más una hora a la semana_______

Más de una y hasta cinco horas a la semana _______

Más de cinco horas a la semana ______

5. ¿Qué le parece la reforma de planes y programas de educación básica realizada en 1993? a) Excelente b)Buena c)Regular d)Mala e)Pésima

6. ¿Ha utilizado Word? Si No

7. ¿Ha utilizado Excel? Si No

8. ¿Cuántas horas a la semana trabaja un tema de matemáticas frente a un grupo? _______

9. ¿En qué grado de la escuela primaria trabaja actualmente?________________

10. Para las preguntas que aparecen abajo, considere como respuesta uno de los siguientes ejes temáticos.

a. Los números, sus relaciones y sus operaciones, b. Medición c. Geometría d. Procesos de cambio e. Tratamiento de la información f. La predicción y el azar

i. ¿Cuál de los ejes le parece más importante? ( )ii. ¿Cuál de los ejes le gusta más? ( ) iii. ¿A cuál de los ejes le dedica menos tiempo? ( ) iv) De acuerdo a su experiencia, ¿En qué eje presentan ( ) mayor dificultad los estudiantes? v) ¿Cuál de los seis ejes le parece menos importante? ( )

b) Organice las respuestas de sus compañeros en la siguiente tabla.

55



5�

Primaria


No. De Respuesta

No. De Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i ii iii iv v1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

c) De acuerdo a la información anterior responda lo siguiente:

56



5�

Primaria

1. ¿Cuántas personas en total contestaron la encuesta? _____________________

2. ¿Cuántas personas son del sexo masculino?______ ¿Qué porcentaje representan? ________

3. ¿Cuál es el mayor número de años de servicio y cuántas personas cumplen con este número? _______ y ¿a qué porcentaje de personas corresponde ese dato? _______

4. ¿La mayoría tiene computadora en su casa? _______ ¿en qué basa su respuesta?______________________________________________________

5. ¿Qué puede comentar acerca del uso que hacen de Internet sus compañeros de grupo? ___________________________________________ ¿Y los profesores de su localidad? __________________________________________________________________________________________________

6. Realice una tabla, respecto a lo que les pareció la Reforma de planes y programas de educación básica realizada en 1993. ¿Cuáles fueron las características sobresalientes de lo que acaba de hacer?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

¿A qué cree que se deban estas características?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

7. ¿Podría decir qué en general se tiene conocimiento sobre Word y Excel por parte del grupo? ______________________________________________________________

8. ¿Entre qué valores se encuentra el número de horas que trabajan temas de matemáticas frente a un grupo? ____________________________________

57



60

Primaria


9. De acuerdo al grado en el que imparten clase, ¿cómo se distribuyen sus compañeros?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. ¿Cuál es el nombre del eje que a la mayoría le parece menos importante? _________________________________ ¿Por qué cree que esto sea así? ______________________________________________________________

11. ¿Cuál es el nombre del eje más gustado? ______________________________________________________________

12. ¿Cuál es el nombre del eje al que se le dedica menor tiempo? ______________________________________________________________

13. ¿Cuál es el nombre del eje, en el cual, de acuerdo a la experiencia de sus compañeros, los alumnos presentan mayor dificultad? __________________

14. ¿Coincide el eje más importante con el eje más gustado? _________ ¿Por qué?__________________________________________________________

15. ¿Coincide el eje al que se le dedica menor tiempo con el que, según la experiencia, presentan mayor dificultad los estudiantes? _________ ¿Por qué?______________________________________________________________

16. Plantee una pregunta sobre algún punto abordado en la encuesta que le parezca interesante o pertinente, para explorar algún punto del tratamiento de la información, la predicción y el azar ___________________________________________________________________________________________

58



61

Primaria

9. De acuerdo al grado en el que imparten clase, ¿cómo se distribuyen sus compañeros?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. ¿Cuál es el nombre del eje que a la mayoría le parece menos importante? _________________________________ ¿Por qué cree que esto sea así? ______________________________________________________________

11. ¿Cuál es el nombre del eje más gustado? ______________________________________________________________

12. ¿Cuál es el nombre del eje al que se le dedica menor tiempo? ______________________________________________________________

13. ¿Cuál es el nombre del eje, en el cual, de acuerdo a la experiencia de sus compañeros, los alumnos presentan mayor dificultad? __________________

14. ¿Coincide el eje más importante con el eje más gustado? _________ ¿Por qué?__________________________________________________________

15. ¿Coincide el eje al que se le dedica menor tiempo con el que, según la experiencia, presentan mayor dificultad los estudiantes? _________ ¿Por qué?______________________________________________________________

16. Plantee una pregunta sobre algún punto abordado en la encuesta que le parezca interesante o pertinente, para explorar algún punto del tratamiento de la información, la predicción y el azar ___________________________________________________________________________________________

58

Actividad 2

Antes del lanzamiento de monedas

1. Al jugar a los volados con una moneda ¿cuál es la probabilidad de obtener águila? ______________________________________________________________________¿Por qué cree eso?____________________________________________________________________________________________________________________________________________¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad? _________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda ¿cuántas águilas espera que ocurran?______________________________________________________________________

¿Por qué cree eso?________________________________________________________

2 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es más probable que resulte al lanzar una moneda cinco veces? (bajo la convención de que se anota A cuando sale “águila” y S cuando sale “sello”)

a) AAASS; b) SAASA; c) SASSS;

d) ASASA; e) Las cuatro sucesiones son igual de

probables.

Inciso: _________

¿Por qué ha dado esa respuesta?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

59



62

Primaria


3. Cuatro personas lanzan siete veces una moneda. Los resultados que han tenido los anotan en una hoja, quedando su registro como se muestra a continuación.

José A A A A A A A

María A S A S A S A

Pedro A A S S S A A

Pablo S S S S A S S

Si cada una de estas personas hace otro lanzamiento, ¿cuál cree que será el resultado

para cada una de ellas? José ____ María ____ Pedro ____ Pablo ____

¿En qué se ha basado para dar esa respuesta? ________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4. Si lanzara dos veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados tendría? ________________________________________________________________________

Si lanzara tres veces consecutivas una moneda ¿qué posibles resultados tendría?

________________________________________________________________________

Si lanzara una moneda y, sólo en el caso de haber obtenido águila, la volviera a lanzar,

¿qué posibles resultados tendría? ___________________________________________

5 ¿Cuál de las siguientes sucesiones es menos probable que resulte al lanzar una moneda cinco veces?:

a) AAASS; b) SAASA; c) SASSS;

d) ASASA; e) Las cuatro sucesiones son igual de

probables.

Inciso: _________

¿Por qué ha dado esa respuesta? ____________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

60



63

Primaria

Actividad 3

Experimentando con monedas1. Efectúe ochenta lanzamientos de una moneda y, utilizando la tabla que aparece

abajo, registre los resultados de cada lanzamiento como A (águila) o S (sello),

formando grupos de cinco resultados. Luego, contabilizando el número de águilas

acumuladas en los grupos sucesivos o frecuencias (f) regístrelo en la columna

correspondiente así como su acumulación o frecuencias acumuladas (fa) y los

resultados de dividir estas últimas cantidades entre el número de lanzamientos

acumulados o frecuencias acumuladas relativas (far).

Registro tabular Lanz.

acum..Resultados f fa far

Lanz.

Acum.Resultados f fa Far

5 45

10 50

15 55

20 60

25 65

30 70

35 75

40 80

61



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Primaria


2. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias

acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de

puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de

lanzamiento de monedas.Registro gráfico

far

1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Número de lanzamientos acumulados

3. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda

las siguientes preguntas ¿qué relación tiene este comportamiento con la

probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una

moneda? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el

lanzamiento de una moneda sea el número que usted cree?

__________________________________________________________________

62



65

Primaria

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Actividad 4 Experimentando con monedas dobladas1. Si le hacemos un doblez a la moneda con una pinza de mecánica ¿cuál es la probabilidad de obtener águila en un lanzamiento de esta moneda?_______________________________________________________________¿Por qué cree eso?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________¿Qué significado le atribuye a esa probabilidad? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Si hace 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda doblada ¿cuántas águilas espera que ocurran?________________________________________________ __________________________________________________________________¿Por qué cree eso?________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

2. Utilizando ahora monedas dobladas con una pinza de mecánica, efectúe

ochenta lanzamientos de una moneda y utilice la tabla que aparece abajo para

registrar los resultados de cada lanzamiento formando grupos de cinco resultados,

las frecuencias (f) obtenidas en los grupos sucesivos, frecuencias acumuladas (fa)

y las frecuencias acumuladas relativas (far).

Registro tabular Lanz.


Lanz.


5 45

10 50

15 55

63



66

Primaria


20 60

25 65

30 70

35 75

40 80

3. Utilizando el número de lanzamientos acumulados y las frecuencias

acumuladas relativas, en la cuadrícula que aparece abajo, haga una gráfica de

puntos unidos por segmentos de recta como resumen de este experimento de

lanzamiento de monedas.

Registro gráficofar

1.00

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Número de lanzamientos acumulados

64



6�

Primaria

4. Describa el comportamiento de las frecuencias acumuladas relativas y responda

las siguientes preguntas: ¿qué relación tiene este comportamiento con la

probabilidad que usted cree tiene el obtener águila en el lanzamiento de una

moneda doblada? ¿Qué quiere decir que la probabilidad de obtener águila en el

lanzamiento de esta moneda sea el número que usted cree?________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Actividad 5

Haciendo Pulseras3

Maura y Enrique quieren hacer pulseras con cuentas de distintos colores.

Disponen de cuentas de tres colores distintos, amarillo, rojo, verde.

1. Diseñe un tramo de pulsera de tres cuentas de colores diferentes, como las

que podrían hacer Maura y Enrique.

2. ¿Puede diseñarse un tramo de pulsera distinto con las mismas

cuentas?__________

3 Basada en la lección 34 del Libro de Texto: Matemáticas, Quinto Grado. SEP, 2004.

65



6�

Primaria


3. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer con estas cuentas?

Si agregamos cuentas de otros colores,

4. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cuatro

cuentas de diferentes colores?

5. ¿Cuáles son los diferentes diseños que se pueden hacer utilizando cinco

cuentas de diferentes colores?

Actividad 6

Utilicemos cuentas del mismo color Analicemos ahora tramos en lo que se pueden utilizar cuentas del mismo color.

1. Muestre un tramo de tres cuentas que tenga dos cuentas del mismo color.

2. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?

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6�

Primaria

67

3. Muestra un tramo de cuatro cuentas que tenga dos cuentas del mismo color

4. ¿Cuántos diseños con la característica del tramo anterior pueden hacerse?

DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO

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